Ayrık Matematik - Önermeler

Ayrık MatematikOnermeler

H. Turgut Uyar Aysegul Gencata Yayımlı Emre Harmancı

2001-2013

Lisans

c©2001-2013 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı

You are free:

to Share – to copy, distribute and transmit the work

to Remix – to adapt the work

Under the following conditions:

Attribution – You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in anyway that suggests that they endorse you or your use of the work).

Noncommercial – You may not use this work for commercial purposes.

Share Alike – If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work onlyunder the same or similar license to this one.

Legal code (the full license):http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Onerme

Tanım

onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi

ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz

celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz

Onerme

Tanım

onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi

ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz

celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz

Onerme

Tanım

onerme: dogru ya da yanlıs olan bir bildirim cumlesi

ara degeri dıslama kuralı:bir onerme kısmen dogru ya da kısmen yanlıs olamaz

celiski kuralı:bir onerme hem dogru hem yanlıs olamaz

Onerme Ornekleri

Ornek (onerme)

Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner.

Filler ucabilir.

3 + 8 = 11

Ornek (onerme degil)

Saat kac?

Ali topu at!

x < 43

Onerme Ornekleri

Ornek (onerme)

Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner.

Filler ucabilir.

3 + 8 = 11

Ornek (onerme degil)

Saat kac?

Ali topu at!

x < 43

Onerme Degiskeni

Tanım

onerme degiskeni:onermeyi simgeleyen isim

Dogru (D) ya da Yanlıs (Y ) degerlerini alabilir

Ornek

p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde doner. (D)

p2: Filler ucabilir. (Y )

p3: 3 + 8 = 11 (D)

Onerme Degiskeni

Tanım

onerme degiskeni:onermeyi simgeleyen isim

Dogru (D) ya da Yanlıs (Y ) degerlerini alabilir

Ornek

p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde doner. (D)

p2: Filler ucabilir. (Y )

p3: 3 + 8 = 11 (D)

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Birlesik Onermeler

birlesik onermeler

bir onermenin degillenmesiyle, ya dabirden fazla onermenin mantıksal baglaclar ile birlestirilmesiyle

elde edilir

yalın onermeler daha kucuk birimlere bolunemez

dogruluk tablosu:onerme degiskenlerinin olası butun degerleri icinbirlesik onermenin sonuclarını listeleyen tablo

Birlesik Onermeler

birlesik onermeler

bir onermenin degillenmesiyle, ya dabirden fazla onermenin mantıksal baglaclar ile birlestirilmesiyle

elde edilir

yalın onermeler daha kucuk birimlere bolunemez

dogruluk tablosu:onerme degiskenlerinin olası butun degerleri icinbirlesik onermenin sonuclarını listeleyen tablo

Degilleme (NOT)

Tablo: ¬p

p ¬p

D Y

Y D

Ornek

¬p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde donmez.¬D: Yanlıs

¬p2: Filler ucamaz.¬Y : Dogru

Degilleme (NOT)

Tablo: ¬p

p ¬p

D Y

Y D

Ornek

¬p1: Ay Yeryuzu’nun cevresinde donmez.¬D: Yanlıs

¬p2: Filler ucamaz.¬Y : Dogru

VE Baglacı (AND)

Tablo: p ∧ q

p q p ∧ q

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y Y

Ornek

p1 ∧ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner ve filler ucabilir.D ∧ Y : Yanlıs

VE Baglacı (AND)

Tablo: p ∧ q

p q p ∧ q

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y Y

Ornek

p1 ∧ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner ve filler ucabilir.D ∧ Y : Yanlıs

VEYA Baglacı (OR)

Tablo: p ∨ q

p q p ∨ q

D D D

D Y D

Y D D

Y Y Y

Ornek

p1 ∨ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner veya filler ucabilir.D ∨ Y : Dogru

VEYA Baglacı (OR)

Tablo: p ∨ q

p q p ∨ q

D D D

D Y D

Y D D

Y Y Y

Ornek

p1 ∨ p2: Ay Yeryuzu’nun cevresindedoner veya filler ucabilir.D ∨ Y : Dogru

DAR VEYA Baglacı (XOR)

