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How Does Fuzzy Arithmetic Work ?
© 2001- Hartwig JeschkeInstitut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme
Universität Hannover
www.vspdecision.uni-hannover.de
Introduction
• Analytical modeling of technical processes:• Uncertainty of data material
– if no stationary statistical process is available:
– Possibilty Theory may help !
• Fuzzy Sets as a measure for possibility
• Extension of classical arithmetic by Fuzzy Numbers
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possible solution set
Possible And Expected Solution Sets
• Zimmermann: Inclusion Principle for Modeling Problems
expectedsolution set
(statistics)
Assumption: • specification of possible solution sets may be much easier
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Fuzzy Sets as Possibility Measure
modeling-parameter
Degree of membership to a fuzzy set
1
0
certainly possible values
certainly not possible values
as for known analytical models
more or less possible values
Exactly known parameter value, e. g.:
13.21345678953142........
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Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes
modeling-parameter p
Degree of membership
1
0
m1 m2m1-a m2+b
Fuzzy Interval: P = [m1, m2, a, b ]Fuzzy Interval: P = [m1, m2, a, b ]
certainly not possible values
certainly possible values
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Arithmetic with Real Numbers
Generalization of Numbers
Real Numbers
Intervals
Fuzzy Intervals
Real Numbers
IntervalsInterval-Arithmetic
Fuzzy Interval-Arithmetic
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c
a
b
) ( ), ( ) (b a Min cB A C ) ( ), ( ) (b a Min cB A C
c = a b
,...,/,,,, MaxMina‘ b‘c‘
?
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
-11 -
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
levels from 0 to 1Processing of
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
levels from 0 to 1Processing of
c a b
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)
A B=C
c a b
c‘
Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership)
Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership)
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)Approximation by Trapezoidal Shapes
A B=C
c a b
c
Exact solution has no trapezoidal shapeExact solution has no trapezoidal shape
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FzCalc Fuzzy Calculator
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