Formulario de matematicas full

7/25/2019 Formulario de matematicas full

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ESQUEMAS - FORMULARIOS



4



E

F

S Q U E

M A S -

O R

M U L A R I O S

P

S

M

a m e r

A N

A R

C O S

P

S

M

a m e r

A N

A R

C O S





RAZ. MATEMÁTICORazonamiento Lógico ........................ 8

Orden de información .......................9

Planteo de ecuaciones -

Edades ............................................ 10

Operaciones matemáticas ............... 11

Sucesiones ................................... 12

Series ........................................... 13

Ecuaciones diofánticas...................... 14

Análisis combinatorio ...................... 15

Máximos y Mínimos ......................... 16

ARITMÉTICA

Razón - Proporción - Promedios .......... 17

Magnitudes proporcionales .............. 18

Teoría de Conjuntos - Operaciones

entre conjuntos ............................. 19

Numeración ................................... 20

Adición y Sustracción ...................... 22

Multiplicación y División - Teoría

de la Divisibilidad............................ 23

Criterios de la divisibilidad ............... 24

Números Primos ............................. 25

MCD y MCM .................................. 26

Números racionales Q - Tanto

por ciento ..................................... 27

Interés Simple - Mezclas .................. 28

ÁLGEBRA

Ecuaciones lineales ........................ 29

Principales productos notables ......... 30

Ecuación cuadrática ....................... 31

Polinomios - Teoría de exponentes .... 32

Sistema de Ecuaciones .................... 33

División de Polinomios - Factorización ... 34

Teoría de Ecuaciones ........................ 35

Inecuaciones I ............................... 36

Inecuaciones II ............................. 37

Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38

Binomio de Newton ........................ 39

Logaritmos .................................... 40

Números complejos ........................ 41

ÍNDICE GENERAL



GEOMETRÍA

Triángulos ..................................... 42

Congruencia de triángulos ............... 43

Cuadriláteros ................................ 44

Circunferencia ............................... 46

Proporcionalidad y semejanza

de triángulos ................................ 48

Relaciones métricas ........................ 49 Áreas triángulares ......................... 50

Áreas cuadrangulares -

Área ci rcu lar .............................. 51

Geometría del espacio y poliedros

regulares ..................................... 52

Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53

Esfera y teorema de Pappus Guldin -

Polígonos y Poliedros regulares ........ 54

TRIGONOMETRÍA

Sistemas angulares - Sector circular ..... 55

Razones trigonométricas de

ángulos agudos ............................. 57

Resolución de triángulos rectángulos ... 58

Geometría analítica ........................ 59

Ecuación de la recta ....................... 60

Razones trigonométricas de un

ángulo en posición normal ............... 61

Reducción al primer cuadrante......... 62

Circunferencia trigonométrica .......... 63

Identidades trigonométricas ............ 64

Identidades de ángulos compuestos ..... 65

Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66

Ángu los mi tad II y ángulo triple -

Triángulos rectángulos notables ....... 67

Transformaciones trigonométricas ..... 68

Funciones trigonométricas inversas .... 69

Ecuaciones trigonométricas ............. 70

Resolución de triángulos ................. 71

FÍSICA

Cinemática MRU - MRUV.................. 72

Caída libre - Movimiento

en dos dimensiones ....................... 74

Movimiento circular - Fuerza

Estática ........................................ 75

Dinámica - Rozamiento.................... 76

Trabajo - Potencia mecánica

Energía Mecánica ........................... 77

Hidrostática - Electrostática ............ 78



Electrodinámica.............................. 79

Electromagnetismo - Física

moderna....................................... 80

Movimiento armónico simple ............. 81

QUÍMICA

Átomo .......................................... 82

Características generales de los

números cuánticos ......................... 83

Configuración electrónica ................ 84

Tabla Periódica Actual ..................... 85

Propiedades periódicas atómicas ...... 86

Enlace químico ............................... 87

Unidades químicas de masa ............. 88

Estado gaseoso ............................. 89

Soluciones .................................... 90

Estequiometría .............................. 91

Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92

Electroquímica ................................ 93

Química Orgánica ........................... 94

Cíclicos y aromáticos ...................... 95

Hidrocarburos ............................... 96

Alquenos u olefinas - Alquinos

o acetilénicos ................................ 97

Alquenino - Oxigenados

y nitrogenados .............................. 98

Metalurgia y petróleo ..................... 99

Contaminación ambiental ................ 100



SAN MARCOS 8

ESQUEMA - FORMULARIO

Raz. Matemático

1 4 c u a d r a

d o s

3 c u a d r a d o s

R A Z O N A M

I E N T O L Ó G I C O

y o

H e r m a n o (

a )

A b u e l o

p a t e r n o

A b u e l a

p a t e r n a

R e l a c i o n e s d e p a r e n t e s c o

P a d r e

M a d r e

A b u e l o

m a t e r n o

A b u e l a

m

a t e r n a

E j e r c i c i o s c o n c e r i l l o s

b

c

a

s

s

s

1

4

9

2

3

5

7

8

6

1 5 1 5 1 5 1 5 1 5

1 5

1 5 1 5

3 S = 1 + 2 + 3 + . . . 9 + a + b + c

s e

r e p i t e n

D i s t r i b u c i o n e s m

á g i c a s

N o r m a l e s

R e l a c i o

n e s t e m p o r a l e s

H a c e 3 d

í a s

: - 3

A n t e a y e r

: - 2

A y e r

: - 1

H o y

: 0

M a ñ a n a

: + 1

P a s a d o m

a ñ a n a

: + 2

D e n t r o d

e 3 d í a s

: + 3

P r i n c i p i o d e s u p o s i c i ó n

C o n t r a d i c c i ó n :

R e a f i r m a c i ó n :

V V F

F F F V

V ( 1 ) ( 2 )

( 1 ) ( 2 )

J u a n : C a r l o s f u e e l c u

l p a b l e

C a r l o s : J u a n e s t á m i n

t i e n d o

P e d r o : F u e R o d r i g o

H u g o : P e d r o t i e n e r a z ó n

E j e r c i c i o s c o n p e l e a s

C o

n c o r r e a s p a r a l e l a s

J u n t a s

: : : :

C o

n c o r r e a s c r u z a d a s

U n

i d a s p o r u n e j e

: H o r a r i o

: A n t i h o r a r i o



9 SAN MARCOS


( O R D E N

D E I N F O R M A C I

Ó N )

A B C

x x

x

x x

x

1

2

3

H u g o

P a c o

L u i s

L i m a

T a c n a

P i u r a

I n g e n i e r o

M é d i c o

P r o f e s o r

T e s t d e d e c i s i o n e s

C u a d r o d e d e s c a r t e :

D e f o r m a d i r e c t a :

O r d e n a m i e n t o c i r c u l a r

A B

H

E

C F

D

G

I z q u i e r d a

( h o r a r i o )

D e r e c h o

( a n t i h

o r a r i o )

O r d

e n a m i e n t o l i n e a l

C r e c i e n t e D e c r e c i e n t e

L a t e r a l

• A e s m a y o r q u e B

• B n o e s m e n

o r q u e C

• C e s m a y o r q u e D

• D e s m e n o r q u e E

I z q u i e r d a

O e s t e

S i n i e s t r a

D e r e

c h a

E s t e D i e s t r a

A B C D

E

M a y o r

M e n o r

Raz. Matemático



SAN MARCOS 10


• A excede a B en 10 unidades• El doble, de un número disminuido en 3 unidades.• El doble de un número, disminuido em 3 unidades.• A es por dos veces B

• A es dos veces más que B

A B 10 – =

Lenguaje Literal(Enunciado) Traducción Lenguaje Matemático

(Ecuaciones)

2(x 3)

2x 3

–

–

A 2B

A B 2B A 3 B

=

= +=

Con dos o más sujetos

DaniellaMelanie

Pas Pre Fut

a d ec b f • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a c d d e f • La suma en aspa da el mismo resultado: a b c d d f b e a f c e

– –= = –

+ = ++ = ++ = +

ImportanteCaso 1: Año nacimiento edad año en curso• Si la persona ya cumplió años en el año en curso.

