107

انتقال حرارت

  • Upload
    rama227

  • View
    249

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ضق

Citation preview

Page 2: انتقال حرارت

����� ��� � �� ���

����� ��� ����

������ ����� �����

����� ��� ��� �� � ��

!"�# ����� � �$ ����%

�& '�$'�# ���

(�)*+��,-./

0�� 1�����

Page 3: انتقال حرارت

2

(�3�� :5�6� 7'��% 0�6)�� �+ ��

�*��8�� (�3�� :An Introduction to Heat Transfer

��*�3� :�����!"�# �&'�$'�# ��� � ����% � �$

������)�9� '��)�� :�'�� : (�)*+��,-./

0�� 1�����

Page 4: انتقال حرارت

;

�����

�������

�� �� :�����

< =��>

< =?� >

< 1+��

��� �� :������ ����� �����

< 5�'3? (3���

< �@+ �� � A� =��> ��*���B� C9 �@�

< � A� �@+ � =��> ��*���B� C9 �@�

< C9 �@���'��% C �D �+ �@+ �� =��> ��*���B�

< (��$ $� �@+�� � ��'��% C �D �+ �@+ �� =��> ��*���B� C9 �@�

< �'�3� =�$3E��# �� 5�F �D ��>

< 5939 $� ���@G 7'��% 0�6)�� ���H �>

< ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H

< I��� ����J+ =��KH

< ��'��% C �D �+ �L3� C��3)�� ' 7'��% 0�6)����M�

< 5)?�� N�)*� O3�� ' 7'��% 0�6)��

< ��P)� Q�6� �+ ��L

< ��L O3�� ���+ ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H R��@� '�

��� �� : �!"�� ����� �����

< N�' ����J� ��>)�>��P)� �$���& N�'(

< N�' � � ��>

< �J� UV)M� N�'

���#$ �� :%���� ����� �����&��'( � �������

< % 7F �@�!#�

< � ��? =�?�" �� 5)G��� N�'

< 5����D C)G��� !)*��

< �+ 5 �� !*& ' �'W� =��> =����

< X��Y+�& Z�@� ' ��# � 5��3)�� [5JB\ ' �@+ �� ��'W� =��>

Page 5: انتقال حرارت

7

< �+ 5JB\ =����

< �+ C��3)�� =����

< ��#

< �@+ �D ]�*&� ' �'W� =��>

< 5��� �+ 03^ 5+ �� =����

< �@+� 5+ �@��...

< ��3)��R�@� � �J� 03^ 5+ 5

< '���L�� 7'��% 0�6)�� C9 �@� � � �%

< `��\ N�'

< �� H N�'

)*+ �� : ,��*"�- ����� �����) /���-0�-��(

< 7���& ������ �+ 5*��6�

< N�' ����J� ��>

< 5JB\ 03^ ' 7'��% 0�6)�� ���H � =��� �$�� C�F 7����P� C*��6�

< $93��' 5+��� � �$�� C�F 7F �@�<('393#

< 5��> ��' $� (���& a�)K� ��>

< 7�E��> �+�Y� C�+�'

)�2 �� :�3�3 �� ,��*"�- ����� ����� ��)�40�� /���-(

< � Y% b�3)� ���

< C)?�� 5@�3� ]�'c (���& ' �$�� b���G

< 7'��% 0�6)�� ���H R��@� ���+ �����J� � �+�Y� b+��'

< 5�F (���& 5)?�� 5@�3� V��# ��

< F (���&5� 5939 ' 5@�3� 0�% ' �� =+�d �� U�\ ��>

< 5�F (���& 5939 ' 5@�3� 0�% ' �� ��% '�G ��>'=+�d ��

< 5939 ' 5)?�� 5@�3� N3�P� (���& U�\ ��>

)��� �� :��"�5 ����� �����

< � ���H

< � ���H R�+ b+��'

< ���� ]�*&� ' ��+�� ��'��% 0�6)��

6-���

Page 6: انتقال حرارت

e

�� �����

H�% ��f&5\VM � 7'��% 0�6)�� g' h%�� $� ��,�� ���Y��� b�3� 5# G�+i�'� � 5+

� #�&'�$'�# g��� ���c ��>�jL '�� > � a��G �)@�\ ��8��� ' R���G =�� .

�� f�f� (��3Y��� �� � g' �9��� �+ �)@��� X���Gc '3k�� 5+ ��f& R�� �9��� $� ���3�

�*�3� ��f& $� ;��)&���� � � �B)�� gV# ' . �� �E��� 7�>�)G� =�� R� � ��f& R�� '

(�����3M ���� �� � !���3Y��� � # �+ 5# G�+ 5)G� 3&� ��3�B������3M `�Jl� �G > .

� �3& !��% �*��L !��M '�#�� � ��� m���+ ���c 7� %$ $� �Y��� ' =�� ]$F 5# '

Q & �'�� ��� �H�% ��f& �'�c!�� � ���� � �#.

b�3� ��f& R�� n����8��E� f�� (���� $� 5# �G ]�Y�� �B��G'3L 5)G�? !��M '�#�f �'�

�� ��.

!"�# ����� ����% � �$ –�&'�$'�# ���

(����< (�)*+��,-./

Page 7: انتقال حرارت

p

��� ��� :�����

q�3�� r���f���s�7'��% 0�6)�� Modes or Methods of Heat Transfer

N�' �� ]f����� 5� b�3� 7'��% 0�6)�� ���V# ��f�? �k� $� :,< X)��>t< X��Y+�&)=?� > (

-<�� ]�Y�� ��+�� 3G) ��G,���+ �' (.

��G ' t1�c �J� 5+ ��D �J� $� ;c 0�6)�� �+ 7'��% 0�6)�� ��39��c 5)G�W� 1�� � 5+ �$3�

�G =�� .�� 5# 5�38�� >5)?�� ���+ a�)K� N�' 5� $� ;c 0�6)�� ���+ ��?� �� �� �>� ��:

0�� =9�% ' ) �'� G �+ 5#, (�G uK�� 5+ Q�� $� b�J� 5+ �8)*+�� 5�3� v�> (�+ ;c =��

�� �6)�� �k� '3� �J� 3G .�� �@�@�� 7'��% 0�6)�� 5+��� N�' R�� G�+.

]� =9�% ' ) �'� Gt (�+ ��?� 5)� 1�c �J� 5+ Q�� $� b�J� I��^ $� �' ;c !> � # �$3�

�� �6)�� ��# .�� �)��> 7'��% 0�6)�� 5+��� N�' R�� G�+.

]3� =9�% ' ) �'� G- (1�c �J� 5+ Q�� $� �' ;c ��� �� �6)�� �$3� �� � . N�' R��

�� X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ��� > G�+.

728. N�' �6)�� a�)K� ��>7'��% 0

Page 8: انتقال حرارت

w

72:. ;c 0�6)�� �+ 7'��% 0�6)�� �$�� 5�G] ,y[

& %���� (Conduction)

b�J� �� � 7���& ' ���� 0�6)�� 5+ =��> b�J� R�� ' �� UV)M� �d� ' R#�� 0��� ��> �>

]�Y�� �� ���. �� $� ���� [b�J� ��L3����#�� X��Y+�& �d� ' 5# =�� R�� �+ Z�? ��# '3�+

5�6�5�6� 5+ � � �6)�� �8� �� ����3� b�3� ���� 0�6)�� 5��+ 3G���� �? �l� =#�%

03�93� ]�Y�� ��& �9�)*��# 5�G N�@�'� �� � �$�� ��> 3G. 7'��% 0�6)�� ���V# �)# '

�J !�*6� � A� ��{ � � A� � �@+ �D [�@+ � [�@+ �� ���)9�% 5+ 7'��% 0�6)�� h

�G ��+ �1K+ ' 5# =� '3� R�� ' �)��+ ��c ��> �# !�>�3M hJ+ .

�� 5)G3� ��$ 7'3l+ �@+ �� =9�% ' �)��> 7'��% 0�6)�� �+ !|�% 59 �@� 3G) 5�'3? (3���(:

),(

x

Tkq

∂∂

−=

[}3? 5�+�' ' q ��'��% '�G ]W/m2 [ [T 7'��% 5& ' ]K[ [x

T

∂ �� (�� ���]K/m [ �k

�)��> 7'��% 0�6)�� ���H]W/mK [�� G�+ . '�6�k 0�6)�� (c ' 5# '� ���J� 5+ �8)*+

�� ]�Y�� �)��> 7'��% '�6� �f�? ��> b�J� ' [ ���kb�J� $� �)�'f+ �f�? ��{ ��>

Page 9: انتقال حرارت

~

�� G�+.(��)�9� b�3� 7'��% 0�6)�� C�H�?�+ 5# =�� '��$�� �$c ��>.> �3> ���� �>$�� R���

R���L =��> ���H ��'� ��� 7���& 5+ =*��� �G�+ .�=�V 5�+�' ' �B�� ), ( ��@� R�+

� 1��f?� =�& ' 5# =��K 7�l)x�� 1>�# �� '�6� �� (�� ��� �8� 7'�� 5+ [+��x

T

�9� =�� �B\ $� �)�D3#q�� 5��J� =�� ��.

72;.�'�3� $� 7'��% 0�6)��

(� )M�� �&'�M ��>'�3� ' 7'��% 0�6)�� 0��� 5� & $� �> �+'�# ' ���V# � 03 @� ��>

�� =��> G�+ . '�3� �&'�M '�& ��� � A� b���G ' ��# Z�? V��T1 �'�& ��� �

�&'�MT2G�+ .

72< .5�F �D �'�3� $� 7'��% 0�6)��

T1�&'�M `�� ��� T2 �&'�M `�� ���

m��

�&c

�$�� �3� �'�#

T1 T2 R1 R2 R3

Page 10: انتقال حرارت

�� �' 5�'3? (3��� =G3� ��$ 7'3l+ (�3�:

)t( tR

Tq

x

Tkq

∆=⇒

∂∂

−=

�� 5k%V� �� 5# 3G 5�G 5)�*��)�9� (���& �+ �' }3? 7'��% 0�6)�� (���& (�3� 5+ 3 � �$��

5# ����� R��q [5)�*��)�9� (���&'�6� �+ k

x∆ � ����)�9� =���6� �+ T∆ ��*��)L UV)M� �+ �'

3 � �$�� 5�G ����)�9� .�� ��G I+��� ��� '�� �� ����� R�� 5+ ���+ [ � ����� (�3�

=G� !�>�3M �G ����� '��:

)-( Ak

x

Ak

x

Ak

x

TT

R

Tq

3

3

2

2

1

1

21

∆+

∆+

∆−

=∆

=∑

[}3? C�+�' ' A0 �� `�� � � 7'��% 3�� 7'��% 0�6)�� =�& �+ G�+.

& %��=� (Convection)

0��� 5# '� 3&� ����$ =?� > �� X��Y+�&)Q��� �� $�� ( �� � =#�% ��& `�� �� '�3& '

5)G� 3&� �� UV)M� ��& '�& � 0��� R�+ � G�+. q3� � �+ 3M X��Y+�& 7'��% 0�6)��

��\�6� �$c � �'�&��� !�* 3G.

X��Y+�& r'�&�(Forced Convection): �3> (���& �+�6� ' !*& 5# ���8�> ) ��� �+

!*& 3M $� �) # �� �)��+ (�� '��� ���. [!*& � 0��� R�+ ��� UV)M� � �3> (���& �d� '

�� 7'3\ 0��� � !*& R�+ 7'��% 0�6)�� ���.��% 0�6)�� [7'��% 0�6)�� q3� R�� 5+ X��Y+�& 7'

5)B� �'�&� �� 3G . ��G ' -5�3 � � � (��� �'�&� 7'��% 0�6)�� $� �� 5# =�� �G��L ��>

=�> ���� Heat Sink������)�9� C���� �� R? b�3� �G �Y�� ��3> (���& �d� ' )5��L (

��L ��M �3> (���& Z�@� ' ��> �� �'�# �3G.

72>.��)�9� ]$�39 ( �# ��M R? $� � �B)�� �+ ����)�'�&� X��Y+�& $� �9���(

Page 11: انتقال حرارت

X��Y+�& �$c�� X@�^ (Natural or Free Convection) : ' !*& U��^� 0��� 5# ���8�>

�G '���G U��^� b�J� 0��� �+ 3M ��� UV)M� �d�) ]�� ]�*&� ' � R���L 5+ �� ]�*&� '

F�+ = � 5+ (�� c =?� > 7'��% 0�6)�� �' ��� �� 7'3\ �@�^ �� �$ . ��G ' /5�3 � ��

�G � � (��� �@�^ 7'��% 0�6)��$� �' ���+ �'�K+ $� � �B)�� �+ 0f�� ��3> 1����� 5# =��

�� (��� > .

72?. 5���3+ �3> 1����� 3� ���+ �'�K+ ��) �$c X��Y+�& $� �9���(

$� �9��� (�3�� 5+��� X��Y+�& ���V# �A�* �3� �+��+ ' =K� �'�3� ��' $� X��Y+�& 0�6)�� 5+ (

�# �'�G� �3> =M�3��� (���&

Page 12: انتقال حرارت

72@ .7'��% 0�6)��X��Y+�&

∗ �� =��> [N�' R��' 7'��% 0�6)�� ���| q��G Conduction ��*D �f9 0��� ���$ [=��

Z�? R#�� �'�3� 5+�� 5+ �� f� ���M R#�� 0��� ' ��& �'�& $� 7'��% 0�6)�� � 3G

�� �6)�� =��> 7'3l+ �'�3� 3G.

�� �'�3� 5+ �� f� R#�� C�F ���+ R���+��+ =G3� (�3�:

)/( 0=∂

∂−= y

y

Tkq

X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ' R�3�� 1����� (3����� a��@� ��$ C�+�' 7'3l+ 3G:

)�( ( )∞−= TThAq wall

( )∞−= TThAq w

( �# ��Lh) X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H (� ��\� U�>� $� ��� � =�� ����J 0�6)�� h

�� ���H R�� ( '�c =�+ X��Y+�& 7'��% G�+ .0�6)�� ��L ���f�? ��'�+X��Y+�& 7'��% 5+

�� ]�Y�� �$�� C�F C�H�? � # ���G �>�3M ��Gc (c �+ !Y�L �l? ' 5# .

∞U�∞T

∞T

∞U

wT

���H 0��� X�'��% =��>

=��

X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H]W/m2K[

7'��% 0 �� `��]m2[

Page 13: انتقال حرارت

& A"�5(Radiation)

$� � �B)�� �+ ]�*&� C >3���� �*�^��P���)�9� R�3�# �B\ $� �)��+ ��� ' Q^�� ����� 3M $�

�� ��# . 7'��% 0�6)�� ����� 0�6)�� q3� R�� 5+ 1+���� 5)B� X��Y+�& 3G . 7'��% 0�6)�� =� >�

`�� ��� 5+ ��+�� '� �8)*+ !*& `�� q3� � !*& . R��' 5A�'� 1+���+ r� 5�6� ��f&

=�� �G. 5# ���� !*& � ���+ !>�+ b6? �� �'� ��'��% 0 �� =G3� (�3�:

)�( 43421)()( 21

42

41 TTAhTTAq rrad −=−= σ

}3? C�+�'[ (�B)�� (3���–R�f)93+ 5�+�' R�� ' '� ]�� σ (�B)�� =+�d �� R�f)93+ � G�+

�+��+ (c '�6�10-8W/m2K4*5.6677�� [G�+ hr 5�G r��+( �|�+ 7���J� 03��? ��>

7'��% 0�6)��G�+ X�M XH��' �k� $� 7���J� �� 3G X� a��@� =��> � XA�Y+�& . �l? '

' ���� ��{ ]�*&� 7'��% 0�6)�� 5��J� ���+ $��� '3� b+��' � ���� !*& 1+�� 5A�'� ��# =9�%

�G =��.

Page 14: انتقال حرارت

�� ��� : ! "��# ��� ��� ��

Conduction Heat Transfer

�+ (��3Y��� ( �# ��Gc �H�% �l? ��\� U>N�' 0�6)�� �+ !#�% 7F �@� ( '�c =�+ ��>

�� �@+ �� � �� '��*+ b���G ' 7F �@� R�� �% � 7'��% G�+.

$� 7'��% 0�6)�� �+ !#�% 7F �@��� 5)G3� ��$ 7'3l+ R�f�'�# 7�l)K� ' =��> I��^ �3G:

),( t

Tc

k

q

z

T

y

T

x

T

∂∂

=+∂

∂+

∂+

∂ρ

&2

2

2

2

2

2

59 �@� ),( X�M =9�% ' % '� X���J� �) $� � �B)�� �+�>��P)� r$���& N�'( �l? ' 5#

=?�� >�3M '��� hJ+ '3� ]3� . 3&3� f�� ��8� ����J� ���G�' 7F �@� R�� �% ���+ 5)9�

�� �'� ' 5# G�+ � ��>J�� '��� hJ+ '3� ��� �� 7V�l N�' R�� 5� & $� ���� �� �> (�3�

3 � �'�G� ��$ '�3� 5+:

< ���> � Duhamel

< R��� Q+�� Green’s Function

< �gVLF �� Laplace Transform

< 0��8)�� ��� Integral Transform

7�l)K� ' X�� 59 �@� ), (�� 5)G3� ��$ ��G 5+ 3G:

)t( t

T

k

c

kqT

rr

T

rr

T

∂∂

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ ρθ

&2

2

22

2 11

����� /���B Fourier’s Law

�� (�� ��� �+ !�6)*� ����� b�J� �� ' =��> ��'��% '�G (3��� R�� I+���� `�� 0 ��

��'��%) 7'��% 0 �� `�� �3� � ' �� (�� ���x

T

∂∂ ( '� :

)-(

∂=⇒

mK

Wk

x

TkAq

Ax

Tqα

Page 15: انتقال حرارت

728.=+�d 7'��% 0�6)�� ���H �+ �@+ �� b�J� �� ' 7'��% 0�6)��

59 �@� ����� 5�$�3� �\� $� � �B)�� �+), (=9�% ' �' �� =�+ � �� ��> !�'�c.

