View
27
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO – 3
PARAMETER DENGAN METODE GENERALIZED PROBABILITY
WEIGHTED MOMENT SERTA APLIKASINYA PADA DATA
INTENSITAS CURAH HUJAN HARIAN
(Tesis)
Oleh:
ACHMAD RAFLIE PAHLEVI
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
ABSTRAK
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO – 3
PARAMETER DENGAN METODE GENERALIZED PROBABILITY
WEIGHTED MOMENT SERTA APLIKASINYA PADA DATA
INTENSITAS CURAH HUJAN HARIAN
Oleh
Achmad Raflie Pahlevi
Distribusi Generalized Pareto (GP) pertama kali diperkenalkan oleh Pickands dan
menunjukkan distribusi yang stabil pada nilai yang melebihi ambang batas.
Aplikasi penggunakan distribusi GP telah banyak digunakan dalam analisa nilai
ekstrim dari variabel meteorologi, seperti curah hujan, kecepatan angin, dan
kekeringan. Estimasi dari parameter (𝜉, 𝜎, 𝜇) telah berkembang selama 30 tahun
terakhir. Pegembangan dari pendugaan Probability Weighted Moment (PWM)
adalah Generalized Probability Weighted Moment (GPWM). Pada penelitian ini,
pendugaan dan pengujian parameter akan dilakukan secara analitik dan numerik.
Pendugaan parameter secara numerik akan dilakukan terhadap data intensitas curah
hujan harian di Bandar Lampung. Simulasi dilakukan dengan pembangkitan data
dengan parameter yang dihasilkan dari pendugaan. Pembangkitan data akan
dilakukan dengan pengulangan 𝑖 = 1000 dan jumlah sampel 10, 30, 50, 100, 1000,
dan 10000. Hasil simulasi menunjukkan pada nilai v berapapun penduga parameter
pada distribusi generalized Pareto – 3 parameter yang telah diperoleh dengan
menggunakan metode GPWM, merupakan penduga yang baik karena memenuhi
sifat tak bias, serta konsisten dan efisien asimtotik. Probabilitas intensitas curah
hujan ekstrim di Bandar Lampung pada musim hujan adalah 0.008, pancaroba I
adalah 0.003, kemarau adalah 0.001, dan pancaroba II adalah 0.001.
Kata Kunci: Distribusi Generalized Pareto, Generalized Probability Weighted
Moment, Probabilitas Intensitas Curah Hujan
ABSTRACT
ON THE METHOD OF GENERALIZED PROBABILITY WEIGHTED
MOMENT IN ESTIMATING OF 3-PARAMETERS GENERALIZED
PARETO DISTRIBUTION WITH APPLICATION ON DAILY RAINFALL
INTENSITY DATA
Oleh
Achmad Raflie Pahlevi
Generalized Pareto (GP) distribution was first introduced by Pickands and it shows
a stable distribution at a value that exceeds the threshold. Applications of GP
distribution have been widely used in the analysis of extreme values of
meteorological variables, such as rainfall, wind speed, and drought. Estimation of
the parameters (ξ, σ, μ) have developed over the past 30 years. The extension of
Probability Weighted Moment (PWM) estimation is the Generalized Probability
Weighted Moment (GPWM). Estimation and testing of parameters will be carried
out analytically and numerically. Numerical parameter estimation would be
performed on the daily rainfall intensity data in Bandar Lampung. The simulation
was done by generating data with parameters that was obtained from the estimation.
Data generation had been done using 1000 replication and the sample sizes were
10, 30, 50, 100, 1000, and 10000. The simulation results showed that at any value
of v, parameters estimation of the 3-parameters generalized Pareto distribution
using GPWM method, gives good estimators because they are unbiased, and
asymptotically efficient and consistent. The probability of extreme rainfall intensity
in Bandar Lampung during the rainy season was 0.008, transition I was 0.003,
drought was 0.001, and transition II was 0.001.
Keyword: 3-Parameters Generalized Pareto Distribution, Generalized Probability
Weighted Moment, Probability of Daily Rainfall Intensity
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED PARETO – 3
PARAMETER DENGAN METODE GENERALIZED PROBABILITY
WEIGHTED MOMENT SERTA APLIKASINYA PADA DATA
INTENSITAS CURAH HUJAN HARIAN
Oleh
Achmad Raflie Pahlevi
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
MAGISTER SAINS
Pada
Program Studi Magister Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
PROGRAM PASCASARJANA MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 4 September 1994, sebagai anak pertama
dari tiga bersaudara, dari Muhammad Jasin dan Ibu Susilowati. Pendidikan Taman
Kanak (TK) Aria Putra diselesaikan tahun 1999, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 06
Rambutan diselesaikan pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama Negeri
(SPMN) 9 Jakarta diselesaikan pada 2008, dan Sekolah Menengat Atas Negeri
(SMAN) 14 Jakarta diselesaikan pada tahun 2011.
Penulis melanjutkan pendidikan D IV di Perguruan Tinggi Kedinasan di bawah
Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG) yaitu Sekolah Tinggi
Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (STMKG) dalam jurusan Meteorologi pada
tahun 2011 dan lulus pada tahun 2016. Setelah lulus dari STMKG penulis
ditempatkan di Stasiun Meteorologi Maritim Lampung di Panjang, Bandar
Lampung. Penulis diterima sebagai mahasiswa Program Studi Magister
Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung melalui jalur tes atas biaya
sendiri (mandiri) paad bulan September tahun 2017.
Sejak kecil penulis memiliki cita-cita sebagai peneliti. Sejumlah publikasi telah
dilakukan oleh penulis saat penulis sedang studi magister di Universitas Lampung,
sebagai berikut:
1. Study of Generalized Pareto Distribution to Flood Disaster Mitigation in
Bandar Lampung.
Disubmit pada IOP Conference Series: Earth and Environmental Science
(Scopus Indexed)
Dipersentasikan pada International Conference on Marine and Coastal
Engineering and Sciences
2. Simulasi Interaksi Angin Laut dan Bukit Barisan dalam Pembentukan Pola
Cuaca di Wilayah Sumatera Barat Menggunakan Model WRF-ARW.
Dipersentasikan pada Seminar Nasional Metode Kuantitatif – 2017
3. Kajian Best-Fit Distribusi Probabilitas Untuk Curah Hujan Harian dan
Aplikasinya dalam Mitigasi Hujan Ekstrim di Pulau Sumatera.
Dipersentasikan pada Seminar Nasional Metode Kuantitatif II – 2018
4. Aplikasi Distribusi Statistik dalam Memonitor Kualitas Udara di Bukit
Kotatabang.
Dipersentasikan pada Seminar Nasional Metode Kuantitatif II – 2018
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamudlillah, Puji Syukur Kehadirat Allah SWT
Kupersembahkan tesis ini kepada:
Anakku Tercinta
Aqila Naura Achmad
Yang telah menjadi penyamangatku semenjak kehadirannya di dunia ini. Semoga
ketika kelak dia bisa membaca tulisan ini, dapat menjadi motivasi untuknya agar
dapat menjadi seseorang yang lebih baik dari ayahnya. Terima kasih atas segala
canda, tawa, dan cinta yang telah diberikan kepada saya selama penyusunan tesis
ini. Terima kasih telah mebuat ayah menjadi pribadi yang kuat dan semangat dalam
menjalani hari-hari.
MOTTO
“Dan tidaklah sama orang yang buta dengan orang yang
melihat”
(Q.S. Fatir : 19)
“Dia yang pergi untuk mencari ilmu pengetahuan, dianggap
sedang berjuang di jalan Allah sampai dia kembali”
(HR. Tirmidzi)
“Karunia Allah yang paling lengkap adalah kehidupan yang
didasarkan pada ilmu pengetahuan”
(Ali bin Abi Thalib)
“Orang bijak belajar ketika mereka bisa, orang bodoh belajar
ketika mereka terpaksa”
(Arthur Wellesley)
“Kecerdasan adalah kemampuan adaptasi pada perubahan “
(Stephen Hawking)
SAWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat
dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan tesis
sebagai salah satu syarat memperoleh gelar magister sains di Universitas Lampung
ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi
Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat manusia.
