f : D ------ R / D R3

(x;y;z)

w = f (x; y; z)

yzyz

yzyz

xyxy

DD

P(x;y;z)P(x;y;z)

f

w = f (x; y; z)

R R3

(x; y; z) D existe ln (z - x) z – x > 0

f : D ------ R / D R3

(x;y;z)

w = f (x; y; z)

{ }{ }

(2; -1 ; 0) f (2; -1; 0) = ln (0+1) + 2 (-1). sen 0 = 0

(x; y;z)

f (x; y; z) = ln (z- y) + x y sen z

f : D R

yzyz

yzyz

r) z= yr) z= y

) z= y) z= y

DD

f : D ------ R / D R3

(x; y; z)

w = f (x; y; z)

graf f = { (x; y; z; w ) R4 / (x; y; z) D ; f (x; y;z) = w }

Superficies de nivel: Sk = { (x; y; z) R3 / f (x; y;z) = k }

es siempre el mismo.

S1S1

S4S4

S9S9

Sk = { (x; y; z) R3 / f (x; y;z) = k }

Sk = { (x; y; z) R3 / x2 + y2 + z2 = k } (k>0) Sup. Esféricas

f : D ------ R P(x0 ; y0: z0) D ; D R3 (x; y; z)

w = F (x; y; z)

-

f : R2 R (campo escalar)

(x;y) z = f (x; y)

: R2 R2 (campo vectorial) (s;t) (s;t) = (x; y) / x = g (s; t)

y = h (s; t)

k(s;t) = f o (s;t) = f (g(s;t ); h(s;t ))

k : R2 R

(s;t) z = k (s; t)

F

t

x

y

(z1; z2)

(z1; z2)

R2

y

(x,y)(s,t)

R2

R

fz

s s s

R2

(x,y)

R

z

f

s x

(campo escalar) k

z =

f : R2 R (campo escalar)

(x;y) z = f (x; y)

: R2 R2 (campo vectorial) (s;t) (s;t) = (x; y) / x = g (s; t)

y = h (s; t)

k(s;t) = f o (s;t) = f (g(s;t ); h(s;t ))

k : R2 R

(s;t) z = k (s; t)

F

t

x

y

(z1; z2)

(z1; z2)

R2

y

(x,y)(s,t)

R2

R

fz

s s s

R2

(x,y)

R

z

f

x

(campo escalar) k

z =

k(u;v) = f o (u;v) = f (x(u;v); y(u;v); z (u;v); t(u;v))

k : R2 R

(u;v) w = k (u; v)

(u;v) = (x ; y ; z ; t ) /

4 vs. intermedias (x; y; z; t) 4 sumandos en cada derivada parcial

f : R2 R (campo escalar)

(x;y) z = f (x; y)

(s;t) = (x; y) / x = 3s.t2

y = s.t +2

k(s;t) = f o (s;t) = f (g(s;t ); h(s;t ))

F

t

x

y

(z1; z2)

(z1; z2)

R2

y

(6;4)(s,t)

R2

R

fz

s x

Hallar la z/ t (so; to) si se sabe que

fx (6;4) = 2 ; fy (6;4) = 3

k6

4

(x;y) (x;y)(6;4) (6;4)(s;t)

z =

(s;t) (s;t)(2;1) (2;1)(2;1)

(x;y)2 3(s;t)(2;1) 212

( 2;1) = 30

rogramarograma nformáticonformático para e posición del ducador para e posición del ducador rogramarograma nformáticonformático para e posición del ducador para e posición del ducador

¡¡¡ BUEN DÍA!!!¡¡¡ BUEN DÍA!!!¿¿ Trabajamos

un poco ??¿¿ Trabajamos

un poco ??

Si realizamos la siguiente experiencia:

- calentamos un tiempo una placa metálica y luego retiramos la fuente de calor.

- En ese preciso momento indicamos

con la temperatura en cada punto P P de la placa.

Vemos que, depende de depende de P P ; o

sea, . es

función P función P = = ff ( ( P P )).

Vemos que, depende de depende de P P ; o

sea, . es

función P función P = = ff ( ( P P )).

PLACA METALICAPLACA METALICA

Nos preguntamos entonces ;

¿ si = f f (P)(P) ?¿ si = f f (P)(P) ?

