View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
����������� ��� �������������� �� � � ��������� 2 ��� ���� 2551 �#$�%#&�%��� ����� 4
�� �(�)� �)�*�+��%�)�% ��,��� �%)���-*
1. ������ �� ����� �������A =
2 3
1 0
B =
0 2
−2 4
(At + Bt)2
1. 2. 3. 4. 1 11 −5 20
2 −4
28 17
−1 −6
30 11
2. ����������������� ������ !�"#��� ��� (�) &�� �� �� B, C *!+�*�����,-."/ ���0�*�����,-AB = AC A ≠ 0
*��1������� ����� B = C
��� ��� (�) &�� �� ��� AB = I BA = I A−1 = B
�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×
3. ���������� ������ !�"#��� ��� (�) ������ A, B �� C *!+� *�����,- n × n
&�� ��� A = B AC = BC
��� ��� (�) ������ A *!+� *�����,- n × n
&�� ��� A2 = 0 A = 0
�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×
4. ������ �� ���� AB = BA = I A =
2 1
7 3
(A + B)t
1. 2. 3. 4.
−1 1
2 14
−1 2
1 14
−1 14
2 1
−1 2
14 1
1
��������� �� ������� ����������������
5. &�� �� ��� �" ��*.���56�����A =
5 4 6
−2 0 7
1 2 0
B =
C13(A) C23(A)3 2
det B
1. 2. 10 3. 4. 26−10 −26
6. ������ �� y ."/ ����� �������A =
1 0 2
2 −1 1
5 1 2
B =
1
2
0
A−1
x
y
z
= B
1. y = 0
2. y = 1
3. �� �� ��*��/����� det A = 0
4. �� �� ��*��/�����:�/�."/����������� ��*�";���
7. ��������� ����
2 1
2 5
γ q
r s
1 2
3 4
=
1 2
0 1
det
s r
q γ
1. 2. 3. 4.− 1
16− 1
10
1
8−1
2
8. ������*�����,-���:5�!��:�.>�?����5�!� x, y, z �� �� ��5������66:���� ��
���� ��
0 2 2 5
1 0 −1 1
0 3 2 9
x + y + z
1. 0 2. 1 3. 2 4. 3
9. &�� �� ��� *.���56����� A =
1 −2
−3 4
B =
5 0
1 2
det (AB−1)
1. 2. 3. 1 4.−1
5
1
5−20
10. &�� �� ��� ����� a ."/*!+� ! ��.5#���� �������A =
1 0
0 a
A2At = A
1. 0 2. 0, 1 3. 4.−1, 1 0, − 1, 1
11. ��������� A, B �� C *!+� *�����,-��D &����;�� 2 × 2 A ∗ B = 1
2(AB + BA)
������:�E!����� !�"# ������1. 2.A ∗ A = A2 A ∗ B = B ∗ A
3. 4.(A ∗ B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C) A ∗ (B + C) = (A ∗ B) + (A ∗ C)
2
��������� �� ������� ����������������
12. ���������� ������ !�"#��� ��� (�) &�� ��� A ⋅ A = I det A = 1
��� ��� (�) �� det (AB) = det A det B det (A + B) = det A + det B
�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×
13. ���������� ������ !�"#��� ��� (�) ������ A, B �� C *!+� *�����,-n × n
&�� ��� ���� AB + AC = 0 A = 0 B = − C
��� ��� (�) &�� A �� B *!+� *�����,-n × n
&�� ��� B = AAt Bt = B
�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×
14. ������*�����,- A, B �� C �5���� !�"# A =
a b
c d
B =
2 −3
3 0
C =
5 1
1 1
*��/� a, b, c �� d *!+����������� &�� ���� �� At + B = C det A + det At
1. 11 2. 12 3. 22 4. 24
15. ������ �� &�� A, C *!+�*�����,-."/ ���0�*�����,-B =
1 2
1 3
A−1B = A2C = I
*��1����� ���:�E!�� ��&2�����
1. 2.C−1 =
3 8
4 11
det (AtC) = − 1
3. 4.det (adjC) = 1 det A = det (Bt)
16. ��������� *,�����E� (x, y) ."/:�� �����56:���� A =
2x 5 1 y
8 −x 1 0
4 y 2 −1
16 7 y 2x
*��/� ��I J�*���-��� *!+����J��������C23(−2At) = − 128 Cij(A) aij
1. K*���-I6��,L/��"�E�M2�;-�����;2�."/ (2, 1)2. K*���-I6��,L/��" ���;�����������*.���56 2 ����;3. ���" ,L/��"�E�M2�;-�����;2�."/ (1, 2)4. ���" ,L/��" ���;����*��*.���56 ����;2 2
3
��������� �� ������� ����������������
17. ��������� �5��5#� �" ��*.���56�����2
2 −4
1 3
+ A
=
1 0
−1 2
− 3A det A
1. 2. 3. 4.25
36
36
25
26
35
35
26
18. ����*�����,- A ."/.����� A
0 1
2 −1
=
2 1
−1 0
1. 2. 3. 4.