Diselesaikannya penulisan tesis yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi
Generalized Pareto – 3 Parameter Dengan Metode Generalized Probability
Weighted Moment Serta Aplikasinya Pada Data Intensitas Cura Hujan Harian” ini
tidak terlepas dari doa, bimbingan, dukungan serta saran dari berbagai pihak yang
telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Warsono, M.S., Ph.D, selaku dosen pembimbing utama dan
pembimbing akademik yang telah meluangkan waktu untuk membimbing,
mengarahkan, dan memotivasi penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.
2. Dr. Khoirin Nisa, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing kedua yang telah
memberikan pengarahan dalam proses penyusunan tesis ini.
3. Prof. Drs. Mustofa Usman, MA., Ph.D, selaku dosen penguji atas kritik dan
saran yang membangun untuk tesis ini.
4. Dr. Ir. Tumiar. K. Manik., M.Sc., selaku dosen penguji atas kritik dan saran
yang membangun untuk tesis ini.
5. Prof. Dra. Wamiliana, MA, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku Direktur Program Pascasarjana
Universitas Lampung.
8. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
9. Ibu, bapak, istri, dan adik-adikku tercinta yang selalu mendoakan dan
menyemangatiku.
10. Sahabat seperjuangan di S-2 Matematika angkatan 2017 dan keluarga besar
Matematika FMIPA UNILA.
11. Kepala Stasiun Meteorologi Maritim Lampung, yang telah mengizinkan saya
untuk melanjutkan studi magister.
12. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan tesis ini, semoga
mendapat imbalan yang sesui dari Allah SWT.
Penulis menyadari tesis ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap penelitian
ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca. Aamiin.
Bandar Lampung, 12 September 2019
Penulis
Achmad Raflie Pahlevi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ……………...………………………………………………. xv
DAFTAR TABEL ………...………………………………………………. xvii
DAFTAR GAMBAR ……...………………………………………………. xviii
I. PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang................................................................................... 1
1.2.Rumusan Masalah.............................................................................. 4
1.3.Batasan Masalah ................................................................................ 5
1.4.Maksud dan Tujuan............................................................................ 5
1.5.Manfaat .............................................................................................. 5
II. LANDASAN TEORI
2.1.Distribusi Pareto ................................................................................ 6
2.2.Distribusi Generalized Pareto ............................................................ 6
2.2.1. Definisi Distribusi Generalized Pareto ……………………. 7
2.2.2. Hubungan Distribusi Pareto dan Generalized Pareto ……… 8
2.2.3. Nilai Harapan Distribusi Generalized Pareto ........................ 9
2.2.4. Varians Distribusi Generalized Pareto ................................ 11
2.2.5. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Pareto. 14
2.3.Metode Pendugaan ........................................................................... 18
2.3.1. Probability Weighted Moments (PWM).............................. 18
2.3.2. Generalized Probability Weighted Moment (GPWM) ....... 19
2.4.Karakteristik Penduga....................................................................... 20
2.4.1. Ketakbiasan......................................................................... 20
2.4.2. Varians Minimum................................................................ 21
2.4.3. Konsistensi .......................................................................... 22
2.5.Simulasi Monte Carlo....................................................................... 24
III. METODE PENELITIAN
3.1.Metode Penelitian ............................................................................ 26
3.2.Simulasi Data …............................................................................... 27
3.3.Penerapan Pada Data Curah Hujan.................................................... 28
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1.Grafik Distribusi Generalized Pareto ……………………………… 29
4.1.1. Grafik dengan nilai 𝜎 beda, serta 𝜇 dan 𝜉 tetap ………...... 29
4.1.2. Grafik dengan nilai 𝜇 beda, serta 𝜎 dan 𝜉 tetap ………..… 30
4.1.3. Grafik dengan nilai 𝜉 beda, serta 𝜇 dan 𝜎 tetap ………….. 31
4.1.4. Grafik dengan 𝜇 dan 𝜉 beda, serta 𝜎 tetap ……………….. 32
4.1.5. Grafik dengan 𝜇 dan 𝜎 beda, serta 𝜉 tetap ……………..… 33
4.1.6. Grafik dengan 𝜉 dan 𝜎 beda, serta 𝜇 tetap ……………..… 34
4.2.Invers Fungsi Distribusi Kumulatif Generalized Pareto………………. 34
4.3.Fungsi Generalized Probability Weighted Moment untuk Distribusi
Generalized Pareto ………………………………………………… 35
4.3.1. Nilai Harapan Distribusi GP dengan Fungsi GPWM …….. 36
4.3.2. Momen Ke-R Fungsi GPWM …………………………….. 37
4.4.Pendugaan Parameter Distribusi Generalized Pareto ……………… 39
4.5.Karakteristik Penduga Secara Analitik …………………………….. 42
4.5.1. Ketakbiasan ……………………………………………… 42
4.5.2. Memerika Sifat Varians Minimum ………………………. 45
4.5.3. Memeriksa Sifat Kekonsistenan …………………………. 55
4.6.Aplikasi Terhadap Data Curah Hujan Harian ……………………… 59
4.6.1. Musim Hujan ……………………………………………... 59
4.6.2. Musim Pancaroba I ……………………………………….. 65
4.6.3. Musim Kemarau ………………………………………….. 70
4.6.4. Musim Pancaroba II ……………………………………… 75
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan ……………………………………………………….. 81
5.2. Saran ……………………………………………………………… 82
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................... 83
LAMPIRAN ……………………………………………………………….. 87
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Hujan ……………. 59
2. Nilai Bias dan Varians Pada n dan v yang Berbeda Pada
Saat Musim Hujan …………………………………………………… 60
3. Hasil Tes KS Saat Musim Hujan ……………………………………. 64
4. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Hujan …….. 64
5. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Pancaroba I ………. 65
6. Nilai Bias dan Varians Pada n dan v yang Berbeda Pada
Saat Musim Pancaroba I ……………………………………………… 66
7. Hasil Tes KS Saat Musim Pancaroba I ………………………………. 69
8. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Pancaroba I... 70
9. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Kemarau ………...... 70
10. Nilai Bias dan Varians Pada n dan v yang Berbeda Pada
Saat Musim Kemarau ………………………………………………… 71
11. Hasil Tes KS Saat Musim Kemarau …………………………………. 74
12. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Kemarau ...... 75
13. Parameter Pendugaan Distributi GP Saat Musim Pancaroba II …........ 75
14. Nilai Bias dan Varians Pada n dan v yang Berbeda Pada
Saat Musim Pancaroba II …………………………………………...... 76
15. Hasil Tes KS Saat Musim Pancaroba II …………………………….... 79
16. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian Saat Musim Pancaroba II. 80
17. Probabilitas Intensitas Curah Hujan Harian ………………………...... 82
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Simulasi Monte Carlo ………………………………………………… 25
2. Grafik Dengan 𝜎 Beda, Serta 𝜇 dan 𝜉 Tetap …………………………. 30
3. Grafik Dengan 𝜇 Beda, Serta 𝜎 dan 𝜉 Tetap …………………………. 31
4. Grafik Dengan 𝜉 Beda, Serta 𝜎 dan 𝜇 Tetap …………………………. 31
5. Grafik Dengan 𝜇 dan 𝜉 Meningkat, Serta 𝜎 Tetap …………………… 32
6. Grafik Dengan 𝜇 dan 𝜎 Meningkat, Serta 𝜉 Tetap …………………… 33
7. Grafik Dengan 𝜉 dan 𝜎 Meningkat, Serta 𝜇 Tetap …………………… 34
8. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Hujan ..............................62
9. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi GP dengan
Pendugaan GPWM Saat Musim Hujan ………………………………. 63
10. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Pancaroba I …………… 67
11. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi GP dengan
Pendugaan GPWM Saat Musim Pancaroba I ………………………… 68
12. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Kemarau ….…………… 72
13. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi GP dengan
Pendugaan GPWM Saat Musim Kemarau …………………………… 73
14. MSE dari Parameter 𝜉, 𝜇, dan 𝜎 Saat Musim Pancaroba II …………... 77
15. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi GP dengan
Pendugaan GPWM Saat Musim Pancaroba II ….…………………… 78
I. PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Hujan total tahunan dan variabilitas hujan tahunan merupakan variabel iklim yang
penting untuk kajian neraca keseimbangan air, pengaruh klimatologi regional,
perencanaan dan managemen sumber air (Meier dkk, 2016). Variabilitas hujan
tahunan disebabkan oleh beberapa faktor, yaitu anomali atmosfer (Higgins dkk,
1999) (Bartlow dkk, 2001), perubahan musim (Fatichi dan Ivanov, 2013), dan
proses hujan. Variasi tahunan hujan merupakan sebuah gambaran penting dari iklim
lingkungan yang berdampak langsung pada kekeringan (Dai dkk, 2011),
produktivitas tanaman, serta distribusi hujan ekstrim.
