Formulario de matematicas full

7/25/2019 Formulario de matematicas full

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ESQUEMAS - FORMULARIOS

S Q U E

M A S -

M U L A R I O S

a m e r

RAZ. MATEMÁTICORazonamiento Lógico ........................ 8

Orden de información .......................9

Planteo de ecuaciones -

Edades ............................................ 10

Operaciones matemáticas ............... 11

Sucesiones ................................... 12

Series ........................................... 13

Ecuaciones diofánticas...................... 14

Análisis combinatorio ...................... 15

Máximos y Mínimos ......................... 16

ARITMÉTICA

Razón - Proporción - Promedios .......... 17

Magnitudes proporcionales .............. 18

Teoría de Conjuntos - Operaciones

entre conjuntos ............................. 19

Numeración ................................... 20

Adición y Sustracción ...................... 22

Multiplicación y División - Teoría

de la Divisibilidad............................ 23

Criterios de la divisibilidad ............... 24

Números Primos ............................. 25

MCD y MCM .................................. 26

Números racionales Q - Tanto

por ciento ..................................... 27

Interés Simple - Mezclas .................. 28

ÁLGEBRA

Ecuaciones lineales ........................ 29

Principales productos notables ......... 30

Ecuación cuadrática ....................... 31

Polinomios - Teoría de exponentes .... 32

Sistema de Ecuaciones .................... 33

División de Polinomios - Factorización ... 34

Teoría de Ecuaciones ........................ 35

Inecuaciones I ............................... 36

Inecuaciones II ............................. 37

Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38

Binomio de Newton ........................ 39

Logaritmos .................................... 40

Números complejos ........................ 41

ÍNDICE GENERAL

GEOMETRÍA

Triángulos ..................................... 42

Congruencia de triángulos ............... 43

Cuadriláteros ................................ 44

Circunferencia ............................... 46

Proporcionalidad y semejanza

de triángulos ................................ 48

Relaciones métricas ........................ 49 Áreas triángulares ......................... 50

Áreas cuadrangulares -

Área ci rcu lar .............................. 51

Geometría del espacio y poliedros

regulares ..................................... 52

Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53

Esfera y teorema de Pappus Guldin -

Polígonos y Poliedros regulares ........ 54

TRIGONOMETRÍA

Sistemas angulares - Sector circular ..... 55

Razones trigonométricas de

ángulos agudos ............................. 57

Resolución de triángulos rectángulos ... 58

Geometría analítica ........................ 59

Ecuación de la recta ....................... 60

Razones trigonométricas de un

ángulo en posición normal ............... 61

Reducción al primer cuadrante......... 62

Circunferencia trigonométrica .......... 63

Identidades trigonométricas ............ 64

Identidades de ángulos compuestos ..... 65

Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66

Ángu los mi tad II y ángulo triple -

Triángulos rectángulos notables ....... 67

Transformaciones trigonométricas ..... 68

Funciones trigonométricas inversas .... 69

Ecuaciones trigonométricas ............. 70

Resolución de triángulos ................. 71

FÍSICA

Cinemática MRU - MRUV.................. 72

Caída libre - Movimiento

en dos dimensiones ....................... 74

Movimiento circular - Fuerza

Estática ........................................ 75

Dinámica - Rozamiento.................... 76

Trabajo - Potencia mecánica

Energía Mecánica ........................... 77

Hidrostática - Electrostática ............ 78

Electrodinámica.............................. 79

Electromagnetismo - Física

moderna....................................... 80

Movimiento armónico simple ............. 81

QUÍMICA

Átomo .......................................... 82

Características generales de los

números cuánticos ......................... 83

Configuración electrónica ................ 84

Tabla Periódica Actual ..................... 85

Propiedades periódicas atómicas ...... 86

Enlace químico ............................... 87

Unidades químicas de masa ............. 88

Estado gaseoso ............................. 89

Soluciones .................................... 90

Estequiometría .............................. 91

Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92

Electroquímica ................................ 93

Química Orgánica ........................... 94

Cíclicos y aromáticos ...................... 95

Hidrocarburos ............................... 96

Alquenos u olefinas - Alquinos

o acetilénicos ................................ 97

Alquenino - Oxigenados

y nitrogenados .............................. 98

Metalurgia y petróleo ..................... 99

Contaminación ambiental ................ 100

SAN MARCOS 8

ESQUEMA - FORMULARIO

Raz. Matemático

1 4 c u a d r a

3 c u a d r a d o s

R A Z O N A M

I E N T O L Ó G I C O

H e r m a n o (

A b u e l o

p a t e r n o

A b u e l a

p a t e r n a

R e l a c i o n e s d e p a r e n t e s c o

P a d r e

M a d r e

A b u e l o

m a t e r n o

A b u e l a

a t e r n a

E j e r c i c i o s c o n c e r i l l o s

1 5 1 5 1 5 1 5 1 5

1 5 1 5

3 S = 1 + 2 + 3 + . . . 9 + a + b + c

r e p i t e n

D i s t r i b u c i o n e s m

á g i c a s

N o r m a l e s

R e l a c i o

n e s t e m p o r a l e s

H a c e 3 d

í a s

A n t e a y e r

A y e r

M a ñ a n a

P a s a d o m

a ñ a n a

D e n t r o d

e 3 d í a s

P r i n c i p i o d e s u p o s i c i ó n

C o n t r a d i c c i ó n :

R e a f i r m a c i ó n :

F F F V

V ( 1 ) ( 2 )

( 1 ) ( 2 )

J u a n : C a r l o s f u e e l c u

l p a b l e

C a r l o s : J u a n e s t á m i n

t i e n d o

P e d r o : F u e R o d r i g o

H u g o : P e d r o t i e n e r a z ó n

E j e r c i c i o s c o n p e l e a s

n c o r r e a s p a r a l e l a s

J u n t a s

: : : :

n c o r r e a s c r u z a d a s

i d a s p o r u n e j e

: H o r a r i o

: A n t i h o r a r i o

9 SAN MARCOS

( O R D E N

D E I N F O R M A C I

Ó N )

H u g o

P a c o

L u i s

L i m a

T a c n a

P i u r a

I n g e n i e r o

M é d i c o

P r o f e s o r

T e s t d e d e c i s i o n e s

C u a d r o d e d e s c a r t e :

D e f o r m a d i r e c t a :

O r d e n a m i e n t o c i r c u l a r

I z q u i e r d a

( h o r a r i o )