& ,=C�� %���� �D������ �3��!� �!" E�

)/( dxx

qqqqq x

xxdxxx ∂

∂+=⇒= +

Q�6� `�� ( 3+ =+�d Z�? �+A=dx.dy

)�( 00)(2

2

=∂

∂⇒=

∂−

∂⇒

x

Tk

x

TkA

x) - ( �)/(

( 3+ =+�d Z�? �+k C�+�' $� ���89��8)�� �+ )�:(

)�( 1Cx

T=

)�( 21 CxCT +=

�� 5k%V� & ' �@+ �� ��� Q�$3� G�+ =+�d ��'��% =��> ���H ��� 5# 3G !*

3+ >�3M ��M.

& �3��!� �D������ %����,=C�� F�!" ��

q

k=constant

Page 16: انتقال حرارت

p�

dy

y

qqdx

x

qqqq

qqqq

y

y

x

xyx

dyydxxyx

∂++

∂+=+

+=+ ++

).( 0=∂

∂+

∂⇒ y

yx qy

qdx

x

q

$� � �B)�� �+)- :(

)�( y

TkAqA

x

Tkq yyxx ∂

∂−=

∂−= ,

=G� !�>�3M:

),y( yx AdxdyA =××= 1,1

( �# R����& �+)-([) .( � ),y (=G� !�>�3M:

),,( 0)()( =∂

∂−

∂+

∂−

∂dydx

y

Tk

ydxdy

x

Tk

x

��'��% =��> ���H ( 3+ =+�d Z�? �+:

),t( 02

2

2

2

=∂

∂+

∂⇒

y

T

x

T

& " G� %���� �D������ �3��!�!,5���� �=�$ �" F�

),-(

dxdyx

Tk

xdxdyq

dxx

qqdxdyqq

qdxdyqq

x

xx

dxxx

)(

1)(

∂−

∂=′′

∂+=′′+

=×′′+ +

&

&

&

Page 17: انتقال حرارت

pp

=G� !�>�3M =��> 7'��% 0�6)�� ���H ( 3+ =+�d Z�? �+:

),/( 02

2

=′′+∂

∂k

q

x

T &

& F�!" G� %���� �D������ �3��!�/��H H� ,!"�5 � ,5���� I=�$ �"

),�( (� 9� !Y% =∂∂

+=+ )1(dxdyوt

Tcdxdyqdxdyqq xx ρρ&

),�( t

Tcdxdydx

qqdxdyqq

x

xxx ∂

∂+

∂+=+ ρ&

),�( t

Tcdxdydydx

x

Tk

xdxdyq

∂+

∂−

∂= ρ)(&

),.( t

T

k

ckq

x

T

∂∂

=+∂∂ ρ

/2

2

&

ρ � �3lK� ]�& C=�� !*& �j�� r���� .

+a��@� �c

k

ρα = ��'��% 1KL ���H Thermal Diffusion�� =G3� (�3�:

),�( t

Tkq

x

T

∂=+

α1

/2

2

&

�J�& ��| ]3�@�'�3� (G �� �� =�� (G ]�� 0�% ' ��$ :

ot

T

t

Tc

x

Tp >

∂∂

⇒∂∂

=∂

∂ρ

2

2

Page 18: انتقال حرارت

pw

=�� (G ]�� 0�% ' iL.

∗� Q�$3� �'�3� ' �' � �' ��$ ��G ' �G � � (����+��+

212

1

2

2

2

2

2

)(

)(

00

CxCxk

qT

Ck

xq

x

T

xkkوk

q

x

T

t

TStateSteady

kq

x

T

++−

=

∗+−

=∂∂

≠−

=∂

=∂∂

⇒=+∂

&

&

&

&

[ ] w

w

www

x

TLxk

qT

Tk

qLxx

k

qT

Lk

qTCCL

k

qTTTLx

Cx

T���رناز

+−−

=⇒

+++−

=⇒

+=⇒+−

=⇒=⇒−=

=⇒=∂∂

=

22

222

222

2

10

2

22

22

00

&

&

&&

<!�+��+ �' �> �'�3� R�� $� 7'��% 0�6)�� !�>�3M X� :

, .)�� N�' $� � 5��J� (�+X9F b���G (3D =B� (�3� X� ���L =�� �# �93� 7'��%

��+ �G��# '3�+ �R���+��+ 3G �'�M:

43421&& 12 ×××= WLqQout

%�� ' ���� !Y%

!YJ Y%

!Y%

Page 19: انتقال حرارت

p~

t .59 �@� ��' $�)(∗ %�� r�$� 5+ ���L X� =G3� (�3� :

=��' C9 r��+x

TL

k

q

∂=+

−)(

&

nD C9 r��+x

TL

k

qL

k

q

∂∂

==−− &&

)(

nD = � 59 $�)()( LTfLk

qR

x

Tkq Lx

&& =

−=

∂−= −=

=��' C9 $�LqLR

qh

x

TRq Lx

&&

+=

−−=

∂−= =

LqqqQoot&2+=+=

∗ 5| 3G 5&3�q r@+ �D =9�%' r'� �+ =�� 3G X� a��@� ��$ 7'3\ 5+ 5| .

n

Tkq

jy

Tki

x

TkTkq

∂−=

∂−

∂−=∇−=

→ rrr

r@+� '�3� r��+ �� > �3�M �@+ �� =��> ' :

nD=��'

n=�� `�� �+ 3 � %�� '� �+

Page 20: انتقال حرارت

p�

.

72 =K� �'�3� ��' �+ �� > �3�M )59 �$�3� �3�M �� �� > �3�M �> �G�+(

��' ��� !�> �3��M (�� > ��*��)L �3�M � �| 5��� ��*��)L 5+ (�3� X� �' �� Q���' � ��Y

X� �G�+� > �3�M�+ X�'��% '�G �3�M � �)*> 3 � � .

��@� �@+ �� =��>=��> �� 3�&� 7�l�)K� 7���& $� Xs�' ���lJ�� �� ���P� �� (�� ���

G�+ 5)G� .

<

)t,( 0

00

≠∂∂

=∂∂

=∂∂

x

T

z

T

y

T

�J��� 03^ 5+ r� 5939:

Page 21: انتقال حرارت

p�

)tt( )(0

00

θ

θ

fqr

T

z

TT

≠≠∂

=∂

∂=

�� > �3�M !> r� ���� �)*> 5939 f|�� .

&F������� %�H�K��L �� ��M �+$ Composite Walls

�'�3� � � ' i�& �+ C�F �D $� F3 @� 3&3� ��> �G ����� a�)K� ��> ���) �' ���G

���+ .(�'�3� R�� $� 7'��% 0�6)�� 5+ �3+�� 7���J� 5+ 1K+ R�� ' �� �> !�$� �L.

725�F �D �'�3� $� 7'��% 0�6)��

)t-( 1

21 _

x

TTkAq

∆=

Page 22: انتقال حرارت

p�

)t/( Ak

xqTT

x

TTAkq

x

TTkAq

i

i

ii

11

3

43

2

32

5

∆=−

−=

−=

+

� X A� b���G ' Steady ⇐=== 321 qqqq

)t�( Ak

x

Ak

x

Ak

x

TTq

3

3

2

2

1

1

41

∆+

∆+

∆−

=⇒

& �3�3 H� ,N�!2 ����� �������

5939 03^ 5+ ��lq�@G � �&'�M � ��M� ri, ro R)G3� �+ ���8+ �k�' 5�'3? (3��� 7F �@�

7'��% 0�6)��5��3)�� 7�l)K� ' =G� !�>�3M ��:

)t�( r

TkAq

∂−=

)t�( r

dr

lk

qdT

r

Trlkq

ππ

22 =−⇒

∂−=

)t.(

lkr

r

TTq

r

r

lkq

TT

i

o

oi

i

ooi

π

π

2

ln

ln2

−=⇒

=−

)t�( R

Tq

∆=

)-y( lk

r

rn

R i

o

π2

1

=

�� ����� R� > 5+ 5939 ���+ (�3� =G3� �)�$3E��# ��>:

)-,( ...

2

ln

2

ln

2

2

3

1

1

2

++

∆=

lk

rr

lk

rr

Tq

ππ

Page 23: انتقال حرارت

p�

& ,��=N ����� ����� O��P Overall Heat Transfer Coefficient

72=K� �'�3� �� $� 7'��% 0�6)��

� A� 7'��% 0�6)�� b���G ' :

)-t(

−=

−=

−=

−=

)(

)(

)(

)(

2324

3

3223

1

2112

1111

TTAhq

x

TTAkq

x

TTAkq

TTAhq

)--( 4321 qqqq ===

$�)-t ( �)-- (�� 5Y�)� 5# 3G:

)-/( AhAhAk

x

Ak

x

TTq

212

2

1

1

21

11

)(

++∆

+∆

−= ∞∞

)-�(

+∆

+∆

+=⇒∆=

km

W

hk

x

k

x

h

UtUAqo2

22

2

1

1

1

111

}3? 7'�� ' U�� ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H G�+.

& ���� O��P,N�!2 )�D�� F��" ,��=N ����� �

�� ����� Q^�6� ���+ ��# 7'��% 0�6)�� ���H C��J� 5+ 1K+ R�� ' !�$� ��L. 5�939 ��

�� (c (���+ b�J� � '� (���& 0��� (c �M� ' 5# ' �G 5^�%� ��8� 0��� b�3� f

�� �k� !����.

Page 24: انتقال حرارت

p�

725��3)�� 5939 �� 7'��% 0�6)�� ��

ho 7'��% 0�6)�� ���H R|�� r�3> � 5��3)�� U��^� b�J� hi X���Y+�& 7'���% 0��6)�� ����H

�� 5939 (�' 0��� G�+.

)-�(

2

1

1

2

2

2

1

2

)ln(1

lrA

lrA

Ahlk

r

r

Ah

TTq

o

i

ooii

oi

π

π

π

=

=

++

−=

a��@� �+

)-�( TAUq oo ∆=

5)G3� ��$ 7'3\ 5+ X&'�M `�� �*%�+ X�3 � 7'��% 0�6)�� ���H �� 3G:

)-.(

o

o

ii

o

o

hlk

r

rA

Ah

A

U

1

2

ln

1

1

2

++

=

π

a��@� �+

)-�( TAUq ii ∆=

�� 5)G3� ��$ 7'3l+ ��M� `�� ��3 � 7'��% 0�6)�� ���H 3G:

)/y(

oo

ii

i

i

Ah

A

lk

rr

A

h

U

++

=

π2

ln

1

1

2

��Q� 5�F � g� � '�& ' ��c �+?��� b���G Z� �=�� =+�d �� (�� ��� 0c

)/,(

)(2121

21

22

11

∗∗

∂≠

∂→

=∂

∂−=

∂−=

x

T

x

T

kk

qq

x

TAkq

x

TAkq

Page 25: انتقال حرارت

p�

∗��WL I)�� X9� '� 3&� g� � r�> 5�6� ' X8)�3�L 5| 3G 5&3�r 5+ '�� 3&�

5�+�' ��9 )(∗∗=�� ��c F�+ ' 5| .

& R��N ,���S" %��TPCritical Thickness of Insulation

X�M� �'�& r�� Ti r�� �+ b�J� Z�@� ' 5939 R�� � ∞T (c XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H �

hG�+ X� . I��� =��KH �+�6� ' �f�? C939 '�& ��'��% =���6� $�(ro-ri)�� ��� U�\ !��#.

)/t(

lrhlk

r

r

TTq

o

i

o

i

)2(

1

2

ln

ππ+

−= ∞

)/-( 2

2

2 )(

11)(

ج��

hrkrTT

dr

dq oo

i

−−

=∞

)//( �B\ I)�� C�6� R���+��+U�@� 0�6)�� =�� ! �f|�� 7'��% ⇒<∂

∂=⇒ 0

2

2

8

or

q

h

kr

)/�( ↑↑⇒ qA

72����J+ q�@G �*% �+ 7'��% 0�6)��

& ��5 ������� �� ����� �����,5���� �=�$ �"�40��

�D �+ �L3� 5��3)�� �� ��G I+��� ��M� ��'��% 5q&���8+ �k� '

)/�( )(rTT =

)/�( 01

2

2

=+∂∂

+∂∂

kq

r

T

rr

T &

)/.( 1

2

2

1C

k

qr

r

Tr

kq

r

Tr

rr+

−=

∂⇒−=

∂⇒ &

)/�( 21

2

ln4

CrCk

rqT ++

−=⇒

&

Page 26: انتقال حرارت

w�

72��M� ��'��% 5 �D �+ �L3� 5��3)��

)�y( ( )

−=−⇒=

==

=22

04

0

)(

rRk

qTT

dr

dT

TRrT

wr

w

&

��Q� : ��ch � k��� 5��J� �+��

k :����$c r�> N�' �+ � G�+ X� � �� ��3M �f&X>�8 '�c =�+ �' (c (�3� X� �J� . 5)9�

k ]$F � �| X� ���P� �� �+ 5)G� �' �� �*%�+ ��3M 0��& 5| =��!�G�+ . R��� >k '

]�*&� ��&G�+ X� f�� X9�)*��| 5sG � (�s� $� X@+�� .

:h8)*+ ' 5+ X� 5+��� R��� > � '� 0��� i�& [(���& 5��> [(���& !� R�+ �389� ���H

XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � ��s�\� 3&� '� .

�� U��D( V�W� �� ����� �������� Extended Surfaces

��L $� 7'��% 0�6)�� X�'�+ 5)?�� N�)*� O3�� $� '3k�� �>FinG�+ X� .��L f?� ���+ �> 1��

0� ' 5� & $� a�)K� Q���\ ' [`�� �� $� 7'��% 0�6)�� ��M ' ��'��% ��> ]$�39 �'�#

�� '��� � �B)�� '3� �8� ��> �+'�# �'��*+ � ������)�9� ����. ��> �+'�# $� � �@� ��G '

��L � � (��� a�)K� Q���\ ' �> �G =��.� �� $� � �B)�� �+ 1K+ R�� ' �$�� �> 5+ �\�M �

��L R�� $� 7'��% 0�6)�� ��'�+ � � (��� �> �G =��.

Page 27: انتقال حرارت

wp

72��L q3�)� ��> �+'�# �>

03^ �+ ��L =���� X+ C��' ��� �+ oT. b��J� ���� ' 5�# ∞T '� '���� � R)?��� ��k� ' ��+

∞−= TToθ � ∞−= TTooθ

Page 28: انتقال حرارت

ww

mx

oe−= θθ

R��N �#��� X�:

Coshml

xlCoshmo

)( −= θθ

R�@� 03^ �+ ��L:

)�,( ��L (����' :X�| =9�% ' ��ش�ر���د��يدر��ه��و��

����وا��qf =η

)�t( ml

tghml

lph

mltghhpkA

o

o

f ==θ

θη

}3? C�+�' ' h [X��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H k [��L ��'��% =��> ���H A � ��L Q�6� `��

p�� ��L Q�6� (3����L G�+.

)�-( A�'�|��L X:hA

pk

hA

hpkA

o

o

f ==θ

θε =���� X+ 03^ �+ ��L r��+

Page 29: انتقال حرارت

w~

�+ b�J� Z�@� ' �' (c � F�+ X�'��% =��> ���H 5| '� ����� XA�'�| X���$ ��Lh '���� !�|

!�> . C�+�' ���f�? ��*B� 5+ (3�#� )�- (�� !�$� �L.

)�/( 1

1R

hA

hAq o

o

===θ

θ ��L (�+ =9�%'

<9�% ' =���6� ��L (�+ =hA

1=�� .

)��( 2

1R

hpkA

hpkAq oo

==θ

θ

��L �+ =9�% ' =���6�R2=�� .

)��( ��آ�را�

R

R

hA

pk

R

R

hpkA

hA

R

R

fε=⇒

==

2

1

2

1

1

2 :

�� Q��� ' �+ ��'��% =���6� 5+ ��L (�+ ��'��% =���6� $� =*�'�� ��L �A�'�# 5# =B� (�3�

�� ��'��% ��L G�+.

�3�� 1����� (3��� R�� �'�c �� �8� '��� �' !��#:

)��( )( ∞−= TThAq ��+ 7'��% 0�6)�� ( �| ��$ r��+h �� A !�> ���P� �'.

N�)*� �� � ���P� r��+A �> R�? $� )�> ��L (!��| X� � �B)��.

0c ��� =9�%' 5��3)�� ��L r��+ r� I��� ���)�� �+=G� !�>�3M :

)�.( )( ∞↓

−= TTAhq

dlπ

}3? 03��? ' d � ��� l�� ��L 03^ G�+.

5&3� :

�+ 0��� U�^ �' R�?h �) | �� 5�@� ��#���D

5��' r�� ���& `��

Page 30: انتقال حرارت

w�

%0��+Y� 6W�� �" F�� X� F��" ,P��� Z"���

7��H�? :

< (�� ��� =�& ' b6? �� x !�'� ) =��KHt=�� �$�� (

< h=�� =M�3�s� � =+�d .

�� C�$�3�r��

Page 31: انتقال حرارت

w�

0)

1(

)(

0)(

)(

))(22()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=−∂

=−

=

−−∂

=−−∂

−+∂

∂−

∂−=

∂−

−+++−=∂

∂−

+=

+

θθ

θ

mx

TT

mKA

hpm

TTKA

hp

x

T

TThpx

TkA

TThpdxdxx

TkA

x

TkA

x

TkA

TTtdxzdxhdxdx

Td

dx

dTkzt

x

Tkzt

qqq

وا �

convdxxx

0�� r$�� b���G:

ooo TTTT

x

θθ =−=⇒=

=

0

]� r$�� b���G:

a9� ( ��L 03^G�+ ��+ .

