View
209
Download
30
Category
Tags:
Preview:
DESCRIPTION
catatan mekanika gelombang
Citation preview
1
KL2202 Mekanika Gelombang Air
Buku yang digunakan:
Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. World Scientific
Gelombang Air di Alam
Tinggi dan perioda bervariasi
(acak)
Variabel bebas fisis: ruang dan waktu
Gelombang air pada kelas mekanika gelombang air ini bersifat monokromatik, artinya:
Tinggi gelombang
Periode gelombang
x
sumbu jarak
Muka air rata-rata
Elevasi muka air
t
waktu
Elevasi muka air
Tetap sepanjang proses, merambat pada kedalaman perairan yang
tetap pada arah yang tetap juga
Garis yang menghubungkan titik-titik pada permukaan air
yang memiliki fasa gelombang sama
Wave front = muka gelombang
Arah rambat gelombang
Wave ray: Garis imajiner
tegak lurus wavefront
Tinggi
gelombang
2
Karakter gelombang air dinyatakan dengan persamaan matematika. “State-of-the-art” iptek sejauh ini
banyak berhasil memahami fenomena gelombang air dengan pendekatan fisika dan matematika.
→ Perilaku gelombang dapat dimodelkan secara matematika dan numerik.
Perlu tata sumbu matematika untuk memfasilitasi pendekatan matematika ini → dengan sketsa definisi
Karakter gelombang:
Tinggi
Perioda
Panjang
Kecepatan rambat
Kecepatan partikel air
Elevasi muka air (EMA)
Tekanan
Lintasan partikel
Energi
Daya, dll.
Variabel tak bebas
Variabel bebas = variabel bebas fisika. Pada umumnya waktu dan ruang.
= vektor kecepatan partikel air
, = vektor satuan arah x, z
u = skalar komponen kecepatan arah x
w = skalar komponen kecepatan arah z
Parameter utama gelombang air:
1. H
2. T
3. h
4. L
Saling terkait melalui
persamaan dispersi
3
Parameter lain bukan utama:
η = elevasi muka air
c = kecepatan rambat gelombang =
,
u
w
Persamaan Dispersi
ω =
= kecepatan sudut
k =
= bilangan gelombang (wave number)
g = percepatan gravitasi = 9,81 m/s2
tanh = fungsi hiberbolik
Dalam praktek: h dan T diketahui. L dihitung dengan persamaan dispersi.
Persamaan
tidak bisa dipecahkan begitu saja.
Fungsi hiperbolik:
Dihitung jika parameter utama diketahui
4
Tinjau karakter fungsi tanh:
Untuk argumen (a) kecil
tanh a ≈ a (untuk
)
Untuk argumen (a) besar
tanh a ≈ 1 (untuk )
Sifat tanh ini digunakan dalam mekanika gelombang air untuk memilah kedalaman perairan.
1. Perairan dangkal
→
→
Berlaku:
= ∙
2. Perairan dalam
→
→
Berlaku:
→ Panjang gelombang perairan dalam
5
3. Perairan transisi
[Tidak dapat disederhanakan]
Persamaan
Cara I : Analitis
Contoh:
Diketahui : h = 10m, T = 7s. Dengan cara coba-coba didapatkan L = 59,8m.
Cara II : Cara Tabel
Tabel SPM (Shore Protection Manual) tahun 1984 → referensi klasik teknik kelautan. Sebagian besar
diperbaharui menjadi Coastal Engineering Manual (CEM) tetapi ada sejumlah fitur yang hanya di SPM.
Prosedur :
1. Hitung L0.
2. Hitung
.
3. Baca tabel SPM.
Karakter Gelombang Air
1. Elevasi muka air (EMA) (η)
=
Fungsi cosinus dipakai karena pendekatan iptek.
2. Kecepatan rambat gelombang air
Kecepatan rambat gelombang air tidak sama dengan kecepatan partikel air .
Sifat Teknik (Engineering Properties) Gelombang Air
1. Elevasi Muka Air (EMA)
6
Keterangan:
η = elevasi muka air.
η(x,t) = elevasi muka air di titik x pada waktu t.
x = posisi.
t = waktu.
L = panjang gelombang.
