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f : D ------ R / D R3
(x;y;z)
w = f (x; y; z)
yzyz
yzyz
xyxy
DD
P(x;y;z)P(x;y;z)
f
w = f (x; y; z)
R R3
(x; y; z) D existe ln (z - x) z – x > 0
f : D ------ R / D R3
(x;y;z)
w = f (x; y; z)
{ }{ }
(2; -1 ; 0) f (2; -1; 0) = ln (0+1) + 2 (-1). sen 0 = 0
(x; y;z)
f (x; y; z) = ln (z- y) + x y sen z
f : D R
yzyz
yzyz
r) z= yr) z= y
) z= y) z= y
DD
f : D ------ R / D R3
(x; y; z)
w = f (x; y; z)
graf f = { (x; y; z; w ) R4 / (x; y; z) D ; f (x; y;z) = w }
Superficies de nivel: Sk = { (x; y; z) R3 / f (x; y;z) = k }
es siempre el mismo.
S1S1
S4S4
S9S9
Sk = { (x; y; z) R3 / f (x; y;z) = k }
Sk = { (x; y; z) R3 / x2 + y2 + z2 = k } (k>0) Sup. Esféricas
f : D ------ R P(x0 ; y0: z0) D ; D R3 (x; y; z)
w = F (x; y; z)
-
f : R2 R (campo escalar)
(x;y) z = f (x; y)
: R2 R2 (campo vectorial) (s;t) (s;t) = (x; y) / x = g (s; t)
y = h (s; t)
k(s;t) = f o (s;t) = f (g(s;t ); h(s;t ))
k : R2 R
(s;t) z = k (s; t)
F
t
x
y
(z1; z2)
(z1; z2)
R2
y
(x,y)(s,t)
R2
R
fz
s s s
R2
(x,y)
R
z
f
s x
(campo escalar) k
z =
f : R2 R (campo escalar)
(x;y) z = f (x; y)
: R2 R2 (campo vectorial) (s;t) (s;t) = (x; y) / x = g (s; t)
y = h (s; t)
k(s;t) = f o (s;t) = f (g(s;t ); h(s;t ))
k : R2 R
(s;t) z = k (s; t)
F
t
x
y
(z1; z2)
(z1; z2)
R2
y
(x,y)(s,t)
R2
R
fz
s s s
R2
(x,y)
R
z
f
x
(campo escalar) k
z =
k(u;v) = f o (u;v) = f (x(u;v); y(u;v); z (u;v); t(u;v))
k : R2 R
(u;v) w = k (u; v)
(u;v) = (x ; y ; z ; t ) /
4 vs. intermedias (x; y; z; t) 4 sumandos en cada derivada parcial
f : R2 R (campo escalar)
(x;y) z = f (x; y)
(s;t) = (x; y) / x = 3s.t2
y = s.t +2
k(s;t) = f o (s;t) = f (g(s;t ); h(s;t ))
F
t
x
y
(z1; z2)
(z1; z2)
R2
y
(6;4)(s,t)
R2
R
fz
s x
Hallar la z/ t (so; to) si se sabe que
fx (6;4) = 2 ; fy (6;4) = 3
k6
4
(x;y) (x;y)(6;4) (6;4)(s;t)
z =
(s;t) (s;t)(2;1) (2;1)(2;1)
(x;y)2 3(s;t)(2;1) 212
( 2;1) = 30
rogramarograma nformáticonformático para e posición del ducador para e posición del ducador rogramarograma nformáticonformático para e posición del ducador para e posición del ducador
¡¡¡ BUEN DÍA!!!¡¡¡ BUEN DÍA!!!¿¿ Trabajamos
un poco ??¿¿ Trabajamos
un poco ??
Si realizamos la siguiente experiencia:
- calentamos un tiempo una placa metálica y luego retiramos la fuente de calor.
- En ese preciso momento indicamos
con la temperatura en cada punto P P de la placa.
Vemos que, depende de depende de P P ; o
sea, . es
función P función P = = ff ( ( P P )).
Vemos que, depende de depende de P P ; o
sea, . es
función P función P = = ff ( ( P P )).