;�3&

o

mx

o

hpkAq

e

TT

x

θ

θθ

θ

=

=

=⇒=

∞→

∞ 0

; (I��� ��)�� ��L:

)(

cosh

)(cosh

00

mltghhpkAq

ml

xlm

xx

T

lx

o

o

θ

θθ

θ

=

−=

=∂

∂⇒=

=

� (R�@� 03^ �+ ��L:

LxLx

LLx

hdx

dk

TThAx

TkA

Lx

==

∞−

−=⇒

−=∂∂

=

θθ

)( )(

��[�� 6\��� �" X�:

Page 32: انتقال حرارت

w�

�!��| X� � �B)�� ��$ ����� 5+ ��L (����' a��@� $.

I��� ��)�� r��+mL

mltghf

)(=η

Lkzt

tzhL

kA

hpmL

)22( +==

2

3222

LktL

hL

kt

hL

ktz

hzmLtوz ===>>

AreaprofileLtAp ⇒=

2

3

2

3

2

2

LkAp

h

LkAp

htgh

f

5| X����G r��+ 2

1

2

2

1

<<

k

ht + (�3� X� ��8�c [G�+ ���)�� 5�| XA��> R�? (����' 5��J� r��

�$��� 5+ R�? 03^ 5+ }3? 5�+�' ' �)*�� I���2

t���� �G `�Jl� 03^ � �| 5?�H� .

�G `�Jl� 03^5�+�' $�

2

tLLC +=

�� 5��J� [ �� �% X��6� R��D r��M5% =�� .

(����' R���+��+ �'� 7'��% 0 �� f�� ��)�� ' 5| X���)*� r�> R�? r��+ 7'3l�+ X��6� '3�+

3G X� (��+ ��$ .

X�| '3�+:

( ) tLttLA

tL

kAp

h

tL

kAp

htgh

cp

f

=+=

+

+

=

2

2

2

2

2 2

3

η

=�� �G � � (��� X���)*� � X���� ��?��L Q^�6� �+ R�?� (����' �sG ' . X���� R�? '3�

� �+ iE� � =��> ��*���B� 59 �@� �% b�3� =��� ���c =��+ R��? � $��+ a��@� $� � �B)� .

Page 33: انتقال حرارت

w�

�� (3D ��| 5&3�` R�� R���+��+ =�� �B\ X���� R�? r��)�� ' 7'��% 0 �� R�� �V� � �����?

�)*> I��� ��)�� .

72 '� 3 ���L �> $�+ ��>���J� 5939 �>] �[

21

2

3

KAp

hLC

[%]η

21

2

3

KAp

hLC

[%]η

Page 34: انتقال حرارت

w�

72��L (����' � 0��G� �+ �> a�)K]�[

Page 35: انتقال حرارت

w�

�)��'�L �*%�+ f�� X��J� r�> R�? (����' �sG' 2

1

2

3

KAp

hLC=�� �G !�' .

&����� O��P ]��!5 ��� X� V�W� F��" ,��=N �����

)( oi TTUAQ −=

!��| X� a��@� �' '� ��L `�� �| � $�+ �)+�:

�'�&د�%��$ر���د��يدر����ون#"!ازو��#"!ازآ� ار�

ارت � #"!و��#"!ازوا����t =η

Page 36: انتقال حرارت

~�

( )

( )

tooo

iiti

iiiiti

ft

fff

t

Ah

TTQ

ه�ا�(TT

Q

Ah

TTTTAhQ

A

Af

TAh

ThAThAA

η

η

η

ηη

ηη

1

1)(

11

23

212

111

−=

−=

−=−=

−−=

∆+∆−=

!A� =9�% ' :

i

i

ii

toiiti

ootoiiti

oi

A

UAU

TUATAUQ

RAh

UA

*�

hAR

Ah

TTQ

=⇒

∆=∆=

++=

++

−=

ηη

ηη

111

11

ooto

i

iti

i

hA

AR

A

U

ηη++

=⇒1

1

Page 37: انتقال حرارت

~p

& ,4L X�H�" ]��!5^�=5 %����� ]���( �_��� �" `W�

TAh

ThAThAA fff

t ∆

′∆+∆−=

ηη

)(

c

cff

AR

TThATT

′−=−′ ∞ η)(

}3? C�+�' ' Rc � g� � =���6� Ac�� ��L Q�6� `�� �� 5��' `�� G�+.

ffc

c

ff hA

TT

A

R

hA

TT

ηη11

∞∞ −′=

+

Ac

Rc

hA

hATT

TT

ff

ff

+

=−′∞

η

η1

1)(

TAh

A

R

hA

hAThA

ThAA

c

c

ff

ff

ff

f

t ∆

+

+∆−

ηη

η

1

1

)(

ThA

A

R

hA

TThATAh

c

c

ff

f

t ∆

+∆+∆−∆

η

11

+−−=

+−−=

44344211

111

111

C

c

cff

ff

c

cf

f

t

A

RhA

A

A

A

hAfRA

Af

η

η

η

ηη

−−=⇒

1

11CA

A ff

t

ηη

Page 38: انتقال حرارت

~w

C�D�

,. =��KH 5+ r'�3� U�^ ��7.5cm� =J� �8� U�^ $� � =�� I��� 5+ b�J� �� ��d�

r�� 930CXA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � Cm

wo2

570 �93� '�3� �M� ' ����> =��

(�f�� 5+ 7'��%3

35.0m

Mw'�3� ��|�% r�� =*+3��� !�G�+ 5)G� k=21.

0

570

93

2

2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

=

=∞

kq

y

T

x

T

Cm

Wh

CT

o

o

&

�$�� b���G

−=∂

∂−

=∂

∞= )(

0

5.7 TThAx

TK

x

T

cmxA

CTCxk

qTا�-ا,��لزيش�

CxCxk

qT

o

o

o 1861862

2

2

212

=⇒+−

=⇒

++−=⇒

&

&

t. 5JB\ ���=��KH �+ X*″

81 03^ � 2ftXH�� � 1ft r�3> Z�@� ' 80oF '� '��� .

�| X� '3M�+ 5JB\ 5+ 5| �G'3M X�+�� r���� �| ���hr

Btu400 0�6)�� ���H � G�+

����� 5+ R�A�L � F�+ $� XA�Y+�& 7'��%3,4 Ffthr

Btu

°2 0 �@� r�� =*+3��� [G�+

5JB\.

Page 39: انتقال حرارت

~~

5)��3M:5JB\ 0 �@� r��

5.108

)80)(12(3)80()12(4400

)80()80(

0

21

21

=⇒

−×+−××=

−+−=⇒

=++

∞T

TT

TAhTAhq

qqq

rad

rad

&

-. '3�3� �� }��)%� }��� X�M� '�&2

50000fthr

Btu r�� ' �>$�� $� X�+�� r���� 5000oF

'�3� � $�� R�� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � �| X� =?��' Ffthr

Btu

°220G�+ X� .

X�M� '�3� r�� ���1000oF7'��% 0�6)�� ����? R�� 0 �@� =���6� =*+3��� G�+ .

Page 40: انتقال حرارت

~�

)10005000)((

111

1

)10005000)((

)10005000(50000

)10005000(50000

21

21

−+=

+=

+=

+=⇒

=−+

−=

=−+

rc

cr

cr

cr

cr

r

q

hhQ

hh

hh

hh

RR

RRR

qAhAh

h

qhAA

rad48476

/. r�� ' r F3? �'f+ 5JB\ � 200oF � 160oF 5+ r F3? r� 5��� C���3+ �8�s� $�

���1′′ 03^ � 1 ft�� �G �& . b�3� 7�JB\ R�+ r��? =�� �G N3& 5JB\ � �> 5+ 5���

=�� �G�L I��� . f�� �' 5��� X��& `�� I��� =�� �G�L I��� b�3� 7�JB\ R�+ r��?

(���& � �G �Y�� 5��� ' Xs��)s9� (���& [5JB\ � R�+ ��)9� UV)M� =�� 5+ =�� ���G3L

Xs��)s9�hr

Btu40

�| X� a�� 7'��% . r��)�� � ' X�'��% '�G R��� > � 5��� ��|�% r��

��| 5��J� �' 5��� .

;. ��� 5+ ��+ C��� �� X�'��% =��> R��@� =�&1′′ �8� C �� � r� �'3| �M� ' ���c $� X ��

r�3> Z�@� ' �'80oF �> X� '��� . C�\�? 5+ 5�6� � ' X A� b���G �Y�� $� iL3 ′′ 5+ ��

�������258oF � 196oF 3��G X��� .XA���Y+�& 7'����% 0���6)�� �����H �����Fhft

Btuo24 [��G�+

+ X��M 03^ �+ ��L 5��� X�'��% =��> ���H 5��J� =*+3���.

<.X*� 5��� �� r��)�� � C��� 5+ �sG1′′=�� �l)� X A�� '�3� 5+ . '�3� r�� 200oF � 3+

C��� � �)*� 03^ �C �sG 2ft =�� . b�J� r�3> r�� 100oF 7'��% 0�6)�� ���H ��� =��

XA�Y+�&Fhrft

Btuo2

6 � R��@� =*+3��� G�+ X���� 5�6� r�)b�� ( R���$� 7'���% 0��6)�� � 5���

5���.

�. =��KH 5+ `�� 5+ 5JB\ ��L r�� ' b�J� � To,Ti �| X� �& !> $� �' . 0�6)�� ���H

b�J� � R�� r��+ XA�Y+�& ' 7'��%ho,hi G�+ X� . ���| Z�?Ti $� ��)�'f+ To �G�+ . X��

r�� ' 5| X��J� �+ 5JB\ R�� !�>�3MTi � ��s� 5�9 �� X��'��% =�� . I����+ '3�k�� R��+

Xs��)s9�q&=*+3��� !��| X� �93� 5JB\ ' =M�3�s� '3�+ r���� q&.

=�� ( 3+ r$�3� r��@� 5+

Page 41: انتقال حرارت

~�

a.G�+ X� ��$ Q+�� 7'3\ 5+ X *& ' �� Q�$3� (��$ $� r� 5kJ9 ' :

yzxyzyxzyxT 22),,( 222 +−+−= �d !*& X�'��% ��3M��� ' ���| R���@� G�+ 5)G�� 3&� f�� X�'��% 5 �D � 3G Z�? =+

�| >�3M ���P� (��$�+ �� X%�3� ]�| .

Page 42: انتقال حرارت

~�

��$ ��� :%�&�� ��� ��� ��

2-D Conduction Heat Transfer

N�' ��'�+ 5+ �l? R�� 5)?�� ��l)M� �@+ � 7'��% 0�6)�� �A�*� �% ���+ 3&3� ��> =�� .

k�� R�� ���+ �>��P)� �$���& N�' �)+� '3)N�' $� 0��)� ����J� ��> (�G 5A�'� $� iL =��

N�' 5+ (c 5)M� �L �)��> 7'��% 0�6)�� �A�*� �% ���+ 3&3� � � ��> �G =�� . 5+ ]$F

N�' 5# =�� �'�c �� 5�6� ���� hJ� R�� ' �G 5A�'� ��> ����J� � � � ���G�' �+ ��

�� �� � �G�+�'� ' ���B� 5+ h%�� R ��� �� 7V�lJ� ��>1���� 5A�'� ����� ���

�� �3G.

b3�&U�� �4�4S5 ��)U������[�� H����- (

N�' (��� $� hJ� R�� ' G �'�G� f�� �)��L 5# 5����� > �% ���+ a�)K� ����J� ��>

�P)� �$���& N�' �#� 5+ ���� �)��> 7'��% 0�6)�� 7F �@� 3 � !�>�3M �B)#� �>�.

�'�L C9 �@� ���8+ �k� ' �' ��$ ]� 5��� ��:

),( 0)()()()()()( 322

2

1322

2

1 =+∂∂

+∂

∂++

∂∂

+∂

∂Tyb

y

Tyb

y

TybTxa

x

Txa

x

Txa

���a, b Q+�� �> T=*�� �% �+�� �>��P)� �$���& N�' �+ � � 3+ ��M ��{ C9 �@� ��8�c �G�+ .

=G3� ��$ 7'3l+ �' }3? 59 �@� ;�3& (�3)+ ��# Z�?:

)t( )()(),( yYxXyxT =

=G� !�>�3M �G � � 59 �@� ' }3? ;�3& �'�W8��& �+:

)-( 2

322

2

1322

2

1

1)()()(

1)()()( λ±=

+++

++

YYyb

dy

dYyb

dy

Ydyb

XXxa

dx

dXxa

dx

Xdxa

)/( [ ] 0)()()( 2322

2

1 =±++ Xxadx

dXxa

dx

Xdxa λ

)�( [ ] 0)()()( 2322

2

1 =++ Yybdy

dYyb

dy

Ydyb λm

�� ���8�> � �B)�� �@+� 7'��% 0�6)�� �A�*� ����J� �% ���+ �>��P)� �$���& N�' $� (�3�

��$ b���G 5# 3 ��G�+ '����+ :

,< �# �& R8 > �$�� b���G �+ R8 > 59 �@� �� C���3+ (�3)+ �' 5��*� 7��& $� ���.

t< R8 > �$�� ��G �� �+ R8 > ��*���B� C9 �@� �� b�3� (�3)+ �' 5��*� �8� =�&

� 1�� � R8 >��{ �$�� ��G �� �.

Page 43: انتقال حرارت

~�

5&3� : =�V�2λ 3G ;�K)�� ��+ �'3^ �$�� ��*���B� C9 �@� �� )Boundary-Value (

5lK�� '�6� C9 �@� 5+ �Y�� R8 > =�&)Characteristic Value ( ��.

�'�c ��, :;�3& 5# =�� 5lK�� '�6� ����$ �$�� '�6� 5��*� �� �G�+ �� 3��L (c ��> .

(��3� 5��� �� �> �G�+ ���P)� �� =+�d ���3�.

�'�c ��t : 5��*� ��;�3& 5lK�� '�6� $� ��� $� �lJ�� �� �6� ���+ b6? ���+ ��{ ��>

��>�)��'�Lλ ]��+ Eigen Value '� .

5lK�� '�6� 5��*�)Characteristic Value ( ]� C��� ��*���B� C9 �@� �� ���G ��$

���8+ �k� ' �' R8 >.

)�( [ ] 0)()()( 32

212

2

=+++ uxfxfdx

duxf

dx

udλ

�@� 59 �@� }3? 59 Sturm-Liouville '� ]�� .$�� b���G ��# Z�? R��� > 5��*� R�� �

G�+ R8 > . 59 �@�)� ( '3)#�? $� � �B)�� �+)(1

xpedxf

=∫�� 5)G3� ��$ 7'3l+ 3G:

)�( [ ] 0)()()( 2 =++

uxwxq

dx

duxp

dx

5��'3�+

).( pfxw

pfxq

3

2

)(

)(

=

=

��# Z�?nλ �

mλ�G�+ }3? 5��*� a�)K� 5lK�� '�6� � .�� Q+�3� 5# !�> (��� !�>�3M

5lK��)Characteristic function (nϕ � mϕ5+ �3+�� nλ � mλ )*> ��@)� b���G � �

!��� � ��L �' ��@�.

!�'� (3D

)�( �)(

)(

xu

xu

n

m

ϕ

ϕ

=

=

;�3& 5# 59 �@� ���+ ��{ ��>)� (�� R���+��+ �)*> !�*�3�:

' ;�Hnϕ [ ] 0)()( 2 =++

mm

m wxqdx

dxp

dx

dϕλ

ϕ

' ;�Hmϕ− [ ] 0)()( 2 =++

nn

n wxqdx

dxp

dx

dϕλ

ϕ

� � Q & �+=G� !�>�3M }3? 7'�:

),y( [ ] 0)()( 22 =+

w

dx

dxp

dx

d

dx

dxp

dx

dnmmn

n

m

m

n ϕϕλλϕ

ϕϕ

ϕ

��:

),,( [ ] ∫∫

=−

b

a

n

m

m

n

b

a

nmmndx

dxp

dx

d

dx

dxp

dx

ddxw

ϕϕ

ϕϕϕϕλλ )()(22

�f& 5+ �f& ���89��8)�� �+:

Page 44: انتقال حرارت

~�

),t( [ ]b

a

n

m

m

n

b

a

nmmndx

dxp

dx

d

dx

dxp

dx

ddxw

=− ∫

ϕϕ

ϕϕϕϕλλ )()(22

Q+�3� �W9nϕ �

mϕ�G�+ '����+ ��$ b���G ����> �)*> ��@)� :

),-( 0)()( == buau

��

),/( ,0,0 ==== bxax dx

du

dx

du

��

),�( 0,0 =

+=

+== bxax

uBdx

duuB

dx

du

d� C�+�' 7�),�(�� ��$ 7'3l+ G�+:

),�( ( ) ( )nnmmmn

nmnmmnnmmn

BB

B

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

+′−+′=

′±′−′=′−′

5)G� ��� 5# 3G 5&3� !�G�+0)( =xϕ ' x=a �� x=b 59 �@� =��' = � 7'3l��� ' ),t (

� UW%� 3+ >�3K� ��@� ��G I6J� =�& �$�� b���G 5+ �$��� � 3G.

5&3� : ���p(a)=p(b) � u(a)=u(b) � )()( buau ′=′�� �H'� ��@� ��G ��8�c 3G . R�� 5+

=9�%�� �� 3��L �$�� ��G ��3�.

D"���!�� 6"��5 �� OD� �" 6"��5 Z

��# Z�?)(xnϕ Y� 5�3 ��$� Q+�� 5+ =*� ��@)� Q+�3� $� ��w(x) 5�\�? ' (a,b)G�+ .

