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Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias

ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES

Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias

I. Variables Aleatorias Discreta

1.1. Distribución dicotómica y binomial

pXPXXPppqXPXXPp

=====⇒=−======⇒=

)1()( 1x1)0()(0x

111

000

ppppXpXpXXEk

iii =+−=+==∑

=

·1)1·(0···)( 11001

[ ] qpppppxEXEXVar ·)1·()()()( 222 =−=−=−=

ppppXpXpXXEk

iii =+−=+== ∑

=

·1)1·(0···)( 221

210

20

1

22

Bernoulli o Dicotómica, B(1, p) • Experimento aleatorio con sólo 2 posibles resultados:

1.1. Distribución dicotómica y binomial

– Éxito con valor X = 1 y p = probabilidad de éxito – Fracaso con valor X = 0 i q = 1 – p = probabilidad de fracaso

• Función de cuantía:

• Esperanza matemática:

• Varianza:

10y 0 xo 1con x )1·()( ii1 ≤≤==−== − pppxXP ii xx

i

pXE =)(

qpXVar ·)( =

1.1. Distribución dicotómica y binomial

5,0)1()( carasacar 1x

5,05,011)0()(cruzsacar 0x

11

1

00

0

========

=−==−=======

pXPXXPp

qpXPXXPp

5,0·1)1·(0··)( 1100 ==+−=+= ppppXpXXE

[ ] 25,0)5,01·(5,0)1·()()()( 22 =−=−=−= ppxEXEXVar

5,0·1)1·(0··)( 221

210

20

2 ==+−=+= ppppXpXXE

EJEMPLO: X = sacar cara al lanzar una moneda

1.1. Distribución dicotómica y binomial

Binomial, B(n, p) • Repetición de un experimento de Bernoulli n veces. • Repeticiones son Independientes entre si. • La probabilidad de éxito constante

•Función de cuantía: Si xi el número de éxitos obtenidos

10 in 1,..., 0,con x )1()( i ≤≤=−

== − ppp

xn

xXP ii xnx

ii

1.1. Distribución dicotómica y binomial

pnppppXEXEXEXE

XXXXEXE

nn

nn

·...)()(....)()(

)....()(

121

121

=++++==++++=

=++++=

−

−

qpnqpqpqpqpXVXVXVXV

XXXXVXV

nn

nn

····...··)()(....)()(

)....()(

121

121

=++++==++++=

=++++=

−

−

1.1. Distribución dicotómica y binomial

• Función de distribución: • Esperanza matemática: • Varianza: • Propiedad reproductiva: Si X1 y X2 son dos v.a. independientes que se distribuyen según una ley Binomial

n0 si ;)1()()( 00

00

0

≤≤−

=≤= −

=∑ xpp

xn

xXPxF ii xnxx

ix i

pnXE ·)( =

qpnXVar ··)( =

),( i ),( 2211 pnBXpnBX ≈≈

)(XX 21 X+= ),( 21 pnnBX +≈

1.1. Distribución dicotómica y binomial Xi P(10;0,1) P(10;0,3) P(10;0,5) P(10;0,7)0 0,34868 0,02825 0,00098 0,000011 0,38742 0,12106 0,00977 0,000142 0,19371 0,23347 0,04395 0,001453 0,05740 0,26683 0,11719 0,009004 0,01116 0,20012 0,20508 0,036765 0,00149 0,10292 0,24609 0,102926 0,00014 0,03676 0,20508 0,200127 0,00001 0,00900 0,11719 0,266838 0,00000 0,00145 0,04395 0,233479 0,00000 0,00014 0,00977 0,1210610 0,00000 0,00001 0,00098 0,02825

Repeticiones 10 10 10 10Probabilidad 0,1 0,3 0,5 0,7

P(10;0,1)

0,00000

0,05000

0,10000

0,15000

0,20000

0,25000

0,30000

0,35000

0,40000

0,45000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(10;0,3)

0,00000

0,05000

0,10000

0,15000

0,20000

0,25000

0,30000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(10;0,5)

