Ejercicios de matrices

PROBLEMAS 6.1

1. Sean

A= [ 1 −6 2−4 2 1] B= [1 2 3

4 5 67 8 9] C= [1 1

2 23 3] D=[1 0

E=[1 2 3 40 1 6 00 0 2 00 0 6 1

] F= [ 6 2 ] G= [561] H= [1 6 20 0 00 0 0 ] J= [ 4 ]

a) Establezca el tamaño de la matriz:2x3

A es 2 × 3B es 3 × 3 C es 3 × 2 D es 2 × 2 E es 4 × 4 F es 1 × 2G es 3 × 1H es 3 × 3 J es 1 × 1

b) ¿Cuáles matrices son cuadradas?

Las matrices cuadradas son B, D, E, H y J.

c) ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores?

H y J son matrices triangular superior. D y J son matrices triangular inferior.

d) ¿Cuáles son vectores renglón?

F y J son vectores fila.

e) ¿Cuáles son vector columna?

G y J son vectores columna.

En los problemas 2 a 9 sean

A= [a ij]=[7 −2 14 66 2 3 −25 4 1 08 0 2 0

]2. ¿Cuáles es el orden de A?

A tiene 4 filas y 4 columnas. Así que el orden de A es 4.

Encuentre las entradas siguientes:

3. a21es 6

4. a14es 6

5. a32es 4

6. a34es 0

7. a44es 0

8. a55A tiene sólo 4 filas y 4 columnas. Así que a55 no existe

9. ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal?

Las entradas de la diagonal principal son 7, 2, 1, 0.

10. Escriba la matriz triangular superior de orden 4, dado que todas las entradas que no se requiere que sean 0, son iguales a la suma de los subíndices.

[2 3 4 50 4 5 60 0 6 70 0 0 8

]11. Construya una matriz A=[a ij]si A es 3 X 5 y a ij= -2i+3j.

12. Construya una matriz B=[b ij] si B es 2 X 2 y b ij = (−1 )i+ j (i2+ j2 ).

13. Si A=[a ij]es de 12 X 10 ¿Cuántas estradas tiene A? Si a ij=1para i = j y a ij= 0 para i ≠ j,

encuentre a33 , a52 , a10 10 y a12 10

12 · 10 = 120, por lo que A tiene 120 entradas.Por, a33i = 3 = j, por lo a33 = 1. Desde el 5 ≠ 2, a52 = 0.Por a1010, i = 10 = j, así a1010= 1. Desde el 12 ≠ 10, a1210 = 0.

14. Liste la diagonal principal de

(a) [ 1 4 −2 07 0 4 −1

−6 6 5 12 1 7 2

] (b) [ x 1 y9 y 7y 0 z ]

(a) 1, 0, -5, 2(b) x, y, z

15. escriba la matriz cero de orden (a) 4 y (b) 6

(a) [0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(b) [0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

]16. Si A es una matriz de 7 X 9, ¿Cuál es el orden de AT?

Si A es 7 x 9, entonces AT es de 9 × 7.

En los problemas 17 a 20 encuentre AT

17. [6 −32 4 ]

18. [ 2 4 6 8 ]

19. [ 1 3 7 33 2 −2 0

−4 5 0 1]

20. [ 2 −1 0−1 5 10 1 3]

21. Sean

A= [7 00 6] B= [1 0 0

0 2 00 10 −3] C= [0 0 0

0 0 00 0 0 ] D= [2 0 −1

0 4 00 0 6 ]

a) ¿Cuáles son matrices diagonales?

A y C son matrices diagonales.

b) ¿Cuáles son matrices triangulares?

Todas son matrices triangulares

22. Una matriz es simétrica si AT= A. ¿La matriz del problema 19 es simétrica?

Dado que AT ≠ A, la matriz del problema 19 no es simétrica

23. Si

A= [1 0 −17 0 9 ]

Verifique que la propiedad general de que (AT )T = A al encontrar AT y después de (AT )T .

En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial.

24. [2x yz 3w]=[4 6

0 7 ]2x = 4, y = 6, z = 0, 3w = 7.

x = 2, y = 6, z = 0, w = 73

25. [ 6 2x 7

3 y 2 z]=[6 26 72 7 ]

6 = 6, 2 = 2, x = 6, 7 = 7, 3y = 2, 2z = 7

x = 6, y = 23

, z = 72

26. [ 4 2 13x y 3 z0 w 7 ]=[4 2 1

6 7 90 9 8]

Igualando las entradas en la tercera fila y columna tercera da 7 = 8, que no es verdad, no hay solución.

27. [2x 77 2 y ]=[ y 7

7 y ]2x = y, 7 = 7, 7 = 7, y = y

2y = y

y = 0.

2x = y

2x = 0

x = 0, y = 0

28. Inventario una tienda de abarrotes vendió 125 latas de sopa de tomate, 275 de frijoles y 400 de atún. Escriba un vector reglón que proporcione el número de artículos vendidos de cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $0.95, $1.03, $1.25, respectivamente, escriba esta información como vector columna.

[ 125 275 400 ]

[0.951.031.25]

29. Análisis de ventas La compañía Widget presenta sus reportes de ventas mensuales por medio de matrices cuyos reglones representan, en orden, el número de modelos regular, de lujo y de súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de unidades rojas, blancas, azules, y purpuras que se vendieron. Las matrices para Enero (E) y Febrero (F) son

E = [2 6 1 20 1 3 52 7 9 0] F =[0 2 8 4

2 3 3 24 0 2 6 ]

(a) En enero, ¿Cuántas unidades de los modelos de súper lujo se vendieron?

La entrada en la fila 3 (súper lujo) y la columna 2 (blanco) es 7.

En enero, 7 modelos blancos de súper lujo fueron vendidos.

(b) En febrero, ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron?

La entrada en la fila 2 (de luje) y la columna 3 (azul) es 3.

En febrero, 3 modelos azules de lujo se han vendido.

(c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares purpuras?

Las entradas en la fila 1 (regular) y la columna 4 (púrpura) dan el número de modelos púrpura regulares vendidos. Para la entrada E es 2 y para F la entrada es de 4.

Los modelos más habituales púrpura se vendieron en febrero.

(d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en amos meses?

En enero y febrero, los modelos de lujo azules (fila 2, columna 3) vendieron el mismo número de unidades, 3.

(e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?