+ =

Caso 2:

Nota:

Año nacimiento edad = año en curso 1• Si la persona todavía no cumple años en el año en curso.

Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

+ –

Raz. Matemático



11 SAN MARCOS


+

X

Materia prima

Botones

Producto terminado

Proceso de producciónOperación matemática

Máquina

Adición

Sustracción

División

Números ResultadoOperadores

a b 3a 5b 4* = + +Definición

..........................................

a b 3(b a ) a* = * +2 2

Si x x 1= +

5 =mSe resuelve de

............... hacia ..............

Se resuelve de

............... hacia ..............m =5

Definición

..........................................

Explícita

Implícita

adentro afuera

afuera adentro

Raz. Matemático



SAN MARCOS 12


S U C E S I O N E S

L i t e r a l e s

S e c o n s i d e r a n 2 7

l e t r a s

d e l a b e c e d a r i o ( N

o s e

c o n s i d e r a C h , n i L

l )

S u c

e s i o n e s

a r i t m é t i c a ( L i n e a l )

r : r a z ó n a r i t m é t i c a

r

r

r

* p a r a u n a c a n

t i d a d i m p a r d e

t é r m i n o s e n

l a s u c e s i ó n .

S u c e s i o n e s

N o t a b l e s

S u c e s i ó n

G e o m é t r i c a

q : r a z ó n a r i t m é t i c a

× q

* P a r a u n a s u c e s i ó n c o n u n a

c a n t i d a d i m p

a r d e t é r m i n o .

× q × q P

r o d u

c t o d e e x t r e m o s

*

D e 2 º O r d e n

C =

4 ; 1 0 ; 1 8 ; 2 8 ; 4 0 ;

. . .

0

A + B = 4

6

8

1 0

1 2

2

2

2

2

C

t 1 t 2

t 3

t 4

t 5

Raz. Matemático



13 SAN MARCOS


Raz. Matemático



SAN MARCOS 14


ECUACIONES DIOFÁNTICAS

MULTIPLICIDAD1. Si N es múltiplo de n

Si N = N nk; k n

n

: se lee múltiplo de nEjemplo:

Si N= 5

N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)

Si N = 8

N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}

2. Si N no es múltiplo de n

d eN n r ó N n r

donde: d er r n

dr : residuo por defecto

er : residuo por exceso

Ejemplo:

20 no es múltiplo de 6 (20 6 )

20 6 18 3

2 20 6 24 4 -4

20 6 2 20 6 4

Donde: 2 + 4 =6

Aplicación:

Si N 9 3 N 9 6

Si N 12 1 N 12 11

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. o o o o o

n n n n = n

Ejemplo:

• 8 8 8 8

• 15 15 15 15 15

2. o o on+n = n

Ejemplo:

• 7 7 7

• 14 14 14

3.o

k n= n;k Z

Ejemplo:

• 2 7 7

• 0 10 10

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Sea A x B =on

o oSi A n B = n

o oSi B n A = n

Ejemplo:

4x 5

4 5 x 5

Raz. Matemático



15 SAN MARCOS


P r i n c i p i o d e C o n t e o

• • P a r a e v e n t o s i n d e p e n -

d i e n t e s

A d i t i v o ( o )

:

P a r a e v e n t o s d e d e p e n -

d i e n t e s , s i m u l t á n e o s .

M u l t i p l i c a t

i v o ( y ) :

C o m b i n a c i ó n ( a g r u p a r )

P r o p i e d a d e s :

n !

k ! ( n

k ) !

C n k =

•

=

C

C

n k

n n

k

F a c t o

r i a l d e u n n ú m e r o

n ! = 1 2

3

4

. . . n

0 ! = 1

n ! = n ( n

1 ) !

×

×

×

×

A

N Á L I S I S

C O M

B I N A T O R I O

P e r m u t a c i ó n ( O r d e n a r )

P e r m u t a c i ó n

L i n e a l

P = n

!

n

E j e m p l o :

5 a m i g o s e n 5 a s i e n t o s

P =

5 ! = 1 2 0

5

P e r m u t a c i ó n d e “ n ”

e l e m e n t o s t

o m a d o s

d e “ k ” e n

“ k ”

E j e m p l o :

5 a m i g o s e n 2 a s i e n t o s

P

= n k

n

!

( n

k ) !

P e r m u t a c i ó

n c o n

r e p e t i c i ó n

P e r m u t a c i ó n

c i r c u l a r

P R

=

n a ; b ; c ; . . .

E j e m p l o :

n !

a ! b ! c ! . . .

2

3

1

P R

=

6 2 ; 3 ; 1

6 !

2 ! 3 ! 1 !

P

= ( n

1 ) !

c ( n )

E j e m p l o :

6 a m i g o s e n

u n a

m e s a c i r c u l a

r

P

= 5 !

c ( 6 )

P

=

= 2 0

5 2

5 ! 3 !

Raz. Matemático



SAN MARCOS 16


Problemas sobre certeza

Casosdesfavorables

:Número deextraciones

Casosfavorables

+

Lo que no

quiero quesalga

Lo que

pide elproblema

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Otras situaciones

• Si: a + b = K

(a.b) = .máx

K 2

K 2

• Si: a × b = K

(a+b) =mín K K +

• Si: a > 0

a + > 21a

x > 02

• Si: × = IR

Expresiones algebraicasde 2do grado

E(x) = Ax + Bx + C2

A > 0 EMÍN

A > 0 EMÁX X = 2A

Raz. Matemático



17 SAN MARCOS


Aritmética



SAN MARCOS 18


Propiedades

• A IP B A DP

• A DP B (C cte)

A IP C (B cte)

1B

A x CB

= cte

A IP B

a1

b1

a2

b2

= k

Valor “B”

Valor “A”

HipérbolaEquilátera

Gráfica:

a1

a2

b1 b2

a1 a2b1 b2 = k =. .

MAGNITUDES

PROPORCIONALES

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A DP B

Valor de A Valor de B

= Cte

Valor “B”

Valor “A”

LíneaRecta

Gráfica:

b2b1

a1

a2

Valorde A

Constante

Valorde B

f(x) = K x

A DP B

Valorde B

Valor

de A

Constante

f(x) = xk

A IP B

IPDP

=

• A DP B A IP 1B

Aritmética



19 SAN MARCOS


1 2 3 n

elementos

A a ;a ;a ;.......;a

i j

donde:a a

i, j

• Cardinal = n(A) = n

• N° subconjuntos = 2n(A) = 2n

• N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS

No A A o BB A

A B

A B

Unión (U): Complemento ( (A)):

Solo ADiferencia (–):

A y BIntersección ( ):

A B

Sólo A o sólo B

DiferenciaSimétrica (A):

A

Aritmética



SAN MARCOS 20


a b c d

a n

b n

c . n

d

n =

+

+

+

3

2

N U

M E R A C I Ó N

1 . D e s c o m p o s i c

i ó n

p o l i n ó m i c a :

2 . D e s c o m p o s i c

i ó n

p o r b l o q u e s :

3 . C a m b i o s d e b a s e :

3 . 1

D e b a s e

" n " a b a s e 1 0

1 .

