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UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL RES. N°099-2007-CONAFU
CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG”
UPIG
Asignatura: Trigonometría
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 1
Docente: Sarai Lino Quispe
UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL RES. N°099-2007-CONAFU
CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG”
Turno: ………………..
2013-II “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”
TEMA 1: SISTEMA DE MEDICION ANGULAR
1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOSEn trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB, con origen en A en la figura siguiente:
Si AB empieza a girar; en el sentido de la flecha curva, hasta la posición AC habremos generado un ángulo trigonométrico tal como se muestra.
En trigonometría, describiremos como se consideran los ángulos de cualquier valor, por lo que se hace aplicar el siguiente concepto.
2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOSLos ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se consideran negativos.
Angulo Positivo
Angulo Negativo
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Ejm.: Graficar 120º Ejm.: Graficar –230º
3. SISTEMA DE MEDIDAUn ángulo puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimales, centesimales y radiales.
Así:
S. Sexagesimal S. Centesimal
S. Radial
Ejm.:
45º 50g rad4
SISTEMA SEXAGESIMAL (S)Llamado Sistema Inglés, es aquel que tiene como unidad a:
Un Grado Sexagesimal 1º
Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1º por lo tanto:
1 vuelta = 360º
Sus unidades:
1 minuto sexagesimal 1’
1 segundo sexagesimal 1”
Equivalencia:
SISTEMA CENTESIMAL (C)
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1º = 60’
1’ = 60’’1º = 3600”
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Llamado también francés, es aquel que tiene como unidad a:
Un Grado Centesimal 1g
Dicho sistema divida al ángulo de una vuelta (1 v) en 400 partes iguales y a cada parte se le denomina 1g por lo tanto:
1 vuelta = 400g
Sus unidades: 1 minuto centesimal 1m
1 segundo centesimal 1s
Equivalencia:
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
También llamado circular o internacional es aquel que tiene como unidad a un radian (1 rad).1 Radian (1 Rad).- Se define así a la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.
Luego: 1 vuelta = 2rad
Obs. (Pi) = 3,141592654……
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1g = 100m
1m = 100s1g = 10 000s
R
R
O L1 Radian
R = L
Si: L = R = 1 Rad
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Pero el valor de se le atribuye valores aproximados como:
= 3,14 ó =
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico tenemos:
Recordar: 360º = 400 g = 2rad 180º = 200g = rad
Entonces: …………. Fórmula General
De donde podemos establecer las siguientes consideraciones:
Observación:
De
Muchas veces conviene utilizar dicha observación por ejemplo:
Reducir:
APLICACIONES
1. Expresar en Radianes si se cumple: 3S – 2C = 7
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Sº
Cg
R rad
1 2 3
1
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Reemplazando:
140R = 7 20R = 1 R =
2. Expresar en radianes si se cumple: C – S = 4
R =
Conversión Entre Sistemas: Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la primera.
Aplicaciones:1. Convertir 15º a radianes.
Observamos que vamos a relaciona el sistema (S) y (R) entonces utilizaremos una equivalencia donde aparezcan ambos sistemas.
2. Convertir 80g a sexagesimales.Utilizaremos la equivalencia.
3. Convertir a sexagesimales.
Ahora utilizaremos 180º = rad
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rad = 180º
180º = 200g
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TEMA 2: SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia
De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
LONGITUD DE ARCO ( l ) Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula
mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.
Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:
Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene:
Longitud de Arco
Ángulo Central
l rad.r 1 rad.
De donde se obtiene . l = . r .
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Donde:l : longitud de arco : número de radianes del ángulo central
r : radio de la circunferencia
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro.Solución:
Sabemos que: l = . r = 30º
Convirtiendo =30º en rad
radππrad
.º 6º180
30
l = 6
. 18
l = 3 cm
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de
radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.
Deducción.–
Comparando (por regla de tres simple)
Área de un Sector Circular
Ángulo Central
r2 2 rad.S rad.
