Tema II: Cinemàtica de la Posició. - UdGeia.udg.es/~forest/transparencies_tema2.pdf · 2003-10-02 · 2 1 Objectives 2 State of the Art 3 Proposal 4 Methodology 5 Results 6 Conclusions

1

1 Sistemes de Coordenades.2 Problema Cinemàtic Directe.3 Problema Cinemàtic Invers.

Tema II: Cinemàtica de la Posició.

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work

1 Sistemes de Coordenades

2 Cinemàtica directa

3 Cinemàtica inversa


Problema cinemàtic

directe

Problema cinemàtic

invers

(q1, q2,..., qn)(x,y,z)RPY

Introducció

• Dintre de la cinemàtica estudiarem 2 problemes:

Problema cinemàtic directe

Donat el vector de variables (q1, q2,..., qn) d’unió determinar la posició (x,y,z) i l’orientació (RPY) de l’E.T. Respecte del sistema de coordenades de la base del robot.

Problema cinemàtic invers

Donada una determinada posició (x,y,z) i una determinada orientació (RPY) obtenir el valor de les variables d’unió (q1, q2,...,qn) que situen el manipulador en la configuració desitjada.

2

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





2.1 Sistemes de Coordenades

• Imaginem un robot mòbil equipat amb un manipulador.• Coneixem la posició cartesiana de l’E.T (Bq) respecte al sistema de coordinades {B}.• També coneixem la posició del mòbil (Ap) respecte d’un sistema de coordenades fix {A}.

Podem conèixer q respecte {A} (Aq)?

x

y

z

x

yz

{A}

{B}ApBq

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





2.1 Sistemes de Coordenades

• Sistema de coordenades en l’espai: Conjunt complet de vectors ortonormals i coincidents en un punt.

•Sistema de coordenades de referència: Sistema de coordenades a l’espai al qual es referencien tots els punts i altres sistemes de coordenades.

{A}

Ax

Ay

Az

ab

c

( )( )( )

( )

( )θcosˆˆˆ·ˆon ˆ·ˆˆ·ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

100ˆ

010ˆ

001ˆ

unitaris vectors

⋅⋅=

==

⋅=++==

=

=

=

xpxpzpcypbxpa

zcybxacbap

z

y

x

T

T

T

T

3

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





2.2 Canvis de Sistemes de Coordenades

• Transformacions en l’espai: Rotacions i traslacions dels sistemes de coordenades respecte del sistema de coordenades de referència.

{A}

θ

θ

AzBz

Ay

ByAx

Bx

{A}

{B}

∆X

∆Z

Ax

Az

AyBy

Bx

Bz

{A}

{B}

∆Y∆X

∆Z

Az

AxBx

By

Ay

Rotació d’un angle θ al voltantde l’eix Y.

Translació al punt (x y z)T

Combinació una traslació i d’una rotació i al voltant de l’eix Y del sistema de referència {B}.

Bz

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Translació

• {B} és una translació de {A} a la posició A(3 4 3)T.• Els eixos de coordenas de {B} són paral∙lels als de {A}.• La translació es pot representar mitjançant una suma vectorial.

=

+

=

+++

=

+

=

574

343

231

;

AAB

zA

yA

xA

zAy

Ax

A

zB

yB

xB

zAy

Ax

A

zB

yB

xB

zA

yA

xA

ppp

ooo

ppp

ooo

ppp

ppp

Bp=(1 3 2) TAp=(4 7 5) T

Ao=(3 4 3)T

{A}

Az Bz

AyBy

AxBx

{B}

4

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Rotació

• {B} és una rotació de 90º de {A} respecte l’eix .• La rotació es pot representar mitjançant un producte matricial.