D e s c o m p o s i c i ó n

p o l i n ó m i c a

2 . R u f f i n i

E j e m p l o : 2 4 3 ( 5 )

2 4 3 5

=

7 3

3 . 2 . D e b a s e 1 0 a b a s e " n "

( D i v i s i o n e s s u c e s i v a s )

E j e m p l o : 2 4 3 a b a s e 7

2 4 3 =

4 6 5 ( 7 )

3 . 3 . D e b a s e " n " a b a s e " m "

( n

1 0 ; m

1 0 )

4 .

a b c d e

a n

b n

c n

d

n

e

(

n ) =

+

+

+

+

4

3

2

2

4

3

1 0

7 0

2

1 4

7 3

B a s e

1 0

5

+

+

S i : + a b

c ( n )_ =

– x y ( m ) +

C o m o

a b c

>

x y

n < m

B a s e n

B a s e 1 0

B a s e m

1

2

D e s c o m p o s i c i ó n

D i v i s i o n e s

P o l i n ó

m i c a

S u c e s i v a s

2 4 3

7

3 3

3 4

7

5

6

4

a b a b

a b . 1 0 0

a b

=

+ 2

n

n

n

a b a b

a b

n

a b

=

+

3

n

n

n

a b c a b c

a b c

n

a b c

=

+

Aritmética



21 SAN MARCOS


Números capicúas

1a 1b 1c = a + b + c + d + e + x

1d 1e x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS

n

BASES SUCESIVAS

k

k cifras

(n –1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n –1 =

121; 3553; 27372; abccba

Aritmética



SAN MARCOS 22


I. ADICIÓNa + + c +...+ z = S

Sumandos Sumatotal

Progresión aritmética

Sea:

an = a1 + (n – 1)r

n 1a – an 1

r ;

n: Número de términos

n 1n

a aS n

2

;

Sn: Suma de términos

Sumas notables

•n(n 1)

1 2 3 ... n2+

+ + + +

• 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)• 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

• 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n(n 1) (2n 1)6+ +

• 13 + 23 + 33 + ... + n3 =2n(n 1)

2

+

• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 =

na – 1a – 1

II. SUSTRACCIÓN

M – S = D

Propiedades:

• 2M = M + S + D

• (n) (n)ab – ba = (n)xy

x y n – 1 =+

donde n 3 y a b

• (n) (n)abc – cba = (n)xyz

x z n – 1 =+

y = n – 1

donde: n 3; a c

• abcd – dcba xyzw=

donde: a > d

x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético

• (b) (b)bk 1 cifras

CA(N ) 100...00 – N

=

Si N tiene k cifras

• (n)CA(abcd ) =

n( n –1–a ) ( n–1–b ) ( n–1–c ) ( n–d )

Aritmética



23 SAN MARCOS


*

o

A B B(k)= =Se dice:- A es múltiplo de B- A es divisible entre B- A dividido entre B da residuo cero

*o o on n n+ =

*o o on – n n=

*o o o on(k) n k nk

= = =

*o o

k (n) n=

*o o o o

(n a)(n b)(n c) n a.b.c+ + + +=

*o o

k k (n r) n r+ +=

*o o

k k (n– r) n r+= , k: par

*o o

k k (n – r) n– r= , k: impar

*

o

Oo

o

N a

N b N MCM(a,b,c)

N c

=

= =

=

*

o

Oo

o

N a r

N b r N MCM(a,b,c) r

N c r

+

+ +

+

=

= =

=

Aritmética



SAN MARCOS 24


• Por 2 o o oabcde 2 e. Si e 2 abcde 2= = =+

• Por 4o o o

abcde 4 de. Si de 4 abcde 4= = =+

• Por 8o o o

abcde 8 cde. Si cde 8 abcde 8= = =+

• Por 5

o o o

abcde 5 e. Si e 5 abcde 5= = =+

• Por 25o o o

abcde 25 de. Si de 25 abcde 25= = =+

• Por 125o o o

abcde 125 cde. Si cde 125 abcde 125= = =

• Por 3o o o

E

abcde 3 a b c d e. Si E 3 abcde 3= = =+ + + + +

• Por 9o o o

Eabcde 9 a b c d e. Si E 9 abcde 9= = =+ + + + +

• Por 11 abcde+-+-+

o o o

E11 e – d c – b a. Si E 11 abcde 11= = =+ + +

• Por 13

abcde fgh31431431- + - +

o o o

E13– 3a b 4c 3d – e – 4f – 3g h. Si E 13 abcdefgh 13= = =+ + + +

• Por 7

abcde fgh31231231+ - +

o o o

E

7 3a b – 2c – 3d – e 2f 3g h. Si E 7 abcdefgh 7= = =+ + + + +

Aritmética



25 SAN MARCOS


• Por 33 a b cdeo o o

E33 a bc de. Si E 33 abcde 33= = =+ + +

• Por 99 a b cdeo o o

E99 a bc de. Si E 99 abcde 99= = =+ + +

• P or n 1enbase n

o o o

(n) (n)E

abcde (n 1) a b c d e. Si E=(n – 1) abcde (n –1) =

•P or n 1enbase n

a b c d e+ - + - +(n)

o o o

(n)E(n 1) e – d c – b a. Si E=(n 1) abcde (n 1)+ + + + + += =

• Dada la descomposición canonica del número N:

31 2 k 1 2 3 k N p p p ...p ...D.C. =

• Su cantidad de divisores se calcula como:

N 1 2 3 k CD ( 1)( 1)( 1)...( 1) = + + + +

Además:

N SIMPLES COMPUESTOSCD CD CD= +

• La suma de divisores se calcula como:

1 2 k 1 1 11 2 k

(N)1 2 k

p – 1 p – 1 p –1SD ...

p – 1 p – 1 p –1

=+ + +

Aritmética



SAN MARCOS 26


• La suma de inversas de divisores se calcula como:

(N)

(N)

SDSID

N=

• El producto de los divisores se calcula como:

(N)CD(N)PD N=

• El esquema del algoritmo de Euclides:

A B

Cocientes

Residuos

K MCD (A;B)

O

• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:

(A;B)

(A;B)

A p x k ; donde: p y q son PESI

B q x k MCD kMCM k x p x q

=

==

=

• Siempre se cumple que:

MCD(A;B) MCM(A;B) A B=

•n A n B n k MCM ;

m m m

= •n A n B n k MCD ;

m m m

=

Aritmética



27 SAN MARCOS


Clases de fracciones

• Propia • Común y ordinaria• Impropia • Decimal• Reductible • Homogénea• Irreductible • Heterogénea

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Fracción

Números enteros Z

Operacionescon tantopor ciento

Adición

Sustracción

Aumentos y descuentossucesivos

Aumento único

a ba b %100

= + +

Descuento

único

a ba b – %100

= +

Aplicacionescomerciales

Variaciónporcentual

Pventa = Pcosto + ganancia

Pventa = Pfijado – descuento

Pventa = Pcosto – pérdida

Pfijado = Pcosto + incremento

Variaciónporcentual

Aumento ódisminución

100%Cantidad

inicial

=

Aritmética



SAN MARCOS 28


M C I= +

r% y t en las mismas unidades

I C r% t

M = C (1 + r% t)

=

INTERÉS SIMPLE

medioCosto total

P =Peso total

Grado

alcohólico

Alcohol 100%Total

=

aparente aparenteG = Pventa costoP = P + Ganancia

x L

a%

y L

b%

z L

c%

(x+y+z) L

d%+ + =

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)

Aritmética



29 SAN MARCOS


Álgebra



SAN MARCOS 30


( a

b ) = a

2 a b

b

+

±

±

2

2

2

( a

b )

( a

b )

2 ( a

b )

( a

b )

( a

b )

4 a b

+

+

–

=

+

+

–

–

=

2

2

2

2

2

2

( a

b ) ( a

b

)

a

b

+

–

=

– 2

2

( a

b ) ( a

a b

b )

a

b

( a

b ) ( a

a b

b )

a

b

+

–

+

=

+

–

+

+

=

–

2

2

3

3

2

2

3

3

( a

b )

a

b

3 a b ( a

b )

( a

b )

a

3 a b

3 a b

b

±

=

±

±

±

±

=

±

+

±

3

3

3

3

3

2

2

3

( x

a ) ( x

b )

x

( a

b ) x

a b

+

+

=

+

+

+

2

( a

b

c )

a

b

c

2 ( a b

a c

b c )

+

+

=

+

+

+

+

+

2

2

2

2

S i : a

b

c

0 . S e v

e r i f i c a q u e :

a

b

c

3 a b c

a

b

c

2 ( a

b

a c

b c )