Tablo: p Y q

p q p Y q

D D Y

D Y D

Y D D

Y Y Y

Ornek

p1 Y p2: Ya Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner ya da filler ucabilir.D Y Y : Dogru

DAR VEYA Baglacı (XOR)

Tablo: p Y q

p q p Y q

D D Y

D Y D

Y D D

Y Y Y

Ornek

p1 Y p2: Ya Ay Yeryuzu’nuncevresinde doner ya da filler ucabilir.D Y Y : Dogru

Kosullu Baglac (IF)

Tablo: p → q

p q p → q

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

p: oncul

q: sonuc

okunusları:

p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli

¬p ∨ q

Kosullu Baglac (IF)

Tablo: p → q

p q p → q

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

p: oncul

q: sonuc

okunusları:

p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli

¬p ∨ q

Kosullu Baglac (IF)

Tablo: p → q

p q p → q

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

p: oncul

q: sonuc

okunusları:

p ise qp, q icin yeterliq, p icin gerekli

¬p ∨ q

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2

p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.

p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru

p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs

p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru

p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2

p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.

p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru

p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs

p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru

p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2

p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.

p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru

p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs

p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru

p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2

p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.

p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru

p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs

p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru

p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

p4: 3 < 8, p5: 3 < 14, p6: 3 < 2

p7: Gunes Yeryuzu’nun cevresinde doner.

p4 → p5: 3, 8’den kucukse3, 14’den kucuktur.D → D: Dogru

p4 → p6: 3, 8’den kucukse3, 2’den kucuktur.D → Y : Yanlıs

p2 → p1: Filler ucabilirse AyYeryuzu’nun cevresindedoner.Y → D: Dogru

p2 → p7: Filler ucabilirseGunes Yeryuzu’nuncevresinde doner.Y → Y : Dogru

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”

p: 70 kg’den agırım.

q: Spor yapıyorum.

bu onerme ne zaman yanlıs olur?

Tablo: p → q

p q p → q

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”

p: 70 kg’den agırım.

q: Spor yapıyorum.

bu onerme ne zaman yanlıs olur?

Tablo: p → q

p q p → q

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

Kosullu Baglac Ornekleri

Ornek

”70 kg’yi gecersem spor yapacagım.”

p: 70 kg’den agırım.

q: Spor yapıyorum.

bu onerme ne zaman yanlıs olur?

Tablo: p → q

p q p → q

D D D

D Y Y

Y D D

Y Y D

Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)

Tablo: p ↔ q

p q p ↔ q

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y D

okunusları:

p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli

(p → q) ∧ (q → p)

¬(p Y q)

Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)

Tablo: p ↔ q

p q p ↔ q

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y D

okunusları:

p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli

(p → q) ∧ (q → p)

¬(p Y q)

Karsılıklı Kosullu Baglac (IFF)

Tablo: p ↔ q

p q p ↔ q

D D D

D Y Y

Y D Y

Y Y D

okunusları:

p yalnız ve ancak q isep, q icin yeterli ve gerekli

(p → q) ∧ (q → p)

¬(p Y q)

Ornek

Ornek

Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”

s: Cocuk odevini yapar.

t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.

annenin soyledigi hangisi?

s → t

¬s → ¬t

s ↔ t

Ornek

Ornek

Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”

s: Cocuk odevini yapar.

t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.

annenin soyledigi hangisi?

s → t

¬s → ¬t

s ↔ t

Ornek

Ornek

Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”

s: Cocuk odevini yapar.

t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.

annenin soyledigi hangisi?

s → t

¬s → ¬t

s ↔ t

Ornek

Ornek

Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”

s: Cocuk odevini yapar.

t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.

annenin soyledigi hangisi?

s → t

¬s → ¬t

s ↔ t

Ornek

Ornek

Anne cocuga:”Odevini yaparsan bilgisayar oyunu oynayabilirsin.”

s: Cocuk odevini yapar.

t: Cocuk bilgisayar oyunu oynar.

annenin soyledigi hangisi?

s → t

¬s → ¬t

s ↔ t

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Saglıklı Formul

yazım

birlesik onermeler hangi kurallara gore olusturulacak?