0,00000

0,05000

0,10000

0,15000

0,20000

0,25000

0,30000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(10;0,7)

0,00000

0,05000

0,10000

0,15000

0,20000

0,25000

0,30000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.1. Distribución dicotómica y binomial

Xi P(Xi) F(Xi)0 0,46329123 0,463291231 0,36575623 0,829047462 0,1347523 0,963799763 0,03073298 0,994532744 0,00485258 0,999385325 0,00056188 0,999947196 4,9287E-05 0,999996487 3,3352E-06 0,999999828 1,7554E-07 0,999999999 7,1858E-09 110 2,2692E-10 111 5,4287E-12 112 9,5241E-14 113 1,1568E-15 114 8,6975E-18 115 3,0518E-20 1

Función Cuantía: B(15;0,05)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Función Distribución: B(15;0,05)

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1.2. Distribución de Poisson

Poisson, P(λ) •Número de sucesos que ocurren por unidad de observación •Es estable, ya que produce un número medio de sucesos constante - igual al valor del parámetro λ - que ocurren en un intervalo dado.

Función de Cuantía

,...2,1,0;!

)( === − xex

xXPx

λλ

1.2. Distribución de Poisson Características poblacionales • Valor Esperado • Varianza

λ=)(XE

λ=)(XVar

Función de Distribución

,..2,1,0;!

)()(0

000 ==≤= ∑

=

− xei

xXPxFx

i

iλλ

1.2. Distribución de Poisson Su representación gráfica:

1.2. Distribución de Poisson

Propiedad reproductiva:

)( i )( 2211 λλ PXPX ≈≈

)(XX 21 X+= )( 21 λλ +≈ PX

1.2. Distribución de Poisson

Xi P(Xi) F(Xi)0 0,47236655 0,472366551 0,35427491 0,826641472 0,13285309 0,959494563 0,03321327 0,992707834 0,00622749 0,998935325 0,00093412 0,999869456 0,00011677 0,999986217 1,2511E-05 0,999998728 1,1729E-06 0,999999899 9,7739E-08 0,9999999910 7,3304E-09 111 4,998E-10 112 3,1238E-11 113 1,8022E-12 114 9,6545E-14 115 0 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Función Cuantía: P(0,75)

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Función Distribución: P(0,75)

Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias

II. Variables Aleatorias Continuas

1.3. Distribución de Uniforme

Uniforme, U [a,b] Toma valores equiprobables en un intervalo definido [a; b], siendo a < b.

Función de densidad:

≤≤

−=contrariocaso

bxaabxf

0

1)(

1.3. Distribución de Uniforme Función de distribución: ( ) ( )

( )

>

≤≤−−

<

=

bxsi

bxasiabax

axsi

xF

1

0

1.3. Distribución de Uniforme Características poblacionales • Valor Esperado

22))·((·1

2·1

22·1

2·1

·1·1·)·(·)(

22222

baabbaab

abab

abab

xab

dxxab

dxab

xdxxfxXE

b

a

b

a

b

a

b

a

+=

−+

−=

=

−−

=

−

−=

−

=

=−

=−

== ∫∫∫

2)( baXE +=

1.3. Distribución de Uniforme • Varianza 12

)()(2abXV −

=

( )[ ] ( )

[ ] ( ) ( )

12)(...

2·1·

)()·(·)()(

12)(...·1·

2

)·(·)()()(

222

2222

22

22

abbadxab

x

XEdxxfxXExEXV

abdxab

bax

dxxfXExXExEXV

b

a

b

a

b

a

b

a

−==

+

−−

=

−=−=

−==

−

+

−=

−=−=

∫

∫

∫

∫

1.3. Distribución Uniforme

0

0,05

0 10 20 30 40 50

Función Densidad: U(5;50)

0

0,25

0,5

0,75

1

0 10 20 30 40 50

Función Distribución: U(5;50)