Bp=(2 1 3) TAp=(3 1 -2)T

90º

−=

−=

⋅

−=

213

312

*001010100

cos0sin010

sin0cos

B

B

A

zA

yA

xA

zB

yB

xB

B

A

zA

yA

xA

ppp

ppp

ppp

θθ

θθ

Ay

AzBz

AyBy

Ax

Bx

{B} {A}

Rot(θ, )Ay

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Rotació

−=

−=

−=

321

312

·100001010

·1000cossin0sincos

AB

B

A

zA

yA

xA

zB

yB

xB

B

A

zA

yA

xA

ppp

ppp

ppp

ϑϑϑϑ

Bp=(2 1 3)TAp=(-1 2 3)T

90º

Rot(θ, )

Bp=(2 1 3)T

Ap=(2 –3 1)T {B}

90º

−=

−=

−=

13

2

312

·010100

001

·cossin0sincos0001

AB

B

A

zA

yA

xA

zB

yB

xB

B

A

zA

yA

xA

ppp

ppp

ppp

ϑϑϑϑ

Ax

BxAy

By

Az Bz

Bz

AzBy

AxBxAy

{B}

Az

Rot(θ, )Ax

{A}

{A}

5

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





2.3 Justificació de les matrius de Rotació I

ProposicióSiguin {A} i {B} sistemes de coordenades ortonormals amb el mateixorigen i amb vectors unitaris {a1, a2, a3} {b1, b2, b3} ∃ una matriu Rnxndefinida com:

rkj=ak∙bj 1≤ k, j ≤ n

Tal que, ∀ p ∈ 3 Ap=ARBBp

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

3

2

1

332313

322212

312111

3

2

1

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ppp

bababababababababa

ppp

B

B

B

B

A

A

A

A

ℜ

b1

a1

a2

a3

b2b3

ARB

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





2.3 Justificació de les matrius de Rotació IIDemostració

( )( )

( )

⋅

=

++=→=

++=→=

++=→=

==⋅

==

++=

++=

=

=

∑∑∑===

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

3332321313

3232221212

3132121111

3

1

3

1

3

1

332211

332211

321B

321A

···1

···2

···1

ˆ·ˆˆ)ˆ(ˆˆ

component la ccionem Sel·le

ˆ·ˆ·ˆ·ˆ

ˆ·ˆ·ˆ·ˆ

ˆ

ˆon ˆ vector pelt representapunt un i

ts traslladano i rotats S.C. dos {B} i {A}Siguin

ppp

rrrrrrrrr

ppp

prprprpk

prprprpk

prprprpk

r·pab·pab·pa·pp

p

bpbpbpp

apapapp

pppp

pppppp

B

B

B

B

A

A

A

A

BBBA

BBBA

BBBA

kjj

jB

jk

Aj

Aj

Bk

Aj

Aj

B

jk

AAk

A

kA

ABABABA

AAAAAAA

BBB

AAA

6

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−⋅

−=

−=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+−−+=⇒++=

++=⇒++=

−==

==

32

2

100001010

322

:scoordenade de canvi elfer permet ens que comprovem i

100001010

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

:donçs es obtinguda rotació dematriu La100·3001·2010·2322ˆ·ˆ·ˆ·ˆ

100·3010·2001·2322ˆ·ˆ·ˆ·ˆ

:acompleixs' que comprobemanterior ament desenvolup elFent 322ˆ

322ˆ

:queobserver t Gràficamen

332313

322212

312111

332211

332211

321B

321A

B

B

AA

B

A

B

A

TATATATAABABABA

TATATATAAAAAAAA

TBBBB

TAAAA

bababababababababa

bpbpbpp

apapapp

pppp

pppp

1a

2a

3a

1b

2b

3b

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Obtenció de les Matrius de Rotació I

Rot(θ, x )

Rot(θ, y)

Y

X

ZZ’

X’

θ

θ

−=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ϑϑ

ϑϑ

cos0sin010

sin0cos

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

332313

322212

312111

B

A

bababababababababa

sin

2cos

sin2

cos i

,ˆˆ ,ˆˆ

31 ,1|ˆ||ˆ|on

cossin0sincos0001

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

332313

322212

312111

=

−

−=

+

≠∀⊥

≠∀⊥≤≤∀==

−=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ϑϑπ

ϑπϑ

ϑϑϑϑ

jibb

jiaaiba

bababababababababa

ji

ji

ii

B

A

θY

X

ZZ’Y’