D e r e c h o

( a n t i h

o r a r i o )

e n a m i e n t o l i n e a l

C r e c i e n t e D e c r e c i e n t e

L a t e r a l

• A e s m a y o r q u e B

• B n o e s m e n

o r q u e C

• C e s m a y o r q u e D

• D e s m e n o r q u e E

I z q u i e r d a

O e s t e

S i n i e s t r a

D e r e

E s t e D i e s t r a

A B C D

M a y o r

M e n o r

Raz. Matemático

SAN MARCOS 10

• A excede a B en 10 unidades• El doble, de un número disminuido en 3 unidades.• El doble de un número, disminuido em 3 unidades.• A es por dos veces B

• A es dos veces más que B

A B 10 – =

Lenguaje Literal(Enunciado) Traducción Lenguaje Matemático

(Ecuaciones)

2(x 3)

A B 2B A 3 B

Con dos o más sujetos

DaniellaMelanie

Pas Pre Fut

a d ec b f • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a c d d e f • La suma en aspa da el mismo resultado: a b c d d f b e a f c e

– –= = –

+ = ++ = ++ = +

ImportanteCaso 1: Año nacimiento edad año en curso• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.

Caso 2:

Año nacimiento edad = año en curso 1• Si la persona todavía no cumple años en el año en curso.

Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

Raz. Matemático

11 SAN MARCOS

Materia prima

Botones

Producto terminado

Proceso de producciónOperación matemática

Máquina

Adición

Sustracción

División

Números ResultadoOperadores

a b 3a 5b 4* = + +Definición

..........................................

a b 3(b a ) a* = * +2 2

Si x x 1= +

5 =mSe resuelve de

............... hacia ..............

Se resuelve de

............... hacia ..............m =5

Definición

..........................................

Explícita

Implícita

adentro afuera

afuera adentro

Raz. Matemático

SAN MARCOS 12

S U C E S I O N E S

L i t e r a l e s

S e c o n s i d e r a n 2 7

l e t r a s

d e l a b e c e d a r i o ( N

c o n s i d e r a C h , n i L

e s i o n e s

a r i t m é t i c a ( L i n e a l )

r : r a z ó n a r i t m é t i c a

* p a r a u n a c a n

t i d a d i m p a r d e

t é r m i n o s e n

l a s u c e s i ó n .

S u c e s i o n e s

N o t a b l e s

S u c e s i ó n

G e o m é t r i c a

q : r a z ó n a r i t m é t i c a

* P a r a u n a s u c e s i ó n c o n u n a

c a n t i d a d i m p

a r d e t é r m i n o .

× q × q P

r o d u

c t o d e e x t r e m o s

D e 2 º O r d e n

4 ; 1 0 ; 1 8 ; 2 8 ; 4 0 ;

A + B = 4

t 1 t 2

Raz. Matemático

13 SAN MARCOS

Raz. Matemático

SAN MARCOS 14

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

MULTIPLICIDAD1. Si N es múltiplo de n

Si N = N nk; k n

: se lee múltiplo de nEjemplo:

Si N= 5

N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)

Si N = 8

N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}

2. Si N no es múltiplo de n

d eN n r ó N n r

donde: d er r n

dr : residuo por defecto

er : residuo por exceso

Ejemplo:

20 no es múltiplo de 6 (20 6 )

20 6 18 3

2 20 6 24 4 -4

20 6 2 20 6 4

Donde: 2 + 4 =6

Aplicación:

Si N 9 3 N 9 6

Si N 12 1 N 12 11

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. o o o o o

n n n n = n

Ejemplo:

• 8 8 8 8

• 15 15 15 15 15

2. o o on+n = n

Ejemplo:

• 7 7 7

• 14 14 14

k n= n;k Z

Ejemplo:

• 2 7 7

• 0 10 10

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Sea A x B =on

o oSi A n B = n

o oSi B n A = n

Ejemplo:

4 5 x 5

Raz. Matemático

15 SAN MARCOS

P r i n c i p i o d e C o n t e o

• • P a r a e v e n t o s i n d e p e n -

d i e n t e s

A d i t i v o ( o )

P a r a e v e n t o s d e d e p e n -

d i e n t e s , s i m u l t á n e o s .

M u l t i p l i c a t

i v o ( y ) :

C o m b i n a c i ó n ( a g r u p a r )

P r o p i e d a d e s :

k ! ( n

C n k =

F a c t o

r i a l d e u n n ú m e r o

n ! = 1 2

. . . n

0 ! = 1

n ! = n ( n

N Á L I S I S

B I N A T O R I O

P e r m u t a c i ó n ( O r d e n a r )

P e r m u t a c i ó n

L i n e a l

E j e m p l o :

5 a m i g o s e n 5 a s i e n t o s

5 ! = 1 2 0

P e r m u t a c i ó n d e “ n ”

e l e m e n t o s t

o m a d o s

d e “ k ” e n

“ k ”

E j e m p l o :

5 a m i g o s e n 2 a s i e n t o s

P e r m u t a c i ó

n c o n

r e p e t i c i ó n

P e r m u t a c i ó n

c i r c u l a r

n a ; b ; c ; . . .

E j e m p l o :

a ! b ! c ! . . .

6 2 ; 3 ; 1

2 ! 3 ! 1 !

c ( n )

E j e m p l o :

6 a m i g o s e n

m e s a c i r c u l a

c ( 6 )

5 ! 3 !

Raz. Matemático

SAN MARCOS 16

Problemas sobre certeza

Casosdesfavorables

:Número deextraciones

Casosfavorables

Lo que no

quiero quesalga

Lo que

pide elproblema

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Otras situaciones

• Si: a + b = K

(a.b) = .máx

• Si: a × b = K

(a+b) =mín K K +

• Si: a > 0

a + > 21a

x > 02

• Si: × = IR

Expresiones algebraicasde 2do grado

E(x) = Ax + Bx + C2

A > 0 EMÍN

A > 0 EMÁX X = 2A

Raz. Matemático

17 SAN MARCOS

Aritmética

SAN MARCOS 18

Propiedades

• A IP B A DP

• A DP B (C cte)

A IP C (B cte)

A x CB

A IP B

Valor “B”

Valor “A”

HipérbolaEquilátera

Gráfica:

a1 a2b1 b2 = k =. .

