View
215
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
-- ..
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Estados Limites de Deformação
Cálculo de Flechas - Método dos Coefi-cientesGlobais
Referências:
[4] - CEB, Manual on Cracking and Deformations, Bulletin D'InformationnQ158-E, Construction Press, 1985.
--- -
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST97
Cálculo de deformações - Método dos coeficientes globais [4]
p-~ bdA's
p' = bd
I!!CARREGAMENTO ~1 = 1.0 ~2 =1.0
1.0
~a.p...
30
3.0 ~o
2.0 60
0000
0.0
MD < McrEstado I
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.\1 0.3 0.2 0.1 0.0
I I MD~Mcr
I Estadon
ACÇÕES REPETIDAS ~1 = 1.0 ~2 =0.5
10.09.08.07.0
. 6. O5.011.03.02.01.00.0
0.015
0.0200.0250.0300.01100.060
8: ~88 Mcr
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.\1 0.3 0.2 0.1 0.0 MD
MD< Mcr
Estado II I MD ~ Mcr
I Estado II
- -- --- - - -
0.010 0.015 0.020 0.025v /' V ....... .- - 0.0
l/ V .-j..--'" i-0.0
./ ./V -- .- - lo--- -
/ V ./ - I--. 0.0/ L,.r'" - t-"'
0.1
0.2
I I I
-- -
98 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculode deformações- Método dos coeficientesglobais [4]
1[:]T As I A'sP =- p=-
h 3h bd bd
1 1 Es at = (7) 11 kt aca =- == 7.0
-t- b-+ Ec
Kt Iq> = 1.5 I
.«.p..-
_0.01010.0 1--- .- . J...- --1--- ..I -I- -9.0 -- t--' .- '-- --t- - I-B.O , 0.0157.0
-- 0.0206.0 - 0.0255.0 -. 0.030
11.0 0.0110
3.0 a 0.0602.0 0.100
- - 0.2001.0 T Ma- 0.0
MD1.0 0.9 (Le o. 7 0.6 0.5 0.11-0.3 0.2 0.1 0.0
MD< Mcr t L MD> Mcr (Estado lI)Estado 1 I
let Iq> = 2.5 1
.«.p..-
10.0 0.0109.0 0.0158.07.0 0.0206.0 0.0255.0 0.03011.0 0.01103.0 0.0602.0 0.100
0.2001.0 Mcr0.0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.11 0.3 0.2 0.1 0.0 MDMD< Mcr
L Mo > Mcr (Estado lI)Estado I
Kt Iq> = 3.5
I
.«.p..-
10.0 0.0100.0159.0 ,
8.0 0.0207.0
0.0256.0 0.0305.0 0.011011.0 0.0603.0 0.1002.0 .. 0.2001.0 Mcr
-. 0.0Mo1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.11 0.3 0.2 0.1 0.0
MD < Mcr
L Mo> M cr (Estado II)Estado I
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 99
Cálculo de deformações - Método dos coeficientes globais [4]
r
l:J~ T
d h
1 ~ 1-+-b-+
11a.p....
1.o --,I I I I I I '_li1 ~ I I
. -~. , --;!:::::t-
" , - f--I~ ~~ -r- "" __
~ '" -,I" _
r-
i' Ii'...., -- ~ I-
-
-
-
- c--r--
-~~ ~~~
-t-r-1 1 1 J l~I I I 1 1r- I I I I II i J
01
0.9
os
0.8
o
0.7
0.6o
0.5
0.40.0 0.25 0.50 0.75 1.00
p'/p
- -- - - -- --- - -
---
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado- 1ST
Estados Limites de Deformação
Cálculo de Curvaturas
Flecha devida à Retracção
Referências:
[4]-CEB, Manual on Cracking and Defomlations, Bulletin D'InfonnationnQ158-E, Construction Press, 1985.
- ------------ - - -
----
Grupo de Belão Annado e Pré-Esforçado - 1ST103
Cálculo de curvaturas - coeficiente k sI [4] o $ d' / h $ 0.2
p = p' = A's7.0bd
1.0
d/h = 1.0
0.9
o.a
0.7
0.6
.0- 0.25-0.5. 1CI.p
0.50.001
d/h = 0.9
.I
, -r-- - -1---"'- -- , .......
I ,-- ,
,.... -
, ,,
- :
,, " -
, ; I: ,
--
'"
-
"",=.\ '
i
- p'/p
,"",= p'/p\ p'/p
I
""t:
I p'/p0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
".1
1.0
I
0.9.
o.ao "'-"""jp'/ p - o
I I __'s:'.. .o., . ,', p'/ P - 0.25, . I I
rr - --\ p'/ p . 0.5- ->,-..0.6
-,!..l-
0.51 I I I I I II I I ! I ! H-++r---1 .a.p0.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
ICSI
Id/h =0.8
1.0- - u.
- -0.9 .....
'-'- .....p./p-o,'- . ,, ,-, . ,p'/p.O.250.8
. _o. __ - , . \' \_._-- - \. /p.n5--- .. .\"-..- -.\.--
o. 'I : I I , I. I I \, .
p'/ p. 1.---
0.6 a.p0.001 0.002 0.01 O.OZ 0.1 O.Z
--
104 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k 52 [4]
A's
o ;5;;dI / h ;5;;0.2
p' =p =bd
40
30
20
10
O,ClOOI
70
80
50
40
30
20
lO
O
0.00 I 0.002 0.1 0.20.01 0.02
d/h = 1.0
CI'P
d/h = 0.9
d/h = 0.8
CI'P
\\\
lOi, I !
I I ,I \I IJ 11
i.. . ' '\I . I ...iIi ; : 8I I I II '\
'\ :. I7I , ,, I 6 '\
,:,"' 5 '"
I' 4t3 -.J!o0P"p"'1 1"0.
2
-1II
0.002 0.01 0.D2 0.1 0.2
It s2
\
50
401. t::i::!. \ I. '-'-----L '
I I
30 I,
20i
I
10
I I ------O CI'P
0.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
It 12
\\\
. .
20
15
I
O"'P"P""5
--..:
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k <p1[4]
A's
105
d/h =1.0OS dI / h S 0.2
p' =p =bd
1.o
0.9
0.8
0.7
0.6
O.~
....--~-- I
~_.p'/p~--
p' I P
p'/p
0.3
0.20.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
0.4
1.0
0.9
o.e
0.7
0.6
0.5
0.3
0.20.001 0.02 0.1 0.20.002 0.01
--
Xq>=2
p'/ P - o
- 0.25
- 0.5
- 1a.p
Xq>=3
-o
p - 0.25P - 0.5P - 1
a.p
4
I
,
--
,"-
--.:;:: p'l
..... p'l
p'l
'-<!' p'l
106 Grupo de Betão Annadoe Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k cpl [4]
p = A's
p' = bd
o.
.'---t:::. +-=
;= ~'-- -; j. . 1--==- .=-- . . .'---=-= ~ .- - -- ~~~- .- ---",=- -- -_ _ --A.-' """
- ~ -+-'P'I
.~ -I- . ·===-
--- ~
= ~- - ~
P'/
- - -It:::- --' -<::j~- ~~ +-' :';p"---t =
~p'/~ -
1.0
O.S
0.8
0.7
0.6
o.
O.0.001 0.002 0.01 0.02 O. \ 0.2
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.20.001 0.002 0.0\ 0.02 O. I 0.2
d/h = 0.9O~ d' / h S 0.2
Xq>=2
-o
p - 0.25
p - 0.5
p-1a.p
X<p=3
-o
p - 0.25
P - 0.5
p - 1
a.p
-
......
p'l
-
-
- -
108 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k cp2[4]I
Id'ij A~ I rt ..& 1+- b-+
0.8 ~ d I h ~ 1.0dI I h =0.0
bdp' = A'sp = bd
Xq>=2
o.t(......
I..- I_ 1 i!- I II !
- ,--;-' -, " ' , ~-! ' -, , ''1- ,
! I -:. . ; I'
I i ; I .
- ,,';'I ,: "I '" '
P'I
r- I I 'L- 1--' I ' ,,;1. 7I
T I I ' ;T
~ '" ' /,'- ,.-
I I I 1/ -
~ ! ~,,'.' I"~ '-~ : I -r .r, -'- ~ i ' ,..."
I ' -" -
"- I I I ' > 'I, -=-- ,"~ I I /'f 0 "".. -- ' ~ ~I I 11 ...0'1 __ ! I I I
I " ' ' " - -P
'I
~~ I I' .
. II -
L I T~DI '1 ,- - -~ , ' '1 '-- 'T' -, I ~---P
'I_ I I T -
: l-rl: - - -
p-o0.3
0.2p .0.25
0.1 p.O.5
p. 1
0.00.001 0.002 0.01 0.02 O. I 0.2
a.p
Xq>=3
o.
p.oo.
0.2
p - 0.25
0.1 p.0.5
p. 10.0
0.001 0.002 0.01 0.02 O.I 0.2a.p
1
..l. ...1 ; ! '...1IJ. ...1I .l-
IJ ..l.
:p'l
JI J.
I
I I
J -!-/
-1: .J.
:.....1
I
-1
-+/
I-
I
-; I . --
.J LI:.1
.1.1
L I
p'l
.1
...::::I
-IJ
:t:::: ...1
p'l
...L
t::l , -,.1. -1--+
.;..'! '.1
:::::::-:- 11i
p'l
I
I ..:.1----
-
UL -...LL -...!.
.1 .1-.lI...1 l. .1I
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST109
Cálculo de curvaturas - coeficiente k q>2[4]0.8 s;d/h s; 1.0
dI / h = 0.1
p = p' = A's Esa =- == 7.0Ecbd
X<p=2
o."
p.o0.3
0.2 p . 0.25
p.0.5
O.Ip.1
0.00.001 0.002 0.01 0.02 O.I 0.2
a.p
X<P=3
0.3
tLI~
- I I- I I I I_ _ +_I-~ 11 I!- - I
I: "
1
., " " ---," I" ' , , , , -I-l --I I I , I I -~~ -L I I
I1T---1-~
-
I
-' -- '
,-' ' , ' " ' , , p/,-' '" ' ,"" 7".l- ! _ ++ Ti 1 ~
;L=-;r-
- II
-~
- ' , "_~ I ' " ,!y -_ ,-' ! I 1 ' 'Vf ' -~ lTl ' 4 ' y" , I, ' .A , ' -..;:;;
P'I
I 1/'-
_I ,+ 1 . I
i
I r í ,.' I -
- I I II Y'___, I" ,- -_ I
. i I ~ '.P'I
_~ ' ," -
C= + I -- -LJ--i-L ,," -I TI' I I l '---'--+-- ~:p::::j--=:;I I I I I -, , ' I , : p'/, . ,. i I " . : I ---j, :111 I -
p.O
0.2p .0.25
p.0.5O.I
p. 1
0.0
0.001 0.002 0.01 0.02 O. I 0.2a.p.
I I I I I r
I
p'l
/- -
L
"/L- __--
-;;::; p'l
I..,'
"'" i
-i/
/i'/-- - p'l
-' , i I
-
,- I I ---T I. p'l
1 I
11I
---I i .1 .....
110 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k <p2[4]0.8 S;d I h S;1.0
dI I h = 0.2
p = p' =A'sbd
Xq>=2
0.4
-o0.3
p - 0.25
0.2p - 0.5
0.1
0.00.001 0.002
a.p0.01 0.02 0.1 0.2
Xq>=3
0.4
-o0.3
p - 0.250.2
p - 0.5
0.1 p. 1
0.00.001 0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
a.p
.,; I -, ,I
..;..! : . : ; -
; '...l ..L
.l
p'/l
J
'..... -
..J
I -'- : :
-+; ...l I .-1. i i.l
..1+ . :
I , I
/L_. I :
I i.l:
L .
...!...II I ' .
; .i : 11:-'- --
p'/
; i
.J/
.I-J
I
...i. i Li.
..i
.lL' L t:....
- p'/
I...l
II --'.
I...l
i , I
+ . -
I ;
I .l ...l...J.J
p'l
...i -
.1 J I !-c;;_.:.
'...i...J
--- =- ..L -! .
I
. '-1.+
I
--.i J.,.. : --
I
..l..J.
-1. '..
-1
, I
.1LU ...
li!'""""'"
.1 J. 1
..-L .1 i
1 1l 1 J. -L .1 i . 1-11.
..
L.-L.- I----=t:=t I i I !- I 111; .;- ,,'I ' ,o o -,o- - '
__ I H--i- n' , -' o' ----j- I ' I '-- I ,- -- I ' I I "I ,-'-_ TTi" o : " 'o ---;>" p"_ _>-- IT.--r- -, "._ I I I o f--------j----' o o , r:7!-I 1 . i i ;' . . / --
_ _'-- I T · ' o - , y -111+ . 'o c.;<--- o - _: o o · , ' --- p'/L o 1 1 i -,' /, : 0_ --:::==1 1 1 'T- / - o - -'-- 1 1 T o /,,< - ===p'/
I I - I I -I :! ! --::-
L=--
'- I ; I
I I : :- p'/
I
T1-- T
I
I I t-t-:
: I I . -:-
I I I I II
I
I I I i--
I m -I I . I l-==:j ....
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k csl [4]
p = A's
p' = bd
"CS1
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.11
0.3
0.2
o.0.0
0.001 0.02 0.1 0.20.002 0.01
"CS1
0.1
O.B
0.7
0.6
0.5
0.11
0.3
0.2
0.0o
111
x cp= 2.5OS di I h S 0.2
d I h = 1.0
-o
- 0.25
- 0.5
p-1a.p
d I h = 0.8
-o
- 0.25
- 0.5
a.p
-. p.' p - 1
---
j
-p'/
p'/
----- p'/
-- p'/i
i
p'/p. .
i
I
. . --p' / fJ
I
. -....-.-- p'/fJ
.001 0.002 .... 0"1 n 02 o.II
112 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de curvaturas - coeficiente k cs2 [4]x <p= 2.5
0.8$ d/h $ 1.0
p' = A'sbd
d' / h = 0.0"cs2
1. 3,
1.2
.L- I-- =
- =~ . -- -- --
- ;:::_ '"'" _""2. p' /
~- ~
- -
--
-p'!
- - =- ..., p'/
~ i:: -==;= ' -==:j - - p'!...
p-o
1.1
1.0
0.9
0.8
'0.7
0.6
o.s
p .0.25
0.11
0.3
0.20.001
p - 0.5
0.002 0.01 0.02 0.1 0.2
d' / h = 0.2"cs2
1.3
+
::::::::;:::=--I-~~-== . : ~ ::::I
.~ ~-= p'/
, .- =~ -~ . -===
--_. ~ .-=- ======== -
--= -~ -~ ~ = -
t -,~ --c -,~
P'!
~ -,..=--=~ -~ --'- - -'-- .~ ~ ~:"C"'"-=
-r= ............
=- =0.-= ~.L.-+ -P'!
'- -f+'- ~ -f-- -- =<--~--< - >:;:::
-=----" p'i.~ -
-o1.21.1
1.0
0.9 p . 0.250.6
0.7 p - 0.5
0.6
0.5
0.01 0.1
p. 1a.p0.11
0.001 0.002 0.02 0.2
k
). . ó. ~ . 400.01 0.05 tEXEMPLE
0.10 0.15 Q.p.0.20
--w.
TipodeViga I Õ
L 1EcsIEstado 11(Fendilhado)
I VigasimplesmenteI1.0
acs =kapOIada
30 x 1Õ5Mcr MD 2Mcr I Viga bi-encastrada I 0.5
d/h =0.9 ; X <p=2.0Consola I 4.0
p'/p. O ---1 1;-Qn
:r ..,c'8
0.25 I lo. o.G
< ti:!-. Go. E),I I o0.5 ;I>
., 3I»-- o.., o= on '"O
o.(') ..,G.I I
o Irc Õ'=-. I»
õ' o.o., I3 -ti)"'"i..-.......