Z’

7

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Obtenció de les Matrius de Rotació II

Rot(θ, z )

−=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

1000cossin0sincos

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

332313

322212

312111

ϑϑϑϑ

B

A

bababababababababa

Y

X

ZZ’

X’θ

Y’

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Interpretació Geométrica de les Matrius de Rotació

{ }{ }

( ) ( )A

B

T

B

A

BBB

AAA

rrrrrrrrr

rrrrrrrrr

aaa

bbb

===

=

−

332313

322212

312111

AB

BA1

BA

333231

232221

131211

BA

321

321

BA

RRR ; R

:queacompleix S'

llavors

{B}en tsrepresenta {A} de unitaris vectorsels ˆˆˆ{A}en tsrepresenta {B} de unitaris vectorsels ˆˆˆ

associada rotació dematriu la R{A} de rotació la departir aobtingut S.C.un {B}

Siguin

1aB

2aB

3aB

1bA

2bA

3bA

1aB

2aB

3aB

1bA

2bA

3bA

1a

2a

3a

1b

2b

3b

8

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple

{ } ( ) ( ) ( ){ }{ } ( ) ( ) ( ){ }

A

B

B

A

TBTBTBBBB

TATATAAAA

bRot

aaa

bbb

−

−=

−=

−=

001010100

001010100

)ˆ,º90(

001010100ˆˆˆ

001010100 ˆˆˆ

2

321

321

1aB

2aB

3aB

1bA

2bA

3bA

1aB

2aB

3aB

1bA

2bA

3bA • Per Rotacions simples, podem calcular la

matriu de rotació per simple inspecció geométrica.

1a

2a3a

1b 2b

3b

90º

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Propietats de les Matrius de Rotació

{ }{ }

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ortogonalssón 0, · j,i ,31 ,31 / , .6

ortogonalssón 0, · j,i ,31 ,31 / , .5

1 ,31 / .4

1 ,31 / .3

{B}en ntat {A}represe de unitari vector el és ,31 / .2

{A}en t representa {B} de unitari vector el és ,31 / .1

:llavors

associada rotació dematriu la

{B}en tsrepresenta {A} de unitaris vectorsels ˆˆˆ{A}en tsrepresenta {B} de unitaris vectorsels ˆˆˆ

{A} de rotació la departir aobtingut S.C.un {B}

Siguin

321321

321321

321

321

321

321

333231

232221

131211

321

321

=⇒≠≤≤≤≤∀−

=⇒≠≤≤≤≤∀−

=≤≤∀−

=≤≤∀−

≤≤∀−

≤≤∀−

=

Tjjj

BTiii

B

Tiii

ATiii

A

Tiii

B

Tiii

A

Tiii

B

Tiii

A

B

A

BA

BBB

AAA

rrrrrrjiji

rrrrrrjiji

rrrii

rrrii

irrrii

irrrii

rrrrrrrrr

R

aaa

bbb

9

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Matrius Homogenees

•Transformacions bàsiques:• Translació => representada per una suma vectorial.• Rotació => representada per un producte de matrius.

• Transformació genèrica => Translació + rotacions• Si poguéssim representar una translació amb una matriu T, i siguin Rx , Ry , Rz les matrius de rotació

G=T∙ Rz,a ∙ Ry,q∙Rx,Y

seria la representació d’una transformació genèrica.