En enero, un total de

0 + 1 + 3 + 5 = 9 modelos de lujo se han vendido.

En febrero, un total de

2 + 3 + 3 + 2 = 10 modelos de lujo se han vendido.

Así que, en febrero se vendieron más modelos de lujo.

(f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?

En enero, un total de

2 + 0 + 2 = 4 reproductores rojas fueron vendidas

En febrero un total de

0 + 2 + 4 = 6 reproductores rojos fueron vendidos.

Así que, en febrero se vendieron más modelos rojos Widgets.

(g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

2+6+1+2+0+1+3+5+2+7+9+0 = 38

Sumando todas las entradas de la matriz E se obtiene que un total de 38 modelos fueron vendidos en enero.

30. Matriz de insumo-producto Las matrices de insumo-producto desarrolladas por W.W. Leotief indica las interrelaciones que existe entre los diferentes sectores de los diferentes sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético para una economía simplificada consiste en la matriz M que se presenta al final de este problema. Los sectores consumidores son los mismos que los productores y pueden considerarse como manufactura, gobierno, acero, agricultura, domestica, etc. Cada reglón muestra como consumen el producto de un sector dado cada uno de los sectores. Por ejemplo, del total de la producción de la industria A, se determinaron 50 unidades para la propia industria A, 70 para la B, 200 para la C y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas en el reglón 1 -a saber, 680- informa sobre la producción total de A para un periodo dado. Cada columna indica la producción de cada sector, que consume un sector dado. Por ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria A consume 50 unidades de A, 90 de B, 120 de C y 420 de todos los productores. Encuentre la suma de las entradas para cada columna. Haga lo mismo con cada reglón. ¿Que observa al comparar estos totales? Suponga que el sector A aumenta su producción en 20%, es decir, en 136 unidades. Si se supone que esto provoca un aumento uniforme del 20% en todos los insumos, ¿en cuántas unidades aumentara su producción el sector B? responda la misma pregunta para C y para todos los demás productores.

CONSUMIDORES

PRODUCTORES ¿¿ Industria A ¿

¿ IndustriaC ¿¿Todoslos demás ¿¿ productores¿¿[ INDUSTRIA INDUSTRIA INDUSTRIA TodoslosA B C demas¿ 50 70 ¿

360¿90¿30¿270¿320¿120¿240¿100¿1050¿420¿370¿190¿4960¿]Suma de las Columnas

A= 50+90+120+420

A= 680

B= 70+30+240+370

B= 710

C= 200+270+100+190

C= 1510

D= 360+320+1050+4960

D= 6690

Suma de los Reglones

A= 50+70+200+360

A= 680

B= 90+30+270+320

B= 710

C= 120+240+100+1050

C= 1510

D= 420+370+940+4960

D= 6690

La cantidad que la industria consume es igual a la cantidad de su producción.

El sector B tiene que aumentar la salida de 20% X 90 = 18 unidades.

El sector C industria tiene que aumentar la producción en 20% X 120 = 24 unidades.

Todos los demás productores tienen que aumentar en 20% X 420 = 84 unidades.

31. Encuentre los valores de x para los cuales

[ x2+2000 x √x2

x2 ln (ex )]=[ 2001 −x2001−2000 x x ]

x2+2000x=2001

x2+2000x-2001=0

x=−b±√b2−4ac2a

x=−2000±√20002−4 (1 )(−2001)

x=−2000±√4 ' 000.0000+8.0042

x=−2000±√4' 008.0042

x=−2000±20022

x= -2001

ln (ex)=x

x ln e=x

x – x = 0

√ x2=−x2

(√ x2)2=(−x2)2

x2−x2=0

x2=2001−¿2000x

x2+2000x-2001=0

x=−b±√b2−4ac2a

x=−2000±√20002−4 (1 )(−2001)

x=−2000±√4 ' 000.0000+8.0042

x=−2000±√4' 008.0042

x=−2000±20022

x = -2001

En los problemas 32 y 33 encuentre AT

32. A=[ 3 −4 5−2 1 6]

AT=[ 3 −4 5−2 1 6]

=[ 3 −2−4 1

5 6 ]=A

33. A=[3 1 4 21 7 3 61 4 1 2]

AT=[3 1 4 21 7 3 61 4 1 2]

=[3 1 11 7 44 3 12 6 2

Programas utilizados:

Algebrator v6.0

Sismas

Universal Math Solver v7.0.0.5

Paginas Utilizadas:

1. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix

PROBLEMAS 6.2

En los problemas del 1 al 12, realice las operaciones indicadas:

6. [ 7 7] +66

NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO

NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO.

1 -1 -6 9

2 0 2 6 3 -6 -3 1 -2 4 9 4 5

1 -5 0 10 0 30 -2 7 0 +1/5 0 5 0 4 6 10 5 20 25

1 0 0 1 2 0 4 -2 2 3 0 1 0 -3 0 -2 1 - -3 21 -9 0 0 1 0 0 1 0 1 0

1 0 0 3 0 1 0 -3 0 0 1

En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si

A= 2 1 B= -6 -5 C= -2 -1 O= 0 0

3 -3 2 -3 -3 3 0 0

13. -B

14. - (A - B)

- 2 1 - -6 -5

3 3 2 -3

15. 2O

16. A - B + C

2 1 - -6 -5 + -2 -1

3 -3 2 -3 -3 -3

2 1 + 6 5 + -2 -1

3 -3 -2 3 -3 -3

17. 3 (2A - 3B)

18. 0(A + B)

0 2 1 + -6 -5

3 -3 2 -3

19. 3(A - C) + 6

NO ES DEFINIDA

20. A + (C + B)

21. 2B - 3A + 2C

22. 3C - 2B

23. 1/2A - 2(B + 2C)

24. 1/2A - 5(B + C)

En los problemas del 25 a 28, verifique las ecuaciones para las anteriores matrices A, B y C