Resolviendo se obtiene: 2
2rS
también:
2r
Sl
2
2lS
Ejemplo:
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Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro.Solución:
= 60º . º180
rad
rad3
26
.3
2S
S = 6 cm2
TEMA 3: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
TRIÁNGULO RECTÁNGULOSe llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º),
además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.En la figura mostrada:
c : hipotenusaa b : catetos : son ángulos agudos
Además en el triángulo rectángulo se cumple: Los ángulos agudos suman 90º
. + = 90º .
Teorema de Pitágoras
. a2 + b2 = c2 .
La hipotenusa siempre es mayor que los catetos
. c > a b .
RAZÓN TRIGONOMÉTRICALa razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el
cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.
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Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo siguiente:
cb
hipotenusa
gulo θesto al ancateto opusenθ
ca
hipotenusa
ángulo θacente al cateto adyθ cos
ab
ángulo θacente al cateto ady
gulo θesto al áncateto oputgθ
ba
gulo θesto al áncateto opu
ngulo θcente al ácatetoadyactgθ
ac
ngulo θacene al ácateto ady
hipotenusaθ sec
bc
gulo θesto al áncateto opu
hipotenusaθ csc
Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.
Resolución
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:(8)2 + (15)2 = x2
289 = x2
x = 17
Luego
178
sen815ctg
1715
cos 1517
sec
158
tg817
csc
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Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53ºLas razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.
De los triángulos anteriores se obtiene:
ÁnguloR.T.
30º 37º 45º 53º 60º
sen21
53
22
54
23
cos23
54
22
53
21
tg33
43
134
3
ctg 334
143
33
sec332
45
235
2
csc 235
245
332
OBSERVACIÓN:LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo un ángulo agudo se cumple:
1csc.1
csc
sensen
1sec.coscos
1sec
1.1
ctgtgtg
ctg
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Ejemplo:
Si34
csc43 sen 5sec
51
cos
53
35 tgctg
32
23
csc sen
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.
En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia:
coscb
sen ; senca cos
ctgab
tg ; tgba
ctg
cscsec ac
; seccsc bc
Debido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecante
Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos: sen40º = cos50º sec20º = csc70º
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tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º cos62º = sen28º csc24º = sec66º
Ejercicio: si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle
Resolución Por lo anterior se tiene: (40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º
= 20º
TEMA 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:
I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.
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1. Conociendo las longitudes de los lados:Ejemplo:Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.
Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:
(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x = 5
Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.
Por decir: tg = 21
= 26º30’ (aproximadamente)
como: + = 90º = 63º30’ Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.
2.A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo
Incógnitas x, y
Cálculo de x:
ax
= cos x = a cos
Cálculo de y:
a
y = sen y = a sen
En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º –.
Conclusión:
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B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ánguloincógnitas x, y
Cálculo de x:
ax
= ctg x = a ctg
Cálculo de y:
a
y = csc y = a csc
En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ánguloAnálogamente a los triángulos rectángulos anteriores
Ejemplos:
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Aplicaciones
1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?
Resolución
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Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la
relación tg =
Reemplazando:
b = 200tg20ºEl ancho del río es (200 tg20º) m
2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)
Resolución
Graficando, tenemos por condición al problema
Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:
= sen22º
h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488h = 4,488 m
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TEMA 5 : ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
INTRODUCCIÓNDebido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que
nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.
A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:
Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.
Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.
Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.
Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulos de ElevaciónEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por
encima de la línea horizontal.
: Ángulo de observaciónÁngulos de Depresión
Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.
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: Ángulo de depresión
OBSERVACIÓN:AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.
: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN
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TEMA 6: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I
NOCIONES PREVIAS .
SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES
Donde:x : Eje de Abscisasy : Eje de OrdenadasIC : Primer CuadranteIIC : Segundo CuadranteIIIC : Tercer CuadranteIVC : Cuarto CuadranteO : Origen del Sistema
Ubicación de un punto
Donde:P : Punto del Sistema Bidimensionala : Abscisa del Punto Pb : Ordenada del Punto P(a; b):Coordenadas del Punto P
radio vector .
Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo está representado por “r”.
Donde: r: Longitud del Radio Vector
r
Ángulo en posición normal .
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y
xa
bP(a; b)
r2 = a2 + b2
+
|a|2 = a2
+
+
–
– IVCIIIC
ICIICy
xO
y
x
| b |
| a |
(a; b)
r
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Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.