+

+

=

+

+

=

+

+

= –

+

+

3

3

3

2

2

2

• • ( x

x y

y

) ( x

x

y

y

)

x

x

y

y

2 n

n

m

2 m

2 n

n

m

2 m

4 n

2 n

2 m

4 m

+

+

–

+

=

+

+

( x

x y

y ) ( x

x y

y )

x

x y

y

2

2

2

2

4

2

2

4

+

+

–

+

=

+

+

( a

b

c )

a

b

c

3 ( a

b ) ( a

c ) ( b

c )

+

+

=

+

+

+

+

+

+

3

3

3

3

a

b

c

3 a b c

( a

b

c ) [ a

b

c

( a b

b c

c a ) ]

3

3

3

2

2

2

+

+

–

=

+

+

+

+

–

+

+ A R G A N ’ D

G A U S S

P R I N C I P A L E S P R O D U C T O S N O T A B L E

S

6 7 8 9 1

0

5 4 3 2 1

Álgebra



31 SAN MARCOS


Análisis de las raíces

Si: D 0

Si: D 0

Si: D 0

>

=

<

•

•

•

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Forma

Fórmula

ax bx c 0 ; a 0

xb b 4ac

2a

2

2

+ + =

= – –

2 raíces IR diferentes x1 x2

2 raíces IR iguales x =x1 2

2 raíces ICconjugadas

Recordar:

(x x ) (x x ) 4x .x1 22

1 22

1 2+ – – =

suma:0b 0=x; x – producto:1

a c=x;1/x

c 0= b 0 ; c 0= =

a b cm n p

= =

Discriminante

D = b – 4ac2

x x b a1 2+ =–

x x c a1 2. =

x x ?? 1 2 – =

Propiedades de las raíces

Si: ax + bx + c = 0

(opuestas) (inversas)

x – Sx + P = 0

Si: ax + bx + c = 0

mx + nx + p = 0

2

2

2

2

Raíces simétricas Raíces recíprocas

Una raíz nula Dos raíces nulas

Reconstrucción de una ecuación cuadrática

Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales)

Álgebra



SAN MARCOS 32


Recordar las definiciones Recordar los teoremas

na a.a.a...a ;"n factores de a"

= n

0a 1 ; a 0=

n –n

n1 1a ; a 0

aa

= =

mn nm/n ma a a= =

m–nmm n m nn

aa .a a ; aa

= =+

m n m.n n n nn ma a a ; (a.b) a b= = =

n n n n nn

a a ; a.b a. bb b

= =

n n m nmnn

a a ; a ab b

= =

nk nmk ma a=

Monomio

Definición

Términos Semejantes

Grado Relativo

Grado Absoluto

Definición

Grado Absoluto

Grado Relativo

Clasificación

Polinomio

Ordenado

Completo

Homogéneo

Idénticos

Idénticamente nulo

Racional EnteraEXPRESIÓN ALGEBRAICA

Álgebra



33 SAN MARCOS


tienen solución

no tienensolución

soluciones finitas

a b c

a b c1 1 1

2 2 2

= =

a b ca b c

1 1 1

2 2 2=

a b

a b1 1

2 2

x

yE1

E2

x

y E1

E2

x

y E1 E2

(x ;y )0 0

E E1 2 //

E E1 2

Ecuación Compatible

Indeterminada

Ecuación Incompatible

Determinada

E : a x b y c

E : a x b y c1 1 1 1

2 2 2 2

+ =

+ =

Por su Solución

SISTEMA DE ECUACIONES

Álgebra



SAN MARCOS 34


Criterios de factorización

FACTORIZACIÓN

Criterio delfactor común y/oagrupación

Criteriodelas

identidades

Criteriodelaspa

simple

Criteriodel

aspadoble

Criteriode los

divisoresbinomios

Criteriodel aspadoble

especial

Álgebra



35 SAN MARCOS


* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0.

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a= + + + + =0; na 0 , también se puede escribir

n 1 2 3 na (x – r )(x – r )(x – r )...(x – r ) 0=

donde 1 2 3 nr , r , r ,..., r raíces de la ecuación.

* Si: m n p1 2 3P(x) (x – r ) (x – r ) (x – r ) 0= =

Entonces:

r1 es una raíz de multiplicidad mr2 es una raíz de multiplicidad nr3 es una raíz de multiplicidad p

* Teorema de Cardano - Viette

n–11 2 3 n

n

ar r r ... r –

a=+ + + + "Suma de raíces"

n–21 2 1 3 n–1 n

n

ar .r r .r ... r .r

a

+ + + = "Suma de productos Binarios"

n 01 2 3 n

n

ar .r .r .....r (–1)

a= "Producto de raíces"

* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a b+ ,

la otra es a – b .

* Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es i+ ,

entonces la otra es – i .

* n n–1 n–2(x) n n–1 n–2 0P a x a x a x ... a 0= =+ + + + por cada cambio de signo es una

raíz positiva.

* n n–1(–x) n n–1 0P a (–x) a (–x) ... a 0= =+ + + por cada cambio de signo es una raíz

negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra



SAN MARCOS 36


Definiciones:

1.

2.

3.

4. < < < <

5. < >

Sea: { a ; b ; c } IR

“a” es no positivo a 0

“a” es no negativo a 0

a b a < b a = b

a b c a b b c

a b b a

TEOREMAS FUNDAMENTALES

T1:

T2: > >

T3: >

T4: >

T5: < >

a 0 ; a IR , n Z+

a b a ± m b ± m

a b m > 0 am > bm

a/m > b/m

a b m < 0 am < bm

a/m < b/m

a b 1/a 1/b

( a y b tienen el mismo signo)

2n

Importante:

+ + > >

Sea:ax bx c 0 ; a 0

x IR

2

b – 4ac2

Álgebra



37 SAN MARCOS


Inecuación....

Polinomial

De primer grado

De segundo grado

De grado superior

Fraccionaria

Irracional

Exponencial

Logarítmica

Trigonométrica

C

B

A

ax b 0+

ax bx c 02+ +

a 0

grado mayoro igual a 3

P(x) 0Q(x)

n P(x) 0

log x 4 22 – <

b

bP(x) Q(x)

Sen x Cosx 0,52 + >

><

><

><

><

>

<

Se aplica el criterio de lospuntos críticos.Importante:

Si: P(x) Q(x) 0Q(x) Si: b 1 bx by x y

Si: 0 b 1 bx b

y x y

> > >

< < < >

S1: Si:

P(x) P(x) 0S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos.Luego el C.S. es: S1 S2

2n

A

B

C

Álgebra



SAN MARCOS 38


corte en "y"

corte en "x"GRÁFICA DEUNA FUNCIÓN

Intersección con losejes coordenados.

Extensión de la Función

x=0

y=0

Dominio y Rango

discusiónde la curva

Funciones

Dos pares ordenados nopueden tener el mismoprimer elemento.

Si: (a;b) (a;c) f b c

DOMINIO Domf={x A/ y B (x;y) f}

RANGO Ranf={y B/ x A (x;y) f}

Álgebra

Definición

a; si : a 0a

–a; si : a 0

= • |a| 0

• |a| = |–a|

• |ab| = |a||b|

•

a a ; b 0b b

=

Ecuaciones con valor absoluto

|x| = 0 x = 0;

x a a 0 x a x –a = = =

|x| = |a| x = a x = –a |x| a (a 0) –a x a

|x|

a x

a x –a

|x| |y| (x + y)(x – y) 0

Inecuaciones con valor absoluto

• a2 = |a|2

• 2a a=

• |a + b| |a| + |b|

a;b

Propiedades



39 SAN MARCOS


BINOMIO DE NEWTON

En el desarrollo de:

N° de términos n 1= +(x a)+ n

En el desarrollo de:

Coeficientes se obtendrá

si: x a 1

(x a)+ n

= =

En el desarrollo de:(x+a)n

de izquierda a derecha:

T =c x ak+1nk

n–k k

En el desarrollo de: (x+a)n

(x a)+ n = c x an n–k k

k=0

n x; a 0n Z

c c c ... c 2+ + + + = nn n n n0 1 2 n

n 1 2+

n 1 2+ + 1

Si “n” par

Si “n” impar

T T 1c = +n2

1er Tc =

=2do Tc(p+q)n(n+1) 2

En el desarrollo de: (x a )p q n+

T =c x ak+1n k n–k k

“K 1” el lugar+

x

y = xy

F(x) xDom(F) [0;Ran(F) [0;