PLACA METALICAPLACA METALICA
Nos preguntamos entonces ;
¿ si = f f (P)(P) ?¿ si = f f (P)(P) ?
PPPP =75ºCºC
PPPP =60ºCºC
¿¿¿ podremos conocer f f ???¿¿¿ podremos conocer f f ???
Para obtener una función que permita calcular la temperatura en cada punto de la placa, acudimos a un laboratorio de física convenientemente equipado y realizamos la siguiente experiencia:
Conectamos la placa a una interfaz que actúa como traductora; o sea,
. lee la temperatura en cada punto de la placa y muestra , punto y . temperatura, en la pantalla de un monitor adosado a ella;
- Fijamos una temperatura ( =75ºCºC ) ) y hacemos que el aparato . . .
.. detecte (en la placa) y muestre en pantalla, .. “ los puntos de la placa, cuya temperatura sea, 75 ººCC ”.
Realizamos este proceso con distintas temperaturas:
. = 36ºC ; ºC ; 64ºC ; ºC ; 75ºC ; ºC ; 84ºC ; ºC ; 96ºC ºC ;
guardamos los registros gráficos obtenidos.
- - Trabajamos con esta información para hallar la función que nos interesa.
Para obtener una función que permita calcular la temperatura en cada punto de la placa, acudimos a un laboratorio de física convenientemente equipado y realizamos la siguiente experiencia:
Conectamos la placa a una interfaz que actúa como traductora; o sea,
. lee la temperatura en cada punto de la placa y muestra , punto y . temperatura, en la pantalla de un monitor adosado a ella;
- Fijamos una temperatura ( =75ºCºC ) ) y hacemos que el aparato . . .
.. detecte (en la placa) y muestre en pantalla, .. “ los puntos de la placa, cuya temperatura sea, 75 ººCC ”.
Realizamos este proceso con distintas temperaturas:
. = 36ºC ; ºC ; 64ºC ; ºC ; 75ºC ; ºC ; 84ºC ; ºC ; 96ºC ºC ;
guardamos los registros gráficos obtenidos.
- - Trabajamos con esta información para hallar la función que nos interesa.
.
.
75º
.
. . P
.
. . P
REGISTROREGISTRO
REGISTROREGISTRO
• Dada una curva: ¿ qué propiedad física . caracteriza sus puntos?; ¿qué nombre se le . da entonces, en física y en química ?.
• Si ff ((x,y )= )= 75; ¿qué nombre se le da a . esta curva, en matemática?
• ¿ Qué tipo de curvas parecen ser ?.
• Dada una curva: ¿ qué propiedad física . caracteriza sus puntos?; ¿qué nombre se le . da entonces, en física y en química ?.
• Si ff ((x,y )= )= 75; ¿qué nombre se le da a . esta curva, en matemática?
• ¿ Qué tipo de curvas parecen ser ?.
Todos tienen la misma temperatura.
La curva es una ´isoterma´
Todos tienen la misma temperatura.
La curva es una ´isoterma´
CURVAS de NIVEL de CURVAS de NIVEL de ff CURVAS de NIVEL de CURVAS de NIVEL de ff
¿ Verificamos esto ? ¿ Verificamos esto ?
>Rta
>Rta
Parecen ELIPSESParecen ELIPSES Parecen ELIPSESParecen ELIPSES>Rta
Acudimos a DERIVEDERIVE Acudimos a DERIVEDERIVE
1416
22
yx
Temperatura= 84ºC
ECUACIONES DE LAS ELIPSES:DERIVE
Temperatura= 36ºC 11664
22
yx
Temperatura= 96ºC 114
22
yx
Temperatura= 75ºC 125
4
25
22
yx
Temperatura= 64ºC 1936
22
yx
Estas ecuaciones: ¿ permiten relacionar con (x , y) ?
Estas ecuaciones NO resultan útiles a los efectos de desnudar la relación “temperatura-punto” que buscamos; no presentan ninguna regularidad o semejanza
que permita hacer conjetura alguna.
Estas ecuaciones NO resultan útiles a los efectos de desnudar la relación “temperatura-punto” que buscamos; no presentan ninguna regularidad o semejanza
que permita hacer conjetura alguna.