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de Tensões em Estado Fendilhado
Secções Rectangulares
------- - - - -
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 117
------ --
Flexão Composta com Compressão13= As2/ ASl = O
Secções Rectangulares. Tensões em Estado Fendilhado
crsl=(1 CsMs
Es
Td4-t bd2 (1=-
EcAs2 r crs2 crc = - Cc
Ms
bd2 ASld p=-
1. crc bdcrs2 = (1 - ( x - 0.1d)
crsl XMs
Cc es=--+- b--+ x= d N(Cc+ Cs)
Tr[jMI + I +:N(H2)
TN
[jrh d + N 1-
11 _ +b/2
es/d
"'p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.23 0.47 0.75 0.97 1.14 1.31 1.48 1.61 1.79 1.91 2.15 2.33 2.52
.40 0.27 0.56 0.90 1.16 1.37 1.59 1.80 1.96 2.18 2.33 2.610 2.87 3.10
.30 0.33 0.69 1.13 1.48 1.75 2.010 2.32 2.53 2.83 3.03 3.43 3.71, 10.05
.25 0.37 0.78 1.30 1.71 2.04 2.39 2.72 2.97 3.33 3.57 4.06 10.103 10.80
.20 0.42 0.91 1.54 2.05 2.46 2.90 3.31 3.62 4.07 10.37 4.98 5.45 5.91
.15 0.49 1.10 1.91 2.58 3.13 3.71 4.26 4.68 5.28 5.68 6.50 7.12 7.75
Cs.12 0.55 1.26 2.25 3.09 3.77 4.49 5.18 5.71 6.46 6.97 8.00 8.77 9.56
.10 0.60 1.40 2.57 3.57 4.39 5.26 6.09 6.72 7.63 8.24 9.48 10.41 11.36
.08 0.66 1.60 3.02 4.26 5.28 6.37 7.102 8.22 9.36 10.12 11.67 12.85 110.03
.06 0.73 1.87 3.71 5.35 6.72 8.19 9.59 10.66 12.19 13.22 15.30 16.87 18.106
.05 0.77 2.06 1,.22 6.19 7.810 9.60 11.29 12.58 14.42 15.66 18.17 20.07 21.98
.01, 0.83 2.30 4.94 7.39 9.46 11.68 13.81 15.43 17.74 19.30 22.105 24.83 27.23
.03 0.89 2.63 6.03 9.31 12.08 15.07 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.02 0.96 3.12 7.98 12.91 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.51, 48.37 53.21
.01 1.06 3.99 12.81 22.77 31.100 40.66 109.51 56.25 65.78 72.19 85.09 910.82 1010.59
.50 3.12 3.23 .3.36 3.46 3.53 3.61 3.68 3.73 3.80 3.85 3.94 1,.01 10.08
.40 3.11, 3.27 3.43 3.55 3.64 3.73 3.81 3.87 3.95 4.01 ".12 4.20 4.28
.30 3.16 3.33 3.53 3.68 3.79 3.90 4.00 4.08 10.18 4.25 1,.39 4.48 10.58
.25 3.18 3.38 3.60 3.77 3.90 10.03 10.15 4.23 4.35 1,.1,3 10.58 10.69 10.80
.20 3.21 3.43 3.70 3.90 4.06 4.21 4.35 4.45 4.59 4.68 1,.85 10.98 5.11
.15 3.21, 3.52 3.85 4.10 4.29 1,.1,7 4.61, 4.77 4.93 5.04 5.26 5.101 5.56
Cc .12 3.27 3.59 3.98 4.27 4.1,9 4.71 4.91 5.05 5.25 5.37 5.62 5.80 5.97
.10 3.29 3.65 4.10 4."3 ".68 4.93 5.15 5.31 5.53 5.68 5.95 6.15 6.34
.08 3.32 3.73 4.25 4.64 4.94 5.22 5.48 5.67 5.92 6.09 6.40 6.63 6.85
.06 3.35 3.83 4.47 4.95 5.31 5.66 5.97 6.20 6.50 6.70 7.07 7.34 7.60
.05 3.37 3.91 4.63 5.18 5.58 5.98 6.33 6.58 6.92 7.13 7.55 7.85 8.14
.01, 3.40 1,.00 4.84 5.48 5.95 6.40 6.81 1.10 1.48 7.13 8.20 8.S" 8.87
.03 3.43 10.11 5.14 5.91 6.48 7.03 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.91,
.02 3.46 4.28 5.62 6.61, 7.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.76
.01 3.50 1,.56 6.62 8.25 9.40 10.48 11.40 12.05 12.90 13.44 14.1,7 15.19 15.87
118 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão =Ás2/ Ásl =0.2.5
Secções Rectangulares - Tensões em Estado Fendilhado d2 / d =0.05
<Jsl=a CsMs
Es
t bd2 (l=-
T d,:j: -Ec
As2 t <Js2<Jc = - Cc
Ms
bd2 As1d p=-
1 <Js2= a ( x - 0.1d)bd
<Jsl xMs
Cc es=--i- b-+ x= d N(Cc+ Cs)
H[:]MI + I +:N(d-)
TN
[:]1h d + t11 _ d-+h!2
es/d
«p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.07 0.29 0.57 0.78 0.95 1.13 1.30 1.1,2 1.60 1.73 1.97 2.16 2.34
.40 0.11 0.38 0.71 0.98 1.19 1.1,1 1.61 1.77 2.00 2.15 2.1,6 2.69 2.92
.30 0.17 0.51 0.94 1.28 1.56 . 1.85 2.13 2.34 2.64 2.81, 3.25 3.56 3.87
.25 0.22 0.60 1.11 1.52 1.85 2.20 2.53 2.78 3.11, 3.38 3.88 1,.25 1,.62
.20 0.27 0.73 1.35 1.86 2.27 2.70 3.12 3.1,3 3.88 I,.19 1,.80 5.27 5.74
.15 0.35 0.93 1.72 2.39 2.94 3.52 4.07 1,.49 5.10 5.50 6.32 6.95 7.58Cs .12 0.1,2 1.10 2.07 2.90 3.58 1,.30 5.00 5.53 6.28 6.79 7.82 8.61 9.39
.10 0.1,8 1.25 2.39 3.38 4.20 5.07 5.91 6.55 7.1,5 8.07 9.31 10.25 11. 20
.08 0.51, 1.45 2.85 1,.08 5.10 6.20 7.21, 8.05 9.19 9.96 11. 51 12.69 13.88
.06 0.63 1.73 3.54 5.18 6.55 8.01 9.1,2 10.50 12.03 13. 06 15.15 16.73 18.32
.05 0.68 1.92 1,.06 6.02 7.67 9.1,3 . 11.13 12.1,3 11,.27 15.51 18.03 19.93 21.85
.01, 0.75 2.17 1,.78 7.23 9.30 11.52 13.65 15.28 17.60 19.16 22.32 24.71 27.11
.03 0.82 2.51 5.88 9.15 11.93 14.92 17.78 19.97 23.08 25.18 29.41 32.61 35.82
.02 0.91 3.02 7.84 12.76 16.98 21.52 25.87 29.19 33.89 37.06 1,3.45 48.28 53.13
.01 1.03 3.91 12.69 22.65 31.29 40.57 49.43 56.17 65.71 72.13 85.04 94.78 104.56
.50 2.27 2.35 ' 2.45 2.53 2.58 2.64 2.69 2.73 2.78 2.82 2.88 2.93 2.98
.40 2.41 2.51 2.64 2.73 2.80 2.87 2.93 2.98 3.05 3.09 3.17 3.23 3.29
.30 2.57 2.70 2.87 2.99 3.08 3.18 3.26 3.32 3.40 3.46 3.57 3.61, 3.72
.25 2.66 2.82 3.01 3.16 3.27 3.38, 3.47 3.55 3.65 3.71 3.83 3.92 4.01
.20 2.76 2.96 3.19 3.37 3.50 3.63 3.75 3.84 3.96 4.03 1,.18 4.29 1,.39
.15 2.88 3.13 3.43 3.65 3.82 3.99 I,.14 4.25 4.39 1,.1,9 1,.68 4.81 1,.91,I'" .12 2.97 3.25 3.61 3.88 4.08 4.28 4.46 4.59 4.77 4.88 5.10 5.25 5.41"C
.10 3.03 3.35 3.77 4.08 4.31 4.54 4.75 4.89 5.09 5.22 5.47 5.65 5.82
.08 3.10 3.48 3.97 4.34 1,.61 4.88 5.12 5.30 5.53 5.68' 5.97 6.18 6.38
.06 3.18 3.63 4.24 4.70 5.04 5.37 5.66 5.87 6.16 6.34 6.69 6.94 7.18
.05 3.22 3.73 4.1,2 4.95 5.33 5.71 6.04 6.28 6.60 6.81 7.20 7.1,8 7.75
. aI, 3.27 3.84 4.66 5.27 ' 5.73 6.17 6.55 6.83 7.20 7.43 7.88 8.20 8.51
.03 3.33 3.99 4.98 5.74 6.29 6.83 7.29 7.62 8.06 8.35 8.88 9.26 9.63
.02 3.39 4.19 5.50 6.50 7.23 7.92 8.52 8.94 9.51 9.87 10.55 11.03 11.49
.01 3.46 1,.50 6.54 8.16 9.29 10.35 11.26 11. 90 12.71, 13.28 14.28 11,.99 15.67
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST119
Flexão Composta com Compressão f3 = As2/ As1 = 0.5
Secções Rectangulares - Tensões em Estado Fendilhado d2 / d = 0.05
asl =a CsMs
Es
t bd2
Td,t -a=-
EcAs2
x l7f as2 ac = -CcMs
bd2 As1d + p=-
1 as2 =a (x -0.1 d)bd
asl x. Ms
Cc es=-b-+ x= d N(Cc+ Cs)
n[JMI + I +:N(HQ)
TN
[JIh d + N t
11 _ +h!2
es/d
p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 - 0.20 0.46 0.68 0.85 1.03 1.20 1.32 1.51 1.63 1.88 2.07 2.26
.40 0.01 0.27 0.60 0.86 1.07 1.29 1.50 1.66 1.89 2.04 2.35 2.59 2.82
.30 0.07 0.39 0.81 1.15 1.43 1.72 2.00 2.22 2.52 2.72 3.13 3.45 3.76
.25 0.11 0.48 0.97 1.38 1.71 2.06 2.40 2.65 3.01 3.26 3.75 4.13 4.51
.20 0.16 0.60 1.21 1.71 2.12 2.56 2.98 3.30 3.75 4.06 4.68 5.14 5.62
.15 0.25 0.79 1.58 2.24 2.79 3.37 3.93 4.35 4.96 5.36 6.19 6.82 7.45Cs .12 0.32 0.96 1.92 2.74 3.43 4.15 4.85 5.38 6.14 6.65 7.69 8.48 9.27
.10 0.37 1.11 2.24 3.23 4.04 4.92 5.76 6.40 7.31 7.93 9.18 10.12 11. 07
.08 0.45 1.31 2.69 3.92 4.95 6.04 7.10 7.90 9.05 9.82 11.38 12.57 13.76
.06 0.54 1.60 3.39 5.02 6.39 7.86 9.28 10.36 11.89 12.93 15.02 16.61 18.20
.05 0.60 1.80 3.91 5.86 7.51 9.29 10.99 12.29 llt.14 15.39 17.91 19.82 21.74
.04 0.67 2.05 4.63 7.08 9.15 11.38 13.52 15.15 17.47 19.04 22.20 24.60 27.01
.03 0.76 2.40 5.74 9.00 11.79 14.78 17.66 19.85 22.97 25.07 29.30 32.51 35.73
.02 0.86 2.92 7.70 12.63 16.85 21.40 25.75 29.08 33.79 36.97 43.36 48.20 53.06
.01 1.00 3.84 12.57 22.54 31.18 40.48 49.34 56.10 65.65 72.07 84.99 94.74 104.53
.50 - 1.85 1.93 1.99 2.04 2.08 2.12 2.15 2.20 2.22 2.27 2.31 2.35
.40 1.95 2.04 2.14 2.22 2.28 2.34 2.39 2.43 2.48 2.51 2.58 2.63 2.67
.30 2.16 2.27 2.42 2.52 2.60 2.68 2.75 2.80 2.87 2.92 3.01 3.07 3.13
.25 2.28 2.42 2.59 2.72 2.81 2.91 2.99 3.05 3.14 3.19 3.30 3.37 3.44
.20 2.43 2.60 2.81 2.96 3.08 3.20 3.30 3.38 3.48 3.55 3.68 3.77 3.86
.15 2.60 2.81 3.09 3.29 3.44 3.60 3.73 3.83 3.96 4.05 4.21 4.33 4.44
Cc .12 2.72 2.98 3.31 3.56 3.14 3.93 4.09 4.21 4.37 4.47 4.66 4.80 4.94.10 2.81 3.11 3.49 3.78 4.00 4.21 4.40 4.54 4.72 4.84 5.06 5.22 5.38.08 2.91 3.26 3.72 .4.07 4.33
..4.58 4.81 4.97 5.19 5.32 5.59 5.78 5.96
.06 3.02 3.45 4.03 4.47 4.79 5.11 5.38 5.58 5.85 6.02 6.35 6.58 6.80
.05 3.09 3.56 4.23 4.73 5.11 5.47 5.78 6.01 6.31 6.51 6.88 7.14 7.39
.04 3.16 3.70 4.49 5.09 5.52 5.95 6.32 6.58 6.93 7.16 7.59 7.89 8.18
.03 3.24 3.87 4.84 5.58 6.12 6.63 7.08 7.40 7.83 8.10 8.61 8.98 9.33
.02 3.33 4.10 5.38 6.37 7.08 7.76 8.34 8.75 9.30 9.65 10.31 10.78 11.23
.01 3.43 4.45 6.47 8.06 9.19 10.24 11.13 11.76 12.59 13.12 14.11 14.81 15.48
120 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão P=As21 As! = 1.0
Secções Rectangulares - Tensõesem Estado Fendilhado d2 I d =0.05
crs1 =a CsMs
Es
t bd2 a=-
Td2+ -Ec
As2x;t crs2 crc = -Cc
Ms-+- bd2 As1d p=-
1 .;,;crs2 = a (x - 0.1d)
bd
crs1x
MsCc es=--+- b-+- x= d N
(Cc+ Cs)
H[JMI + I +:N(d-)
TN
[JIhd + -t11 _ d-+h!2
es/d
rt:p0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 - 0.09 0.35 0.56 0.74 0.92 1.09 1.22 1.41 1.54 1.79 1.98 2.18
.40 - 0.14 0.46 0.72 0.94 1.16 1.38 1.54 1.77 1.93 2.25 2.49 2.73
.30 - 0.24 0.64 0.99 1.27 1.57 1.85 2.07 2.38 2.59 3.01 3.32 3.64
.25 - 0.31 0.79 1.20 1.53 1.89 2.23 2.49 2.86 3.11 3.61 3.99 4.38
.20 0.02 0.42 1.01 1.51 1.93 2.37 2.79 3.12 3.58 3.89 4.52 4.99 5.47
.15 0.09 0.59 1.35 2.01 2.57 3.15 3.72 4.15 4.76 5.18 6.02 6.65 7.29
Cs .12 0.16 0.75 1.68 2.50 3.19 3.92 4.63 5.17 5.94 6.46 7.50 8.30 9.10.10 0.22 0.90 1.99 2.98 3.80 4.68 5.53 6.18 7.10 1.72 8.98 9.910 10.89.08 0.30 1.10 2.44 3.66 4.69 5.80 6.86 1.61 8.83 9.61 11.18 12.38 13.58.06 0.40 1.38 3.13 4.16 6.13 7.61 9.04 10.12 11.67 12.11 14.82 16.42 18.02.05 0.41 1.58 3.64 5.59 1.25 9.04 10.75 12.06 13.92 15.11 11.11 19.63 21.56.04 0.55 1.84 4.31 6.81 8.89 11.13 13.28 14.92 17.26 18.83 22.01 24.42 26.84.03 0.65 2.20 5.48 8.14 11.53 14. 54 11.43 19.63 22.76 24.81 29..13 32.34 35.58.02 0.18 2.14 1.45 12.31 16.61 21.17 25.55 28.88 33.61 36.80 43.21 48.06 52.93.01 0.94 3.10 12.34 22.32 30.99 40.30 49.19 55.96 65.54 71.91 84.91 94.67 104.41
.50 - 1.30 1.36 1.40 1.44 1.41 1.50 1.52 1.55 1.51 1.60 1.63 1.65
.40 - 1.48 1.56 1.62 1.66 1.71 1.14 1..17 1.81 1.83 1.88 1.91 1.95
.30 - 1.12 1.84 1.92 1.98 2.04 2.10 2.14 2.19 2. :?2 2.29 2.33 2.38
.25 - 1.89 2.02 2.13 2.20 2.28 2.34 2.39 2.46 2.:0 2.58 2.63 2.69
.20 1.95 2.09 2.26 2.39 2.49 2.58 2.67 2.73 2.81 2.86 2.96 3.03 3.10
.15 2.11 2.34 2.58 2.75 2.88 3.01 3.12 3.20 3.31 3.38 3.51 3.60 3.69
Cc.12 2.33 2.54 2.83 3.05 3.21 3.37 3.51 3.60 3.74 3.82 3.98 4.10 4.21.10 2.45 2.70 3.04 3.30 3.49 3.68 3.84 3.96 4.11 4.21 4.40 4.54 4.67.08 2.59 2.89 3.31 3.63 3.86 4.08 4.28 4.42 4.61 4.13 4.96 5.12 5.28.06 2.15 3.13 3.66 4.01 4.36 4.65 4.90 5.08 5.32 5.41 5.76 5.96 6.16.05 2.8 3.28 3.89 4.36 4.11 5.04 5.33 5.53 5.81 5.98 6.31 6.55 6.78.04 2.95 3.45 4.19 4.75 5.16 5.55 5.89 6.14 6.46 6.67 7.06 1.33 7.60.03 3.01 3.66 4.58 5.28 5.19 6.28 6.70 7.00 1.39 7.65 8.12 8.46 8.19.02 3.20 3.93 5.17 6.12 6.80 1.45 8.01 8.40 8.93 9.26 9.88 10.33 10.15.01 3.36 4.35 6.32 1.88 8.98 10.00 10.88 11.49 12.30 12.81 13.77 14.45 15.10
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST121
-- -
Flexão Composta com Compressão =As2/ ASI = 0.25
Secções Rectangulares - Tensões em Estado Fendilhado d2 / d = 0.10
crs1=(l CsMs
Es
t bd2 (l=-