�� ��8�c =G3� (�3�:

),�( ∑∞

=

=+++=0

221100 )(...)()()()(n

nn xbxbxbxbxf ϕϕϕϕ

5��J� ���+bm ' �' }3? 5�+�' R�?�^ )()( xxw mϕ 5�\�? ' � ;�H a �� b�� 0��8)�� !����:

),.( ∑ ∫∫∞

=

=0

)()()()()()(n

b

a

nmn

b

a

m dxxxxwbdxxxfxw ϕϕϕ

��:

),�( dxxxw

dxxxfxw

bb

a

n

b

a

m

n

∫=

)()(

)()()(

ϕ

0��� :�+ 03^ �+ �@+� ��L �� =��KH 5+ =����l���8+ �k� ' . ��L C��L ��� f(y)�� � G�+

b�J� ��� ∞T��H � =�� �7'��% 0�6)�� '��*+ �� �'f+ G�+ .�+��+ �' ��L ����L =9�% ��� .

Page 45: انتقال حرارت

~�

=�� R8 > !#�% 59 �@� G �9� �)*�� R8 > �$�� b���

)ty( 02

2

2

2

=∂

∂+

y

T

x

T

)t,(

=

=

=∞

=

TlxT

TxT

TyT

yfyT

),(

)0,(

),(

)(),0(

��# Z�?∞−= TTθ=G� !�>�3M G�+ :

)tt(

0),(

0)0,(

0),(

)(),0(

02

=

=

=∞

−=

=∇

lx

x

y

Tyfy

θ

θ

θ

θ

θ

=�& (3�#�y�� R8 > G�+.

)t-( 2

2

2

2

2 11λθ ±=−=⇒=

dx

Yd

Ydx

Xd

XYX

=�V�2λ3^ ��+ R8 > =�& 5# �� ;�K)�� �'y��+ 5��*� 5lK�� '�6� 5+ . ;�K)��

01 2

2

2

=− Ydx

Yd

YλG >�3M �Y�� �)*�� ��@)� 5# ��93+�E�> Q+�3� 5+ .

)t-(

0)(

0)(

0),()()(

0)0(

0)0,()0()(,01 2

2

2

=∞

=

==

=

===+

X

lY

lxlYxX

Y

xYxXYdx

Yd

Y

θ

θλ

)t/( yByAY λλ sincos += )t�( 00)0( =⇒= AY

)t�( ,...2,1,

00sin0)( ==

≠⇒=⇒=

ml

mB

yBlY πλλ

Page 46: انتقال حرارت

��

)t�( yl

mBY

πsin=

)t.( xxDeCeX

λλ += −

)t�( 00)( =⇒=∞ DX

)-y( xCeX

λ−=

)-,( yBCex λθ λ sin−=

)-t( yl

neAyeA

xl

n

nn

x

nn

πλθ

πλ sinsin

−− ==

!>�+ �\� $� � �B)�� �+ 0�% =G� !�>�3M ���:

)--(

=

=

=

=

=

1

1

sin)(

)(),0(

sin

n

n

n

xl

n

n

yl

nAyf

yfy

yl

neA

π

θ

πθ

π

)-/(

∫∫ ==

l

l

n

l

n

dyyl

n

dyyl

nyf

Adyyl

nyf

lA

0

2

0

0sin

sin)(,sin)(

ππ

)-�( l

yned

l

nyf

l n

l

xnl π

ηπη

θπ

sinsin)(2

10

∑ ∫∞

=

=

��� 0�%).()(),0( 0 valueconstyfy θθ ==

)-�( ( )1cos2

cos2

sin2

0

00 0 −−=−== ∫ ππ

πθ

ππ

θ mm

yl

m

m

l

ldyy

l

m

lA

ll

n

)-�( ...,2,1,01)12(coscos12

02

=∀−=+=⇒+=

=⇒=

kknkn

Akn n

ππ

)-.( 0)12(

π+=

kAn

)-�( ∑∞

=

+− ++

=0

)12(0 )12(

sin)12(

4),(

k

l

xk

l

yke

kyx

ππ

θθ

π

)/y( 0),(),( TyxyxT += θ

0��� :�� 5��*�� � (��� �$�� b���G �+ ��� 0� �% ('�6� ��G $� � �B)�� �+ [��G ' �G

��� �.

Page 47: انتقال حرارت

�p

)/,( dyy

l

n

dyyl

n

Al

l

n

∫+

+

=

0

2

0

0

2

)12(cos

2

)12(cos

π

πθ

)/t( �'�c ��2

2cos1cos2 α

α+

=

)/-(

2

)12(sin

2

1

)12(cos1

2

1

2

)12(cos

0

0

2

0

2

l

l

yny

dyl

yndyy

l

n

l

ll

=

++=

++=

+∫∫

π

ππ

)//( n

ll

n

l

l

n

n

l

l

yn

n

ldyy

l

n

)1()12(

20

2

)12(sin

)12(

2

2

)12(sin

)12(

2

2

)12(cos

00

0

0

0

0

−+

=

−+

+=

+

+=

+∫

πθπ

πθ

ππ

θπθ

)/�( n

nn

A )1()12(

4 0 −+

θ

)/�( l

yne

nyx

n

l

xn

n

2

)12(cos)1(

)12(

4),(

0

2

)12(

0 ππ

θθ

π +−

+=∑

=

+−

c&U�� F��N F��

,( �J� UV)M�Finite Difference : ' � X*�3� 5����+ �k� $� � �� � ���V| N�'

=� �J� ����L r�> 5��> ' �A�*� �% r��+ X9� =�� 7���J� r��M R� K�

'� .

t( �J� !Y%Finite Volume

a9� ( 5)?�� (��$��Structured

; (�+ (��$��Unstructured

-( �J� ��f&�Finite Element

/( r$�� ��f&�Boundary Elements

���f� : 3��� !| 5��*� $� @+ ��.

���@� : '�� X�3 � =9�%' �' X�M��{ �A�*� 5+ !� @� =��+�� .

Page 48: انتقال حرارت

�w

�( 5sG (�+ r�> N�'Mesh-less Methods N�' R�� NV� =�� �G 5A�'� X�$�� 5+

5sG �93� $� ;��)&� �>)��6� (+G�+ X� �% (��$ ' XA3& 5?�\ '3k�� 5 . $3�> 5)9�

5)M��G�� �A�*�)7���J� !Y% � =� �k� $� ( '� '��*+.

U�����S� de�0� Finite Difference

5)�G3� ���$ 7'3�\ 5+ @+ � ' X�'��% C �D (�+ X A� =9�% ' ���� 0�6)�� �+ !|�% 59 �@�

X� 3G .

)/�( 02

2

2

2

=∂

∂+

y

T

x

T

72 �J� UV)M� =M�3��� 5�G ��

�� b*+ �' }3? ]� 5��� 7�6)�� 59 �@� '3��� ��� b*+ $� � �B)�� �+ 0�% =�& ' �)+� [!�>

x!�'� :

)/.(

( )

2

...)(2

41

22

1

...41

2)()(2

...2

...2

2

2

11

2

2

4

42

1122

2

4

44

2

22

11

2

22

1

2

22

1

order

xOx

TTT

x

T

x

TxTTT

xx

T

x

Tx

x

TxTTT

x

Tx

x

TxTT

x

Tx

x

TxTT

iii

iii

iii

iii

iii

+∆+∆

+−=

∂⇒

∂∆−+−

∆=

∂⇒

+×∂

∂∆+

∂∆+=−

∂∆+

∂∆−=

+∂

∂∆+

∂∆+=

−+

−+

−+

+

��>�)��'�L ���� $� ( �# �k� U�\ �+)@+ 5+ ]� 5��� $� (=G� !�>�3M:

)/�( 2

11

2

2 2

x

TTT

x

T iii

+−≅

∂⇒ −+

=�& ' ����� R� > 5+y!�'� :

)�y( 2

11

2

2 2

y

TTT

y

T jjj

+−≅

∂ −+

∗=� �+ �' ]� 5��� I)�� 5�6� 5� �+ rf|�� UV)M� 2)( x∆�$ X� ���6�.

< G X� 5)G3� F�+ 7F �@� ����> r��+ � 3G X� r'�W� �'� G ��6� r�� 0��� 3.

Page 49: انتقال حرارت

�~

�'� G ��� ���+,�� =G3� (�3�:

)�,( 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

y

T

x

T

)�t( 0)

4

1(

02

)4

1(

02

2

14

2

12 =+−

++− TTTT

)�-( )1(04 142 =−+ TTT

����� R� > 5+. � !�'�c X� =� 5+ f�� �8� 59 �@� � � 59 �@� � ����� R� > 5+ � 5�6�

% �+ � �c X� =�+ ��6� ]� � r�� ��& C9 �@� 5��*� ��6� ��� � ��� ��& 7F �@� R�� �

�c>�3M =�+.

<r���� 5�$�3� N�' ) : �J� !Y% N�' $� ��M =9�% (

)�/( 04

1

,1,1,,1

1,,

=−+++⇒∗

×∆×∆

−=

+−−

+

jijijiji

jiji

dx

TTTTjT

xy

TTkq

Z�?�+ k � =+�d yx ∆=∆

�J� :!�G�+ 5)G� I��� ���:

Page 50: انتقال حرارت

��

)��( 03

0

1,,,1 =−++⇒

+=+

=

+−

++

+

TTTT

qqqq

q

jijiji

dyydxxyx

dxx

5+ �J� $�� ' XA�Y+�& ' 0���:

)��( convdyyyx qqqq +=+ +

)��( 2

)()(

2

)()( 1,,,

,1,,,1 x

y

TTkTTh

x

y

TTky

x

TTk jiji

ji

jijijiji ∆

−+−=

−+∆

− +∞

+−

=G3� ��$ 7'3\ 5+ X*����� 59 �@� ��8)� �� (�3� X� �> ��� 7F �@� r��+ X�| '3^ 5+:

KT=F

G�+ X� X�3���3� r�> N�' F�+ 59 �@� �% r��+:

< N�' !�6)*� ��>Direct Methods :N�' ���� Gauss Elimination

< N�' ��> �'���� Iterative Methods :�� 0��� (�3�� 5+ 5# N�' (�3�Gauss-

Seidel N�' � Jacobi �+ ]�� �' .

Page 51: انتقال حرارت

��

C�D�

,. ������ 5+ r� ��Y�L 5��G X&'�M � X�M� r�� 15oC � 5oC X�� �G�+ . =��K�H ����

5��G5mm (c �@+� � 31× G�+ �)� =���> ����H 5��G $� 7'��% UV�� =*+3���

5��G X�'��%Km

w24.1=�� .

t. r�� ' �3>300oC ��@+� 5+ r� 5JB\ r�' $� 25.05.0 × ����H ���� '� (����& ��)�

XA�Y+�& 7'��% 0�6)��Km

w2250 JB�\ R�� U��s� $� 7'��% 0�6)�� =*+3��� G�+ 5

5JB\ r�� 400oC=�� .

-. 5s�9�% ' =�� �G I��� �V��| U��s� $� rf�? r� 5JB\ U�^ X@��@�� r���� (c �8�

7G 5+2800m

W �| X� =?��' . b��J� r��� ���20oC 7'���% 0��6)�� ����H �

b�J� � 5JB\ R�+ XA�Y+�&Km

W212\ r�� =?� =*+3��� G�+ rf�? 5JB.

/. X��'��% =���> ��+ r�@+ ��� r'�3�� ' ��� Q�$3�mK

W50 =��K�H � 50mm 5�+

7'3\2

bxaT += 5| G�+ X� a=200oC � 22000m

cbo

−= � x �*%�+ m =�� .

(c 5&� � ' X�'��% '�G � '�3� R�� ' 7'��% �93� ��� R��@� =�� ;3��� . �� Q�$3�

G�+ X� (��$ $� �6)*� � X A� b���G ' .

�. 5+ F3? $� (c '�& 5| r� �'3| '�3� $� `�� %�� ��$� 5+ 7'��% UV�� 5��J� =*+3���

=��K��H0.5cm� mkWk 40=

=��K��H 5��+ r���&c (c X&'���M '���& � � 3��+

cmوmk

Wk 105.2= G�+ X� . '��& r�� X��M� 900K X&'��M '��& r��� �

460K 3G Z�? .��| 5��J� f�� �' �&c � F3? ��)�� �l? r�� .

�. ! �f|�� r�� � �L�3> �� X�'��% 0� X%��^ ' ��� $� ��� �'�3� 800K�| $��Y� .

$�Y� ! �f|�� =���6� 5��J� =*+3��� =�� �G � � (��� �sG ' 5| X����G r��+

'�3� .

KmWh

KmWh

KT

KT

c

g

c

g

2

2

400

200

300

1300

=

=

=

=

Page 52: انتقال حرارت

��

=hg=�� �� r�>$�� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H .

�. X�'��% =��> ���H �+ m�$ F3? i�& $� 5939 ��cmW

o19 X�M� ��� 5+ 2cm ��� �

X&'�M4cm C���3+ 3cm =�� �G ����G3L =*+$c I��� 5�F . X��M� '�& r�� ���

600 oC '�& r�� � I��� X&'�M100 oC %�� ��$� 5+ 7'��% 0�6)�� =*+3��� G�+

5939 03^.

=*+$cmkWk 2.0=

.. =��KH 5+ r�&c r'�3� 0.1mX�'��% =��> ���H � mKW7.0

Z��@�' U���s� $�

r�� 5+ �� �+270K XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � KmW

240 � � ' ��8� U�^ $

r�� 5+ R9�� r�3> Z�@�330K XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H � KmW

210 '� '��� .

`�� %�� ��$� 5+ '�3� R�� $� 7'��% UV�� =*+3���.

�. X�M� q�@G 5+ X|$�� C939 X�M� '�& oλr r�� ' Ti '� '��� . Z��@� ' 5�939 R��� ���

r�� 5+ X��J�∞TXA�Y+�& ���H � ∞h I��� =��KH R��@� =*+3��� G�+ 5)G� '���

����8+ ��k� ' �' I��� b6? � ��| �k�?�\ 5939 X�'��% =���6� $� 5939 R�� r��+ 5���+ .

r� 5939 r��+ �' }3? 5Y�)�� ���� 5�+ X*10mm I���� =��K�H � 0,2,5,10,40mm

��| (�J)�� . XA�Y+�& ���HKmW

25 I���� X��'��% =��> � Km

W2055.0

Z��?

3G.

,y. �L3� r� 5��3)�� ' (Solid) q�@G 5+ ri 7G 5+ X)M�3�s� X�'��% 5 �D q& X�� ��93�

3G .r�� 5+ X��J� Z�@� ' 5��3)�� R�� ���∞T XA�Y+�& ���H � hc G�+ 5)?�� '���

��| =+�d:

−+=

∞∞

2

124

)(

i

ic

c

i

r

r

k

rh

Th

rq

T

TrT &

,,. 7���G 5���+ X���s��)s9� (������&700A ������ 5���+ r F3���? X�+����| ' 5mm �

=�����6�W

K−× −4106 '� (�����& . r�3��> Z���@� ' ���+�| R����30oC �����H �

XA�Y+�&KmW

225 '� '��� . ��| 5��J� �' �+�| R�� `�� r�� . X��'��% =���6� $�

��| �k�?�\ F3? .

Page 53: انتقال حرارت

��

,t. '� (���& '�K+ (c ' 5| r� 5939 X�M� '�& r�� 300oC =�� . 5939 R�� X�M� ���

5cm (c =��KH � 5.5mm =�� . =��� ��G ����G3L I���� 5��F � b��3� 5939 R�� .

5��+F =��K��H0��9cm=����> � (c X���'��% KmW

250]� 5���F =��K��H � 4cm �

(c X�'��% =��>KmW

235.0G�+ X� . I���� 5�939 X&'�M :�� r�� 30oC =��� .

��| 5��J� �' 5939 R�� 03^ %�� ��$� 5+ 7'��% UV�� . 5939 X�'��% =��>KmW

247

3G Z�? .939 R�� ����> r�3> 7'��Y� ' X���� ' 520oC G�+ 5)?�� '��� . =*�+3���

}��� r�3> � 5939 R�+ 7'��% 0�6)�� XA�Y+�& ���H.

,-. m�$H F3? i�& $� r� 5��3)��)13(

FhftBtuk o=

03�+ 1′ ���� � 4 ′′ ]��Y�� =��&

5+ r� �'3| $� X�'��% 7��� �03^20 ft�> X� '3� . $� ����M ]�8�> (c XA��� r��

�'3|1500oF =�� . �'3�| �M� r�>$�� r�� ���2300oF 7'���% 0��6)�� ����H �

XA����Y+�&FhrftBtu

o218

����M� $� 5��3)����� '3���� =������ =*���+3��� ���G�+

�'3|)27.0(

2

hft=α

,/. $3*� i�& $� r�&c)65.0,02.0(

2

== hhr

ftα =�M�3�s� 5��9�� r�� ' 100oF �'

�� r�>$�� Z�@� ' 1200oF �> X� '��� . XA��Y+�& ���HFhrftBTu

o24 � � 3�+

=�� (�*s� �&c O3�� C��| r��+ . =�GW� $� iL �&c f|�� r�� =*+3���20 hr '

r����)9�%(a) =��K��H 5��+ =������ X��+ '�3��� 2 ft (b) '��*��+ (3)��� ����+5��+ `����

Q�6�22)( ′×′C �@+� 5+ �@s� 222 ×× 5�)?�� '���� X6��� `�� r�' (c 5&� �� 5|

=�� .

,�. �������������� 5�����������+ r� 5��3)�������������5 ′′ =*�����������+$c i������������&$�

FhrftBTuh

Flbm

BTuC

ft

bmoop 125.0,25.0,

136

3===ρ

=��M�3�s� 5���9�� r���� '

100oF r�� 5+ X��J� ' �' 1200oF XA��Y+�& ����H ��+ FhftBTu

o4 X�� '����

�> . 5+ 5��3)�� f|�� r�� 5s�c r��+ ]$F (��$500oF 5��J� ��$ r��)9�% ' �' ��+

Page 54: انتقال حرارت

��

��| .(a) ��+ X��M 5��3)�� (b) q�B�'� 5+ 5��3)�� t � �)*��� I��� XJ�� r�' 5| 73?

=��.

