Pertemuan I

KALKULUS I3 SKS

Pertemuan I

Kontrak Perkuliahan

MateriFungsi dan Teori LimitTurunan dasar, berantai dan parsial

Aplikasi TurunanIntegralAplikasi Integral

Kontrak Perkuliahan

PustakaKuhfitting, P.KF. 1984. Basic Technical

Mathematics with Calculus. California: Brooks/ Cole Publishing Company

Faires, J.D.1988. Calculus. Second Edition. New York: Random House

Purcell, E.J & Varberg, D.1996. Kalkulus dan Geometri analisis. Jilid I dan II. Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga

dsb

Kontrak Perkuliahan

PenilaianUTS: 30 %UAS: 30 %Tugas: 40%- Quiz : 20 %- Tugas (Paper/ Makalah): 15 %- Keaktifan: 5%

MATERI

FUNGSI:Pengertian fungsiIstilah dan lambang fungsiGrafik fungsiJumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi

fungsiFungsi KomposisiFungsi Invers.

1. PENGERTIAN FUNGSI

A. Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain) dengan anggota himpunan kawan (kodomain)

Contoh : Relasi antara negara dan ibu kota. Relasi bilangan yang lebih besar dari. Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

l. Diagram panah2. Himpunan pasangan berurutan3. Diagram Cartesius

Contoh :Via: aku senang permen dan coklatAndre: aku senang coklat dan es krimIta: aku suka es krim

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Diagram panah

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Himpunan pasangan berurutan{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

Diagram Cartesius

B. FungsiRelasi yang bersifat khusus.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Syarat fungsi:

1. Ada himpunan asal (domain)

2. Ada himpunan kawan (kodomain)

3. Ada himpunan daerah hasil (range)

4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan

5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

B. FungsiRelasi yang bersifat khusus.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Syarat fungsi:

1. Ada himpunan asal (domain)

2. Ada himpunan kawan (kodomain)

3. Ada himpunan daerah hasil (range)

4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan

5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..

Korespondensi satu-satuFungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi satu-

satu jika merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya.

2. Istilah dan Lambang Fungsi

Notasi Fungsi :

Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan sebuah huruf tunggal, seperti f.

Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x, atau aturan yang harus dipenuhi oleh x

Contoh : Jika f(x) = x2 + 2x+1, maka : f(0) = f(1) = f(a) = f(a+b) =

Contoh :

1. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan : a. f(5) b. f(5+h) c. f(5+h) – f(5) d. [f(5+h) – f(5)]/h

2. Untuk g(x) = 2/x, maka tentukan [g(a+h)-g(a)]/h

Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), maka x disebut variabel bebas, dan y disebut variabel tak bebas/terikat.

Contoh : y = f(x)= x +2, maka x adalah variabel bebas, dan y variabel terikat.

Variabel Bebas dan Terikat

Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi/aturan, juga daerah asal fungsi (domain), yang merupakan sumber nilai dari suatu fungsi, dan daerah hasil fungsi (kodomain), yang merupakan nilai hasil dari aturan yang ada.

Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real.

Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnya pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif.

Daerah Asal dan Daerah Hasil

Latihan:Carilah daerah asal dan daerah hasil dari :

a. f(x) = 2 / x-8b. f(w) = 1 / (9-w2)1/2

c. g(x) = (x-5)/xd. f(x) = 5x2+3xe. f(x) = x / (x-1)

3. Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah

fungsi merupakan himpunan bilangan real, maka dapat dibayangkan fungsi itu dengan cara menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat.

Contoh : Tentukan daerah asal, daerah hasil dan grafik fungsi :

i. f(x) = (x-2)/x ii. g(x) = ( 4 – x)1/2

4. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Bagi Fungsi

Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan daerah asal masing-masing, maka :

(f+g)(x) = f(x) + g(x) (f-g)(x) = f(x) - g(x) (f.g)(x) = f(x) . g(x) (f/g)(x) = f(x) / g(x)

Catatan : hati-hati dengan daerah asal!

Contoh:

Jika f(x) = (x-1) /2 dan g(x) = (x)1/2, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

Jika f(x) = 1/(x+2) dan g(x) = 2x-1, maka tentukan jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.

5. Fungsi Komposisi

Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah dilakukan komposisi g dengan f.

Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan f, yang dinyatakan oleh g ○ f.

Jadi : (g ○ f)(x) = g(f(x))Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g.Jadi : (f o g)(x) = f(g(x))

Latihan (1):

Jika diketahui f(x) = (x-2)/1 dan g(x)= (x)1/2, maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)

Jika diketahui f(x) = 2x2 dan g(x)= x-5 maka tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)

Jika f(x) =2x2+5x dan g (x) = 1/x maka tentukan (fog)(2)

Jika f(x) = x2+4 dan g(y)=2/(y)1/2 maka tentukan (gof)(t)

Latihan (2):

Jika f(x) = 2x+5 dan g(x) = (x-1)/(x+4). Jika (f o g) (a)= 5 maka tentukan a

Jika f(x) = -x+3 maka tentukan f(x2)+f2(x)-2f(x)

Jika f(x) = 2x , g(x) = x+1, dan h(x) = x3

maka tentukan (h o g o f)