25. 3 (A + B) = 3A + 3B

3(A+B)= 3 -4 -4 -12 -12 = 5 -6 15 -18

3A+3B = 6 3 -18 -15 -12 -12 =

9 -9 + 6 -9 15 -18

Es Verdad 3 (A+ B) = 3A + 3B

26. (2 + 3) A = 2A + 3A

(2+3) A = 5A = 10 5 15 -15

2A + 3A = 4 2 + 6 3 = 10 5 6 -6 9 -9 15 -15

Es verdad (2+3) A=2A+3A

27. k1 (k2A)= (k1k2) A

k1 (k2A) = k1 2k2 K2 = 2k1k2 k1k2

3k2 -3k2 3k1k2 -31k2

(k1k2)A= 2k1k2 k1k2

3k1k2 -31k2

Es verdad k1 (k2A)= (k1k2) A

28. K (A-2B+C) = kA-2kB+kC

Es verdad k(A-2B+C)= kA-2kB+kC

En los problemas 29 a 34 sean:

1 2 1 3 1 0 1 2 -1A = 0 -1 B = 4 -1 C = 1 2 D = 1 0 2 7 0

Calcule si es posible, las matrices indicadas

29. 3A + DT

30. (B - C)T

31. 2BT - 3CT

32. 2B + BT

33. CT – D

Es imposible Hacer

34. (D - 2AT)T

35. Exprese la ecuación matricial

3 -4 2X 2 -Y 7 = 3 4

Como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo

Su equivalente en ecuación: 3x+4y = 6 2x-7y = 12

Multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por -3 y obtenemos

6x+8y = 12 -6x+ 21y = -36

Y ahora resolvemos la ecuación y despejamos Y:29y = -24y = - 24/29

Despejamos X:3x = 6(-24/29) = 270/29X = 90/29La respuesta es: x = (90/29), y= -24/29X = 3,10; Y= - 0,83

36. En forma inversa a la que utilizo en el problema 35, escriba el sistema

2x-4y= 165x+7y=-3

Como una ecuación matricial

En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales

37. 3 x - 3 -2 = 4 6

y 4 -2

3x + 6 = 243x = 18x = 6

3y – 12 = -8 3y = 4y = 4/3

Respuesta: x = 6; y = 4/3

38. 3 x - 4 7 = -x

2 -y 2y

3x – 28 = -x4x = 28x = 7

6 + 4y = 2y2y = -6y = -3

Respuesta: x = 7, y = -3

39. 2 x -10

4 +2 y = -24 6 4z 14

2 + 2x = -102x = -12x = -6

4 + 2y = -242y = -28y=-14

6 + 8z = 148z = 8z=1

Respuesta x=-6, y=-14, z=1

40. 2 -1 0 10

x 0 +2 0 + y 2 = 6 2 6 -5 2x+12-5y

2x-2 = 10 2y 6 2x+12-5y 2x + 12 - 5y

2x – 2 = 102x = 12x = 6

2y = 6y = 3

2x + 12 - 5y = 2x + 12 - 5y.Se Resuelve por la formula general y se coge las respuestas positivas X y Y. Entones x=6, y=3

41. Producción: Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y magnetos en dos plantas, I y II. La matriz X representa la producción de las plantas para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son:

I II I II DIS 30 50 DIS 15 25X= BUJ 800 720 Y= BUJ 960 800 MAG 25 30 MAG 10 5

L a respuesta es: 45 75 1760 1520

42. Ventas Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de juguetes para tres ciudades en 2003, y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en el año 2005, donde A y B están dadas por

A = Acción 400 350 150 B = Acción 380 330 150 Educativo 450 280 850 Educativo 460 320 750

Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas que consiguió en el año 2005, ¿Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006?

2B - A

2 380 330 220 - 400 350 150 460 320 750 450 280 850

= 2(380) 2(330) 2(220) - 400 350 150 2(460) 2(320) 2(750) 450 280 850

= 760 660 440 - 400 350 150 920 640 1500 450 280 850 L a respuesta es 360 310 290

470 360 650

43. Suponga que el precio de los productos A, B y C está dado, en ese orden, por el vector de precios

P = p1 p2 p3

Si los precios se incrementan en 10%, el vector de los nuevos precios puede obtenerse al multiplicar P, ¿Por qué escalar?

44. Demuestre que (A - B)T = AT- BT. (Una pista: Utilice la definición de sustracción y las propiedades de la operación de transposición).

(A - B)T= [A + (-1) B]T Definición de sustracción= At + [(-1) B]T Transpuesta y suma= AT+ (-1) BT Transpuesta y multiplicación del escalar= AT – BT Definición de sustracción

En los problemas 45 a 47 calcule las matrices dadas si

A = 3 -4 5 B = 1 4 2 C = -1 1 3 -2 1 6 4 1 2 2 6 -6

45. 4A + 3B

12 -16 20 + 3 12 6-8 4 24 12 3 6

= 15 -4 26 4 7 30

46. -3(A + 2B) + C

2B = 2 8 4 A + 2B = 5 4 9 -3(A + 2B) = -15 -12 -27 8 2 4 6 3 10 -18 -9 -30

-3(A + 2B) + C = -16 -11 -24 -16 -3 -36

47. 2(3C-A)+2B

3C - A = -3 3 9 + -3 4 -5 = 0 7 4 6 18 -18 2 -1 -6 8 17 -24

2(3C - A) = 0 14 8 16 34 -48

2B = 2 8 4 8 2 4

2(3C - A) + 2B = 2 22 12 24 36 -44

Programas Utilizados:

Algebrator 6.0

Sismas

Paginas Utilizadas:

1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ 2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php

PROBLEMAS 6.3

1 3 2 0 -2 3 Si A = - 2 1 -1 B = - 2 4 -2 y AB = C [C ij] 0 4 3 3 1 -1

Encuentre cada uno de los elementos siguientes:

1. C11 = -122. C23 = -73. C32 = 194. C33 = -115. C31 = 16. C12 = 4

Si A es de 2x3, B de 3x1, C de 2x5, D de 4x3, E de 3x2 y F de 2x3, encuentre el tamaño y número de entradas en cada uno de los siguientes ejercicios.

7. AE = 2x2; 48. DE = 4x2; 89. EC = 3x5; 1510. DB = 4x1; 411. FB = 2x1; 212. BC = 3x5; 1513. EET B = 3x1; 314. E (AE) = 3x2; 615. E (FB) = 3x1; 316. (F+A) B = 2x1; 2

Encuentre la matriz identidad que tiene el orden siguiente:

I = [1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]18. 6

I = [1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36

-2 1 26. 1 -4 0 1 5 0

No es definida, matriz 1x2 y matriz 3x2

En los problemas 37 a 44 calcule las matrices requeridas si

1 -2 -2 3 0 -1 1 1 0 0 3 0 0A= 0 3 B= 1 -4 1 C= 0 3 D= 0 1 1 E= 0 6 0 2 4 1 2 1 0 0 3 1/3 0 0 1 0 0F= 0 1/6 0 I= 0 1 0 0 0 1/2 0 0 1

37. D – 1/3 EI

38. DD

39. 3A – 2 BC

40. B (D+E)

41. 3I – 2/3 FE

42. FE (D-I)

43. (DC) A

44. A (BC)

En los problemas 45 a 58, calcule la matriz requerida si existe, dado que.