MAGNITUDES

PROPORCIONALES

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A DP B

Valor de A Valor de B

Valor “B”

Valor “A”

LíneaRecta

Gráfica:

Valorde A

Constante

Valorde B

f(x) = K x

A DP B

Valorde B

Constante

f(x) = xk

A IP B

• A DP B A IP 1B

Aritmética

19 SAN MARCOS

1 2 3 n

elementos

A a ;a ;a ;.......;a

donde:a a

• Cardinal = n(A) = n

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS

No A A o BB A

Unión (U): Complemento ( (A)):

Solo ADiferencia (–):

A y BIntersección ( ):

Sólo A o sólo B

DiferenciaSimétrica (A):

Aritmética

SAN MARCOS 20

a b c d

M E R A C I Ó N

1 . D e s c o m p o s i c

i ó n

p o l i n ó m i c a :

2 . D e s c o m p o s i c

i ó n

p o r b l o q u e s :

3 . C a m b i o s d e b a s e :

D e b a s e

" n " a b a s e 1 0

D e s c o m p o s i c i ó n

p o l i n ó m i c a

2 . R u f f i n i

E j e m p l o : 2 4 3 ( 5 )

2 4 3 5

3 . 2 . D e b a s e 1 0 a b a s e " n "

( D i v i s i o n e s s u c e s i v a s )

E j e m p l o : 2 4 3 a b a s e 7

2 4 3 =

4 6 5 ( 7 )

3 . 3 . D e b a s e " n " a b a s e " m "

1 0 ; m

a b c d e

B a s e

S i : + a b

c ( n )_ =

– x y ( m ) +

C o m o

B a s e n

B a s e 1 0

B a s e m

D e s c o m p o s i c i ó n

D i v i s i o n e s

P o l i n ó

m i c a

S u c e s i v a s

a b a b

a b . 1 0 0

a b a b

a b c a b c

Aritmética

21 SAN MARCOS

Números capicúas

1a 1b 1c = a + b + c + d + e + x

1d 1e x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS

BASES SUCESIVAS

k cifras

(n –1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n –1 =

121; 3553; 27372; abccba

Aritmética

SAN MARCOS 22

I. ADICIÓNa + + c +...+ z = S

Sumandos Sumatotal

Progresión aritmética

an = a1 + (n – 1)r

n 1a – an 1

n: Número de términos

a aS n

Sn: Suma de términos

Sumas notables

•n(n 1)

1 2 3 ... n2+

+ + + +

• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n(n 1) (2n 1)6+ +

• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =2n(n 1)

• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =

na – 1a – 1

II. SUSTRACCIÓN

M – S = D

Propiedades:

• 2M = M + S + D

• (n) (n)ab – ba = (n)xy

x y n – 1 =+

donde n 3 y a b

• (n) (n)abc – cba = (n)xyz

x z n – 1 =+

y = n – 1

donde: n 3; a c

• abcd – dcba xyzw=

donde: a > d

x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético

• (b) (b)bk 1 cifras

CA(N ) 100...00 – N

Si N tiene k cifras

• (n)CA(abcd ) =

n( n –1–a ) ( n–1–b ) ( n–1–c ) ( n–d )

Aritmética

23 SAN MARCOS

A B B(k)= =Se dice:- A es múltiplo de B- A es divisible entre B- A dividido entre B da residuo cero

*o o on n n+ =

*o o on – n n=

*o o o on(k) n k nk

k (n) n=

*o o o o

(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=

k k (n r) n r+ +=

k k (n– r) n r+= , k: par

k k (n – r) n– r= , k: impar

N b N MCM(a,b,c)

N b r N MCM(a,b,c) r

Aritmética

SAN MARCOS 24

• Por 2 o o oabcde 2 e. Si e 2 abcde 2= = =+

• Por 4o o o

abcde 4 de. Si de 4 abcde 4= = =+

• Por 8o o o

abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8= = =+

• Por 5

abcde 5 e. Si e 5 abcde 5= = =+

• Por 25o o o

abcde 25 de. Si de 25 abcde 25= = =+

• Por 125o o o

abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125= = =

• Por 3o o o

abcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3= = =+ + + + +

• Por 9o o o

Eabcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9= = =+ + + + +

• Por 11 abcde+-+-+

E11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11= = =+ + +

• Por 13

abcde fgh31431431- + - +

E13– 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13= = =+ + + +

• Por 7

abcde fgh31231231+ - +

7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7= = =+ + + + +

Aritmética

25 SAN MARCOS

• Por 33 a b cdeo o o

E33 a bc de. Si E 33 abcde 33= = =+ + +

• Por 99 a b cdeo o o

E99 a bc de. Si E 99 abcde 99= = =+ + +

• P or n 1enbase n

(n) (n)E

abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n – 1) abcde (n –1) =

•P or n 1enbase n

a b c d e+ - + - +(n)

(n)E(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)+ + + + + += =

• Dada la descomposición canonica del número N:

31 2 k 1 2 3 k N p p p ...p ...D.C. =

• Su cantidad de divisores se calcula como:

N 1 2 3 k CD ( 1)( 1)( 1)...( 1) = + + + +

Además:

N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD= +

• La suma de divisores se calcula como:

1 2 k 1 1 11 2 k

(N)1 2 k

p – 1 p – 1 p –1SD ...

p – 1 p – 1 p –1

=+ + +

Aritmética

SAN MARCOS 26

• La suma de inversas de divisores se calcula como:

• El producto de los divisores se calcula como:

(N)CD(N)PD N=

• El esquema del algoritmo de Euclides:

Cocientes

Residuos

K MCD (A;B)

• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

A p x k ; donde: p y q son PESI

B q x k MCD kMCM k x p x q

• Siempre se cumple que:

MCD(A;B) MCM(A;B) A B=

•n A n B n k MCM ;

= •n A n B n k MCD ;

Aritmética

27 SAN MARCOS

Clases de fracciones

• Propia • Común y ordinaria• Impropia • Decimal• Reductible • Homogénea• Irreductible • Heterogénea

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción

Números enteros Z

Operacionescon tantopor ciento

Adición

Sustracción

Aumentos y descuentossucesivos

Aumento único

a ba b %100

Descuento

único

a ba b – %100

Aplicacionescomerciales

Variaciónporcentual

Pventa = Pcosto + ganancia

Pventa = Pfijado – descuento

Pventa = Pcosto – pérdida

Pfijado = Pcosto + incremento

Variaciónporcentual

Aumento ódisminución

100%Cantidad

inicial

Aritmética

SAN MARCOS 28

M C I= +

r% y t en las mismas unidades

I C r% t

M = C (1 + r% t)

INTERÉS SIMPLE

medioCosto total

P =Peso total

alcohólico

Alcohol 100%Total

aparente aparenteG = Pventa costoP = P + Ganancia

(x+y+z) L

d%+ + =

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)

