View
9
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
1 Sistemes de Coordenades.2 Problema Cinemàtic Directe.3 Problema Cinemàtic Invers.
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Problema cinemàtic
directe
Problema cinemàtic
invers
(q1, q2,..., qn)(x,y,z)RPY
Introducció
• Dintre de la cinemàtica estudiarem 2 problemes:
Problema cinemàtic directe
Donat el vector de variables (q1, q2,..., qn) d’unió determinar la posició (x,y,z) i l’orientació (RPY) de l’E.T. Respecte del sistema de coordenades de la base del robot.
Problema cinemàtic invers
Donada una determinada posició (x,y,z) i una determinada orientació (RPY) obtenir el valor de les variables d’unió (q1, q2,...,qn) que situen el manipulador en la configuració desitjada.
2
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
2.1 Sistemes de Coordenades
• Imaginem un robot mòbil equipat amb un manipulador.• Coneixem la posició cartesiana de l’E.T (Bq) respecte al sistema de coordinades {B}.• També coneixem la posició del mòbil (Ap) respecte d’un sistema de coordenades fix {A}.
Podem conèixer q respecte {A} (Aq)?
x
y
z
x
yz
{A}
{B}ApBq
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
2.1 Sistemes de Coordenades
• Sistema de coordenades en l’espai: Conjunt complet de vectors ortonormals i coincidents en un punt.
•Sistema de coordenades de referència: Sistema de coordenades a l’espai al qual es referencien tots els punts i altres sistemes de coordenades.
{A}
Ax
Ay
Az
ab
c
( )( )( )
( )
( )θcosˆˆˆ·ˆon ˆ·ˆˆ·ˆˆˆ
ˆˆˆˆ
100ˆ
010ˆ
001ˆ
unitaris vectors
⋅⋅=
==
⋅=++==
=
=
=
xpxpzpcypbxpa
zcybxacbap
z
y
x
T
T
T
T
3
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
2.2 Canvis de Sistemes de Coordenades
• Transformacions en l’espai: Rotacions i traslacions dels sistemes de coordenades respecte del sistema de coordenades de referència.
{A}
θ
θ
AzBz
Ay
ByAx
Bx
{A}
{B}
∆X
∆Z
Ax
Az
AyBy
Bx
Bz
{A}
{B}
∆Y∆X
∆Z
Az
AxBx
By
Ay
Rotació d’un angle θ al voltantde l’eix Y.
Translació al punt (x y z)T
Combinació una traslació i d’una rotació i al voltant de l’eix Y del sistema de referència {B}.
Bz
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Translació
• {B} és una translació de {A} a la posició A(3 4 3)T.• Els eixos de coordenas de {B} són paral∙lels als de {A}.• La translació es pot representar mitjançant una suma vectorial.
=
+
=
+++
=
+
=
574
343
231
;
AAB
zA
yA
xA
zAy
Ax
A
zB
yB
xB
zAy
Ax
A
zB
yB
xB
zA
yA
xA
ppp
ooo
ppp
ooo
ppp
ppp
Bp=(1 3 2) TAp=(4 7 5) T
Ao=(3 4 3)T
{A}
Az Bz
AyBy
AxBx
{B}
4
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Rotació
• {B} és una rotació de 90º de {A} respecte l’eix .• La rotació es pot representar mitjançant un producte matricial.