1 -1 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 0 0 0 A= 0 0 1 B= 2 -1 0 C= 2 -1 I= 0 1 0 O= 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0

45. A2

1 -1 0 1 -1 00 0 1 0 0 1

Imposible

46. ATA

47. B3

48. A (BT)2 C

49. (AIC) T

50. AT (2CT)

51. (BAT) T

52. (2B) T

53. (AT CT B)0

54. (2I) 2 -2I2

55. A (I-0)

56. IT O

57. (AB) (AB) T

58. B2 -3B+2I

En los problemas 59 a 61, represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices.

3x – y = 959. 2x - 9y = 5

3x + y + z = 260. x – y + z = 4 5x – y + 2z = 12

2r-s+3t=961. 5r-s+2t=5 3r-2s+2t=11

62. Mensajes secretos, los mensajes secretos pueden encriptarse por medio de un código o una matriz de codificación. Suponga que tiene el código siguiente:

a b c d e f g h i j k l m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

1 3Sea E = 2 4 la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje tomando cada dos letras para crear una matriz de 2x1 y luego multiplicar cada matriz por E. utilice este código para encriptar este mensaje. “the/ falcon/ has/ landed”. (el/ halcón/ ha/ aterrizado) de je las diagonales para separar las palabras.

44, 72, 23/ 34, 37, 50, 48, 66, 38/ 60, 58, 78/ 15, 28, 26, 44, 17, 26.

63. Inventario.- Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150, y el de cada loro es de $35, por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de la tienda de mascotas.

64. Acciones.- Un agente de bolsa vendió a una cliente 200 acciones de tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C, D son $100, $150, $200 y $300respectivamente. Escriba un vector columna que represente el previo por acción de cada tipo. Con el uso de la multiplicación de matices, encuentre el costo total de las acciones.

65. Costo de construcción.- Suponga que el contratista del ejemplo que debe construir siete casas con estilo rustico, tres con estilo moderno, y cinco con estilo moderno. Con el uso de la multiplicación de matrices, calcule el costo total de la materia prima.

$828.950,00

66. Costos.- suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de la compra. Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente.

Compra Transporte

3500 50 Acero 1500 50 MaderaC= 1000 100 Vidrio 250 10 Pintura 3500 0 Mano de Obra

(a) A partir del cálculo RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.

(b) Encuentre la matriz QRC, cuya primera entrada proporcione el precio de compra total, y cuya segunda entrada dé el costo total de transporte.

(c) Sea Z = 1/1 calcule QRCZ, que proporcione el costo total de materiales y transporte para todas las casas que serán construidas.

QRC (C, T) = 2´957.500 61180

67. Realice los siguientes cálculos para el ejemplo 6.

(a) Calcule la cantidad que cada industria y cada consumidor debe pagar por los bienes que reciben.

68. Si AB=BA demuestre que (A+B) (A-B)= A2 – B2

69. Demuestre que si

1 2 2 -3A= 1 2 y B= -1 3/2

Entonces AB=O. Observe que como ni A ni B son matriz cero, la regla algebraica para los números reales “si ab=0, entonces alguno de a y b es cero “no se cumple para las matrices. También puede demostrarse que la ley de cancelación tampoco es cierta para las matrices: es decir, si AB=AC, entonces no necesariamente es cierto que B = C.

70. Sean D1 y D2 dos matrices diagonales de 3x3. Calcule D1, D2 = D2 D1 y demuestre que

(a) Tomando D1, D2 como D2 D1 son matrices diagonales

(b) D1 y D2 conmutan, lo que significa que D1, D2= D2, D1

De la parte (a), D1D2 = D2D1. Así, D1 y Conmutar D2. [De hecho, todos los n × n diagonalMatrices conmutan.]

En el problema 71 a 74 calcule las matrices requeridas dados que:

3.2 -4.1 5.1 1.1 4.8 -1.2 1.5A= -2.6 1.2 6.8 B= -2.3 3.2 C= 2.4 6.2 4.6 -1.4

71. A (2B)

2.2 9.6 3.2 -4.1 5.1 -4.6 6.4-2.6 1.2 6.8 9.2 -2.8

72. -3.1 (CA)

3.2 -4.1 5.1 -1.2 1.5 -3.1 -2.6 1.2 6.8 2.4 6.2

23.99 -20.83 -12.6526,16 7.43 -168,6373. 3CA (-B)

3 (-B)

15.53 218.4-775.125 2272.188

74. C3

-1.2 1.5

2.4 6.2

Algebrator 6.0

Sismas

Paginas Utilizadas:

1. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php 2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html 3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

PROBLEMAS 6.4

Determine si la matriz de los problemas 1 a 6 es reducida o no.

1. [1 35 0 ]

La primera entrada distinta de cero en la fila 2 no es la derecha de la primera entrada diferente de cero en la fila 1, por lo tanto, no se reduce.

2. [1 0 0 30 0 1 2 ]

Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad especial

3. [1 0 00 1 00 0 1 ]

Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad

4. [1 10 10 00 0

]En la fila 2, el primer cero de entrada no se encuentra en la columna 2, pero no todas las otras entradas en la columna 2 son ceros, por lo tanto, no se reduce.

5. [0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

]La primera fila se compone enteramente de ceros y no es debajo de cada fila que contiene un elemento distinto de cero, por lo tanto, no se reduce.

6.- [0 0 11 0 30 1 50 0 0

]La primera entrada distinta de cero de la fila 2 está a la izquierda de la primera entrada distinta de cero de la fila 1, por lo tanto, no se reduce.

