10
2 2551 4 1. A = 23 10 B = 02 -24 (A t + B t 29 2 1. 2. 3. 4. 1 11 -5 20 2 -4 28 17 -1 -6 30 11 2. () B, C AB = AC A 0 B = C () AB = I BA = I A -1 = B 1. () () 2. () () × 3. () × () 4. () × () × 3. () A, B C n × n A = B AC = BC () A n × n A 2 = 0 A = 0 1. () () 2. () () × 3. () × () 4. () × () × 4. AB = BA = I A = 21 73 (A + B29 t 1. 2. 3. 4. -1 1 2 14 -1 2 1 14 -1 14 2 1 -12 14 1 1

brain_m04matrix.pdf

  • Upload
    top2

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: brain_m04matrix.pdf

����������� ��� �������������� �� � � ��������� 2 ��� ���� 2551 �#$�%#&�%��� ����� 4

�� �(�)� �)�*�+��%�)�% ��,��� �%)���-*

1. ������ �� ����� �������A =

2 3

1 0

B =

0 2

−2 4

(At + Bt)2

1. 2. 3. 4. 1 11 −5 20

2 −4

28 17

−1 −6

30 11

2. ����������������� ������ !�"#��� ��� (�) &�� �� �� B, C *!+�*�����,-."/ ���0�*�����,-AB = AC A ≠ 0

*��1������� ����� B = C

��� ��� (�) &�� �� ��� AB = I BA = I A−1 = B

�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×

3. ���������� ������ !�"#��� ��� (�) ������ A, B �� C *!+� *�����,- n × n

&�� ��� A = B AC = BC

��� ��� (�) ������ A *!+� *�����,- n × n

&�� ��� A2 = 0 A = 0

�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×

4. ������ �� ���� AB = BA = I A =

2 1

7 3

(A + B)t

1. 2. 3. 4.

−1 1

2 14

−1 2

1 14

−1 14

2 1

−1 2

14 1

1

��������� �� ������� ����������������

Page 2: brain_m04matrix.pdf

5. &�� �� ��� �" ��*.���56�����A =

5 4 6

−2 0 7

1 2 0

B =

C13(A) C23(A)3 2

det B

1. 2. 10 3. 4. 26−10 −26

6. ������ �� y ."/ ����� �������A =

1 0 2

2 −1 1

5 1 2

B =

1

2

0

A−1

x

y

z

= B

1. y = 0

2. y = 1

3. �� �� ��*��/����� det A = 0

4. �� �� ��*��/�����:�/�."/����������� ��*�";���

7. ��������� ����

2 1

2 5

γ q

r s

1 2

3 4

=

1 2

0 1

det

s r

q γ

1. 2. 3. 4.− 1

16− 1

10

1

8−1

2

8. ������*�����,-���:5�!��:�.>�?����5�!� x, y, z �� �� ��5������66:���� ��

���� ��

0 2 2 5

1 0 −1 1

0 3 2 9

x + y + z

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

9. &�� �� ��� *.���56����� A =

1 −2

−3 4

B =

5 0

1 2

det (AB−1)

1. 2. 3. 1 4.−1

5

1

5−20

10. &�� �� ��� ����� a ."/*!+� ! ��.5#���� �������A =

1 0

0 a

A2At = A

1. 0 2. 0, 1 3. 4.−1, 1 0, − 1, 1

11. ��������� A, B �� C *!+� *�����,-��D &����;�� 2 × 2 A ∗ B = 1

2(AB + BA)

������:�E!����� !�"# ������1. 2.A ∗ A = A2 A ∗ B = B ∗ A

3. 4.(A ∗ B) ∗ C = A ∗ (B ∗ C) A ∗ (B + C) = (A ∗ B) + (A ∗ C)

2

��������� �� ������� ����������������

Page 3: brain_m04matrix.pdf

12. ���������� ������ !�"#��� ��� (�) &�� ��� A ⋅ A = I det A = 1

��� ��� (�) �� det (AB) = det A det B det (A + B) = det A + det B

�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×

13. ���������� ������ !�"#��� ��� (�) ������ A, B �� C *!+� *�����,-n × n

&�� ��� ���� AB + AC = 0 A = 0 B = − C

��� ��� (�) &�� A �� B *!+� *�����,-n × n

&�� ��� B = AAt Bt = B

�����&2�����1. (�) � (�) � 2. (�) � (�) ×3. (�) × (�) � 4. (�) × (�) ×

14. ������*�����,- A, B �� C �5���� !�"# A =

a b

c d

B =

2 −3

3 0

C =

5 1

1 1

*��/� a, b, c �� d *!+����������� &�� ���� �� At + B = C det A + det At

1. 11 2. 12 3. 22 4. 24

15. ������ �� &�� A, C *!+�*�����,-."/ ���0�*�����,-B =

1 2

1 3

A−1B = A2C = I

*��1����� ���:�E!�� ��&2�����

1. 2.C−1 =

3 8

4 11

det (AtC) = − 1

3. 4.det (adjC) = 1 det A = det (Bt)