Aritmética

29 SAN MARCOS

Álgebra

SAN MARCOS 30

b ) = a

b ) ( a

3 a b ( a

a ) ( x

2 ( a b

S i : a

0 . S e v

e r i f i c a q u e :

3 a b c

• • ( x

y ) ( x

b ) ( a

c ) ( b

3 a b c

c ) [ a

c a ) ]

+ A R G A N ’ D

G A U S S

P R I N C I P A L E S P R O D U C T O S N O T A B L E

6 7 8 9 1

5 4 3 2 1

Álgebra

31 SAN MARCOS

Análisis de las raíces

Si: D 0

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Fórmula

ax bx c 0 ; a 0

xb b 4ac

= – –

2 raíces IR diferentes x1 x2

2 raíces IR iguales x =x1 2

2 raíces ICconjugadas

Recordar:

(x x ) (x x ) 4x .x1 22

1 2+ – – =

suma:0b 0=x; x – producto:1

a c=x;1/x

c 0= b 0 ; c 0= =

a b cm n p

Discriminante

D = b – 4ac2

x x b a1 2+ =–

x x c a1 2. =

x x ?? 1 2 – =

Propiedades de las raíces

Si: ax + bx + c = 0

(opuestas) (inversas)

x – Sx + P = 0

Si: ax + bx + c = 0

mx + nx + p = 0

Raíces simétricas Raíces recíprocas

Una raíz nula Dos raíces nulas

Reconstrucción de una ecuación cuadrática

Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)

Álgebra

SAN MARCOS 32

Recordar las definiciones Recordar los teoremas

na a.a.a...a ;"n factores de a"

0a 1 ; a 0=

n –n

n1 1a ; a 0

mn nm/n ma a a= =

m–nmm n m nn

aa .a a ; aa

m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =

n n n n nn

a a ; a.b a. bb b

n n m nmnn

a a ; a ab b

nk nmk ma a=

Monomio

Definición

Términos Semejantes

Grado Relativo

Grado Absoluto

Definición

Grado Absoluto

Grado Relativo

Clasificación

Polinomio

Ordenado

Completo

Homogéneo

Idénticos

Idénticamente nulo

Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA

Álgebra

33 SAN MARCOS

tienen solución

no tienensolución

soluciones finitas

a b c1 1 1

a b ca b c

2 2 2=

a b1 1

y E1 E2

(x ;y )0 0

E E1 2 //

E E1 2

Ecuación Compatible

Indeterminada

Ecuación Incompatible

Determinada

E : a x b y c

E : a x b y c1 1 1 1

2 2 2 2

Por su Solución

SISTEMA DE ECUACIONES

Álgebra

SAN MARCOS 34

Criterios de factorización

FACTORIZACIÓN

Criterio delfactor común y/oagrupación

Criteriodelas

identidades

Criteriodelaspa

simple

Criteriodel

aspadoble

Criteriode los

divisoresbinomios

Criteriodel aspadoble

especial

Álgebra

35 SAN MARCOS

* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0 , también se puede escribir

n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=

donde 1 2 3 nr , r , r ,..., r raíces de la ecuación.

* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =

Entonces:

r1 es una raíz de multiplicidad mr2 es una raíz de multiplicidad nr3 es una raíz de multiplicidad p

* Teorema de Cardano - Viette

n–11 2 3 n

ar r r ... r –

a=+ + + + "Suma de raíces"

n–21 2 1 3 n–1 n

ar .r r .r ... r .r

+ + + = "Suma de productos Binarios"

n 01 2 3 n

ar .r .r .....r (–1)

a= "Producto de raíces"

* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,

la otra es a – b .

* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es i+ ,

entonces la otra es – i .

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una

raíz positiva.

* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra

SAN MARCOS 36

Definiciones:

4. < < < <

5. < >

Sea: { a ; b ; c } IR

“a” es no positivo a 0

“a” es no negativo a 0

a b a < b a = b

a b c a b b c

a b b a

TEOREMAS FUNDAMENTALES

T2: > >

T5: < >

a 0 ; a IR , n Z+

a b a ± m b ± m

a b m > 0 am > bm

a/m > b/m

a b m < 0 am < bm

a/m < b/m

a b 1/a 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

Importante:

+ + > >

Sea:ax bx c 0 ; a 0

b – 4ac2

Álgebra

37 SAN MARCOS

Inecuación....

Polinomial

De primer grado

De segundo grado

De grado superior

Fraccionaria

Irracional

Exponencial

Logarítmica

Trigonométrica

ax b 0+

ax bx c 02+ +

grado mayoro igual a 3

P(x) 0Q(x)

n P(x) 0

log x 4 22 – <

bP(x) Q(x)

Sen x Cosx 0,52 + >

Se aplica el criterio de lospuntos críticos.Importante:

Si: P(x) Q(x) 0Q(x) Si: b 1 bx by x y

Si: 0 b 1 bx b

< < < >

S1: Si:

P(x) P(x) 0S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos.Luego el C.S. es: S1 S2

Álgebra

SAN MARCOS 38

corte en "y"

corte en "x"GRÁFICA DEUNA FUNCIÓN

Intersección con losejes coordenados.

Extensión de la Función

Dominio y Rango

discusiónde la curva

Funciones

Dos pares ordenados nopueden tener el mismoprimer elemento.

Si: (a;b) (a;c) f b c

DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}

RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}

Álgebra

Definición

a; si : a 0a

–a; si : a 0

= • |a| 0

• |a| = |–a|

• |ab| = |a||b|

a a ; b 0b b

Ecuaciones con valor absoluto

|x| = 0 x = 0;

x a a 0 x a x –a = = =

|x| = |a| x = a x = –a |x| a (a 0) –a x a

a x –a

|x| |y| (x + y)(x – y) 0

Inecuaciones con valor absoluto

• a2 = |a|2

• 2a a=

• |a + b| |a| + |b|

Propiedades

39 SAN MARCOS

BINOMIO DE NEWTON

En el desarrollo de:

N° de términos n 1= +(x a)+ n

En el desarrollo de:

Coeficientes se obtendrá

si: x a 1

(x a)+ n

En el desarrollo de:(x+a)n

de izquierda a derecha:

T =c x ak+1nk

n–k k

En el desarrollo de: (x+a)n

(x a)+ n = c x an n–k k

n x; a 0n Z

c c c ... c 2+ + + + = nn n n n0 1 2 n

n 1 2+

n 1 2+ + 1

Si “n” par

Si “n” impar

T T 1c = +n2

1er Tc =

=2do Tc(p+q)n(n+1) 2

En el desarrollo de: (x a )p q n+

T =c x ak+1n k n–k k

“K 1” el lugar+

y = xy

F(x) xDom(F) [0;Ran(F) [0;