Reduzca la matriz dada en los problemas 7 a 12

7. [1 34 0 ]

8. [0 −3 0 21 5 0 2 ]

9. [2 4 61 2 31 2 3 ]

10. [2 31 −64 81 7

11. [ 2 0 3 1

1 4 2 2−1 3 1 40 2 1 0

12. [0 0 22 0 30 −1 00 4 1

Resuelva los sistemas de los problemas 13 a 26 mediante el método de reducción

13. 2x - 7y = 50

x + 3y = 10

Asi, ;

14. x - 3y = -11

4x + 3y = 9

15. 3x + y = 4

12x + 4y = 2

La última fila indica 0 = 1, que nunca es verdad, así que no hay solución.

16. x + 2y - 3z = 0

-2x - 4y + 6z = 1

La última fila indica que 0 = 1, lo cual nunca es cierto. No hay una solución.

17. x + 2y + z - 4 = 0

3x + 2z - 5 = 0

Por lo tanto,

donde r es cualquier número real.

18. x + 3y + 2z - 1 = 0

x + y + 5z - 10 = 0

Por lo tanto,

donde r es cualquier número real.

19. x1 - 3x2 = 0

2x1 + 2x2 = 3

5x1 - x2 = 1

A partir de la tercera fila, 0=−17

4 que nunca es verdad, así que no existe solución.

20. x1 + 4x2 = 9

3x1 - x2 = 6

x1 - x2 = 2

La última fila indica que 0 = 1, que nunca es verdad. No existe una solución.

21. x - y -3z = -5

2x - y -4z = -8

x + y -z = -1

Por lo tanto,

22. x + y - z = 7

2x - 3y - 2z = 4

x - y - 5z = 23

Por lo tanto,

Por lo tanto, , donde r es un número real

Por los tanto, donde r es cualquier número.

Por lo tanto,

Resuelva los problemas 27 a 33 con el uso de la reducción de matrices

Sea x = impuesto federal; y = impuestos estatales.

Entonces x = 0,25 (312000 - y); y = 0.10 (312 000 - x).

De manera equivalente,

Por lo tanto x = 72.000; y = 24.000, por lo que el impuesto federal es de $ 72.000 y el impuesto estatal es de $ 24.000.

Por lo tanto x = 2.500; y = 2000, así que 2.500 unidades de A y 2.000 unidades de B debe ser vendido.

Sea x = número de unidades de A producida, y = número de unidades de B producido, y z = número de unidades de C producido, entonces

no. de unidades: x + y + z = 11.000

Costo total: 4x + 5y + 7z + 17.000 = 80.000

Beneficio total: x + 2y + 3z = 25.000

De manera equivalente

Por lo tanto x = 2000, y = 4000, y z = 5000, por lo que 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 unidades de C debe ser producido.

Sea x = número de escritorios que se producirán en la planta de la Costa Este y el número de mesas y = a producir en la Costa Oeste de la planta. Entonces x + y = 800 y = 90x 20.000 95Y + 18.000.De manera equivalente

Así, la orden de producción es de 400 unidades de la central costa este y 400 unidades en la planta de la Costa Oeste.31. Vitaminas Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre

tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de D y 5 de vitamina E; la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades, respectivamente; la marca Z tiene una unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E.

Sea x = número de píldoras de la marca X, y = número de píldoras de marca Y, y Z = número de píldoras de marca Z

Teniendo en cuenta los requisitos que la unidad le da al sistema

Donde,

Las únicas soluciones para el problema son

Sus costos respectivos (en centavos) son 15, 23, 31, y 39.

a. Las combinaciones posibles son 3 de X, 4 de Z; 2 de X, de Y 1, 5 de Z; 1 de X, de Y 2, 6 de Z; 3 de Y, 7 de Z.

b. La combinación de 3 X 4 de Z cuesta 15 centavos de dólar al día.

c. La combinación menos costosa es de 3 X, 4 de Z; la más cara es de 3 Y, 7 de Z.

La maquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas. Encuentre cuantas unidades de cada articulo deben producirse para utilixar todo el tiempo disponible de las máquinas.

Sean x, y, y z son los números de unidades de A, B, y C, respectivamente.

Por lo tanto, 98 unidades de A, 76 unidades de B, y 60 unidades de C debe ser producido.

a.- Sea s, d, y g representan el número de unidades de S, D, y G, respectivamente. Entonces:

Por lo tanto

s = 5 - r, d = 8 - r, y g = r,

donde r = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Las seis posibles combinaciones están dadas por:

b.- Cómo calcular el costo de cada combinación, nos encontramos con que son 4700, 4600, 4500, 4400, 4300, y 4200 dólares, respectivamente. Comprar 3 unidades de lujo y 5 unidades de Gold Star (s = 0, d = 3, g = 5) minimiza el costo.

Derive 6

Sismas

Paginas utilizadas:

1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ 2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html

PROBLEMAS 6.5

En los problemas 1 al 8 resuelva los sistemas por reduccion de matrices

1. w + x - y - 9z = -3

2 w + 3x + 2y + 15z = 12

2w + x + 2y + 5z = 8

Siendo:

w = -1+7r

x = 2-5r

y = 4-7r

z = r (donde r es cualquier número real)

2. 2w + x + 10 y + 15z = -5

w - 5x + 2y + 15z = -10

w + x + 6y + 12z = 9

Siendo:

512 r -

214r−27

y = −57

8r+199

z = r (donde r es cualquier número real)

3. 3w - x - 3 y - z = -2

2w - 2x - 6y - 6z = -4

2w - x - 3y - 2z = -2

3w + x + 3y + 7 z = 2

Siendo:

w = -s

x = -3r - 4s + 2

z = s (donde r y s son números reales)

4. w + x + 5z = 1

w 6y + 2z = 1

w - 3x + 4y - 7z = 1

x - y + 3z = 0

Siendo:

w = -r – 2s +1

x = r - 3s

5. w + x + 3y - z = 2

2w + x + 5y - 2z = 0

2w - x + 3y - 2z = -8

3w + 2x+ 8y - 3z = 2

w + 2y - z = -2

Siendo:

w = -2r + s – 2

x = -r + 4

6. w + x + y + 2z = 4

2w + x + 2y + 2z = 7

w + 2x + y + 4z = 5

3w - 2x + 3y - 4z = 5

4w - 3x + 4y - 6z = 9

Siendo:

w = -r + 3

x = -2s + 1

7. 4x1 - 3x2 + 5x3 - 10x4 + 11x5 = -8

2x1 + x2 + 5x3 + 3x5 = 6

Siendo:

x1 = -2r + s - 2t

x2 = - r – 2s + t + 4

x3 = r

x4 = s

x5 = t (donde r, s y t son números reales).