==

=

x

y=x2y

x

y=x3y

F(x) x (n par)Dom(F)Ran(F) [0;

= n ==

= IR

F(x) x (n impar)Dom(F)Ran(F)

= n ==

=IR

IR

1. Función constante 2. Función lineal

4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental

Funciones especiales

x

y = |x|

y

F(x) |x|=Dom(F)Ran(F) [0;

==

IR

3. Función valor absoluto

pendiente

Álgebra



SAN MARCOS 40


1. Definición

xalog b x a b= =

2. Antilogaritmo

a alog b x b antilog x= =

3. Consecuencias

(a,b , a 1)

alog 1 0= ; alog a 1= ;

alog b a b= ;

a alog b log c b c= =

4. Propiedades

a a alog (xy) log x + log y= ;

a a ab log log b – log cc

= ;

a a a

1 colog b log – log bb

= = ;

ca alog b = c log b ;

nm

aam log b log bn

= ;

ca

c

log b log b

log a= ;

a b alog b . log c log c=

5. Ecuación exponencial

x aa b x log b= =

6. Ecuación logaritmica

a alog f(x) log g(x) f(x) g(x)= =

7. Inecuación exponencial7.1.

xc cx

xc c

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

7.2.

xc cx

xc c

log a log b,si: c>1a b

log a log b,si: 0<c<1

8. Inecuación logaritmica

a aSi a>1; f(x)>g(x)>0

log f(x) log g(x)Si 0<a<1; 0<f(x)<g(x)

Álgebra



41 SAN MARCOS


NÚMEROS COMPLEJOS CN MEROS REALES IR

N MEROS IMAGINARIOS II

formado por

z a bi= +

Eje real

Eje imaginario

Tenemos:

z = a bi+

|z|

DEFINICIONES

Dado el complejo: z a biComplejo conjugado: a biComplejo opuesto: z* a bi

= +=

= –z –

–

b

a

i = i

i = 1

i = i

i = 1

i = i

i = 1

1

2

3

4

5

6

–

–

–

POTENCIAS DE “i”

i i i N = 4k+r = rRepresentación gráfica

Módulo de “z”

Argumento de “z”

|z|cos

|z|sen

Forma Trigonométrica de “z”: z iS )+|z|(Cos en=z |z|cis=

Resultado importantesTeoremasT1: |z| | | |z*|

T2: |z| z.

T3:

= =

=

z

z2

(Cos + iSen ) Cos(n ) + iSen(n ) n =

de De Moivre

(1 i) = 2i2

(1 i) = –4+ 4

1 i1 i

+ –

= i

|z| = a + b22

i 1= –

Álgebra



SAN MARCOS 42


1.

2.

3.

5.

4.

Geometría



43 SAN MARCOS


Mediana relativa a la hipotenusa

Si BM es la mediana relativa a la

hipotenusa

BM = AM = MC

T. de la Bisectriz T. de la Mediatriz

T. de los Puntos Medios

Geometría



SAN MARCOS 44


1. ABCD es un paralelogramo

2. Si ABCD es un paralelogramo



5. Si ABCD es un cuadrado

6. Si ABCD es un cuadrado

Geometría



45 SAN MARCOS


Geometría



SAN MARCOS 46


Geometría



47 SAN MARCOS


Geometría



SAN MARCOS 48


a

b

x

y

=

(1)

(2)

(3)

(4)

ab

xy

=

x = ab2

x =ab

a + b

ab

x

ab

x

En todo trapecio(M y N puntos de tangencia)

2 1 1x a b

= +

(5)

a b

yx

A

N

C

M

B

D

x

b

a

yx

ab

(6)

z p

xn

my

m.n.p = x.y.z

(7)

a

x b

y

cz

x.y.z = a.b.c

Geometría



49 SAN MARCOS


(1)

a2 = c.m h2 = m.n

a.b= c.h a2 + b2 = c2

b2 = c.n

(2)

1 1 1x R r

(3)

2x a b

a b m n

a b m n

(4)

x 2 Rr

3 3 32 2 2a b c

3h abc

Geometría



SAN MARCOS 50


ABC A mn

ABC A p.r

a b cp2

ABCabc A4R

S abmn

ABC AS

4

A

B

CS

Geometría



51 SAN MARCOS


• Círculo: • Sector Circular

2

2

S R

dS4

2R S360

• Corona Circular

Geometría



SAN MARCOS 52


Teorema de Euler

C V A 2

Donde:

C: N.° caras V: N.° vértices A: N.° aristas

Ángulo diedro

Notación:

diedro AB (d–AB)

Elementos:

* Arista: AB *Caras: P y Q

* Plano: MON

m(diedro AB) = m MON =

iedro recto o

planos

perpendiculares

P Q

Si: MN AB MN P

MN Q

Tetraedro regular

C = 4; V = 4; A = 6

2T A a 3 ;

3a V 212

a 6h3

Hexaedro regular

C = 6; V = 8; A = 12

2T A 6 a ; 3 V a

d a 3

Octaedro regular

C = 8; V = 6; A = 12

2T A 2a 3 ;

3a 2 V3

D a 2

Geometría



53 SAN MARCOS


h

BO

ap

g gh

r

g

r B

h

B

B

B

h

Fórmulas

1. V B.h

2. LPerímetro de

A .h la base

3. T L A A 2B

Fórmulas1. 2 V r g

2. L A 2 rg

3. T A 2 r(g r)

Cílindro rectoPrisma recto

Pirámide regular Cono recto

Fórmulas

1.Bh

V3

2. Lsemiperímetro

A .Ap de la base

3. T L A A B

Fórmulas

1.2r h

V3

2. L A rg

3. T A r(g r)

2 2 2 Ap h ap 2 2 2 g h r

Geometría



SAN MARCOS 54


Esfera Fórmulas:

1. 34 V R

3

2. 2T A 4 R

Polígonos regulares En todo polígono

equiángulo:

Fórmulas

i

Sm 180 (n 2)

eSm 360

N°Diagonales: ND

Dn(n 3)

N2

Fórmulas

c

c

:medidadelángulocentral

360n

i1180 (n 2)

mn

e1360

mn

Fórmulas

(n 2)180n

360n

Geometría



55 SAN MARCOS


Circunferencia

R

L 2 R =

Círculo

A R = 2

Longitud de Arco

R

R

R

0 < < 2

SECTOR CIRCULAR

R

SistemaSexagesimal

Unidad (1°)

1°<>60’ 1’<>60’’

m

SistemaCentesimal

Unidad (1g)

= 400g

1 <>100

1 <>100

g m

m s

SCR

SistemaRadial

S

C

R

S

9

C R

10= =

20

Unidad (1 rad)

=2 rad

223,1416 7

SISTEMAS ANGULARES

=360°

S C R 180 200

= =

=2 rad

+ 3 2 10

m m

m

Trigonometría



SAN MARCOS 56


Área de Sector Circular

R

R

S

-

-

S = 1 LR 2

L

-

-

L

S= L2

2

R

R

S

-

-

22

1S . R =

Trigonometría



57 SAN MARCOS


60º

2 k k 3

k

Razones Recíprocas

Sen A Csc A = 1Cos A Sec A = 1Tan A Cot A = 1

Razones

complementarias

Sen A = Cos CTan A = Cot CSec A = Csc C

m A m C 90 =

Teorema de Pitágoras

ABC (recto en B)a2 + c2 = b2

=

=

=

=

=

=

CatetoOpuestoSenAHipotenusa

Cateto AdyacenteCosAHipotenusa

CatetoOpuestoTanA Cateto Adyacente

CatetoAdyacenteCotACatetoOpuesto

HipotenusaSecACateto Adyacente

HipotenusaCsc ACatetoOpuesto

Trigonometría



SAN MARCOS 58


Datos generales

• Lado (a)

• Ángulo (

)

Relaciónfundamental

lo que quiero R.T.lo que tengo

RazonesTrigonométricas

C.O. C.A.Sen CosH H

C.O.TanC.A.