F(x) x (n par)Dom(F)Ran(F) [0;

= n ==

F(x) x (n impar)Dom(F)Ran(F)

= n ==

1. Función constante 2. Función lineal

4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental

Funciones especiales

y = |x|

F(x) |x|=Dom(F)Ran(F) [0;

3. Función valor absoluto

pendiente

Álgebra

SAN MARCOS 40

1. Definición

xalog b x a b= =

2. Antilogaritmo

a alog b x b antilog x= =

3. Consecuencias

(a,b , a 1)

alog 1 0= ; alog a 1= ;

alog b a b= ;

a alog b log c b c= =

4. Propiedades

a a alog (xy) log x + log y= ;

a a ab log log b – log cc

1 colog b log – log bb

ca alog b = c log b ;

aam log b log bn

log b log b

log a= ;

a b alog b . log c log c=

5. Ecuación exponencial

x aa b x log b= =

6. Ecuación logaritmica

a alog f(x) log g(x) f(x) g(x)= =

7. Inecuación exponencial7.1.

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

8. Inecuación logaritmica

a aSi a>1; f(x)>g(x)>0

log f(x) log g(x)Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)

Álgebra

41 SAN MARCOS

NÚMEROS COMPLEJOS CN MEROS REALES IR

N MEROS IMAGINARIOS II

formado por

z a bi= +

Eje real

Eje imaginario

Tenemos:

z = a bi+

DEFINICIONES

Dado el complejo: z a biComplejo conjugado: a biComplejo opuesto: z* a bi

= –z –

POTENCIAS DE “i”

i i i N = 4k+r = rRepresentación gráfica

Módulo de “z”

Argumento de “z”

|z|cos

|z|sen

Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=z |z|cis=

Resultado importantesTeoremasT1: |z| | | |z*|

T2: |z| z.

(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n ) n =

de De Moivre

(1 i) = 2i2

(1 i) = –4+ 4

1 i1 i

|z| = a + b22

i 1= –

Álgebra

SAN MARCOS 42

Geometría

43 SAN MARCOS

Mediana relativa a la hipotenusa

Si BM es la mediana relativa a la

hipotenusa

BM = AM = MC

T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz

T. de los Puntos Medios

Geometría

SAN MARCOS 44

1. ABCD es un paralelogramo

2. Si ABCD es un paralelogramo

5. Si ABCD es un cuadrado

6. Si ABCD es un cuadrado

Geometría

45 SAN MARCOS

Geometría

SAN MARCOS 46

Geometría

47 SAN MARCOS

Geometría

SAN MARCOS 48

x = ab2

En todo trapecio(M y N puntos de tangencia)

2 1 1x a b

m.n.p = x.y.z

x.y.z = a.b.c

Geometría

49 SAN MARCOS

a2 = c.m h2 = m.n

a.b= c.h a2 + b2 = c2

b2 = c.n

1 1 1x R r

2x a b

a b m n

x 2 Rr

3 3 32 2 2a b c

3h abc

Geometría

SAN MARCOS 50

ABC A mn

ABC A p.r

a b cp2

ABCabc A4R

S abmn

ABC AS

Geometría

51 SAN MARCOS

• Círculo: • Sector Circular

2R S360

• Corona Circular

Geometría

SAN MARCOS 52

Teorema de Euler

C V A 2

Donde:

C: N.° caras V: N.° vértices A: N.° aristas

Ángulo diedro

Notación:

diedro AB (d–AB)

Elementos:

* Arista: AB *Caras: P y Q

* Plano: MON

m(diedro AB) = m MON =

iedro recto o

planos

perpendiculares

Si: MN AB MN P

Tetraedro regular

C = 4; V = 4; A = 6

2T A a 3 ;

3a V 212

Hexaedro regular

C = 6; V = 8; A = 12

2T A 6 a ; 3 V a

Octaedro regular

C = 8; V = 6; A = 12

2T A 2a 3 ;

3a 2 V3

Geometría

53 SAN MARCOS

Fórmulas

1. V B.h

2. LPerímetro de

A .h la base

3. T L A A 2B

Fórmulas1. 2 V r g

2. L A 2 rg

3. T A 2 r(g r)

Cílindro rectoPrisma recto

Pirámide regular Cono recto

Fórmulas

2. Lsemiperímetro

A .Ap de la base

3. T L A A B

Fórmulas

1.2r h

2. L A rg

3. T A r(g r)

2 2 2 Ap h ap 2 2 2 g h r

Geometría

SAN MARCOS 54

Esfera Fórmulas:

1. 34 V R

2. 2T A 4 R

Polígonos regulares En todo polígono

equiángulo:

Fórmulas

Sm 180 (n 2)

eSm 360

N°Diagonales: ND

Dn(n 3)

Fórmulas

:medidadelángulocentral

i1180 (n 2)

Fórmulas

(n 2)180n

Geometría

55 SAN MARCOS

Circunferencia

L 2 R =

Círculo

A R = 2

Longitud de Arco

0 < < 2

SECTOR CIRCULAR

SistemaSexagesimal

Unidad (1°)

1°<>60’ 1’<>60’’

SistemaCentesimal

Unidad (1g)

= 400g

1 <>100

SistemaRadial

Unidad (1 rad)

=2 rad

223,1416 7

SISTEMAS ANGULARES

=360°

S C R 180 200

=2 rad

+ 3 2 10

Trigonometría

SAN MARCOS 56

Área de Sector Circular

S = 1 LR 2

1S . R =

Trigonometría

57 SAN MARCOS

2 k k 3

Razones Recíprocas

Sen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1

Razones

complementarias

Sen A = Cos CTan A = Cot CSec A = Csc C

m A m C 90 =

Teorema de Pitágoras

ABC (recto en B)a2 + c2 = b2

CatetoOpuestoSenAHipotenusa

Cateto AdyacenteCosAHipotenusa

CatetoOpuestoTanA Cateto Adyacente

CatetoAdyacenteCotACatetoOpuesto

HipotenusaSecACateto Adyacente

HipotenusaCsc ACatetoOpuesto

Trigonometría

SAN MARCOS 58

Datos generales

• Lado (a)

• Ángulo (

Relaciónfundamental

lo que quiero R.T.lo que tengo

RazonesTrigonométricas

C.O. C.A.Sen CosH H

C.O.TanC.A.

