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Introduzione al Metodo agli Elementi FinitiFinite Element Method, FEMFinite Element Analysis, FEAFinite Element, FE

Applicazione all’analisi strutturale

Prof. Ciro SantusDip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa

Tel.: 050-2218007email: ciro.santus@ing.unipi.it

http://people.unipi.it/static/ciro.santus/

Metodo agli Elementi Finiti

E’ un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate parziali, su un dominio complesso.

E’ particolarmente adatto all’implementazione su calcolatore.

Esistono altri metodi alternativi (numerici):- Metodo alle Differenze Finite,- Metodo degli elementi al contorno BEM,tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM.

E’ diventato il metodo standard per risolvere problemi strutturali, ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc.

Evoluzione del metodo a partire dagli anni ’50.Attualmente esistono importanti SW commerciali,es.: ANSYS, ABAQUS

Soluzione approssima "piecewise solution"

x

y ( )( ) ?equazionedifferenziale

y f xf x

x

y

ih1h 2h

Si impongono equazioni di bilancio,si arriva ad un sistema di equazioni (lineare)lecui incognitesono lealtezze ih

Soluzione approssima "piecewise solution"

x

y

ih

1h

2h

Si ottiene la miglioreapprossimazionedella funzione,con una certa discretizzazione

Soluzione approssima "piecewise solution"

x

yMigliore rappresentazione all'aumentare della discretizzazione

Soluzione approssima "piecewise solution"

Elemento,i-esimo

Nodo, j-esimo

Gradi di libertà del singolo nodo:Spostamenti nelle direzioni x,y,z

Geometria “discretizzata”

Possibilità di gestire modelli da poche migliaia di elementi, fino a 106 elementi

Calcolo deformazioni e tensioni, in ogni punto a partire dagli spost. nodali(Funzioni di Forma)

Nodi & Elementi

Spostamentinodali

Funzioni di spostamento sul dominio dell’elemento

Funzioni di forma (Shape Functions)

Vincoli

Forze esterne applicate, su alcuni nodi

Soluzione:Calcolo degli spostamenti nodali:(deformata, prima incognita)

Vincoli e carichi

K u f

Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali,si “riduce” ad un sistema (lineare),in cui le incognite sono gli spostamenti nodali.

Numero molto elevato di incognite, comunque finito, ok per calcolatore

La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema.

Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente,mediante le funzioni di forma.

Soluzione del modello agli Elementi Finiti

Problema reale

Tipo di Elemento

Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica

Modalità di applicazione vincoli/carichi

Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto

Comportamento del materiale (modelli costitutivi)

etc.

Modello FEM

Elementi Trave (Beam)

Il nodo rappresenta una sezione

Elementi Guscio (Shell)

Il nodo rappresenta uno spessore

Elementi Solidi (Brick)

Il nodo rappresenta un punto solido

Scelta del tipo di elemento

Geometria 2D 3D

Linee Elemento Elemento

Trave 2D Trave 3D

Aree Elemento solido piano Elemento

(plane strain/stress) Guscio (shell)

Volume --- Elem. solido(brick)

ANSYS Wb

Scelta del tipo di elemento

INTRODUZIONE AL CODICE

ANSYS

ANSYS

ANSYS

APDL “Classic”

ANSYS

Workbench

BEGIN Level

PREP7 SOLUTION POST1

ClassicWorkbench

PREP7

• definizione ELEMENT TYPE

• definizione REAL CONSTANTS

• definizione MATERIAL PROPERTIES

• definizione GEOMETRIA MODELLO

• definizione MESH del modello

• applicazione VINCOLI E CARICHI

SOLUTION Soluzione FEM

POST1• PLOT visualizzazione grafica dei risultati

• LIST risultati in forma numerica

ANSYS Classic

Generazione diretta

Specificare direttamente la posizione dei nodi

Definire gli elementi tramite le connessioni fra i nodi

Modellazione solida

Uso di primitive geometriche (rettangoli, cerchi, poligoni, prismi, cilindri, sfere)

Operazioni booleane sulle geometrie (somma, sottrazione, intersezione, ecc.)