Td4-Ec
As2x 77 crs2 crc = -Cc
Ms
d -+- bd2 As1p=-
1 crs2= (l crc (x -0.1 d)bd
N crs1 xMs
CC es=--+-b-+ x= d N(Cc+ Cs)
Tr[]MI + I +:N(H)
TN
[]Ih d + N t
11 _ -f;+b/2
es / d
ci.p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.10 0.33 0.61 0.82 0.99 1.17 1.34 1.47 1.65 1.77 2.02 2.21 2.39
.40 0.14 0.42 0.75 1.02 1.23 1.45 1.66 1.82 2.05 2.20 2.51 2.74 2.98
.30 0.20 0.55 0.98 1.33 1.61 1.90 2.18 2.39 2.70 2.90 3.31 3.62 3.93
.25 0.25 0.64 1.16 1.57: 1.90 2.25 2.59 2.84 3.20 3.45 3.94 4.31 4.69
.20 0.30 0.77 1.40 1.91 2.32 2.76 3.18 3.50 3.95 4.25 4.87 5.34 5.81
.15 0.38 0.97 1.78 2.45 3.00 3.58 4.14 4.56 5.17 5.57 6.40 7.02 7.65
Cs .12 0.45 1.14 2.12 2.96 3.64 4.37 5.07 5.60 . 6.36 6.87 7.90 8.68 9.47.10 0.50 1.29 2.45 3.44 4.27 5.14 5.98 6.62 7.53 8.15 9.39 10.33 11.28.08 0.57 1.49 2.90 4.14 5.17 6.27 7.32 8.12 9.27 10.04 11.60 12.78 13.97.06 0.65 1.77 3.60 5.25 6.62 8.09 9.50 10.58 12.11 13.15 15.24 16.82 18.41.05 0.70 1.96 4.12 6.09 7.74 9.51 11.21 12.51 14.36 15.61 18.12 20.03 21.94.04 0.77 2.21 4.84 7.30 9.38 11.61 13.74 15.37 17.69 19.26 22.41 24.80 27.21.03 0.84 2.55 5.94 9.23 12.01 15.01 17.88 20.07 23.18 25.28 29.51 32.71 35.93.02 0.93 3.05 7.90 12.84 17.07 21.61 25.97 29.29 33.99 37.16 43.55 48.38 53.23.01 1.04 3.94 12.76 22.74 31.38 40.67 49.52 56.27 65.81 72.22 85.12 94.86 104.63
.50 2.34 2.43 2.54 2.62 2.68 2.74 2.80 2.84 2.89 2.93 3.00 3.06 3.11
.40 2.47 2.59 2.72 2.82 2.89 2.97 3.03 3.09 3.15 3.20 3.29 3.35 3.42
.30 2.63 2.77 2.94 3.07 3.17 3.27 3.35 3.42 3.51 3.57 3.68 3.76 3.84
.25 2.71 2.88 3.09 3.24 3.35 3.46 3.57 3.64 3.75 3.81 3.94 4.04 4.13
.20 2.81 3.02 3.26 3.44 3.58 3.72 3.84 3.93 4.05 4.13 4.29 4.40 4.51
.15 2.93 3.18 3.49 3.72 3.89 4.06 4.22 4.33 4.49 4.59 4.7& 4.92 5.06
Cc .12 3.01 3.30 3.67 3.94 4.15 4.36 4.54 4.67 4.85 4.97 5.20 5.36 5.52
.10 3.06 3.40 3.82 4.14 438 4.61 4.82 4.97 . 5.18 5.31 5.57 5.76 .. 5.93
.08 3.13 3.51 4.02 4.39 4.67 4.95 5.20 5.37 5.61 5.77 6.07 6.28 6.49
.06 3.20 3.66 4.28 4.75 5.09 5.43 5.73 5.95 6.24 6.43 6.79 7.04 7.29
.05 3.25 3.76 4.46 4.99 5.39 5.77 6.11 6.35 6.68 6.89 7.29 7.58 7.86
.04 3.29 3.87 4.70 5.32 5.78 6.22 6.62 6.90 7.28 7.52 7.98 8.31 8.62
.03 3.34 4.01 5.02 5.78 6.34 6.88 7.35 7.69 8.14 8.43 8.98 9.37 9.74
.02 3.40 4.21 5.53 6.54 7.27 7.97 8.58 9.01 9.58 9.95 10.64 11.13 11.61
.01 3.47 4.52 6.57 8.19 9.33 10.41 11.32 11.97 12.82 13.36 14.39 15.11 15.80
- - -
122 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão =As2/ Ast = 0.5
Secções Rectangulares -Tensões em Estado Fendilhado d2 / d =0.10
O'sl=(l CsMs
Es
t bd2 (l=-
T d2+ -Ec
As2 J O's2O'c = -Cc
Ms
bd2 ASId p=-
1 -f:; O's2 = (l ( x -0.1d)bd
O'sl xMs
Cc es=-+- b-+ x= d N(Cc+ Cs)
HGMI + I +:N(d-)
TN
G1hd + -J-:-t11 _ d-+hfl
es/d
clp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00. 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 0.03 0.25 0.52 0.74 0.91 1.09 1.26 1.39 1.58 1.70 1.95 2.14 2.33
.40 0.06 0.32 0.66 0.93 1.14 1.36 1.58 1.74 1.97 2.12 2.43 2.67 2.91
.30 0.12 0.45 0.88 1.23 1.51 1.81 2.09 2.30 2.61 2.81 3.23 '3.54 3.86
.25 0.16 0.54 1.05 1.46 1.80 2.15 2.49 2.75 3.11 3.36 3.86 4.23 4.61
.20 0.21 0.67 1.29 1.80 2.22 2.66 3.08 3.1,0 3.86 1,.17 4.79 5.26 5.73
.15 0.30 0.86 1.66 2.34 . 2.89 3.48 1,.04 1,.47 5.08 5.1,9 6.32 6.95 7.58
Cs .12 0.36 1.03 2.01 2.85 3.51, I,. 27 1,.97 5.51 6.27 6.79 7.83 8.62 9.1,1
.10 0.42 1.18 2.34 3.34 1,.16 5.05 5.89 6.53 7.1,5 8.07 9.32 10.27 11.22
.08 0.1,9 1.39 2.79 1,.01, 5.07 6.18 7.21, 8.04 9.19 9.97 11.54 12.72 13.92
.06 0.59 1.67 3.50 5.15 6.53 8.01 9.1,3 10.51 12.05 13.09 15.19 16.78 18.38
.05 0.64 1.87 1,.02 5.99 7.66 9.1,1, 11.15 12.45 11,.31 15.56 18.08 19.99 21.91
.01, 0.11 2.12 1,.74 7.21 9.30 11. 54 13.68 15.32 17.65 19.22 22.38 24.78 27.19
.03 0.79 2.1,7 5.86 9.15 11.95 11,.95 17.83 20.03 23.15 25.25 29.49 32.70 35.92
.02 0.89 2.98 7.83 12.78 17.02 21.58 25.91, 29.27 33.99 31.16 43.56 48.39 53.25
.01 1.01 3.89 12.70 22.71 31.31 1,0.67 1,9.51, 56.29 65.83 12.25 85.16 91,.89 101,.66
.50 1.88 1.95 2.04 2.11 2.16 2.21 2.26 2.30 2.31, 2.37 2.U t.48 2.2
.1,0 2.04 2.14 2.25 2.34 2.1,0 2.1,7 2.53 2.57 2.63 2.61 2.75 2.80 2.85
.30 2.24 2.37 2.53 2.61, 2.73 2.81 2.89 2.95 3.03 3.08 3.18 3.25 3.32
.25 2.37 2.52 2.70 2.84 2.91, 3.01, 3.13 3.20 3.29 3.35 3.1,7 3.55 3.61,
.20 2.50 2.69 2.91 3.08 3.21 3.33 3.1,4 3.53 3.64 3.71 3.85 3.95 1,.05
.15 2.67 2.90 3.19 3.1,0 3.56 3.73 3.87 3.97 1,.12 1,.21 4.39 4.52 4.64
Cc .12 2.78 3.05 3.1,0 3.66 3.86 4.05 4.22 1,.35 4.52 4.63 4.84 4.99 5.14
.10 2.86 3.18 3.58 3.89 4.11 1,.33 4.53 4.68 1,.87 5.00 5.24 5.41 5.58
.08 2.96 3.33 3'81 4.17 1,.44 4.70 4.91, 5.11 5.34 5.48 5.77 5.97 6.17
.06 3.07 3.51 1,.11 4.56 1,.89 5.22 5.51 5.72 6.00 6.18 6.53 6.77 7.01
.05 3.13 3.62 1,.31 4.82 5.21 5.58 5.91 6.15 6.1,6 6.67 7.06 7.31, 7.60
.04 3.19 3.75 4.56 5.17 5.62 6.06 6.1,4 6.71 7.08 1.32 1.77 8.09 8.40
.03 3.26 3:92 4.91 5.66 6.21 6.74 7.20 7.53 1.91 8.26 8.80 9.18 9.55
.02 3.35 1,.14 5.41, 6.44 7.17 1.86 8.46 8.89 9.45 9.81 10.50 10.99 11.46
.01 3.41, 4.41 6.51 8.13 9.21 10.34 11.25 11. 89 12.15 13.29 11,.31 15.01, 15.73
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 123
Flexão Composta com Compressão
SecçõesRectangulares - Tensões em Estado Fendilhado
~ = Asz/ Ast = 1.0
dz / d = 0.10
asl =a CsMs
I
Esac bd2 (1=-
Td4-t E
as2c
As2 x Ms+ ac = -Cc
bd2I
As1d p=-
1as2 = a (x - 0.1d)
bd
aslx
I
MsCc es=-+- b-+ x= d N
(Cc+ Cs)I
H[;]MI + I +:N(d.)
TN
[;]1hd + -J:t <FC>
11 _ d-+hfl
es/ d
clp0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00. 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.50 - 0.15 0.1,2 0.61, 0.82 1.00 1.18 1.31 1.50 1.63 1.88 2.07 2.27
.1,0 - 0.21 0.55 0.82 1.03 1.26 1.1,8 1.65 1.88 2.01, 2.35 2.59 2.81,
.30 0.00 0.32 0.75 1.10 1.39 1.69 1.98 2.19 2.51 2.71 3.14 3.46 3.78
.25 0.01, 0.1,0 0.90 1.32 1.66 2.02 2.37 2.63 3.00 3.25 3.76 4.11, 1,.53
.20 0.09 0.52 1.13 1.65 2.07 2.52 295 3.28 3.71, 1,.05 1,.68 5.16 5.61,
.15 0.16 0.70 1.1,9 2.17 2.73 3.33 3.90 1,.31, 1,.95 5.37 6.21 6.85 7.49
Cs .12 0.23 0.86 1.83 2.68 3.38 4.12 1,.83 5.38 6.15 6.67 7.72 8.52 9.32
.10 0.29 1.01 2.15 3.16 4.00 4.89. 5.75 6.40 7.33 7.96 9.22 10.18 11.11,
.08 0.37 1.22 2.61 3.86 1,.91 6.03 7.10 7.92 9.08 9.86 11.1,5 12.64 13.85
.06 0.1,7 1.51 3.32 1,.98 6.37 7.87 9.30 10.1,0 11.95 13.00 15.11 16.71 18.32
.05 0.53 1.71 3.81, 5.83 7.51 9.31 11.03 12.35 11,.22 15.1,8 18.02 19.94 21.87
.04 0.61 1.97 4 .57 . 7. 06 9.16 11.42 13.58 15.23 17.58 19.16 22.31, 24.75 27.17
.03 0.70 2.32 5.69 9.01 11.83 11,.86 17.76 19.97 23.10 25.22 29.47 32.69 35.92
.02 0.82 2.86 7.69 12.67 16.94 21.52 25.90 29.24 33.98 37.16 1,3.58 48.42 53.28
.01 0.97 3.79 12.60 22.65 31.35 40.68 49.57 56.33 65.89 72.31 85.22 94.96 101,.73
.50 - 1.40. 1.47 1.53 1.57 1.61 1.65 1.67 1.71 1.73 1.78 1.82 1.85
.40 - 1.59 1.68 1."75 1.81 1.86 1.91 1.94 1.99 2.02 2.08 2.12 2.16
.30 1.74 1.81, 1.97 2.07 2.14 2.21 2.28 2.32 2.39 2.43 2.51 2.57 2.62
.25 1.88 2.00 2.16 2.28 2.37 2.45 2.53 2.59 2.66 2.71 2.81 2.88 2.95
.20 2.05 2.21 2.40 2.55 2.66 2.77 2.86 2.93 3.03 3.09 3.21 3.30 3.38
.15 2.26 2.46 2.72 2.91 3.06 3.20 3.33 3.1,2 3.54 3.62 3.78 3.89 4.00
Cc .12 2.42 2.66 2.97 3.21 3.39 3.56 3.72 3.83 3.98 1,.08 4.27 4.40 4.53
.10 2.54 2.81 3.19 3.46 3.67 3.88 4.06 4.19 4.36 1,.48 4.69 4.85 5.00
.08 2.67 3.00 3.45 3.79 4.04 4.28 4.50 1,.66 4.87 5.00 5.26 5.45 5.63
.06 2.83 3.23 3.80 4.23 4.54 4.85 5.12 5.32 5.58 5.75 6.07 6.30 6.53
.05 2.91 3.37 4.02 4.52 4.88 5.24 5.55 5.77 6.07 6.26 6.63 6.90 7.15
.01, 3.01 3.54 4.31. 4.90 5.33 5.75 6.11 6.38 6.73 6.95 7.38 7.69 7.99
.03 3.12 3.71, 1,.70 5.1,3 5.96 6.1,7 6.92 7.21, 7.67 7.94 8.46 8.84 9.20
.02 3.24 1,.00 5.28 6.26 6.97 7.65 8.23 8.65 9.21 9.56 10.24 10.72 11.19
.01 3.38 1,.39 6.41 8.01 9.14 10.20 11.11 11.75 12.60 13.14 14.17 14.90 15.60
_ _' ..'_.U._'.'
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Cálculo de Tensões em Estado Fendilhado
Secções em T
- - - - --- ---- - - -
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 127
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw =2
hf/d=O.l
b
t crcx
-+-
crs = cx CsEs
cx=~As1
P=bdcrc= - Cc
Ccx=
(Cc+ Cs)d
r I]M
d + t~1
Yo- +
-- ----
(/,s/d
0(1' 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.3000 0.17 0.56 1.03 1.39 1.67 1.97 2.25 2.47 2.77 2.97 3.38 3.68 4.00
.2000 0.22 0.76 1.1,2 1.95 2.37 2.81 3.23 3.54 3.99 4.30 4.91 5.37 5.84
.1600 0.25 0.88 1.69 2.34 2.86 3.41 3.93 4.33 4.89 5.27 6.03 6.62 7.20
.1200 0.30 1.07 2.11 2.95 3.64 4.37 5.06 5.59 6.35 6.85 7.88 8.66 9.45
.1000 0.33 1.20 2.41 3.42 4.24 5.12 5.95 6.59 7.49 8.11 9.34 10.28 11.23
.0800 0.36 1.38 2.84 4.09 5.11 6.21 7.25 8.05 9.19 9.96 11.51 12.69 13.88
Cs .0600 0.41 1.63 3.50 5.14 6.51 7.97 9.38 10.45 11.98 13.01 15.09 16.68 18.27.0500 0.104 1.79 3.98 5.91, 7.59 9.35 11. 04 12.34 14.18 15.1,2 17.94 19.81, 21.76
.01,00 0.107 2.01 4.65 7.10 9.16 11.38 13.51 15.11, 17.1,6 19.02 22.18 21,.57 26.98
.0300 0.51 2.30 5.67 8.92 11.70 11,.68 17.55 19.75 22.87 24.97 29.21 32.42 35.65
.0250 0.53 2.49 6.43 10.33 13.67 17.28 20.75 23.1,0 27.16 29.70 34.81 38.68 42.57
.0200 0.55 2.73 7.1,8 12.36 16.58 21.13 25.50 28.84 33.58 36.76 43.19 1,8.04 52.92
.0150 0.58 3.03 9.08 15.62 21.32 27.1,7 33.35 37.85 44.21 48.1,8 57.10 63.60 70.13
.0100 0.61 3.45 11.90 21.84 30.55 39.94 48.90 55.71 65.310 71.81 81,.81 91,.60 101,.1,3
.0050 0.65 4.08 18.89 39.38 57.43 76.68 94.91 108.71 128.15 141.16 167.26 186.88 206.55
.3000 4.79 1,.91, 5.12 5.26 5.36 5.46 5.56 5.63 5.72 5.79 5.91 6.00 6.09
.2000 4.81 5.02 5.27 5.46 5.60 5.74 5.87 5.96 6.09 6.17 6.34 6.46 6.57
.1600 10.82 5.07 5.37 5.59 5.75 5.92 6.07 6.18 6..33 6.43 6.62 6.76 6.89
.1200 1,.81, 5.14 5.51 5.78 5.99 6.19 6.38 6.51 6.70 6.81 7.04 7.21 7.37
.1000 4.85 5.19 5.61 5.92 6.16 6.39 6.60 6.75 6.96 7.09 7.35 7.53 7.71
.0800 1,.87 5.25 5.75 6.12 6.39 6.66 6.91 7.08 7.32 7.47 7.76 7.97 8.17
Cc .0600 4.89 5.34 5.95 6.40 6.73 7.06 7.35 7.56 1.81, 8.02 8.37 8.61 8.85.0500 4.90 5.40 6.09 6.60 6.98 7.35 1.61 7.91 8.22 8.102 .80 9.07 9.33
.0400 4.91 5.48 6.27 6.81 7.31 7.74 8.11 8.37 8.73 8.95 9.38 9.68 9.91
.0300 4.92 5.57 6.53 1.26 7.79 8.30 8.74 9.05 9.47 9.73 10.23 10.58 10.92
.0250 4.93 5.64 6.72 7.54 8.14 8.70 9.19 9.54 10.00 10.29 10.83 11.22 11.59
.0200 4.91, 5.71 6.96 7.91 . 8.60 9.24 9.80 10.19 10.70 11.03 11.65 12.08 12.50
.0150 10.95 5.81 7.29 8.45 9.27 10.03 10.68 11.14 11.74 12.12 12.84 13.35 13.81,
.0100 10.97 5.93 7.83 9.34 10.38 11.310 12.16 12.73 13.48 13.96 14.86 15.51 16.13
.0050 4.98 6.11 8.94 11.29 12.81 14.30 15.53 16.39 17.54 18.28 -19.70 20.72 21. 71
128 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com CompressãoSecções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw=2
heI d = 0.2
p ~ ASIbd
r l]M
d + t~1
Ya- +
! b !
