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Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Variables aleatorias unidimensionales
Estadística II
Universidad de Salamanca
Curso 2011/2012
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Variable aleatoria
DefiniciónLas variables aleatorias son funciones cuyos valores dependendel resultado de un experimento aleatorio
X : E −→ Rei −→ X (ei) ∈ R
TiposVariables aleatorias discretasVariables aleatorias continuas
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Variable aleatoria discreta
DefinitionSon aquellas variables aleatorias que sólo pueden tomar unnúmero de valores finito o infinito numerable
X : E −→ Nei −→ X (ei) ∈ N
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Variable aleatoria discreta
NotaEstas variables se representan por letras mayúsculas ypueden tomar n posibles valores
X = {x1, . . . , xn}
Las variables aleatorias discretas están caracterizadas porla función de probabilidad y la función de distribución
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Función de probabilidad
DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad y X una variablealeatoria discreta. Se llama función de probabilidad, f (X ), a lafunción que indica la probabilidad de cada posible valor de lavariable aleatoria discreta:
f : N −→ [0,1]xi −→ f (xi) = P(X = xi), i = 1, . . . ,n
y que verifica:0 ≤ f (xi) ≤ 1∑n
i=1 f (xi) = 1
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Función de probabilidad
GráficamenteLa función de probabilidad se representa mediante undiagrama de barras similar al de distribución de frecuenciasrelativas para variables discretas
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Función de distribución
DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad, X una variablealeatoria discreta y f (X ) su función de probabilidad. Se llamafunción de distribución (acumulativa) de la variable aleatoriadiscreta X , F (X ), a la probabilidad de que X sea menor o igualque x :
F : N −→ [0,1]xi −→ F (xi) = P(X ≤ xi)
F (xi) = P(X ≤ xi) =∑xj≤xi
f (xj)
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Función de distribución
Propiedades
F (−∞) = 0F (xmin) = f (x1)
F (xmax) = 1F (∞) = 1F es monótona no decreciente, es decir, si xi ≤ xjentonces F (xi) ≤ F (xj)
F es continua por la derecha, tiene límites por la izquierday es constante en [xi−1, . . . , xi), donde toma el valor∑
k≤i f (xk )
P(X > x) = 1− P(X ≤ x) = 1− F (x)(xi ≤ X ≤ xj) = F (xj)− F (xi)
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de probabilidadFunción de distribución
Función de distribución
GráficamenteLa función de distribución se representa mediante una escalera
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Variable aleatoria continua
DefinitionSon aquellas variables aleatorias que se definen sobreespacios muestrales infinitos y no numerables, es decir, tomanun número de valores infinito
X : E −→ Rei −→ X (ei) ∈ R
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Variable aleatoria continua
NotaEstas variables se representan por letras mayúsculas ypueden tomar∞ posibles valores
X = {x1, . . . , xn, . . .}
Las variables aleatorias continuas están caracterizadaspor la función de densidad y la función de distribución
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Función de densidad
DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad y X una variablealeatoria continua. Se llama función de densidad, f (X ), a lafunción real no negativa, tal que que, ∀a,b ∈ R, con−∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞:
P(a ≤ X ≤ b) =∫ b
af (x)dx
y que verifica:f (x) ≤ 0∫∞−∞ f (x)dx = 1
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Función de probabilidad
GráficamenteLa función de densidad se representa mediante una curva.
�
�
������
������
Δ
h(x) �
�
��
����������
Δ2
h(x)
�
�
��
��
��
�����Δ4
h(x) �
�X
f(x)
Figura 5.2: Obtencion esquematica de la funcion de densidad.
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Función de distribución
DefiniciónSea (E ,P(E),P) un espacio de probabilidad, X una variablealeatoria continua y f (X ) su función de densidad. Se llamafunción de distribución (acumulativa) de la variable aleatoriadiscreta X , F (X ), a la probabilidad de que X sea menor o igualque x :
F (x) = P(X ≤ x) =∫ x
−∞f (x)dx
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Función de distribución
Propiedades
F (−∞) = 0F (∞) = 1F es monótona no decreciente, es decir, si xi ≤ xjentonces F (xi) ≤ F (xj)
F es continuaSi f (x) es continua, entonces F (x) es derivable:
dF (x)dx
= f (x)
(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a) =∫ b
a f (x)dx
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
Función de densidadFunción de distribución
Función de distribución
Gráficamente
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Esperanza
DefiniciónValor esperado de la variable (valor medio), es un valor fijo, nouna función
V. A. discretas:
E(X ) =n∑
i=1
xi f (xi)
V. A. continuas:
E(X ) =
∫ ∞−∞
x f (x)dx
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Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Esperanza
Propiedades
Si C es una constante −→ E(C) = CE(aX + b) = a E(X ) + b, ∀a,b ∈ RSi g(X ) es una función de X , entonces:
E [g(X )] =n∑
i=1
g(xi)f (xi)
E [g(X )] =
∫ ∞−∞
g(x)f (x)dx
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Esperanza
Propiedades
Si g(X ) y h(X ) son funciones de X , entonces:
E [g(X ) + h(X )] = E [g(X )] + E [h(X )]
Si g(X ) es una función de X , entonces:
|E [g(X )]| ≤ E [|g(X )|]
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Outline
1 Variable aleatoria
2 Variable aleatoria discretaFunción de probabilidadFunción de distribución
3 Variable aleatoria continuaFunción de densidadFunción de distribución
4 Características de las variables aleatoriasEsperanzaVarianza
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Varianza
DefiniciónMide la dispersion de la variable aleatoria con respecto a sumedia
V. A. discretas:
Var(X ) = σ2 =n∑
i=1
(xi − E(X ))2
V. A. continuas:
Var(X ) = σ2 =
∫ ∞−∞
(x − E(X ))2 f (x)dx
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Varianza
Definición
Var(X ) = σ2 = E(
X 2)− (E(X ))2
Variables aleatorias unidimensionales
Variable aleatoriaVariable aleatoria discretaVariable aleatoria continua
Características de las variables aleatorias
EsperanzaVarianza
Varianza
Propiedades
Si C es una constante −→ Var(C) = 0Var(aX + b) = a2 Var(X ), ∀a,b ∈ R
Variables aleatorias unidimensionales
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