Hujan ekstrim di Bandar Lampung sering terjadi baik itu karena faktor lokal
maupun regional. Hujan di wilayah Bandar Lampung dipengaruhi oleh faktor lokal
terkait dengan siklus harian (angin laut angin darat) (Pahlevi dan Zulfiani, 2018)
dan faktor global terkait dengan siklus bulanan hingga tahunan seperti El Nino dan
La Nina, Madden Julian Oscillation, dan Indian Ocean Dipole (Lee, 2015) (Marzuki
dkk, 2016) (Pahlevi dan Wulandari, 2017). Hujan ekstrim dapat menyebabkan
banjir dan tanah longsor di Bandar Lampung, hal inilah yang menjadikan
pentingnya distribusi probabilitas curah hujan harian dan per jam dalam
menggambarkan potensi hujan ekstrim.
Kejadian hujan ekstrim, sebagai salah satu kejadian cuaca ekstrim, paling sering
terjadi dalam hidrometeorologi, sehingga mendapatkan perhatian yang lebih karena
dampaknya yang besar pada perekonomian dan kehidupan manusia. Hal inilah
yang menjadikan pentingnya distribusi probabilitas dalam menggambarkan
karakteristik curah hujan. Membangun sebuah distribusi probabilitas yang
memenuhi kecocokan yang baik untuk intensitas curah hujan harian dan kecepatan
angin telah lama menjadi topik penelitian dalam bidang hidrologi dan meteorology,
dan model probabilitas telah diaplikasikan dengan sukses dalam banyak fenomena
alam seperti kecepatan angin, debit sungai, dan kualitas udara (Oguntunde dkk,
2014).
Pemilihan atau penentuan model distribusi yang tepat adalah suatu langkah yang
mendasar dan sangat penting dalam proses analisis dan interpretasi data. Pemilihan
model probabilitas penting untuk mencegah kesalahan yang dapat mengganggu
keabsahan dari metode statistik yang akhirnya akan memberikan hasil yang
menyesatkan. Penggunaan model distribusi telah menyebar luas dalam berbagai
bidang, salah satunya dalam hidrometeorologi, dan telah banyak mengalami
perkembangan dari waktu ke waktu. Model distribusi yang sering digunakan untuk
bidang hidrometeorologi adalah distribusi normal, lognormal, Pearson, log-
Pearson, eksponensial, Gumbel, generalized extreme value, Weibull, dan
generalized Pareto (Alam, 2018).
Penggunaan distribusi nilai ekstrim dalam hidrometerologi pertama kali dikenalkan
oleh Jenkinson (1955). Pada perkembangannya distribusi nilai ekstrim yang paling
3
sering digunakan dalam hidrometeorologi adalah distribusi generalized extreme
value (GEV) dan distribusi generalized Pareto (GP). GEV dianggap baik ketika
pada data teradapat set dari nilai maximum. Bagaimanapun, menggunakan hanya
nilai maksimum akan berdampak pada hilangnya infomasi yang terkandung pada
nilai sampel yang besar. GP yang berdasarkan pada prosedur peak of threshold
(POT) menjadi lebih banyak digunakan pada studi belakangan ini (Li, 2013).
Pahlevi dan Warsono (2018), mendapatkan bahwa distribusi GP adalah distribusi
terbaik dalam menggambarkan distribusi curah hujan di Pulau Sumatera
dibandingkan dengna distribusi ekstrim lainnya.
Distribusi GP pertama kali diperkenalkan oleh Pickands (1975) dan menunjukkan
distribusi yang stabil pada nilai yang melebihi ambang batas. Aplikasi penggunakan
distribusi GP telah banyak digunakan dalam analisa nilai ekstrim dari variabel
meteorologi, seperti curah hujan (Acero, 2011), kecepatan angin (Simiu, 2006), dan
kekeringan (Nadarajah, 2008). Untuk mengetahui kinerja dan kemampuan dari
distribusi GP dalam pemodelan data, perlu dilakukan pendugaan parameter-
paramter tersebut, serta mengetahui karakteristik dari distribusi GP.
Estimasi dari parameter (𝜉, 𝜎, 𝜇) telah berkembang selama 30 tahun terakhir
(Husler, 2011). Pendugaan parameter GP dengan motode pendugaan probability
weighted moment (PWM) telah dilakukan oleh Hosking dan Wallis (1987). Ketika
berhadapan pada data independent, maximum likelihood, mendekati hasil yang
akurat pada sampel yang besar, tetapi pada hampir seluruh situasi praktikal, metode
PWM lebih sering diandalkan, dimana Hosking dan Wallis (1987) menunjukkan
4
bahwa pendekatan PWM memiliki bias dan mean square error (MSE) lebih kecil
pada ukuran sampel kurang dari 500 (Chaouche, 2004). Pendugaan parameter
menggunakan metode PWM menemukan kebuntuan ketika memiliki nilai 𝜉 ≤ −1,
nilai harapan dari X menuju ∞, sehingga tidak adanya hasil pendugaan (Zhang,
2010).
Rasmussen (2001) melakukan pengembangan dari metode PWM yang disebut
Generalized Probability Weighted Moment (GPWM). Perbandingan pendugaan
dengan GPWM dan PWM, bahwa GPWM tidak membatasi nilai invers yang kecil,
sehingga dapat digunakan pada berapapun nilai 𝜉. Pendugaan parameter distribusi
GP-2 parameter dengan menggunakan metode GPWM telah dilakukan oleh Chen
dkk (2016). Pada penelitian ini akan menggunakan metode GPWM untuk menduga
parameter distribusi GP-3 parameter.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka yang menjadi permasalah
dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana pendugaan parameter dari distribusi GP dengan metode GPWM?
2. Bagaimana karakteristik pendugaan parameter distribusi GP dengan metode
GPWM dibandingkan dengan menggunakan metode PWM?
3. Bagaimana pendugaan GPWM untuk distribusi GP pada data curah hujan
harian dalam musim yang berbeda-beda?
4. Bagaimana probabilitas intensitas hujan harian di Lampung dengan
menggunakan model distribusi GP dan pendugaan GPWM?
5
1.3. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah pada nilai 𝜉 ≠ 0. Selain itu,
karakteristik penduga GP yang diperoleh melalui metode GPWM, meliputi sifat
ketakbiasan, varians minimum, dan kekonsistenan.
1.4. Maksud dan Tujuan
Penelitian ini bermaksud dapat digunakan dalam mitigasi bencana banjir di wilayah
Provinsi Lampung.
Adapun tujuan penelitian ini adalah:
1. Menentukan penduga parameter dari distribusi GP dengan metode GPWM,
2. Mengkaji karakteristik pendugaan distribusi GP, serta membandingkan
antara metode pendugaan GPWM dengan PWM.