Tt8 I
as = a C Mss-
d
Xbd2
1+r I ac = -C Msc-
+ bw+ NI I as
bd2
Ix=
Cc
(Cc+ Cs)d
es/d
o( 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.3000 0.09 0.1,7 0.91, 1.31 1.60 1.90 2.18 2.1,0 2.70 2.90 3.32 3.63 3.91,
.2000 0.12 0.61, 1.31 1.81, 2.27 2.71 3.11, 3.1,6 3.92 1,.22 1,.85 5.32 5.79
.1600 0.13 0.75 1.56 2.22 2.75 3.30 3.83 1,.21, 1,.81 5.20 5.97 6.56 7.16
.1200 0.15 0.91 1.95 2.81 3.51 1,.26 1,.97 5.51 6.27 6.79 7.83 8.62 9.1,2
.1000 0.17 1.02 2.21, 3.27 1,.11 5.00 5.86 6.51 7.1,3 8.05 9.31 10.26 11.22
.ccoo 0.19 1.17 2.61, 3.92 1,.98 6.10 7.17 7.99 9.15 9.93 11.51 12.70 13.90
Cs .0500 0.21 1.37 3.27 1,.97 6.38 7.89 9.32 10.1,2 11.98 13.03 15.11, 16.71, 18.35. 0500 0.22 1.51 3.71, 5.77 7.1,7 9.29 11.02 12.35 11,.23 15.1,9 18.03 19.96 21.89.01,00 0.23 1.69 1,.39 6.91, 9.08 11.36 13.55 15.21 17.57 19.15 22.35 21,.76 27.17.0300 0.25 1.93 5.1,0 8.81 11.69 11,.77 17.70 19.93 23.09 25.21 29.1,7 32.69 35.92.0250 0.26 2.09 6.16 10.26 13.71, 17.1,5 20.99 23.67 27.1,7 30.01 35.13 38.99 1,2.86.0200 0.27 2.28 7.23 12.39 16.77 21.1,3 25.86 29.23 33.97 37.15 1,3.51, 1,8.37 53.21.0150 0.28 2.51, 8.89 15.82 21.71 27.96 33.87 3!!.35 1,1,.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39.0100 0.29 2.88 11.91 22.1,1 31.30 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82 101,.59.0050 0.31 3.1,0 19.69 1,0.73 58.1,2 77.31, 95.31, 109.00 128.30 11,1.25 167.27 186.88 206.55
.3000 1,.06 1,.21 1,.37 1,.50 1,.59 1,.68 1,.77 1,.83 1,.92 1,.98 5.09 5.17 5.25
.2000 1,.07 1,.27 1,.50 1,.67 1,.79 1,.92 5.01, 5.13 5.21, 5.32 5.1,7 5.58 5.68
.1600 1,.08 1,.30 1,.58 1,.78 1,.93 5.09 5.22 5.32 5.1,6 5.55 5.73 5.85 5.97
.1200 1,.09 1,.36 1,.70 1,.95 5.11, 5.33 5.50 5.62 5.79 5.90 6.11 6.26 6.1, 1
. 1000 1,.09 1,.1,0 1,.79 5.08 5.29 5.51 5.70 5.81, 6.03 6.15 6.39 6.56 6.72
.0800 1,.10 1,.1,5 1,.90 5.25 5.50 5.75 5.98 6.11, 6.36 6.50 6.77 6.96 7.15Cc .0600 1,.11 1,.52 5.08 5.50 5.81 6.12 6.39 6.58 6.85 7.02 7.31, 7.58 7.80
. 0500 1,.11 1,.56 5.20 5.68 6.01, 6.38 6.69 6.91 7.20 7.39 7.76 8.02 8.28
.01,00 1,.12 1,.62 5.36 5.93 6.31, 6.71, 7.10 7.35 7.69 7.92 8.31, 8.65 8.91,
.0300 4.13 1,.69 5.60 6.29 6.80 7.29 7.71 8.02 8.44 8.70 9.22 9.59. 9.96
.0250 1,.13 4.74 5.77 6.56 7.13 7.68 8.16 8.51 8.98 9.28 9.87 10.30 10.71
.0200 1,.13 1,.80 5.99 6.91 7.58 8.22 8.78 9.19 9.71, 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 I,.11, 1,.87 6.31 7.1,1, 8.26 9.04 9.73 10.23 10.91 11.34 12.16 12.71, 13.29
.0100 I,. 11, 1,.97 6.83 8.35 9.43 10.48 11.40 12.05 12.90 13.44 11,.1,7 15.19 15.87
.0050 4.15 5.11 7.99 10.1,9 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21. 71
_u__ --- --------.--.--
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST129
Flexão Composta com Compressão
Secções em T -Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 2
hei d = 0.3
b
t crcx
-+-
crs =a CsEs
a=E;As1
P=b"dcrc= - Cc
Ccx=
(Cc+ Cs)d
r I]M
d + t-jE1
Y(i- +
- - - - ------
es I d
«,o 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 (X)
.3000 0.08 0.1, 7 0.91, 1.31 1.60 1.90 2.19 2.1, 1 2.72 2.92 3.31, 3.65 3.97
.2000 0.10 0.63 1.31 1.85 2.28 2.71, 3.17 3.1,9 3.95 1,.26 1,.89 5.36 5.81,
.1600 0.12 0.71, 1.57 2.21, 2.78 3.31, 3.88 1,.29 I,.86 5.25 6.01, 6.63 7.23
.1200 0.11, 0.90 1.97 2.85 3.57 1,.32 5.01, 5.59 6.36 6.88 7.93 8.72 9.51
. 1000 0.15 1.01 2.27 3.32 1,.18 5.09 5.95 6.61 7.51, 8.16 9.1,2 10.37 11.33
.0800 0.17 1.16 2.69 1,.01 5.08 6.22 7.30 8.12 9.29 10.07 11.61, 12.83 11,.02
Cs .0600 0.18 1.38 3.35 5.10 6.51, 8.06 9.51 10.60 12.15 13.20 15.29 16.87 18.1,6.0500 0.20 1.52 3.85 5.95 7.67 9.50 11.21, 12.55 110.1,1 15.66 18.17 20.07 21.98.0400 0.21 1.71 1,.56 7.17 9.34 11. 62 13.79 15.1,3 17.74 19.30 22.45 24.83 27.23.0300 0.22 1.97 5.65 9.14 12.02 15.06 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93.0250 0.23 2.15 6.48 10.65 14.10 17.72 21.17 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 42.86.0200 0.24 2.37 7.65 12.84 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.54 48.37 53.21.0150 0.25 2.65 9.46 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 44.67 48.91 57.45 63.91 70.39.0100 0.26 3.06 12.70 22.77 31.40 40.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82 104.59
.0050 0.27 3.70 20.108 100.73 58.102 77.31, 95.310 109.00 128.30 1101.25 167.27 186.88 206.55
.3000 3.65 3.79 3.96 1,.08 1,.17 1,.27 1,.35 1,.1,1 1,.50 1,.56 1,.67 1,.75 1,.83
.2000 3.66 3.85 4.08 1,.25 1,.38 1,.51 1,.63 1,.71 1,.83 1,.91 5.06 5.17 5.28
.1600 3.66 3.89 1,.16 1,.36 1,.52 1,.67 1,.81 1,.91 5.05 5.11, 5.32 5.1,5 5.58
.1200 3.67 3.91, 1,.26 1,.54 1,.73 4.92 5.09 5.22 5.39 5.50 5.72 5.88 6.04
.1000 3.68 3.98 1,.37 10.67 10.89 5.11 5.30 5.105 5.61, 5.77 6.02 6.20 6.38
.0800 3.68 1,.03 1,.49 1,.81, 5.10 5.36 5.59 5.76 5.99 6.14 6.44 6.65 6.86
Cc .0600 3.69 4.10 4.67 5.11 5.43 5.75 6.04 6.24 6.53 6.71 7.08 7.34 7.60.0500 3.69 1,.15 4.80 5.30 5.67 6.04 6.36 6.60 6.93 7.14 7.55 7.85 8.11,
.0400 3.70 4.21 1,.98 5.57 6.00 6.43 6.82 7.10 7.48 7.73 8.20 8.54 8.87
.0300 3.70 4.29 5.24 5.96 6.50 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.94
.0250 3.71 4.34 5.42 6.25 6.87 7.48 8.02 8.40 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 3.71 4.40 5.67 6.65 7.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.76
.0150 3.71 4.108 6.03 7.25 8.11, 8.98 9.71 10.22 10.91 11.310 12.16 12.74 13.29
.0100 3.72 4.60 6.63 8.25 9.1,0 10.1,8 11.40 12.05 12.90 13.104 110.47 15.19 15.87
.0050 3.72 10.77 7. 91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
--- --
130 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão b / bw= 4
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado hr/ d =0.1
i b IO's =a Cs
Ms Es
TC !Wbd2
a=-Ec
+ Ms ASId O'c =-Cc p=-
1bd2 bd
O's CC Msx= d es=-+bw+ (Cc+ Cs) N
rMO ;::NYQ
jTNd + t 011 Ya- +
es/d
fJ 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1. 75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.2000 - 0.47 1.18 1.73 2.17 2.62 3.05 3.38 3.84 4.H 4.77 5.24 5.71
.1600 - 0.55 1.42 2.10 2.61, 3.20 3.73 4.14 4.71 5.10 5.87 6.46 7.06
.1200 - 0.68 1.79 2.67 3.38 4.13 4.84 5.38 6.14 6.66 7.70 8.49 9.28
.1000 - 0.78 2.06 3.11 3.96 4.85 5.70 6.35 7.27 7.89 9.14 10.09 11. 04
.0800 - 0.90 2.45 3.74 4.79 5.91 6.98 7.79 8.94 9.72 11.29 12.48 13.68
.0700 - 0.98 2.71 4.17 5.37 6.65 7.87 8.80 10.12 11.01 12.82 14.18 15.55,... . 0600 - 1.07 3.04 4.73 6.13 7.63 9.05 10.14 11.69 12.73 14.84 16.1,4 18.01,\"s.0500 - 1.19 3.47 5.49 7.17 8.97 10.69 12.00 13.87 15.13 17.67 19.59 21. 53.0400 - 1.34 4.08 6.58 8.69 1O.95 13.11 14.77 17.12 18.70 21.89 21,.31 26.71,.0300 - 1.54 5.00 8.32 11.15 lIt.19 17. 11 19.33 22.49 24.62 28.91 32.15 35.40.0250 - 1.67 5.68 9.66 13.08 16.75 20.28 22.96 26.78 29.31, 34.51 38.1,1 1,2.32.0200 - 1.83 6.63 11.61 15.92 20.56 25.00 28.39 33.18 36.40 1,2.89 1,7.78 52.69.0150 - 2.04 8.07 11,.75 20.57 26.81, 32.83 37.38 43.82 48.11, 56.83 63.38 69.94.0100 - 2.31 10.62 20.79 29.72 39.30 48.39 55.29 65.02 71. 54 81,.62 91,.47 104.32.0050 - 2.69 16.99 38.14 56.65 76.22 94.64 108.54 128.07 141.11 167.25 186.88 206.55
.2000 - 6.76 6.97 7.12 7.24 7.35 7.46 7.54 7.65 7.72 7.86 7.96 8.05
.1600 - 6.78 7.03 7.22 7.36 7.50 7.62 7.72. 7.84 7.93 8.09 8.20 8.32
.1200 - 6.82 7.13 7.37 7.54 7.72 7.87 7.99 8.14 8.24 8.44 8.58 8.71
.1 000 - 6.85 7.21 7.47 7.68 7.88 8.05 8.18 8.36 1$.47 8.69 8.84 9.00
.0800 - 6.88 7.31 7.63 7.86 8.10 8.30 8.45 8.66 8.78 9.03 9.21 9.38
.0700 - 6.91 7.37 7.72 7.99 8.24 8.47 8.63 8.85 8.99 9.26 9.1,5 9.63
Cc .0600 - 6.93 7.1,6 7.85 8.11, 8.42 8.67 8.85 9.09 9.25 9.51, 9.75 9.91,.0500 - 6.97 7.56 8.01 8.31, 8.66 8.94 9.14 9.1,1 9.58 9.90 10.13 10.35.0400 - 7.01 7.70 8.23 8.61 8.98 9.30 9.53 9.83 10.02 10.39 10.64 10.89.0300 - 7.07 7.91 8.55 9.01 9.45 9.83 10.10 10.45 10.68 11.10 11.1,0 11.68.0250 - 7.10 8.05 8.78 9.30 9.79 10.21 10.50 10.89 11.11, 11.61 11.94 12.25.0200 - 7.15 8.21, 9.08 9.68 10.24 10.71 11.05 11.49 11.77 12.30 12.67 13.03.0150 - 7.20 8.50 9.53 10.21, 10.90 11.46 11.85 12.37 12.70 13.32 13.77 14.20.0100 - 7.27 8.93 10.26 11.17 12.01 12.72 13.22 13.88 11,.30 15.12 15.71 16.28.0050 - 7.37 9.82 11.91 13.31 14.60 15.72 16.52 17.61 18.32 19.70 20.72 21.71
Grupo de BelAo Armado e Pré-Esforçado - 1ST 131
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw =4
hr/d=O.2
b
t crcx
-+-
Es
(X=~As1
P =b"dcrc= - Cc
Ccx=
(Cc+ Cs)d
r
I]
M
d + t~1 Ya
- +
- -- - - --- - -
es/d
f1 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.2000 - 0.34 1.06 1.62 2.07 2.53 2.97 3.30 3.77 4.09 4.72 5.20 5.68
.1600 - 0.40 1.28 1.97 2.53 3.11 3.65 1,.07 1,.66 5.05 5.85 6.1,5 7.05
.1200 - 0.50 1.62 2.53 3.27 1,.01, 1,.77 5.33 6.11 6.61, 7.70 8.51 9.31
.1000 - 0.57 1.88 2.96 3..85 1,.77 5.65 6.32 1.27 1.90 9.18 10.15 11.12
.0800 - 0.65 2.21, 3.59 1,.69 5.86 6.96 7.80 8.99 9.78 11.39 12.60 13.81
.0700 - 0.71 2.49 I,.03 5.29 6.62 7.89 8.85 10.21 11.12 12.96 11,.31,15.73
Cs .0600 - 0.78 2.81 1,.60 6.08 7.61, 9.12 10.24 11.83 12.90 15.01, 16.66 18.28
.0500 - 0.87 3.24 5.39 7.16 9.04 10.82 12.18 11,.09 15.37 17.95 19.89 21.84
.0400 - 0.97 3.85 6.53 8.76 11.13 13.36 15.06 17.45 19.06 22.28 24.71 27.14
.0300 - 1.12 4.80 8.39 11.39 11,.56 17.55 19.82 23.01 25.15 29.45 32.68 35.91
.0250 - 1.21 5.51 9.85 13.1,6 17.27 20.87 23.59 27.1,2 29.98 35.12 38.99 42.86
.0200 - 1.33 6.54 11.99 16.52 21.30 25.79 29.18 33.95 37.15 43.51, 1,8.37 53.21
.0150 - 1.47 8.16 15.47 21.53 27.89 33.85 38.35 41,.67 1,8.91 57.45 63.91 70.39
.0100 - 1.67 11.16 22.19 31.21, 1,0.66 49.51 56.25 65.78 72.19 85.09 94.82 104.59
.0050 - 1.94 19.12 40.73 58.42 77.34 95.34 109.00 128.30 141.25 167.27 186.88 206.55
.2000 - 4.96 5.15 5.28 5.39 5.49 5.59 5.66 5.75 5.82 5.94 6.03 6.°12
.1600 - 4.98 5.20 5.37 5.49 5.62 5.73 5.81 5.93 6.00 6.11, 6.25 6.35
.1200 - 5.00 5.28 5.1,9 5.65 5.81 5.95 6.05 6.19 6.28 6.46 6.59 6.71
.1000 - 5.02 5.34 5.59 5.77 5.95 6.11 6.23 6.39 6.49 6.69 6.84 6.98
.0800 . - 5.04 5.43 5.72 5.93 6.15 6.34 6.1,1 6.66 6.78 1.02 7.19 7.35
.0700 - 5.06 5.48 5.81 6.04 6.28 6.49 6.64 6.85 6.98 7.24 7.42 7.61
Cc .0600 - 5.08 5.55 5.92 6.19 6.45 6.68 6.85 1.08 7.23 7.52 7.73 1.93
.0500 - 5.10 5.64 6.06 6.37 6.61 6.94 7.13 7.39 7.56 1.89 8.13 8.37..
.0400 - 5.12 5.17 6.26 6.63 6.98 7.29 7.52 7.83 8.03 8.42 8.71 8.99
.0300 - 5.16 5.95 6.57 7.02 7.1,5 7.81, 8.12 8.51 8.76 9.25 9.61 9.97
.0250 - 5.18 6.09 6.79 1.31 7.81 8.25 8.58 9.02 9.31 9.88 _ 10.30 10.71
.0200 - 5.21 6.27 7.10 7.71 8.30 8.83 9.22 9.75 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 - 5.25 6.53 7.57 8.33 9.07 9.74 10.23 10.91 11.34 12.16 12.74 13.29
.0100 - 5.29 6.98 8.41 9.1,5 10.48 11.40 12.05 12.90 13.1,4 14.1,1 15.19 15.87
.0050 - 5.36 8.04 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
132 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com CompressãoSecçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw= 4
hrl d = 0.3
MsII crs = a Cs bd2
f b crc~ tc=7
T hr x
I
Ms
d + -+- r ac =-Cc bd'1 ~s Cc
As I crs d- N I I x = (Cc+ c.)+bw+
p--bd
r
I]
M
d + t~1
YG- +
es/d
o(fJ0.15 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.15 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.2000 - 0.39 1.12 1.69 2.15 2.62 3.06 3.1,0 3.81 1,.19 1,.83 5.31 5.19
.1600 - 0.1,6 1.36 2.01 2.63 3.22 3.18 1,.19 1,.19 5.18 5.98 6.58 1.19
.1200 - 0.51 1.13 2.61 3.1,2 1,.20 1,.91, 5.50 6.29 6.82 1.88 8.69 9.1,9
.1000 - 0.65 2.01 3.11, 1,.01, 1,.98 5.86 6.51, 1.1,8 8.12 9.39 10.35 11.31
.0800 - 0.76 2.1,2 3.82 1,.91, 6.12 1.23 8.01 9.25 10.01, 11.63 12.82 11,.02
.0700 - 0.83 2.10 1,.30 5.58 6.92 8.19 9.11, 10.1,9 11.39 13.21 11,.57 15.93
Cs .0600 - 0.91 3.01 1,.92 6.1,2 7.98 9.1,6 10.57 12.11, 13.19 15.29 16.87 18.1,6
.0500 - 1.02 3.56 5.78 1.57 9.1,1, 11.20 12.53 11,.1,1 15.66 18.11 20.07 21.98
.01,00 - 1.16 1,.26 1.03 9.26 11.59 13.77 15.1,2 17.71, 19.30 22.1,5 21,.83 21.23
.0300 - 1.35 5.38 9.01, 11.98 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.12 35.93
.0250 - 1.1,8 6.22 10.58 11,.09 11.72 21.11 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 1,2.86
.0200 - 1.65 1.1,3'12.81 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.51, 1,8.31 53.21
.0150 - 1.86 9.30 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 44.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0100 - 2.17 12.61, 22.71 31.40 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82101,.59
.0050 - 2.66 20.48 1,0.73 58.42 71.31, 95.31, 109.00 128.30 141.25 161.21 186.88 206.55
.2000 - 1,.15 1,.31, 1,.49 1,.60 4.71 4.81 4.89 4.99 5.06 5.19 5.29 5.38
.1600 - 4.17 4.1,0 4.58 4.71 4.85 4.97 5.06 5.18 5.26 5.1,2 5.51, 5.65
.1200 - 4.20 4.50 4.72 4.89 5.06 5.21 5.33 5.48 5.58 5.78 5.93 6.08
.1000 - 4.22 1,.51 1,.83 5.02 5.22 5.40 5.53 5.71 5.83 6.06 6.23 6.1,0
.0800 - 4.25 4.66 4.98 5.21 5.1,5 5.66 5.82 6.03 6.18 6.1,5 6.66 6.86
.0700 - 4.26 1,.73 5.08 5.31, 5.60 5.81, 6.02 6.26 6.41 6.13 6.96 1.18
Cc .0600 - 4.29 1,.81 5.21 5.51 5.80 6.01 6.27 6.54 6.72 7.08 7.31, 7.60
.0500 - 4.32 1,.92 5.38 5.73 6.07 6.38 6.61 6.93 7.11, 7.55 7.85 8.11,
.01,00 - 1,.35 5.07 5.62 6.04 6.1,5 6.82 7.10 7.1,8 1.73 8.20 8.54 8.81
.030Ó - 4.40 5.30 6.00 6.52 1.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.11 9.56 9.94
.0250 - 4.1,3 5.1,7 6.27 6.88 7.48 8.02 8.1,0 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 - 4.1,8 5.70 6.66 1.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.16
.0150 - 4.53 6.01, 7.25 8.11, 8.98 9.71 10.22 10.91 11.31, 12.16 12.71, 13.29
.0100 - 4.60 6.63 8.25 9.40 10.48 11.40 12.05 12.90 13.1,1,11,.47 15.19 15.87
.005o - 4.72 1.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.1,2 18.21 19.69 20.72 21.11
- -.- .. - .