kurallara uyan formuller: saglıklı formul (SF)

anlam

yorum: yalın onermelere deger atayarakbirlesik onermenin degerini hesaplama

dogruluk tablosu: onermenin butun yorumları

Saglıklı Formul

yazım

birlesik onermeler hangi kurallara gore olusturulacak?

kurallara uyan formuller: saglıklı formul (SF)

anlam

yorum: yalın onermelere deger atayarakbirlesik onermenin degerini hesaplama

dogruluk tablosu: onermenin butun yorumları

Formul Ornekleri

Ornek (saglıklı degil)

∨p

p ∧ ¬p¬ ∧ q

Islem Onceligi

1 ¬2 ∧3 ∨4 →5 ↔

hesap sırasını degistirmek icin parantez kullanılır

Islem Onceligi Ornekleri

Ornek

s: Filiz gezmeye cıkar.

t: Mehtap var.

u: Kar yagıyor.

asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?

t ∧ ¬u → s

t → (¬u → s)

¬(s ↔ (u ∨ t))

¬s ↔ u ∨ t

Islem Onceligi Ornekleri

Ornek

s: Filiz gezmeye cıkar.

t: Mehtap var.

u: Kar yagıyor.

asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?

t ∧ ¬u → s

t → (¬u → s)

¬(s ↔ (u ∨ t))

¬s ↔ u ∨ t

Islem Onceligi Ornekleri

Ornek

s: Filiz gezmeye cıkar.

t: Mehtap var.

u: Kar yagıyor.

asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?

t ∧ ¬u → s

t → (¬u → s)

¬(s ↔ (u ∨ t))

¬s ↔ u ∨ t

Islem Onceligi Ornekleri

Ornek

s: Filiz gezmeye cıkar.

t: Mehtap var.

u: Kar yagıyor.

asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?

t ∧ ¬u → s

t → (¬u → s)

¬(s ↔ (u ∨ t))

¬s ↔ u ∨ t

Islem Onceligi Ornekleri

Ornek

s: Filiz gezmeye cıkar.

t: Mehtap var.

u: Kar yagıyor.

asagıdaki SF’ler ne anlama gelir?

t ∧ ¬u → s

t → (¬u → s)

¬(s ↔ (u ∨ t))

¬s ↔ u ∨ t

Formul Nitelikleri

1 gecerli: butun yorumlar icin dogru (totoloji)

2 celiskili: butun yorumlar icin yanlıs (celiski)

3 tutarlı: bazı yorumlar icin dogru

Totoloji Ornegi

Ornek

Tablo: p ∧ (p → q)→ q

p q p → q p ∧ A B → q(A) (B)

D D D D D

D Y Y Y D

Y D D Y D

Y Y D Y D

Celiski Ornegi

Ornek

Tablo: p ∧ (¬p ∧ q)

p q ¬p ¬p ∧ q p ∧ A(A)

D D Y Y Y

D Y Y Y Y

Y D D D Y

Y Y D Y Y

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Ustdil

Tanım

hedef dil:uzerinde calısılan dil

Tanım

ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil

gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar

Ustdil

Tanım

hedef dil:uzerinde calısılan dil

Tanım

ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil

gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar

Ustdil

Tanım

hedef dil:uzerinde calısılan dil

Tanım

ustdil:hedef dilin ozelliklerinden soz ederken kullanılan dil

gecerlilik, celiskililik ve tutarlılık ustdile ait tanımlar

Ustdil Ornekleri

Ornek

anadili Turkce olan biri Ingilizce ogrenirken

hedef dil: Ingilizceustdil: Turkce

Ornek

bir ogrenci programlama ogrenirken

hedef dil: C, Python, Java, . . .ustdil: Ingilizce, Turkce, . . .

Ustdil Ornekleri

Ornek

anadili Turkce olan biri Ingilizce ogrenirken

hedef dil: Ingilizceustdil: Turkce

Ornek

bir ogrenci programlama ogrenirken

hedef dil: C, Python, Java, . . .ustdil: Ingilizce, Turkce, . . .

Ustmantık

P1,P2, . . . ,Pn ` QP1,P2, . . . ,Pn varsayıldıgında Q’nun dogrulugu tanıtlanabilir.