Área de regióntriangular

abS Sen

Cálculo de Sen

2SSenab

Primer caso Segundo caso Tercer caso

Trigonometría

59 SAN MARCOS

1 2 1 2x x y y,

mA nBPm n

G: Baricentro

A B CG3

a a a; a 0

a a; a 0 2a a

2 1 2 1D x x y y

Trigonometría

SAN MARCOS 60

ECUACIÓN DE LA RECTA

D. Rectas perpendiculares

= –1 2m m 1

1 2L L

C. Rectas paralelas

1 2m m=

1 2L //L

E. Ecuaciones

1. Forma General.

L: Ax + By + C = 02. L: y = mx + b

A Pendiente de la recta

m Tan =

y – ym

x – x=

B. Ángulo de inclinación de larecta

Trigonometría

61 SAN MARCOS

a = a; a > 0a = –a; a < 00 = 0

m C = 90ºn, n

su lado finalcoincide con los

semi ejes.SenCsc

TanCot

ParaTodas

CosSec

x: abscisay: ordenadar: radio vecto r

r = x + y ; r > 02 2

y(x,y)

Sen Csc

Cos Sec

Tan Cot

Trigonometría

SAN MARCOS 62

R.T.(90 )= CoR.T.( )

R.T(270 )=

R.T.(180º )= R.T.( )

R.T(360º )=

Sen(– ) = –Sen

Tan(– ) = –Tan

Cos(– )= Cos

Cos Cos 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Sec Sec 0

Sen Sen 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Csc Csc 0

R.T.(360ºK + )= R.T.( )

R.T(2K + )=

0º <K Z

Cot(– ) = –Cot

Csc(– ) = –Csc

Sec(– )= Sec

R.T. (2n) R.T.(0)=

Trigonometría

63 SAN MARCOS

Trigonometría

SAN MARCOS 64

I . P i t a g ó r i c a s

I . R e c í p r o c a s

p o r D i v i s i ó n

e n t i d a d e s A u x i l i a r e s

S e n x

C o s x

S e n x

C o s x

S e n x

T a n x

S e c x

T a n x

S e c x

T a n x

C o t x

C s c x

C o t x

C s c x

C o t x

S e n x C s c x

S e n x

C s c x

S e n x

C o s x S e c x

C o s x

S e c x

C o s x

T a n x

C o t x

T a n x

S e n x

C o s x

S e n x

T a n x C o s x

C o t x S e n x

S e n x +

2 S e n x C o s

( S e n x

2 S e n x C o s

S e n x

1 C o s x

C o s x

S e n x

S e n x +

3 S e n x C o s

S e c x T a n x

S e c x

T a n x

S e c x +

S e c x C o s

x + C o s

S e n x ) ( 1

T a n x +

S e c x C s c

S e n x C

C o s x

1 S e n x

S e n x

C o s x

C s c x C o t x

C s c x

C o t x

I D E N T I D A D E S T

R I G O N O M É T R I C A S

Trigonometría

65 SAN MARCOS

Sen(x y) SenxCosy CosxSeny

Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

Tanx TanyTan(x y) 1 TanxTany

Si x y z (2n –1) ; n Z2

anxTany TanxTanz TanyTanz 1

Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz

Si x y z n ; n Z

CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1

anx Tany Tanz TanxTanyTanz

Trigonometría

SAN MARCOS 66

Cos + Cot=

Seno del doble

Coseno del doble

Tangente del doble:

Seno de la mitad

Ángulos doble y Ángulos mitad I

Coseno de la mitad

Fórmula racionalizada

Tangente de la mitad

Sen2 = 2Sen Cos

Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2

Sen2 = Cos Sen2 2 –

Cos2 = 2Cos 12 –

Cos2 = 1 2Sen – 2

Tan2 = 2Tan1–Tan

Sen2 = 2Tan1+Tan

Cos2 = 1 – Tan1+Tan

a ba b

a>b2Tan

1+Tan2

(1 Cos ) – Cos 2

(1 Cos )+

Csc – Cot

1 + Cos2 = 2Cos2

1 – Cos2 = 2Sen2

1 – Cos

Trigonometría

67 SAN MARCOS

Ángulo mitad Ángulo triple

xCot Cscx Cotx2xTan Cscx – Cotx2

3Sen3x 3Senx – 4Sen x

Sen3x Senx 2Cos2x 1

Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

IdentidadAuxiliarx x

Cot Tan 2Cscx2 2x xCot – Tan 2Cotx2 2

3Cos3x 4Cos x – 3Cosx

Cos3x Cosx 2Cos2x – 1

Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x

1 CosxxCot2 1 – Cosx

1 – CosxxTan2 1 Cosx

Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

3Tanx – Tan xTan3x1 – 3Tan x

' 36°

Trigonometría

SAN MARCOS 68

I. Suna o diferencia a producto

Observación:

A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen2 2

II. Producto a suma o diferencia

Observación:2SenxSeny=Cos(x –y) –Cos(x+y)

2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)

x y2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y) –2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)

A B A – BSenA SenB 2Sen Cos2 2

A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen2 2 A B

A B A – BCosA CosB 2Cos Cos2 2

A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen2 2

Propiedades

Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0

3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )23Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )2

9Sen (x –120 ) Sen x Sen (x 120 )8

9Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 ) 8

Si x y z 180°yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos

2 2 2yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1

Trigonometría

69 SAN MARCOS

Propiedades

ArcSen(–x) –ArcSenx ArcCos(–x) – ArcCosx ArcTan(–x) –ArcTanx

x D ArcC ot(–x) – ArcCotx ArcSec(–x) – ArcSecx ArcCsc(–x) –ArcCscx

Sen(ArcSenx) x

Cos(ArcCosx) xTan(ArcTanx) x

x DC ot(ArcCotx) xSec(ArcSecx) x

Csc(ArcCscx) x

ArcSen(Seny) y ArcCos(Cosy) y ArcTan(Tany) y

y D ArcC ot(Coty) y ArcSec(Secy) y ArcCsc(Cscy) y

Función Función Dominio (x) Rango (y)Inversa Directa

ArcSenx = y Seny = x [ –1; 1] – ;2 2

ArcCosx = y Cosy = x [ –1; 1] 0;

ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2

ArcCotx = y Coty = x R 0;

ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1

0; –2

ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1

– ; – 02 2

Trigonometría

SAN MARCOS 70

TEMA 10

R.T. (2K ) R.T.(0)

R.T. (4K 1) R.T.2 2

R.T. (2K –1) R.T.( )

3R.T. (4K – 1) R.T.2 2

Solución general

K (–1) Vp( )

Vp ArcSen(a)

Signos de la RT

Reducción al primercuadrante (I)