T = periode gelombang.
2. Potensial Kecepatan (φ)
Parameter skalar φ(x,z,t) = potensial kecepatan.
= vektor partikel air
x,z = ruang
t = waktu
u, w = skalar
u =
= komponen kecepatan partikel arah x
w =
= komponen kecepatan partikel arah z
Parameter φ akan dibahas lebih rinci saat penurunan teori gelombang.
(4.1) Dean, Dalrymple, 1991
(4.2)
7
Selanjutnya,
(4.3a)
(4.3b)
(4.5)
Lebih lanjut,
Percepatan :
(4.4)
(4.6)
Contoh
Diketahui:
H = 4 m
h = 9 m
T = 10 s
Hitung u dan w pada t = 0 di bawah posisi puncak, lembah, dan η = 0.
∙
= 156,13 m
= 0,0576
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 88,32 m
= 0,0711
= 0,6403
8
z (m) u (m/s) di puncak
cos kx = 1
w (m/s) di puncak
sin kx = 0
u (m/s) di lembah
cos kx = 1
w (m/s) di lembah
sin kx = 0
u (m/s) di η = 0
cos kx = 0
w (m/s) di η = 0 sin kx = ±1
sin kx = 1 sin kx = -1
2 2,423204 0
1 2,316471 0
0 2,221467 0 0 1,256637 -1,25664
-1 2,137711 0 0 1,101481 -1,10148
-2 2,064779 0 -2,06478 0 0 0,951901 -0,9519
-3 2,002301 0 -2,0023 0 0 0,807142 -0,80714
-4 1,949961 0 -1,94996 0 0 0,666469 -0,66647
-5 1,907494 0 -1,90749 0 0 0,52917 -0,52917
-6 1,874685 0 -1,87469 0 0 0,394551 -0,39455
-7 1,851368 0 -1,85137 0 0 0,261929 -0,26193
-8 1,837425 0 -1,83743 0 0 0,130634 -0,13063
3. Lintasan Partikel Air
Saat air tenang, partikel menetap di koordinat (x1,z1).
Saat gelombang datang, partikel bergerak dengan kecepatan:
Posisi partikel berubah setiap saat
Sumber: Dean, Dalrymple (1991) figure 4.2
Partikel A hendak
ditinjau geraknya
9
Posisi partikel :
Dalam arah x:
(4.9)
Dalam arah z:
(4.10)
Sehingga didapat:
(4.13) Dean, Dalrymple, 1991
Persamaan tersebut merupakan persamaan elips dengan sumbu A dan B.
A dan B dihitung per lokasi (x1, z1)
Perairan dangkal (shallow water)
(4.14 dan 4.15)
Perairan dalam (deep water)
(4.16 dan 4.17)
Contoh
[Perairan Dalam]
H = 4 m
T = 10 s
h = 100 m
∙
= 156,13 m
Periksa:
= 0,64 > 0,5 → perairan dalam
z1 A = B
0 2,0000
-20 0,8951
-40 0,4006
-60 0,1793
-80 0,0802
-100 0,0359
*) Pada perairan dalam, pengaruh terjadi hingga
L.
10
[Perairan Dangkal]
H = 4 m
T = 10 s
h = 7 m
L0 = 156,13 m
= 0,045
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 79,5 m
=
=3,77m
=
= 2
4. Tekanan Akibat Gelombang Air
Telah diperkenalkan sebelumnya, besaran φ(x,z,t) merupakan potensial kecepatan. Pada saat membahas
kecepatan partikel air
Tekanan hidrodinamika akibat gelombang air juga diturunkan dari φ.
(4.21)
(4.22)
∙
11
ρ = kerapatan massa air
g = percepatan gravitasi
η = elevasi muka air gelombang
Diagram tekanan gelombang
Contoh
H = 4 m
T = 7 s
h = 8 m
Hitung dan plot diagram tekanan dalam air di bawah puncak gelombang.
L0 = 76,504 m
= 0,1046
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 55,05 m
k = 0,114
z (m) cosh k(h+z) Kp(z) ρg Kp(z)
[kPa]
2 1,723 1,192 23,975
0 1,446 1,000 20,111
-2 1,243 0,860 17,296
-4 1,106 0,765 15,384
-6 1,026 0,710 14,276
-8 1,000 0,692 13,912
12
Salah satu kegunaan rumus tekanan gelombang adalah untuk pengukuran EMA.