P1,P2, . . . ,Pn � QP1,P2, . . . ,Pn dogruysa Q dogrudur.

Ustmantık

P1,P2, . . . ,Pn ` QP1,P2, . . . ,Pn varsayıldıgında Q’nun dogrulugu tanıtlanabilir.

P1,P2, . . . ,Pn � QP1,P2, . . . ,Pn dogruysa Q dogrudur.

Bicimsel Sistemler

Tanım

tutarlı: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP ` Q ise P � Q

tanıtlanabilen butun onermeler dogrudur

Tanım

eksiksiz: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP � Q ise P ` Q

dogru olan butun onermeler tanıtlanabilir

Bicimsel Sistemler

Tanım

tutarlı: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP ` Q ise P � Q

tanıtlanabilen butun onermeler dogrudur

Tanım

eksiksiz: butun P ve Q saglıklı formulleri icinP � Q ise P ` Q

dogru olan butun onermeler tanıtlanabilir

Godel Kuramı

Onermeler mantıgı tutarlı ve eksiksizdir.

Godel Kuramı

Sıradan aritmetigi ifade edecek kadar gucluhicbir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz.

Godel Kuramı

Onermeler mantıgı tutarlı ve eksiksizdir.

Godel Kuramı

Sıradan aritmetigi ifade edecek kadar gucluhicbir mantıksal sistem hem tutarlı hem eksiksiz olamaz.

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Onerme Hesabı Yaklasımları

1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları

degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır

2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları

var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme

3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri

esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma

Onerme Hesabı Yaklasımları

1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları

degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır

2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları

var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme

3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri

esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma

Onerme Hesabı Yaklasımları

1 anlamsal yaklasım: dogruluk tabloları

degisken sayısı artınca yonetimi zorlasır

2 yazımsal yaklasım: akıl yurutme kuralları

var olan onermelerden mantıksal gerektirmeler kullanarakyeni onermeler uretme

3 aksiyomatik yaklasım: Boole cebri

esdegerli formulleri denklemlerde birbirlerinin yerine koyma

Dogruluk Tablosu Ornegi

p → q

kontrapozitif: ¬q → ¬pkonvers: q → pinvers: ¬p → ¬q

Ornek

p q p → q ¬q → ¬p q → p ¬p → ¬q

D D D D D D

D Y Y Y D D

Y D D D Y Y

Y Y D D D D

Dogruluk Tablosu Ornegi

p → q

kontrapozitif: ¬q → ¬pkonvers: q → pinvers: ¬p → ¬q

Ornek

p q p → q ¬q → ¬p q → p ¬p → ¬q

D D D D D D

D Y Y Y D D

Y D D D Y Y

Y Y D D D D

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Mantıksal Esdegerlilik

Tanım

P ↔ Q totoloji ise P ve Q mantıksal esdegerli:P ⇔ Q

Mantıksal Esdegerlilik Ornegi

Ornek

¬p ⇔ p → Y

Tablo: ¬p ↔ p → Y

p ¬p p → Y ¬p ↔ A(A)

D Y Y D

Y D D D

Mantıksal Esdegerlilik Ornegi

Ornek

p → q ⇔ ¬p ∨ q

Tablo: (p → q)↔ (¬p ∨ q)

p q p → q ¬p ¬p ∨ q A↔ B(A) (B)

D D D Y D D

D Y Y Y Y D

Y D D D D D

Y Y D D D D

Mantık Yasaları

Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p

Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p

Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p

Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D

Mantık Yasaları

Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p

Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p

Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p

Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D

Mantık Yasaları

Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p

Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p

Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p

Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D

Mantık Yasaları

Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p

Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p

Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p

Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D

Mantık Yasaları

Cifte Degilleme (Double Negation - DN)¬(¬p)⇔ p

Degisme (Commutativity - Co)p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p

Birlesme (Associativity - As)(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Sabit Kuvvetlilik (Idempotence - Ip)p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p