,�. ($� 5+ X8��M r3�� �� 3lb c i�& $� � 7'�� 5�+ X�s��)s9� r���� 9� C���3+ ]3����39

50W 3G X� ]�� . 3��� X&'�M `�� ���0.5ft2 b��J� r�3�> r��� 70oF ����H �

XA�Y+�&FhftBTu

o20.2 5+ 3�� r�� 5s�c r��+ ]$F (��$ =*+3��� G�+ 220oF ��+

=�� b�J� r�� 3�� 5�9�� r�� .

Page 55: انتقال حرارت

��

���'( ��� :��# ��� ���) ��*)" +��,)- � ���"����

Unsteady Conduction Heat Transfer

X� 5&�3� �'W� � '���L�� =��> 7'��% 0�6)�� �A�*� �+ X���� r�> �+'�| $� r'��*+' !�3G . 5+

(c ' 5| =�� X�A�*� 5� &$� X�M� }��)%� r�>'3�3� '���� �'�3� $� 7'��% 0�6)�� 0��� (�3��

(��$�+ �'�& r�� �| X� ���P� .'���� X�M� b���G �� 3��L 7����P� ��9 5+ 5)9�) �3> r��

$�� �� ( 5�+ �)��+ ���6� �+ �� (��$ $� X��@� Q+�� 7'3\ 5+ �' X�M� �'�& �� 7����P� (�3)+ ��G

�| Z�? �� 3��L 7'3\ . ���'3�3� (�G RG�' (��$ $� '���� 5�3 Y� r�� 7����P� is��+

(��' 5kJ9 � �'�& r�� X��+ 1�L � G�+ X� (��$ $� r� ����L '��*+ Q+�� X A� b���G 5+

=�� >� r'�s�{�' � r'�| ��M !)*�� X%��^ =�& R{�' �� R| ��M ;c r�� R��@� iE�

'� r� �j�� . �| ��L ���$�' X��$ ' '���L�� 7'��% 0�6)�� r��+ (�3� X� r�8� r��9��� . �V��

� (G �� �G�+ X�� 5� & (c $� (��$ �+ R��$ O3�� r�� 7����P� � �3> X����� . ' R���� >

$� 5��� �9�� ' ;�W� � Y�� � (G �� �%��� C��| r�� 5)K�' I��^ $� 7�@�� =M�� �%���

G�+ X� �'W� �� '���L�� 7'��% 0�6)�� �A�*� 5� & .�H�% R)� ' '3k�� '���L�� $�(Unsteady)

�� X�@� �'W� ���� 5s�9�% ' =�� ��P)� (��$ �+ �'�3 > (Transient) �' X�� '��s+ X)9�% r��+

��+ (��$ $� �6)*� � X A� b���G 5+ X��@� (��$ =GW� $� iL !*& r�� 5| . =��� X���+

�| r$�*9� f�� �' �� 3��L b���G 0c ��� =9�% ' (�3� X� }3? =9�% � R�+ 5| .

6)�� !|�% 7F �@� ��� r� 5��3)��� [X�'��| ���@)� 7�l)K� ' �'W� �� '���L�� =��> 7'��% 0�

r���+ X�B�)K� r���G�' � G�+ X� X���J� r�> �% r�'� 7F �@� ( 3+ X�M ��G 5+ � r��|

=�� �G �����L (c �% . r���+�)|Ozicik [Myers ��� � Carslaw and Jager ��' r���%

r�> 5��> r��+ X�3�)� r�> �% 7'3�\ 5+ (�3� X� � G�+ X� a�)K� r$�� b���G � a�)K�

Hand Book �' '�s+ X���G'�| (��3Y��� b�3� . 5+ }3? r��+�)| X�� s� 7V�lJ� Q^�6�'

=��36� �' (��c XH��' r�> ���s� � 1�� �� 3G X� �����L (��3Y��� 5+ X�' ;�)| 7'3\

�|.

� ����L r�> 5��> ' !|�% 7F �@� X��'��% 5 �D [=��> 7'��% 0�6)�� ���H 5| X����G

> N�' � | 5+ �$���� �)*> X�M��{ 7'3\ 5+ Xs�f�? ��3M ���� � ����V| r �� r� 5�+

���� r'�Y� r�>'�f?� ]�� $� r'��*+ � 3G X� �% X���c ANSYS [NISA � Fluent =��+��

�'� �' 7F �@� R�� �% .

' �+ (��3Y��� �l? R��' ��+ R���� > � '����L�� �A�*�� �% r �+'�| '��*+ X9� X��6� r��G�

�3G X� ��Gc (c ���)� � X���J� �% r��G�' . �J� UV)M� r � N�' �l? r��)�� ' ��� H

G�>�3M ��Gc f�� �% N�' R�� �+ (��3Y��� � 5)?�� '��� hJ+ '3�.

Page 56: انتقال حرارت

��

)fL�� �M��!�

),( τα ∂

∂=′′′+

∂∂

+∂∂ T

kq

y

T

x

T 12

2

2

2&

' �f�'�| 7�l)K� R

)t( τα ∂

∂=′′′+

∂+

∂ T

kq

r

T

rr

T 112

2&

' r� 5��3)�� 7�l)K�

)-(

=

s

myDiffusivit

c

k2

ρα

}3? 7F �@�' q ′′′&[X�'��% C �D τ(��$ [ k=��> 7'��% 0�6)�� ���H وα 1KL ���H

G�+ X� .

���Xs�f�? U> r��+ X9:

d�� :(��$ �+ 5@�� r�� 7����P� �3J� � (G �� (��$ 7� R��@�.

8 . U�� %���g ��2�h��X���� %���g �� Lumped Capacity System

�3lK� ]�&ρ

�j�� r����C

!Y%V

X��& `��A

5�9�� r�� To

r�� 5+ X��J� ' (����� !*&∞T ��� X� '���

Page 57: انتقال حرارت

�p

�� Z�? C)G��� !)*�� ' 3GG�+ (��$ $� X@+�� ���� � =M�3�s� !*& ' �� Q�$3� . �k� $�

=���6� X�@� Xs�f�? !*& �M� ' �)��>XA�Y+�& =���6� �+ 5*��6�' �) # b�J� 0��� $�

G�+ . 5| =�� $�Y� X)�� Z�? R��G�+ '����+ ��$ b���G:

)/( 1.0)( <A

Vk

h

'�6�k

hx�+ � (�3�� 5+ 3�+ @+ (Biot)�� 5)M��G 3G) x=�� 5lK�� 03^ ( =�V� �+ �

Bi� � (��� �� �� (��+ ��$ 7'3l+ }3? ��G ����� R�� 5+ 3G ��:

)�( 1.0<=k

hxBi

r���� C�$�3� $�: X�M� r���� 7����P� = 7'��%b�J� 5+ �G �Y+�&

)�( τρ

τρ

)()( cV

hA

o

eTT

TTTcVTThA

∞∞ =

−⇒

∂−=−

)�(

=

=

oTT

0τ5�9�� ��G

�+$ I�2�h�� )�D�� ���(

(�*�� X��� ' � �> (c (�' Q��� � U�" [ '� '��� �@��� �f�? U�" �M� ' ��# Z�?

)U��^� b�J� r�� �+ 7��B)� (�'� '��� . !)*�� �# 0�%� ' �G 5)B '��� b�J� ���

� � �� �� b�J� ��� �+ 0 �@� 5+ q��G !)*�� ��� � 3G �� � . � U�" r�� R)?�� U>

� (�3�� 5+ (c 7��3)J��=�� (��$ $� �@+.

�� ��$ 7'3l+ !#�% 7F �@� �G�+:

).(

∂−=−+−

∂−=−

∞t

TVCTTAhTTAh

t

TVCTTAh

22222221211

11112111

)()(

)(

ρ

ρ

C�9�� b���G �+:

)�(

=∂

==

01

021

t

T

TTT

� R)G3� �+F �@7�� ��� ��$ ��G 5+ !#�% 7F �@� �'3���L� 7'3\ 5+ �3G:

5@�� !Y%

X��& `��

Page 58: انتقال حرارت

�w

),y(

=

++−−

=−

+

0

0

2

222

22

222

112

222

11

2

111

111

111

11

TDVC

Ah

VC

AhT

VC

Ah

TVC

AhTD

VC

Ah

ρρρ

ρρ

��$ r�>�)��'�L R)?�� �k� ' �+:

),,(

222

223

222

112

111

111

VC

AhK

VC

AhK

VC

AhK

ρ

ρ

ρ

=

=

=

� �� ��$ ]�? 5+ 7F �@� �� �� �3G:

),t( ( )

( )

=++−−

=−+

0

0

23222

2111

TDKKTK

TKTDK

� U�" ��� }3? 7F �@� ��8)� �% �+X� =�+ (��$ $� �@+�� 7'3\ 5+ (c 7��3)J� ��c:

),-( tmtmNeMeTT 21

1 ++= ∞

),/( 1

12

21

K

NeMeTTT

tmtm +++= ∞

' ' =+�3d }3? b+�� 5+�G a��@� ��$ 7'3\ ��:

),�( ( ) ( )2

4 31

2

3213211

KKKKKKKKm

−+++++−=

),�( ( ) ( )2

4 31

2

3213211

KKKKKKKKm

−++−++−=

),�( 2

21

0m

mm

TTM

−= ∞

),.( 1

21

0 mmm

TTN

−= ∞

: .%��#� ," �=�� )D-�� ��'( %���� Semi-Infinite

Page 59: انتقال حرارت

�~

b3� (�_S3 �� /�#(��0=τ �" `W� F��� To��� ,� .

),�(

،Tوxه�فT

x

T

Tkq

T

y

T

x

T

z

?)(1

1/

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

=∂∂

∂∂

=′′′+∂∂

+∂∂

+∂∂

ττα

τα

)ty( r$�� ��G 0)( >= ττ oToوT

5�9�� ��G iToxوT =)(

F ��� � | 5+gVL

)t,(

πατ

αττ

)(

2

)(

ioox

oi

o

TTkA

x

TkAQ

xerf

TT

TxوT

−=

∂∂

−=

=−

=

c (%"�i ,5���� ��2 :�_S3 �� `W�o=�( ,� ���B ,�"�i ,5������2 %S5 .

)2

1()4exp(/2

)4exp(2

)(

1

2

2

2

2

)2

1(

ατατπατ

ατπ

τα

τ

τα

ατx

erfk

xqxk

qTT

xkA

QTT

oq

x

Tk

ToxوT

T

x

T

ooi

o

i

oox

i

xerfkA

xoQ

−−−=−

−=−

>=

∂∂

=∂∂

=∂∂

−−

=

� (F��� �" ,W�S� �� /�#(�� %��#� ," �=�� )D-∞T���( ,����B .

X���J� ;�3&:

Page 60: انتقال حرارت

��

5�9�� ��G

+−

×

+−−=

−−

>∂∂

−=−

=

==∞

)2

(1

)exp(2

1

)(

)(

2

2

k

hxerf

k

h

k

hxxerf

TT

TT

ox

TkATThA

ToxوT

i

i

oxox

i

ατατ

ατατ

τ

> . �fL � �����f�� j�S�fk �+��� ,��D-� �� F�!" G� F��'( %���� l�f!� �� �fL X

����� ���B ,C�*"�-

(a)%��#� ," IS�k

(a)τα ∂

∂=

∂ T

x

T 12

2

oToxوT i == τ)(

ox

T

ox

o >∂∂

=

= τ

X���J� ;�3&:

r$�� ��G:

Page 61: انتقال حرارت

��

oTTk

h

x

TLxLx >−−=

∂=∞= τ)(

C9 �@� �%(a)�' � | 5+ NSeparation of Variables=�� ��WL (�s�� . ;�)| 5+ �% r��+

Myers��| 5@&��� .

;�3&:

(b) ∑∞

=

∞∞

+−=−

1

)(

2

22

)sin()(2)(

n

LL

nn

nni

n

e

Lk

hLL

xCosLSinTT

k

hLTxوT

ατλ

λλ

λλτ

5|nλ 3G X� 5��J� ��$ C�+�' $� .

3�+ �Biotk

hL= �

=

k

hLLL nn λλ tan

0�6)�� ' ���� � Xs�f�? �k� $� '� ��d��� 7'���% . =����6� 5�+ =���> =����6� =*�� X�9��

� �+ 5| =�� XA�Y+�&Bi�> X� (��� ��$ .

)tt( k

hLBi =

�> X� (��� 5�'3? � �+ 5| =�� !*& ' �� �3� �3B� (�f�� X�� .

)t-( 2L

Fo ατ=

c

k

ρα = 5D �>α X�@� G�+ �)�'f+ k �)���+ 7'���% =���> �d�' �3B� (�f�� �� � =�� �)�'f+

=�� .Heisler C�+�' (b) =�� � �| !�' XA�> X�J�� 7'3\ 5+ �' . ���� ��d�� �> X�J�� R��'

@+ X+iBFo3 وG X� �� O3H� 5+ .!�'� �> X�J�� R��' :

)t/( � r�� 5�9�=Ti

f|�� r�� =To ∞

−=

−=

−=

TT

TT

TxوT

oo

ii

θ

θ

τθ )(

X�J�� $�)7<, ( 5��J� a�)K� b���G r��+ � a�)K� r�����$ ' �' 5JB\ f|�� r�� (�3� X�

�| .

X�J�� $� (�3� X� G�+ ]$F r�8� ��6� ' �� ���)7<t (=*�oθ

θ 5+ ��8�c '�c =�+ �'

C�+�' � |:

))((oi

o

i θθ

θθ

θθ

=

r�� �| 5��J� �' .

} X�J�� $� (�3� X� 5kJ9 �> ' �G �6)�� 7'��% 5��J� r��+)7<- ( �| � �B)��{.

X�J��)7<t( X�J��)7<,(

Page 62: انتقال حرارت

��

−=

=

∞ )(0 TTCVQ

Q

(b)%��#� ," �������

[ ]∞=

−=∂

∂−

=

=

=

=

∂=

∂+

∂+

∂+

TوrThr

Tk

TorوT

rFo

k

hrBi

T

z

TT

rr

T

rr

T

o

rr

i

o

o

o

)(

)0(

)(

111

2

2

2

2

2

22

2

τ

τατ

ταϕ

(c) X�L

[ ]

=

=

−=∂

∂−==

∂∂=

∞=

z

oo

o

orori

rF

k

hrBi

TrThr

ThTorوTFiniteoوT

rTrT

rr

ατ

ττ

α

),(,)(,)(

1)(12

2

��J�� $� � �B)�� ]�8�> ��>Heisler ��J�� R�� 5# 3G 5&3� ��+ �> $� �)���+ 5�'3? � r��+

t/y =�� } �\ . $� �) | 5�'3? ' t/y 5�| =��� ]$F �3�G ���8 > 5��'3? r��> r�� 5s�c r��+

$� r�)��+ 7V &Summation r��> X��J�� ' �� � R�� 5| �3G 5��J� Heisler ]��Y��

�=�� ��.

CkJ9 �� �G a�� 7'��%τ

R�@�

Page 63: انتقال حرارت

��

)? (F�!" �+$ ��D-� �� ��'( %����

(a)%��#� ," �\ �" F� �4��

)t�( τα ∂

∂=

∂∂

+∂∂ T

y

T

x

T 12

2

2

2

Z�?

)t�( ),(),( 21 ττ yTxTT ×=

( �| R����& �+)t� (' )t� ( 3G X� 5Y�)� .

)t�( 2

22

22

21

21

1

1)()(

1

Ty

TT

x

TT

T ∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

ατ

ατ

7�JB\ ' =��> 5��*� � �% 5+ �Y�� 5Y�)�' =��KH 5+ =���� X+12 22 LوL R��� 3G X�

r�> X�J�� b�3� =9�% � Heisler=G3� (�3� X� �W9 �)*> �% �+�� :

)t.( 21 2

^

2

1^^

)()( LoLoTT

TT

TT

TT

TT

TT

∞∞

−×

−=

(b)��!"� �" O!Y� 321 222 LLL ××

)t�( 321 222 )()()( LL

i

L

ii TT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

−−

×−−

×−−

=−−

λ

(c)]�!� � ���S� �\ �" �������

Page 64: انتقال حرارت

��

)-y(

Lcyl

i TT

TT

TT

TT

TT

TT

zوTrوTT

T

z

T

r

T

rr

T

2

1

21

2

2

2

2

)()(

)()(

11

−−

×−−

=−−

×=∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

λ

τττα

�J�: ��� 5+ r F3? r�>'3J�0.11 r�� �+ $3� $�� r� �'3| ' �)�1200KXA�Y+�& ���H �

Km

W2

100 3G X� � � '��� . '3J� 5�9�� r�� ���300K r��� �� �| X� 03^ 7� 5D G�+

5+ (c f|��800K���+

;�)| 5 � H 0�& I^:

488%2/51

05/01002/

1021.1,541

2.5178325

==

×==

==−

k

hrBi

C

o

α

ρ

⇐5)G��� N�' $� (�3� X� iL �| � �B)�� .

20:14)(8601.05417832

1004811.0)

1300300

1200800ln(

4

==⇒××

×−=−=

==−

− −−

st

t

eeTT

TT tcD

ht

vc

hA

i

ρρ

�J�: ��� 5+ ��+ r� 5���40mm�G 5)M�� 3| 73��� $� ) (� > 3| 73���Al2O3 r��

(c 5�9��800Kr�� �+ X9��� �+ (����� � KوKm

Wh 3001600

2= ��M $� iL 3G X�-�

3G X� ����L 5��� '� 5+ X6��� 5���d . ��' X� '�6� 5D 5+ X�F3^ X���$ $� iL 5��� r�� );�)| r��)�� ' ��3M 0�&(

5JB\

56��

Page 65: انتقال حرارت

��

43421 1.072.03/22

2

2/1600

2

10259.53.2210683970 5

>=×

===

×==== −

o

k

hr

k

hLBi

وcوkو

toc

αρ

�G a�� 7'��%)r���� C�+�' $�(

)1)(()(

)(

))((

oi

io

o

QQ

TTTT

TTcvQو

QTTcvQ

−−+=∞

−=

−−∞=−

∞∞

ρ

ρ

'� 3 � $�)7<� (!�'� :

KTQ

Q

r

tBiFBi

k

hrBi

o

o

o

o

561)56.01)(300800(30056.0

95.0)(

43.13.22

02.01600

222

=−−+=⇒≅

==

==

α

�-�5:

)(αT(��$ ' 5��3)�� 5)*> � `�� R�8���� r�� st 35==�� .