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 133
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 6
hrl d = 0.1
b
t O"cx
+ O"c=-Cc p _ ASlbd
Ccx=
(Cc+ Cs)d
r
I]
M
d + t~1
Ya- +
es/d
",.o0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.1600 - 0.32 1.22 1.93 2.1,8 3.06 3.60 1,.01 1,.59 1,.98 5.77 6.36 6.96
.1200 - 0.1,0 1.56 2.47 3.20 3.96 1,.68 5.23 6.01 6.53 7.58 8.37 9.17
.1000 - 0.1,6 1.81 2.89 3.76 1,.67 5.51, 6.19 7.12 7.75 9.01 9.97 10.93
.0800 - 0.53 2.16 3.49 4.57 5.71 6.79 7.62 8.78 9.57 11.15 12.35 13.56
.0600 - 0.64 2.70 4.1,5 5.88 7.40 8.85 9.95 11.52 12.57 11,.70 16.30 17.92
.0500 - 0.72 3.10 5.18 6.90 8.73 10.47 11.80 13.69 11,.96 17.52 19.1,5 21.1,0
Cs.0450 - 0.76 3.35 5.65 7.56 9.60 11.51, 13.03 15.13 16.51, 19.1,0 21.55 23.72
.01,00 - 0.81 3.66 6.21, 8.39 10.69 12.88 11,.55 16.93 18.52 21.7t, 21,.17 26.61
.0350 - 0.87 1,.04 6.97 9.43 12.07 14.59 16.51 19.23 21.06 21,.75 27.53 30.33
.0300 - 0.91, 1,.52 7.93 10.81 13.90 1 6 . 86 19.11 22.30 21,.1,1,28.76 32.01 35.28
.0250 - 1.02 5.15 9.23 12.72 16.45 20.02 22.71, 26.58 29.16 31,.36 38.28 1,2.21
.0200 - 1.12 6.03 11.14 15.53 20.25 21,.71,28.16 32.99 36.23 1,2.75 1,7.66 52.59
.0150 - 1.25 7.38 11,.23 20.16 26.52 32.57 37.17 43.65 1,7.99 56.72 63.28 69.86
.0100 - 1.1,1 9.78 20.21 29.30 39.00 48.17 55.11 64.89 71.43 81,.55 91, .1,1 1 04 . 29
.0050 - 1.64 15.84 37.55 56.32 76.04 94.51,108.1,7128.01,11,1.10167.25 186.88 206.55
.1600 - 7.72 7.94 8.09 8.22 8.34 8.1,5 8.53 8.61, 8.71 8.85 8.95 9.05
.1200 - 7.71, 8.01 8.21 8.37 8.52 8.65 8.75 8.89 8.98 9.15 9.27 9.39
.1000 - 7.75 8.07 8.30 8.48 8.65 8.81 8.92 9.08 9.17 9.36 9.50 9.63
.0800 - 7.77 8.15 8.1,2 8.63 8.84 9.02 9.15 9.33 9.1,1, 9.66 9.82 9.97
.0600 - 7.80 8.26 8.61 8.87 9.12 9.31, 9.50 9.71 9.85 10.10 10.29 10.1,6
.0500 - 7.82 8.31, 8.71, 9.01, 9.32 9.57 9.75 9.98 10.11, 10.1,2 10.62 10.82
Cc .01,50 - 7.83 8.40 8.83 9.11, 9.45 9.71 9.90 10.16 10.31 10.62 10.83 11.01,
.01,00 - 7.81, 8.46 8.93 9.27 9.60 9.89 10.09 10.36 10.53 10.85 11.08 11.30
.0350 - 7.85 8.53 . 9.05 9.1,3 9.78 10.09 10.31 10.60 10.79 11.13 11.38 11.62
.0300 - 7.87 8.62 9.20 9.62 10.01 10.35 10.59 10.91 11.11 11.1,9 11.76 12.01
.0250 - 7.89 8.7t, 9.1,0 9.86 10.30 10.68 10.95 11.30 11.52 11.91, 12.21, 12.53
.0200 - 7.91 8.89 9.66 10.20 10.70 11.13 11.1,3 11.83 12.09 12.57 12.92 13.25
.0150 - 7.91, 9.12 10.05 10.70 11.29 11.80 12.16 12.63 12.94 13.52 13.91, 14.31,
.0100 - 7.98 9.1,8 10.70 11.53 12.30 12.95 13.1,1 11,.01, 11,.1,1, 15.21 15.78 16.33
.0050 - 8.03 10.24 12.19 13.1,9 11,.71 15.79 16.57 17.63 18.33 19.71 20.72 21.71
- - - -
134 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw =6
hf/d=O.2
Ms
I as = a Cs d2f b j Gc btc=7_
r ~ x
I
Ms
d + -+- r ac= -CCb"d2
1 ~Ms CcAs · as d- N I I x= (c.+C,)+bw+
Esa=~
As1P =bd"
r
I]
M
d + t~1 Y(j
- -+
VTN
lJl
es/d
á/J 075 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 .OO 5.00 10.00 00
.1600 - 0.22 1.13 1.85 2.1,2 3.01 3.57 3.99 1,.59 1,.99 5.79 6.39 7.00
.1200 - 0.27 1.1,5 2.39 3.15 3.91, 1,.68 5.25 6.01, 6.57 7.65 8.1,6 9.27
.1000 - 0.-31 1.69 2.81 3.72 1,.67 5.56 6.21, 7.20 7.81, 9.13 10.10 11.08
.0800 - 0.36 2.03 3.1,3 1,.56 5.75 6.87 7.72 8.92 9.72 11.31, 12.55 13.78
.0600 - 0.1,3 2.57 1,.1,3 5... 7.53 9.03 10.16 11.77 12.81, 15.00 16.62 18.25
.0500 - 0.1,8 2.98 5.20 7.02 8.93 10.71, 12.11 11,.03 15.32 17.91 19.86 21.82
Cs .01,50 - 0.51 3.21, 5.71 7.71, 9.87 11.87 13.39 15.51, 16.97 19.85 22.01 21,.18
.01,00 -- 0.55 3.56 6.31, 8.63 11.03 13.29 15.00 17.1,1 19.02 22.26 21,.69 27.13
.0350 - 0.59 3.97 7.15 9.76 12.51 15.10 17.05 19.81 21.65 25.35 28.12 30.91
.0300 - 0.63 1,.1,9 8.20 11.26 11,.10717.1,9 19.78 22.99 25.13 29.1,1, 32.67 3591
.0250 - 0.69 5.19 9.66 13.35 17.20 20.82 23.56 27.1,0 29.97 35.12 38.99 1,2.86
.0200 - 0.76 6.20 11.82 16.1,3 21.21, 25.76 29.17 33.95 37.11, 1,3.51, 1,8.37 53.21
.0150 - O.SI, 7.81 15.33 21.1,7 27.86 33.81, 38.35 1,1,.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0100 - 0.95 10.82 22.10 31.22 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82 101,.59
.0050 - 1.10 18.88 1,0.72 58.1,2 77.31, 95.31, 109.00 128.30 11,1.25 167.27 186.88 206.55
.1600 - 5.28 5.1,8 5.62 5.71, 5.85 5.95 6.02 6.12 6.19 6.32 6.1,1 6.51
.1200 - 5.29 5.51, 5.73 5.87 6.01 6.11, 6.23 6.36 6.1,1, 6.60 6.72 6.83
.1000 - 5.30 5.59 5.81 5.97 6.11, 6.28 6.39 6.51, 6.63 6. SI 6.95 7.08
.0800 - 5.31 5.66 5.92 6.12 6.31- 6.1,9 6.61 6.78 6.90 7.12 7.27 7.1,3
.0600 - 5.33 5.76 6.10 6.31, 6.58 6.80 6.96 7.17 7.31 7.58 7.78 7.98
.0500 - 5.31, 5.81, 6.23 6.51 6.79 7.01, 7.22 7.1,6 7.62 7.91, 8.17 8.1,0
Cc .01,50 - 5.35 5.89 6.31 6.62 6.92 7.19 7.38 7.65 7.83 8.17 8.1,2 8.67
.01,00 - 5.35 5.95 6.1,1 6.71, 7.07 7.37 7.58 7.8S 8.07 8.1,5 8.73 9.00
.0350 - 5.36 6.02 6.53 6.90 7.27 7.60 7.81, 8.17 8.38 8.80 9.11 9.1,2
.0300 - 5.37 6.11 6.68 7.11 7.52 7.89 8.16 8.53 8.78 9.26 9.62 9.97
.0250 - 5.38 6.22 6.89 7.38 7.85 8.28 8.60 9.03 9.32 9.88 10.30 10.71
0200 - 5.1,0 6.38 7.1S- 7.76 S.33 8.85 9.23 9.76 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 - 5.1,2 6.63 7.63 8.36 9.09 9.71, 10.23 10.91 11.31, 12.16 12.71, 13.29
.0100 - 5.1.1, 7.05 8.1,3 9.1,6 10.1,8 11.1,0 12.05 12.90 13.1,1,11,.1.7 15.19 15.87
.0050 - 5.1,7 8.06 10.1,9 12.25 13.86 15.22 16.17 17.1,2 18.21 19.69 20.72 21.71
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 135
Flexão Composta com CompressãoSecçõesem T - Tensõesem Estado Fendilhado
b I bw = 6
h rI d = 0.3
b
t acx-+- ac = - Cc p _ As1
bd
Ccx=
(Cc+ Cs)d
MseS=N
r~M
d + t~1
Yr;- +
------
es/d
áp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.1600 - 0.33 1.26 1.99 2.57 3.17 3.73 4.16 4.76 5.16 5.96 6.57 7.17
.1200 - 0.41 1.62 2.59 3.36 4.16 4.91 5.47 6.27 6.80 7.87 8.67 9.108
.1000 - 0.107 1.90 3.06 3.98 10.93 5.83 6.51 7.106 8.10 9.38 10.34 11.31
.0800 - 0.55 2.30 3.74 10.89 6.08 7.20 8.010 9.23 10.03 11.62 12.82 14.02
.0600 - 0.67 2.94 4.85 6.37 7.95 9.104 10.56 12.13 13.18 15.29 16.87 18.46
.0500 - 0.76 3.43 5.71 7.53 9.42 11.19 12.53 14.100 15.66 18.17 20.07 21.98
Cs .01050 - 0.81 3.75 6.28 8.29 10.39 12.35 13.82 15.90 17.28 20.08 22.19 210.32.01000 - 0.87 4.14 6.97 9.23 11.58 13.77 15.102 17.74 19.30 22.105 210.83 27.23.0350 - 0.910 4.63 7.85 10.102 13.08 15.57 17.45 20.10 21.88 25.109 28.22 30.96.0300 - 1.02 5.26 9.00 11.97 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0250 - 1.13 6.11 10.56 110.08 17.72 21.17 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 102.86
.0200 - 1.26 7.33 12.80 17.12 21.65 25.99 29.30 34.00 37.16 43.54 48.37 53.21
.0150 - 1.1010 9.23 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 1010.67 108.91 57.105 63.91 70.39
.0100 - 1.69 12.61 22.77 31.40 100.66 49.51 56.25 65.78 72.19 85.09 910.82 1010.59
.0050 - 2.10 20.108 100.73 58.102 77.310 95.310 109.00 128.30 1101.25167.27 186.88 206.55
.1600 . - lo..28 10.50 10.66 10.79 10.91 5.03 5.11 5.23 5.31 5.106 5.57 5.68
.1200 - 10.30 4.58 10.79 10.95 5.11 5.26 5.37 5.51 5.61 5.81 5.95 6.09
. 1000 - 10.31 4.64 10.89 5.08 5.26 5.43 5.56 5.73 5.85 6.07 6.24 6.101
.0800 - 10.33 10.73 5.03 5.25 5.108 5.69 5.810 6.05 6.19 6.46 6.66 6.87
.0600 - 10.36 10.87 5.25 5.53 5.82 6.08 6.28 6.55 6.73 7.08 7.310 7.60
.0500 - 10.38 4.97 5.101 5.75 6.08 6.39 6.62 6.93 7.110 7.55 7.85 8.110
Cc .01050 - 10.39 5.03 5.52 5.88 6.25 6.58 6.83 7.18 7.41 7.85 8.17 8.107
.01000 - 10.101 5.11 5.610 6.05 6.105 6.82 7.10 7.108 7.73 8.20 8.510 8.87
.0350 - 10.103 5.20 5.80 6.25 6.71 7.12 7.43 7.85 8.12 8.63 9.00 9.35
.0300 - 10.105 5.33 6.01 6.52 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.910
.0250 - 4.107 549 6.28 6.88 7.108 8.02 8.100 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 - 10.50 5.71 6.66 7.36 6.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.26 11.76
.0150 - 10.510 6.05 7.25 8.110 8.98 9.71 10.22 10.91 11.310 12.16 12.710 13.29
.0100 - 4.60 6.63 8.25 9.100 10.108 11.40 12.05 12.90 13.104 110.107 15.19 15.87
.0050 - 4.69 7.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.102 18.21 19.69 20.72 21.71
- - ----
136 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 10
hf/d=O.l
p ~ As1bd
r
[G
M
d + t~1
YG- 4=
Mst b t crcI crs =a.Cs bd2
T1tc=7
Msx
I+r crc =-Cc b d2d
1 As I I crs
I
Ccd
x- )- (Cc+ Cs+bw+
es/d
otp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.0800 - 0.05 1.78 3.18 4.29 5.47 6.57 7.1,1 8.60 9.40 11. 00 12.21 13.1,3
.0600 - 0.06 2.26 4.08 5.57 7.13 8.61 9.73 11.32 12.39 11,.51, .16.16 17.79
. 0500 - 0.07 2.61 4.78 6.56 8.44 10.22 11.57 13.1,9 14.77 17.36 19.31 21.27
.0450 - 0.07 2.81, 5.24 7.2.1 9.30 11.29 12.79 11,.92 16.36 19.24 21.41 23.59
.0400 - 0.08 3.11 5.80 8.02 10.38 12.62 14.32 16.72 18.33 21.58 24.03 26.1,9
.0350 - 0.09 3.45 6.51" 9.06 11.76 11,.32 16.27 19.02 20.87 21,.59 27.40 30.21
Cs .0300 - 0.09 3.88 7.44 10.42 13.58 16.59 18.87 22.09 24.26 28.60 31.88 35.17.0250 - 0.10 1,.1,6 8.72 12.30 16.12 19.75 22.50 26.38 28.98 34.22 38.16 42.11.0200 - 0.11 5.26 10.58 15.10 19.91 24.47 27.93 32.80 36.07 42.62 47.56 52.50.0175 - 0.12 5.81 11.90 17.09 22.61 27.81, 31.80 37.38 41.12 48.62 54.27 59.92.0150 - 0.13 6.50 13.63 19.72 26.20 32.32 36.96 1,3.48 1,7.85 56.61 63.20 69.79.0125 - 0.13 7.1,3 16.02 23.39 31.21 38.59 41,.16 52.01 57.26 67.78 75.69 83.60.0100 - 0.14 8.74 19.57 28.88 38.70 1,7.96 51,.95 61,.77 71.31, 84.1,9 94.37 101,.26.0050 - 0.16 14.1,8 36.95 56.01 75.87 91,.1,5 108.42 128.01 141.08 167.25 186.88 206.55.0025 - 0.18 21,.37 70.88 109.11 148.51, 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 409.31
.0800 - 873 9.04 9.27 9.1,4 9.61 9.77 9.87 10.02 10.12 10.30 10.43 10.56
.0600 - 8.73 9.12 9.41 9.63 9.84 10.02 10.16 10.33 10.45 10.67 10.82 10.97
.0500 - 8. 'I, 9.18 9.52 9.76 10.00 10.21 10.36 10.56 10.69 10.93 11.11 11.27
.0450 - 8.7.. 9.22 9.58 9.85 10.11 10.33 10.49 10.70 10.84 11.10 11.29 11.46
. 0400 .- 8 ,. 9.26 9.66 9.95 10.23 10.47 10.64 10.87 11.02 11.30 11.50 11.69. ioif
.0350 - 8.74 9.31 9.76 10.08 10.38 10.65 10.83 11.08 11.21, 11. 54 11.76 11.97
Cc .0300 - 8.74 9.38 9.88 10.23 10.57 10.86 11.07 11.34 11.52 11.85 12.09 12.32.0250 - 8.71, 9.1,7 10.04 10.44 10.82 11.11, 11.38 11.68 ..11.88 12.25 12.52 12.79.0200 - 8.71, 9.59 10.25 10.72 11.16 11.53 11.80 12.16 12.38 12.82 13.13 13.1,1,.0175 - 8.75 9.66 10.40 10.91 11.38 11.79 12.08 12.47 12.72 13.20 13.55 13.89.0150 - 8.75 9.76 10.58 11.14 11.67 12.12 12.1,4 12.88 13.15 13.69 14.08 11,.47
.0125 - 8.75 9.88 10.81 11.45 12.01, 12.55 12.92 13.41 13.73 14.35 14.80 15.25
.0100 - 8.75 10.01, 11.13 11.87 12.56 13.16 13.59 14.17 11,.55 15.30 15.84 16.38
. 005o - 8.75 10.66 12.44 13.66 14.81 15.85 16.60 17.65 18.34 19.71 20.72 21.71
.0025 - 8.76 11.53 14.53 16.64 18.73 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
- - ___ - ___uo _ou_
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado- 1ST 137
Flexão Composta com CompressãoSecções em T -Tensões em Estado Fendilhado
b I bw =10-hr/d=0.2
p = ASIbd
r l]M
d + t~1
Ya- 4=
---------------------
MsI b Icrc
I crs = a Cs bd2T
t!:::7
Msx
I+r crc= - Ccbd2d
1 As I crs
I
Ccd
- I
x- )- (Cc + Cs+bw+
es I d
0<1' 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 . 2.50 3.00 5.00 10.00 CX>
.0800 - 0.03 1.81 3.27 1,.1,3 5.61, 6.78 7.61, 8.8S 9.66 11.29 12.52 13.71,
.0600 - 0.03 2.32 1,.25 5.80 7.1,2 8.91, 10.09 11.71 12.79 JI,.96 16.60 18.23