Dalam kegiatan profesi teknik kelautan, perlu pengukuran di lapangan:
Kedalaman perairan, h.
EMA (η) akibat gelombang di lokasi tertentu (x tertentu = x0) merupakan seri waktu η(x,t).
Yang dimaksud dengan mengukurgelombang dalam teknik kelautan adalah mengukur η(x0,t).
Nilai η direkam secara diskrit pada setiap Δt = interval waktu. Δt tipikal untuk pengukuran gelombang
adalah 0,5 s. Setiap 0,5 detik dicatat 1 titik data → sampling rate = 2 Hz.
Salah satu jenis instrumen pengukur EMA dibuat berdasarkan prinsip tekanan.
∙ (4.23)
Yang diukur a;at adalah tekanan akibat hidrostatis h1 dan hidrodinamis η. Karena h1 diketahui, komponen
hidrodinamika bisa dihitung.
13
Diperoleh:
∙
∙
Nilai η dapat dihitung berdasarkan tekanan dinamis yang diukur.
5. Standing Wave
Jika gelombang air menumbuk dinding vertikal yang kedap air, terjadi pemantulan sempurna. Secara
analitis, fenomena ini didekati sebagai berikut:
Gelombang datang (incident wave) → φi → berwujud
.
Gelombang pantul (reflection wave) → φr → berwujud
L sama k sama karena terjadi pada h yang sama
T sama ω sama karena “irama” gelombang ditentukan oleh pemicunya (gelombang
datang).
Pemantulan sempurna → Hi = Hr = H
Sederhananya, Teori Gelombang Linear adalah gelombang dalam wujud matematikanya dapat dijumlah
secara aljabar.
φi = potensial kecepatan gelombang datang (incident)
φr = potensial kecepatan gelombang pantul (reflection)
φ = φi + φr = interaksi antara gelombang datang dan pantul
Untuk lebih memudahkan analisis, ingat:
(4.20)
Dari φ = φi + φr diperoleh η = ηi + ηr
Pemantulan sempurna : Hi = Hr
η = ηi + ηr = Hi cos kx . cos ωt
14
Perhatikan hal berikut:
1. Di depan dinding vertikal tercipta gelombang dengan tinggi 2x gelombang datang.
2. Standing wave tidak merambat. Titik node tidak berubah elevasinya. Di titik selain node EMA
bergerak vertikal, simpangan terbesarnya di antinode.
3. Semua rumus gelombang merambat (progreesive wave) berlaku, namun hati-hati di tinggi
gelombang.
Hs = 2 x Hi
6. Energi Gelombang
Energi total = energi potensial + energi kinetik
Energi Potensial
Tinjau kolom air dx (lebar dalam arah tegak lurus bidang gambar = 1 satuan).
Elemen energi potensial kolom terhadap dasar perairan:
∙
∙
Energi potensial (PE) suatu kolom pada suatu saat. Kolom beda lokasi dan waktu
menghasilkan PE berbeda.
Energi potensial gelombang didefinisikan sebagai energi potensial kolom rata-rata yang dihitung
per satu panjang gelombang (L).
→ dibagi dengan L menghasilkan rata-rata
(4.64)
15
Selanjutnya, perhatikan yang disebabkan oleh gelombang saja.
(4.66)
Energi Kinetik
Tinjau kolom air yang sama
Elemen energi kinetik:
d(KE) adalah elemen energi kinetik. KE gelombang didefinisikan sebagai rata-rata KE kolom air,
dihitung sepanjang satu panjang gelombang (L).
∙
(4.74)
Energi Gelombang
(4.76)
! energi gelombang per satuan luas permukaan air
Flux energi gelombang = daya gelombang =
Definisi:
∙ ∙
(4.77)
16
Keterangan:
pD = tekanan dinamis (4.23)
u = komponen kecepatan arah sumbu x (4.3a dan 4.3b)
∙ ∙ (4.81) → daya gelombang per satuan lebar dalam arah arah rambat gelombang
E = energi gelombang
C = cepat rambat
(4.82b)
Ilustrasi
Gelombang datang di suatu pantai dengan H0 = 2 m, T = 7 s. PLTO hendak dibangun di kedalaman
h = 8 m. Anggap gelombang datang selalu tegak lurus garis pantai (mengabaikan masalah refraksi).