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Representació Homogenia d’una Translació

B

zA

yA

xAA

zA

yA

xA

ooo

oooTrans

=

1000100010001

),,(zU

Bp=(1 3 2)T

Ap=(4 7 5)T

Ao=(3 4 3)T

´{A}{B}

=

+++

=

+++

=

=

1574

1233413

11

*

1000100010001

p o)Trans( =p

AAA

BAA

zB

zA

yB

yA

xB

xA

zB

yB

xB

B

zA

yA

xA

pppopo

ppp

ooo

Ax

Bx Ay

By

AzBz

10

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Representació Homogenia d’una Rotació

Y

X

ZZ’

X’

θ

θ

θY

X

ZZ’Y’

Z’Y

X

ZZ’

X’θ

Y’

−10000cos0sin00100sin0cos

θθ

θθ

−

10000cossin00sincos00001

θθθθ

−

1000010000cossin00sincos

θθθθ

Rot(θ, x ) Rot(θ, y) Rot(θ, z )

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Translació Seguida de Rotació

−=⇒

=

−

−=

−=

−

=

==

1000cos0sin

010sin0cos

1574

1132

*

1000300140103100

1

1

*

1000cos0sin

010sin0cos

1

1

*

10000cos0sin00100sin0cos

*

1000100010001

1

)•,ˆ(•)(

zAy

Ax

A

zA

yA

xA

zB

yB

xB

zAy

Ax

A

zA

yA

xA

zB

yB

xB

zAy

Ax

A

zA

yA

xA

BB

AA

ooo

Gppp

ppp

ooo

ppp

ppp

ooo

ppp

pyRotoTransp

αα

αα

αα

αα

αα

αα

α

Bp=(-2 3 1)T

Ap=(4 7 5) T

Ao=(3,4,3)

{A}{B} 90º

Bx

AyBy

Az

Bz

Ax

11

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Transformacions Homogenees Compostes

T=I

Traslacions i rotacions com a matrius separades

Traslació/Rotació de {B}?

Pre-multiplicar

Post-multiplicar

Fi

Més?

I≡Eixos conincidents ({A})fixos i ({B}) mòbils.

Eixos Mòbils{B}

Eixos Fixes{A}

si

no

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple

IT =

IoTransT

oTransIT

A

A

)·(o

)(·

=

=

)90,ˆ(·)·(o

)90,ˆ()·(·

2

2

yRotIoTransT

yRotoTransIT

A

A

=

=

xA

yA

zA

xB

yB

zB

AoxA x1

yA y1

zA z1

zA

xA

yA

y2

z2

x2

Ao

zA

xA

yA

xB

zB

yB

^

^

^^

^^

^^

^

^

^

^

^

^

^^

^

^ ^

^

^ ^

^

^

12

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple

xA

yA

zA

xB

yB

zB

Ao

( )B

A

TA

zA

yA

xA

zA

yA

xA

A

To

ooo

ooo

T

yRotIoTransT

−=⇒

=

=

−=

−

=

=

1000300130103100

1333

90

1000cos0sin

010sin0cos


·

·

1000010000100001

·

1000100010001

)90,ˆ(·)·( 2

α

αα

αα

αα

αα

^

^

^^

^^

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple

IoTransyRotT

oTransIyRotT

A

A

)·()·90,ˆ(o

)(·)·90,ˆ(

2

2

=

=

zA

xA

yA

xB

zB

yB

ATENCIÓ!!!Si enlloc de Rotar respecte els eixos mòbils ho fem respecte els fixes el resultat és diferent!!

IoTransT

oTransIT

A

A

)·(o

)(·

=

=zA

xA

yA

y2

z2

x2

Ao

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

xA

yA

zA

xB

yB

zB

Ao

^

^^

^^

^

13

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple

xA

yA

zA

xB

yB

zB

Ao

( )B

A

TA

zA

xA

yA

zA

xA

zA

yA

xA

A

To

ooo

oo

ooo

T

IoTransyRotT

−−=⇒

=

=

+−−

+

=

−=

=

10003001

30103100

1333

90

1000·cos·sincos0sin

010·sin·cossin0cos

1000010000100001

·

1000100010001

·


)·()·90,ˆ( 2

α

αααα

αααα

αα

αα

I la matriu final també ho és !!!