8. x1 + 3x3 + x4 + 4x5 = 1

x2 + x3 - 2x4 = 0

2x1 - 2x2 + 3x3 + 10x4 + 15x5 = 10

x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + 2x5 = -2

Siendo:

x1 = −72

−177r

−167r

x5 = r ( donde r es un número real).

Para los problemas 9 a 14, determine si el sistema tiene un número infinita de soluciones o sólo la solución tribial. No resuelva los sistemas

9. 1,06x + 2,3y - 0,05z = 0

1,055x - 0,6y + 0,09z = 0

El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <3), por lo que hay una infinidad de soluciones.

10. 3w + 5x - 4y + 2z = 0

7w - 2x + 9y + 3z = 0

El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <4), por lo que hay una infinidad de soluciones.

11. 3x - 4y = 0

x + 5y = 0

4x - y = 0

A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 2. Así k = n, por lo que el sistema tiene sólo la solución trivial.

12. 2x + 3y + 12z = 0

3x - 2y + 5z = 0

4x + y + 14z = 0

A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones.

13. x + y + z = 0

x - z = 0

x - 2y - 5z = 0

A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones.

14. 3x + 2y - 2z = 0

2x + 2y - 2z = 0

- 4y + 5z = 0

A tiene k = 3 filas distintas de cero. Número de incógnitas es n = 3. Así k = n, por lo que el sistema tiene sólo la solución trivial.

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas

15. { x+¿ y=03x−4 y=0

[1 1 03 −4 0] −3 R1+R2=[1 1 0

0 −7 0 ] R2

−7=[1 1 0

0 1 0]−1R2+R1=¿ [1 0 00 1 0 ]

16. { 2x−5 y=08 x−20 y=0

[2 −5 08 −20 0 ] R1

2 = [1 −5

8 −20 0 ] −8 R1+R2=[1 −52

0 0 0 ]x = 5/2r

17. { x+6 y−2 z=02x−3 y+4 z=0

[1 6 −2 02 −3 4 0]−2 R1+R2=[1 6 −2 0

0 −15 8 0] R2

−15=[1 6 −2 0

0 1−815

0]−6 R2+R1=[1 0 6 /5 0

0 1−815

0 ]x = -6/5r

y = 8/15r

18. {4 x+7 y=02 x+3 y=0

[4 7 02 3 0] R1

4 = [1 7 /4 0

2 3 0]−2R1+R2=[1 7 /4 00 −1/2 0] R2

−1/2 [1 7 /4 00 1 0 ]

−7 /4 R2+R1=[1 0 00 1 0 ]

19. { x+ y=03x−4 y=05 x−8 y=0

[1 1 03 −4 05 −8 0]−3R1+R2

−5R1+R2

=[1 1 00 −7 00 −13 0 ] R2

−7 [1 1 00 1 00 −13 0]−1 R2+R1

13 R2+R3

=[1 0 00 1 00 0 0]

20. {2x−3 y+z=0x+2 y−z=0x+ y+z=0

[2 −3 1 01 2 −1 01 1 1 0 ]R1↔R3[1 1 1 0

1 2 −1 02 −3 1 0 ]−1 R1+R2

−2 R1+R3

=[1 1 1 00 1 −2 00 −5 −1 0 ]−1R2+R1

5R2+R3

[1 0 3 00 1 −2 00 0 −11 0] R3

−11 [1 0 3 00 1 −2 00 0 1 0]−3R3+R1

2R3+R2

=[1 0 1 00 1 0 00 0 1 0]

x = 0, y = 0, z = 0

21. { x+ y+z=0−7 y−14 z=0−2 y−4 z=0−5 y−10 z=0

[1 1 1 00 −7 −14 00 −2 −4 00 −5 −10 0

−7 [1 1 1 00 1 2 00 −2 −4 00 −5 −10 0

]−1R2+R1

2R2+R3

5R2+R4

=[1 0 −1 00 1 2 00 0 0 00 0 0 0

]x = r

y = -2r

22. { x+ y+7 z=0x− y−z=0

2x−3 y−6 z=03 x+ y+13 z=0

[1 1 7 01 −1 −1 02 −3 −6 03 1 13 0

] −1R1+R2

−2R1+R3

−3 R1+R4

=[1 1 7 00 1 2 00 −2 −4 00 −5 −10 0

]−1R2+R1

2 R2+R3

5 R2+R4

=[1 0 −1 00 1 2 00 0 0 00 0 0 0

]x = r

y = -2r

23. { w+x+ y+4 z=0w+x+5 z=0

2w+x+3 y+4 z=0w−3 x+2 y−9 z=0

[1 1 1 4 01 1 0 5 02 1 3 4 01 −3 2 −9 0

] −1 R1+R2

−2 R1+R3

−1R1+R4

=[1 1 1 4 00 0 −1 1 00 −1 1 −4 00 −4 1 −13 0

]R2↔R3=¿

[1 1 1 4 00 −1 1 −4 00 0 −1 1 00 −4 1 −13 0

−1=[1 1 1 4 0

0 1 −1 4 00 0 −1 1 00 −4 1 −13 0

]−1 R2+R1

4 R2+R4

[1 0 2 0 00 1 −1 4 00 0 −1 1 00 0 −3 3 0

−1=[1 0 2 0 0

0 1 −1 4 00 0 1 −1 00 0 −3 3 0

]−2R3+R1

1R3+R2

3R3+R4

[1 0 0 2 00 1 0 3 00 0 1 −1 00 0 0 0 0

]w = -2r

x = -3r

24. { w+x+2 y+7 z=0w−2 x− y+z=0w+2 x+3 y+9 z=02w−3x− y+4 z=0

[1 1 2 7 01 −2 −1 1 01 2 3 9 02 −3 −1 4 0

] −1 R1+R2

−1 R1+R3

−2 R1+R4

=[1 1 2 7 00 −3 −3 −6 00 1 1 2 00 −5 −5 −10 0

−3=¿

[1 1 2 7 00 1 1 2 00 1 1 2 00 −5 −5 −10 0

] −1R2+R1

−1R2+R3

5 R2+R4

=[1 0 1 5 00 1 1 2 00 0 0 0 00 0 0 0 0

]w = -r-5s

x = -r-2s

Derive 6

Sismas

Paginas Utilizadas:

1. http://www.resolvermatrices.com.ar/ 2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-algebra.php 3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

PROBLEMA 6.6

En los problemas 1 a 18, si la matriz dada es invertible, encuentre su inversa

1. [6 17 1]

RESPUESTA

2. [2 43 6]

NO ES INVERSA

3. [2 22 2]

NO ES INVERSA

4. [ 14

0−16

RESPUESTA

5. [1 0 00 −3 00 0 4]

6. [ 2 0 8−1 4 02 1 0]

RESPUESTA

7. [1 2 30 0 40 0 5]

NO ES INVERSA

8. [2 0 00 0 00 0 −4]

NO ES INVERSA

9. [1 22 32 5]

[1 2 1 02 3 0 12 5 0 0] [1 2 1 0

0 −1 −2 10 1 −2 0][1 0 −3 2

0 1 2 −10 0 −4 1 ]NO ES INVERSA

10.[0 0 00 0 00 0 0 ]

11.[1 2 30 1 20 0 1]

NO ES INVERSA

12.[1 2 −10 1 41 −1 2 ]

13.[ 7 0 −20 1 0

−3 0 1 ]

RESPUESTA

14.[ 2 3 −11 2 1

−1 −1 3 ]

RESPUESTA

15.[2 1 04 −1 51 −1 2]

RESPUESTA

16.[−1 2 −32 1 04 −2 5 ]

RESPUESTA

17.[1 2 31 3 51 5 12]

RESPUESTA

18.[2 −1 30 2 12 1 1]

RESPUESTA

19.Resuelva AX=B si

A-1[1 28 1]y B[24 ]

20. Resuelva AX =B si

A-1.[1 0 10 3 02 0 4] Y B =[ 10

2−1]

Para los problemas 21 a 34, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible, resuelva el sistema mediante la inversa. Si no es así, resuelva el sistema por el método de reducción

1. {6 x+¿5 y=¿2x+¿ y=¿−3

2. {2 x +4 y=¿5−x +3 y=¿−2

23.{3x + y=¿53x − y=¿7

24.{3 x +2 y=¿264 x +3 y=¿37

25. {2x +6 y=¿23x +9 y=¿3

No es inversa se le hace por el método de reducción

X=-3r+1

26.{2x +6 y=¿83x +9 y=¿7

No es inversa se le realiza por el método de reducción

No tiene solución

27.{x+¿2 y+¿ z=¿ 43 x+¿0+¿ z=¿2x−¿ y+¿ z=¿1

28. {x + y +z=¿6x − y +z=¿−1x − y −z=¿4

29.{x + y + z=¿2x − y + z=¿1x − y −z=¿0

30.{2 x 0 +8 z=¿8−x +4 y 0=¿362 x + y 0=¿9

31.{ x +3 y +3 z=¿72x + y +z=¿4x + y +z=¿4

No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción

32.{ x +3 y +3 z=¿72x + y +z=¿4x + y +z=¿3

No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción

33.{ w 0 +2 y +z=¿ 4w −x 0 +2 z=¿12

2w +x 0 +z=¿12w +2x + y +z=¿12

34.{ w +x − y 0=¿10 x + y +z=¿0

−w +x + y 0=¿1w −x − y +2 z=¿1

En los problemas 35 y 36 encuentre (I -A)-1 para la matriz A dada.

35. A =[5 −21 2 ]

RESPUESTA

36. A =[−3 24 3 ]

RESPUESTA

37. Producción de automóviles Resuelva los problemas siguientes con el uso de la inversa de la matriz implicada

a) una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere una hora de mano de obra para pintarlo y una hora más para pulirlo; El modelo B requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos .Por cada hora que la línea de ensamblado funciona, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas para pulido ¿Cuántos automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utiliza todas las horas de mano de obra?

b) Supongamos que cada modelo A requiere 10 partes de tipo 1 y 14 de tipo 2, mientras que cada modelo B requiere 7 partes tipo 1 y 10 de tipo 2 .La fabrica puede obtener 800 partes tipo 1 y 1130 de tipo 2 cada hora ¿Cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles?

a) MODELO A MODELO B DISPONIBILIDAD

Mano de obra pintarlo 1h 1 h 100 h

Mano de obra pulirlo 1h 1 h 80h

X= Nº automóviles de modelo A terminar de pintar

Y= Nº automóviles de modelo B al terminar el pulido

X + y =100

x + y=80

[ 1 1 1 012

1 0 1] = [1 1 1 0

1] = [1 0 2 −20 1 −1 2 ]

[ 2 −2−1 2 ] [100

80 ] =[4060]

Y=60 RESPUESTA

b) MODELO A MODELO B DISPONIBLE

Tipo 1 10 7 800

Tipo 2 14 10 1130

10x + 7y = 800

14x + 10y=1130

[10 7 1 014 10 0 1] [1 7

1 ] [1 0 5−72

0 1 −7 5 ][ 5

−7 5 ] [ 8001130 ]=[45

50]X=45

Y=50 RESPUESTA

38. Si A =[a 0 00 b 00 0 c ] donde a, b, c≠0, demuestra que

A-1=[1/a 0 00 1/b 00 0 1 /c]

39. (a) Si A y B son matrices invertibles con el mismo orden, demuestre que (AB)-1 =B-1 A-1 “Una pista: demuestre que (B-1 A -1)(AB)=I

Y utilice el hecho de que la inversa es única” (b) Si

A -1 =[1 23 4] y B-1=[1 1

Encuentre (AB)-1

Desde una matriz invertible tiene exactamente una inversa, B-1 A-1 es la inversa de AB

40. S i A es invertible, puede demostrarse que (AT)-1= (A-1) T

A=[1 01 2]

41. Se dice que una matriz P es ortogonal si P-1 = P T ¿La matriz

P = 15 [3 −4

4 3 ]es ortogonal?