Efisiensi PLTO mengkonversi energi gelombang menjadi energi listrik sebesar 50%. Hitung:
1. E di perairan dalam.
2. E di kedalaman 8 m.
3. Daya gelombang di lokasi PLTO.
4. Daya listrik jika PLTO dibuat sepanjang 1 km.
Jawab:
1) H = H0 = 2 m
E =
=
(1025 kg/m3)(9,81 m/s2)(2 m)2 = 5027,625 J/m2
17
2)
=
∙
= 76,5 m
= 0,105
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 55,06 m
Diperkenalkan:
= perbandingan tinggi gelombang di suatu kedalaman terhadap tinggi gelombang di
perairan dalam.
= KS = koefisien shoaling (TANPA REFRAKSI)
(4.116)
(4.90)
∙
= 0,114
kh = 0,913
sinh 2kh = 3,024 → n = 0,802
tanh kh = 0,723 → KS = 1,313
H = KS H0 = 2,63
E =
= 8671,48 J/m2
3) ∙ ∙
∙
∙
W/m → watt per satuan lebar
4) 1 km
∙ ∙
∙ ∙
W
Mahasiswa teknik kelautan ITB harus punya wawasan bermutu tentang energi dan laut RI.
1. Bangsa modern membutuhkan energi besar.
2. Energi RI saat ini dipasok oleh sumber fosil yang akan habis di masa depan.
3. Laut merupakan sumber energi yang terbarukan.
4. Indonesia memiliki laut yang sangat luas.
5. Bagaimana cara memanfaatkan energi laut Indonesia untuk kesejahteraan bangsa?
18
Transformasi Gelombang
Ingat parameter utama gelombang:
1. T = perioda → tidak berubah sepanjang perambatannya.
2. h = kedalaman perairan → kondisi fisik laut di tempat gelombang merambat.
3. L = panjang gelombang → terdefinisi untuk T dan h tertentu.
4. H = tinggi gelombang → pokok kejadian transformasi gelombang.
Parameter yang berpengaruh paling besar untuk perencanaan, operasi, dan pemeliharaan
bangunan laut.
Produk dari kajian transformasi gelombang adalah distribusi tinggi dan arah gelombang dalam kawasan
perairan yang ditinjau.
19
Di kelas : dipelajari prinsip perhitungannya menggunakan kasus dengan kondisi sederhana.
Praktek profesi : perhitungan transformasi gelombnag dengan software
RCPWAVE
REF/DIF
SMS → CGWAVE
MIKE-21
Pemahaman: T (periode) tidak berubah sepanjang perambatan gelombang.
20
8. Refraksi
Ingat rumus panjang gelombang
[konstan]
[konstan]
Makin kecil h, makin kecil c.
21
Hukum Snell dari fisika optik
Dari rumus ini dapat dihitung sudut α di tiap kedalaman.
Perubahan Tinggi Gelombang Akibat Refraksi
Dalam bentuk rumus
→ daya di antara 2 lintasan gelombang
b = lebar antara 2 lintasan gelombang yang ditinjau
Terus jabarkan:
Akan diperoleh rumus untuk perubahan tinggi gelombang H.
(4.117)
Kr = koefisien refraksi
22
Ks = koefisien shoaling
∙
Untuk garis pantai dengan garis kedalaman sejajar berlaku:
Cara menggunakan grafik Kr dan Ks.
9. Difraksi
Gelombang terdifraksi merupakan gelombnag di daerah bayang-bayang suatu penghalang. Dalam praktik
profesi, difraksi dihitung menggunakan perangkat lunak. Untuk di kelas diberikan 2 kasus sederhana.