Ansys genera automaticamente i nodi e gli elementi

CREAZIONE DEL MODELLO

ANSYS Classic

modellazione solida

Nodi edelementi

Geometria

Mesh

ANSYS Classic

CREAZIONE DEL MODELLO

25mmD

4mmb

2mms

F

Rigidezza = ?Stato di tensione = ?

Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic

Anello elastico (plane stress)

Introduzione di un tipo di elemento

Elemento solido piano es. Plane 182

Definizione elementi

Definizione keyoptions

es.: plane stress

plane strain

axisymmetric

Definizione elementi

spessore, sezione, mom. inerzia, ecc.

Eventuale spessoreplane stress with thickness

Definizione elementi

Materiale:

Elastico Lineare Isotropo Omogeneo

Moduli di Young e Poisson

Definizione proprietà di materiale

Modellazione solida,

anello elastico, plane stress

X

Y

Z

Definizione “Mesh”

Preprocessor Global-SizeMeshing-Size Cntrls

Dimensioneelemento

N° suddivisionidei lati

Free Meshing (elementi misti triangolari e quadrilateri)

Mapped Meshing (solo elementi quadrilateri)È necessario rispettare opportune condizioni

Meshing Clear: per cancellare elementi e nodi(non si può cancellare una geometria se contiene elementi)

“Mesh”: nodi ed elementi

‘Infittimento della Mesh’

X

Y

Z X

Y

Z

Condizioni di vincolo e di carico

Si possono applicare:

1) alle entità del modello solido

(vengono trasferiti automaticamente ai nodi)

2) ai nodi o agli elementi del modello

Loads-Apply Structural-Displacement

on Keypoints

Loads-Apply Structural-Pressures

on lines (surfaces)

X

Y

Z

Condizioni di vincolo (1/2)

Condizioni di vincolo (2/2)

Spostamento imposto su tutti i gradi di libertà = incastro.

X

Y

Z

Condizioni di carico: pressione sulla linea

16 NF p b s

Alternativamente si può dare come input la forza F

Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme

2MPap

Condizione di vincolo: incastro

Condizioni di carico: pressione

U

PRES-NORM2

X

Y

Z

Solution

Calcola la soluzione

Postprocessing

Rappresentazione deformata

Listato numerico dei risultati

Plot grafico dei risultati

(tensioni eqv., tensioni principali, ecc.)

Grafici dell’andamento dei risultati su path definiti sul modello

Postprocessing: Plot results - Nodal Solution

Componenti di spostamento

Componenti di tensione

Postprocessing: Spostamento secondo Y

MNMX

X

Y

Z

-.045165

-.014785.015595

.045975.076356

.106736.137116

.167496.197876

.228256

MN

MX X

Y

Z

Postprocessing: Tensione eq. von Mises

.385453

10.993821.6022

32.210642.819

53.427464.0358

74.644185.2525

95.8609

Postprocessing: sigma_Y

MN MX X

Y

Z

-77.3366

-57.7594-38.1822

-18.605.972269

20.549540.1267

59.70479.2812

98.8584

I

Th.travi curve:77.6 MPa

E

Th.travi curve:97.8MPa

Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger)

D_I, mm D_E, mm Spessore radiale, mm25 33 4

D_m, mm p, MPa Spessore assiale29 2 2

F, NM_f, Nmm 16

464A, mm^2 r_I, mm r_E, mm

W, mm^3 8 12.5 16.55.33 r_G, mm r_N, mm e, mm

14.5 14.41 0.092sigma_0, MPa c_I, mm c_E, mm

87 1.91 2.09

sigma_I,B, MPa 95.77

sigma_E,B, MPa sigma_t, MPa -79.58 2

sigma_I, MPa sigma_E, MPa -77.6 97.8

-77.337

-59.717

-42.097

-24.477

-6.857

10.763

28.383

46.003

63.623

81.243

98.858

0.4

.81.2

1.62

2.42.8

3.23.6

4

DIST

Postprocessing: sigma_Y, utilizzo del ‘path’