2 1
−1 −1
1
2
1
2
2 1
2 1
−1
21
2 1
−1
2−1
2
19. &�� A *!+�*�����,-�5�E�5:,L/� ��� A
4 2 6
8 10 14
6 0 4
=
−2 0 0
0 −2 0
0 0 −2
A−1 + C
*.���56*.�� � *��/� C =
3 4 3
4 3 4
3 4 3
1. 2. 3. 4.
5 5 6
0 −2 −3
0 4 3
1 3 0
8 8 11
0 4 1
1 3 0
0 −2 −3
6 4 5
1 3 0
0 −2 −3
0 4 1
20. ������ &�� ��� �" ������56�����A =
2 −3 2
6 3 0
0 −3 1
B = adj (A) b33 − b21
1. 2. 3. 30 4. 32−18 −24
********************
4
��������� �� ������� ����������������
���������� ������
����� ����� ��
1. )�� ��� 4
�&��� At =
2 1
3 0
Bt =
0 −2
2 4
= =At + Bt
2 1
3 0
+
0 −2
2 4
2 −1
5 4
= =(At + Bt)2
2 −1
5 4
2 −1
5 4
−1 −6
30 11
2. )�� ��� 3�&���
��� ��� (�) ."/&2� ... ���������� A *!+�*�����,-."/ ���0�*�����,-*��1����� ��� (�) &2�*���� :����� ���� AB = I = BA A = B−1 B = A−1
3. )�� ��� 2�&���
��� ��� (�) &2�
��� ��� (�) P�� *0�� A =
1 1
−1 −1
�� �� A2 =
1 1
−1 −1
1 1
−1 −1
= 0
4. )��
�&��� ��� �� ����� AB = BA = I B = A−1 = 1
−1
3 −1
−7 2
=
−3 1
7 −2
�5��5#� =(A + B)t
2 1
7 3
+
−3 1
7 −2
t
=
−1 2
14 1
t
=
−1 14
2 1
5
��������� �� ������� ����������������
5. )�� ��� 2
�&��� = =C13(A) −2 0
1 2−4
= =C23(A) − 5 4
1 2−6
�� �� B =
−4 −6
3 2
=det B (−8) + 18 = 10
6. )�� ��� 1
�&��� ��� = BA−1
x
y
z
�� �� = ABAA−1
x
y
z
=
x
y
z
1 0 2
2 −1 1
5 1 2
1
2
0
=
1
0
7
�5��5#� y = 0
7. )�� ��� 1
�&��� ���I�.;-�� �� =2 1
2 5
p q
r s
1 2
3 4
1 2
0 1
= �� �� p q
r s− 1
16→ q γ
s r= − (− 1
16) = 1
16
�� �� = s r
q γ− 1
16
8. )�� ��� 3�&��� �����66*�����,-��*�";�66:���� ��*!+�
= 52y + 2z (1)
x = 1−z (2)
= 93y + 2z (3)
=(1) − (2) −y −4
y = 4
6
��������� �� ������� ����������������
.� y �� (1) z = −3
2
.� z �� (2) x = −1
2
�5��5#� =x + y + z −1
2+ 4 + (−3
2) = 2
9. )�� ��� 1�&��� =det (AB−1) det A ⋅ 1
det B
= (−2) 1
10
= −1
5
10. )�� ��� 4
�&��� =A2
1 0
0 a
1 0
0 a
=
1 0
0 a2
=At
1 0
0 a
��� = A �� �� =A2At
1 0
0 a2
1 0
0 a
1 0
0 a
=
1 0
0 a3
1 0
0 a
�� �� a3 = a
a3 − a = 0
a(a2 − 1) = 0
a = 0, 1, − 1
11. )�� ��� 3�&��� ��������5�*������� 1 =A ∗ A
1
2(AA + AA)
= 1
2(2A2)
= ����A2
��� 2 =A ∗ B1
2(AB + BA)
=B ∗ A1
