How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische...

How Does Fuzzy Arithmetic Work ?

© 2001- Hartwig JeschkeInstitut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme

Universität Hannover

www.vspdecision.uni-hannover.de

Introduction

• Analytical modeling of technical processes:• Uncertainty of data material

– if no stationary statistical process is available:

– Possibilty Theory may help !

• Fuzzy Sets as a measure for possibility

• Extension of classical arithmetic by Fuzzy Numbers

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possible solution set

Possible And Expected Solution Sets

• Zimmermann: Inclusion Principle for Modeling Problems

expectedsolution set

(statistics)

Assumption: • specification of possible solution sets may be much easier

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Fuzzy Sets as Possibility Measure

modeling-parameter

Degree of membership to a fuzzy set

1

0

certainly possible values

certainly not possible values

as for known analytical models

more or less possible values

Exactly known parameter value, e. g.:

13.21345678953142........

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Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes

modeling-parameter p

Degree of membership

1

0

m1 m2m1-a m2+b

Fuzzy Interval: P = [m1, m2, a, b ]Fuzzy Interval: P = [m1, m2, a, b ]

certainly not possible values

certainly possible values

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Arithmetic with Real Numbers

Generalization of Numbers

Real Numbers

Intervals

Fuzzy Intervals

Real Numbers

IntervalsInterval-Arithmetic

Fuzzy Interval-Arithmetic

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c

a

b

) ( ), ( ) (b a Min cB A C ) ( ), ( ) (b a Min cB A C

c = a b

,...,/,,,, MaxMina‘ b‘c‘

?

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

levels from 0 to 1Processing of

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

levels from 0 to 1Processing of

c a b

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)

A B=C

c a b

c‘

Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership)

Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership)

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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)Approximation by Trapezoidal Shapes

A B=C

c a b

c

Exact solution has no trapezoidal shapeExact solution has no trapezoidal shape

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FzCalc Fuzzy Calculator

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