Donde:, son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.
L.I.: Lado InicialL.F.: Lado Final
Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.
REGLA DE SIGNOS .
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También son llamados ∢s en
posición canónica o estándar.
y
x
(x; y)
r
C
R.T.IC IIC IIIC IVC
sen + + - -
cos + - - +
tg + - + -
cot + - + -
sec + - - +
csc + + - -
x
y
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comprobación .
Utilizamos el siguiente gráfico para un ángulo en posición normal de medida “”.
IC. x; y r son positivos entonces todas las divisiones son positivas.
IIC. cos = +
IIIC. cot = +
IVC. sec = +
Ejemplo 1 Solución 1Del siguiente gráfico calcular: a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:
r2 = r2 + (-3)2 r =
b) Reemplazamos las definiciones:
E = -3 + 4 E = 1
Ejemplo 2 Solución 2Indicar el signo resultante de la siguienteoperación: E = sen130º . cos230º . tg330º E = sen130º . cos230º . tg330º
E = + . - . - E = +
Ejemplo 3 Solución 3Indicar el cuadrante al que pertenece la tg = - { IIC IVC }medida angular “” si: csc = + { IC IIC } tg < 0 csc > 0
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x
y
(-; +) (+; +)
(-; -) (+; -)
x
y
(1; -3)
IIC IIIC IVC
IIC
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TEMA 7: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
Ángulos cuadrantales .
Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con
cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma “ ”; n Z
ó “n. 90º”.
Ejemplo:Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;
R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES
.
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El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.
x
y
90º180º
-90º
m∢R.T.
0º, 360º
90º 180º270
º0; 2 /2 3/2
sen 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
tg 0 N 0 N
cot N 0 N 0
sec 1 N -1 N
csc N 1 N -1
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COMPROBACIÓN .
1.
2.
3.
r. t. de ángulos coterminales .
Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.
COMPROBACIÓN .
1. Por definición:
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 24
0 = Cero1 = UnoN = No definido
La división de un número entre 0 (cero) es una operación no
definida.
Son ∢s coterminales los que tienen el
mismo lado inicial y final.
x
y
90º
(0; r)
r
x
y
(a; b)
R.T. = R.T.
=
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2. Por definición:
3. Concluimos que:
TEMA 8: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
La conservación de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un
ángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al primer cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en
forma directa mediante reglas practicas las cuales mencionaremos a continuación recordando antes que:
- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.
- Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente.
- Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.
I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.
¡Importante!
- El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”.
- se considera un ángulo agudo.
Ejemplos de Aplicación:
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1. Reducir al primer cuadrante:
a) Cos 150º b) Tg 200º
c) Sen 320º d) Sec 115º
e) Csc 240º f) Ctg 345º
Resolución:
1a. Cos 150º = Cos (180º - 30º) = -Cos 30º
“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (150º) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo”
1b. Tg 200º = Tg (180º + 120º) = + Tg 20º.
“El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva”.
1c. Sen 320º = Sen (270º + 50º) = -Cos 50º
“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (320º) pertenece al IV C, en donde e seno es negativo y se
cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 270º”.
1d. Sec 115º = Sec (90º + 25º) = - Csc (25º)
Ojo: También se pudo haber resuelto de la siguiente manera:
Sec 115º = Sec(180º - 65º) = - Sec (25º)
“Ambas respuestas son correctas, por ser éstas equivalentes”
- Csc 25º = - Sec 65º
Csc 25º = Sec 65º
Ya que:
Donde:
y suman 90º
Nota: A éste par de ángulos se les denomina “Ángulo Complementarios”.
e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) = - Csc (60º) ó Csc 240º = Csc (270º - 30º) = - Sec (30º)
f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) = - Tg (75º) ó Ct 345º = Ctg (360º - 15º) = - Ctg 15º
II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta.
Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:
360º = 360º . n + R.T. = R.T.
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n
También podríamos decir que el #entero (n) de vueltas (360º) se elimina
Ejemplo:Calcular: “tg1223º”
Solución:1. Realizamos la operación mencionada.