2(BA + AB) = 1
2(AB + BA)
�� �� = ����A ∗ B B ∗ A
7
��������� �� ������� ����������������
��� 3 =(A ∗ B) ∗ C (1
2(AB + BA)) ∗ C
= 1
2[(1
2(AB + BA)C + C(1
2(AB + BA))]
=A ∗ (B ∗ C) A ∗ (1
2(BC + CB))
= 1
2[A(1
2(BC + CB)) + (1
2(BC + CB))A]
�6��� (A ∗ B) ∗ C ≠ A ∗ (B ∗ C)
12. )�� ��� 4�&���
��� ��� (�) P�� *��/����� = IA − A
�� �� =det A2 det I
= 1(det A2)
=det A 1, − 1
��� ��� (�) P�� *���� det (A + B) ≠ det A + det B
13. )�� ��� 3�&��� ��� ��� (�) P�� *��/����� AB + AC = 0
�� �� A(B + C) = 0
�� ��:����&:�E! ����� ���� A = 0 B + C = 0
��� ��� (�) ���� ��� B = AAt
�� �� =Bt (AAt)t
= (At)tAt
= AAt
�5��5#� B = Bt
14. )�� ��� 3�&��� ��� At + B = C
�� �� At = C − B
At = 5 1
1 1− 2 −3
3 0
�5��5#� At =
3 4
−2 1
8
��������� �� ������� ����������������
�5��5#� det At = 11
�� det A + det At = 11
�5��5#� det A + det At = 11 + 11 = 22
15. )�� ��� 2�&��� (1) ��� �� �� A−1B = I B = A
��� �� �� A2C = I A2 = C−1
�5��5#� C−1 = B2
=
1 2
1 3
1 2
1 3
=
3 8
4 11
(2) =det(AtC) detAt ⋅ detC
= detAdetC
= det B ⋅ 1
detC−1
= (1)(1
1)
= 116. )�� ��� 4
�&��� ��� C23(−2At) = − 128
�� �� (−2)3C32(A) = − 128
(−2)3
−
2x 1 y
8 1 0
16 y 2x
= − 128
4x2 + 8y2 − 16y − 16x = − 16
(x − 2)2
2+ (y− 1)2
1= 1
17. )�� ��� 2
�&��� =2
2 −4
1 3
+ A
1 0
−1 2
− 3A
=
4 −8
2 6
+ 2A
1 0
−1 2
− 3A
5A = =
1 0
−1 2
−
4 −8
2 6
−3 8
−3 −4
9
��������� �� ������� ����������������
= 36det 5A
= 3652det A
=det A36
25
18. )�� ��� 4
�&��� =A
0 1
2 −1
2 1
−1 0
�� �� =A
0 1
2 −1
−1
2
−1 −1
−2 0
2 1
−1 0
−1
2
−1 −1
−2 0
A =
2 1
−1
2−1
2
19. )�� ��� 4
�&��� ��� A
4 2 6
8 10 14
6 0 4
= − 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�� �� A
−2 −1 −3
−4 −5 −7
−3 0 −2
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A−1
�5��5#�A−1 + C =
−2 −1 −3
−4 −5 −7
−3 0 −2
+
3 4 3
4 3 4
3 4 3
=
1 3 0
0 −2 −3
0 4 1
20. )�� ��� 3�&��� ��� B = adjA = [Cij
]t
�� �� b21 = C12 = − 6 0
0 1= − 6
b33 = C33 = 2 −3
6 3= 24
�5��5#� b33 − b21 = 24 − (−6) = 30
*********************
10
��������� �� ������� ����������������
Recommended