R.T.(90° ó 270° )= CoR.T.( )

R.T.(180° ó 360° )

= R.T.( )

Solución general

Cos a2K Vp( )

Vp ArcCos(a)

( x Z)

Reducción al primercuadrante (II)

R.T.(360°k+ )=R.T.( )R.T.(2K + )=R.T.( )

Solución general

Tan aK Vp( )

Vp ArcTan(a)

Ángulos cuadrantales

(4K 1)2

(2K 1)

(4K 1)

Trigonometría

71 SAN MARCOS

bCosA c - bCosAH B A

Ley de Cosenos

ABC : se cumple

2 2 2a b c 2bcCosA

2 2 2b a c 2acCosB

2 2 2c a b 2abCosC

Ley de Cosenos

ABC : se cumple2 2 2b c aCosA

2 2 2a c bCosB2ac

2 2 2a b cCosC2ab

Ley de Proyecciones

ABC : se cumple

+ bCosA = c

aCosC + cCosA = b

bCosc + cCosB = a

Ley de Senos

ABC : se cumple

a b c 2R SenA SenB SenC

R: circunradio

Ley de Senos

ABC : se cumple

a = 2R SenA

b = 2R SenB

c = 2R SenC

Ley de Senos

ABC : se cumple

aSenA2R

= bSenB AB2R

cSenC2R

= R: circunradio

Ley de Senos

R: circunradio

Ley de Senos

Trigonometría

SAN MARCOS 72

Movimiento Rectilíneo Uniforme

d v.t.=

Observación

– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación

Km 5 m=

h 18 s

; si es necesario

– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro

y tiempo de alcance son sólo para MRU.

– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los

movimientos son simultáneos.

Encuentro:

dt V V=

Alcance:

dt V – V=

Física

SAN MARCOS 74

Propiedades movimiento completo (subida y bajada)

Elementos y ecuaciones del MVCL

Donde:• v0: velocidad inicial (m/s).• vF: velocidad final (m/s).• g: aceleración de la

gravedad (m/s2).• h: altura (m).

• t: tiempo (s).

• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.

C(V 0)

• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual quela rapidez de bajada.

B D(V V ) ; A E(V V )

• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que eltiempo de bajada.

AB DEt t ; BC CDt t ; AC CEt t

Nota: * se deduce del punto "3"

isub baj

1. h = v0t

12 gt2

2. h =

3. vF = v0 gt

4. vF2 = v0

2 2 gh

gravedad (m/s2).

Física

75 SAN MARCOS

Medida de la interacción entre dos cuerpos

Peso (W)

Por contacto

FUERZA

A distancia

Fuerza elástica

F = KxE

Otros:- Tensión- Reacción normal

- Fricción

• Primera condición de equilibrio: M 0

• Segunda condición de equilibrio: M 0

• Mo

ANTIHORARIO HORARIO

Física

SAN MARCOS 76

Las componentes de las fuerzas (eje x)en dirección del movimiento, cumplen lasegunda ley.Donde:F =R

Fuerzasa favor de “a” –

Fuerzasen contra de “a”

1° Realizar un DCL.2° Descomponer las fuerzas en las ejes

del movimiento y del equilibrio.3° Aplicar la 2da ley de Newton en el

eje de movimiento.

Dinámica lineal

( ) ( )

Dinámica Circular

1. Segunda Ley de Newton: FR am

2. R F ( F a favor de a ) – ( F en contra de a)

3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.

4. cp cpF ma

Va W R R

Segunda Ley de Newton:

Física

81 SAN MARCOS

x ASen(wt)=

V WACos(wt)=

2a W ASen(wt)= –

2a w x=

máx V WA=

2w 2 f

1 k f 2 m

máxa w A=

Física

83 SAN MARCOS

CARACTERÍSTICAS GENERALES DELOS NÚMEROS CUÁNTICOS

Valorespermitidos

Númerocuántico

Determina para el

electrón orbital

Principal(n)

Secundarioo

azimutal( )l

Magnético(m )

SpinMagnético

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

K L M N O P Q (Capas)

El nivelprincipal de

energía

El tamañoo volumen

La formageométrica

Suorientación

espacial

no tienesignificado

l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)

s p d f

máximovalor

El subnivelde energía

El orbital oREEMPE

El sentido

de rotación

om = , ..., 0, ... +l l l

m = + , ..., 0, ... –l

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel sedefine con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón quedadefinido con n, , m y m .

– – –

Antihorario Horario

1m = +1/2s

1m = –1/2s

Química

SAN MARCOS 84

CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

ordenamiento sistemático de loselectrones en la zona extra nuclear

se basa en

permite

según

ejemplo

16S = Ne 3s 3p 2 4

23 V = Ar 4s 3d 2 3

según Kernel

principio de aufbau

distribuir a través de lossubniveles

el orden creciente de laenergía relativa (E )R

9F: 1s 2s 2p52 2

Er: 1 2 3

16S = s 2s 2 2 6 2 42p 3s 3p

23 V = s 2s 2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d

1selectrón n l ml ms

1 0 ms

permite

estableciendoque

ejemplos

en un átomo doselectrones no puedentener sus 4 números

cuánticos iguales

principio de exclusiónde Pauli

Distribuir a travésde un orbital

permite

para ello

ejemplos

distribuir a través de losorbitales de un subnivel

a todos los orbitales seles deja a medio llenar

antes de llenarlo

a todos los orbitales seles deja a medio llenar

antes de llenarlo

2s 2p x 2p y 2pz

16S: [Ne]:

3p x 3p y 3pz

Todos sus electronesapareados

uno o más electronesdesapareados

diamagnético paramagnético

si posee

será será

Química

85 SAN MARCOS

TABLA PERIÓDICA ACTUAL

en función de

instrumento del ordenamientosistemático de los elementos

sus números atómicos crecientes

clasificación

Según las propiedadesde los elementos por bloques

según la

distribuciónelectrónica

elementos

representativos

elementosde transición

en subniveless y/o p

en subnivelesd y/o f

finalizan

Conductividadeléctrica

pueden ser

ejemplos

buena regular mala

metal mateloide no metal

- Fe- Cu- Ag- Pb- Au

- B- Si- Ge- As- Sb

- C- H- O- N- S

periodos

horizontalmente

grupos

en columnas

ordena a los elementos

poseen poseen

igual númerode niveles ocapas

igual númerode electrones

de valencia

presentan

propiedadesquímicasdiferentes

propiedadesquímicassimilares

tradicionalmente

existen 7 periodos y16 grupos

según IUPAC

existen 7 periodos y18 grupos

Química

SAN MARCOS 86

p r o p i e d a d e s s u b m i c r o s c ó p i c a s d e l o s e l e m e n t o s q u e

v a r í a n e n f o r m a r e g u l a r e n

u n p e r i o d o o g r u p o y p e r m i t e n e x p l i c a r s u s p r o p i e

d a d e s f í s i c a s y q u í m i c a s .