23
Difraksi di belakang penghalang gelombang semi-infinite
Difraksi melalui celah (celah relatif sempit)
Koefisien shoaling dapat diperoleh dari tabel C-1 SPM.
kh tanh kh sinh kh cosh kh
Koefisien shoaling untuk kasus gelombang garis pantai
Tidak ada refraksi
Kr = 1
= Kr KS = KS
1. Difraksi di belakang penghalang gelombang semi-infinite
Grafik : nilai yang tercantum adalah nilai
.
24
Hd = tinggi gelombang terdifraksi
H = tinggi gelombang datang
Contoh
Diketahui denah pelabuhan seperti tergambar.
Geometri pelabuhan:
h = 10 m
b = 400 m
a = 100 m
c = 150 m
Gelombang datang:
H = 2 m
T = 7 s
α = 30°
Hitung / taksir: HA dan HB.
Jawab:
=
∙
= 76,5 m
= 0,1370
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 59,88 m
Titik A
=0,18
Titik B
25
Tool grafik yang digunakan di kelas merupakan tool “kuno” yang tidak dapat dipakai dalam
praktek profesi. Kasus terlalusederhana dan hanya untuk keperluan pembelajaran.
Pada prakteknya menggunakan software: RCPWAVE, GGWAVE, REF/DIF, MIKE-21.
Dalam praktek tidak dijumpai breakwater semi-infinite pada grafik.
26
Contoh
Diketahui:
Geometri pelabuhan:
h = 10 m
k = 600 m
l = 400 m
m = 250 m
n = 150 m
Gelombang datang:
H = 2 m
T = 7 s
α = 15°
Taksir tinggi gelombang di titik A.
Karena tool yang tersedia adalah grafik untuk penghalang gelombang semi-infinite, maka
digunakan pendekatan sebagai berikut.
Kasus 1: Hd1 = tinggi gelombang terdifraksi di titik A akibat peristiwa pada kasus 1.
Kasus 2: Hd2 = tinggi gelombang terdifraksi di titik A akibat peristiwa pada kasus 2.
27
Cara perhitungan dan penggunaan grafik mirip dengan soal difraksi semi-infinite.
Tinggi felombang terdifraksi di titik A sebesar-besarnya adalah
Mengapa digunakan istilah sebesar-besarnya?
Difraksi kasus 1 dengan kasus 2 bisa saling menguatkan atau saling melemahkan.
2. Difraksi melalui celah (gap) pemecah gelombang
Dalam prakteknya, celah bisa berupa pintu masuk pelabuhan, misal Pelabuhan Tanjung Priok.
Gelombang Pecah
Gelombang harus pecah mendekati pantai sebagai mekanisme penghancuran energi gelombang melalui
gesekan:
partikel air dengan partikel air (turbulensi)
air dengan dasar laut (friction/gesekan)
28
Jenis gelombang pecah (sumber gambar: Dean, Dalrymple (2010) halaman 114) :
Spilling (pantai landai)
Plunging (pantai agak curam)
Surging (pantai curam)
Indikator jenis gelombang pecah:
Keterangan:
β = sudut lereng pantai
29
H = tinggi gelombag
L = panjang gelombang
Indeks 0 → perairan dalam
Nilai 0,1 1,0 3,0 5,0
Jenis Pecah Spilling Plunging Surging Tidak pecah / pemantulan
Koefisien Pantul 10 - 3 0,1 0,8
[Sketsa set-up dan run up]
Terjadi sejumlah fenomena di dekat pantai:
1. Gelombang pecah, saat rasio
mencapai 0,8.
2. Selanjutnya di kawasan surf zone, tinggi gelombang mengikuti kedalaman perairan .
3. Akibat aksi gelombang, muka air rata-rata (MSL) di dekat pantai naik (set-up).
*) Gambar dibuat terdistorsi. Skala vertikal tidak sama dengan skala horizontal.
Set-down (MSL turun) di breaker line
(10.32)
= koefisien gelombang pecah 0,8
Set-up (MSL naik) di garis pantai
(10.36)
4. Run-up/run-down adalah naik turunnya lidah air pada lereng pantai atau bangunan pantai akibat
aksi gelombang. Yang menjadi perhatian praktisi teknik kelautan adalah run-up maksimum.
Diperlukan untuk perhitungan puncak bangunan pantai dan untuk keperluan kriteria
keselamatan.
30
Rmax ditaksir dari persamaan empiris.