Bp=(2 1 3) TAp=(3 1 -2)T
90º
−=
−=
⋅
−=
213
312
*001010100
cos0sin010
sin0cos
B
B
A
zA
yA
xA
zB
yB
xB
B
A
zA
yA
xA
ppp
ppp
ppp
θθ
θθ
Ay
AzBz
AyBy
Ax
Bx
{B} {A}
Rot(θ, )Ay
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Rotació
−=
−=
−=
321
312
·100001010
·1000cossin0sincos
AB
B
A
zA
yA
xA
zB
yB
xB
B
A
zA
yA
xA
ppp
ppp
ppp
ϑϑϑϑ
Bp=(2 1 3)TAp=(-1 2 3)T
90º
Rot(θ, )
Bp=(2 1 3)T
Ap=(2 –3 1)T {B}
90º
−=
−=
−=
13
2
312
·010100
001
·cossin0sincos0001
AB
B
A
zA
yA
xA
zB
yB
xB
B
A
zA
yA
xA
ppp
ppp
ppp
ϑϑϑϑ
Ax
BxAy
By
Az Bz
Bz
AzBy
AxBxAy
{B}
Az
Rot(θ, )Ax
{A}
{A}
5
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
2.3 Justificació de les matrius de Rotació I
ProposicióSiguin {A} i {B} sistemes de coordenades ortonormals amb el mateixorigen i amb vectors unitaris {a1, a2, a3} {b1, b2, b3} ∃ una matriu Rnxndefinida com:
rkj=ak∙bj 1≤ k, j ≤ n
Tal que, ∀ p ∈ 3 Ap=ARBBp
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
3
2
1
332313
322212
312111
3
2
1
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ppp
bababababababababa
ppp
B
B
B
B
A
A
A
A
ℜ
b1
a1
a2
a3
b2b3
ARB
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
2.3 Justificació de les matrius de Rotació IIDemostració
( )( )
( )
⋅
=
++=→=
++=→=
++=→=
==⋅
==
++=
++=
=
=
∑∑∑===
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
3332321313
3232221212
3132121111
3
1
3
1
3
1
332211
332211
321B
321A
···1
···2
···1
ˆ·ˆˆ)ˆ(ˆˆ
component la ccionem Sel·le
ˆ·ˆ·ˆ·ˆ
ˆ·ˆ·ˆ·ˆ
ˆ
ˆon ˆ vector pelt representapunt un i
ts traslladano i rotats S.C. dos {B} i {A}Siguin
ppp
rrrrrrrrr
ppp
prprprpk
prprprpk
prprprpk
r·pab·pab·pa·pp
p
bpbpbpp
apapapp
pppp
pppppp
B
B
B
B
A
A
A
A
BBBA
BBBA
BBBA
kjj
jB
jk
Aj
Aj
Bk
Aj
Aj
B
jk
AAk
A
kA
ABABABA
AAAAAAA
BBB
AAA
6
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−⋅
−=
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+−−+=⇒++=
++=⇒++=
−==
==
32
2
100001010
322
:scoordenade de canvi elfer permet ens que comprovem i
100001010
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
:donçs es obtinguda rotació dematriu La100·3001·2010·2322ˆ·ˆ·ˆ·ˆ
100·3010·2001·2322ˆ·ˆ·ˆ·ˆ
:acompleixs' que comprobemanterior ament desenvolup elFent 322ˆ
322ˆ
:queobserver t Gràficamen
332313
322212
312111
332211
332211
321B
321A
B
B
AA
B
A
B
A
TATATATAABABABA
TATATATAAAAAAAA
TBBBB
TAAAA
bababababababababa
bpbpbpp
apapapp
pppp
pppp
1a
2a
3a
1b
2b
3b
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Obtenció de les Matrius de Rotació I
Rot(θ, x )
Rot(θ, y)
Y
X
ZZ’
X’
θ
θ
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
ϑϑ
ϑϑ
cos0sin010
sin0cos
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
332313
322212
312111
B
A
bababababababababa
sin
2cos
sin2
cos i
,ˆˆ ,ˆˆ
31 ,1|ˆ||ˆ|on