PPPP =75ºCºC

PPPP =60ºCºC

¿¿¿ podremos conocer f f ???¿¿¿ podremos conocer f f ???

Para obtener una función que permita calcular la temperatura en cada punto de la placa, acudimos a un laboratorio de física convenientemente equipado y realizamos la siguiente experiencia:

Conectamos la placa a una interfaz que actúa como traductora; o sea,

. lee la temperatura en cada punto de la placa y muestra , punto y . temperatura, en la pantalla de un monitor adosado a ella;

- Fijamos una temperatura ( =75ºCºC ) ) y hacemos que el aparato . . .

.. detecte (en la placa) y muestre en pantalla, .. “ los puntos de la placa, cuya temperatura sea, 75 ººCC ”.

Realizamos este proceso con distintas temperaturas:

. = 36ºC ; ºC ; 64ºC ; ºC ; 75ºC ; ºC ; 84ºC ; ºC ; 96ºC ºC ;

guardamos los registros gráficos obtenidos.

- - Trabajamos con esta información para hallar la función que nos interesa.

Para obtener una función que permita calcular la temperatura en cada punto de la placa, acudimos a un laboratorio de física convenientemente equipado y realizamos la siguiente experiencia:

Conectamos la placa a una interfaz que actúa como traductora; o sea,

. lee la temperatura en cada punto de la placa y muestra , punto y . temperatura, en la pantalla de un monitor adosado a ella;

- Fijamos una temperatura ( =75ºCºC ) ) y hacemos que el aparato . . .

.. detecte (en la placa) y muestre en pantalla, .. “ los puntos de la placa, cuya temperatura sea, 75 ººCC ”.

Realizamos este proceso con distintas temperaturas:

. = 36ºC ; ºC ; 64ºC ; ºC ; 75ºC ; ºC ; 84ºC ; ºC ; 96ºC ºC ;

guardamos los registros gráficos obtenidos.

- - Trabajamos con esta información para hallar la función que nos interesa.

.

.

75º

.

. . P

.

. . P

REGISTROREGISTRO

REGISTROREGISTRO

• Dada una curva: ¿ qué propiedad física . caracteriza sus puntos?; ¿qué nombre se le . da entonces, en física y en química ?.

• Si ff ((x,y )= )= 75; ¿qué nombre se le da a . esta curva, en matemática?

• ¿ Qué tipo de curvas parecen ser ?.

• Dada una curva: ¿ qué propiedad física . caracteriza sus puntos?; ¿qué nombre se le . da entonces, en física y en química ?.

• Si ff ((x,y )= )= 75; ¿qué nombre se le da a . esta curva, en matemática?

• ¿ Qué tipo de curvas parecen ser ?.

Todos tienen la misma temperatura.

La curva es una ´isoterma´

Todos tienen la misma temperatura.

La curva es una ´isoterma´

CURVAS de NIVEL de CURVAS de NIVEL de ff CURVAS de NIVEL de CURVAS de NIVEL de ff

¿ Verificamos esto ? ¿ Verificamos esto ?

>Rta

>Rta

Parecen ELIPSESParecen ELIPSES Parecen ELIPSESParecen ELIPSES>Rta

Acudimos a DERIVEDERIVE Acudimos a DERIVEDERIVE

1416

22

yx

Temperatura= 84ºC

ECUACIONES DE LAS ELIPSES:DERIVE

Temperatura= 36ºC 11664

22

yx

Temperatura= 96ºC 114

22

yx

Temperatura= 75ºC 125

4

25

22

yx

Temperatura= 64ºC 1936

22

yx

Estas ecuaciones: ¿ permiten relacionar con (x , y) ?

Estas ecuaciones NO resultan útiles a los efectos de desnudar la relación “temperatura-punto” que buscamos; no presentan ninguna regularidad o semejanza

que permita hacer conjetura alguna.

Estas ecuaciones NO resultan útiles a los efectos de desnudar la relación “temperatura-punto” que buscamos; no presentan ninguna regularidad o semejanza

que permita hacer conjetura alguna.

De esta forma obtenemos la temperatura en función de (x,y) ; pero, ¡¡¡ tenemos una función distinta para cada temperatura !!!!!