∙
(9.3) Reeve, dkk. (2004). Coastal Engineering. Spoon Press.
α = sudut lereng pantai/bangunan
g = percepatan gravitasi
T = periode gelombang
Hi = tinggi gelombang datang pada lereng
K = koefisien kekasaran (tabel 9.7 buku Reeve)
Untuk beton, nilai K sebesar 2,3.
Gaya Akibat Gelombang
Filosofi perancangan bangunan:
Bangunan harus kuat menanggung beban: sendiri, operasional, dan lingkungan.
Untuk beban lingkungan alam yang sudah mapan (established) diketahui, beban dinyatakan sebagai gaya.
31
Untuk bangunan teratur → dihitung gaya akibat gelombang.
Untuk bangunan tidak teratur → pendekatan berbeda karena sukar menyatakan besar dan gaya akibat
gelombang.
Gaya pada dinding vertikal
32
Struktur dinding vertikal dalam teknik kelautan dijumpai pada:
1. Dermaga jenis quary wall.
2. Dermaga dan breakwater Caisson.
Sudah dibahas:
Gaya lingkungan merupakan kekuatan alam yang harus diperhitungkan dalam desain bangunan.
Di lingkungan laut, gelombang merupakan fenomena keseharian, bisa kecil, namun bisa sangat
besar.
Iptek kelautan baru dapat mengkuantifikasi gaya gelombang pada kondisi tertentu.
o Gaya pada dinding vertikal.
o Gaya pada silinder kecil.
Tidak berarti untuk kondisi lain gaya gelombang tidak diperhitungkan. Dilakukan pendekatan lain
jika pengetahuan analitis tidak memberikan jawaban.
Misalnya untuk desain breakwater dicari hubungan antara kondisi gelombang (diwakili oleh tinggi
gelombang H) langsung dengan berat batu/unit pelindung breakwater, tanpa perlu menghitung besar
gaya pada breakwater.
33
W = fungsi dari H → diperoleh dari laboratorium.
Untuk gaya pada dinding vertikal digunakan pendekatan.
Untuk kasus gaya gelombang pada silinder, ada dua kelompok kasus dalam teknik kelautan.
A. Silinder vertikal
Kaki struktur bangunan lepas pantai pada umumnya.
Pilar dermaga jenis deck-on-pile.
B. Silinder horizontal
Pipa pembawa minyak bumi/gas alam/air/kabel listrik/kabel komunikasi.
Kini dibahas gaya pada silinder vertikal. Peristiwa fisik:
34
Pendekatan teoritis
Dicari persamaan tekanan pada permukaan silinder → diberikan oleh ilmu hidrodinamika.
Koordinat cartesian x, y, z
Koordinat silinder r, θ, z
ℓ = suatu jarak dari silinder ke lokasi di mana medan gelombang tidak terpengaruh oleh keberadaan
silinder
Tekanan = ΔP (di r=a, sudut θ)
∙
(8.7)
Suku ① yang Mengandung U
35
Elemen gaya
Digambar distribusi dFD sebagai fungsi θ pada grafik datar dFD terhadap θ (fig. 8.2)
Diagram tekanan pada permukaan silinder secara teoritis.
Apa yang diperoleh: Resultan = 0.
Artinya, secara teoritis tidak ada gaya yang dirasakan silinder.
Kenyataan? Ada gaya pada silinder.
Teori hidrodinamika yang dicoba adopsi hanya berlaku untuk aliran laminar dengan kecepatan U yang
sangat rendah. Ini tidak terjadi pada aliran air pada umumnya (turbulen karena ν rendah alias encer).
Dalam aliran turbulen terjadi vortex (flow separation) → mengubah distribusi tekanan
36
Persamaan teoritis dimodifikasi menjadi:
∙
(8.11)
(8.12)
A = luas proyeksi bidang kontak
ρ = kerapatan massa air laut
U = kecepatan partikel air akibat gelombang
CD = drag coefficient
Drag coefficient → gesekan, tingkat hambatan
CD 1 (jika silinder mulus)
Lebih tidak menghambat
Menghambat
CD > 1
Menghambat
37
Suku ② yang Mengandung
∙
∙
∙ ∙
∙
(8.13)
∙
(8.14)
∙
(8.15)
V = volume silinder yang dibahas
= percepatan partikel air
= koefisien massa tambahan (added mass coefficient)
38
Jadilah persamaan Morison
∙ ∙
(8.32)
*) Ditulis U|U| agar ada arahnya. (+) dan (-) mengikuti tanda U.