cossin0sincos0001
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
332313
322212
312111
=
−
−=
+
≠∀⊥
≠∀⊥≤≤∀==
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
ϑϑπ
ϑπϑ
ϑϑϑϑ
jibb
jiaaiba
bababababababababa
ji
ji
ii
B
A
θY
X
ZZ’Y’
Z’
7
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Obtenció de les Matrius de Rotació II
Rot(θ, z )
−=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1000cossin0sincos
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
332313
322212
312111
ϑϑϑϑ
B
A
bababababababababa
Y
X
ZZ’
X’θ
Y’
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Interpretació Geométrica de les Matrius de Rotació
{ }{ }
( ) ( )A
B
T
B
A
BBB
AAA
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
aaa
bbb
===
=
−
332313
322212
312111
AB
BA1
BA
333231
232221
131211
BA
321
321
BA
RRR ; R
:queacompleix S'
llavors
{B}en tsrepresenta {A} de unitaris vectorsels ˆˆˆ{A}en tsrepresenta {B} de unitaris vectorsels ˆˆˆ
associada rotació dematriu la R{A} de rotació la departir aobtingut S.C.un {B}
Siguin
1aB
2aB
3aB
1bA
2bA
3bA
1aB
2aB
3aB
1bA
2bA
3bA
1a
2a
3a
1b
2b
3b
8
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple
{ } ( ) ( ) ( ){ }{ } ( ) ( ) ( ){ }
A
B
B
A
TBTBTBBBB
TATATAAAA
bRot
aaa
bbb
−
−=
−=
−=
001010100
001010100
)ˆ,º90(
001010100ˆˆˆ
001010100 ˆˆˆ
2
321
321
1aB
2aB
3aB
1bA
2bA
3bA
1aB
2aB
3aB
1bA
2bA
3bA • Per Rotacions simples, podem calcular la
matriu de rotació per simple inspecció geométrica.
1a
2a3a
1b 2b
3b
90º
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Propietats de les Matrius de Rotació
{ }{ }
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ortogonalssón 0, · j,i ,31 ,31 / , .6
ortogonalssón 0, · j,i ,31 ,31 / , .5
1 ,31 / .4
1 ,31 / .3
{B}en ntat {A}represe de unitari vector el és ,31 / .2
{A}en t representa {B} de unitari vector el és ,31 / .1
:llavors
associada rotació dematriu la
{B}en tsrepresenta {A} de unitaris vectorsels ˆˆˆ{A}en tsrepresenta {B} de unitaris vectorsels ˆˆˆ
{A} de rotació la departir aobtingut S.C.un {B}
Siguin
321321
321321
321
321
321
321
333231
232221
131211
321
321
=⇒≠≤≤≤≤∀−
=⇒≠≤≤≤≤∀−
=≤≤∀−
=≤≤∀−
≤≤∀−
≤≤∀−
=
Tjjj
BTiii
B
Tiii
ATiii
A
Tiii
B
Tiii
A
Tiii
B
Tiii
A
B
A
BA
BBB
AAA
rrrrrrjiji
rrrrrrjiji
rrrii
rrrii
irrrii
irrrii
rrrrrrrrr
R
aaa
bbb
9
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Matrius Homogenees
•Transformacions bàsiques:• Translació => representada per una suma vectorial.• Rotació => representada per un producte de matrius.
• Transformació genèrica => Translació + rotacions• Si poguéssim representar una translació amb una matriu T, i siguin Rx , Ry , Rz les matrius de rotació
G=T∙ Rz,a ∙ Ry,q∙Rx,Y
seria la representació d’una transformació genèrica.