3. Mengkaji distribusi GP dengan penduga GPWM pada data hujan harian
dalam musim yang berbeda-beda
4. Menentukan probabilitas intensitas hujan harian di Lampung dengan
menggunakan model distribusi GP
1.5.Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam kaidah ilmu
pengetahuan statistik mengenai karakteristik pendugaan distribusi GP dengan
menggunakan metode GPWM. Penggunaan model distribusi ini dapat
menggambarkan probabilitas intensitas hujan harian di Bandar Lampung.
II. LANDASAN TEORI
2.1.Distribusi Pareto
Distribusi Pareto diusulkan oleh ekonom Swiss kelahiran Italia bernama Vilfredo
Pareto (1897) sebagai sebuah model untuk mendistributikan pendapatan. Pada
perkembangannya, distribusi Pareto digunakan secara luas untuk menjelaskan
populasi, resiko asuransi, kegagalan bisnis, dan belakangan ini telah digunakan
pada kajian level ozon di atmosfer atas (Raja, 2013). Distribusi Pareto memiliki dua
parameter, yaitu 𝛼 yang merupakan parameter bentuk dan 𝛽 yang merupakan
parameter skala.
Definisi 2.1
Misalkan X adalah variabel acak dari distribusi Pareto dengan parameter 𝛼 dan 𝛽
dinotasikan 𝑋~𝑃(𝛼, 𝛽). Maka fungsi kepekatan peluangnya adalah
𝑓(𝑥) =𝛼𝛽𝛼
𝑥𝛼+1, 𝑥 ≥ 𝛽 (2.1)
serta memiliki fungsi distribusi kumulatif,
𝐹(𝑥) = 1 − (𝛽
𝛼)𝛼
(2.2)
2.2.Distribusi Generalized Pareto (GP)
Distribusi Pareto sama seperti distribusi lainnya yaitu diperumum (generalized).
Distribusi GP dikenalkan oleh Picklands (1975) dan digunakan dalam banyak hal,
salah satunya dalam pemodelan distribusi hujan ektrim. Distribusi GP merupakan
salah satu distribusi kontinyu yang memiliki tiga parameter, yaitu 𝜉 adalah
parameter bentuk, 𝜎 adalah parameter skala, sementara 𝜇 adalah nilai ambang batas.
𝜉 mengendalikan sifat dari ujung dari distribusi dan sikap dari ekstrim yang kuat.
2.2.1. Definisi Distribusi GP
Definisi 2.2.
Misalkan X adalah variabel acak dari distribusi GP (𝜉, 𝜎, 𝜇) maka fungsi kepekatan
peluangnya adalah,
𝑓(𝑥) =
{
1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉−1
, 𝜉 ≠ 0
1
σexp (−
𝑥 − 𝜇
𝜎) , 𝜉 = 0
(2.3)
serta fungsi distribusi kumulatifnya adalah,
F(X)
{
1 − (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉, 𝜉 ≠ 0
1 − exp (−𝑥 − 𝜇
𝜎) , 𝜉 = 0
(2.4)
Pembuktian bahwa distribusi GP adalah fungsi peluang dinyatakan bila nilai
integral 𝑓(𝑥) = 1.
𝑓(𝑥) = ∫1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉−1𝜇−
𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = [− (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
𝑓(𝑥) =
(
−(1 + 𝜉
𝜇 −𝜎𝜉− 𝜇
𝜎)
−1𝜉
− (−(1 + 𝜉𝜇 − 𝜇
𝜎)−1𝜉)
)
8
𝑓(𝑥) = (−(1 + (−1))−1𝜉 − (−(1 + (0))
−1𝜉))
𝑓(𝑥) = −0 + 1 = 1
𝑓(𝑥) = 1
2.2.2. Hubungan Distribusi Pareto dan GP
Distribusi Pareto memiliki hubungan dengan distribusi GP, ketika distribusi Pareto
memiliki bentuk parameter dengan 𝛽 = 𝜇 = 𝜎/𝜉 dan 𝛼 = 1/𝜉. Dengan
menggunakan persamaan (2.1), hubungan antara distribusi Pareto dan distribusi GP
ditunjukkan dengan persamaan sebagai berikut,
𝑓(𝑥) =𝛼 (𝜎𝜉)𝛼
𝑥𝛼+1
= 𝛼 (𝜎
𝜉)𝛼
(1
𝑥)𝛼+1
= (1
𝜉) (𝜎
𝜉)
1𝜉(1
𝑥)
1𝜉+1
Dikalikan dengan 𝜎
𝜎,
= (1
𝜉) (𝜎
𝜉)
1𝜉(1
𝑥)
1𝜉+1
(𝜎
𝜎)
=1
𝜎(𝜎
𝜉) (𝜎
𝜉)
1𝜉(1
𝑥)
1𝜉+1
=1
𝜎(𝜎
𝜉𝑥)
1𝜉+1
=1
𝜎(𝜉𝑥
𝜎)−1𝜉−1
9
=1
𝜎(1 +
𝜉𝑥
𝜎− 1)
−1𝜉−1
=1
𝜎(1 +
𝜉𝑥
𝜎−𝜉𝜎
𝜎𝜉)−1𝜉−1
Dengan 𝜇 =𝜎
𝜉,
=1
𝜎(1 +
𝜉𝑥
𝜎−𝜉𝜇
𝜎)−1𝜉−1
=1
𝜎(1 +
𝜉(𝑥 − 𝜇)
𝜎)−1𝜉−1
2.2.3. Nilai Harapan Distribusi GP
Teorema 2.1.
Misalkan X adalah variabel acak, maka nila harapan dari distribusi x dinyatakan
dengan,
𝐸(𝑥) = ∫𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Nilai harapan dari distribusi GP dengan parameter (𝜉, 𝜇, 𝜎),dimana 𝜇 < 𝑥 < 𝜇 −
𝜎/𝜉, dinyatakan sebagai berikut
𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1−
1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
dengan menggunakan integral parsial,
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
Misalkan:
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 =1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1−
1𝜉
10
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = −(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
Sehingga,
𝐸(𝑥) = [𝑥 (−(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉)]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇− ∫ −(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉𝑑𝑥
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝐸(𝑥) = [−𝑥 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇+ [
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
𝐸(𝑥) =
[
(
−(𝜇 −
𝜎
𝜉)(1 + 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
−1𝜉
)
− (−𝜇(1 + 𝜉
𝜇 − 𝜇
𝜎)−1𝜉)
]
+𝜎
𝜉 − 1
[
(
(1+ 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
1−1𝜉
)
− ((1 + 𝜉
𝜇 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉)
]
𝐸(𝑥) = [(−(𝜇 −𝜎
𝜉) (1 + (−1))
−1𝜉) + (𝜇(1 + 0)
−1𝜉)]
+𝜎
𝜉 − 1[((1 + (−1))
1−1𝜉) − ((1 + 0)
1−1𝜉)]
𝐸(𝑥) = 𝜇 −𝜎
𝜉 − 1
𝐸(𝑥) = 𝜇 +𝜎
1 − 𝜉
Jadi nilai harapan dari distribusi GP adalah
𝐸(𝑥) = 𝜇 +𝜎
1 − 𝜉 (2.5)
11
2.2.4. Varians Distribusi GP
Teorema 2.2.