Jika f(x) = 2x2+3x-5 dan g(x)=3x-2, agar (gof)(a)=-11 maka tentukan a

6. Fungsi Invers

Jika fungsi f : A B, maka fungsi g : B A merupakan fungsi invers dari

fungsi f, yang dilambangkan dengan f -1(x)

Contoh 1: Jika f(x) = (x-5)/10, maka tentukan f -1(x)

Contoh 2: Jika f(x) = 1/x2, maka tentukan f -

1(x)

Latihan: Jika f(x)-1 = (x-1)/5 dan g(x)-1 = (3-x)/ 2 maka

tentukan (f 0 g)-1 (6)

Jika f (x) = ½ x -1 dan g (x) = 2x+4 maka tentukan (g o f)-1 (10)

Jika f(x) = 2x dan g(x) = 3 - 5x. Tentukan (g o f)-1 (x)

Jika (f o g)(x) = 4x2+8x-3 dan g(x)= 2x+4 maka tentukan f-1(x)

TUGAS 11. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu,

kemudian tanyakan nomor sepatu/bulan lahir/tanggal lahir/kota lahir/makanan kesukaan/warna kesukaan/tinggi badan/berat badan mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.

a) Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!b) Jika B himpunan (baca soal diatas) teman-temanmu, tulislah

anggota B !c) Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram

panah, dan dengan himpunan pasangan berurutan.2. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan :

[f(nim+h) – f(nim)]/h3. Carilah daerah asal dan daerah hasil beserta grafiknya dari :

a. g(x) = 2x2 + 5 (NIM gasal)b. f(x) = x2 - 2x (NIM genap)

TUGAS 21. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:

a. (f o g)(x)b. (g o f)(x)

2. Diketahui f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2 + 6x + 7, maka tentukan g(x) !

3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi

4. Jika diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 5x – 2 Tentukan (f o g)-1(x)

3

1,

13

52)(

xx

xxf

KALKULUS I3 SKS

Pertemuan II

Jenis-jenis Fungsi

Fungsi

Fungsi aljabar Fungsi non aljabar

f.irrasional f.rasional

f. Polinomf.linearf.kuadrat

f.pangkat

f. Eksponensialf. logaritmikf. Trigonometrikf. hiperbolik

Fungsi Aljabar

Fungsi Kuadrat (Parabola)f(x)=ax2+bx+cdengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama

dengan nolContoh:3x2+2x+1

Fungsi Pangkat Tiga (Kubik)f(x)=ax3+bx2+cx+ddengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama

dengan nolContoh:x3+x2+5x

Fungsi Aljabar

Fungsi Polinom (Suku Banyak)f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0

Contoh:f(x)=-x5+7

Fungsi Linierf(x)=ax+bContoh:5x+9

Fungsi Trigonometri

Apabila sebuah sudut sebesar θ derajat ditempatkan dalam kedudukan standar pada pusat sebuah lingkaran berjari-jari c seperti pada gambar di bawah, maka harga-harga sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan oleh rumus-rumus berikut:

b

a

c miringsisi

berhadapanyangsisisin

c

bsin

Fungsi Trigonometri lanj..

miringsisi

mengapityangsisiinus cos

c

acos

mengapityangsisi

berhadapanyangsisigen tan

a

btan

KALKULUS I3 SKS

Pertemuan III

1. Identitas Trigonometri

2. Fungsi Pangkat

3. Fungsi Eksponen

1. Identitas Trigonometri

•Kesamaan Ganjil-Genap

•Kesamaan Fungsi Trigonometri

•Kesamaan Jumlah

•Kesamaan Sudut Rangkap Dua

Kesamaan Ganjil - Genap

xx

xx

xx

tantan

coscos

sinsin

Kesamaan Fungsi Trigonometri

A

AA

AA

AA

A

AA

cos

sintan

csccot1

seccos

1tan1

1cossin

22

22

2

22

Kesamaan Fungsi Trigonometri..lanj

sec x  =    1               cos x

cosec x =    1                     sin x

cot x =      1       =   cos x               tan x         sin x

INGAT !

Kesamaan Jumlah

BA

BABA

BA

BABA

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

tantan1

tantantan

tantan1

tantantan

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

sincoscossinsin

sincoscossinsin

Kesamaan Sudut Rangkap Dua

Atg

tgAAtg

AAAAA

AAA

2

2222

1

22

sin211cos2sincos2cos

cossin22sin

AAA

tgAsec

cossin

1

1coscossinsin 4222

244 cos21cossin

1.

2.

3.

LATIHAN

Latihan Kelompok

xxx

2tantancot

2

tt

t 22

2

sinsec

1sec

sin2sin1

cos

sin1

cos 22

tgA

A

A

A cos1

1sec

sin

1.

2.

3.

4.

5. AAtg

AtgA 22

22

sin1cos

Tugas 3

AA

A

A

Asec2

cos

sin1

sin1

cos

AAA cot2csc)1(cot 22

1sin2

1

cottan

cottan2

AAA

AA

A

AAA

sin1

sin1)tan(sec 2

1.

2.