�N �������� ����� ����� �3��!� F�

r@+ �� =9�%

)-,(

2

1

2

2

)1(

)0(

)0(

1

TxT

TxT

TtT

x

T

t

T

i

==

==

==∂

∂=

∂∂

α

�� `��k U��Explicit

)-t( ( ) n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

TTTTx

tT

x

TTT

t

TT

++−∆

∆=

+−=

+−+

+−+

112

1

211

1

2

21

αα

�� ,+=P U��Implicit

)--( ( )2

11

111

2

1 21

x

TTT

x

TTn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

+−=

− +−

++−

α

(��$�� �G a�� 7'��%-�

Page 66: انتقال حرارت

��

��c X� =�+ (��f > '3^ 5+ �>�� 5| X*����� 7F �@� ��8)� 5+ 3G X��Y�� �� H N�'

]� �> ' !> 5+ =*� 5� � .=�� (�s� ]� � (��$ 0�� 5��� $� N�' � �> N�+ r��M .

∗ ��M ��� X�@� =�� '���L X� H N�' N�' X�9� 3�G X�� ���� ��M R�� 3G 7���J� '��

3G '�� ��M ��� � =�� '���L�� `��\=�� R� � ��| �G' . ���+ `���\ N�' r'����L r���+

!�G�+ 5)G� :

)-/( 2

12

<∆

x

0��� :

`��k U��

Page 67: انتقال حرارت

�p

)-�(

( )

122

12

2322

12

112

11

2121

11

)020(0

)2(

)220(0

2

100)1(

20)0(

0

Tyoxt

T

TTTxt

TT

Toxoxt

TTn

TTTxt

TT

xT

xT

T

o

i

ooo

i

nnn

o

nn

i

→+−∆

=∆

+−∆

=∆

⇒+−∆

=∆

−⇒=

+−∆

=∆

==

==

=

+

α

α

α

α

�> r�� 5| X)��/+ �' 5�6� (��$ �� ]� ]�� ( �| ��L 5+ q��G !�'�c =�n+1!��| X� .

,+=P U��

)-�(

)2(

)2(

)2(

14

13

122

03

13

13

12

112

02

12

12

11

1

21

11

TTTxt

TT

TTTxt

TT

TTTxt

TTo

o

+−∆

=∆

+−∆

=∆

+−∆

=∆

α

α

α

;�K)�� �+t∆ � 5x!�'�c X� =�+ i����� 7F �@� ��8)� $� �' ;�3& ����)� .

���� ����� �3��!� F��N ��!" �� �� ������� �

)-�( 2

2

2

21

y

T

x

T

t

T

∂+

∂=

∂∂

α

`��k U��:

)-.( )2()2( 112112

1

+−+−

+

+−∆

+−∆

=∆

−jiو

nn

jiوn

jiوn

jوi

n

jiوn

jiو

n

jiوn

jiوTTT

yTTT

xt

TT αα

)-�( xyوx

t∆=∆<

4

12

α r'���L ��G

Page 68: انتقال حرارت

�w

)/y( ( )111

11

11

1112

1

4 +++

++

++

++−

+

+++−∆

=∆

−n

jiو

n

iووn

jiو

n

iووn

jوi

n

iووn

iووTTTTT

xt

TT α

Page 69: انتقال حرارت

�~

72��J�� > ��>� ���+ ��*� =��KH �+ =K� '�3�2L] �[

Page 70: انتقال حرارت

��

72��J�� q�@G �+ =���� X+ 5��3)�� ��*��> ��>0r] �[

Page 71: انتقال حرارت

��

./�� ��� :01�)/��2 ��� ���) ��) !2��4 ��"2(

Convection Heat Transfer (External Flow)

=�� ��$ 7'3l+ XA�Y+�& I��^ $� 7'��% 0�6)�� � �+'�# X�\� 5�+�':

)( ∞−= TTAhq

(3��� 5+ 5�+�' R��]5��� A�����=�� U��@� f�� .

�l? R�� ' Q+�� ( �| ��L �� NV� � X@� ]� �hG�+ X� .

72=K� `�� �� U��^� ' ������� �'�> �$�� C�F [5��3)�� U��^� ' 5939 C�3 Y� � �>

���HX��Y+�& 7'��% 0�6)�� ���) h( ����L Q+�� 5939 ����'��� �J� $� �� (c ��� [�> ��� � �>

�+ ���� @+Re � Pr�� G�+ .=?�� >�3M '��� hJ+ '3� �)��+ g' 03^ ' ���� R��.

&�����- G���Y� �" �D���� :

!�'� 5)�*)�F� ' X�| '3^ 5+:

),(

=++

=++

=+

0

0,

0

,,

,

yyyyx

xxyxxx

iij

f

f

f

yx

y

σσσσ

σ

!*& �'�& $� '� X?�| �$��� 5+ 0��� r�� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H

7'��% 0 �� O3��

Page 72: انتقال حرارت

��

5s�'3�+

)t( x

xxxx x ∂

∂=

σσ ,

xxyyxy σσσ ,, =�& ' 0���� r�> 1�� ����� 5+y�x �)*�> X�G�+ 1�� � .fi X� Y% r�����

=�� ]�& ����.

���V| 7F�%��|� r��+ }3? 7F �@�' Closed Form Solution I���^ $� 7F �@� � !�'�

�� �% �+�� I�� r��G�'.

3G X� 5)G3� ��$ 7'3\ 5+ r@+ � !|��� �+�� ��{ 7F��� ' !|�% 7F �@�:

)-(

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂∂

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

0

)(

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

y

v

x

u

y

v

x

v

y

p

y

vv

y

vu

t

v

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u

µρ

µρ

ρ �3lK� ]�&uv, [!A�� � X6?� =��� r�> 5B93� p ['��? µ�)*> ������ 5)�$3s�� . R��

7'3�\ 5�+ 5�D 7F �@� R�� �% �s�� X�\� =�� 5| �'�� 5)*+ ;�3& X�| =9�% ' 7F �@�

r � r��G�' 7'3\ 5+ 5D � X���J�)r��3�E��| ( ��� 3&� ��8� 7'��� 5�+ ��� X�M��{ r��

=�� XA�Y+�& 7V & . G�+ f�D�� X��M 0��� =��� 5| XA��)9�% ' )�f9'��*+ 0��� (���& ( X�

1KL � '��? 7V & �+�6� ' XA�Y+�& 7V & $� (�3�(Diffusion) �| �k�?�\ . 7F �@� ��8�c

��L (c r���+ f��� 5)*+ r�> ;�3& (�3� X� � �3G X� �% �� =%�' ��| �. X�^ '3�k�� R��+

�% 3� =�@+ R��� > =�� �G U�\ 7F �@� R�� �% =�& X�&3� �+�� NV� ��M� 0��\

'���)M� ' � ���c =��+ X�+�Y� r��> N�' �� | 5�+ r �+'�| ���)� $� r'��*+ [Q��& X���J�

=�� 5)?�� '��� (����� .

G3� ��$ 7'3l+ XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ��*���B� 59 �@� 3G X� 5) .

)/( )()(2

2

2

2

y

T

x

Tk

y

Tv

x

TuCp ∂

∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

ρ

��% i|3)��� ������ 7F �@� �)+� =�� ]$F }3? 59 �@� �% r��+ 3G X� 5k%V� 5| '3��� >

=��� (��� � �3G),( υu r'���L�� � 7F �@� ( 3+ X�M ��{ $3�> b���G R��' � �� R��@�

� �)*> �$ �s�� XA�Y+�& 7V & �)*� r � r�> ;�3& is��+ � �J� X���J� r�> ;�3&

3+ �>�3M X��6� X9� �J��� . R���@� =��& X�+�Y� r��> N�' $� � �B)��� $3�> =9�% R��'

r��>�8)�� q�3��� =M��� � �' X�� '��s+ 03 @� '3�+ ��s�\� ����H � 7'��% 0�6)�� ����H

����� r���� �$����) (PIV) Particle Image Velocimetry ��� (Laser Doppler Velocimetry (LDV) �'

5)BGc r�> (���& ' �3lK+ ]3)� � 0�6)�� � 7'��% 0�6)�� r�> ��L $� r�� I�� � �� I� �

=�� 5)M�� !>��? . � r � [X���J� �%' R�66J� r�> NV� �+ �� f� ���c ' �' X� �k� 5+

Page 73: انتقال حرارت

��

L $� r�)��+ X+�Y� r�> N�' r��� '�s+ r��>�8)�� ����� � ��> R�G��3+'3�' 0�6)�� r�> ��

X�'��%<+�� X� !>��? X� ��+ .

�,4�4S5 F�� U�

H�� I�M �M��!� ��!"� �4S5

The Laminar Boundary Layer Equations Using Scaling Principle

03^ 5+ =K� CJB\ �� ��' $� ��WL�� !#��� 0��� (���&L���8+ �k� ' �' . C�F C9 �@� 0�%

�� '��� 5@9��� '3� � �@+� ���J� $� � �B)�� �+ �' �$�� !�> � $� =��� 7����P�u=0 ��

∞= Uu $� �' �� 7����P� � oTT = �� ∞= TT �k� ' �� ���!� . C�\�? ' x 5� % C9 $�

�$�� C�F =��KHδ=�� ) δ �$�� C�F =��KH�$��� (�3�� 5+ $� =��� (c ' 5# =�� ��

�� �B\∞U�� ���P� �#.( 5JB\ $� '� �?�# �$��� 5+ 5�%�� '=��� ∞U �� [∞T ' =��� [

=�&y '��? � �B\ ∞P=�� . �$�� C�F 5+ �� f� C�%�� ' 5Y�)� ' )5�%�� ' q�B�'� �+ ��δ $�

03^ � 5JB\L ( �@+�)Scale ( 7����P� ���+ ��$x,y�� 5)?�� �k� ' 3G:

)�( ,~,~,~ ∞UuyLx δ

+�� 5�\3� (��3Y��� 5 3G 7F��� ������ 5+ �3+�� h%�� 1K+ R�� C@9��� $� �� , � t

'������ �.

�� Z�? !��#5B93� 5# �+ =��� ��>U(�� ��� � �+ =��� ��>L

U�G�+ ����)� . $� ����>

!��� � �k� U�\ '��? 7����P�)=�� �)�' Z�? =K� CJB\ '3� ' ()��3� C9 �@� ��8�c ' !

=�&x�� � � 1�� � ��$ 7'3l+ 3G:

)�( 2

~.

L

U

L

UU

L

Uυ+

)�( 1~υ

UL

).( 1~ReL

5Y�)�:

1KL 5� & 5��c ���+2

2

y

u

∂υ5� & �+ � ��'f+ C��� 5# =�� ]$F G�+ 5��� !> X��Y+�&

Re �% 1G�+ .+��+��+ R��� 7V & 5��c � ���+Re�G�+ 5��� !> f�� F�+ ��> . 5# =�� ]$F

03^ �+ (���& �+ 3 � =�& ' 5lK�� � ��8�c [G�+ ����)� �$�� C�F =��KH (�3�

=?�� �' ��� ���)�

�L �8)�3Continuity

)�(

δv

L

U

y

v

x

u

=∂∂

+∂∂

0

),y( L

Uv

δ~⇒

Page 74: انتقال حرارت

��

=�& ' !)��3�x

),,(

L

UUL

L

U

L

U

L

UU

L

U

x

P

L

U

L

U

U

L

U

dx

dPUU

LL

UU

y

u

x

u

dx

P

y

uv

x

uu

L

L

2

2222

2

2

2

2

.ReRe/

~

)1

1

2

2(

2122

)22

(1

..

)(1

==≅

+

<<↓

+∂

∂−=+

++−=+

∂+

∂+

∂−=

∂+

υυυυ

δυ

δ

δ

υρ

δυ

ρδδ

υρ

��� is��+ ��ox

P~

∂∂'f+ 5��� ��8�c �G�+ �+��+ ��+ XA�Y+�& � 1K+ X�

),t( L

L

U

L

U

Re1~~

2

2

δδυ

=�& ' !)��3�y

),-(

1

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

11

).

(1

..

)(1

<<↓

++

∂−=+

++∂

∂−=+

∂+

∂+

∂−=

∂+

LL

U

y

p

L

U

L

U

L

U

LL

U

L

U

y

P

L

U

L

U

L

UU

y

v

x

v

y

P

y

vv

x

vu

δδρ

δδ

δδδδ

ρδδδδ

υρ

iL

),/( 2

2

~1

L

U

y

P δρ ∂

∂−

�sG

),�(

+

+

+→− ∫

2

22

3

22

2

22

2

2

.~~

~~

LL

UO

p

L

UO

x

P

x

P

L

UPPdy

L

UPP

x

o

δρδρ

δρ

δρ

δδ

δ

δδ

�9�

),�(

+

=∂

2

22

.0~

),(

LL

U

dx

dP

x

P

inviscidisFlowyoftindependenisPdx

dP

x

P

δρδ

δδδ

Page 75: انتقال حرارت

��

=�& ' !)��3� C9 �@� ' }3? ��c =�+ ���)� $� � �B)�� �+x:

),�(

2

222

22

2222

)(1

~

.11

~

1

δυδ

ρ

υδ

ρρρ

δ

δ

U

LL

U

dx

dP

L

U

U

LL

U

dx

dP

L

U

L

U

+

−−

∂+

−−+

<<↓

59 �@� R���+��+ !)��3� =�& ' x:

),.( odx

dP

dx

dUU =+∞

∞ρ

�� 5)G3� ��$ 7'3l+ 3G:

),�( 2

2

y

u

dx

dUU

y

uv

x

uu

∂+=

∂+

∂ ∞∞ υ

5*��6�

)ty(

1)(~)(~

)(~

)(~

,

2

22

2

2

2

<<∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

Lo

LU

LU

o

xP

ydP

L

Uo

y

P

L

Uo

x

P

x

P

y

P

δδ

δρ

ρ

��

)t,( x

P

y

P

∂∂

<<∂∂

=�& ' ]3)� � Y

)tt( 0=∂

y

P

����� C9 �@�Energy Equation

)t-( ≡

+∂

∂+

∂+

∂+

∂=

∂+

∂ϕβρ )()()(

2

2

2

2

y

pv

x

puT

y

T

x

Tk

y

Tv

x

TuC p

�� 7V & ��'f+ C��� ��'�+ 5+ (3�#� !�$� �L:

)t/( ϕδ

ρδ

ρβδδ

δρ +++++ 2

2

2

22()

11(~)( U

LL

U

L

UUT

LkT

L

U

L

UTC o

op

�� Z�? �G�+ 5��� !> ������� �'�> � ��'��% �$�� C�F =��KH !��#) ' �@+ 1K+ '

�� � � `�H3� �)��+ '3� R�� 3G (!�'� :

)t�( TCLL

U

CLc

k

L

U

L

U

Ppp

ρϕδβ

δρ+++++

<<<<

)1()11

(~

1

2

23

2

1

2

Page 76: انتقال حرارت

��

)t�( 222 )()(2)(2x

v

y

u

y

v

x

u

∂∂

+∂∂

+

+

∂∂

+∂∂

= µµϕ

2

2

2

2

4

22

2

2

2

2

2

2

22

~2~

)(~

δµ

δδ

µ

δδ

µδ

δµϕ

U

L

U

L

UU

L

U

L

UUU

LL

U

+++

++

+

L

U

UL

UUU32

2

2

2

2

~/

υυ

ρδ

ρυδ

µ =

5Y�)�' :

)t�( 2

)()(

2

2

)(

ab

py

u

x

PTu

y

Tk

y

Tv

x

TuC

∂+

∂+

∂=

∂+

∂µβρ

]�� $� }3? 7'�� ' a �� �k� U�\ 5)G� 5# �)�� !��# !�G�+:

)t.( 1/

/~

223

<<==TC

UEcif

TC

U

LUTC

Lu

Inertia pppρρϕ

]��(a) $ 5# =�� ( �# �k� U�\ �+�� ����Ec<<1 ]�� '3� ' G�+ (b)�� =G3� (�3�:

)t�( T

LUT

LU

termpressure βρβ

ρϕ 1

~3

3

=

��� $�� ���+ 0c

)-y( TT

oT

p

1)(

1),1(~

1−=

∂∂

−=ρ

ρβ

β

7�@��� ���+) ����;c(

)/y( termpressureT >>⇒ϕβ 05.0~

��D 0�% �> 5+� $� 5�ϕ� U�\ kG >�3M �k� U�\ f�� '��? ]�� !��# �. 7'3l��� ' 5#

�� � �� ��$ 7'3l+ ����� C9 �@� 3G:

)/,( 2

2

y

Tk

y

Tv

x

TuCp ∂

∂=

∂+

∂ρ

H�� ��M ��P��FThermal Boundary Layer Assumption

)( ∞−= TThAq S

5�+�' R�� ' Ts [`�� ��� ∞T �� !*& $� '� �?�# �$��� 5+ 0��� ��� 5# 5�38�� > G�+

��% 0�6)�� !*& ��� f� ' G �'�G� f�� V�' I��^ $� ���� 7=��>�� ]�Y�� R���+��+ [ ���:

0=∂

∂−= y

y

TkAq

0��� 7'��% =��> ���H

Page 77: انتقال حرارت

�p

72=K� `�� �� ��' �+ �$�� C�F

��|�� �+=G� !�>�3M }3? C9 �@� � :

5��J� ���+h!��| ]3�@� ��+ ?0

=∂∂

−∂∂

−=

=

y

T

TT

y

Tk

hS

y

��?)( == yfT

h :X@H3� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H:Cm

W

°2 Coefficient Local Heat Transfer

�h 3G X� a��@� ��$ 7'3l+ =K� 5JB\ r��+ 5| =�� b�3)� 7'��% 0�6)�� ���H :

×

××

==dx

dxh

dA

hdA

hx

o

x

o

x

o

x

o

)1(

)1(

%�� Z�� 5+ =K� 5JB\ r��+

0��� :G�+ ��$ 7'3\ 5+ X@H3� XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H ���h�A� � 5��J� �' .

x

x

o

x

o

x

o

xxx

x

hxh

axdxxx

adxax

xxh

axxhdxxhx

h

axxh

1.1)(

1/11

)(

)()(1

)(

1.01.01.0

1.0

1.0

=⇒

===⇒

=→=

=

∫∫

7����P� 5| 3G X� 5k%V�hx� xh 3+ >�3M ��$ 7'3\ 5+ .