Misalkan X adalah variabel acak, maka nilai harapan dari distribusi 𝑥2 dinyatakan
dengan,
𝐸(𝑥) = ∫𝑥2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Varians dari distribusi GP dengan parameter (𝜉, 𝜇, 𝜎),dimana 𝜇 < 𝑥 < 𝜇 − 𝜎/𝜉,
dinyatakan sebagai berikut,
𝐸(𝑥2) = ∫𝑥2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2 1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1−
1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
dengan menggunakan integral parsial
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
Misalkan:
𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑣 =1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1−
1𝜉
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
𝐸(𝑥2) = [𝑥2 (−(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉)]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇− ∫ −(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉2 𝑥 𝑑𝑥
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝐸(𝑥2) = [−𝑥2 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇+ ∫ 2𝑥 (1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉𝑑𝑥
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
dengan menggunakan integral parsial,
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
12
Misalkan:
𝑢 = 2 𝑥 𝑑𝑣 = (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑣 =𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉
𝐸(𝑥2) = [−𝑥2 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇+ [2𝑥
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
− ∫𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
2 𝑑𝑥
𝐸(𝑥2) = [−𝑥2 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇+ [2𝑥
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
− [2𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
𝐸(𝑥2) =
[
(
−(𝜇 −
𝜎
𝜉)2
(1 + 𝜉(𝜇 −
𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
−1𝜉
)
− (−(𝜇)2 (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇
𝜎)
−1𝜉
)
]
+
[
(
2(𝜇 −
𝜎
𝜉)
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
1−1𝜉
)
− (2(𝜇)𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
(𝜇) − 𝜇
𝜎)
1−1𝜉
)
]
13
−
[
2𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)
(
(1 + 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
− (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
)
]
𝐸(𝑥2) = [(− (𝜇 −𝜎
𝜉)2
(1 + (−1))−1𝜉) − (−(𝜇)2(1 + (0))
−1𝜉)]
+ [(2 (𝜇 −𝜎
𝜉)
𝜎
𝜉 − 1(1 + (−1))
1−1𝜉)
− (2(𝜇)𝜎
𝜉 − 1(1 + (0))
1−1𝜉)]
− [2𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)((1 + (−1))
2−1𝜉 − (1 + (0))
2−1𝜉)]
𝐸(𝑥2) = [(− (𝜇 −𝜎
𝜉)2
(0)−1𝜉) − (−(𝜇)2(1)
−1𝜉)]
+ [(2 (𝜇 −𝜎
𝜉)
𝜎
𝜉 − 1(0)
1−1𝜉) − (2(𝜇)
𝜎
𝜉 − 1(1)
1−1𝜉)]
− [2𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)((0)
2−1𝜉 − (1)
2−1𝜉)]
𝐸(𝑥2) = 𝜇2 +2𝜇𝜎
1 − 𝜉+
2𝜎2
(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)2)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = (𝜇2 +2𝜇𝜎
1 − 𝜉+
2𝜎2
(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)) − ( 𝜇 +
𝜎
1 − 𝜉)2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) = (𝜇2 +2𝜇𝜎
1 − 𝜉+
2𝜎2
(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)) − (𝜇2 +
2𝜇𝜎
1 − 𝜉+
𝜎2
(1 − 𝜉)2)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =2𝜎2
(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)−
𝜎2
(1 − 𝜉)2
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =2𝜎2(1 − 𝜉)
(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)−
𝜎2(1 − 2𝜉)
(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)
14
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =2𝜎2 − 2𝜎2𝜉 − 𝜎2 + 2𝜎2𝜉
(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝜎2
(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉)
Jadi varians dari distribusi GP adalah
𝑉𝑎𝑟(𝑥) =𝜎2
(1 − 𝜉)2(1 − 2𝜉) (2.6)
2.2.5. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi GP
Teorema 2.3.
Misalkan X adalah variabel acak, maka fungsi pembangkit momen dari distribusi x
dinyatakan dengan,
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫𝑒𝑡𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Varians dari distribusi GP dengan parameter (𝜉, 𝜇, 𝜎),dimana 𝜇 < 𝑥 < 𝜇 − 𝜎/𝜉,
dinyatakan sebagai berikut,
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫𝑒𝑡𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥) = ∫ 𝑒𝑡𝑥
1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1−
1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
dengan menggunakan integral parsial
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
Misalkan:
𝑢 = 𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑣 =1
𝜎(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1−
1𝜉𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑡𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −(1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
15
𝑀𝑥(𝑡) = [𝑒𝑡𝑥 (−(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉)]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇− ∫ −(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑡𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) =
[
(
−𝑒
𝑡(𝜇−𝜎𝜉)(1 + 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
−1𝜉
)
+ (𝑒𝑡(𝜇) (1 + 𝜉
(𝜇) − 𝜇
𝜎)
−1𝜉
)
]
+ ∫ 𝑡𝑒𝑡𝑥 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = [(−𝑒𝑡(𝜇−
𝜎𝜉)(1 + (−1))
−1𝜉) + (𝑒𝑡(𝜇)(1 + (0))
−1𝜉)]
+ ∫ 𝑡𝑒𝑡𝑥 (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + ∫ 𝑡𝑒𝑡𝑥 (1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
dengan menggunakan integral parsial
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
Misalkan:
𝑢 = 𝑡𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑣 = (1 + 𝜉𝑥 − 𝜇
𝜎)−1𝜉𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑡2𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + [𝑡𝑒𝑡𝑥
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
− ∫𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉 𝑡2𝑒𝑡𝑥
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
16
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 +𝜎
𝜉 − 1
[
(
𝑡𝑒𝑡(𝜇−
𝜎𝜉)(1 + 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
1−1𝜉
)
− (𝑡𝑒𝑡(𝜇) (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇
𝜎)
1−1𝜉
)
]
− ∫𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉 𝑡2𝑒𝑡𝑥
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 +
𝜎
𝜉 − 1[(𝑡𝑒
𝑡(𝜇−𝜎𝜉)(1 + (−1))
1−1𝜉) − (𝑒𝑡(𝜇)(1 + (0))
1−1𝜉)]
− ∫𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉 𝑡2𝑒𝑡𝑥
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 − 𝑒𝑡𝜇
𝑡𝜎
𝜉 − 1− ∫ 𝑡2𝑒𝑡𝑥
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇
𝑡𝜎
1 − 𝜉− ∫ 𝑡2𝑒𝑡𝑥
𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉
𝜇−𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
dengan integral parsial
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
Misalkan:
𝑢 = 𝑡2𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑣 =𝜎
𝜉 − 1(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)1−1𝜉𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑡3𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
17
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇
𝑡𝜎
1 − 𝜉− [𝑡2𝑒𝑡𝑥
𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
]𝜇 −
𝜎𝜉
𝜇
+ ∫𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
𝑡3𝑒𝑡𝑥𝜇−
𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇
𝑡𝜎
1 − 𝜉
−𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)
[
𝑡2𝑒𝑡(𝜇−
𝜎𝜉)(1 + 𝜉
(𝜇 −𝜎𝜉) − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
− (𝑡2𝑒𝑡(𝜇) (1 + 𝜉(𝜇) − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
)
]
+ ∫𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
𝑡3𝑒𝑡𝑥𝜇−
𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇𝑡𝜎
1 − 𝜉
−𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)[𝑡2𝑒
𝑡(𝜇−𝜎𝜉)(1 + (−1))
2−1𝜉
− (𝑡2𝑒𝑡(𝜇)(1 + (0))2−1𝜉)]
+ ∫𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
𝑡3𝑒𝑡𝑥𝜇−
𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇𝑡𝜎
1 − 𝜉−
𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(−𝑡2𝑒𝑡𝜇 )
+ ∫𝜎2
(𝜉 − 1)(2𝜉 − 1)(1 + 𝜉
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2−1𝜉
𝑡3𝑒𝑡𝑥𝜇−
𝜎𝜉
𝜇
𝑑𝑥
18
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 + 𝑒𝑡𝜇
𝑡𝜎
1 − 𝜉+ 𝑒𝑡𝜇
𝑡2𝜎2
(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)+ ⋯
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇 (1 +
𝑡𝜎
1 − 𝜉+
𝑡2𝜎2
(1 − 𝜉)(1 − 2𝜉)+ ⋯)
𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡𝜇∑[
(𝑡𝜎)𝑗
∏ (1 − 𝑘𝜉)𝑗𝑘=0
]
∞
𝑗=0
(2.7)
2.3.Metode Pendugaan
Metode pendugaan parameter yang digunakan pada penelitian ini adalah
probability weighted moments (PWM) dan generalized probability weighted
moments (GPWM).