Contoh
Hitung gaya gelombang yang bekerja pada silinder pada gambar di atas.
=
∙
= 76,5 m
= 0,1176
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 57,69 m
k = 0,109
kh = 0,98
A = 1 m x 1 m = 1 m2
x 1 m = 0,7854 m3
; maksimum saat cos (kx-ωt) = 1 sebagai fungsi z.
; maksimum saat sin (kx-ωt) = 1 sebagai fungsi z.
CD = 1
CM = 1 + KM
39
KM = 1 untuk penampang lingkaran (fig. 8.6 DD 1991)
CM = 2
cosh kh = cosh 0,98 = 1,52
sinh kh = sinh 0,98 = 1,145
∙ ∙
∙
∙
∙
∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ N
∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙
∙ N
z (m) cosh k(h+z) dFD maks. (N) dFI maks. (N)
1 1,655 1941,928 2811,639
0 1,521 1639,772 2583,656
-1 1,405 1398,945 2386,400
-2 1,305 1207,956 2217,525
-3 1,222 1057,693 2075,022
-4 1,152 940,986 1957,197
-5 1,097 852,267 1862,649
-6 1,054 787,304 1790,252
-7 1,024 742,996 1739,147
-8,25 1,003 1070,284* 1704,303*
*) Luas dan volume dikali 1,5 karena tinggi elemen z sebesar 1,5 m.
40
∙ ∙
Untuk contoh soal tadi, FI lebih besar dari FD. Apakah selalu FI lebih besar dari FD? Dijawab di buku DD
butir 8.3.5.
∙ ∙
Nanti akan diperoleh fig. 8.13 DD 1991.
41
Sumber : fig. 8.13. Dean, Dalrymple. 1991
Bisa dihitung:
Gaya drag max. (inersia = 0).
Gaya inersia max. (drag = 0).
Kombinasi gaya drag dan inersia untuk suatu waktu t sembarang.
Kapan gaya total yang dialami silinder mencapai maksimum?
Butir 8.3.6 DD 1991.
Hitung saja dan dapatkan saat tepatnya.
Pembahasan gaya total terbesar dari butir 8.3.6 DD 1991
Persamaan Morison :
Ditulis dalam simbol lain:
∙
∙
Secara matematis, FT maksimum terjadi saat:
∙ ∙
; saat FT,max sebut t = tmax
1.
(8.69)
2.
(8.70)
42
Penurunan Teori gelombang Air Linear
Buku teks Dean, Dalrymple 1991 Bab 3
Pengertian umum:
Masalah gelombang air didekati secara matematika sebagai BVP (Boundary Value Problem). Suatu BVP
dalam matematika terdiri dari (masing-masing bisa lebih dari satu persamaan):
1. Persamaan pengatur (governing equation).
2. Syarat batas (boundary condition).
3. Kondisi awal (initial condition) → fakultatif
Bentuk matematika BVP adalah PDP (persamaan diferensial parsial) → variabel independen lebih dari
satu:
Waktu t.
Ruang x,y,z.
Jika variabel independen hanya satu → PDB (persamaan diferensial biasa).
Untuk mekanika gelombang air
Persamaan pengatur = persamaan Laplace
____ (1) (3.2)
2 dimensi (x,z) sesuai sketsa definisi.
Ini merupakan persamaan kekekalan massa → 1 dari 4 hukum dasar fisika.
Yang dicari adalah φ(x,z,t) = potensial kecepatan.
Dari pemahaman tentang matematika, φ diperoleh dari persamaan (1) melalui integrasi.
Setiap integrasi menghasilkan konstanta integrasi → dipecahkan melalui BC dan IC.
Mekanika gelombang air butuh BC; mekanika gelombang air tidak butuh IC.