.0500 - 0.01, 2.71 5.02 6.89 8.83 10.66 12.01, 13.98 15.28 17.59 19.81, 21.80
.01,50 - 0.01, 2.96 5.53 7.61 9.77 11.80 13.31, 15.1,9 16.93 19.82 22.00 21,.17
.01,00 - 0.01, 3.27 6.16 8.50 10.93 13.22 11,.95 17.37 18.99 22.21, 21,.68 27.12
.0350 - 0.05 3.66 6.97 9.61, 12.42 15.04 17.01 19.78 21.63 25.33 28.11 30.90
Cs .0300 - 0.05 1,.17 8.03 11.15 11,.1,017.1,1, 19.71, 22.96 25.12 29.1,3 32.67 35.91
.0250 - 0.06 1,.86 9.1,9 13.21, 17.14 20.79 23.53 27.39 29.96 35.12 38.99 42.86
.0200 - 0.06 5.86 11.66 16.31, 21.20 25.71, 29.15 33.91, 37.11, 1,3.51, 1,8.37 53.21
.0175 - 0.07 6.55 13.19 18.53 21,.06 29.23 33.12 38.57 1,2.21 49.52 55.01, 60.58
.0150 - 0.07 7.46 15.20 21.1,1 27.81, 33.81, 38.31, 1,1,.67 1,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0125 - 0.07 8.69 17.97 25.38 33.01, 1,0.18 1,5.55 53.11, 58.25 68.53 76.30 81,.10
.0100 - 0.08 10.1,9 22.02 31.20 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.0S 910.82101,.59
.0050 - 0.09 18.67 1,0.72 58.102 77.310 95.34 109.00 128.30 1101.25 167.27 186.88 206.55
.0025 - 0.10 32.17 73.99 110.21 148.76 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 409.31
.0800' - 5.57 5.88 6.11 6.29 6.46 6.62 6.710 6.89 7.00 7.20 7.35 7.50
.0600 - 5.57 5.96 6.26 6.49 6.71 6.91 7.05 7.25 7.38 7.610 7.83 8.02
.0500 - 5.57 6.03 6.37 6.63 6.89 7.12 7.29 7.53 7.68 7.98 8.21 8.43
.0450 - 5.57 6.07 6.45 6.73 7.01 7.26 7.45 7.70 7.87 8.20 8.45 8.69
.0400 - 5.57 6.11 6.54 6.85 7.16 7.44 7.64 7.92 8.11 8.108 8.75 9.02
.0350 - 5.57 6.17 6.65 6.99 7.34 7.65 7.88 8.20 8.41 8.82 9.13 9.43
Cc .0300 - 5.57 6.25 6.79 7.18 7.58 7.93 8.19 8.56 8.80 9.27 9.62 9.97
.0250 - 5.57 6.35 6.98 7.1.,4 7.90 8.31 8.62 9.05 9.33 9.89 10.30 10.71
.0200 - 5.57 6.49 7.25 1.80 8.36 8.86 9.24 9.76 10.10 10.79 11.28 11.76
.0175 - 5.58 6.59 7.43 8.06 8.68 9.25 9.67 10.26 10.65 11.40 11.93 °12.44
.0150 - 5.58 6.71 7.67 8.38 9.09 9.75 10.23 10.91 11.34 12.16 12.74 1329
.0125 - 5.58 6.87 7.99 8.82 9.66 10.43 11.00 11.75 12.23 13.14 13.78 14.39
.0100 - 5.58 7.10 8.1,5 9.1,6 10.1.,8 11.40 12.05 12.90 13.44 14.47 15.19 15.87
.0050 - 5.58 8.07 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
.0025 - 5.58 9.57 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
- -- --- - --
138 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com CompressãoSecçõesem T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw:; 10
hf/d=O.3
p _ As1bd
T I]M
d + t~1
YG- +
I b I
Tt"8 I
as = a C Ms
d
x
s-
1+r
bd2
I ac = - C Msc-
+bw+ NI · as
bd2
Ix=
cc
(Cc+ Cs)d
es/d
c<p 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.0800 - 0.31, 2.19 3.67 1,.81, 6.05 7.18 8.03 9.22 10.02 11.62 12.82 11,.02
.0600 - 0.1,2 2.82 1,.78 6.33 7.93 9.1,2 10.55 12.13 13.18 15.29 16.87 18.1,6
.0500 - 0.1,8 3.31 5.65 7.50 9.1,0 11.18 12.52 lI, .1,0 15.66 18.17 20.07 21.98
.01,50 - 0.51 3.63 6.22 8.26 10.37 12.31, 13.82 15.90 17.28 20.08 22.19 21,.32
.01,00 - 0.55 1,.02 6.92 9.21 11.57 13.77 15.1,2 17.71, 19.30 22.1,5 24.93 7.23
.0350 - 0.60 1,.52 7.81 10.1,0 13.08 15.57 17.1,5 20.10 21.86 25.1,9 28.22 30.96
Cs .0300 - 0.66 5.15 8.96 11.96 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0250 - 0.71, 6.02 10.53 11,.08 17.72 21.17 23.81 27.55 30.07 35.15 38.99 1,2.86
.0200 - 0.83 7.26 12.79 17.12 21.65 25.99 29.30 31,.00 37.16 1,3.51, 48.37 53.21
.0175 - 0.89 8.10 11,.33 19.22 21, .1,2 29.1,0 33.20 38.58 1,2.21 1,9.52 55.01, 60.58
.Q150 - 0.96 9.18 16.31 21.98 28.08 33.91 38.36 1,1,.671,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0125 - 1.05 10.61 18.91, 25.79 33.15 1,0.18 1,5.55 53.11, 58.25 68.53 76.30 81,.10
.0100 - 1.15 12.60 22.77 31.1,0 1,0.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82101,.59
.0050 - 1.41, 20.1,8 1,0.73 58.42 77.31, 95.34 109.00 128.30 141.25 167.27 186.88 206.55
.0025 - 1.68 32.65 73.99 110.21 148.76 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 409.31
.0800 - I,.41. 1,.79 5.07 5.29 5.51 5.71 5.85 6.06 6.20 6.1,7 6.67 6.87
.0600 - 4.43 1,.91 5.28 5.56 5.81, 6.09 6.29 6.55 6.73 7.08 7.31, 7.60
.0500 - 1,.44 5.01 5.44 5.76 6.09 6.39 6.62 6.93 7.14 7.55 7.85 8.11,
.01,50 - 1,.1,5 5.07 5.51, 5.!= 6.26 6.59 6.34 7.18 7.1,1 7.85 8.17 8.1,7
.01000 - 4...6 5.110 5.66 6.... 6.46 6.83 7.10 7.1,8 7.73 8.20 8.54 8.87
.0350 - 1,.107 5.23 5.82 6.26 6.71 7.13 7.1,3 7.85 8.12 8.6 9.00 9.35
Cc .0300 - 10.108 5.35 6.02 6.52 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.910
.0250 - 10.50 5.50 6.28 6.88 7.108 8.02 8.100 8.91 9.23 9.85 10.29 10.71
.0200 - 1,.52 5.72 6.66 7.38 8.09 8.70 9.14 9.72 10.09 10.79 11.28 11.76
.0175 - 1,.53 5.87 6.92 7.72 8.49 9.15 9.62 10.25 10.64 11.40 11.93 12.1,4
.0150 - 1,.54 6.05 7.25 8.14 8.98 9.71 10.22 10.91 11.34 12.16 12.74 13.29
.012 - 10.56 6.30 7.67 8.67 9.62 10.42 11.00 11.75 12.23 13.14 13.78 14.39
.0100 - 4.58 6.63 8.25 9.40 10.48 11.40 12.05 12.90 13.41, 14.47 15.19 15.87
.0050 - 4.64 7.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
.0025 - 10.69 9.56 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST139
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - TensõesemEstadoFendilhado
b / bw = 20
hr/d=O.l
Ms
I
as = a Cs -d2t b I ac b~ t !::::7
Th{ x
I
Ms
d + -+- r ac =-Cc bd21 ~Ms C
A s r as c d- N I I x = (Cc + C.)+bw+
p-- bd
r
I:]M
d + t-jE1 ~G- -r
-- - --------
es/d
dp 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.01,00 - - 2.1,5 5.31 7.63 10.06 12.35 11,.08 16.52 18.15 21.1,3 23.90 26.37
.0300 - - 3.11 6.90 10.00 13.25 16.32 18.63 21.90 21,.08 28.1,7 31.76 35.07
.0200 - - 1,.32 9.98 11,.66 19.59 21,.22 27.72 32.63 35.92 1,2.51 1,7.1,7 52.1,3
.0150 - - 5.1,1, 12.99 19.29 25.89 32.09 36.77 1,3.31,1,7.73 56.53 63.13 69.71,
.0125 - - 6.28 15.38 22.97 30.92 38.38 1,1,.0051.89 57.16 67.71 75.63 83.56
.0100 - - 7.1,8 18.93 26.1,8 38.1,5 1,7.79 51,.81 61,.68 71.26 81,.1,1,91,.33101,.23
Cs .0075 - - 9.38 21,.79 37.62 50.91, 63.1,0 72.77 85.90 91,.66 112.20 125.36 138.53
.0050 - - 12.91 36.1,1 55.75 75.74 91,.38 108.38 127.99 11,1.07 167.25 186.88 20b.55
.001,0 - - 15.1,3 1,5.05 69.21, 91,.17 117.39 131,.82 159.25 175.53 208.16 232.71 257.31,
.0035 - - 17.19 51.18 78.80 107.21, 133.71 153.58 181.1,1 199.98 237.30 265.1,0 293.57
.0030 - - 19.1,8 59.30 91.1,7 121,.51,155.31 178.1,0 210.81 232.51 276.11 308.93 31,1.82
.0025 - - 22.63 70.58 109.03 11,8.53 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 1,09.31
.0020 - - 27.21, 87.26 135.02 181,.01 229.81 26.1,8 313.30 31,5.99 1,11.61 1,60.97 510.1,3
.0015 - - 31,.71111,.1,8177.38 21,2.38303.73 350.11 1,15.1,11,59.1051,6.76612.69 678.72
.0012 - - 1,1.9811,0.96218.82 300.1,2377.35 1,35.1,8517.26 571.97 681.70 761,.2081,6.83
.01,00 - - 10.06 10.37 10.60 10.82 11.02 11.16 11.31, 11.1,6 11.70 11.87 12.03
.0300 - - 10.13 10.53 10.82 11.09 11.33 11.50 11.73 11.88 12.17 12.38 12.58
.0200 - - 10.27 10.81 11.20 11.57 11.89 12.12 12.1,3 12.63 13.03 13.32 13.60
.0150 - - 10.38 11.07 11.55 12.00 12.1,0 12.69 13.08 13.33 13.83 11,.20 11,.56
.0125 - - 10.1,7 11.26 11.80 12.32 12.78 13.12 13.57 13.87 11,.1,511,.89 15.31
.0100 - - 10.59 11.52 12.17 12.79 13.31, 13.71, 11,.29 11,.65 15.36 15.89 16.1,2
Cc .0075 - - 10.76 11.93 12.7l, 13.52 11,.22 llt.73 15.1,1, 15.91 lG.81o 17.53 18.22
.0050 - - 11.06 12.66 13.79 11,.89 15.89 16.61, 17.67 18.35 19.71 20.72 21.71
.001,0 - - 11.26 13.18 11,.51,15.88 17.11 18.02 19.29 20.11,..21.79 22.96 21,.07
.0035 - - 11.39 13.53 15.06 16.58 17.96 19.00 20.44 21.39 23.17 24.1,2 25.61
.0030 - - 11.56 13.99 15.74 17.1,9 19.09 20.29 21.92 22.95 24.88 26.21, 27.52
.0025 - - 11.78 14.61 16.67 18.74 20.64 22.02 23.83 21,.96 27.08 28.57 29.98
.0020 - - 12.09 15.51 18.03 20.58 22.82 21,.38 26.1,1 27.68 30.06 31.13 33.32
.0015 - - 12.56 16.96 20.23 23.1,0 26.03 27.81, 30.20 31.67 31,.1,1,36.37 38.21
.0012 - - 13.00 18.31, 22.31 25.89 28.85 30.88 33.53 35.19 38.29 1,0.1,61,2.51
------
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Flexão Composta com Compressão
Secções em T - Tensões em Estado Fendilhado
b I bw = 20
hr/d=O.2
p-- bd
r
~
Md + t~1 Ya- +
Msi b I(Jc
I (Js = a Cs b d2
T$t!:::7
Msx
I+r (Jc = - Cc b d2d
1 As .(Js
I
Ccd
- Ix- )- (Cc+ Cs+bw+
es I d
tXfJ 0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.0400 - - 2.99 6.00 8.39 10.86 13.17 }l,.90 17.34 18.97 22.22 24.67 27.12
.0300 - - 3.86 7.87 11.05 14.34 17.41 19.71 22.94 25.10 29.1,2 32.66 35.91
.0200 - - 5.53 11.53 16.28 21.16 25.72 29.11, 33.91, 37.11, 1,3.51, 48.37 53.21
.0150 - - 7.14 15.09 21.37 27.82 33.83 38.34 44.67 1.8.91 57.1.5 63.91 70.39
.0125 - - 8.38 17.88 25.36 33.03 1.0.18 45.55 53.14 58.25 68.53 76.30 81..10
.0100 - - 10.20 21.97 3L19 40.66 1.9.51 56.25 65.i8 i2.19 85.09 94.82 104.59
Cs .0075 - - 13.10 28.51 40.55 53.02 64.90 73.91,.86.72 95.30 112.57 125.59 138.66
.0050 - - 18.50 40.72 58.42 77.34 95.31, 109.00 128.30 141.25 167.27 186.88 206.55
.0040 - - 22.210 49.28 71.56 95.36 117.96 135.11 159.32 175.54 208.16 232.71 257.31,
.0035 - - 21,.77 55.27 80.85 108.15 131,.05 153.70 181.41 199.98 237.30 265.1,0293.57
.0030 - - 27.96 63.15 93.11. 125.12 155.1.3 178.1.1 210.81 232.51 276.11 308.93 31.82
.0025 - - 32.13 73.99 110.21 148.76 185.26 212.90 251.87 277.96 33036 369.80 1.09.31
.0020 - - 37.80 89.97 135.58 181..01 229.81 264.1.8 313.30 345.99 411.61 1.60.91 510.1,3
.0015 - - 1.5.99116.04 177.39 242.38 303.73 350.11 415.41 459.10 51.6.76612.69 678.72
.0012 - - 53.1.0141.62 218.82 300.42 377.35 435.48 517.26 571.97 681.70 764.20 846.83
.0400 - - 6.26 6.64 6.93 1.22 7.49 7.68 7.96 8.11. 8.49 8.76 9.03
.0300 - - 6.37 6.87 7.25 7.62 7.96 8.22 8.57 8.81 9.28 9.62 9.97
.0200 - - 6.59 1.30 7.84 8.38 8.88 9.25 9.76 10.10 10.79 11.28 11.76
.0150 - - 6.78 7.71 8.1.0 9.10 9.75 10.23 10.91 11.34 12.16 12.74 13.29
.0125 - - 6.93 8.02 8.84 9.66 10.43 11.00 11.75 12.23 13.14 13.78 14.39
.0100 - - 7.15 8.47 9.47 10.1.8 11.40 12.05 12.90 13.41. 14.1.7 15.19 15.87
Cc .0075 - - 7.48 9.18 10.1.7 11.71. 12.83 13.59 11..59 15.22 16.41 17.25 18.05
.0050 - - 8.08 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.42 18.21 19.69 20.72 21.71
.001.0 ..- - 8.50 11.38 13.39 15.23 16.77 17.8 19.25 20.13 21.79 22.96 24.07
.0035 - - 8.77 11.96 14.14 16.12 17.78 18.93 20.41. 21.39 23.17 24.42 25.61
.0030 - - 9.12 12.67 15.07 17.22 19.03 20.28 21.92 22.95 . 24.88 26.21. 27.52
.0025 - - 9.57 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 24.96 27.08 28.57 29.98
.0020 - - 10.17 14.83 17.87 20.58 22.82 24.38 26.41 27.68 30.06 31.73 33.32
.0015 - - 11.04 16.64 20.23 23.1.0 26.03 27.84 30.20 31.67 34.44 36.37 38.21
.0012 - - 11.78 18.23 22.31 25.89 28.85 30.88 33.53 35.19 38.29 40.46 42.51
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 141
Flexão Composta com Compressão
Secçõesem T - Tensões em Estado Fendilhado
b / bw = 20
hr/d=0.3
p-- bd
r
I]
M
d + t~1 YG
- +
- ---
i b f
T1t I
as = a. C Ms
d
x
5-
1+r
bd2
I ac =- C Msc-
+ bw+ N
bd2
Ix=
Cc
(Cc+ Cs)d
es/d
c{f0.75 0.85 1.00 1.15 1.30 1.50 1.75 2.00 . 2.50 3.00 5.00 10.00 00
.01,00 - 0.23 3.93 6.88 9.19 11.56 13.77 15.1,2 17.71, 19.30 22.1,5 21,.83 27.23
.0300 - 0.28 5.07 8.94 11.95 15.05 17.93 20.11 23.21 25.30 29.52 32.72 35.93
.0200 - 0.36 7.19 12.78 17.12 21.65 25.99 29.30 31,.00 37.16 43.51, 48.37 53.21
.0150 - 0.43 9.li, 16.30 21.98 28.08 33.91 38.36 1,1,.671,8.91 57.1,5 63.91 70.39