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Representació Homogenia d’una Translació
B
zA
yA
xAA
zA
yA
xA
ooo
oooTrans
=
1000100010001
),,(zU
Bp=(1 3 2)T
Ap=(4 7 5)T
Ao=(3 4 3)T
´{A}{B}
=
+++
=
+++
=
=
1574
1233413
11
*
1000100010001
p o)Trans( =p
AAA
BAA
zB
zA
yB
yA
xB
xA
zB
yB
xB
B
zA
yA
xA
pppopo
ppp
ooo
Ax
Bx Ay
By
AzBz
10
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Representació Homogenia d’una Rotació
Y
X
ZZ’
X’
θ
θ
θY
X
ZZ’Y’
Z’Y
X
ZZ’
X’θ
Y’
−10000cos0sin00100sin0cos
θθ
θθ
−
10000cossin00sincos00001
θθθθ
−
1000010000cossin00sincos
θθθθ
Rot(θ, x ) Rot(θ, y) Rot(θ, z )
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Translació Seguida de Rotació
−=⇒
=
−
−=
−=
−
=
==
1000cos0sin
010sin0cos
1574
1132
*
1000300140103100
1
1
*
1000cos0sin
010sin0cos
1
1
*
10000cos0sin00100sin0cos
*
1000100010001
1
)•,ˆ(•)(
zAy
Ax
A
zA
yA
xA
zB
yB
xB
zAy
Ax
A
zA
yA
xA
zB
yB
xB
zAy
Ax
A
zA
yA
xA
BB
AA
ooo
Gppp
ppp
ooo
ppp
ppp
ooo
ppp
pyRotoTransp
αα
αα
αα
αα
αα
αα
α
Bp=(-2 3 1)T
Ap=(4 7 5) T
Ao=(3,4,3)
{A}{B} 90º
Bx
AyBy
Az
Bz
Ax
11
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Transformacions Homogenees Compostes
T=I
Traslacions i rotacions com a matrius separades
Traslació/Rotació de {B}?
Pre-multiplicar
Post-multiplicar
Fi
Més?
I≡Eixos conincidents ({A})fixos i ({B}) mòbils.
Eixos Mòbils{B}
Eixos Fixes{A}
si
no
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple
IT =
IoTransT
oTransIT
A
A
)·(o
)(·
=
=
)90,ˆ(·)·(o
)90,ˆ()·(·
2
2
yRotIoTransT
yRotoTransIT
A
A
=
=
xA
yA
zA
xB
yB
zB
AoxA x1
yA y1
zA z1
zA
xA
yA
y2
z2
x2
Ao
zA
xA
yA
xB
zB
yB
^
^
^^
^^
^^
^
^
^
^
^
^
^^
^
^ ^
^
^ ^
^
^
12
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple
xA
yA
zA
xB
yB
zB
Ao
( )B
A
TA
zA
yA
xA
zA
yA
xA
A
To
ooo
ooo
T
yRotIoTransT
−=⇒
=
=
−=
−
=
=
1000300130103100
1333
90
1000cos0sin
010sin0cos
10000cos0sin00100sin0cos
·
·
1000010000100001
·
1000100010001
)90,ˆ(·)·( 2
α
αα
αα
αα
αα
^
^
^^
^^
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple
IoTransyRotT
oTransIyRotT
A
A
)·()·90,ˆ(o
)(·)·90,ˆ(
2
2
=
=
zA
xA
yA
xB
zB
yB
ATENCIÓ!!!Si enlloc de Rotar respecte els eixos mòbils ho fem respecte els fixes el resultat és diferent!!
IoTransT
oTransIT
A
A
)·(o
)(·
=
=zA
xA
yA
y2
z2
x2
Ao
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
xA
yA
zA
xB
yB
zB
Ao
^
^^
^^
^
13
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple
xA
yA
zA
xB
yB
zB
Ao
( )B
A
TA
zA
xA
yA
zA
xA
zA
yA
xA
A
To
ooo
oo
ooo
T
IoTransyRotT
−−=⇒
=
=
+−−
+
=
−=
=
10003001
30103100
1333
90
1000·cos·sincos0sin
010·sin·cossin0cos
1000010000100001
·
1000100010001
·
10000cos0sin00100sin0cos
)·()·90,ˆ( 2
α
αααα
αααα
αα
αα
I la matriu final també ho és !!!
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Transformació Homogènia Inversa
=
1000pR
TSi
Exemple:
−−
−
=⇒
−
= −
10002100
00012010
1000210020010010
1TT
=
⋅
-20-2
220
-1000010-10
⋅−=⇒ −
10001 pRR
TTT
14
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Exemple:
La transformació homogènia que mapeja {B} respecte {A}, és T. Quines són les coordenades del punt Ap=(0,1,0) respecte el sistema de coordenades {B}?