De esta forma obtenemos la temperatura en función de (x,y) ; pero, ¡¡¡ tenemos una función distinta para cada temperatura !!!!!
De esta forma obtenemos la temperatura en función de (x,y) ; pero, ¡¡¡ tenemos una función distinta para cada temperatura !!!!!
96 .( ) 114
22
yx
84 .( ) 1416
22
yx
75 .( ) 125
4
25
22
yx
64 .( ) 1936
22
yx
36 .( ) 116
4
64
22
yx
21/4 x2 + 21 y2 = 84
3 x2 + 12 y2 = 75
16/9 x2 + 64/9 y2 = 64
9/16 x2 + 96 y2 = 36
24 x2 + 96 y2 = 96
f (x , y )
x2 + 4 y2 = 36
x2 + 4 y2 = 64
x2 + 4 y2 = 25
x2 + 4 y2 = 16
x2 + 4 y2 = 4
f (x , y )
x2 + 4 y2
x2 + 4 y2
x2 + 4 y2
x2 + 4 y2
x2 + 4 y2
Intentamos relacionarlas con la temperatura a través de multiplicar c/ ecuación por la temperatura que la origina.
4 .( ) 114
22
yx
16 .( ) 1416
22
yx
25 .( ) 125
y4
25
x 22
36 .( ) 1936
22
yx
64 .( ) 116
4
64
22
yx
.... ¡¡¡ y lo logramos !!!. La expresión que relaciona x e y es siempre la misma; pero, ..... ¡¡ el término independiente ya no es la temperatura !!
¿ Será al menos, FUNCIÓNFUNCIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA TEMPERATURA ?
.... ¡¡¡ y lo logramos !!!. La expresión que relaciona x e y es siempre la misma; pero, ..... ¡¡ el término independiente ya no es la temperatura !!
¿ Será al menos, FUNCIÓNFUNCIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA TEMPERATURA ?
Intentamos otro camino: expresar las curvas de nivel como curvas correspondientes a una misma función.
INDUCIMOS (por inspección de las ecuaciones obtenidas), SI EXISTE ALGUNA
RELACIÓN ENTRE EL TÉRMINO INDEPENDIENTE ( t.i.) y LA TEMPERATURA ()
Temperatura = 96ºC x2 + 4 y2 = 4
Temperatura = 84ºC x2 + 4 y2 = 16
Temperatura = 75ºC x2 + 4 y2 = 25
Temperatura = 64ºC x2 + 4 y2 = 36
Temperatura = 36ºC x2 + 4 y2 = 64
= 100 - 96
= 100 - 84
= 100 - 75
= 100 - 64
= 100 - 36
• Observamos que:
t.i. + = 100
• Luego:
t.i. = 100 -
• Observamos que:
t.i. + = 100
• Luego:
t.i. = 100 -
= 100 -x2 - 4y2
Temperatura = ºC x2 + 4 y2 = ? 100 -
t.i
96 4
84 16
75 25
64 36
36 64
t.i
96 4
84 16
75 25
64 36
36 64
Una partícula `buscadora de calor´ ( se mueve en la dirección de
máxima variación de τ ) . parte de P0 (4,2) .
Una partícula `buscadora de calor´ ( se mueve en la dirección de
máxima variación de τ ) . parte de P0 (4,2) .
• La partícula determina una ´trayectoria´ sobre la placa.
• La partícula determina una ´trayectoria´ sobre la placa.
• Observamos como, de que forma, esta trayectoria atraviesa las curvas
de igual temperatura y
formulamos una conjetura :
• Observamos como, de que forma, esta trayectoria atraviesa las curvas
de igual temperatura y
formulamos una conjetura :
las atraviesa en forma ´´perpendicular´´
las atraviesa en forma ´´perpendicular´´
¿ cómo investigamos este
supuesto ?:¿ cómo investigamos este
supuesto ?:
1.- Encontramos las
ecuaciones . de las curvas ortogonales, . a las curvas de nivel . obtenidas experimentalmente.
2.- Verificamos si alguna de . ellas es la recorrida por .
la partícula .