1223º 360º 1223º = 360º . 3 + 143º1080º 3 143º
2. tg1223º = tg143º
3. Observamos que 143º es menor a una vuelta pero falta reducir al primer cuadrante.
tg143º = tg(180º - 37º) = - tg37º = -
III Regla: para ángulos negativos:
Para todo ángulo , se cumple:
Nota:
Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor positivo.
Veamos ejemplos:
Ejemplo de Aplicación
Reducir al primer cuadrante:
A) cos(-30°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)
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supuesto
IIC–
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Resolución:
3a) cos(-30°) = cos(30°)
3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó
Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86°
3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) = -Ctg(3×360° + 40°)
Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)
3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) = -Csc(5×306° + 340°)
Csc(-2140°) = -Csc(340°) = -Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º] = Sec 70º ó
- Csc(340º) = - Csc (360º - 20º) = -[-Csc(20º)]= Csc 20º
TEMA 9: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
Llamado también circunferencia unitaria, es una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad.
ELEMENTOS
O : Centro u origen de coordenadasR : Radio (R = 1)A : Origen de arcoM : Extremo de arco : Medida del arco Rad : Medida del ángulo MÔAC.T. : Circunferencia Trigonométrica
NOTA
Los arcos pueden ser positivos, si están generados en el sentido antihorario y negativos si están generados en el sentido horario.
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 28
A’
B’
B
AO
M
Rad
R = 1
X
Y
C.T.
No olvidar que…
A’
B’
A
B
(+)
(-)
O
C.T.
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: Arco positivo : Arco negativo
ARCO EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del punto “A” y su extremo final, se encuentra en cualquier parte de la C.T.
Ejemplo 1 : Ubicar en una C.T. los siguientes ángulos e indicar el cuadrante al que pertenecen.a) 60º b) 90º c) 150º d) 225º e) -30º
60º IC
90º a ningún cuadrante
150º IIC
225º IIIC
-30º IVC
REPRESENTACIÓN DEL SENO Y COSENO EN UNA C.T.
1. Seno .- El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de abscisas hasta el extremo de arco.
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 29
Fíjate que con esto se puede graficar una
C.T.
O0º
360º
-30º
60º
90º
150º
180º
225º
270º
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Sen Signo
IC Sen 1 (+)
IIC Sen 2 (+)
IIIC Sen 3 (-)
IVC Sen 4 (-)
2. Coseno .- El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa mediante una horizontal trazado desde el eje de ordenadas hasta el extremo del arco.
Ejemplo 2 : Representar en la C.T. a) Sen 30º , Cos 53º b) Sen 100º , Cos 200º c) Cos 315º
TEMA 10: ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DEL
SENO Y COSENO EN UNA C.T.
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 30
Cos Signo
IC Cos 1 (+)
IIC Cos 2 (-)
IIIC Cos 3 (-)
IVC Cos 4 (+)
Sen 2Sen 1
Sen 3Sen 4
3
21
4
360ºx
0º
90º
180º
270º
C.T.
180º
270º
360º
0º
90º
Cos 22
C.T.
3
Cos 3
Cos 4
4
1Cos 1
Y
X
Cos 53º
Sen 30ºSen 100º
Cos 200º
Cos 315º 315
º
30º
0º
360º
270º
200º
180º
100º
90º53º
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VARIACIÓN DEL SENO
SENO
IC 0 Sen 1
IIC
IIIC
IVC
Si:
[0º; 360º] 1 Sen 1 (Sen )mín = 1
(Sen )máx = +1
VARIACIÓN DEL COSENO
COSENO
IC 0 Cos 1
IIC
IIIC
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Profesor, hagamos un
ejemplo.
Profesor, hagamos un
ejemplo.
A ver intenta en los demás cuadrantes, tú
puedes.
A ver intenta en los demás cuadrantes, tú
puedes.
Y
X
90º
270º
180º 0º360º
+11
Qué fácil, yo, hago los
tres siguientes
cuadrantes.
Qué fácil, yo, hago los
tres siguientes
cuadrantes.
Y
X
90º
270º
180º 0º360º
+1
1
Hallar la variación del Seno.