������� �'�> �$�� C�F ' =��� Q�$3� ��'��% �$�� C�F ' �� Q�$3�

Tδ Tδ

Page 78: انتقال حرارت

�w

& Gf� �f\ �� ,C�f*"�- ����f� �f���� O��P � %N�� FH�� ��M �����[5 �D����

�S�k:

�"��5� FH�� ��M �M��!�H�3�+�� & /��h3�L (Colburn-Reynolds Analogy)

+ ' K1 !� '�c =�+ �' ������� �'�> � ��'��% �$�� C�F 7F �@� ��� ��> . 5k%V�

�� R�� �% 5# ��#�(��c �)*� 7F �@ ����� ���# 7F �@� �% $� ��<=�� i#3)�� . R���+��+

�� 5)*+ �% ��M b���G ' (�3�)Closed Form (� '�c =�+ f� . g3�$�V+ �% 0��� ���+

Blasius N�' $� ��� 5+ =*� =��� Q�$3� 5+��� Z�? �+ 5# =�� '3� R�� ' ���V# ��>

��+��� ���P)�δy�� C9 �@� 7'3l+ �' �$��C�F X�f& 7�6)�� ��*���B� 7F �@� (�3�

3 � �% �)%��+ � =G3� �93 @� ��*���B� . hJ+ '3� g3�$�V+ ��+��� �% ��f& R�� ' 5)9�

=?�� >�3K� '���.

�� '��+ 7'��% 0�6)�� ���H � ����\� ���H R��@� ���+ 5# ��8� N�' (3? N�' �'< R�'�#

Von-Karman + 5# =��l0��8)�� 7'3 C�\�? ' 7F �@� $� ����y=0 �� δ=y Z�? �

5� & �D Q�$3� �� �� � =��� ���+ �� G�+ .�� ����3M �� 7F��� �)# 5+ 5@&��� �+ ��3�

N�' 7'��% 0�6)�� �H��' ��>}3? �#W9�> '��� 5@9��� '3� �'.

� !)��3� 0�6)�� ]f����� � R�+ 5+��� X��Y+�& 7'��% 0�6)�� hJ� ' 5&3� �9�& 7��� $� ���

�� 7'��% 0�6)�� G�+ .� 7'�� 5+�� � 3�G �' � ���f�? �k� $� 5# 5�38�� > �8 0�6)�� (�3�

Page 79: انتقال حرارت

�~

f�� �H��' ��� $� �# ��*B� 5+��� '3�+ !^V)� � ]�'c (���& ' �' 7'��% 0�6)�� � !)��3�

�� =�+ 0�6)�� q3� � ���+ !> 5+��� 7F �@� ��c.

72������� �'�> � ��'��% �$�� 5�F

)/t( )(

1

)(1

2

2

2

2

2

2

2

2

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

∂+

∂+

∂−=

∂+

∂+

∂+

∂−=

∂+

νρ

νρ

Z�? :0=∂∂

x

p=�� X)�' Z�? =K� CJB\ '3� ' [ .

)/-( 02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

⇒∂∂

≅>>≅∂∂

x

U

x

u

L

VV

y

u

δ

Xs����� �'�> r$�� 5�F 59 �@�:

)//(

∂∂

=∂∂

+∂∂

2

2

y

u

y

uv

x

uu ν

X�'��% r$�� 5�F 59 �@�:

)/�( 2

2

y

T

c

k

y

Tv

x

Tu

p ∂∂

=∂∂

+∂∂

ρ

�!��| X� @+ X+ �' 7F �@� �)+� !�>�3M =G:

)/�(

l

xx

V

PP

V

vV

ly

yTT

TTT

V

UU

S

===

=−

−==

∗∗∗

∞∗∗

3G X� �\�% �G @+ X+ C9 �@�:

)/�( 2

2

Pry

T

y

Tv

x

Tu

∂∂

=∂

∂+

∂∂ ∗

∗∗

)/.( αν

=Pr�)���L �

�)���L �3� 1KL =*� ���f�? �k� $�� !)�υ�� 7'��% 1KL 5+ G�+ .�> ���Pr=1 ' G�+

+ 7'3l�cG�>�3M �+��+ ������� �'�> � ��'��% �$�� C�F =��KH 5# =�� ��� . �k� $� 5)9�

9��8)�� �� ��+��� �% �+ �H��'��� 5# � (��� (�3�3

1

Pr=tδ

δ C9 �@� 5+ 5&3� �+ (3�#�)//( �

)/�(�� �# Z�? �� � =��� Q�$3� ���+ �' ��$ Q+�3� (�3�:

Page 80: انتقال حرارت

��

)/�( Pr)Re(

Re),(

2

1

xfTوyوو

yxfUو

∗∗∗

∗∗∗

=

=

!�'� �G�+ 1�� a��@� $�:

)�y(

Re)(Re

1

2

Re)(

21

21

Re)(

3

322

300

xfوyوC

xfوLV

V

VC

xfوL

V

y

Vu

y

u

f

f

yy

∗∗

∗∗

=

=

==

=∂

∂=

∂=

=

ρ

µ

ρ

τ

µρ

µµτ

$� =*�'�� ��'��% '�G a��@� I^:

)�,( ∗

∗∞

= ∂∂−−

=∂∂

−== y

T

L

TTk

y

Tkq s

y y

)(00

)�t( Pr)Re()(

)(4 xfوو

TTL

TTk

TT

qh

s

s

s

∞ −

−−=

−=

�+ � �� a��@� ��$ 7'3l+ =���� @+ 3G:

)�-( Pr)Re,,( *4 xf

K

hLNu ==

�� 5k%V� (3�#� �� � ����> 5# Pr=1 7F ��@� 5+���� ��9�+ ��8�c G�+ // � /� ���G

Q+�3�f3 � f4 3+>�3M 5+��� f�� . �>�3M 5+��� 7'��% 0�6)�� ���H � ����\� ���H 5Y�)� '

3+. �' (3)��)�� @+ X+ � ��$ 7'3l+!��| X� a��@� :

)�/( 2PrRe

f

P

C

VC

hNuSt →==

ρ

72 Q�$3� ���H�6)��=K� `�� ��' �+ 7'��% 0

C�+�')�- ( �j�� =� >� 7'���% 0��6)�� ���H ( '�c =�+ ���+ 5# =*�c �8���+ � '� ��

��\� �)��'�L =B> ��& 5+ �'3�� �� �+�Y� N�' $� X��Y+�&)∞ULCkh p ,,,,,, µρ ( $� �����

�+ ���� 5� @+Pr, Nu � Re�� 3 � � �B)�� (�3�.

C�+�' =� >�)�/:(

Page 81: انتقال حرارت

��

C�+�')�/ ( '� ]�� $93��' 5+��� . 7'���% 0�6)�� � =��� (��� R�+ 5�+�' 5# �'� 5&3�

�� '����+ 5�+�' �� � . b���G ' 5�+�' R�� 5)9�Pr=1 � 0=∂

x

P ��c =�+ R��� ��+ [=��

�� 3&� �� 5�+�' R�� $� � (��� (�3� ��� $� �@��� a�^ ���+ (�3� Pr �� � �B)�� (�3�

3 �]� [�� ���# ��$ 7'3l+ 5�+�' =���� ' � 3G:

)��( 60Pr6.0Pr2

32

<<= StC f

��7�: 16� '��? (�� ��� =K� CJB\ ��' 5)BGc (���& ' ��) # C�9 �@� � '� )�� ( '

3+ >�3M } �\ ���6� 7'3l+ f�� =9�% R��.

�J� : ��+�' �sG ' xx hوhqو�'�c =� 5+ �' .

5105Re ×<=µ

ρVxx

CKB\ 0�& $�.t!�'� :

xNu=31

21

PrRe332.0

�> ���+x ]3�@� →= xx

x h�1&م��1&م�

k

LhNu

)20100()(

PrRe664.0

)(

31

2/1

−=−=⇒

=

−=

xsx

xx

S

hTThq

h

TThq

`�� %�� ��$� 5+

���+� �� H� /���- b4�T� ��

Page 82: انتقال حرارت

��

5��> ��' $� 0��� (���& ���+ �+ a�)K� ��> 03���? $� �� b��3� ��G ������L ��+�Y� ���>

=*& 3� a�)K� (�66J�. 5��3)�� r��+ 0��� r��+ Nu �*%�+ $93��' 3G X� a��@� . ���$ '

�G 5A�'� 5��3)�� ��' $� (���& ���+ �' 7�E��> �+�Y� 5�+�' =��.

),�(

=

=

µρVD

k

hDNu

Re

725��3)�� ��' $� (���& ] �[

�*5 �W"����K�4� ,"

r�� ' ��3M ]� �→== 31

PrRem

DD CK

DhuN=�� 0��� !��? .

��- $93��' a�)K� ��� ��$� 5+ ����� Q�6� ���+ 7���> 5�+�' �� �6�

m c ReD

0.330 0.989 0.4-4 0.385 0.911 4-40 0.465 0.683 40-4000 0.618 0.193 4000-40000 0.805 0.027 5104 ×40000-

5��3)�� ��' $� (���& ���+ ���� }3? 0�& ' �G 5A�'� ��� 5# 3G 5&3� ���� Q�6� �+ ��> ��

5��> ���+ � =�� } �\ a�)K� ��>)1G Q�6� � ������ [�@�H (... R��� �j��� 0���& $� ���+

3 � � �B)�� Q^�6�.

��- a�)K� Q^�6� ���+ 7���> � �� �6�

Page 83: انتقال حرارت

��

0��� : ��' $� �3> (���& �)K� CJB\ �� '3� ��$ 7�lK�� �+ �# . R�� ��' $� 7'��% 0�6)�� O��

�+��+ �' 5��3)��.

731.0

228.0

105.1109Re 53

=

=

×−×→

m

C

D

�-�5:

X�3���3� b+��')X+�Y� ( ( �| ��L r��+uN ��> (c =�� 5| G�+ X� 3&3� ��| � 5��3)�� 03%

=�� 7��B)�. X&'��M (����& ' XA��Y+�& 7'��% 0�6)�� hJ� �� s� 5+ 0��� 5� �|� �+ ����

X� !�$� �L:

8( '��? ' �3>1 arm r�� � 50oC (c r��� 5�| X�)K� }'� `��� ��� r�' r$�3� '3^ 5+

100oc '� (���& =�� . 5JB\ 03^0.2m (c r���L � 0.1m 03�^ r��� �+ $93��' � =��

5JB\4104 × =�� . � �3�> �$c (����& =���� ��� �=�� '6D �3> 5+ 5JB\ $� ���� 0�6)�� ���

(c '��? � �+��+10 atm�G >�3M '6D ���� 0�6)�� ��� [ 3G

Page 84: انتقال حرارت

��

�:

;�)| r��)�� 0�& I^:

6.17)50100()02.0(6.176.172.0

299.0118118

118Re664.0

))((

7.0.

0299.01384

33.05.0

=−××=⇒=×==

===

−×=

==→==

xqL

kh

prK

LhuN

TTLwhq

prوkm

mkatmpkوT

L

L

sL

o

f

'��? ]� = *�' ,yiL =�� �G �B* �� :

5112,

1212

108Re20)(102Re

1.010

×==××==

×=⇒=

νν

ννρρ

ULULL

$�� $� � =�� �G ��$ $93��' �5105× $� ��+ � G >�3M N3�P� (���& iL =�� 5)GW�

3 � � �B)�� �|�� r$�� 5�F X+�Y� 7F �@�:

[ ] ( )

6.143)50100)(2.01.90(6.143

6.1432.0

0299.0961

7.0871)108(037.0Pr)871Re037.0( 3/18.0531

8.0

=−××=

=×=

×−×=−==

q

uN

k

LhuN L

L

G >�3M �� ��$ '��*+ XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� iL .

:( � ]�� 5kBJ� �� rF�+ `�� U�\ 1K+ �� $(A) U��\�� �V���| 1�K+ �� � (B) ��s���

'� '��� b�J� r�3> (���& Z�@� ' `�� R�� =�� �G .

Page 85: انتقال حرارت

��

7F���% $� ������| ' , � t ����� �=���� ���) | XA���Y+�& 7'����% 0���6)�� '���6� Ts=100o

�oTو

smU 2020.0 == ∞∞�=��'6D =9�% �> ' XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ��� G�+

� :

c��L F�#��� ��- Rh\ 6-�� m:

=�@H� ' 5| XA�Y�c$�t 7'���% 0��6)�� �G �>�3M N3��P� �)+� (� > $� 5JB\ r�' (���&

=9�%' �) |,�c X� 3&3+ .!��| X� � � ��$ I��^ 5+ (c'�6� 5��J� r��+ X9�:

←=→×=

→×=×

== −∞

48.0105Re

1009.1102.19

20Re

5

66

cx

L

x

v

LU

$ 56��� 5+ (��' $� ��+0�� =9�% ' r�

Page 86: انتقال حرارت

��

[ ][ ]( )

Wq

TTAhq

h

qquNuN

uN

uN

s

1568

)20100)(15.0(2.39)(

2.391

)107.28(1366

21407.0)1009.1(037.0

1366)7.0(871)1009.1(037.0

1

11

3

1

2112

33.08.062,1

33.08.061,2

=

−××=−×=

=

<⇒>⇒

=×=

=−×=

>( � �@�� 1 G Q�H 5+ X���)*cm10 r�� �+ =KL $�+ �'3# $� ( '�c (���+ $� iL C°285

r�3> (���& ' ��M b�3)� r�� �+ r� ���# C°50 ��� X� '��� ، ' 7'��% 0�6)�� (�f��

�=�� '6D �'3# $� ���M r 5kJ9)�+ �' �+ R? ��# Z�? =��� s

m2�+(.

�3>

T=285

T=50

�:

2.0)1.0()1.0( 22 =+=D

!����� 5��J� �' $93��' �:

8.496881018

2.02Re

6=

××

== −∞

νDU

588.0,246.0 ==⇒ mC

��3M 0�& I^ :66.01027

1018Pr

6

6

=××

== −

αν

3102.27 −×=k�

64.123)66.0()8.49688(246.0PrRe 3

1588.03

1=××→==⇒ m

DD CK

DhuN

52.72.0

102.2764.123

3

×=×=→−

D

kuNh

Cm

WTThq s °

=−×=−×=′′→ ∞ 22.1767)50285(52.7)(

h 1<h 2

Page 87: انتقال حرارت

�p

�4QD�: 03^ 5+ r� 5JB\ r��+ �' 7'��% 0�6)�� r'3�� � X+�Y� b+��' $� � �B)�� �+ , � �)�

+ (c r�' �+ N$� 5# X6?� � r 3 � =9�% � ' =���� X+ Z�� =��� �, [ G��� 5���d �+ �)�

��# 5*��6�).��# �A�� �' 3M 5Y�)� 5JB\ � �3> ���+ �� Z�? �+ iE�(

Page 88: انتقال حرارت

�w

��-5\VM ��' �+ (���& ' 7'��% 0�6)�� � ����\� ����H 5��J� ���+ �+�Y� b+��' $� ��

�B\ 5� % C���$ �+ =K� 7�JB\] �[

Page 89: انتقال حرارت

�~

��-���+ 7'��% 0�6)�� ����H(���& �&'�M ��>] �[

'� 5�� �

Page 90: انتقال حرارت

��

$� 5�� ��� 5JB\

Page 91: انتقال حرارت

��

.�6 ���:

01�/��2 ��� ��� ��)��"2 07)4� %�#(

Convection Heat Transfer (Internal Flow)

=�� ;3��� 0��� � 5939 '�& R�+ XA�Y+�& 7'��% 0�6)�� ���H.

!��' q3�

r$�� b���G q�3��

X�'�+:

72�M� (���&�) � �'� ��� Q�$3� � 5)?�� 5@�3� ��� Q�$3�(

!�'� 5)?�� N�)*� 5�%�� ' :

=���:

Laminar ]�'c

Turbulent N3�P�

=+�d X�'��% '�Gcteq =′′

=+�d �'�& r�� cteTT sw ==

r$�� b���G $� X�3 � =9�%

)()( xfT��xqq w =′′=′′

, (5939 r �'� 5�%�� ' Entrance

t ( 5939 r �'� $� '� 5�\�? ' (���& (���)5)?�� 5@�3� (Fully Developed

Page 92: انتقال حرارت

��

),(

5939 '

(���& r��+

5JB\ � R�+

)1(0

12

2

2

2

2

2

2

L

yuu

y

u

x

p

r

ruu

av

o

av

−=→=∂∂

+∂∂

−=

µ

Xs����� �'�> 5)?�� 5@�3� (���& ' :

)t(

∂∂

∂∂

=∂∂

r

Tr

rrx

Tu 1

α

)-(

=∂∂

=

=∂∂

constx

pvx

u

0

0

X8)?�� 5@�3� b���G

�� ,=*� Z���� F��� b��!5Bulk Mean Temp

)/(

ctehctek

h

r

TkqوTThq

constTT

rrr

T

TT

TT

rxf

TT

TT

xfAV

uTdA

ucdA

TdAucT

o

o

rrmw

mw

o

rrmw

w

mw

w

av

m

=→=⇒∂∂

−=′′−=′′

=−

=∂∂

−=

−−

∂∂

→≠−−

===

=

=

∫∫∫

)(

)(

)(ρ

ρ

A=�� 5939 Q�6� `�� .iL 5| !���� X� 5Y�)� h $� X@+�� x=*�� ) .5)?�� 5@�3� (���&' (

FH�� Z���2 l���n /���- ������� �!��5 ��

�� ��+ ��G ' �� Q�$3� =+�d ��'��% '�G �� � =+�d �'�3� ��� =9�% ' 5# � (��� (�3� �@+

=�& ' (cx � � ���P� ��� �6�� 5)?�� 5@�3� �%V�\� � �# 5�Y�)� ' 3�GNu $� �6)*�� x

�� =�+ �c .�'�3� ��' $� =+�d ��'��% '�G �+ (���& �)+� � ��'�+ �>� 3G.