1.- Encontramos las
ecuaciones . de las curvas ortogonales, . a las curvas de nivel . obtenidas experimentalmente.
2.- Verificamos si alguna de . ellas es la recorrida por .
la partícula .
¿Vemos como se mueve?
C
C*
TRAYECTORIA ORTOGONALTRAYECTORIA ORTOGONAL
• ¿cómo la hallamos ?
Para ello comenzamos por recordar el concepto de trayectoria ortogonal a una familia de curvas.
“ Dada una familia de curvas , y = f (x, k), decimos que C* es ortogonal a la misma, si atraviesa en forma perpendicular , a todas y cada una de las curvas de la familia ”.
• ¿ cómo detectamos curvas ortogonales ?:
- graficamos dos curvas ortogonales, C y C*, - investigamos cual es la propiedad matemática
que caracteriza tal hecho.
TRAYECTORIA ORTOGONALTRAYECTORIA ORTOGONAL
• ¿cómo la hallamos ?
Para ello comenzamos por recordar el concepto de trayectoria ortogonal a una familia de curvas.
“ Dada una familia de curvas , y = f (x, k), decimos que C* es ortogonal a la misma, si atraviesa en forma perpendicular , a todas y cada una de las curvas de la familia ”.
• ¿ cómo detectamos curvas ortogonales ?:
- graficamos dos curvas ortogonales, C y C*, - investigamos cual es la propiedad matemática
que caracteriza tal hecho.
• Sea t , tangente a C. en P (4,2)• Sea t , tangente a C. en P (4,2)
• Sea n , normal a C. en P (4,2)• Sea n , normal a C. en P (4,2)
• Observamos que :
• Sabemos que:
• Concluimos que:
• Observamos que :
• Sabemos que:
• Concluimos que:
• n , normal a C, resulta tangente a C * ; luego, las respectivas rectas tangentes son perpendiculares m = -1 / m
m (pendiente de la recta tangente) = derivada de la función calculada en el punto.
y´ = - 1 / y´ (*)
• Buscamos y : calculamos y´ , ( derivada de C , curva de la familia dato ), y reemplazamos en (*) obtenemos una ecuación en y´ , (derivada de la curva ortogonal); o sea,
una ecuación diferencial para y . Resolviendo la ecuación diferencial, hallamos y
• Buscamos y : calculamos y´ , ( derivada de C , curva de la familia dato ), y reemplazamos en (*) obtenemos una ecuación en y´ , (derivada de la curva ortogonal); o sea,
una ecuación diferencial para y . Resolviendo la ecuación diferencial, hallamos y
• Volvemos a nuestro problema
• ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a
t(x,y) = 100 - x2 - 2 y2
F : 100 - x2 - 2 y 2 = c
• Resolvemos con DERIVE:
# 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x2 + 2 y 2=c , x, y , 1)
# 2:
# 3: buscamos -1 / y´
# 2: y ´ = - 0.5 x / y
# 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x
# 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal
# 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden
# 6 :
# 4: y ´ = 2 y / x y´ - 2/x y = 0
# 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x , 0 , x , y , c )
# 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2)
# 6: y = c x2
# 6: y = x2/ 8 ... y la graficamos !!!
...... Y LA TRAYECTORIA DE NUESTRA PARTÍCULA BUSCADORA
DE CALOR RESULTA SER ORTOGONAL A LA FAMILIA DE
ISOTERMAS
...... Y LA TRAYECTORIA DE NUESTRA PARTÍCULA BUSCADORA
DE CALOR RESULTA SER ORTOGONAL A LA FAMILIA DE
ISOTERMAS
• Volvemos a nuestro problema
• ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a
t(x,y) = 100 - x2 - 2 y2
F : 100 - x2 - 2 y 2 = c
• Resolvemos con DERIVE:
# 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x2 + 2 y 2=c , x, y , 1)
# 2:
# 3: buscamos -1 / y´
# 2: y ´ = - 0.5 x / y
# 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x
# 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal
# 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden
# 6 :
# 4: y ´ = 2 y / x y´ - 2/x y = 0
# 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x , 0 , x , y , c )
# 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2)
# 6: y = c x2
# 6: y = x2/ 8 ... y la graficamos !!!
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