Si es ortogonal

42. Mensaje secreto Un amigo le ha enviado un mensaje secreto que consiste en 3 matrices reglón de números como sigue

R1 = [33 87 70] R2= [57 133 20] R3= [38 90 33]

Entre los dos han diseñado la siguiente matriz (utilizada por su amigo para codificar el mensaje):

A=[ 1 2 −12 5 2

−1 −2 2 ]Para descifrar el mensaje proceda de la manera siguiente

a) Calcule los tres productos matriciales R1A-1, R2A-1 Y R3A-1

b) Suponga que las letras del alfabeto corresponden a los números del 1 al 26, remplace los números en estas tres matrices por letras y determine el mensaje

No hay solución

43. Inversión .-Un grupo de inversionistas decide invertir $500.0000 en las acciones de tres compañías .La compañía D vende en $60 cada acción y de la cual se espera un rendimiento 16% anual .La compañía E vende en $80 cada acción y se espera que su rendimiento alcance el 12%anual .El precio de las acciones de la compañía F ascienden $30 y su rendimiento esperado es de 9% anual .El grupo planea comprar cuatro veces más acciones de la compañía F que de la E .Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar los inversionista ?

COMPAÑÍA D COMPAÑÍA E COMPAÑÍA F

60 80 30

16% 12% 9%

60X + 80Y +3Z =50.000

0.16 (60x) + 0.12 (80y) + 0.09 (30z) = 0.1368 (60x+80y+30z)

6x+8y+3z=50.000

9.6x+9.6y+2.7z=8.208x+10.944y+4.104z

4y- z =0

6x+ 8y+ 3z =50.000

116x-112y-117z=0

4y-z=0

16R1[ 1

116 −112 −117 0 1 00 4 −1 0 0 1

]1116R1+R[1 43

0−800

3−175

−583

0 4 −1 0 0 1]

1.392x-1.344y-1.404z=0

116x – 112y-117z =0

800R2=[1

0 12132

−3800

0 −114

0 0−14

R2+R3[143

0 12132

−3800

0 02932

−3800

]R2+R3[143

0 12132

−3800

0 02932

−3800

R3[143

0 12132

−3800

0 0 12

25−3725

−829

R3 +R1[143

0 1 01

50−3

290021116

0 0 12

25−3725

−829

] 2132

-R3+R1

43 R2 +R1[1 0 0

−329

0 1 0150

−32900

0 0 1225

−3725

−829

RESPUESTA

44. INVERSION.-Los inversionistas del problema 43 deciden probar con una nueva estrategia de inversión con las mismas compañías .Desean comprar el doble de acciones de la compañía F que la compañía E, y tiene la meta de 14.52% de rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar?

60x +80y+30z=500.0000

9.6x+9.6y+2.7z=8712x+11.616y+4.356z

0.888x-2016y-1.656z=0

888x-2016y-1656z=0

111x-252y-207z=0

2y-z=0

6x+8y+3z=50.000

111x-252y-207z=0

2y-z=0

R1[ 143

111 −252 −207 0 1 00 2 −1 0 0 1

-111R1 +R2[1 43

0 −400−525

2−37

0 2 −1 0 0 1]

R2+R3[143

0 12132

−1400

0 03732

−1400

] 3237R3 [1

0 12132

−1400

0 0 11

25−2925

−1637

R2 +R1[1 0 03

2775−637

0 1 01

50−1925

0 0 11

25−2925

−1637

]RESPUESTA

Utilice la calculadora graficadora en los problemas 45 y 46 para (a) encontrar A -

1, exprese sus entradas en forma decimal, redondee a dos decimales b) Exprese las entradas de A-1 en forma fraccionaria, si su calculadora tiene esa capacidad (precaución para el inciso (b) utilice la matriz A-1 de la calculadora para convertir las entradas a forma fraccionario: no utilice la matriz de valores redondeados

45. A = [ 23

] 46. A =[ 2 6 −34 8 9

−7 2 5 ]a) a)

47. Si A =[ 0 . 4 −0 .6 −0 .3−0 .2 0.1 −0 .1−0 .3 −0 .2 0. 4 ], encuentre (I -A)-1, donde i es la matriz identidad

de orden 3 .Redondee las entradas a los dos decimales

(I - A)-1[ 0.4 −0.6 −0.3 1 0 0−0.2 0.1 −0.1 0 1 0−0.3 −02 0.4 0 0 1]

Respuesta

En los problemas 48 y 49 utilice una calculadora gráficadora para resolver el sistema con el uso de la inversa de la matriz de coeficientes

48.{0 .9x2xx

+3 y −4 .7 z=¿13−0 .4 y +2 z=¿4 .7−0 .8 y −0 .5 z=¿7 .2

X=4.78

Y=-1.33

Z=-2.70

49.{25w

+4 x+12y

−37z=¿ 14

13−23x −4 y −z=¿

x−49y

+56z=¿9

0 +4 y−13z=¿ 4

W=14.44

X=0.03

Y=-0.80

Z=10.33

Derive 6

Algebrator 6.0

Matlab

Paginas Utilizadas:

1. http://www.resolvermatrices.com.ar/ 2. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ 3. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html 4. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix

PROGRAMAS UTILIZADOS PARA REALIZAR EL TRABAJO

ALGEBRATOR

Link de descarga:

http://www.mediafire.com/?nyna7iyvvm4n8m3

Videos Tutoriales:

http://es.softmath.com/tutoriales/suma-de-matrices/suma-de-matrices.html

http://es.softmath.com/tutoriales/inversa-de-una-matriz/inversa-de-una-matriz.html

http://es.softmath.com/tutorial.html

DERIVE 6

Link de descarga con crack incluido:

http://www.tusoporte.net/2011/09/derive-61-espanol.html

Video Tutoriales:

http://www.youtube.com/watch?v=tD22tgrGxVk

UNIVERSAL MATH SOLVER

Link de descarga con parche incluido:

http://uploading.com/files/214851ed/universal.math.solver.v7.0.0.5.full.zip/

Video tutoriales:

http://www.youtube.com/watch?v=Xeu5ipJ3zZE

http://www.youtube.com/watch?v=yXxDUQ4gWxk&feature=relmfu

Link de descarga:

https://rapidshare.com/#!download|614p1|3171688481|SISMA.rar|3345|0|0

Video Tutorial:

http://www.youtube.com/watch?v=oJVmKhYXXWA&feature=related

MATLAB

Link de descarga:

http://depositfiles.com/files/pvczk0edx

Video Tutoriales:

http://www.youtube.com/watch?v=adoAIiA8118

http://www.youtube.com/watch?v=elEIhoLnJr0&feature=related

PAGINAS UTILIZADAS PARA REALIZAR EL TRABAJO

http://www.resolvermatrices.com.ar/

http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/algebra_combinatorics/matrix/matrix_add_sub_mul.php

http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php

http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix

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