Ap = T BpT-1·Ap = T-1·T BpT-1·Ap = Bp
−−
−
=⇒
−
= −
10002100
00012010
1000210020010010
1TTPer tant,
−
−
=
⋅−
12
01
1010
1T
=
⋅
-20-2
220
-1000010-10
A B
{A}
{B}Bx
Ay
By
Az
Bz
Ax
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Representació de la Posició i l’Orientació.
• Matriu RTH• Rp + RPY(θ,φ,α)=R(x,y,z,θ,φ,α)T
• Vector Configuració
xR
yR
zR
o=yH
n=xHRp
^
^
^^^
^ ^
a=zH^ ^
^
{R}
{H}
15
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Matriu RTH
H
zzzz
yyyy
xxxxR
HR
pasnpasnpasn
T
=
1000
Vectors unitaris de {H}Representats en {R}
Posició de l’E.T. Representat en {R}
xR
yR
zR
o=yH
n=xHRp
^
^
^^^
^ ^
a=zH^ ^
^
{R}
{H}
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
R(x,y,z,θ,φ,α)T
RPY (θ,φ,α)
1a2a
3a
{A}
1d{E}
IRPY =),,( αφθ
),(·),,( zRotIRPY θαφθ =
),()·,(·),,( yRotzRotIRPY φθαφθ =
),()·,()·,(·),,( xRotyRotzRotIRPY αφθαφθ =
1a 2a
3a
1b2b
3b
{B}
φ
θ
α
1c
3c
1b
2b
3b2c
{D}
a
o n
xRyR
zR
1c
3c
2c3d2d
16
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
R(x,y,z,θ,φ,α)T
RPY (θ,φ,α)
−+−+++−
=
=
−
−
−
=
10000·coscos·sincossin0·cos·sinsin·sincos·sin·sinsin·coscos·cossin0·cos·sincos·sinsin·sin·sincos·cossin·coscos
10000cossin00sincos00001
·
10000cos0sin00100sin0cos
·
1000010000cossin00sincos
),,(
αφαφφαφθαθαφθαθφθαφθαφαφθαθφθ
αααα
φφ
φφθθθθ
αφθRPY
a
o n
xRyR
zR
n o a
• Vectors unitaris del S.C. De la mà referenciats als S.C. De la base del Robot
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Vector Configuració
xR
yR
zR
a=zH
o=yH
n=xHRp
^
^
^^^
^ ^^ ^
^
{R}
{H}
• La posició éstà representa amb R(px py pz)• â defineix el Pitch i el Yaw, però no el Roll.• Solució:
• Escalem â multiplicant-lo pel Roll.
• Problema:• Que passa Quan Roll=0? ⇒ perdem la informació d’orientació.
( )TzyxzyxR aaapppW ··· θθθ=
( )TzyxR pppW 000=
17
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Vector Configuració
xR
yR
zR
a=zH
o=yH
n=xHRp
^
^
^^^
^ ^^ ^
^
{R}
{H}
• Solució: • Cal una funció d’escalat, que per Roll=0 no anul∙li el vector.
• Cal que sigui invertible per tal que es pugui recuperar la informació de Roll.
T
zyxzyx
R
aeaeaepppW
= ··· π
θπθ
πθ
∀>
≤≤⇒≤≤
=⇒=
→
θ
πθπθ
θ
πθ
πθ
πθ
,0
2020
10
e
e
e
w2
( )2ˆ·ln wπθ =
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Problema Cinemàtic Directe del θ-r
x0
y0
z0
x1y1
z1
x2
y2
z2
{L0}
{L1}{L2}
θ1
d2
( )
H
zzzz
yyyy
xxxxR
HR
HR
T
pasnpasnpasn
TAAT
pAApAp
pAp
p
A
A
===
==
=
=
1000
·
···
·
llavors
1000
L amb L relaciona que homogèneamatriu la
L amb L relaciona que homogèneamatriu la
Siguin
21
10
22
11
011
00
22
11
2
1221
0110
La matriu RTH és una matriu d’equacions que depenen de 2 variables: θ1-d2
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
18
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Problema Cinemàtic Directe del θ-r
1-. Per cada link Li, assignem un S.C. {Li}.2-. Calculen les matrius i-1Ai que transforma Li-1 en Li.i-1Ai és una matriu homogénea que depen de qi.