16. ��������� *,�����E� (x, y) ."/:�� �����56:���� A =

2x 5 1 y

8 −x 1 0

4 y 2 −1

16 7 y 2x

*��/� ��I J�*���-��� *!+����J��������C23(−2At) = − 128 Cij(A) aij

1. K*���-I6��,L/��"�E�M2�;-�����;2�."/ (2, 1)2. K*���-I6��,L/��" ���;�����������*.���56 2 ����;3. ���" ,L/��"�E�M2�;-�����;2�."/ (1, 2)4. ���" ,L/��" ���;����*��*.���56 ����;2 2

3

��������� �� ������� ����������������

Page 4: brain_m04matrix.pdf

17. ��������� �5��5#� �" ��*.���56�����2

2 −4

1 3

+ A

=

1 0

−1 2

− 3A det A

1. 2. 3. 4.25

36

36

25

26

35

35

26

18. ����*�����,- A ."/.����� A

0 1

2 −1

=

2 1

−1 0

1. 2. 3. 4.

2 1

−1 −1

1

2

1

2

2 1

2 1

−1

21

2 1

−1

2−1

2

19. &�� A *!+�*�����,-�5�E�5:,L/� ��� A

4 2 6

8 10 14

6 0 4

=

−2 0 0

0 −2 0

0 0 −2

A−1 + C

*.���56*.�� � *��/� C =

3 4 3

4 3 4

3 4 3

1. 2. 3. 4.

5 5 6

0 −2 −3

0 4 3

1 3 0

8 8 11

0 4 1

1 3 0

0 −2 −3

6 4 5

1 3 0

0 −2 −3

0 4 1

20. ������ &�� ��� �" ������56�����A =

2 −3 2

6 3 0

0 −3 1

B = adj (A) b33 − b21

1. 2. 3. 30 4. 32−18 −24

********************

4

��������� �� ������� ����������������

Page 5: brain_m04matrix.pdf

���������� ������

����� ����� ��

1. )�� ��� 4

�&��� At =

2 1

3 0

Bt =

0 −2

2 4

= =At + Bt

2 1

3 0

+

0 −2

2 4

2 −1

5 4

= =(At + Bt)2

2 −1

5 4

2 −1

5 4

−1 −6

30 11

2. )�� ��� 3�&���

��� ��� (�) ."/&2� ... ���������� A *!+�*�����,-."/ ���0�*�����,-*��1����� ��� (�) &2�*���� :����� ���� AB = I = BA A = B−1 B = A−1

3. )�� ��� 2�&���

��� ��� (�) &2�

��� ��� (�) P�� *0�� A =

1 1

−1 −1

�� �� A2 =

1 1

−1 −1

1 1

−1 −1

= 0

4. )��

�&��� ��� �� ����� AB = BA = I B = A−1 = 1

−1

3 −1

−7 2

=

−3 1

7 −2

�5��5#� =(A + B)t

2 1

7 3

+

−3 1

7 −2

t

=

−1 2

14 1

t

=

−1 14

2 1

5

��������� �� ������� ����������������

Page 6: brain_m04matrix.pdf

5. )�� ��� 2

�&��� = =C13(A) −2 0

1 2−4

= =C23(A) − 5 4

1 2−6

�� �� B =

−4 −6

3 2

=det B (−8) + 18 = 10

6. )�� ��� 1

�&��� ��� = BA−1

x

y

z

�� �� = ABAA−1

x

y

z

=

x

y

z

1 0 2

2 −1 1

5 1 2

1

2

0

=

1

0

7

�5��5#� y = 0

7. )�� ��� 1

�&��� ���I�.;-�� �� =2 1

2 5

p q

r s

1 2

3 4

1 2

0 1

= �� �� p q

r s− 1

16→ q γ

s r= − (− 1

16) = 1

16

�� �� = s r

q γ− 1

16

8. )�� ��� 3�&��� �����66*�����,-��*�";�66:���� ��*!+�

= 52y + 2z (1)

x = 1−z (2)

= 93y + 2z (3)

