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8/17/2019 INTRODUCCIÓN ESTATICA
1/28
Fuerzas aplicadas a un
Dpto. de Física AplicadaDpto. de Física Aplicada
II. Miguel Galindo delII. Miguel Galindo delPozoPozo 1119/12/200819/12/2008
8/17/2019 INTRODUCCIÓN ESTATICA
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
I d l d d 1 Introducción Sólido rígido
Un sólido rígido es indeformable.
3 2 Principio de transmisibilidad
•Condiciones de equilibrio o movimientoinalteradas
•mecánicamente equivalentes•vectores deslizantes• onocer recta de acción
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 3 Sistemas equivalentes de fuerzas
Dos sistemas mecánicamente e uivalentes son
aquellos que producen el mismo efectomecánico sobre un sólido rígido.
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 3 Sistemas equivalentes de fuerzas
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 4 Momento de una fuerza en un
punto
rrr
•Vector ligado al unto O.
F OAF O
×=)(
• Depende de O (punto de reducción).•Independiente de A,
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 4 Momento de una fuerza en un
punto
•El modulo del momento mide la tendencia dela fuerza a imprimir al sólido rígido una rotación
d F F O
=)(
a re e or e un eje que pasa por “o” y esperpendicular al plano que contiene a la fuerza
y al punto “o”. punto determina, junto con la fuerza, la rectade acción de esta.
•Fuerzas mecánicamente equivalentes.
'
'
F F
F F rrrr
rr
=
=
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OO
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 5 Resultante y momento de un
sistema de fuerzas
3 5 1 Definiciones
N
i R F = ∑
r r
libre
T d l d d
1
( ) N
O O i
i
M F
=
=
= ∑r r r
ligado
3 5 2 Teorema del centro de reducción
P O M PO R= + ×
uuurr r r
r r
0rr
= RP O
=
Todo el espacio
0rr
≠ RLínea recta en el espacio
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para e a a a resu tante
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 6 Sistemas de fuerzas concurrentes
Teorema de Varignon
O OA R= ×
uuurr r
R
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 7 Par de fuerzas
3 7 1 Momento de un par de fuerzas
d F
r
0rr
= R
F r
−
•Vector libre (como dedujimos del Teoremadel centro de reducción)
)()( F F OP
rrrr
=
•Módulo = Fd•dirección ⊥ al plano que forma el par •sentido: (reglas)
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 7 Par de fuerzas
3 7 2 Pares mecánicamente equivalentesq
Suma de pares
Lo único que caracteriza el efecto mecánicode un par es su momento.
F r
F r
−
1 2 M M = +r r r
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
D i i d f 8 1 Descomposición de una fuerza en una
fuerza en un punto y un par
3 8 2 Reducción de un sistema de fuerzas a
una fuerza en un punto y un par
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
3 8 3 Equivalencia mecánica de dos
sistemas de fuerzas
´ R R=r r
´O O
M =r r
Se cumplirá papa cualquier otro punto.
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
3 8 4 I i t d i t d f 8 4 Invariantes de un sistema de fuerzas
Rr
Invariante vectorial
R M Prr
⋅ Invariante escalar
Rrr
⋅ Proyección del
Rm r
= momento sobrela resultante
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
3 8 5 Eje central Momento mínimo
El eje central es el lugar geométrico delos puntos del espacio en los cuales elmomen o e s s ema e uerzas es m n mo.
•Siel e e central es todo el es acio.
0; P O R M M = =rr r r
•Siel eje central es una línea recta paralela a
la resultante.
0rr
≠ R
r
Momentos mínimos y paralelos a R
m M min
r
r
r
=
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
3 8 5 Eje central Momento mínimo
Conocida la resultante y el momentodel sistema en el origen de coordenadas Opo emos encon rar e pun o e e e cen ramáscercanoaO.
O R M ×=
r r
uuur
Rr
central es: E E E
z z y y x x −=
−=
−
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z y x
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
6 Cl ifi i d i d f 8 6 Clasificación de sistemas de fuerzas
1. Tres fuerzas0;0 ≠⋅≠ R M Rrrrr
p
Rr
Rr
P
r
p
Em n
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
6 Cl ifi i d i d f 8 6 Clasificación de sistemas de fuerzas
2. Una fuerza0;0 =⋅≠ R M Rrrrr
p
Rr
Rr
P
p
E
RPE M P
rr
×=
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
6 Cl ifi i d i d f 8 6 Clasificación de sistemas de fuerzas
3. Dos fuerzas0;0rrrr
≠= P M R
p
P
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
d d d 8 Reducción de un sistema de
fuerzas
6 Cl ifi i d i d f 8 6 Clasificación de sistemas de fuerzas
3. Sistema nulo0;0rrrr
== P M R
p
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 9 Sistemas de fuerzas paralelas
3 9 1 Sistemas de fuerzas paralelas
u M
u R
O
r
r
r
r
⊥
//0=⋅ R M
O
rr
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 9 Sistemas de fuerzas paralelas
3 9 2 Ce t de i te de f e z 9 2 Centro de un sistemas de fuerzas
paralelas
• .•G es un punto del eje central que se puede
calcular sin la necesidad de conocer laorientación del sistema de fuerzas aralelas.
∑=
∑= == N
N
iii
G N
N
iii
G
y y
x x 11
λ λ
N
∑= =
==
N
N
iii
G
i ii i
z z 1
11
λ ∑=
=
= N
ii
i iiOG
1
1
λ
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=ii
1
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 10 Centro de gravedad y centro de
masa
3 10 1 Centro de gravedad
n o n ma a o ma opor los pesos de las partículas
3102Centrodemasa 10 2 Centro de masa
∑∑∑===
N
iii
N
iii
N
iii
zm ym xm111
∑∑∑ ===
N
ii
N
ii
N
ii mmm
111
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 10 Centro de gravedad y centro de
masa
3 10 3 Centro de masa de cuerpos
compuestos
•JpartesdemasaM J
OGOG ++ ...
J M M ++
=...
1
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 10 Centro de gravedad y centro de
masa
3 10 4 Momento estático Teoremas de
Arquímedes
∑= N
d mM
El momento estático de un sistema de puntos
materiales respecto a un cierto plano es igualal momento estático del centro de masa
=i 1
suponiendo que toda la masa del sistemaestuviera concentrada en el.
M d =π
M
ua quier p ano e momento estático cerocontiene al centro de masa y viceversa, elmomento estático respecto a cualquier plano
ue conten a al centro de masa es cero.
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 10 Centro de gravedad y centro de
masa
3 10 4 Momento estático Teoremas de
Arquímedes
Si un cuerpo homogéneo tiene un plano desimetría el centro de masa está en dicho plano.
Si un cuerpo homogéneo tiene un eje desimetría el centro de masa está en dicho eje.
p msimetría dicho punto coincide con el centro demasa.
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 11 Sistema de fuerzas distribuidas
3 11 1 Densidad de carga 11 1 Densidad de carga
Fuerza distribuida sobre una región
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 11 Sistema de fuerzas distribuidas
3 11 1 Densidad de carga 11 1 Densidad de carga
Fuerza distribuida sobre una región
k z y x f j z y x f i z y x f z y x f z y xr
rrr
),,(),,(),,(),,( ++=
∫= V dV f Rrr
∫ ×= V Q dV f QP M rr
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TEMA 3: Fuerzas aplicadas a un sólido rígido
3 11 Sistema de fuerzas distribuidas
3 11 2 Cargas planas rectas 11 2 Cargas planas rectas
Sistema de fuerzas paralelas, con el mismosentido distribuidas a lo largo de una línearecta.
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