Xi P(Xi) F(Xi)5 0,02222222 0

7,5 0,02222222 0,0555555610 0,02222222 0,11111111

12,5 0,02222222 0,1666666715 0,02222222 0,22222222

17,5 0,02222222 0,2777777820 0,02222222 0,33333333

22,5 0,02222222 0,3888888925 0,02222222 0,44444444

27,5 0,02222222 0,530 0,02222222 0,55555556

32,5 0,02222222 0,6111111135 0,02222222 0,66666667

37,5 0,02222222 0,7222222240 0,02222222 0,77777778

42,5 0,02222222 0,8333333345 0,02222222 0,88888889

47,5 0,02222222 0,9444444450 0,02222222 1

1.4. Distribución Normal

∞≤≤∞−=−−

xexfx

2

2

2)(

22

1)( σµ

πσ

∞≤≤∞−= ∫ ∞−

−−

xdxexFx

x2

2

2)(

22

1)( σµ

πσ

Función de Distribución:

1.4. Distribución Normal

Características de la D. Normal Recorrido (- ∞ , + ∞)

Simétrica respecto al E(X)= µ

Puntos inflexión “µ ± σ”

Derecha e izquierda del punto medio, es asintótica respecto a los ejes horizontales

Creciente para valores inferiores a µ

Decreciente para valores superiores a µ

1.4. Distribución Normal

La probabilidad de que la variable esté dentro de un intervalo:

1.4. Distribución Normal

1.4. Distribución Normal

σµ−

=XZ

1)(1)(0)( 2

2

2 ===

−

==−

=

−

=σσ

σσµ

σµµ

σµ XVarXVarZVarXEZE

1.4. Distribución Normal

Propiedad reproductiva: Si X1 y X2 son dos v.a. independientes que se distribuyen según una ley de Normal tal que,

X1 es N(µ1; σ2(X1)) X2 es N(µ2; σ2(X2))

X= X1+X2 X es N (µ1+µ2; σ2(X1)+σ2(X2)) X= X1-X2 X es N (µ1-µ2; σ2(X1)+σ2(X2))

1.4. Distribución Normal

DISTRIBUCIONES NORMALES CON IGUAL VARIANZAVALORES ESPERADOS -2 0 2VARIANZA 5 5 5

Distribuciones normales con igual Varianza

0

0,05

0,1

0,15

0,2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2 0 2

1.4. Distribución Normal

DISTRIBUCIONES NORMALES CON IGUAL VALOR ESPERADOVALORES ESPERADOS 0 0 0VARIANZA 1 2 4

Distribuciones normales con igual Valor Esperado

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-6 -4 -2 0 2 4 6

1 2 4

)1;0( 2 ==≈ σµNZ

63307,0)34,0( =≤ZP

91308,0)36,1( =≤ZP

1.4. Distribución Normal

Probabilidades de intervalos

Si X es una variable Normal de media 3 y desviación 2. Calcular la probabilidad de que tome un valor entre 4 y 6.

2417,06915,09332,0)5,0()5,1(

)5,15,0(2

362

34)64(

=−=<−<=

=<<=

−

<−

<−

=<<

ZPZP

ZPXPXPσµ

)2,3(NX → )1,0(NZ →

1.4. Distribución Normal

1.4. Distribución Normal

• Calcular “a” si X~N(200 ; σ=5), para las siguientes relaciones:

con

)1;0(

X

X

ZZ

XZ

NZ

σµσµ

−=

==≈

995,0)58,2(

99501

=≤

=≤−

ZP

,a)P(X

9,2125·58,2200· =+=+= σµ Za

99,5%

N(200,5)

200

¿...?