= =

=

Área de regióntriangular

abS Sen

2

=

Cálculo de Sen

2SSenab

=

Primer caso Segundo caso Tercer caso

Trigonometría



59 SAN MARCOS


1 2 1 2x x y y,

2 2

P A

Bmk

nk

mA nBPm n

3. 4.

G: Baricentro

A B CG3

a a a; a 0

a a; a 0 2a a

5. 6.

2 2

2 1 2 1D x x y y

1. 2.

Trigonometría



SAN MARCOS 60


ECUACIÓN DE LA RECTA

D. Rectas perpendiculares

= –1 2m m 1

1 2L L

C. Rectas paralelas

1 2m m=

1 2L //L

E. Ecuaciones

1. Forma General.

L: Ax + By + C = 02. L: y = mx + b

A Pendiente de la recta

m Tan =

2 1

2 1

y – ym

x – x=

B. Ángulo de inclinación de larecta

Trigonometría



61 SAN MARCOS


a = a; a > 0a = –a; a < 00 = 0

m C = 90ºn, n

x

su lado finalcoincide con los

semi ejes.SenCsc

TanCot

ParaTodas

CosSec

x: abscisay: ordenadar: radio vecto r

r = x + y ; r > 02 2

y(x,y)

r

x

Sen Csc

Cos Sec

Tan Cot

Trigonometría



SAN MARCOS 62


R.T.(90 )= CoR.T.( )

R.T(270 )=

0º <

R.T.(180º )= R.T.( )

R.T(360º )=

0º <

Sen(– ) = –Sen

Tan(– ) = –Tan

Cos(– )= Cos

Si:

Cos Cos 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Sec Sec 0

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

Si: 2

Sen Sen 0

Tan Tan 0

Cot Cot 0

Csc Csc 0

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

R.T.(360ºK + )= R.T.( )

R.T(2K + )=

0º <K Z

Cot(– ) = –Cot

Csc(– ) = –Csc

Sec(– )= Sec

R.T. (2n) R.T.(0)=

Trigonometría



63 SAN MARCOS


Trigonometría



SAN MARCOS 64


I . P i t a g ó r i c a s

I . R e c í p r o c a s

I .

p o r D i v i s i ó n

I d

e n t i d a d e s A u x i l i a r e s

S e n x

C o s x

1

2

2

+

=

S e n x

1

C o s x

2

2

=

–

C o s x

1

S e n x

2

2

=

–

1

T a n x

S e c x

+

=

2

2

T a n x

S e c x

1

2

2

=

–

1

S e c x

T a n x

=

–

2

2

1

C o t x

C s c x

+

=

2

2

C o t x

C s c x

1

2

2

=

–

1

C s c x

C o t x

=

–

2

2

S e n x C s c x

1

=

S e n x

1

C s c x

=

C s c x

1

S e n x

=

C o s x S e c x

1

=

C o s x

1

S e c x

=

S e c x

1

C o s x

=

T a n x

1

C o t x

=

C o t x

1

T a n x

=

T

a n x

S e n x

C o s x

=

C

o t x

C o s x

S e n x

=

S e

n x

T a n x C o s x

=

C o

s x

C o t x S e n x

=

S e n x +

C o s

1

2 S e n x C o s

4

2

=

–

4

2

x

x

( S e n x

C o s

1

2 S e n x C o s

=

x )

x

2

S e n x

1 C o s x

1

C o s x

S e n x

=

S e n x +

C o s

1

3 S e n x C o s

6

2

=

–

6

2

x

x

1

S e c x T a n x

S e c x

T a n x

=

S e c x +

C o s

S e c x C o s

2

2

=

2

2

x

x

( 1

S e n

x + C o s

2 ( 1

S e n x ) ( 1

C o s

=

x )

x )

2

T a n x +

C o t

S e c x C s c

= x

x

1

S e n x C

o s x

=

C o s x

1 S e n x

1

S e n x

C o s x

=

1

C s c x C o t x

C s c x

C o t x

=

I D E N T I D A D E S T

R I G O N O M É T R I C A S

Trigonometría



65 SAN MARCOS


Sen(x y) SenxCosy CosxSeny

Cos(x y) CosxCosy SenxSeny

Tanx TanyTan(x y) 1 TanxTany

=

=

=

Si x y z (2n –1) ; n Z2

anxTany TanxTanz TanyTanz 1

Cotx Coty Cotz CotzCotyCotz

+ +

+ + +

+ +

=

=

Si x y z n ; n Z

CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1

anx Tany Tanz TanxTanyTanz

+ +

+ +

+ +

=

=

=

Trigonometría



SAN MARCOS 66


Cos + Cot=

Seno del doble

Coseno del doble

Tangente del doble:

Seno de la mitad

12

Ángulos doble y Ángulos mitad I

Coseno de la mitad

12

Fórmula racionalizada

Tangente de la mitad

=

Tan2

Sen2 = 2Sen Cos

Sen 2 = 4Sen Cos2 2 2

Sen2 = Cos Sen2 2 –

Cos2 = 2Cos 12 –

Cos2 = 1 2Sen – 2

Tan2 = 2Tan1–Tan

Sen2 = 2Tan1+Tan

Cos2 = 1 – Tan1+Tan

2

2

a ba b

+ –

x b=

x

a

b

a>b2Tan

1+Tan2

Sen 2

(1 Cos ) – Cos 2

(1 Cos )+

Cot 2

Tan 2

Csc – Cot

1 + Cos2 = 2Cos2

1 – Cos2 = 2Sen2

1 – Cos

Trigonometría



67 SAN MARCOS


Ángulo mitad Ángulo triple

xCot Cscx Cotx2xTan Cscx – Cotx2

=

=

+

3Sen3x 3Senx – 4Sen x

Sen3x Senx 2Cos2x 1

Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

IdentidadAuxiliarx x

Cot Tan 2Cscx2 2x xCot – Tan 2Cotx2 2

=

=

+

3Cos3x 4Cos x – 3Cosx

Cos3x Cosx 2Cos2x – 1

Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x

+

1 CosxxCot2 1 – Cosx

1 – CosxxTan2 1 Cosx

+

+

=

=

3

2

Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

3Tanx – Tan xTan3x1 – 3Tan x

'

' 36°

Trigonometría



SAN MARCOS 68


I. Suna o diferencia a producto

Observación:

A B A – BCosB – CosA 2Sen Sen2 2

= +

II. Producto a suma o diferencia

Observación:2SenxSeny=Cos(x –y) –Cos(x+y)

2SenxCosy Sen(x y) Sen(x – y)2CosxSeny Sen(x y) – Sen(x – y)

x y2CosxCosy Cos(x y) Cos(x – y) –2SenxSeny Cos(x y) – Cos(x – y)

=

=

=

=

+ +

+

+ +

+

A B A – BSenA SenB 2Sen Cos2 2

A B A – BSenA – SenB 2Cos Sen2 2 A B

A B A – BCosA CosB 2Cos Cos2 2

A B A – BCosA – CosB –2Sen Sen2 2

=

=

=

=

+

+

++

+

Propiedades

Sen(x – 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0Cos(x – 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0

=

=

+ + +

+ + +

2 2 2

2 2 2

3Sen (x – 120 ) Sen x Sen (x 120 )23Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 )2