2.3.1. Probability Weighted Moment
Metode PWM pertama kali diperkenalkan oleh Greenwood (1979) yang
menawarkan solusi alternatif dari pendugaan MLE. Penggunaan metode PWM
untuk mengatasi masalah yang muncul ketika menurunnya keakuratan dari metode
MLE pada pendugaan parameter dengan sampel yang sedikit. Berdasarkan
beberapa kelemahan tersebut, maka metode PWM dapat digunakan dalam menduga
parameter dari distribusi GP. PWM telah digunakan secara luas dalam hidrologi
khususnya untuk pendugaan parameter dari distribusi kejadian banjir (Rasmussen,
2001). Fungsi PWM dari variabel acak X didefinisikan sebagai berikut,
𝑀𝑞,𝑟,𝑠 = 𝐸[𝑋𝑞𝐹𝑟(1 − 𝐹)𝑠] = ∫ [𝑥(𝐹)]𝑞𝐹𝑟(1 − 𝐹)𝑠𝑑𝐹1
0
(2.8)
dalam hal ini q, r, dan s merupakan bilangan real.
19
Pada prakteknya Hosking (1986) telah menentukan bawha q=1, dan r dan s adalah
non-negative integers yang dipilih sekecil mungkin. Hosking (1986)
mendifinisikan 𝛼𝑠 dan 𝛽𝑠 sebagai,
𝛼𝑠 = 𝑀1,0,𝑠 = 𝐸{𝑋[1 − 𝐹(𝑋)]𝑠}, 𝑠 = 0,1,…, (2.9)
𝛽𝑠 = 𝑀1,𝑠,0 = 𝐸{𝑋[𝐹(𝑋)]𝑠}, 𝑠 = 0,1, …, (2.10)
Pada distribusi GP, Hosking dan Wallis (1987) pendugaan parameter dengan
metode PWM dinyatakan dengan,
𝛼𝑠 = 𝑀1,0,𝑠 = 𝐸[𝑋{1 − 𝐹(𝑋)}𝑠] =�̃�
[(𝑠 + 1)(𝑠 + 1 − 𝜉)] (2.11)
dengan 𝜉 < 1. Parameter GP yang dinyatakan dengan PWM adalah,
�̃� =2𝛼0𝛼1𝛼0 − 2𝛼1
(2.12)
dan
𝜉 = 2 −𝛼0
𝛼0 − 2𝛼1 (2.13)
Metode PWM menyatukan estimasi dari 𝛼0 dan 𝛼1 dalam persamaan (2.12) dan
(2.13) untuk menduga parameter GP.
2.3.2. Generalized Probability Weighted Moment
Metode pendugaan dengan GPWM pertama kali digunakan oleh Rasmussen
(2001). Pendugaan ini merupakan pengembangan dari pendugaan PWM yang ada
untuk mengatasi masalah pada pendugaan parameter dengan metode PWM. Pada
metode PWM nilai parameter bentuk atau 𝜉 ≤ −1 (Zhang, 2010). Rasumessen
(2001) merumuskan GPWM,
20
𝑀1,𝑢,𝑣 = 𝐸[𝑔(𝑋)𝐹𝑢(1 − 𝐹)𝑣] (2.14)
= ∫ 𝑔(𝑥(𝐹))𝐹𝑢(1 − 𝐹)𝑣𝑑𝐹1
0
(2.15)
dimana 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑝, dimana 𝑝 adalah bilangan kecil nonnegative, serta 𝑢 dan 𝑣
adalah bilangan real. Pendugaan parameter distribusi GP-2 parameter dengan
metode PWM mendapatkan (Rasmussen, 2001),
𝑀1,𝑢,𝑣 =𝜎
𝜉[𝐵(𝑢 + 1, 𝑣 + 1) − 𝐵(𝑢 + 1, 𝑠 + 1 + 𝜉)] (2.16)
2.4.Karakteristik Penduga
Untuk mengetahui karakeritsik penduga dengan menggunakan metode MLE dan
PWM dari distribusi GP, maka harus memenuhi sifat-sifat penduga yang baik yaitu:
2.4.1. Ketakbiasan
Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu
distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut.
Definisi 2.3
Misalkan penduga 𝜃 dikatakan penduga tak bias bagi 𝜃 bila,
𝐸(𝜃) = 𝜃 (2.17)
dan bias dari suatu penduga didefinisikan dengan,
𝑏 = 𝐸(𝜃) − 𝜃 (2.18)
Suatu parameter dikatakan tak bias jika bias bernilai nol. Jika bias bernilai nol pada
𝑛 → ∞, maka disebut sebagai tak bias asimptotik. (Hogg and Craig, 1995)
21
2.4.2. Varians Minumum
Selain memiliki sifat tak bias, karakter penduga yang baik juga dilihat dari sifat
varians minimum.
Definisi 2.4
Misalkan 𝑈1(X) adalah penduga tak bias dari 𝑔(𝜃), maka untuk sembarang
penduga tak bias 𝑈1(X) bagi 𝑔(𝜃) disebut penduga varians minimum jika
𝑉𝑎𝑟(𝑈(𝑋)) ≤ 𝑉𝑎𝑟(𝑈1(X)) untuk setiap 𝜃 ∈ Ω, dimana
𝑉𝑎𝑟(𝑈1(X)) ≥
(𝜕𝜕𝜃𝑔(𝜃))
2
𝑛. 𝐸 [𝜕𝜕𝜃 ln 𝑓
(𝑋; 𝜃)]2 (2.19)
(Hogg and Craig, 1995)
Dalam menentukan penduga varians minimum, berikut adalah beberapa definisi
yang berkaitan dengan varians minimum yakni:
2.4.2.1.Informasi Fisher
Definisi 2.5
Misalkan X adalah variabel acak dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓~(𝑥, 𝜃), 𝜃 ∈
Ω, information fisher dinotasikan dengan 𝐼(𝜃), dimana:
𝐼(𝜃) = 𝐸 [(𝜕 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)
𝜕𝜃)
2
] (2.20)
atau
𝐼(𝜃) = −𝐸 [𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)
𝜕𝜃2] (2.21)
22
2.4.2.2.Matriks Informasi Fisher
Defisini 2.6
Misalkan sampel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan
𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2), 𝜃1; 𝜃2 ∈ Ω dalam suatu kondisi. Tanpa memperkahitan kondisi secara
rinci, misalkan suatu ruang dari X dimana 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2) > 0 yang tidak meliputi 𝜃1
dan 𝜃2 dapat diturunkan dibawah integralnya. Sehingga matriks informasi fisher
sebagai berikut:
𝐼𝑛 =
[ 𝐸 [
𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)
𝜕𝜃12 ] 𝐸 [
𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)
𝜕𝜃1𝜕𝜃2]
𝐸 [𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)
𝜕𝜃1𝜕𝜃2] 𝐸 [
𝜕2 ln 𝑓(𝑥; 𝜃1; 𝜃2)
𝜕𝜃22 ]
]
(2.22)
2.4.2.3.Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)
Definisi 2.7.
Pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound didefinisikan sebagai berikut
𝜎𝑌2 ≥
[𝑘′(𝜃)]2
𝑛𝐸 [(𝜕 ln 𝑓(𝑥; 𝜃)
𝜕𝜃)2
]
=[𝑘′(𝜃)]2
𝑛𝐼(𝜃) (2.23)
Jika 𝑌 = 𝑈(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) adalah penduga tak bias dari 𝜃, maka 𝑘(𝜃) = 𝜃,
mengakibatkan pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound adalah sebagai berikut:
𝜎𝑌2 ≥
1
𝑛𝐼(𝜃) (2.24)
2.4.3. Konsistensi
Sifat lain yang harus dimiliki oleh suatu penduga selain tak bias dan varians
minumin adalah sifat kekonsistenan dari penduga tersebut, dimana saat ukuran
23
sampel semakin besar maka penduga tersebut akan semakin mendekati parameter
populasi sesungguhnya.
