Ejercicios Cambio de Variable

INGENIERIA CIVIL

V.- EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Hallar el jacobiano. El Jacobiano de la transformación T dada por : y

Se puede obtener de la siguiente manera.

> with(linalg):

> x:=g(u,v): y:=h(u,v): A:=vector([x,y]):

> T:=jacobian(A,[u,v]);

> Jac:=det(T);

> x:='x': y:='y':

EJERCICIO 2:.

Hallar el Jacobiano de la siguiente expresion: .

> x:=u^2-v^2: y:=u^2+v^2:

> Jac:=det(jacobian(vector([x,y]),[u,v]));

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EJERCICIO 3

Encuentre el Jacobiano de la Transformacion: .

> A:=vector([2*u,3*v^2,4*w^3]);

> Jac:=det(jacobian(A,[u,v,w]));

EJERCICIO 4

La integral de superficie de g(x,y,z) más de esa porción de la superficie z=z(x,y) dentro del cilindro con R , la región limitada por las curvas y=y1(x),y=y2(x), x=a y x=b . Está dada por:

Reconociendo el elemento de superficie-área como

Vemos que esta integral es sólo el "volumen" en la superficie , g

pero en el interior del cilindro cuya presencia en el plano xy es la región R. Por ejemplo, tomamos g(x,y)=1y la superficie z=1  delimitada por las curvas y1=x^2 y y2=x, la integral de superficie es sólo el área de R, dada por el comando SurfaceInt como:

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Sin embargo, el área de También se da por:

EJERCICIO 5

Calcular la integral de superficie de

en que parte de la superficie:

La integral de superficie de g(x,y,z) más de una superficie descrita por paramétricamente

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Esta dado por:

La forma paramétrica para el elemento de área superficial cuando la superficie se da de forma paramétrica es

dondeJ1, J2,J3 SON RESPECTIVAMENTE LOS JACOBIANOS

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QUE SE OBTIENE ATRAVEZ DE:

Si una esfera de radio a> 0 se describe en coordenadas esféricas por

, a continuación, su superficie está dada por:

Alternativamente, el área de superficie de una esfera de radio también se puede encontrar con:

EJERCICIO 6

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Evaluar la integral de y sobre la región limitada por y=0, , y

, usando el cambio de variable , .> x:=u^2-v^2: y:=2*u*v:Cambiar las curvas delimitadas por las ecuaciones:> eq1:= y^2=4-4*x;

> eq2:=y^2=4+4*x;

> solve(eq1,{u,v});

> solve(eq2,{u,v});

> Jac:=det(jacobian(vector([x,y]),[u,v]));

> intg:=y*Jac;

> I=int(int(intg,u=0..1),v=0..1);

EJERCICIO 7

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Encuentre el volumen del sólido limitado por la intersección de los paraboloides

y .

Dibujando la gráfica:

> x:='x': y:='y': z:='z':

> plot3d({x^2+y,1-x^2-y^2},x=-1..1,y=-2..1, view=2..1,scaling=constrained,axes=frame );

La

proyeccion sobre plano xy de la curva de intersección de estas dos superficies es

, que tiene el siguiente gráfico.

> implicitplot(1-x^2-y^2=x^2+y, x=-1..1,y=-2..1,axes=normal);

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(a) Usando rectángulo coordenadas para resolver el problema. (Sin el cambio de variables.)

Para obtener los límites de la orden de {y, x}, haga lo siguiente.

> solve(1-2*x^2-y^2-y,y);

El centro de la elipse es (0, -1 / 2). Para encontrar los límites de x,

> solve(subs(y=-1/2,1-2*x^2-y^2-y),x);

La integral iterada da el valor de :

> V=int(int(1-2*x^2-y^2-y,y=-1/2*sqrt(5-8*x^2)-1/2..1/2*sqrt(5-8*x^2)-1/2),x=-1/4*sqrt(10)..1/4*sqrt(10));

Utilizando otra integral iterada para obtener la solución.

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Para obtener los límites del orden del {x, y}, haga lo siguiente.

> solve(1-2*x^2-y^2-y,x);

Para encontrar los límites de y, sea x = 0.

> solve(1-y^2-y,y);

> V=int(int(1-2*x^2-y^2-y,x=-1/2*sqrt(2-2*y^2-2*y)..1/2*sqrt(2-2*y^2-2*y)),y=-1/2*sqrt(5)-1/2..1/2*sqrt(5)-1/2);

(b) Modificar las variables para resolver el problema. Realizando el cambio de variable> x:=r*sqrt(5/8)*cos(theta);y:=r*sqrt(5/4)*sin(theta)-1/2;

> with(linalg):> Jac:=det(jacobian(vector([x,y]),[r,theta]));

> jc:=simplify(Jac);

> grt:=simplify(1-2*x^2-y^2-y);

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> V=int(int(grt*jc,r=0..1),theta=0..2*Pi);

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