=(1) − (2) −y −4

y = 4

6

��������� �� ������� ����������������

Page 7: brain_m04matrix.pdf

.� y �� (1) z = −3

2

.� z �� (2) x = −1

2

�5��5#� =x + y + z −1

2+ 4 + (−3

2) = 2

9. )�� ��� 1�&��� =det (AB−1) det A ⋅ 1

det B

= (−2) 1

10

= −1

5

10. )�� ��� 4

�&��� =A2

1 0

0 a

1 0

0 a

=

1 0

0 a2

=At

1 0

0 a

��� = A �� �� =A2At

1 0

0 a2

1 0

0 a

1 0

0 a

=

1 0

0 a3

1 0

0 a

�� �� a3 = a

a3 − a = 0

a(a2 − 1) = 0

a = 0, 1, − 1

11. )�� ��� 3�&��� ��������5�*������� 1 =A ∗ A

1

2(AA + AA)

= 1

2(2A2)

= ����A2

��� 2 =A ∗ B1

2(AB + BA)

=B ∗ A1

2(BA + AB) = 1

2(AB + BA)

�� �� = ����A ∗ B B ∗ A

7

��������� �� ������� ����������������

Page 8: brain_m04matrix.pdf

��� 3 =(A ∗ B) ∗ C (1

2(AB + BA)) ∗ C

= 1

2[(1

2(AB + BA)C + C(1

2(AB + BA))]

=A ∗ (B ∗ C) A ∗ (1

2(BC + CB))

= 1

2[A(1

2(BC + CB)) + (1

2(BC + CB))A]

�6��� (A ∗ B) ∗ C ≠ A ∗ (B ∗ C)

12. )�� ��� 4�&���

��� ��� (�) P�� *��/����� = IA − A

�� �� =det A2 det I

= 1(det A2)

=det A 1, − 1

��� ��� (�) P�� *���� det (A + B) ≠ det A + det B

13. )�� ��� 3�&��� ��� ��� (�) P�� *��/����� AB + AC = 0

�� �� A(B + C) = 0

�� ��:����&:�E! ����� ���� A = 0 B + C = 0

��� ��� (�) ���� ��� B = AAt

�� �� =Bt (AAt)t

= (At)tAt

= AAt

�5��5#� B = Bt

14. )�� ��� 3�&��� ��� At + B = C

�� �� At = C − B

At = 5 1

1 1− 2 −3

3 0

�5��5#� At =

3 4

−2 1

8

��������� �� ������� ����������������

Page 9: brain_m04matrix.pdf

�5��5#� det At = 11

�� det A + det At = 11

�5��5#� det A + det At = 11 + 11 = 22

15. )�� ��� 2�&��� (1) ��� �� �� A−1B = I B = A

��� �� �� A2C = I A2 = C−1

�5��5#� C−1 = B2

=

1 2

1 3

1 2

1 3

=

3 8

4 11

(2) =det(AtC) detAt ⋅ detC

= detAdetC

= det B ⋅ 1

detC−1

= (1)(1

1)

= 116. )�� ��� 4

�&��� ��� C23(−2At) = − 128

�� �� (−2)3C32(A) = − 128

(−2)3

2x 1 y

8 1 0

16 y 2x

= − 128

4x2 + 8y2 − 16y − 16x = − 16

(x − 2)2

2+ (y− 1)2

1= 1

17. )�� ��� 2

�&��� =2

2 −4

1 3

+ A

1 0

−1 2

− 3A

=

4 −8

2 6

+ 2A

1 0

−1 2

− 3A

5A = =

1 0

−1 2

4 −8

2 6

−3 8

−3 −4

9

��������� �� ������� ����������������

Page 10: brain_m04matrix.pdf

= 36det 5A

= 3652det A

=det A36

25

18. )�� ��� 4

�&��� =A

0 1

2 −1

2 1

−1 0

�� �� =A

0 1

2 −1

−1

2

−1 −1

−2 0

2 1

−1 0

−1

2

−1 −1

−2 0

A =

2 1

−1

2−1

2

19. )�� ��� 4

�&��� ��� A

4 2 6

8 10 14

6 0 4

= − 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

�� �� A

−2 −1 −3

−4 −5 −7

−3 0 −2

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A−1

�5��5#�A−1 + C =

−2 −1 −3

−4 −5 −7

−3 0 −2

+

3 4 3

4 3 4

3 4 3

=

1 3 0

0 −2 −3

0 4 1

20. )�� ��� 3�&��� ��� B = adjA = [Cij

]t

�� �� b21 = C12 = − 6 0

0 1= − 6

b33 = C33 = 2 −3

6 3= 24

�5��5#� b33 − b21 = 24 − (−6) = 30

*********************

10

��������� �� ������� ����������������