Page 93: انتقال حرارت

��

)�(

)(

)(

)(

11

2

)1(2

00

1

)(

2

2

2

2

x

TrTو

x

TrgTو

x

TrووrfT

r

Tr

rrx

T

r

rV

ro

ruu

r

Tr

TTrr

r

Tr

rrx

Tu

x

T

x

T

x

T

dx

dT

dx

dT

cteTThq

mom

moo

mo

m

o

av

wo

m

mwmw

mw

∂=

∂=

∂=

∂=

−=

=∂

∂⇒=

=⇒=

∂=

∂∂

∂=

∂=

∂=

=−=′′

ψ

α

α

5| =?�� 5Y�)� (�3� X� F�+ b+��' g����+:

)�( 36.4

11

48

11

48

)(

===⇒=

−=′′

k

hDNu

D

kh

TThq mw

����� ����� O��P ]��!5 F��" ,5�h��S� � ,"�*5 Z"���

, .5)?�� 5@�3� �V��| r� 5�F (���&:

1K+ R��' Tbr�Y+ Tm=�� 5)?' '�s+ .

)�(

ωω ω rrbrrb

wb

bw

wb

w

dr

dfkhTThA

dr

dfTTk

TTkq

TThq

rfTT

TT

== =→−=−−

−−=

−=

=−

)()(

)(

)(

)(

$� X@+�� nD = � (3Dx 5Y�)�' G�+ X � h Q+�� f�� x=*�� .

1-a=+�d '�3� X�'��%'�G : (q=constant)

).(

36.436.4 =→=k

hdNu

hpl

qTThplq =∆→∆=

11 bw TTT −=∆

Tb1 Tb2

Tw1 Tw2 q=cte

Page 94: انتقال حرارت

��

��$ 5�+�' $� (�3� X� 5��J� r��+ 5Y�)�' �| � �B)�� f�� .

)�( 22 TbTwT −=∆

1b<=+�d '�3� ���

),y(

)(

66.366.3

xTTwT

Thplq

k

hd��Nu

b

d

−=∆

∆=

==

X��6� N�':

),,( 2

)( 21 TbTbTT w

+−=∆

I�� N�':

),t(

−−

−=∆

−=∆

∆=−=

−−

=

=−−

=−

=−

+=−+

∫ ∫

2

1

12

12

12

2

1

2

1

1

ln

)(

)(

ln

1

ln

)(

)()(

2

1

TbT

TbT

TbTbT

hpl

TbTbCmT

ThplTbTbCmq

TbT

TbTh

Cm

lTbT

TbT

hp

Cm

dxTT

dT

hp

Cm

dx

dTCmTThp

dxdx

dTTCmTThpdxTbCm

w

w

p

p

w

w

p

w

wp

Tb

Tb obw

bp

bpbw

bbpbwp

&

&

&

&

&

&

&&

l

ρ

t . U�\ r�> 5939 ' 5@�3� 0�%' r� 5�F (���&=+�d '�3� r��

Tb1 Tb2

Tw

Page 95: انتقال حرارت

��

),/( [ ]14.0

3/2

Re)(04.01

PrRe)(0668.066.3

++==

ωµµa

avL

D

LD

k

hDuNb�3)�

�'�3� r�� ' →ωµ

),�( log

2

21 Tو

TbTbT

ab ∆+

=

=�� � '��� 5+ �3+�� �8� U��@� C�+�'(Sieder and Tate)�� 3G:

),�(

)(2

1

10PrRe

)()(Pr)(Re86.1

21

14.031

31

bbw

wDd

TTTT

Tplhq

L

D

l

duN

−−=∆

∆=

>

= µµ

- . ���+5�F (���& 5939 ' 5@�3� 0�%' r�U�\ r�> � =+�d X�'��% '�G ' �sG ��$ =��3�

X@H3�� � (��� �G =��.

72���� Q�6� �+ 5939 ���+ b�3)� � �@H3� =���� 5@�3� (���& �+ 5939 � �'� Q�6� ' ��

5)?��

Page 96: انتقال حرارت

��

)2

( 21 bb TT +

d�k F�� �3�3 �� ����� �!��5 U��[� /���-

(Reynolds Analogy) ��(Colburn Analogy)

),�( y

um ∂

∂+= )( ευρτ

mε5+� �� =&f9 ���� a��@� N3�P� (���& ' 3G.

),.( y

TCq Hpw ∂

∂+−=′′ )( εαρ

Hε� 5+� �� 1KL ���H f� �� a��@� �� 3G . � �G�+ 1�� � ��'��% '�G ��M Q�$3� Z�? �+

=&f9 ��+��+ Z�? 5+� �� ��> 5+� �� 1KL ���H � �� =G� !�>�3M ��:

),�( )1(R

y−= ωττ

)ty( )1(R

yqq −′′=′′ ω

)t,( Hm εε =

���

)tt( 1Pr, == αυ

$� ��8�c),� ( �)ty(

)t-(

av

wp

x

b

x

bw

wp

avw

T

T

u

owp

w

wpwp

w

u

Ch

TT

qh

TTc

uq

dTduc

q

dTdyC

q

y

T

C

q

b

w

au

ττ

τ

ττ

ω

ω

=

′′=

−=′′

−=′′

−=′′

⇒∂

∂−=

′′

∫∫

!�'�

)t/( 2

2

1avfw uC ρτ =

)t�( 2

f

avp

xC

uc

h=

ρ

(3)��)�� � a��@� 5+ 5&3� �+

)t�( 2

f

x

CSt =

Page 97: انتقال حرارت

�p

X+�Y� I��^ $��G � � (��� =��:

)t�(

60,100Pr7.0,10Re

PrRe023.0

4

2.PrRe

PrRe

2Pr

4

8.0

31

32

≥<<>

=

=

=

=

=

DL

Nu

Cf

�&ديد��2ام

cfNu

NuSt

CSt

D

n

f

f

x

3M�����|���P� X��M �� :

)t.(

bww

bbb

w

avD

TTTcTeT

TTT

TTد��يدرخ&اصز�

uN

a

−=∆⇒=

+=

∆=∆

=

2

,:

PrRe023.0

21

log

14.0

31

8.0

µµ

��7�: (���& ' �+�Y� b+��' $� � �J� �@� 5+ ���� ��f& R�� ' ��G �'�G� ��M� ��> =��� .

I�� b+��' �� �' �� ;�)# ' (�3� ��> 0�� 5�+ �3�+�� ���+�)# �� � 5)?���L 7'��% 0�6)�� ���>

�# 3Y)*& ��'��%],/ [ �],�.[

heatingn

Coolingn

4.0

3.0

=

=

Page 98: انتقال حرارت

�w

72 � �'� ���+ =���� ��'��%5939 i�F3+'3� (���& � =+�d ��'��% '�G �+ ��>5)?�� 5@�3�

Page 99: انتقال حرارت

�~

. �# ��� :���8 ��� ��� ��!

Radiation Heat Transfer

���� $�X� 7'3\ i�^��P���)s9� ��3�� '��)�� 7'3\ 5+ X�+�� r���� X&3� ��WL.

X�'��% ��3�� a�^mm µλµ 20001.0 <<

XA�� a�^ mm µλµ 7.02.0 <<

0c ��� !*& :*& ���� !Black Body

5| !�A3� X� ���� X *& 5+:

,. �| X� ;W& �' X�+�� r���� 5 > .

t. =�� =M�3�s� 7��& 5 > ' ��3�� '��)�� .

-. =�� �)��+ (�*s� r�� ' r�8� !*& �> $� (c X�'��% r���� '��)�� .

���� !*& �@�@�� 7'� '� 3 � ��G ' λbE��% 5&' �*% �+ (��� �3� 03^ � 7'

� � �G =�� . 03^ 5+ ��J�� 5�� �)��+ ��>�� ���+ =�� uK�� f�� ��G ' 5# 5�38�� >

�3� �� 0�6)�� �)>��3# ��> �� �3+�� !> 5+ R�� (3��� I^ ��#�% ��6� R�� +�� �3G:

]6.5215[6.2897max RmmKT °= µµλ

∗��� �8���+ X�J�� ��$ `�� =�� ���� !*& $� �� 5+ �G �6)�� r�.

��VL C�+�'

),(

=1)

2exp(5

1,

T

c

CEb

λλ

λ

Page 100: انتقال حرارت

��

R�f)93+ r���� 5�+�':

)t( 4, TdEE

o

bb σλλ == ∫∞

���� !*& 7��\3lM � }3? b+��' (G RG�' r��+:

r�� � �>T�'� .

)-( ;W& ���H1

)(

)(

111

==

==

567��'#b

b567��'#A

وTE

TE8�9ن�

AEEAq

εε

ε

� X�'��% 0 �@� $�!�':

εαεα =⇒=321321 11 AEAE bb

� 3�G X�� ;W�& ������{ !*& b�3� �G �'�M ���� ��{ !*& $� 1+�� I��^ $� 5��c 5|��D

r�� 0 �@� ��� X�'����+ X�'��% .

`W� G� H� ��hN � A"�5H�" jc'-

7'3�\ 5�+ �' X� `�� �� 5+ X�+�� r���� 5��c 0 ��@� !*�& (c $� '3�� � 1+���'�+ [;W�&

X� 3G .

b�3� �G ;W&A1 ���� !*& 5+ �G ' �\

Page 101: انتقال حرارت

��

)�( 1=++

++=

ταρ

ταρ GGGG���' X�+�� r����

τ: 0�6)�� ���H)'3�(

α:;W& ���H

ρ:g�s@�� ���H

X � '3� 3M $� �' X�+�� r���� �� !*& 5| !��| Z�? ��� iL > )0( =τ =G� !�>�3M ��8�c:

bEε :!*& 3M r�� �^�M 5+ Q�@��

)�( bEGJ ερ +=

}3? C�+�' ' J�� �)��3� �' G�+.

)�( {)

1()()(

αε

ρε

−−=

−−=→−= bb EJ

JEJ

JAqGJAq

$� �k� U�\ Z�?�+τ

Page 102: انتقال حرارت

��

).(

A

JEq

JEAJEAq

EJJAq

b

bb

b

εε

εε

εε

εε

−−

=⇒

−−=

−−=

−−=

1

1)(

1)(

)1

(

�� ]�*&� r��+ iL!�'� 1+�� I��^ $� r���� ���| 0 :

���� !*& r��+⇐= JEb

��� O��PView Factor

X�+�� r���� $� r�*| 7'3\ 5+ � ���H `�� 5# =�� I5+ � � �# ��� �' `�� j�� � �'

�+ ��%V�\� �' (cFij!�> X� (��� .

`�� 5# ����� '�6�,�� ��� �' � �# `�� 5+t�� �+ =�� �+��+ �':

)�( 121121 FAJq =−

`�� 5# ����� '�6�t�� ��� �' `�� 5+ � �#,�� �+ =�� �+��+ �':

),y( 212212 FAJq =−

�+ 3+ >�3M �+��+ �G 59 �� ����� �# '�6� =���� ' :

),,( 2122121121 FAJFAJQ −=−

0 �@� '��:

&��� O���P ]�" Z"��� :

=�� !�� �����

Page 103: انتقال حرارت

��

),t( ∑

=

=

=N

j

ij

jijiji

F

AAFA

1

1

5kBJ� ��' 1+�� 0 �� 5��J� r��+N �@� [XJ�� N2=�� $��� '3� � ���H . $��� R��

�3G ���� i����� 7'3\ 5+ � ����H 5| 3G X� (��+ �� `H�� X��8�> .

),-(

nnnn FFF

FFF

FFF

...............

.................

.............

...........

21

282221

181211

MMM

H ]� � 5| =*�� ]$F X9� '3^ 5+ �>� ���G 5��J� �fY��3 .

uK��� �' �� �����H ]�� � (�3� X� � ����H r��+ �G 5)B� X���� 5�+�' � $� � �B)�� �+

3 � .

�J�:

),/( ∑=

=++⇒=3

1131211 11

j

ij FFFF

∗� ��{ !*& �> � ���H JG�+ X� �B\ N 3M 5+ =*� ; .

),�( [ ] [ ]

[ ] [ ]1

21

212

21

221

13

1

21

212

21

221

12

1312

11

2

4)(4)(1

2

4)(4)(

1

0

w

wwwwF

w

wwwwF

FF

F

+−−+−=⇒

+−−++=

=+⇒

=

�J�:

��'3� �� ��G ���H,��| ��L (c �M� 5+ =*��' .

Page 104: انتقال حرارت

��

�> ���$ =�� �� �+��+ ��'3� 3M 5+ =*� ��'3� ��� ���H 5| � ;�3& (�3� X� ��8� �� �+

1+��$�+ �� ;W& ��'3� (�' 3G ��'3� 5�+ '�� ��'3��� $� 1+�� 5D X�'�� 5� �� G >�3M

��+ X � �' r�8� r�& � =�� ��'3� (�' �? (c� ]� � G�+ ��'3� r�' XlKG !�D ���.

F��Q5 U��h��S�,5�

),�( 11 12

0

1211

11

=⇒=+=

FFFF

0��� '�� �sG,:

X��� ��D-� �� ,�"�5 Fo��� �����

Page 105: انتقال حرارت

��

��$ �sG ' 0��� r��+:

),�( 21221

121121112

2

1

FEAq

FEAFJAq

b

b

=

==

`��$� r���� 0 ��, :

),.( )(61

14

24

1121

22121121

2112

TTFA

EFAEFA

qqq

bb

−=⇒

−=

−=

!�'� X�| '3^ 5+:

),�( ∑=

−=N

j

jiiji TTFAq1

441 )(6

�J� :

0��� ' ,�'�c =�+ �' !*& `�� $� X9�6)�� r���� .

[ ] [ ]

[ ] [ ]1

21

212

21

221

13

1

21

212

21

2112

1

43

41131

42

41121

44

2

4)(4)(

2

4)(4)(

)(6)(6)(6

w

wwwwF

w

wwwwF

TTFATTFATTFAqN

j

jiiji

+−−++−=

+−++=

−+−=−=∑=

Page 106: انتقال حرارت

p��

92���&:�;� ��� ���

[1] Carslaw, H.S., and Jaeger, J.C., Conduction of Heat in Solids, 2nd

ed., Oxford University Press, London, 1959 [2] Arpaçi, V. S., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley,

Reading, M.A., 1996 [3] Myers, E.E., Analytical Methods in Conduction Heat Transfer,

McGraw-Hill, New York, 1971 [4] Kays, W.M., and Crawford, M.E., Convection Heat and Mass

Transfer, McGraw-Hill, New York, 1980 [5] Bejan, A., Convection Heat Transfer, John Wiley & Sons, New

York, 1995 [6] Eckert, E.R.G., and Drake, R.H., Jr., Analysis of Heat and Mass

Transfer, McGraw-Hill, New York, 1981 [7] Siegel, Ro., and Howell, J.R., Thermal Radiation Heat Transfer,

McGraw-Hill, New York, 1981 [8] Özicik, Boundary Layer Value Problems of Heat Conduction,

International Textbook, Scranton, P.A., 1968 [9] Incropera, F.P., and Witt, D.P., Introduction to Heat Transfer, John

Wiley & Sons, New York, 1996 [10] Leinhard IV, J.H., and, Leinhard V, J.H.,A Heat Transfer Text

Book, Phlogiston Press, Cambridge Massachusetts, 2001 [11] Holman, J.P., Heat Transfer, McGrow-Hill, New York, 1997 [12] White, F.M., Fluid Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1999 [13] White, F.M., Viscous Fluid Flow, McGrow-Hill, New York,

1991 [14] Kay, W.S., and London, A.L., Compact Heat Exchangers,

Krieger Publishing Company, Malabor, Florida, 1998 [15] Saunders, E.A.D., Heat Exchangers: Selection, Design, and

Construction, Longman, Harlow, 1988

Page 107: انتقال حرارت

مادسیج

نینو یریادگیبه یپنجره ا ،جیمادس

مفهوم اشاره نیا در باشد. یم رانیدهکده علم و دانش ا یبه معنا یو در مفهوم بوم ییدانا فتهیش یبه معنا madsageمخفف کلمه جیمادس

باشد. ی( مرانیاقوام ا نیاز اول یکیکشورمان( و ماد ) یبایز یاز روستاها یکی) جیبه دو کلمه س

در ،هرچه راحت تر جامعه بزرگ علمی ایران یو دسترس یعلم شرفتیبا هدف بهبود پ( IRESNET) جیمادس یژوهشپ -شیشبکه آموز

دانش آموخته رشته یرضا محمود یارشد جناب آقا ینامه کارشناس انیاز طرح پا جیمادس هی. هسته اولفضای مجازی ایجاد شده است

باشد، بر گرفته یمهر البرز م یمعاون دانشگاه مجاز یدکتر عباد یاستاد گرانقدر جناب آقا ییکه با راهنما تهراندانشگاه یآموزش تیریمد

. شده است

رانپژوهشی ای –شبکه آموزشی