43
Syarat batas ada 5
BC1 : Syarat gerak periodik dalam waktu
Dalam bentuk kalimat: Gelombang air berulang setiap interval waktu T (periode gelombang(
Besaran yang dibahas: φ(x,z,t) = potensial kecepatan.
Dalam bentuk matematika: φ(x,z,t) = φ(x,z,t+T).
Untuk memenuhi BC dipilih bentuk sinusoidal.
Mengingatkan: bentuk konvensional fungsi sinusoidal adalah
=
A,B,D = konstanta
Bentuk komplek fungsi sinusoidal:
∙
=
BC2 : Syarat gerak periodik dalam ruang
Dalam bentuk narasi: Gelombang air berulang pada setiap jarak horisontal L (panjang gelombang)
Dalam bentuk matematika: φ(x,z,t) = φ(x+L,z,t).
BC3 : Syarat batas kinematis (SBK) di dasar perairan
Dalam pengertian fisik: Partikel air tidak dapat menembus dasar perairan yang horisontal dan
kedap air.
w = 0 di z = -h
di z = -h
BC4 : Syarat batas kinematis di permukaan bebas
Narasi: Partikel air yang berkedudukan di permukaan, akan terus bertahan pada permukaan
(tidak memercik ke udara, tidak menyusup ke dalam domain).
Menyatakan narasi di atas dalam bentuk matematika memerlukan pencermatan (DD 1991 butir
3.2.2). Hasilnya:
di z = η
Bentuk di atas tidak linear:
i. Unknown (yang tidak diketahui) (η,w,u) diberikan persamaannya di tempat yang tidak
diketahui (z = η).
44
ii. Ada perkalian unknown u dan unknown
→ dilinearkan menjadi :
di z = 0 atau
di z = 0
BC5 : Syarat batas dinamik (SBD) di permukaan bebas
Untuk BC ini digunakan Persamaan Bernoulli. Bentuk persamaan Bernoulli:
Pengertian fisik BC ini :
Di permukaan, tekanan = 1 atm (mutlak) dan 0 (relatif)
Dalam bentuk persamaan Bernoulli:
di z = η
BC5 setelah dilinearisasi:
di z = 0 atau
di z = 0
Tiga komponen BVP TGL (Teori Gelombang Linear):
1. Sketsa definisi → gambar
2. Persamaan pengatur → 1 persamaan
3. 5 boundary conditions
Arti “menyelesaikan” adalah mendapat pernyataan matematika eksplisit untuk besaran gelombang air
yang dicari → φ(x,z,t)
Solusi akhirnya berbentuk:
Langkah Penyelesaian BVP Teori Gelombang Linear
Langkah 1
Dipilih bentuk matematika solusi sebagai berikut:
∙
∙
Langkah 2
Pilih fungsi waktu sebagai sinusoidal
Fungsi φ menjadi .
45
Ini memenuhi BC1. BC1 sudah terpakai.
BC1
Substitutsi φ ke persamaan pengatur
Persamaan sebelumnya hanya benar jika suku 1 dan 2 di ruas kiri adalah konstanta yang sama besar
dengan tanda berlawanan.
Langkah 3
Tinjau persamaan
(nanti
)
Solusi atas ODE ini adalah:
; C1 dan C2 merupakan konstanta.
Terapkan SBK di dasar perairan.
BC3
di z = -h
Langkah 4
Tinjau persamaan
Solusi ODE:
φ menjadi:
∙ ∙ ∙ ∙
Ambil bentuk (kx-ωt) karena diinginkan gelombang merambat ke arah sumbu x positif.
46
∙ ∙
∙
∙ ∙
Terapkan SBD di permukaan bebas.
BC5
∙
dipilih 0 agar persamaan rata-ratanya 0.
Jika C(t) tidak 0, rata-rata tidak bisa sama dengan 0.
BC2
Maka diperoleh:
∙
∙
Langkah 5
Susun φ
∙
∙ ∙
Bentuk ini masih kompleks. Suku i tidak punya arti fisik karena tidak fisik.
Ambil suku riil sebagai solusi.
47
∙
Langkah 6
BC4 belum digunakan.
SBK di permukaan bebas:
di z = 0
φ dan η sudah diketahui → PERSAMAAN DISPERSI
Recommended