Si: [45º; 60º
De la C.T.:
Sen 45º Sen Sen 60º Sen
Sen [;
Hallar la variación del Seno.
Si: [45º; 60º
De la C.T.:
Sen 45º Sen Sen 60º Sen
Sen [;
90º
Sen 60º Sen 45º
60º
45º
0º180º
Y
X
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IVC
Si:
[0º; 360º] 1 Cos 1 (Cos )mín = 1
(Cos )máx = +1
NOTA:i. FLECHA :Arriba : : CrecienteAbajo : : Decreciente
ii. DESIGUALDADES :
PROPIEDADES INTERVALOS
Si: a, b, c R 1. I. Abierto a; b ó a x b
2. I. Cerrado [a; b] ó a x b
3. I. Semiabierto a, b] ó a x b[a, b ó a x b
1. a b a c b c
2. a b c > 0 ac bc
3. a2 0
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 32
Hallar la variación del Coseno.
Si: 60º; 120º
De la C.T.:
Cos 120º Cos Cos 60º Cos
Cos ;
Hallar la variación del Coseno.
Si: 60º; 120º
De la C.T.:
Cos 120º Cos Cos 60º Cos
Cos ;
Y
X0º
90º
180º
120º
0º
Cos 120º Cos 60º
C.T.
Repasemos un poco de
desigualdades.
Repasemos un poco de
desigualdades.
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TEMA 11:IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINICIÓNSon aquellas relaciones que se establecen entre las funciones trigonométricas de una variable. Estas relaciones de igualdad se verifican para todo valor admisible de la variable presente y se clasifican de la siguiente manera:
I. I.T. Recíprocas
II. I.T. por División
III. I.T. Pitagóricas
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IV. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARESAdicionalmente a las identidades fundamentales, se establecen una serie de relaciones adicionales que se demuestran a partir de las primeras. Van a destacar las siguientes relaciones:
1. tgx + ctgx = secx cscx
2. sec2x + csc2x = sec2x csc2x
3. sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x cos2x
4. sen6x + cos6x = 1 - 3sen2x cos2x
Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos:
a) Demostraciones:
Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa ó que cada miembro por separado se
pueda reducir a una misma forma.
Ejm:
a. Demostrar que : Csc - Ctg . Cos = Sen
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Resolución:
Csc - Ctg . cos = sen
SenCosSen
Cos
Sen
1
1
cos ² ²
sen
sensen
sen∴ Sen = Sen. (Demostrado)
b. Demostrar que:
cos cossec
AsenA
AsenA
A1 1
2
Resolución
Utilizamos artificio:
CosAsenA
senA
senAA
senA
senA
senAA
1
1
1 1
1
12
.cos
. sec
Luego se tendría
cos
²
cos
²sec
A senA
sen A
A senA
sen AA
1
1
1
12
cos
cos ²
cos
cos ²sec
A senA
A
A senA
AA
1 12
1 12
senA senAA
Acos
sec
2
2cos
secA
A
∴2 2sec secA A . (Demostrado)
b) Simplificaciones:
Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o
auxiliares. Utilizar transforma-ciones algebraicas.
Ejms.
1) Simplificar:
(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2
Resolución:
(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2
(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen² Cos²
4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen²cos²
4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1
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4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1
4cos² [1 - 1] + 1∴ 4cos²(0) + 1 = 1
2) Simplificar:
(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)
Resolución:
(1-Cosx)
Senx
Cosx
Senx
1
(1-Cosx)
Senx
Cosx1
c) Condicionales:
Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la pedida o
que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla se procede a encontrar la expresión
pedida.
Ejms.
a.Si Sen + Csc = a.
Calcular el valor de
E = Sen2 + Csc2
Resolución
Si: sen + Csc = a (Elevemos al cuadrado)
(Sen + Csc) ²= a²
Sen² + 2(Sen)(Csc) + Csc²= a²
Sen² + 2 + Csc² = a²
Sen² + Csc² = a² - 2
E = a² - 2
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SenxSenx
xxSen
Senx
x2Cos1
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b. Si: senx - cosx = m .