0 99,5%

N(0,1)

2,58

1.4. Distribución Normal

X

X

ZZ

XZ

NZ

σµσµ

−=

==≈

con

)1;0(

05,0)64,1(

0502

=−≤

=≤−

ZP

,a)P(X

8,1915·64,1200· =−=+= XX Za σµ

5%

N(0,1)

0

5%

95%

N(0,1)

0

1.4. Distribución Normal

X

X

ZZ

XZ

NZ

σµσµ

−=

==≈

con

)1;0(

05,0)64,1(

0503

=≥

=≥−

ZP

,a)P(X

2,2085·64,1200· =+=+= XX Za σµ

5%

95%

N(0,1)

0

1.4. Distribución Normal

1.5. Distribución Chi-cuadrado

-Se define la variable aleatoria:

-Por definición:

+∞<< 2

)(0 nχ

niNZ

ZZZZ

i

nn

,...,3,2,1)1;0(con

...2

223

22

21

2)(

===≈

++++=

σµ

χ

1.5. Distribución Chi-cuadrado

-Gráfico de la función de densidad

1.5. Distribución Chi-cuadrado

-Características de su distribución:

-Si n > 30,

nXVnXE

Xsi n

·2)()(

2)(

==

≈ χ

)·2;(30 22)( nnNXnconXsi n ==≈⇒>≈ σµχ

1.5. Distribución Chi-cuadrado

90,0)865,4( 2)10( =≥χP

1.5. Distribución Chi-cuadrado DISTRIBUCIONES CHI-CUADRADO CON DIFERENTES GRADOS DE LIBERTADGRADOS LIBERTAD 2 4 6 10VALORES ESPERADOS 2 4 6 10VARIANZA 4 8 12 20

Distribución Chi-cuadrado con diferentes grados de libertad

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 5 10 15 20

4 6 10

1.6. Distribución t de Student

-Definimos la variable aleatoria con n grados de libertad

-Valores de la variable aleatoria:

+∞<<∞− )(nt

≈

==≈

=≈

2)(

2

)(

)1;0(

n

n

YNZ

nYZXsitX

χ

σµ

1.6. Distribución t de Student -Características de la Distribución

- Cuando n > 30

22

)(

0)()(

>−

=

=

≈

nn

nXV

XEentoncestXsi n

−==≈

>≈

2;0

30

2

)(

nnNX

aeequivalentesncontXsi n

σµ

1.6. Distribución t de Student

- Gráfico de la función de densidad

1.6. Distribución t de Student

10,0)3562,1( )12( =≥tP

1.7. Distribución F de Snedecor

-Definimos la variable aleatoria con n grados de libertad en el numerador y m grados en el denominador

-Valores de la variable:

+∞<< );(0 mnF

mn

Fm

nmn 2

)(

2)(

),( χχ

=

1.7. Distribución F de Snedecor

-Gráfico de la función de densidad

1.7. Distribución F de Snedecor

-Características de la distribución,

4)2)(4()2(2)(

22

)(

2

2

);(

>−−−+

=

>−

=

≈

mmmnmnmXV

mm

mXE

FXsi mn

1.7. Distribución F de Snedecor DISTRIBUCIONES F DE FISHER CON IGUAL GRADOS DE LIBERTAD EN EL NUMERADORGRADOS LIBERTAD NUMERADOR 30 30 30GRADOS LIBERTAD DENOMINADOR (mínimo 5) 6 10 15VALORES ESPERADOS 1,50 1,25 1,15VARIANZA 2,55 0,66 0,35

Distribución F de Fisher para igual número de grados de libertad en el numerador

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6

num 30 y denom 6 num 30 y denom 10 num 30 y denom 15

1.7. Distribución F de Snedecor DISTRIBUCIONES F DE FISHER CON IGUAL GRADOS DE LIBERTAD EN EL DENOMINADORGRADOS LIBERTAD NUMERADOR 20 40 60GRADOS LIBERTAD DENOMINADOR (mínimo 5) 5 5 5VALORES ESPERADOS 1,67 1,67 1,67VARIANZA 6,39 5,97 5,83

Distribución F de Fisher para igual grados de libertad en el denominador

0

0,02

0,04

0,060,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 1 2 3 4 5 6 7 8

num 20 y denom 5 num 40 y denom 5 num 60 y denom 5

1.7. Distribución F de Snedecor

25,0)61,1( )9;6( =≥FP

1.7. Distribución F de Snedecor

10,0)34,3( )5;8( =≥FP