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Transformació Homogènia Inversa

=

1000pR

TSi

Exemple:

−−

−

=⇒

−

= −

10002100

00012010

1000210020010010

1TT

=

⋅

-20-2

220

-1000010-10

⋅−=⇒ −

10001 pRR

TTT

14

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Exemple:

La transformació homogènia que mapeja {B} respecte {A}, és T. Quines són les coordenades del punt Ap=(0,1,0) respecte el sistema de coordenades {B}?

Ap = T BpT-1·Ap = T-1·T BpT-1·Ap = Bp

−−

−

=⇒

−

= −

10002100

00012010

1000210020010010

1TTPer tant,

−

−

=

⋅−

12

01

1010

1T

=

⋅

-20-2

220

-1000010-10

A B

{A}

{B}Bx

Ay

By

Az

Bz

Ax

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Representació de la Posició i l’Orientació.

• Matriu RTH• Rp + RPY(θ,φ,α)=R(x,y,z,θ,φ,α)T

• Vector Configuració

xR

yR

zR

o=yH

n=xHRp

^

^

^^^

^ ^

a=zH^ ^

^

{R}

{H}

15

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Matriu RTH

H

zzzz

yyyy

xxxxR

HR

pasnpasnpasn

T

=

1000

Vectors unitaris de {H}Representats en {R}

Posició de l’E.T. Representat en {R}

xR

yR

zR

o=yH

n=xHRp

^

^

^^^

^ ^

a=zH^ ^

^

{R}

{H}

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





R(x,y,z,θ,φ,α)T

RPY (θ,φ,α)

1a2a

3a

{A}

1d{E}

IRPY =),,( αφθ

),(·),,( zRotIRPY θαφθ =

),()·,(·),,( yRotzRotIRPY φθαφθ =

),()·,()·,(·),,( xRotyRotzRotIRPY αφθαφθ =

1a 2a

3a

1b2b

3b

{B}

φ

θ

α

1c

3c

1b

2b

3b2c

{D}

a

o n

xRyR

zR

1c

3c

2c3d2d

16

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





R(x,y,z,θ,φ,α)T

RPY (θ,φ,α)

−+−+++−

=

=

−

−

−

=

10000·coscos·sincossin0·cos·sinsin·sincos·sin·sinsin·coscos·cossin0·cos·sincos·sinsin·sin·sincos·cossin·coscos

10000cossin00sincos00001

·


·

1000010000cossin00sincos

),,(

αφαφφαφθαθαφθαθφθαφθαφαφθαθφθ

αααα

φφ

φφθθθθ

αφθRPY

a

o n

xRyR

zR

n o a

• Vectors unitaris del S.C. De la mà referenciats als S.C. De la base del Robot

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Vector Configuració

xR

yR

zR

a=zH

o=yH

n=xHRp

^

^

^^^

^ ^^ ^

^

{R}

{H}

• La posició éstà representa amb R(px py pz)• â defineix el Pitch i el Yaw, però no el Roll.• Solució:

• Escalem â multiplicant-lo pel Roll.

• Problema:• Que passa Quan Roll=0? ⇒ perdem la informació d’orientació.

( )TzyxzyxR aaapppW ··· θθθ=

( )TzyxR pppW 000=

17

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Vector Configuració

xR

yR

zR

a=zH

o=yH

n=xHRp

^

^

^^^

^ ^^ ^

^

{R}

{H}

• Solució: • Cal una funció d’escalat, que per Roll=0 no anul∙li el vector.

• Cal que sigui invertible per tal que es pugui recuperar la informació de Roll.