3-. Calcular
Els components d’aquesta matriu són equacions que depenen de les variables d’articulació qi.
Com assignem els sistemes de coordenades als links?
H
zzzz
yyyy
xxxxR
n
ii
iH
R
pasnpasnpasn
AT
==∏=
−
10001
1
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Caracterització de Braços Robòtics
• Existiexen moltes formes d’unir els links amb joins per aconseguir estructures poliarticulades:
Articulacions Angulars
Articulacions Prismàtiques
És possible trobar una matriu genérica i-1Ai que, depenent d’uns paràmetres (longitut del link, desaliniament vertical, desaliniament
angular i variable d’articulació), sempre transformi Li-1 en Li?
19
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Caracterització d’Articulacions Angulars
zi-1 xi-1yi-1
θi
z
xy
xi
yi
zi
yzx
ui
ui+1
ai
di
αi
i
iii
iiiiiii
iiiiiiii
ii
iiiiii
iiiii
iiii
iii
ii
dcssacsccscassscc
A
xRotaxTransdzTranszRotIA
axTransdzTranszRotIA
dzTranszRotIA
zRotIA
IA
−
−
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
10000
······
),()·,()·,()·,(·
),()·,()·,(·
),()·,(·
),(·
1
1
1
1
1
1
1
ααθθαθαθθθαθαθ
αθ
θ
θ
θ
-90º
Home
90ºaidiqii
αiaidiθiGDLL
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Caracterització d’Articulacions Prismàtiques
zi-1
xi-1
yi-1
θiui
ui+1
ai
di
αi
y
z x
yz
x
yz
x xiyi
zi
i
iii
iiiiiii
iiiiiiii
ii
iiiiii
iiiii
iiii
iii
ii
dcssacsccscassscc
A
xRotaxTransdzTranszRotIA
axTransdzTranszRotIA
dzTranszRotIA
zRotIA
IA
−
−
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
10000
······
),()·,()·,()·,(·
),()·,()·,(·
),()·,(·
),(·
1
1
1
1
1
1
1
ααθθαθαθθθαθαθ
αθ
θ
θ
θ
di
Home
90ºl1qi90ºi
αiaidiθiGDLL
20
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Algorisme de Denavit-Hartenberg (DH)
0. Numereu les unions des de 1 fins a ncomençant per la base i acabant pel yaw, pitch i roll de l’element final (en aquest ordre).
1. Assigneu el sistema de coordenades L0 a la base, assegurant-vos que Z0 coincideix amb l’eix de la unió 1, i inicialitzeu k=1.
2. Feu coincidir Zk amb l’eix de la unió k+1.
3. Poseu l’origen de Lk a la interseció dels eixos Zk i Zk-1. Si Zk i Zk-1 no intersecten, utilitzeu la intersecció de Zk amb una normal comuna a Zk i Zk-1.
4. Poseu Xk de manera que sigui ortogonal a Zki Zk-1. Si Zk i Zk-1 són paral∙lels, feu Xkperpendicular a Zk-1.
5. Seleccioneu Yk per acabar de completar el sistema de coordenades Lk.
6. Feu k=k+1. Si k<n, torneu al pas 2.
7. Poseu l’origen de Ln a la punta de l’element final. Feu coincidir Zn amb el vector a (approach), Yn ambel vector s (sliding) i Xn amb el vector normal de l’element final. Feu k=1.