Terslik (Inverse - In)p ∧ ¬p ⇔ Y p ∨ ¬p ⇔ D

Mantık Yasaları

Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p

Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D

Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p

DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Mantık Yasaları

Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p

Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D

Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p

DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Mantık Yasaları

Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p

Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D

Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p

DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Mantık Yasaları

Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p

Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D

Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p

DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Mantık Yasaları

Etkisizlik (Identity - Id)p ∧ D ⇔ p p ∨ Y ⇔ p

Baskınlık (Domination - Do)p ∧ Y ⇔ Y p ∨ D ⇔ D

Dagılma (Distributivity - Di)p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Yutma (Absorption - Ab)p ∧ (p ∨ q)⇔ p p ∨ (p ∧ q)⇔ p

DeMorgan Yasaları (DM)¬(p ∧ q)⇔ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

p → q

⇔ ¬p ∨ q

⇔ q ∨ ¬p Co

⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN

⇔ ¬q → ¬p

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

p → q

⇔ ¬p ∨ q

⇔ q ∨ ¬p Co

⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN

⇔ ¬q → ¬p

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

p → q

⇔ ¬p ∨ q

⇔ q ∨ ¬p Co

⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN

⇔ ¬q → ¬p

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

p → q

⇔ ¬p ∨ q

⇔ q ∨ ¬p Co

⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN

⇔ ¬q → ¬p

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

p → q

⇔ ¬p ∨ q

⇔ q ∨ ¬p Co

⇔ ¬¬q ∨ ¬p DN

⇔ ¬q → ¬p

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Esdegerlilik Hesabı Ornegi

Ornek

¬(¬((p ∨ q) ∧ r) ∨ ¬q)

⇔ ¬¬((p ∨ q) ∧ r) ∧ ¬¬q DM

⇔ ((p ∨ q) ∧ r) ∧ q DN

⇔ (p ∨ q) ∧ (r ∧ q) As

⇔ (p ∨ q) ∧ (q ∧ r) Co

⇔ ((p ∨ q) ∧ q) ∧ r As

⇔ q ∧ r Ab

Dualite

Tanım

∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen bir s onermesinindual onermesi sd ,∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine Dkonarak elde edilir.

Ornek (dual onerme)

s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D)

sd : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )

Dualite

Tanım

∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen bir s onermesinindual onermesi sd ,∧ yerine ∨, ∨ yerine ∧, D yerine Y , Y yerine Dkonarak elde edilir.

Ornek (dual onerme)

s : (p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ D)

sd : (p ∨ ¬q) ∧ (r ∨ Y )

Dualite Ilkesi

Dualite Ilkesi

s ve t, ∧ ve ∨ dısında bir baglac icermeyen onermeler olsun.s ⇔ t ise sd ⇔ td .

Konular

1 OnermelerGirisBirlesik OnermelerSaglıklı FormullerUstdil

2 Onerme HesaplarıGirisMantık YasalarıAkıl Yurutme

Mantıksal Gerektirme

Tanım

P → Q bir totoloji ise P formulu Q formulunu mantıksal gerektirir:P ⇒ Q

Mantıksal Gerektirme Ornegi

Ornek

p ∧ (p → q)⇒ q

Tablo: p ∧ (p → q)→ q

p q p → q p ∧ A B → q(A) (B)

D D D D D

D Y Y Y D

Y D D Y D

Y Y D Y D

Akıl Yurutme

dogrulugu varsayılan ya da tanıtlanmısbir onermeler kumesinden yola cıkarakbir onermenin dogruluguna varma

gosterilim

p1

p2

. . .pn

∴ q

p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q

Akıl Yurutme

dogrulugu varsayılan ya da tanıtlanmısbir onermeler kumesinden yola cıkarakbir onermenin dogruluguna varma

gosterilim

p1

p2

. . .pn

∴ q

p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q

Temel Kurallar

Ozdeslik (Identity - ID)

p

∴ p

Celiski (Contradiction - CTR)

Y

∴ p

Temel Kurallar

Ozdeslik (Identity - ID)

p

∴ p

Celiski (Contradiction - CTR)