T

zyxzyx

R

aeaeaepppW

= ··· π

θπθ

πθ

∀>

≤≤⇒≤≤

=⇒=

→

θ

πθπθ

θ

πθ

πθ

πθ

,0

2020

10

e

e

e

w2

( )2ˆ·ln wπθ =


Problema Cinemàtic Directe del θ-r

x0

y0

z0

x1y1

z1

x2

y2

z2

{L0}

{L1}{L2}

θ1

d2

( )

H

zzzz

yyyy

xxxxR

HR

HR

T

pasnpasnpasn

TAAT

pAApAp

pAp

p

A

A

===

==

=

=

1000

·

···

·

llavors

1000

L amb L relaciona que homogèneamatriu la

L amb L relaciona que homogèneamatriu la

Siguin

21

10

22

11

011

00

22

11

2

1221

0110

La matriu RTH és una matriu d’equacions que depenen de 2 variables: θ1-d2




18






1-. Per cada link Li, assignem un S.C. {Li}.2-. Calculen les matrius i-1Ai que transforma Li-1 en Li.i-1Ai és una matriu homogénea que depen de qi.

3-. Calcular

Els components d’aquesta matriu són equacions que depenen de les variables d’articulació qi.

Com assignem els sistemes de coordenades als links?

H

zzzz

yyyy

xxxxR

n

ii

iH

R

pasnpasnpasn

AT

==∏=

−

10001

1

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Caracterització de Braços Robòtics

• Existiexen moltes formes d’unir els links amb joins per aconseguir estructures poliarticulades:

Articulacions Angulars

Articulacions Prismàtiques

És possible trobar una matriu genérica i-1Ai que, depenent d’uns paràmetres (longitut del link, desaliniament vertical, desaliniament

angular i variable d’articulació), sempre transformi Li-1 en Li?

19

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Caracterització d’Articulacions Angulars

zi-1 xi-1yi-1

θi

z

xy

xi

yi

zi

yzx

ui

ui+1

ai

di

αi

i

iii

iiiiiii

iiiiiiii

ii

iiiiii

iiiii

iiii

iii

ii

dcssacsccscassscc

A

xRotaxTransdzTranszRotIA

axTransdzTranszRotIA

dzTranszRotIA

zRotIA

IA

−

−

=

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

10000

······

),()·,()·,()·,(·

),()·,()·,(·

),()·,(·

),(·

1

1

1

1

1

1

1

ααθθαθαθθθαθαθ

αθ

θ

θ

θ

-90º

Home

90ºaidiqii

αiaidiθiGDLL

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Caracterització d’Articulacions Prismàtiques

zi-1

xi-1

yi-1

θiui

ui+1

ai

di

αi

y

z x

yz

x

yz

x xiyi

zi

i

iii

iiiiiii

iiiiiiii

ii

iiiiii

iiiii

iiii

iii

ii

dcssacsccscassscc

A

xRotaxTransdzTranszRotIA

axTransdzTranszRotIA

dzTranszRotIA

zRotIA

IA

−

−

=

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

10000

······

),()·,()·,()·,(·

),()·,()·,(·

),()·,(·

),(·

1

1

1

1

1

1

1


αθ

θ

θ

θ

di

Home

90ºl1qi90ºi

αiaidiθiGDLL

20

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Algorisme de Denavit-Hartenberg (DH)

0. Numereu les unions des de 1 fins a ncomençant per la base i acabant pel yaw, pitch i roll de l’element final (en aquest ordre).

1. Assigneu el sistema de coordenades L0 a la base, assegurant-vos que Z0 coincideix amb l’eix de la unió 1, i inicialitzeu k=1.

2. Feu coincidir Zk amb l’eix de la unió k+1.

3. Poseu l’origen de Lk a la interseció dels eixos Zk i Zk-1. Si Zk i Zk-1 no intersecten, utilitzeu la intersecció de Zk amb una normal comuna a Zk i Zk-1.

4. Poseu Xk de manera que sigui ortogonal a Zki Zk-1. Si Zk i Zk-1 són paral∙lels, feu Xkperpendicular a Zk-1.

5. Seleccioneu Yk per acabar de completar el sistema de coordenades Lk.

6. Feu k=k+1. Si k<n, torneu al pas 2.

7. Poseu l’origen de Ln a la punta de l’element final. Feu coincidir Zn amb el vector a (approach), Yn ambel vector s (sliding) i Xn amb el vector normal de l’element final. Feu k=1.