3.

4.

KALKULUS I3 SKS

Pertemuan V

2. Fungsi Pangkatnxy y: variabel tak bebas

x: variabel bebasn: konstanta

Identitas fungsi Pangkat:baba xxx .baba xxx :

baba xx .aa xx /1

a

aa

z

x

z

x

ab

b xxa

10 x

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Latihan

111

1

2

2

2

21

m

m

m

m

2

1

2

3

2

14 xx

7.

6.

8.

9.

10.

26

243

4..2

.)2(10

y

yyx

224332 cbaxcba

1322221 3:3 qpqp

1

44

2

32

b

ba

ba

ab

24324 ba1.

2.

3.

4.

5.

23 510 aa

263 327 abba

22532 33 pqqp

3. Fungsi Eksponenxay y = peubah tak bebas

a = konstanta, 0a

x = peubah bebas

(i) af(x) = ap maka f(x) = p

(ii) af(x) = ag(x) maka f(x) = g (x)

(iii) af(x) + ag(x) = c maka af(x) + ag(x) =a0

f(x) + g (x) = 0

Latihan

1.2.

3.

8

12 2 x

2263 22

55 xxxx

25212

2

2

216

16

xxxx

4.

1255 22 xx

18 62 x

3437 107 x

5.

6.

Tugas 4

xxx 2.2423

2

122

232

43

1125.5

xx

a.

b.

c.

d.

e.

g.

f.

h.

i.

j.

xxx 3.3923

16

272.14 )32( x

xxx 21636.216 )2( 2

2163.2 5252 xx

5321

23125

5.5

xxx

0224 xx

4

2

7

2

2

2

4

32

xx

x

533.2 12 xx

KALKULUS I3 SKS

Pertemuan VI

LIMIT FUNGSI

Tinjau fungsi yang ditentukan oleh :

f(x) = pada x = 1

Tetapi , bagaimana nilai f(x) jika x mendekati 1?

Perhatikan tabel di bawah ini :

1

13

x

x

LIMIT FUNGSI

x 1

1)(

3

x

xxf

1,25 3,813 1,1 3,310

1,01 3,030 1,001 3,003

1,000 ?

0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710

0,75 2,313

LIMIT FUNGSI

Dari tabel yang ada, dapat disusun suatu kesimpulan yaitu : f(x) mendekati 3 saat x mendekati 1.

Secara matematis ditulis

31

1lim

3

1

x

xx

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

Bentuk tak tentu 0/0dapat diselesaikan dengan 2 cara :

1. Memfaktorkan

)()(

)()(lim

)(

)(lim

xgax

xfax

xG

xFaxax

1

22lim

2

1

x

xx

CONTOH:

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

2. L’Hospital

)('

)('lim)(lim

xG

xFxF

axax

1

22lim

2

1

x

xx

CONTOH:

1-nn

1n

x.. y'x.

. y'xy

0 y'

naay

xn

cyn

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

Bentuk tak tentu ~/~dapat diselesaikan dengan :

Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut

12

3lim

2

xx

xx

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sbb :

...

...lim

1

1

nn

mm

x qxpx

bxax

Jika m = n hasilnya a/pJika m > n hasilnya ~Jika m< n hasilnya 0

jadi 012

3lim

2

xx

xx

karena pangkat pembilang < pangkat penyebut

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

Contoh soal :

1

1lim

2

x

xxx

karena m > n

1

1lim

2

x

xxx

jadi

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

Bentuk

Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar,

maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawanf(x) atau sekawan g(x).

)(

)(lim

xg

xfax

152

144lim

25

xx

xxx

CONTOH:

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI

Bentuk 112)52(lim 22

xxxxx

gunakan rumus sbb:

a

pbqpxaxcbxax

x 2(lim 22

berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a)

Diketahui b=-2 ; p =2 ; a =1

Latihan

Tentukan nilai dari limit dibawah ini:)12(lim 2

2

xx

x)5(lim

3

x

x

213

21lim

1

t

tt 2

4lim

2

2

x

xx

1

64lim

23

1

x

xxxx tx

txtx

22

lim

a. b. c. d. e. f.

g. 7

214lim

2

7

t

ttt

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

1sin

lim0

x

xx

1sin

lim0

x

xx

1

lim0

xtg

xx

1lim0

x

tgxx

1cos

lim0

x

xx

1cos

lim0

x

xx

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat

Θ 00 300 450 600 900

Sin θ 0 1

Cos θ 1   

0

Tan θ 0 

1 ∞

21

321

221

32122

1

2132

1

3

Latihan

Tentukan nilai dari limit dibawah ini:

1

coslim

0 x

xx t

tt sin1

coslim

2

0

x

tgxxx sin

3lim

0 x

xx 2

sinlim

0

x

xx 2

3sinlim

0

a. b. c. d. e.

Tugas 5

Tentukan nilai dari limit dibawah ini:

xx

xxx 3

183lim

2

2

3

1

4lim

3

2

2

x

xx

xx

xxt

12

254lim 20

12coslim

x

xx

4

2sinlim

22

x

xx x

xx 2cot

cotlim

0

a. b. c. d. e. f.