=

=

+ + +

+ + +

4 4 4

4 4 4

9Sen (x –120 ) Sen x Sen (x 120 )8

9Cos (x – 120 ) Cos x Cos (x 120 ) 8

+ + +

+ + +

Si x y z 180°yx zSenx Seny Senz 4Cos Cos Cos

2 2 2yx zCosx Cosy Cosz 4Sen Sen Sen 1

2 2 2

+ +

+ +

+ + +

=

=

=

Trigonometría



69 SAN MARCOS


Propiedades

I)

f

ArcSen(–x) –ArcSenx ArcCos(–x) – ArcCosx ArcTan(–x) –ArcTanx

x D ArcC ot(–x) – ArcCotx ArcSec(–x) – ArcSecx ArcCsc(–x) –ArcCscx

=

=

=

=

=

=

II)

f

Sen(ArcSenx) x

Cos(ArcCosx) xTan(ArcTanx) x

x DC ot(ArcCotx) xSec(ArcSecx) x

Csc(ArcCscx) x

=

=

=

=

=

=

III)

f

ArcSen(Seny) y ArcCos(Cosy) y ArcTan(Tany) y

y D ArcC ot(Coty) y ArcSec(Secy) y ArcCsc(Cscy) y

=

=

=

=

=

=

Función Función Dominio (x) Rango (y)Inversa Directa

ArcSenx = y Seny = x [ –1; 1] – ;2 2

ArcCosx = y Cosy = x [ –1; 1] 0;

ArcTanx = y Tany = x R – ;2 2

ArcCotx = y Coty = x R 0;

ArcSecx = y Secy = x R – –1; 1

0; –2

ArcCscx = y Cscy = x R – –1; 1

– ; – 02 2

Trigonometría



SAN MARCOS 70


TEMA 10

R.T. (2K ) R.T.(0)

R.T. (4K 1) R.T.2 2

R.T. (2K –1) R.T.( )

3R.T. (4K – 1) R.T.2 2

=

=

=

=

+

Solución general

K G

Sen a

K (–1) Vp( )

Vp ArcSen(a)

=

=

=

+

Signos de la RT

Reducción al primercuadrante (I)

R.T.(90° ó 270° )= CoR.T.( )

R.T.(180° ó 360° )

= R.T.( )

0 90

Solución general

G

Cos a2K Vp( )

Vp ArcCos(a)

=

=

=

( x Z)

Reducción al primercuadrante (II)

R.T.(360°k+ )=R.T.( )R.T.(2K + )=R.T.( )

Solución general

G

Tan aK Vp( )

Vp ArcTan(a)

=

=

=

+

Ángulos cuadrantales

(4K 1)2

(2K 1)

(4K 1)

2

2K

x

y

Trigonometría



71 SAN MARCOS


b a

bSenA

bCosA c - bCosAH B A

C

c

Ley de Cosenos

ABC : se cumple

2 2 2a b c 2bcCosA

2 2 2b a c 2acCosB

2 2 2c a b 2abCosC

Ley de Cosenos

ABC : se cumple2 2 2b c aCosA

2bc

2 2 2a c bCosB2ac

2 2 2a b cCosC2ab

Ley de Proyecciones

ABC : se cumple

+ bCosA = c

aCosC + cCosA = b

bCosc + cCosB = a

Ley de Senos

ABC : se cumple

a b c 2R SenA SenB SenC

= = =

R: circunradio

Ley de Senos

ABC : se cumple

a = 2R SenA

b = 2R SenB

c = 2R SenC

Ley de Senos

ABC : se cumple

aSenA2R

= bSenB AB2R

=

cSenC2R

= R: circunradio

Ley de Senos

R: circunradio

Ley de Senos

Trigonometría

aCosB



SAN MARCOS 72


Movimiento Rectilíneo Uniforme

d v.t.=

Observación

– Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación

Km 5 m=

h 18 s

; si es necesario

– Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro

y tiempo de alcance son sólo para MRU.

– Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los

movimientos son simultáneos.

Encuentro:

e1 2

dt V V=

Alcance:

a1 2

dt V – V=

Física





SAN MARCOS 74


Propiedades movimiento completo (subida y bajada)

Elementos y ecuaciones del MVCL

Donde:• v0: velocidad inicial (m/s).• vF: velocidad final (m/s).• g: aceleración de la

gravedad (m/s2).• h: altura (m).

• t: tiempo (s).

• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero.

C(V 0)

• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual quela rapidez de bajada.

B D(V V ) ; A E(V V )

• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que eltiempo de bajada.

AB DEt t ; BC CDt t ; AC CEt t

Nota: * se deduce del punto "3"

isub baj

2i

máx

Vt t

g

VH

2g

1. h = v0t

12 gt2

2. h =

3. vF = v0 gt

4. vF2 = v0

2 2 gh

gravedad (m/s2).

Física



75 SAN MARCOS


Medida de la interacción entre dos cuerpos

Peso (W)

W mg=

Por contacto

FUERZA

A distancia

Fuerza elástica

F = KxE

Otros:- Tensión- Reacción normal

- Fricción

• Primera condición de equilibrio: M 0

=

• Segunda condición de equilibrio: M 0

=

• Mo

F Mo

F

ANTIHORARIO HORARIO

•

•

Física



SAN MARCOS 76


Las componentes de las fuerzas (eje x)en dirección del movimiento, cumplen lasegunda ley.Donde:F =R

Fuerzasa favor de “a” –

Fuerzasen contra de “a”

1° Realizar un DCL.2° Descomponer las fuerzas en las ejes

del movimiento y del equilibrio.3° Aplicar la 2da ley de Newton en el

eje de movimiento.

Dinámica lineal

( ) ( )

Dinámica Circular

1. Segunda Ley de Newton: FR am

2. R F ( F a favor de a ) – ( F en contra de a)

=

3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral.

4. cp cpF ma

5.2

2cp

Va W R R

= =

Segunda Ley de Newton:

Física











81 SAN MARCOS


x ASen(wt)=

V WACos(wt)=

2a W ASen(wt)= –

mT 2k

=

2a w x=

máx V WA=

2w 2 f

= =

1 k f 2 m

=

k wm

=

2

máxa w A=

Física





83 SAN MARCOS


CARACTERÍSTICAS GENERALES DELOS NÚMEROS CUÁNTICOS

Valorespermitidos

Númerocuántico

Determina para el

electrón orbital

Principal(n)

Secundarioo

azimutal( )l

Magnético(m )

l

SpinMagnético

(m )s

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

K L M N O P Q (Capas)

El nivelprincipal de

energía

El tamañoo volumen

La formageométrica

Suorientación

espacial

no tienesignificado

l = 0, 1, 2, 3, ...(n – 1)

s p d f

máximovalor

El subnivelde energía

El orbital oREEMPE

El sentido

de rotación

om = , ..., 0, ... +l l l

m = + , ..., 0, ... –l

l l

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel sedefine con los valores de n y , un orbital con n, y m y un electrón quedadefinido con n, , m y m .

l l

l

l

l s

– – –

Antihorario Horario

1m = +1/2s

1m = –1/2s

Química



SAN MARCOS 84


CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

ordenamiento sistemático de loselectrones en la zona extra nuclear

es el

se basa en

permite

según

ejemplo

otros

16S = Ne 3s 3p 2 4

23 V = Ar 4s 3d 2 3

según Kernel

principio de aufbau

distribuir a través de lossubniveles

el orden creciente de laenergía relativa (E )R

9F: 1s 2s 2p52 2

Er: 1 2 3

16S = s 2s 2 2 6 2 42p 3s 3p

23 V = s 2s 2 2 6 2 5 2 3 2p 3s 3p 4s 3d

2He:

1selectrón n l ml ms

1 0 ms

1 ms0

0

0

permite

estableciendoque

ejemplos

en un átomo doselectrones no puedentener sus 4 números

cuánticos iguales

principio de exclusiónde Pauli

Distribuir a travésde un orbital

permite

para ello

ejemplos

ejemplos

distribuir a través de losorbitales de un subnivel

a todos los orbitales seles deja a medio llenar

antes de llenarlo

a todos los orbitales seles deja a medio llenar

antes de llenarlo

gO:

1s

2s 2p x 2p y 2pz

16S: [Ne]:

3s

3p x 3p y 3pz

Todos sus electronesapareados

uno o más electronesdesapareados

diamagnético paramagnético

si posee

será será

Química



85 SAN MARCOS


TABLA PERIÓDICA ACTUAL

es un

en función de

instrumento del ordenamientosistemático de los elementos

sus números atómicos crecientes

clasificación

Según las propiedadesde los elementos por bloques

según la

para

distribuciónelectrónica

final

elementos

representativos

elementosde transición

en subniveless y/o p

en subnivelesd y/o f

finalizan

finalizan

Conductividadeléctrica

como

pueden ser

ejemplos

buena regular mala

metal mateloide no metal

- Fe- Cu- Ag- Pb- Au

- B- Si- Ge- As- Sb

- C- H- O- N- S

en

periodos

horizontalmente

grupos

en columnas

ordena a los elementos

poseen poseen

igual númerode niveles ocapas

igual númerode electrones

de valencia

presentan

propiedadesquímicasdiferentes

propiedadesquímicassimilares

tradicionalmente

existen 7 periodos y16 grupos

según IUPAC

existen 7 periodos y18 grupos

Química



SAN MARCOS 86


p r o p i e d a d e s s u b m i c r o s c ó p i c a s d e l o s e l e m e n t o s q u e

v a r í a n e n f o r m a r e g u l a r e n

u n p e r i o d o o g r u p o y p e r m i t e n e x p l i c a r s u s p r o p i e

d a d e s f í s i c a s y q u í m i c a s .

s o n

c a s o s g e n e r

a l e s

e s l a

p a r a á t o m o s

i o n i z a d o s

R a d i o a t ó m i c o ( R A )

m i t a d d e l a d i s t a n c i a

e n t r e l o s n ú c l e o s

d e d o s á t o m o s

a d y a c e n t e s

e s e l

A f i n i d a d e l e c t r ó n i c a ( A E )

s e e m p l e a a l r a d i o i ó n i c

o

q u e s e d e f i n e e n f o r m a

a n á l o g a a l r a d i o a t ó m i c o

e n e s p e c i e

s

i s o e l e c t r ó n i c

a s

R A

r e l a c i ó n

i n v e r s a

Z

e s u n

c a m b i o d e e n e r g í a

q u e s e

p r o d u c e c u a n d o u n

á t o m o

e n e s t a d o g a s e o s o

a c e p t a

u n e l e c t r ó n p a r a f o r

m a r u n

a n i ó n

g e n e r a l m e n t e

e s u n p r o c e s o e x o t é r m i c o

r e p r e s

e n t a c i ó n

x

+ e – – – x

+ A E

( g )

1 –

( g )

c a s o s e s p e c i a l e s

p a r a e l e m e n t o s d e l

g r u p o

I I A

y

V I I A

o

u n

a n i ó n

c a s o s e s p e c i a l e s

p r o c e s o e n d o t é r m

i c o

E l e c t r o n e g a t i v i d a d ( E N )

e s e l

c a p a c i d a d d

e u n

á t o m o p a r a

a t r a e r

e l e c t r o n e s h a c i a s u

n ú c l e o d e

u n

e n l a c e q u í m i c o

s o

n d e

m e t á l i c o s p o s e e n

b a j a e l e c t r o n e g

a t i v i d a d

( p i e r d e n

e ) –

a l t o c a r á c t e r m

e t á l i c o

o e l e c t r o p o s

i t i v o s

n o m e t á l i c o s

t i e n e n

e l e c t r o n e g a

t i v o s

s o

n d e

E n e r g í a d e i o n i z a c i ó n

( E I )

e s l a

e n e r g í a m í n i m a n e c e s a r i a

p a r a q u i t a r u n e l e c t r ó n

d e l

ú l t i m o n i v e l d e u n á t o m o

a i s l a d o y f o r m a r u n c a t i ó n

P r o c e s o

e n d o t é r m i c o

x

+ E l – x

+ l e

( g )

+

–

( g )

E l < E l < E l < . . . .

1

3

2

P R O P I E D A

D E S P E R I Ó D I C A S

A T Ó M I C A S

Química





SAN MARCOS 88


UNIDADES QUÍMICA DE MASA

Molécula Átomo

n = =mmA

# átomosN A

n = =m

M

# átomosN A

N = 6,023 x 10 A23 m: masa

Unidades fórmula

n = =m

PF# unidades

fórmula

P.F.: peso fórmula

Química







91 SAN MARCOS


Contracción volumétrica (C.V.):

Reactivo limitante (RL):Reactante que se consume totalmente.

Reactivo en exceso (RE):Reactante que se consume parcialmente.

Porcentaje de pureza:

cantidadsust.pura%Pureza .100

cantidadmuestra

Rendimiento o eficiencia de lareacción (RR)

CR RR .100%CT

Regla práctica de planteo de

problemas estequioméetricos

Regla: coef x M coef. coef x 22,4 Lcoef x NA coef x NA x subíndice

Dato: gramos mol vol (CN) moléculas átomo

Química











SAN MARCOS 96


H I D R O C A R B U R O S

- p e t r ó l e o

- g a s n a t u

r a l

- h u l l a

C o m p u e s t o s b i n a r i o s

f o r m

a d

o s

p o r

c a r b o n o e

h i d r ó g e n o

C o m o

c o m b u s t i b l e ,

d i s o l v e n t e y m a t e r i a p r i m a

p a r a l a p e t r o q u í m i c a

f u e n t e s d

e

o b l e a c i ó n n a t u r a l e s

s

o n

c l a s i f

i c a c i ó n

e j e m

p l o

u s o s

A l i f á t i c o s

A r o m á t i c o s

- b e n c e n o

- n a f t a l e

n o

- a n t r a c e n o

( C H ) 6

6

( C

H

)

1 0 8

( C

H

)

1 4 1

9

A

c í c l i c o s

S a t u r a d o s

I n s a t u r a d o s

A l i c í c l i c o s

C i c l o a l c a n o s

C i c l o a l q u e n o s

f ó r m u l a g l o b a l


e j e m p l o

e j e m p l o

e j e m p l o


C H

; n

3

n

2 n

C H

; n

3

n

2 n – 2

- c i c l o p r o p a n o

- c i c l o b u t a n o

- c i c l o p e n t a n o

( C H

)

3

6

( C H

)

4

8

( C H

)

5

1 0

- c i c l o p r o p e n o

- c i c l o b u t e n o

- c i c l o p e n t e n o

( C H

)

3

4

( C H

)

4

6

( C H

)

5

8

A l c a n o s o

p a r a f í n i c o s

C H

; n

1

n

2 n + 2

- m e t a n o ( C H

)

- e t a n o ( C H

)

- p r o p a n o ( C H

)

4

2

6 3

8

f ó r

m u l a g l o b a l


e j e m p l o

e j e m p l o

A l q u e n o s u

o

l e f í n i c o s

A l q u i n o s o

a c e t i l é n i c o s

C

H

; n

2

n

2 n

C H

; n

2

n

2 n – 2

- e t e n o ( C H )

- p r o p e n o ( C H )

- b u

t e n o ( C H )

2

4 3

6

4

8

- e t i n o ( C H

)

- p r o p i n o ( C H )

- b u t i n o ( C

H )

2

2 3

4

4

6

Química



97 SAN MARCOS


Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2

átomos de carbono con hibridación sp2), siendo una sustancia químicamente activa.El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcionalimportante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenossufren la mayoría de las reacciones.

Ejemplos:

ALQUENOS U OLEFINAS

ALQUINOS O ACETILENICOSSon hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructurapresenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupofuncional (enlace triple) poseen hibridación sp.

átomos de carbono con hibridación sp2)

Química







SAN MARCOS 100


M i n e r a l e

sHematita Fe2O3

Limonita Fe2O3 + 3.H2OMagnetita Fe2O3.FeO

Siderita FeCO3

Pirita FeS

Métodos mecánicos(concentra el

mineral)

Trituración, molienda, pulverizado – Tamización –Levigación (oro) Flotación (sulfuros)

Métodos Químicos(mineral

concentrado)

TostaciónCalcinaciónReducción

de sulfuro a óxido con corriente de aire de CO3

= a óxido en ausencia de aire óxidos + C = CO2 + metal

Electrólisis Húmeda (Na)Seca (Na, K, Mg, Al)

P r e p a r a c i ó n d e l m

i n e r a l

Electrometalúrgicos(mineral

concentrado) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción

Química



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