Definisi 2.8
𝑈(𝑋) dikatakan sebagai penduga yang konsisten bagi 𝑔(𝜃) jika 𝑈(𝑋) → 𝑔(𝜃)
untuk 𝑛 → ∞, ∀𝜃 ∈ Ω, yaitu bila:
lim𝑛→∞
𝑃{|𝑈(𝑋) − 𝑔(𝜃)| ≥ 𝜀} = 0 (2.25)
atau
lim𝑛→∞
𝑃{|𝑈(𝑋) − 𝑔(𝜃)| < 𝜀} = 1 (2.26)
Teorema 2.1 (Chebyshev’s Inequality)
Misalkan X variable acak dengan rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎2. Untuk ∀𝜀 > 0,
𝑃{|𝑋 − 𝜇| < 𝜀} ≥ 1 −𝜎2
𝜀2 (2.27)
atau
𝑃{|𝑋 − 𝜇| < 𝜀} <𝜎2
𝜀2 (2.28)
(Larsen dan Marx, 2012)
Teorema 2.2
Jika 𝑈(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) merupakan rangkaian dari penduga suatu parameter 𝜃,
berlaku:
• lim𝑛→∞
𝑉𝑎𝑟𝑈(𝑋) = 0
• lim𝑛→∞
𝐵𝑖𝑎𝑠 𝑈(𝑋) = 0
24
Untuk ∀𝜃 ∈ Θ, 𝑈(𝑋) merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu parameter
𝜃.
(Casella dan Berger, 2002)
2.5. Simulasi Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo adalah simulasi yang sering digunakan dalam statistik.
Simulasi ini digunakan baik dalam teknik, sains lingkungan, bahkan dalam
mensimulasikan pergerakan saham. Simulasi menggunakan bilangan seragam dari
distribusi uniform dengan rentang kontinyu antara 0 hingga 1. Variabel seragam
lalu akan ditransformasikan menjadi variabel acak yang berdasarkan pada distribusi
tertentu. Terdapat beberapa metode untuk melakukan transformasi, salah satunya
dengan metode transformasi invers,
𝑥𝑖 = 𝐹𝑋𝑖−1(𝑧𝑖), 𝑖 = 1,2, . . , 𝑁 (2. .29)
dimana 𝐹𝑋𝑖−1 adalah invers dari fungsi kepekatan peluang variabel acak 𝑋𝑖 (Gentle,
2004).
Sebuah simulasi didesain untuk mendapatkan pendugaan parameter yang presisi
terhadap pendugaan dengan GPWM. Pendugaan GPWM menggunakan pendugaan
posisi ploting dari 𝐹(𝑥). Secara spesifik pendugaan dirumuskan,
�̂�(𝑥(𝑖)) = 𝑝𝑖 =𝑖 − 0.35
𝑛 (2.30)
digunakan oleh Hosking dan Wallis (1986). Pemilihan yang spesifik dari
pendugaan GPWM harus memiliki pengaruh yang relatif kecil dengan hasilnya.
Pada rumus (2.27), 𝑥(𝑖) dinyatakan dengan orde ke-i dari sampel, 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤
⋯ ≤ 𝑥(𝑛). GPWM 𝑀1,𝑢,𝑣 dapat diduga dengan persamaan berikut,
25
�̂�1,𝑢,𝑣 =∑𝑥(𝑖)𝑝𝑖𝑢(1 − 𝑝𝑖)
𝑣
𝑛
𝑖=1
(2.31)
(Rasmussen, 2001)
Alur dalam simulasi monte carlo dapat dilihat pada Gambar 1.
Langkah 1: Pengsampelan dari variabel acak
Pembangkitan sampel dari variabel acak
Langkah 2: Pencobaan numerik
Mengevaluasi performa fungsi
Langkah 3: Analisis Statistik pada keluaran model
Mengekstrak informasi probabilistik
Analisis Model
𝑌 = 𝑔(𝑋)
Sampel dari
variabel input
Sampel dari
variabel output
Karakteristik probabilitas
dari variabel output
Distribusi
dari variabel
input
Gambar 1. Simulasi Monte Carlo
III. METODE PENELITIAN
3.1.Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi pustaka dengan mengkaji
berbagai literatur, buku-buku penunjang, thesis dan jurnal yang berkaitan dengan
thesis ini yang kemudian akan diaplikasikan terhadap data curah hujan harian di
Bandar Lampung. Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian
ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat grafik distribusi GP dengan nilai parameter yang berubah
menggunakan software R versi 3.5.1
2. Mencari fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari distribusi GP
3. Mencari invers dari distribusi GP
4. Mencari bentuk momen ke-r atau fungsi GPWM
5. Mencari penduga parameter (𝜎, 𝜇, 𝜉 ≠ 0) dari distribusi GP dengan
menggunakan metode GPWM
a. Secara Analitik
b. Secara numerik menggunakan software R versi 3.5.1
6. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (𝜎, 𝜇, 𝜉 ≠ 0) dari distribusi
GP
7. Memeriksa sifat varians minimum penduga paramter (𝜎, 𝜇, 𝜉 ≠ 0) dari
distribusi GP
27
a. Mencari matriks Informasi Fisher dari penduga pada distribusi GP
b. Mencari invers matriks Informasi Fisher dari penduga pada distribusi
GP
c. Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga
pada distribusi GP
8. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga pada distribusi GP
9. Melakukan simulasi Monte Carlo untuk mendapatkan pendugaan parameter
secara numerik
10. Membandingkan karakteristik pendugaan GPWM dengan PWM
11. Melakukan pengaplikasian terhadap curah hujan harian di Provinsi
Lampung
3.2. Simulasi Data
Simulasi data dilakukan untuk mengkaji karakteristik parameter penduga dari
pendugaan GPWM. Simulasi akan dilakukan untuk nilai 𝑣1, 𝑣2, dan 𝑣3 yang
berbeda-beda. Simulasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini dengan metode
Monte Carlo adalah sebagai berikut:
1. Membangkitkan sampel acak berukuran n=100
2. Membangkitkan sampel acak berukuran n=1000
3. Membangkitkan sampel acak berukuran n=10000
4. Membangkitkan sampel acak berukuran n=100000
Pembangkitan sampel untuk semua ukuran sampel di atas dilakukan simulasi
masing-masing sebanyak N=100 kali.
28
3.3.Penerapan Pada Data Curah Hujan
Skenario pengaplikasian yang akan dilakukan dengan menggunakan data hujan
harian yang didapatkan dari BMKG Lampung. Skenario akan dilakukan dengan
menggunakan data intensitas hujan harian selama 21 tahun (1998 – 2018) yang akan
dikatagorikan berdasarkan musim,
1. Musim hujan (Desember, Januari, dan Pebruari) dengan n = 1895
2. Musim pancaroba I (Maret, April, dan Mei) dengan n = 1932
3. Musim kemarau (Juni, Juli, dan Agustus) dengan n = 1932
4. Musim pancaroba II (September, Oktober, dan Nopember) dengan n = 1911
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Perubahan nilai parameter, mempengaruhi bentuk dari grafik fungsi
kepekatan peluang dari distribusi Generalized Pareto yang meliputi
perubahan kelandaian, kecuraman grafik, dan perubahan titik ekstrim dari
grafik.
2. Pamater penduga dari distbusi Generalized Pareto dengan metode
Generalized Probability Weighted Moment yaitu,
𝜇 =𝛼𝑣2
(𝑣2 + 1)2 − 𝜉𝛼𝑣2(𝑣2 + 1) − 𝛼𝑣3
(𝑣3 + 1)2 + 𝜉𝛼𝑣3(𝑣3 + 1)
𝑣2 − 𝑣3
𝜎 =(𝛼𝑣1
(𝑣1 + 1) − 𝛼𝑣2(𝑣2 + 1)) (𝑣1 − 𝜉 + 1)(𝑣2 − 𝜉 + 1)
𝑣2 − 𝑣1
𝜉 =𝛼𝑣1
(𝑣1 + 1)2(𝑣3 − 𝑣2) + 𝛼𝑣2(𝑣2 + 1)2(𝑣1 − 𝑣2)(𝑣1 − 𝑣3) + 𝛼𝑣3
(𝑣3 + 1)2(𝑣2 − 𝑣1)
𝛼𝑣1(𝑣1 + 1)(𝑣3 − 𝑣2) + 𝛼𝑣2
(𝑣2 + 1)(𝑣1 − 𝑣3) + 𝛼𝑣3(𝑣3 + 1)(𝑣2 − 𝑣1)
3. Hasil simulasi menunjukkan pada nilai v berapapun penduga parameter
pada distribusi generalized Pareto – 3 parameter yang telah diperoleh
dengan menggunakan metode GPWM, merupakan penduga yang baik
karena memenuhi sifat tak bias, varians minimum dan konsisten.