I

Th.travi curve:77.6 MPa E

Th.travi curve:97.8MPa

ANALISI DI CONVERGENZA

Tensione Max

5.35

5.4

5.45

5.5

5.55

5.6

5.65

0 10 20 30 40 50 60N° Nodi

FEMValore teorico

MP

a

Elementi “strutturali”

Trave a doppio T - appoggiata agli estremi

Trave a doppio T - Modello con elementi trave

Costanti reali da inserire: Area, Momento d’inerzia, Altezza, Larghezza

i j

ETABLE, NX1, SMISC,1

ETABLE, TY1, SMISC,2

ETABLE, TZ1, SMISC,3

ETABLE, MX1, SMISC,4

ETABLE, MY1, SMISC,5

ETABLE, MZ1, SMISC,6

ETABLE, NX2, SMISC,7

ETABLE, TY2, SMISC,8

ETABLE, TZ2, SMISC,9

ETABLE, MX2, SMISC,10

ETABLE, MY2, SMISC,11

ETABLE, MZ2, SMISC,12

XZ

Y

Element Table (beam, shell)

ETABLE, MZ1, SMISC, 6 ! Memorizza il momento nel nodo I dell’elemento

ETABLE, MZ2, SMISC, 12 ! Memorizza il momento nel nodo J dell’elemento

PLLS,MZ1,MZ2 ! Visualizza l’andamento del momento flettente

Trave ad doppio T - Modello con elementi trave

Trave a doppio T – Modello con elementi Guscio (Shell 63 – Shell 93)

Costanti reali: Spessore

Trave a doppio T – Modello con elementi Guscio (Shell 63 – Shell 93)

Trave a doppio T – Modello con elementi Guscio (Shell 63 – Shell 93)

Tipi di elemento

Tipi di elemento

Tipi di elemento

Tipi di elemento

ANSYS Workbench

Workbench, soluzione integrata CAD - FEM:

- Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD:

Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics

- Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni)

- Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX) …

Atomatica identificazione delle interfacce di contatto

Modellazione semplice/veloce – alcune limitazioni

ANSYS Workbench

Corpi diversi

Superficie di interfaccia

ANSYS Workbench – Versione attuale 16.2

Tipi di analisiStatica strutturale:

- La struttura deve essere equilibrata(schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica).

- In caso di soluzione labile =>errore modello ‘unconstrained’.

- Può tollerare modello labile ma carico non applicato secondo la direzione di labilità.

- Analisi non lineari:- non linearità di contatto,- non linearità di materiale.

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.

- Input: materiali, geometria, vincoli e carichi.

- Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.

Tipi di analisiAnalisi modale:

- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema.

- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale.

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili.

- Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi).

- Output:- Lista della frequenze proprie (o naturali), si può

scegliere se mostrare le prime o quelle all’interno di un intervallo di frequenze;

- Modo di oscillazione associato a ciascuna frequenza propria;

- Lo stato di tensione e la distribuzione degli spostamenti è definita a meno di uno scalare.

Tipi di analisiRisposta armonica:

- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema

- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria.

- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di natura armonica (frequenza ampiezza e fase)

- Output:- risposta armonica alla frequenza di eccitazione

dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)

Tipi di analisiTransitorio dinamico (solutore implicito):

- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema.

- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.

- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali.

- Output:- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia

tensioni e reazioni vincolari.

Implicito: transitori lenti (tempi dell’ordine di 1 secondo o molto maggiore).

Tipi di analisiTransitorio dinamico (solutore esplicito):

- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema.

- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)

- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell

- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.

- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali.

- Output:- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia

tensioni e reazioni vincolari.

Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto inferiori a 1 secondo).

Tipicamente urti e analisi di crash.

Tipi di analisiAltre tipi di analisi:

- Buckling (instabilità).- Fluidodinamica.- Termico (transiente / a regime).

Analisi consecutive (one way coupling)Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale.

Analisi accoppiate (two way coupling)Es.: accoppiamento fluido struttura.

Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono le velocità.

Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termo-meccanico) sono Lagrangiane:viene seguita la particella materiale, prima incognità gli spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di transitorio).

Analisi con fenomeni fisici accoppiatiEs. one way coupling: (1) analisi termica, (2) analisi tensionale