Y

∴ p

Temel Kurallar

Kosul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)

p ` q

∴ ` p → q

p dogru varsayıldıgında q dogru oldugu gosterilebiliyorsa,p dogru varsayılmadan p → q dogrudur

p bir gecici varsayım (PA - provisional assumption)

gecici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli

Temel Kurallar

Kosul Ekleme (Implication Introduction - ImpI)

p ` q

∴ ` p → q

p dogru varsayıldıgında q dogru oldugu gosterilebiliyorsa,p dogru varsayılmadan p → q dogrudur

p bir gecici varsayım (PA - provisional assumption)

gecici varsayımlar sonradan kaldırılabilmeli

Temel Kurallar

VE Ekleme (AND Introduction - AndI)

pq

∴ p ∧ q

VE Eleme (AND Elimination - AndE)

p ∧ q

∴ p

Temel Kurallar

VE Ekleme (AND Introduction - AndI)

pq

∴ p ∧ q

VE Eleme (AND Elimination - AndE)

p ∧ q

∴ p

Temel Kurallar

VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)

p

∴ p ∨ q

VEYA Eleme (OR Elimination - OrE)

p ∨ qp ` rq ` r

∴ ` r

Temel Kurallar

VEYA Ekleme (OR Introduction - OrI)

p

∴ p ∨ q

VEYA Eleme (OR Elimination - OrE)

p ∨ qp ` rq ` r

∴ ` r

Temel Kurallar

Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)

p → qp

∴ q

Modus Tollens (MT)

p → q¬q

∴ ¬p

Temel Kurallar

Modus Ponens (Implication Elimination - ImpE)

p → qp

∴ q

Modus Tollens (MT)

p → q¬q

∴ ¬p

Modus Tollens

Ornek

p → q¬q

∴ ¬p

1. p → q A

2. ¬q → ¬p 1

3. ¬q A

4. ¬p ImpE : 2, 3

Modus Tollens

Ornek

p → q¬q

∴ ¬p

1. p → q A

2. ¬q → ¬p 1

3. ¬q A

4. ¬p ImpE : 2, 3

Modus Tollens

Ornek

p → q¬q

∴ ¬p

1. p → q A

2. ¬q → ¬p 1

3. ¬q A

4. ¬p ImpE : 2, 3

Modus Tollens

Ornek

p → q¬q

∴ ¬p

1. p → q A

2. ¬q → ¬p 1

3. ¬q A

4. ¬p ImpE : 2, 3

Modus Tollens

Ornek

p → q¬q

∴ ¬p

1. p → q A

2. ¬q → ¬p 1

3. ¬q A

4. ¬p ImpE : 2, 3

Modus Ponens Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali piyangoyu kazandı.

O halde, Ali araba alacak.

Modus Ponens Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali piyangoyu kazandı.

O halde, Ali araba alacak.

Modus Tollens Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali araba almadı.

O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.

Modus Tollens Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali araba almadı.

O halde, Ali piyangoyu kazanmadı.

Yanılgılar

sonucu onaylama yanılgısı

p → qq

∴ p

(p → q) ∧ q → p bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y

Yanılgılar

sonucu onaylama yanılgısı

p → qq

∴ p

(p → q) ∧ q → p bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y

Sonucu Onaylama Yanılgısı Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali araba aldı.

O halde, Ali piyangoyu kazandı.

Sonucu Onaylama Yanılgısı Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali araba aldı.

O halde, Ali piyangoyu kazandı.

Yanılgılar

onculu yadsıma yanılgısı

p → q¬p

∴ ¬q

(p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y

Yanılgılar

onculu yadsıma yanılgısı

p → q¬p

∴ ¬q

(p → q) ∧ ¬p → ¬q bir totoloji degil:p = Y , q = D ise: (Y → D) ∧ D → Y

Onculu Yadsıma Yanılgısı Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali piyangoyu kazanmadı.

O halde, Ali araba almayacak.

Onculu Yadsıma Yanılgısı Ornegi

Ornek

Ali piyangoyu kazanırsa araba alacak.

Ali piyangoyu kazanmadı.

O halde, Ali araba almayacak.

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas

Ayırıcı Kıyas(Disjunctive Syllogism - DS)

p ∨ q¬p

∴ q

1. p ∨ q A

2. ¬p A

3. p → Y 2

4a1. p PA

4a2. Y ImpE : 3, 4a1

4a. q CTR : 4a2

4b1. q PA

4b. q ID : 4b1

5. q OrE : 1, 4a, 4b

Ayırıcı Kıyas Ornegi

Ornek

Ali’nin cuzdanı cebinde veya masasında.