82
4. Hasil tes KS menunjukkan bahwa 𝑣1 = 0, 𝑣2 = 3, dan 𝑣3 = 4 memiliki
kecocokan yang tinggi pada musim apapun.
5. Probabilitas intensitas curah hujan sebagai berikut,
5.2. Saran
Penelitian ini hanya dibatasi pada pendugaan parameter distribusi GP dengan
metode GPWM, serta dipalikasikan terhadap data intensitas curah hujan untuk
menghitung probabilitasnya. Pada penelitian selanjutnya aplikasi distribusi GP
dapat digunakan untuk mengetahui penentuan batas hujan ekstrim, bahkan
mengidentifikasi terjadinya perubahan iklim.
Tabel 17. Probabilitas intensitas curah hujan harian
Musim P (hujan) 0-5 5-20 20-50 50-100 > 100
Hujan 0.842 0.621 0.166 0.036 0.011 0.008
Pancaroba I 0.817 0.73 0.067 0.013 0.004 0.003
Kemarau 0.765 0.744 0.016 0.003 0.001 0.001
Pancaroba II 0.787 0.754 0.025 0.005 0.002 0.001
DAFTAR PUSTAKA
Acero, F.J., Garcia, J.A., dan Gallego, M.C. 2011. Peaks over Threshold Study of
Trends In Extreme Rainfall over the Iberian Peninsula. Journal of Climate.
DOI: 10.1175
Alam, M.A., Emura, K., Farnham, C., dan Yuan, J. 2018. Best-Fit Probability
Distributions and Return Periods for Maximum Monthly Rainfall in
Bangladesh. Climate 6 (9); doi:10.3390
Bartlow, M., Nigam, S., dan Berbery E. H. ENSO. 2001. Pasific decadal variability,
and US summertime precipiation, drough, and streamflow. J.Climate, 14,
2105-2128
Cassella, G., dan Berger, R.L. 2002. Statistical Inference. Thomson Learning Inc,
USA
Chaouche, A., dan Bacro, J.N. 2004. A statistical test procedure for the shape
parameter of generalized Pareto distribution. Computational Statistics and
Data Analysis Vol.45:787-803
Chen, Haiqing., Cheng, Weihu., Zhao, Jing., dan Zhao, Xu. 2016. Parameter
Estimation for Generalized Pareto Distribution by Generalized Probability
Weighted Moment-Equations. Communications in Statistics - Simulation
and Computation. 46. 10.1080/03610918.2016.1249884.
Dai, A.G., Trenberth, K.E., dan Qian T.T. 2011. Drought under global warning: a
review. Wiley Inter dic Rev. Climate Change, 2, 45-65
Fatichi, S., dan Ivanov, V. 2013. Interannual variability of evapotranspiration and
vegetation productivity. Water Resour Res, 50, 3275-3294, doi:10.1002.
84
Gentle, J. E. (2004). Random Number Generation and Monte Carlo Methods.
Springer. ISBN: 0387001786
Greenwood, J.A., Landwehr, J.M., Matalas, N.C., dan Wallis, J.R.M.. (1979).
Probability Weighted Moments: Definition and Relation to Parameters of
Several Distributions Expressable in Inverse Form. Water Resources
Research. 1049-1054. 10.1029/WR015i005p01049.
Higgins, R.W., Chen, Y., dan Douglas A.V. Interannual variability of the North
American warm season precipitation regime. Journal of Climate, 12, 653-
680. 1999.
Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics.
Prentice-Hall Inc, New Jersey
Hosking, J. R. M., dan J. R. Wallis. 1986. The Value of Historical Data in Flood
Frequency Analysis, Water Resour. Res., 22(11), 1606–1612, doi:
10.1029/WR022i011p01606.
Hosking, J.R.M., dan Wallis, J.R. 1987. Parameter and Quantile Estimation for the
Generalized Pareto Distribution. Technometrics Vol.29, No.3
Husler, J., Li, D., dan Raschke, M. 2011. Estimation for the Generalized Pareto
Distribution Using Maximum Likelihood and Goodness of Fit.
Comunications in Statistics-Theory and Methods, Vol 40:2500:2510
Jenkinson, A.F. 1955. The frequency distribution of the annual maximum (or
minimum) values of meteorological elements. Quarterly Journal of the
Royal Meteorological Society 81: 158-171
Larsen, R.J., dan Marx, M.L. 2012. An Introduction to Mathematical Statistics and
Its Applications. Pearson Education Inc, USA
85
Lee, H.S. 2015. General Rainall Patterns in Indonesia and the Potential Impact of
Local Seas on Rainfall Intensity. Water, 7, 1751-1768.
Li, Z., Li, C., Xu Z., dan Zhou, X. 2013. Frequency analysis of precipitation
extremes in Heihe River basin based on generalized Pareto distribution.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg. DOI: 10.1007
Marzuki, Hashiguch, H., Shimomai, T., dan Randeu, W.L. 2016. Cumulative
Distributons of Rainfall Rate over Sumatra. Progress in Electromagnetics
Research M, Vol.49. 1-8
Meier, CL., Moraga, JS., Pranzini, G., dan Molnar P. 2016. Describing the
interanual variability of precipitation with the derived distribution approach:
effects of record length and resolution. Hydrology and Earth System
Science, 20, 4177-4190, 2016.
Nadarajah, S. 2008. Generalized Pareto models with application to drought data.
Environmetrics Vol. 19:395-408
Oguntunde, P.E., Odetunmibi, O.A., dan Adejumo, A.O. 2014. A study of
probability models in monitoring enviromental pollution in Nigeria. Journal
of Probability and Statistics.Doi: 10.1155. 2014
Pahlevi, A.R., dan Warsono. 2018. Kajian Best-Fit Distribusi Probabilitas Untuk
Hujan Harian dan Aplikasinya Dalam Mitigasi Hujan Ekstrim di Pulau
Sumatera. Prosiding Seminar Narional Metode Kuantitatif. Universitas
Lampung
Pahlevi, A.R., dan Wulandari, H.S. 2017. Variabilitas Cuaca di Provinsi Lampung
Saat Terjadinya Seruakan Dingin (Cold Surge). Buletin Meteo Ngurah Rai
Vol 3 No 1
86
Pahlevi, A.R., dan Zulfiani, A. 2018. Study of interaction between sea breeze and
monsoon in Teluk Lampung. Prosiding IABI: 2018
Pickands, J. 1975. Statistical Inferences Using Extreme Order Statistics. The Annlas
of Statistics, Vol.3, No.1
Raja, T.A., dan Mir, A.H. 2013. On Fitting of Generalized Pareto Distribution.
Global Journal of Human Social Science Economics, Vol 13 Issue 2
Rasmussen, P. 2001. Generalized probability weighted moments: Application to
the generalized Pareto Distribution. Water Resources Research - WATER
RESOUR RES. 37. 1745-1752. 10.1029/2001WR900014.
Simiu, E. 2006. Generalized Pareto methods for wind extremes. Useful tool or
mathematical mirage? Journal of Wind Engineering and Industrial
Aerodynamics Vol. 95 pp 133-136
Zhang, J. 2010. Improving on Estimation for the Generalized Pareto Distribution.
Technometrics, 52(3), 335-339. Retrieved from
http://www.jstor.org/stable/27867255
Recommended