.0125 - 0.1,7 10.58 18.91, 25.79 33.15 40.18 1,5.55 53.li, 58.25 68.53 76.30 81,.10
.0100 - 0.52 12.58 22.77 31.1,0 40.66 1,9.51 56.25 65.78 72.19 85.09 91,.82101,.59!r- .0075 - 0.58 15.51, 28.91, 40.55 53.02 61,.90 73.91, 86.72 95.30 112.57 125.59 138.66I'-S
.0050 - 0.67 20.1,8 1,0.73 58.1,2 77.31, 95.31, 109.00 128.30 11,1.25 167.27 186.88 206.55
.001,0 - 0.71 23.80 1,9.28 71.56 95.36 117.96 135.11 159.32 175.51,208.16 232.71 257.34
.0035 - 0.74 26.01, 55.27 80.85 108.15 134.05 153.70 181.1,1199.98 237.30 265.40 293.57
.0030 - 0.76 28.89 63.15 93.11,125.12 155.1,3178.1,1210.81 232.51 276.11 308.93 31,1.82
.0025 - 0.79 32.65 73.99 110.21 11,8.76 185.26 212.90 251.87 277.96 330.36 369.80 1,09.31
.0020 - 0.82 37.93 89.97 135.58 181,.01 229.81 261,.1,8313.30 31,5.99 411.61 1,60.97 510.43
.0015 - 0.85 1,5.99 116.04 177.39 242.38 303.73 350.11 1,15.1,11,59.10 51,6.76 612.69 678.72
.0012 - 0.88 53.1,0 11,1.62 218.82 300.42 377.35 1,35.1,8517.26 571.97 681.70 761,.20 81,6.83
.01,00 - 1,.1,9 5.17 5.68 6.07 6.1,6 6.83 7.10 7.1,8 7.73 . 8.20 8.54 8.87
.0300 - 1,.50 5.36 6.02 6.53 7.04 7.51 7.86 8.31 8.61 9.17 9.56 9.91,
.0200 - 1,.52 5.73 6.66 7.38 8.09 6.70 9.14 9.72 1o.09 10.79 11.28 11.76
.0150 - 1,.53 6.06 7.25 8.14 8.98 9.71 10.22 10.91 11.31, 12.16 12.71, 13.29
.0125 - 1,.51, 6.30 7.67 8.67 9.62 10.1,2 11.00 11.75 12.23 13.11, 13.78 11,.39
.0100 - 1,.55 6.63 8.25 9.1,0 10.1,8 11.1,0 12.05 12.90 13.44 14.47 15.19 15.87
Cc .0075 - 1,.56 7.12 9.09 10.47 11.74 12.83 13.59 11,.59 15.22 16.1,1 17.25 18.05
.0050 - 1,.58 7.91 10.49 12.25 13.86 15.22 16.17 17.1,2 18.21 19.69 20.72 21.71
.001,0 - 4.58 8.1,0 11.38 13.39 15.23 16.77 17.81, 19.25 20.13 21.79 22.96 21,.07
.0035 - 1,.59 8.71 11.96 14.11, 16.12 17.78 18.93 20.41, 21.39 23.17 21,.42 25.61
.0030 - 1,.59 9.08 12.67 15.07 17.22 19.03 20.28 21.92 22.95 24.88 26.24 27.52
.0025 . - 1,.60 9.56 13.59 16.26 18.65 20.64 22.02 23.83 21,.96 27.08 28.57 29.98
.0020 - 1,.60 10.17 14.83 17.87 20.58 22.82 21,.38 26.41 27.68 30.06 31.73 33.32
.0015 - 1,.61 11.01, 16.64 20.23 23.40 26.03 27.81, 30.20 31.67 34.44 36.37 38.21
.0012 - 4.61 11.78 18.23 22.31 25.89 28.85 30.88 33.53 35.19 38.29 40.46 1,2.51
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 145
Peso de revestimentos e coberturas
Valores usualmente considerados no dimensionamento (kN/m2)
Pavimento em alcatifa incluindo até 3 cm de camada de regularização (implica
a não colocaçãodequaisquercanalizaçõesnessacamada)e estuqueno tecto 1.0
Revestimentos usuais de pavimentos -tacos, alcatifa ou mosaicos cerâmicos
(incluindo até 5 cm de camada de regularização e assentamento) e estuque ou
tectofalsona faceinferiordalaje 1.5
Revestimentosde pedra (até 3 cm) ou mosaicoshidráulicos(incluindoaté5 cm decamadaderegularizaçãoe assentamento)e esblqueou tectofalso 2.0
Revestimentos de terraços, incluindo camada de forma em betão leve(até 8 cm), telas impermeabilizantese protecções 2.0
Revestimentosde terraços, incluindo camada de forma em betão normal(até 8 cm), telas impermeabilizantese protecções 2.5
CoberturasdetelhaapoiadaemripadodemadeiIa 1.0
Coberturasdetelhaapoiadaemripadodebetão 1.5
Coberturasde telhacomripadode betãoapoiadoem muretesde alvenaria 2.0
Coberturasde chapasde fibrocimentoapoiadasemmuretesde alvenaria 1.0
Elementos de revestimento de pavimentos, tectos e paredes (kN/m2)
Ladrilhohidráulico,incluindoargamassadeassentamento 0:90
Ladrilho cerâmico,incluindoargamassade assentamento 0.70
Azulejoscerâmicos,incluiO(~oargamassade assentamento 0.60
Reboco de cimento (por em de espessura) 0.20
Reboco de calou estuque (por em de espessura) 0.16
Pedra (3 cm de espessura),incluindoargamassade assentamento 1.20
Tacosde madeiIaassentescomcola 0.20
Estuqueem tectossob laje de betãoarmado,incluindochapinhadoe esboço 0.25
Forrodetectoem madeira 0.20
Tecto falso 0.20
Divisóriasleves 0.50
Elementos de revestimento de coberturas (kN/m2)
TelhaMarselha,incluindoripase varasdemadeiIa 0.65
TelhaLusa,incluindoripase varasde madeiIa 0.70
Telhas de betão com ripado de madeira ..... ..................... .... 0.90
Chapas de fibra-cimento 0.35
146 Grupo de Betão AnDado e Pré-Esforçado - 1ST
Elementos de enchimento
Argamassascelulares. ............
Betão simples 24
6-8
Betãolevecomargilaexpandida 12
Betãolevecomgranuladodecortiça 10
Betonilha 20
Solovegetal(canteiros) 20
Peso específico de alguns materiais
~ ....................................
Alumínio .........
AreiaAreia seca.. .............
Areiahúmida ................................
Argamassa
Argamassadecimento ................................
Argamassadecalhidráulica. .........
Argamassabastarda(cale cimento) ...........
Betão
Betãoannado ...................
Betãosimples(nonnal) ..............................
Betão sem finos... ......
Betão leve com argila expandida...............................................................
Betão leve com granulado de cortiça .........................................................
Betão celular autoclavado (tipo Ytong).. ....................
Brita ..
Fibrocimento ..................................
Madeiras ..........
Solos
Argilasmoles .................................
Argilasduras ............
Areias soltas ........................
Areias compac tas..................................................................................
Vidro .............................
78
27
16
18
21
18
19
25
24
18
12
10
5.5
15
20
10
17 - 19
19 - 20
19 - 20
20 - 21
25
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 147
Peso de paredes divisórias de alvenaria
Tipo Dimensões dos Tijolos Espessura (m) Peso (kN/m2)
Tijolo furado30 x 20 x 7 0.11 1.4
Paredes Simples30 x 20 x 11 0.15 1.8
0.02*'
30 x 20 x 15 0.19 2.1
1ft 30 x 20 x 22 0.24 2.5. .
+-e 30 x 20 x 22 0.26 2.6
Tijolo furado30 x 20 x 7 + 30 x 20 x 7 0.09 + 0.09 + t 2.2
Paredes Duplas0.02 30 x 20 x 7 + 30 x 20 x 11 0.09 + 0.13 + t 2.4*' +t+
mOI30 x 20 x 7 + 30 x 20 x 15 0.09 + 0.17 + t 2.7
:: :.
;; .1 30 x 20 x 11+ 30 x 20 x 11 0.13 + 0.13+ t 2.6+-- e--+
30x20x 11+30x20x 15 0.13 + 0.17+ t 3.0
30 x 20 x 15+ 30 x 20 x 15 0.17 + 0.17+ t 3.3
Tijolo perfurado 22 x 11x 7 0.11 1.9m 22 x 11x 7 0.15 2.3
Tijolo maciço22 x 11x 7 0.11 2.2- 22 x 11 x 7 0.15 2.6
Blocos de Betão 40 x 20 x 7 0.11 2.1
40 x 20 x 10 0.14 2.1
40 x 20 x 15 0.19 2.3
40 x 20 x 20 0.24 3.0
40 x 20 x 25 0.29 3.3
40 x 20 x 30 0.34 3.5
Blocos de Betão Celular 60 x 20 x 10 0.12 1.0
CV60 x 20 x 15 .. 0.17 1.3
60 x 20 x 20 0.22 1.6
60 x 20 x 24 0.26 1.9
...~00
~'8 IQ.~ Iog. I
~ I~ Io I~!lt I
~ I8" II-ti)..,
'IA B1 IA B A B
Viga .Carga f L f t L f I L f
pI! + pI! pI!2 2
DIIID P MA = Mo = -12; Mmáx = 24 MA =-- ; M+ = M+ -8 máx 14.2 máx- 8-+--1.. --+ V -V _ pL VA= ; Vo = 3 p L V _ _ pLA- 0-- A- 0--2 8 8 2
I! I! I!fI.j
7 pI!2 2 õ'
M+ _ P L + _ PLP MA=- O ; Mo=- O ; M:áx= 4.64 MA= - 120 ; Mmáx- ..,máx- 23.65 o
'V _ 3 P L . Vo = 7 P L
fI.j
-+--L --+ V _ 27 P L . = 33PL pL pLVA=6;Vo=3
-A-2ü ' A- 120 ' o 12020 fI.j-I! I! I!
-.8 I! 2 2 n
M+ _ P L M+ =oP M - P .M - P . 1\1+ - P MA=- . fI.j
A--20' o--' máx-- 120 ' máx- 33.54 máx 16 Q.46.64-+--L --+ V _ 7 P L . Vo = 3 p L V =48pL. _ 12PL pL pL =
VA=3 ;Vo=6-
A-2ü ' 20 A 120' o - 120 (fQ=
J! 2_ 5 P L2. + = p I!
2 =fI.j
M -M - P . + _ PL + _ PL -A- 0---' Mmáx- 32 MA-- ,Mmáx 14.2 Mmáx- 12 -.19.2 "'Co
V - V - pL VA 21 P L ; Vo = 11 P L V -V _ pLfI.j
-+--L --+ Q.A- 0-- A- 0--4 64 64 4-<
Pall Pa2b + 2 P a2b2 P a2b (3L -a)-.
M - P a b (L + b) . M+ = M+ = P a b(JQ
-L MA=- ; Mo=-; Mmáx= 2L3=
I! A- - 2 IJ ' máx máx . L fI.jr.; r.;
+-a-+-b-+2 2 2 2 2 Pb Pa
V _ P ti (3a + b) . V _ P a (a + 3b) P b (3L - b ) P a (3L- a) VA=-; Vo=-A- 3 ,0- 3 VA = 2 O ; Vo= 2 L3 L LI.; 1.;
PL + PL M 3 PL + 5 PL + PLMA=Mo= -8 ; Mmáx= 8 A =-16 ; Mmáx= 32 Mmáx= 4
+O.SL +O.SL + P llP 5P . PVA= Vo= - VA= - ; Vo = - VA= Vo= -2 16 16 2
Carga
+a -+-b +a +
~p-+-L --+
-+a+-b -+-c +
~+-d-+-e-+-+-L --+
nM+a-+-b-+
+t
~h .,.t L t
a - Coef. dil. ténn.
~IA B1~t L t
MA= Mo= _-L [0 -a2(2L-a)]12L
M+ = L ( L3 -2 a3)máx 24 L
VA =Vo = l ( a + b )2
p b 2 2MA= -~ [ 12d e + b (L - 3 e) ]12L
P b 2 2Mo =-- [ 12d e + b (L - 3 d) ]
1213
V A=- Pb3[4cr;+2br;+4de(d-e)+4L2
+ b (d -e)]
M = Mb(2a-b)A 2.
I..; ,
VA=-6Mab .r: '
Mo= M a ( a - 2 b )L2
V _6Mabo--C
MA = Mo = 2 a t E Ih
VA=Vo=O
M ( L2-3 b2 )MA= 2
21..;
V =3Ma(a-2L) .~ =_3Ma(a-2L)A 2 L3 , o 2 L3
M _ 3atEIA- h
V - - 3a t E I. VO=A- Lh '
Ma MbMesq=-L ; Mctlr =T
M MVA =-- ; Vo=-L L
M = O (em todo o vão)
VA= Vo = O3atEI
Lh
-J>,\O
IAB A B
-6); -6); -6);f L t , L ,
MA= - -L [0 _.a2(2 L - a)]
8L I M+ = L ( 3 L2 _ 4 a2)ma\x 24
VA= -L[IJ(5b+6a)-a2(2L-a)] I I8
fI VA = Vo=..L (a + b)
40(')oI'IJ
Vo = -L [ ( 3 b + 2 a ) + a2 ( 2 L -a ) ] 2 Q.- o8 t:xICfj o-g-.
/")oI'IJ
Q.
M =- ( 2a + b )[ 2r: -b2-2a ( a + b )] IVA=pb(2c+b)
!.C) o
A 8I! 2L - o(JQ= I=I'IJ
Vo= pb3 {4IJ[a(2a+b)+(a+b)2]-Vo=p b (2 a + b )
- õ'-.i"CI8L
2L o. 2 Cfj
I-(2a+b)[a2+(a+b) n Q. -(I)--i-.
(JQI'IJ
- - - - --- -
ISO Grupo de Betão Arm3do e Pré-Esforçado - 1ST
Esforços em vigas contínuas de dois tramos [5]
Momentos flectores
Re1açao Ar:t;:JD Sobrecarga variável no Ac1;ãD Sobrecarga variável no
dosvãos Permanente tIltramo 'P tramo Pennanente tIl tramo 211tramo
M2 M2 M2+ + + +
maxMil maxMI2 maxMI maxMI21
12/ 11 g li2 -2
g li g li2 2
qlll q211 q111 q2111.00 -0.125 -0.063 -0.063 0.070 0.070 0.096 0.0961.10 -0.139 -0.060 -0.079 0.065 0.090 0.097 0.1141.20 -0.155 -0.057 -0.098 0.060 0.111 0.098 0.1341.30 -0.174 -0.054 -0.119 0.053 0.133 0.099 0.1561.40 -0.195 -0.052 -0.143 0.047 0.157 0.100 0.1791.50 -0.219 -0.050 -0.169 0.040 0.183 0.101 0.2031.60 -0.245 -0.048 -0.197 0.033 0.209 0.102 0.2291.70 -0.274 -0.046 -0.228 0.026 0.237 0.103 0.2561.80 -0.305 -0.045 -0.260 0.019 0.267 0.104 0.2851.90 -0.339 -0.043 -0.296 0.013 0.298 0.104 0.3162.00 -0.375 -0.042 -0.333 0.008 0.330 0.105 0.3472.25 -0.477 -0.039 -0.438 0.003 0.417 0.107 0.4332.50 -0.594 -0.036 -0.558 - 0.513 0.108 0.527
Esforços transversos e reacções de apoio
Relação Sobrecargavariável no
dos vãos AcçAo Pennanente 1"tramo 2" tramo111e 211tramos
12/11 Vllf'Rl V2E V2D VR3 maxVl V2E V2D max V3 max R2
g 11 g 11 g 11 g 11 ql11 ql11 '1211 q211 q 11
1.00 0.375 0.625 0.625 0.375 0.438 0.563 0.563 0.438 1.2501.10 0.361 0.639 0.676 0.424 0.441 0.560 0.622 0.478 1.3151.20 0.345 0.655 0.729 0.471 0.443 0.557 0.682 0.518 1.3841.30 0.326 0.674 0.784 0.516 0.446 0.554 0.742 0.558 1.4571.40 0.305 0.695 0.839 0.561 0.448 0.552 0.802 0.598 1.5341.50 0.281 0.719 0.896 0.604 0.450 0.550 0.863 0.638 1.6151.60 0.255 0.745 0.953 0.647 0.452 0.548 0.923 0.677 1.6981.70 0.226 0.774 1.011 0.689 0.454 0.546 0.984 0.716 1.7851.80 0.195 0.805 1.069 0.731 0.455 0.545 1.045 0.755 1.8751.90 0.161 0.839 1.128 0.772 0.457 0.543 1.106 0.794 1.9672.00 0.125 0.875 1.188 0.813 0.458 0.542 1.167 0.833 2.0632.25 0.023 0.977 1.337 0.913 0.462 0.539 1.320 0.930 - 2.3132.50 -0.094 1.094 1.488 1.013 0.464 0.536 1.473 1.027 2.58i
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 151
Esforços em vigas contínuas de três tramos [5]
--- - - -
Momentos flectores
Relação Acção Sobrecarga no Acção Sobrecarga no
de vãos perma- I° tramo 2° tramo 1° e 2° Permanente 1° tramo 1° e 3° 2° tramonente tramo tramo
M- M2 M-max M2 Mi;
+ +12 /11 2 2 MI1 Mh max Mh max MI?