Ali’nin cuzdanı cebinde degil.

O halde, Ali’nin cuzdanı masasında.

Ayırıcı Kıyas Ornegi

Ornek

Ali’nin cuzdanı cebinde veya masasında.

Ali’nin cuzdanı cebinde degil.

O halde, Ali’nin cuzdanı masasında.

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas

Varsayımlı Kıyas(Hypothetical Syllogism - HS)

p → qq → r

∴ p → r

1. p PA

2. p → q A

3. q ImpE : 2, 1

4. q → r A

5. r ImpE : 4, 3

6. p → r ImpI : 1, 5

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek (Uzay Yolu)

Spock - Yarbay Decker:

Su anda dusman gemisine saldırmak intihar olur.Intihara tesebbus eden biri Atılgan’ın komutanlıgınıyapmaya psikolojik olarak yetkin degildir.O halde, sizi gorevden almak zorundayım.

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek (Uzay Yolu)

p: Decker dusman gemisine saldırır.

q: Decker intihara tesebbus eder.

r : Decker Atılgan’ın komutanlıgını yapmaya psikolojik olarakyetkin degildir.

s: Spock Decker’ı gorevden alır.

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Varsayımlı Kıyas Ornegi

Ornek

pp → qq → rr → s

∴ s

1. p → q A

2. q → r A

3. p → r HS : 1, 2

4. r → s A

5. p → s HS : 3, 4

6. p A

7. s ImpE : 5, 6

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → rr → sx ∨ ¬su ∨ ¬x¬u

∴ ¬p

1. u ∨ ¬x A

2. ¬u A

3. ¬x DS : 1, 2

4. x ∨ ¬s A

5. ¬s DS : 4, 3

6. r → s A

7. ¬r MT : 6, 5

8. p → r A

9. ¬p MT : 8, 7

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s)r → x¬x

∴ p

1. r → x A

2. ¬x A

3. ¬r MT : 1, 2

4. ¬r ∨ ¬s OrI : 3

5. ¬(r ∧ s) DM : 4

6. (¬p ∨ ¬q)→ (r ∧ s) A

7. ¬(¬p ∨ ¬q) MT : 6, 5

8. p ∧ q DM : 7

9. p AndE : 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p → (q ∨ r)s → ¬rq → ¬p

ps

∴ Y

1. q → ¬p A

2. p A

3. ¬q MT : 1, 2

4. s A

5. s → ¬r A

6. ¬r ImpE : 5, 4

7. p → (q ∨ r) A

8. q ∨ r ImpE : 7, 2

9. q DS : 8, 6

10. q ∧ ¬q : Y AndI : 9, 3

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

Eger yagmur yagması olasılıgı varsa veya sac bandını bulamazsa,Filiz cimleri bicmez. Hava sıcaklıgı 20 dereceden fazlaysayagmur yagma olasılıgı yoktur. Bugun hava sıcaklıgı 22 dereceve Filiz sac bandını takmıs. O halde, Filiz cimleri bicecek.

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

p: Yagmur yagabilir.

q: Filiz’in sac bandı kayıp.

r : Filiz cimleri bicer.

s: Hava sıcaklıgı 20 dereceden fazla.

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Akıl Yurutme Ornekleri

Ornek

(p ∨ q)→ ¬rs → ¬ps ∧ ¬q

∴ r

1. s ∧ ¬q A

2. s AndE : 1

3. s → ¬p A

4. ¬p ImpE : 3, 2

5. ¬q AndE : 1

6. ¬p ∧ ¬q AndI : 4, 5

7. ¬(p ∨ q) DM : 6

8. (p ∨ q)→ ¬r A

9. ? 7, 8

Kaynaklar

Okunacak: Grimaldi

Chapter 2: Fundamentals of Logic

2.1. Basic Connectives and Truth Tables2.2. Logical Equivalence: The Laws of Logic2.3. Logical Implication: Rules of Inference

Yardımcı Kitap: O’Donnell, Hall, Page

Chapter 6: Propositional Logic