De esta forma obtenemos la temperatura en función de (x,y) ; pero, ¡¡¡ tenemos una función distinta para cada temperatura !!!!!

96 .( ) 114

22

yx

84 .( ) 1416

22

yx

75 .( ) 125

4

25

22

yx

64 .( ) 1936

22

yx

36 .( ) 116

4

64

22

yx

21/4 x2 + 21 y2 = 84

3 x2 + 12 y2 = 75

16/9 x2 + 64/9 y2 = 64

9/16 x2 + 96 y2 = 36

24 x2 + 96 y2 = 96

f (x , y )

x2 + 4 y2 = 36

x2 + 4 y2 = 64

x2 + 4 y2 = 25

x2 + 4 y2 = 16

x2 + 4 y2 = 4

f (x , y )

x2 + 4 y2

x2 + 4 y2

x2 + 4 y2

x2 + 4 y2

x2 + 4 y2

Intentamos relacionarlas con la temperatura a través de multiplicar c/ ecuación por la temperatura que la origina.

4 .( ) 114

22

yx

16 .( ) 1416

22

yx

25 .( ) 125

y4

25

x 22

36 .( ) 1936

22

yx

64 .( ) 116

4

64

22

yx

.... ¡¡¡ y lo logramos !!!. La expresión que relaciona x e y es siempre la misma; pero, ..... ¡¡ el término independiente ya no es la temperatura !!

¿ Será al menos, FUNCIÓNFUNCIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA TEMPERATURA ?

.... ¡¡¡ y lo logramos !!!. La expresión que relaciona x e y es siempre la misma; pero, ..... ¡¡ el término independiente ya no es la temperatura !!

¿ Será al menos, FUNCIÓNFUNCIÓN DE LA TEMPERATURA DE LA TEMPERATURA ?

Intentamos otro camino: expresar las curvas de nivel como curvas correspondientes a una misma función.

INDUCIMOS (por inspección de las ecuaciones obtenidas), SI EXISTE ALGUNA

RELACIÓN ENTRE EL TÉRMINO INDEPENDIENTE ( t.i.) y LA TEMPERATURA ()

Temperatura = 96ºC x2 + 4 y2 = 4

Temperatura = 84ºC x2 + 4 y2 = 16

Temperatura = 75ºC x2 + 4 y2 = 25

Temperatura = 64ºC x2 + 4 y2 = 36

Temperatura = 36ºC x2 + 4 y2 = 64

= 100 - 96

= 100 - 84

= 100 - 75

= 100 - 64

= 100 - 36

• Observamos que:

t.i. + = 100

• Luego:

t.i. = 100 -

• Observamos que:

t.i. + = 100

• Luego:

t.i. = 100 -

= 100 -x2 - 4y2

Temperatura = ºC x2 + 4 y2 = ? 100 -

t.i

96 4

84 16

75 25

64 36

36 64

t.i

96 4

84 16

75 25

64 36

36 64

Una partícula `buscadora de calor´ ( se mueve en la dirección de

máxima variación de τ ) . parte de P0 (4,2) .

Una partícula `buscadora de calor´ ( se mueve en la dirección de

máxima variación de τ ) . parte de P0 (4,2) .

• La partícula determina una ´trayectoria´ sobre la placa.

• La partícula determina una ´trayectoria´ sobre la placa.

• Observamos como, de que forma, esta trayectoria atraviesa las curvas

de igual temperatura y

formulamos una conjetura :

• Observamos como, de que forma, esta trayectoria atraviesa las curvas

de igual temperatura y

formulamos una conjetura :

las atraviesa en forma ´´perpendicular´´

las atraviesa en forma ´´perpendicular´´

¿ cómo investigamos este

supuesto ?:¿ cómo investigamos este

supuesto ?:

1.- Encontramos las

ecuaciones . de las curvas ortogonales, . a las curvas de nivel . obtenidas experimentalmente.

2.- Verificamos si alguna de . ellas es la recorrida por .

la partícula .

1.- Encontramos las

ecuaciones . de las curvas ortogonales, . a las curvas de nivel . obtenidas experimentalmente.

2.- Verificamos si alguna de . ellas es la recorrida por .

la partícula .

¿Vemos como se mueve?

C

C*

TRAYECTORIA ORTOGONALTRAYECTORIA ORTOGONAL

• ¿cómo la hallamos ?