2 2 2 2 2 2 2 2 2g II qlll q2 II q II g II g II ql II ql II qlll
0.40 -0.083 -0.091 -0.005 -0.096 0.087 .0.063 0.084 0.089 0.0150.50 -0.080 -0.086 -0.009 -0.095 0.088 .0.049 0.086 0.092 0.0220.60 -0.080 -0.081 -0.014 -0.095 0.088 -0.035 0.088 0.094 0.0310.70 -0.082 -0.077 -0.021 -0.098 0.087 .0.021 0.087 0.096 0.0400.80 -0.086 -0.073 -0.029 -0.102 0.086 -0.006 0.091 0.098 0.0510.90 -0.092 -0.070 -0.039 -0.108 0.083 0.010 0.093 0.100 0.0631.00 -0.100 -0.067 -0.050 -0.117 0.080 0.025 0.094 0.101 0.0751.10 -0.11 O -0.064 -0.063 -0.127 0.076 0.041 0.095 0.103 0.0891.20 -0.122 -0.061 -0.077 -0.139 0.072 0.058 0.096 0.104 0.1031.25 -0.128 -0.060 -0.085 -0.145 0.069 0.067 0.097 0.104 0.1101.30 -0.136 -0.059 -0.093 -0.152 0.066 0.076 0.097 0.105 0.1181.40 -0.151 -0.057 -0.111 -0.168 0.061 0.094 0.098 0.106 0.1341.50 -0.168 -0.055 -0.130 -0.185 0.055 0.113 0.099 0.107 0.1511.60 -0.187 -0.053 -o.151 -0.204 0.049 0.133 0.100 0.107 0.1691.70 -0.208 -0.051 -0.173 -0.224 0.043 0.153 0.101 0.108 0.1881.80 -0.231 -0.050 -0.197 -0.247 0.036 0.174 0.101 0.109 0.2081.90 -0.255 -0.048 -0.223 -0.271 0.030 0.196 0.102 0.109 0.2292.00 -0.281 -0.047 -0.250 -0.297 0.024 0.219 0.103 0.110 0.2502.25 -0.354 -0.044 -0.325 -0.369 0.011 0.264 0.110 0.111 0.3072.50 -0.438 -0.041 -0.411 -0.452 0.002 0.329 0.113 0.113 0.3703.00 -0.366 -0.036 -0.614 -0.650 - 0.489 0.114 0.119 0.511
qt qz I I , I I'q3
I2 3
4
-+-- 11 t 12 t II
IEsforços transversos e reacções de apoio
Relação Sobrecarga variável no
dos vãos Acção Permanente ]° tramo 1° e 3° 1° tramo 1° e 2°tramos tramos
12 /11 VI =Rl . V2-E V2-D V3-E Vl=Rl max VI V2,.E V2-D
g II g II g II g I] qlll q 11 qlll q II0.40 0.417 0.583 0.200 0.200 0.409 0.422 0.596 0.4610.50 0.420 0.580 0.250 0.250 0.414 0.429 0.595 0.4500.60 0.420 0.580 0.300 0.300 0.419 0.434 0.595 0.4600.70 0.418 0.582 0.350 0.350 0.423 0.439 0.598 0.4830.80 0.414 0.586 0.400 0.400 0.427 0.443 0.602 0.5120.90 0.408 0.592 0.450 0.450 0.430 0.447 0.608 0.5461.00 0.4 00 0.600 0.500 0.500 0.433 0.450 0.617 0.5831.10 0.390 0.610 0.550 0.550 0.436 0.453 0.627 0.6231.20 0.378 0.622 0.600 0.600 0.439 0.455 0.639 0.6651.25 0.372 0.628 0.625 0.625 0.440 0.457 0.645 0.6681.30 0.365 0.636 0.650 0.650 0.44 ] 0.458 0.652 0.7081.40 0.349 0.651 0.700 0.700 0.443 0.460 0.668 0.7531.50 0.332 0.668 0.750 0.750 0.445 0.462 0.685 0.7981.60 0.313 0.687 0.800 0.800 0.447 0.463 0.704 0.8431.70 0.292 0.708 0.850 0.850 0.449 0.465 0.724 0.8901.80 0.269 0.731 0.900 0.900 0.450 0.466 0.747 0.9371.90 0.245 0.755 0.950 0.950 0.452 0.468 0.771 0.9852.00 0.219 0.781 1.00{) 1.000 0.453 0.469 0.797 1.0312.25 0.146 0.854 1.125 1.125 0.456 0.471 0.869 1.1512.50 0.063 0.938 1.250 ] .250 0.459 0.476 0.952 1.2723.00 -0.136 1.136 1.500 ] .500 0.464 0.477 1.150 1.517
152 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Coeficientes de rigidez de elementos de viga
. .
12EI6-T
. n.
e / _~_~ I~e11I
QeL
não introduz esforços
. I~I ~
.
3EI6- 3EI6-L2 L3
6L iL6 j-- -
y =6. C05(a.- 8>
o2'8o-oti:!(':>Ei.o»...3~o-oo::?(':>.~õ'<!~o-oIVi"-i
.-VIw'
MJ MJ MJ 2'Grau 21Grau M 21Grau2' Grau M 2' Grau
MJ M +x_, _ MJIJ]]]] ...-rl111 . J --ri1J .d1JJI] J
0J:0:D ·lMJ Ir-,....-L- -L- -L- -L- -L- -L- -L- -L- -L- +--L- -L-
M, L L 2L L L 2L 2LM, (M)+M.)
LM, (M)" M.)IJ]]]] M,M)L TM,M) TM,M) )'MaM) TMaM) TM,M) TMaM) TM,M) TM,M)+--L-
--rl1111M,L . L L L L 5L L
M, (MJ+2M.) (L + x)Ma (MJ- 2M.))'M,M) 6"MIMJ )'M,M) TMaM) 12M,M) 12M,M) "4M,M) M,M)-L-
M,l.L L L L L 5L
M, (2M)+M.) (L + y)M, (2M)" M.))'MaM) )'MaM) TIM.M) "4M,M) "4MaM) TIMIM) M1M)-L-
2'Grau .lM, 8L L L 7L 7L
M, (M)+M.)L xy
M, (M)" M.)-<
15MaM) SM,M) SM,M) 15M,M) 15 M,M) )'M.MJ(l+ -).I-L-
2' Grau1 y2
-<---ri'!1M1
L L 3L 2LlM, (M)+3M.) lM, (M)"3M.)SMIM) 3oM,M) IOM,M) 15M,M) l2M,M)(3x+t)
-O-L- ..,(!)
2' Grau ti)
M,llh--.-.L 2L 3L
lM, (3M)+M.)1 x2
lM, (3M)" M.)Q.
SM,M) 15M,M) IOM1M) 12M,M)(3Y+T) (!)-L- :
'--.2' GraullL
IM, (3M)+5M.)MM
lM, (3M)- 5M.).d1JJI] 1M,8L15M,M) 30 M,M) -L2.(5L-y_yI)
I12-L-21Grau Q.
M'I8L
IM, (5M)+3M.) M,M) (5L-x-xI) IMa (5M3- 3M.);I<
15M,M) 12-L-M, M k [M,(2M3+M.) + [M,(L+y)+ k [M,(2M)" M.) +Dn:o:Jl+--L- +MI(M)+2M.)] +MI(L+x)] +Mz(M)-2M.)]
+xr-'a- L' [M)(L+y,)-IM, 6"M,M)[2"x,y ]-M.(L+x,)]-L- (para XI> X)
M,k [M.(2M)- M.).I"h..... Mz
""""-J" MI(M)-2M.)]+--L-
- --
154 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Coeficiente k
Flechas elásticas de alguns tipos de viga [4]
Carga concentrada Carga distribuída
3 4
õ= k PLÕ= k pL
EI EI
Condiçõesde apoio -4 D. D.. H
Carga
JP """ 1 3 1+L/2+L/2+ - - -
IP 1 48 322 192-
I L I 3 ..... """ .....
mITO =1P1 5 1 1- - - -
-t-L I : 8 384 184.6 384
11 1 1 7- - - --t-L I 192 120 274 3840
=1P 11 3 1 1- - - -I L I 120 460 328.1 764
$ 1 3 1 1- - - --t-L I 30 460 419.3 764
Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST155
Flechas elásticas de vigas contínuas
p
LI t--L02--+
Flecha elástica na extremidade da consola:
_ ~[
-M + ...L]6 L2 4
P I
P
-t L t-
Flecha elástica a meio vão da viga:
I
Ô=EI
Nota: os momentos M, M1 e M2 entram nas expressões com o sinal de acordo com aconvenção de resistência de materiais
--- - --
156 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Centro de Gravidade, Inércia e Largura equivalente de Secções em T [4]
+ b +- 3
1$1t beq hI I
I
1=I I
r12
I
XI
I Ih I G I xG= ( 1 - CG) h
1
I II I h-xGI I
beq = Cb bL J
+bw+
§:Cb+-beq-+ Na Tabela: **.CG
,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,30 1,000 0,683 0,535 0,444 0,382 0,336 0,301. 0,273 0,250 0,2320,500 .0,580 0,631 0,665 0,690 0,710 0,725 0,737 0,747 0,755
0,275 1,000 0,680 0,534 0,444 0,382 0,336 0,301 0,273 0,250 0,2310,500 0.578 0,628 0,663 0,689 0,709 0,726 0,739 0,749 0,758
0,25 1,000 0,677 0,531 0,443 0.381 0,336 0.301 0,273 0,250 0,2310,500 0,575 0,625 0,660 0,687 0,708 0,724 0;739 0,750 0,760
0,225 1,000 0,671 0,527 0,440 0.380 0,335 0,301 0,273 0,250 0,2310,500 0.571 0,620 0,656 0,683 0,705 0,722 0,737 0,749 0,759
0,20 1,000 0.664 0,521 0,436 0,377 0,333 0,299 0,272 0,249 0,2310,500 0,566 0,614 0.650 0.677 0.700 0,718 0,733 0,746 0,757
0,175 1,000 0,655 0,513 0,429 0.372 0.330 0,297 0,270 0.248 0,2300,500 0,561 0,606 0,642 0,669 0,692 0,711 0,727 0,740 0,752
0,15 1,000 0,643 0,502 0,421 0.365 0,324 0.292 0,267 0,245 0,2280,500 0,555 0,598 0,631 0,659 0,682 0,701 0,717 0,731 0,744
0,125 1,000 0,629 0,488 0,408 0,355 0,316 0,285 0,261 0.240 0,2230,500 0,548 0,587 I 0,619 0,645 0,668 0,687 0,704 0,718 0,731
0,100 1,000 0,611 0,469
0,391 I 0,3400,303 0.274 0,257 0,232. 0.216
0,500 0,540 0,575 0,603 0,628 0,650 I 0,668 0,686 0,700 0,713
0,075 1,000 0,590 0,445 0,368 0,319 0,284 0,257 0,236 0,218 0,2040,500 0,532 0,560 0,584 0,606 0,626 0,643 0,659 0,673 0,686
0,05 1,000 0,565 0,415 0,338 0,290 0,257 0.232 0,213 0,197 0,1840,500 0,522 0.543 0,561 0,579 0,595 0,609 0,623 0,635 0,647
0,025 1,000 0,535 0,378 0,300 0,252 0,219 0,191 0,178 0.164 0,1520,500 0,511 0,523 0,534 0,544 0,554 0,563 0,672 0,581 0.589
..- - -.- -.....-....--
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST 157
Centros de gravidade e momentos de inércia de secções planas
- - - - --------- - - -
Rectângulo I Triângulo I
vI 81-y=h/2
ytA}y=h/3
A=bh/2A=bh 3
3 Ix =b h 136Ix= b h 112 3
Ib I
I I I x' Ix.=bh/12bl2 bl2
CírculoI
Semi-círculoI y= 4r. 4Y 31t
i tA=1tr2f2c
v:tc;QJG A =1t r2Ix= 0.1098 r4
4 4I=1tr 14Iy=1tT 18
Quano de círculo I Sector circular I
-. 4r x= 2rsena
y t@:j-y=-
31t 3a
A =1t r2/4A =a r2x
4 I IIx=1tr/16
x
ParábolaI
Parábola I
x =3a/8
vtlby=3b/5
vtlby=2b/5
A=4ab/3 A=2ab/3I a I I a I
Parábola! Elipse I
x=3a/4 1YA=1tab
vi'} :f8-,3
y=3b/1O Ix=1tab/4
A=ab/3 3I I I a I a I Iy= 1t a b /4a
Semi-Elipse I Quano de Elipse I x=4a/31tA=1tab/2 h y=4b/31th 3
-T-IbIx =0.110 a b t4 A=1tab/4
3 ytx}3
y xIy= 0.393 a b Ix= 0.0549 a b
+--a-tIy= 0.0549 a3bI a I I
158 Grupo de Betão Annado e Pré-Esforçado - 1ST
Volumes e momentos de inércia de sólidos
Esfera Cilindro
v =7tr2 h2 2
Ix =m (3 r + h ) /122
Iz =mr 12
Placa rectangular fina Disco fino
2Iz =m r 12
a
Obelisco de bases rectangularesm -massa total do corpo
~F..~
~ v= t~)~:~+
Cone I I Pirâmide
t z
I
y=h/4
&lbV =7tr2h /3 lb
y=h/4
Y ! --.-Y! .:...
Iz =3 m r2/1O
.... ......... V=Ah/3/A!'
Barra fina r IPrismarectangular
-f-' Ix= (a2+ b2) m /12
Iy= Ix= m L2/12 W I 2 2
ry= (b + c ) m /12
Lb I 'x V/cI Iz= (a2+ c2) m /12
Grupo de Betão Armado c Pré-Esforçado - 1ST
159
Rigidez Elástica de Torção [6]
3 h4J = b h [_ 3.36 l!.- (1 _ )]
16 3 b 12 b4.
3 2b J=a; bh 'tmáx=MtI (b h )h a;
I!1.0 0.141 0.208
fi1.2 0.166 0.219
1.5 0.196 0.231
-1 b t- 2.0 0.229 0.2462.5 0.249 0.258
3.0 0.263 0.267 ;.4.0 0.281 0.2825.0 0.291 0.291
10.0 0.312 0.31200 0.333 0.333
G 4 Mt fJ =1t ...L 't máx =2 J
@) J =1L (f4_ f)Mt fe
't máx = ---2 e I
TJ
fe
G J =2 1t f tMt fm't=
J'...' t
\.:..........--.......FI- Am 4A2 MtU' J= m 't=
......... l' ..1 ds 2 Am tt
\-.............
----------------
160 Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST
Pré-dimensionamento de fundações directas
. Valores da tensão de segurança do solo [9]i. f'
Tensão de
Tipo de Terreno Segurança
( IcN/m2),.
Rochas duras e sãs 10000
Rochas Rochas pouco duras ou medianamente alteradas 3000
Rochas brandas ou muito alteradas 1000
Solo Soloseco submerso
Areias e misturasareia-seixo. bem graduadas e compactas 400-600 200 -300
Solos Areias e misturasareia-seixo.bem graduadas mas soltas 200-400 100 -200
incoerentes Areias uniformescompactas 200-400 100 -200
Areias uniformes soltas 100-200 50-100
Solos coerentesrijos 400 -600
Solos Solos coerentes muito duros 200 -400
coerentes Solos coerentes duros 100 -200
Solos coerentes de consistência média 50 -100
-- -.. ....
Grupo de Belão Annado e Pré-Esforçado - 1ST 161
Resistência e Deformabilidade de solos
em função dos resultados do SPT [8]
4( 11I11ua
nu.!11I
It _4( JmI1I1Y11 !
-'8JJG )11 ~ ~
sn...~§fu
.,.--
.,.--~-'~.....,.---.e...z::>....:E-...~.,r-e~-' .,.~...-e--...-.,.'"~~1iI!-...,=...--...-...--c--::;~s=:E-- ...:-...---......--......=...in- ....-- e--c...eÜ
.~.,.in.......-...c
;.~~toc-e...
à
I+If
~
~ZOL
.. o" ...~uZ ..- ..>-..<i..c
..
Jlftl1lnN -e-."1 JI:i
.. SltIU" ~ Ij -- SJ1nIS -.~ ~1i8J .:~a 1IIIJI :::...
ooo..
\.'~oo 01101'1
'I SII JIO
....
oo~
I
+.LI
+I
+II
+II
../...I
~m:..
-.
YIO~"
....ooc
Ti
:
:
I
:
;
..IIII
tIIIIIIIII
+II.
Yl'DS
...... o...
~lf\II.
r,oC)
v>too
C)O..
T ..
! T
iIII
-!
!
i
lIII
I'+IIIII
+.J..ItI
TI
ã
*
\-IJII..
! I
.LII
C)
2C)...
31H3.lSISNO:>
.....
o..
~
1~. -..
Q; -o:cri .,;
I
3: I
~ -<~ :: r:._-
_.1..
-....
-.. ...
'-
"ONV~9
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado - 1ST162
Pré-dimensionamento de estacas [7]
COlllprimento elástico de estacas [8]
L =0.388 0 V E betão Iequ. -E solo
QUADRO DE VALORES A ADOPTAR NA ELABORAÇÃO DE ANTE-PROJECTOS(a corrigir após conhecimento das caracterrsticas do terreno e outras condições focais)
SrmboloN!!. Denominação e Tipos de estacas normais
unidade
1 Di.imetro 305 355 406 450 520 600(mm)
2 SecçãoS 731 990 1295 1590 2124 2827
(cm2)",
, V3 lume, por metro (m3) 0,08 0,10 0,13 0,16 0,22 0,29
4 Perímetro L 96 112 128 141 163 188(cm)
5 Momento de inércia I 42403 : 77 823 133 137 201289 358908 636172(cm4) -;
6 Peso, por metroP
0,18 0,25 0,32 0,40 0,53 0,70(ton)
7 Armadura 12 12 16 516 516 6JJ16mlÍlima- J,.,.5='oa Aa8 'g.a Área de Cerro 4,52 4,52 8,04 10,00 10,00 . 12,.10S- (cm2)J,.,bD- <6- Peso por Pa9 metro (kg) 3,56 3,56 6,32 7,90 7,90 9,48
COCIJ.
10 'lQ.oas N!!. de metros, c 6 8 9 10 11 12Sou por metro (m)- ClJU)o::r:3N
11 7:!Do Peso. por Pc 1,34 1,78 2,00 2,22 2,44 2,66-oU') metro (kg)() -12 Carga de serviço máx. N 35 50 70 90 120 160
axial de compressão (ton)
13 Solicitação m:'ix. axial N'8 3U
de tracção (ton)10 14 17 22
14 Momento fiector M0,8 1, O 1,7 2,3 3,0 6,7resistente (N = O) (ton. 01)
15 Solicitação, máx. normal, T0,4 0,5 1, O 1,5 2,0 3,0
horizontal na cabeça (ton)
16 Afastamento mfu. entre e1,00 1,10 1,20 1,40 1,50 1,80eixos de estacas (m)
17 Profundidades máximasH 12 16 22 25 35 35
(01)
Grupo de Belão Annado c Pré-Esforçado - 1ST
.
1I
+
0.200
IT
I
+i
I1IiI
- --
163
'Ix
Sapatas Rectangulares - Cálculo de tensões no solo [3]
Flexão Composta Desviada - Secção não resistente à tracção
ZONAS A, B e C (tensões nos cantos) ZONA D (tensão no pomo interno 5)
N+P 40'1 = s;- O'adm
À a b 31
0'4 =-À4 0'1 (fictícia) N+PO's= S;O'adm
sena Às a b0'2 = 0'1 - (O'1 - 0'4) sen a+ cos a
. 1 cos a0'3 = b} c.(O'} - 0'4) sena+ cos a
164
-----
Grupo de Betão Armado e Pré-Esforçado- 1ST
Resistência ao esforço transverso de secções circulares [10]
de =0.450+0.64(d- ~ )
be = 0.9 0
.I
r DI-: tde =0.785 0m +""2
d <=>
1b =0.785 0mme
bme+
0m
Recommended