8. Poseu el punt bk a la intersecció dels eixos Xk i Zk-

1. Si no intersecten, poseu-lo a la intersecció d’Xkamb una normal comuna a Xk i Zk.

9. θk és l’angle de rotació des de Xk-1 a Xk mesuratsobre Zk-1.

10. dk és la distància des de l’origen del sistema de coordenades Lk-1 al punt bk mesurat al llarg de l’eix Zk-1.

11. ak és la distància des del punt bk a l’origen del sistema de coordenades Lk mesurat al llarg de Xk.

12. αk és l’angle de rotació des de Zk-1 a Zk mesuratsobre Xk.

13. Feu k=k+1. Si k<n aneu al pas 8.

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work






y0z0

x1y1

z1

x2

y2

z2

θ1 d2

x0

d1

b1b2

d2

90º

Home

00q290º2

900d1q11

αiaidiθiGDLL

1

1

12110

12110

21

10

2

2

1

21

1

1

11

110

10

1

1

1000001

·0·0

·

1000100

00010010

1000010

0000

10000

······

−−−

−

==

−

=

−

=

−

−

=

−

−

dcdcssdsc

AAT

dA

dcssc

Adcssacsccscassscc

A

HR

i

iii

iiiiiii

iiiiiiii

ii


21

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Justificació Geométrica de la solució del θ-r

y0z0

x1y1

z1

x2

y2

z2

θ1 d2

x0

d1

b1b2

θ1

12 ·sdpx =

12 ·cdpy −=

2planar Moviment dpz =⇒

x0

y0

θ1=0

x0y0

z1

x1

θ1

x0

y0

z1

x1

θ1

Interpretació de θ1

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Problema Cinemàtic Directe del θ1- θ2l1

y0z0

θ1

x0

y1z1

θ2

x1

y2

z2

x2

l2

b2b1

0

0

Home

90ºl20q22

0l10q11

αiaidiθiGDLL

1

111221212

1112212120

21211221

21211221

1

1121221221212121

11212212212121210

21

10

2

2222

22221

21

1

1111

11110

10

1

1

10000010

00

)cos()sin(

com

10000010

00

·

10000010·0·0

10000100·0·0

10000

······

+−+

=

−==++==+

++−++−+−

==

−

=

−

=

−

−

=

−

−

sasacscacasc

T

ssccccsscssascacsaccsssccs

cassaccacsscsscc

AAT

sacscasc

Asacscasc

Adcssacsccscassscc

A

HR

HR

i

iii

iiiiiii

iiiiiiii

ii

θθθθ


22

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Justificació Geométrica de la solució del θ1- θ2

12211

12211

····sasapcacap

y

x

+=+=

θ1

x0

y0

x1y1

x2

z2θ2

θ1

py

px

l1

y0z0

θ1

x0

y1z1

θ2

x1

y2

z2

x2

l2

b2b1

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot Cilíndric de 4 G.D.LL

23

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot Cilíndric de 4 G.D.LL

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot ABB IRB 6400C de 6 G.D.LL

24

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work






1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work






ona ˆˆˆ ×=

25

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M11 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M1

y0

z0

θ1x0

y5

z5x5

x1 x2 x3

x4

y1 y2 y3

y4z1 z2 z3θ2 θ3 θ4

θ5

z4l1

l2 l3

l4

00l30q33

090º00q44

90º00l5q55

0

90º

Home

0l20q22

90º0l1q11

αiaidiθiGDLL

1 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M11 Objectives

2 State of the Art

3 Proposal

4 Methodology

5 Results

6 Conclusions

• Contributions

• Features

• Publications

• Further Work





Robot Mitsubishi MoveMasterEX RV-M1

Documents

Tema II: Cinemàtica de la Posició. - UdGeia.udg.es/~forest/transparencies_tema2.pdf · 2003-10-02 · 2 1 Objectives 2 State of the Art 3 Proposal 4 Methodology 5 Results 6 Conclusions