8. Poseu el punt bk a la intersecció dels eixos Xk i Zk-
1. Si no intersecten, poseu-lo a la intersecció d’Xkamb una normal comuna a Xk i Zk.
9. θk és l’angle de rotació des de Xk-1 a Xk mesuratsobre Zk-1.
10. dk és la distància des de l’origen del sistema de coordenades Lk-1 al punt bk mesurat al llarg de l’eix Zk-1.
11. ak és la distància des del punt bk a l’origen del sistema de coordenades Lk mesurat al llarg de Xk.
12. αk és l’angle de rotació des de Zk-1 a Zk mesuratsobre Xk.
13. Feu k=k+1. Si k<n aneu al pas 8.
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Problema Cinemàtic Directe del θ-r
y0z0
x1y1
z1
x2
y2
z2
θ1 d2
x0
d1
b1b2
d2
90º
Home
00q290º2
900d1q11
αiaidiθiGDLL
1
1
12110
12110
21
10
2
2
1
21
1
1
11
110
10
1
1
1000001
·0·0
·
1000100
00010010
1000010
0000
10000
······
−−−
−
==
−
=
−
=
−
−
=
−
−
dcdcssdsc
AAT
dA
dcssc
Adcssacsccscassscc
A
HR
i
iii
iiiiiii
iiiiiiii
ii
ααθθαθαθθθαθαθ
21
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Justificació Geométrica de la solució del θ-r
y0z0
x1y1
z1
x2
y2
z2
θ1 d2
x0
d1
b1b2
θ1
12 ·sdpx =
12 ·cdpy −=
2planar Moviment dpz =⇒
x0
y0
θ1=0
x0y0
z1
x1
θ1
x0
y0
z1
x1
θ1
Interpretació de θ1
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Problema Cinemàtic Directe del θ1- θ2l1
y0z0
θ1
x0
y1z1
θ2
x1
y2
z2
x2
l2
b2b1
0
0
Home
90ºl20q22
0l10q11
αiaidiθiGDLL
1
111221212
1112212120
21211221
21211221
1
1121221221212121
11212212212121210
21
10
2
2222
22221
21
1
1111
11110
10
1
1
10000010
00
)cos()sin(
com
10000010
00
·
10000010·0·0
10000100·0·0
10000
······
+−+
=
−==++==+
++−++−+−
==
−
=
−
=
−
−
=
−
−
sasacscacasc
T
ssccccsscssascacsaccsssccs
cassaccacsscsscc
AAT
sacscasc
Asacscasc
Adcssacsccscassscc
A
HR
HR
i
iii
iiiiiii
iiiiiiii
ii
θθθθ
ααθθαθαθθθαθαθ
22
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Justificació Geométrica de la solució del θ1- θ2
12211
12211
····sasapcacap
y
x
+=+=
θ1
x0
y0
x1y1
x2
z2θ2
θ1
py
px
l1
y0z0
θ1
x0
y1z1
θ2
x1
y2
z2
x2
l2
b2b1
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot Cilíndric de 4 G.D.LL
23
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot Cilíndric de 4 G.D.LL
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot ABB IRB 6400C de 6 G.D.LL
24
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot ABB IRB 6400C de 6 G.D.LL
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot ABB IRB 6400C de 6 G.D.LL
ona ˆˆˆ ×=
25
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M11 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M1
y0
z0
θ1x0
y5
z5x5
x1 x2 x3
x4
y1 y2 y3
y4z1 z2 z3θ2 θ3 θ4
θ5
z4l1
l2 l3
l4
00l30q33
090º00q44
90º00l5q55
0
90º
Home
0l20q22
90º0l1q11
αiaidiθiGDLL
1 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M11 Objectives
2 State of the Art
3 Proposal
4 Methodology
5 Results
6 Conclusions
• Contributions
• Features
• Publications
• Further Work
1 Sistemes de Coordenades
2 Cinemàtica directa
3 Cinemàtica inversa
Tema II: Cinemàtica de la Posició.
Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M1
Recommended