c a s o s g e n e r

a l e s

e s l a

p a r a á t o m o s

i o n i z a d o s

R a d i o a t ó m i c o ( R A )

m i t a d d e l a d i s t a n c i a

e n t r e l o s n ú c l e o s

d e d o s á t o m o s

a d y a c e n t e s

e s e l

A f i n i d a d e l e c t r ó n i c a ( A E )

s e e m p l e a a l r a d i o i ó n i c

q u e s e d e f i n e e n f o r m a

a n á l o g a a l r a d i o a t ó m i c o

e n e s p e c i e

i s o e l e c t r ó n i c

r e l a c i ó n

i n v e r s a

e s u n

c a m b i o d e e n e r g í a

q u e s e

p r o d u c e c u a n d o u n

á t o m o

e n e s t a d o g a s e o s o

a c e p t a

u n e l e c t r ó n p a r a f o r

m a r u n

a n i ó n

g e n e r a l m e n t e

e s u n p r o c e s o e x o t é r m i c o

r e p r e s

e n t a c i ó n

+ e – – – x

c a s o s e s p e c i a l e s

p a r a e l e m e n t o s d e l

g r u p o

V I I A

a n i ó n

c a s o s e s p e c i a l e s

p r o c e s o e n d o t é r m

E l e c t r o n e g a t i v i d a d ( E N )

e s e l

c a p a c i d a d d

á t o m o p a r a

a t r a e r

e l e c t r o n e s h a c i a s u

n ú c l e o d e

e n l a c e q u í m i c o

m e t á l i c o s p o s e e n

b a j a e l e c t r o n e g

a t i v i d a d

( p i e r d e n

e ) –

a l t o c a r á c t e r m

e t á l i c o

o e l e c t r o p o s

i t i v o s

n o m e t á l i c o s

t i e n e n

e l e c t r o n e g a

t i v o s

E n e r g í a d e i o n i z a c i ó n

( E I )

e s l a

e n e r g í a m í n i m a n e c e s a r i a

p a r a q u i t a r u n e l e c t r ó n

ú l t i m o n i v e l d e u n á t o m o

a i s l a d o y f o r m a r u n c a t i ó n

P r o c e s o

e n d o t é r m i c o

+ E l – x

E l < E l < E l < . . . .

P R O P I E D A

D E S P E R I Ó D I C A S

A T Ó M I C A S

Química

SAN MARCOS 88

UNIDADES QUÍMICA DE MASA

Molécula Átomo

n = =mmA

# átomosN A

n = =m

# átomosN A

N = 6,023 x 10 A23 m: masa

Unidades fórmula

n = =m

PF# unidades

fórmula

P.F.: peso fórmula

Química

91 SAN MARCOS

Contracción volumétrica (C.V.):

Reactivo limitante (RL):Reactante que se consume totalmente.

Reactivo en exceso (RE):Reactante que se consume parcialmente.

Porcentaje de pureza:

cantidadsust.pura%Pureza .100

cantidadmuestra

Rendimiento o eficiencia de lareacción (RR)

CR RR .100%CT

Regla práctica de planteo de

problemas estequioméetricos

Regla: coef x M coef. coef x 22,4 Lcoef x NA coef x NA x subíndice

Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo

Química

SAN MARCOS 96

H I D R O C A R B U R O S

- p e t r ó l e o

- g a s n a t u

- h u l l a

C o m p u e s t o s b i n a r i o s

f o r m

c a r b o n o e

h i d r ó g e n o

C o m o

c o m b u s t i b l e ,

d i s o l v e n t e y m a t e r i a p r i m a

p a r a l a p e t r o q u í m i c a

f u e n t e s d

o b l e a c i ó n n a t u r a l e s

c l a s i f

i c a c i ó n

e j e m

u s o s

A l i f á t i c o s

A r o m á t i c o s

- b e n c e n o

- n a f t a l e

- a n t r a c e n o

( C H ) 6

c í c l i c o s

S a t u r a d o s

I n s a t u r a d o s

A l i c í c l i c o s

C i c l o a l c a n o s

C i c l o a l q u e n o s

f ó r m u l a g l o b a l

e j e m p l o

2 n – 2

- c i c l o p r o p a n o

- c i c l o b u t a n o

- c i c l o p e n t a n o

- c i c l o p r o p e n o

- c i c l o b u t e n o

- c i c l o p e n t e n o

A l c a n o s o

p a r a f í n i c o s

2 n + 2

- m e t a n o ( C H

- e t a n o ( C H

- p r o p a n o ( C H

f ó r

m u l a g l o b a l

e j e m p l o

A l q u e n o s u

l e f í n i c o s

A l q u i n o s o

a c e t i l é n i c o s

2 n – 2

- e t e n o ( C H )

- p r o p e n o ( C H )

t e n o ( C H )

- e t i n o ( C H

- p r o p i n o ( C H )

- b u t i n o ( C

Química

97 SAN MARCOS

Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2

átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcionalimportante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenossufren la mayoría de las reacciones.

Ejemplos:

ALQUENOS U OLEFINAS

ALQUINOS O ACETILENICOSSon hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructurapresenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupofuncional (enlace triple) poseen hibridación sp.

átomos de carbono con hibridación sp2)

Química

SAN MARCOS 100

M i n e r a l e

sHematita Fe2O3

Limonita Fe2O3 + 3.H2OMagnetita Fe2O3.FeO

Siderita FeCO3

Pirita FeS

Métodos mecánicos(concentra el

mineral)

Trituración, molienda, pulverizado – Tamización –Levigación (oro) Flotación (sulfuros)

Métodos Químicos(mineral

concentrado)

TostaciónCalcinaciónReducción

de sulfuro a óxido con corriente de aire de CO3

= a óxido en ausencia de aire óxidos + C = CO2 + metal

Electrólisis Húmeda (Na)Seca (Na, K, Mg, Al)

P r e p a r a c i ó n d e l m

i n e r a l

Electrometalúrgicos(mineral

concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción

Química

Formulario de matematicas full

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ... · Formulario 102A. Anexo 12. Formulario SRI-GP. Anexo 13. Formulario 104. Anexo 14. Formulario 104A. Anexo 15. Formulario

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