Para ello comenzamos por recordar el concepto de trayectoria ortogonal a una familia de curvas.

“ Dada una familia de curvas , y = f (x, k), decimos que C* es ortogonal a la misma, si atraviesa en forma perpendicular , a todas y cada una de las curvas de la familia ”.

• ¿ cómo detectamos curvas ortogonales ?:

- graficamos dos curvas ortogonales, C y C*, - investigamos cual es la propiedad matemática

que caracteriza tal hecho.

TRAYECTORIA ORTOGONALTRAYECTORIA ORTOGONAL

• ¿cómo la hallamos ?

Para ello comenzamos por recordar el concepto de trayectoria ortogonal a una familia de curvas.

“ Dada una familia de curvas , y = f (x, k), decimos que C* es ortogonal a la misma, si atraviesa en forma perpendicular , a todas y cada una de las curvas de la familia ”.

• ¿ cómo detectamos curvas ortogonales ?:

- graficamos dos curvas ortogonales, C y C*, - investigamos cual es la propiedad matemática

que caracteriza tal hecho.

• Sea t , tangente a C. en P (4,2)• Sea t , tangente a C. en P (4,2)

• Sea n , normal a C. en P (4,2)• Sea n , normal a C. en P (4,2)

• Observamos que :

• Sabemos que:

• Concluimos que:

• Observamos que :

• Sabemos que:

• Concluimos que:

• n , normal a C, resulta tangente a C * ; luego, las respectivas rectas tangentes son perpendiculares m = -1 / m

m (pendiente de la recta tangente) = derivada de la función calculada en el punto.

y´ = - 1 / y´ (*)

• Buscamos y : calculamos y´ , ( derivada de C , curva de la familia dato ), y reemplazamos en (*) obtenemos una ecuación en y´ , (derivada de la curva ortogonal); o sea,

una ecuación diferencial para y . Resolviendo la ecuación diferencial, hallamos y

• Buscamos y : calculamos y´ , ( derivada de C , curva de la familia dato ), y reemplazamos en (*) obtenemos una ecuación en y´ , (derivada de la curva ortogonal); o sea,

una ecuación diferencial para y . Resolviendo la ecuación diferencial, hallamos y

• Volvemos a nuestro problema

• ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a

t(x,y) = 100 - x2 - 2 y2

F : 100 - x2 - 2 y 2 = c

• Resolvemos con DERIVE:

# 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x2 + 2 y 2=c , x, y , 1)

# 2:

# 3: buscamos -1 / y´

# 2: y ´ = - 0.5 x / y

# 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x

# 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal

# 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden

# 6 :

# 4: y ´ = 2 y / x y´ - 2/x y = 0

# 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x , 0 , x , y , c )

# 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2)

# 6: y = c x2

# 6: y = x2/ 8 ... y la graficamos !!!

...... Y LA TRAYECTORIA DE NUESTRA PARTÍCULA BUSCADORA

DE CALOR RESULTA SER ORTOGONAL A LA FAMILIA DE

ISOTERMAS

...... Y LA TRAYECTORIA DE NUESTRA PARTÍCULA BUSCADORA

DE CALOR RESULTA SER ORTOGONAL A LA FAMILIA DE

ISOTERMAS

• Volvemos a nuestro problema

• ¿Cuál es la familia de curvas en este caso ?: las curvas de nivel correspondientes a

t(x,y) = 100 - x2 - 2 y2

F : 100 - x2 - 2 y 2 = c

• Resolvemos con DERIVE:

# 1: derivamos implícitamente en F # 1: IMP_DIF ( x2 + 2 y 2=c , x, y , 1)

# 2:

# 3: buscamos -1 / y´

# 2: y ´ = - 0.5 x / y

# 3: ( - 0.5 x / y ) -1 = 2 y / x

# 4: planteamos la ec. dif. de la flia ortogonal

# 5: la resolvemos como Lineal de 1er orden

# 6 :

# 4: y ´ = 2 y / x y´ - 2/x y = 0

# 5: LINEAR1_GEN ( 2 / x , 0 , x , y , c )

# 7: buscamos la curva que pasa por P(4,2)

# 6: y = c x2

# 6: y = x2/ 8 ... y la graficamos !!!