Hallar el valor de:
D = 1 -2senxcosx
Resolución
senx - cosx = m (elevemos al cuadrado)
(Senx cosx)² = m²
sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²
Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²
1 - 2senxcosx = m²
D = m²
d) Eliminación del Ángulo:
Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones
algebraicas en la cual no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem.
Tgx.Ctgx = 1
Senx.Cscx = 1
Cosx.secx = 1
Sen²x + cos²x = 1
Sec²x - Tg²x = 1
Csc²x - Ctg²x = 1
Ejm.:
1. Eliminar “” de:
Csc = m + n …(1)
Ctg = m – n …(2)
Resolución:
Csc = n + n
Ctg = m – n
Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)
Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2
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(Elevamos ambas expresiones al
cuadrado)
)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc
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1 = 4mn
2. Eliminar “” de:
)2...(KSecbCosaSen
)1...(Ctg.SecbSenaCos
Resolución:
De la expresión 1
Sen
Cos.
Cos
1Ctg.SecbSenaCos
(por Sen)
)Sen(Sen
1)bSenaCos(Sen
aSenCos - bSen2 = 1 …(3)
De la expresión 2
Cos
kkSecbCosaSen
(por Cos)
aSenCos - bCos2 = K …(4)
Restamos (4) menos (3)
1-k )1
2Sen 2Cosb(
b = x - 1
K = b + 1
Recomendación:
Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión:
E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para
obtener:
E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x
E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx
E² = 1 ± 2 SenxCosx
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)Cos(Cos
k)bSenaSen(Cos
12bSenCosaSen)(k2bCosCosaSen
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(Lo que se pide)
Identidad Importante:
(1 ± sen ± cos)² = 2 (1± sen)(1± cos)
Demostración: Recordemos
(a+b+c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)
(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² + (±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+(±sen)(±cos)]
= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) + (±sen)(±cos)
Agrupamos nuevamente
2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + (±sen)(±cos)]
= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)]
= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 + (±sen))]
= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]
(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)(1 ± cos) ………...(Demostrado)
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TEMA12: SUMA Y DIFERENCIA
OBJETIVODesarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos; para luego aplicarlos en diversos problemas que no son únicamente para reducir expresiones, sino también para el cálculo de valores numéricos de funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, así como también en la solución de problemas geométricos.
FÓRMULAS
A. Para la Suma de dos Ángulos1. sen(x + y) = senx cosy + seny cosx2. cos(x + y) = cosx cosy - senx seny
3. Tg(+) =
B. Para la Diferencia de dos Ángulos1. sen(x - y) = senx cosy - seny cosx2. cos(x - y) = cosx cosy + senx seny
3. Tg(-) =
Tomaremos en cuenta para las demás razones trigonométricas que:
CtgTg
SecCos
CscSen
1
1
1
“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 40
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APLICACIONESDesarrollaremos los siguientes ejercicios:
1. Calcular: sen75ºtenemos que:
sen75º = sen(45º + 30º) = sen45º cos30º + sen30º cos45º
reemplazando: sen45º= 22 , cos30º=
23 , sen30º=
21
cos45º=22
operando: 22 .
23 +
21
.22 =
2. Reducir: E = (sena + cosa) (senb + cosb)operando : E = sena senb + sena cosb + cosa senb + cosa cosb
E = sen(a + b) + cos(a - b)
TEMA13: FUNCION TRIGONOMETRICA DE ANGULO DOBLE
OBJETIVODesarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de un ángulo que es el doble del otro.
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FORMULAS BÁSICAS (Angulos dobles 2x)
• sen40º =___________ • cos40º = __________ • tg40º = __________
• sen6x = ___________ • cos6x = ___________ • tg6x = ___________
• senx = ____________ • cosx = ____________ • tgx = _____________
m OBSERVACIONES1. 1 - cos2x = 2sen2x
2. 1 + cos2x = 2cos2x
3. 4. (senx + cosx)2 = 1 + sen2x
5. (senx - cosx)2 = 1 - sen2x
* En la medida que apliquemos correctamente las fórmulas, adquiriremos mayores criterios de solución para problemas de este capítulo.
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xtgcos2x1cos2x1 2
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