View
7
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
.
.
.
.
.
.
1.
2
2.
tC
( )( )x rt rt t t tC x y i b s E e X Y I S dt e B S( , , , , ) sup τ
τ ττ
τ
π∞
− −
≥
= − − ∫
0
t Xt t p Xt Xt
Yt t It t Bt
t St t X x
Y y
I i
S s E x t x r
x i
t x t x t t t i t i t t
y st y t y t t t s t s t t
dX X dt X dz dI I dt I dz
dY Ydt Ydz dS S dt S dz
, ,
, ,
µ σ µ σ
µ σ µ σ
= + = +
= + = +
mx my
mi ms
sx sy
si ss
Z it Z jt Z ktrjk p Xt
kx x k( ) ,π = ≥ 1
t p Xt Yt ItSt
kt t t t t t t t t t tW V U V X Y x Y U I S k, ( ) , ,π= = = = ≥ 1
W w v u p x y is Wt
wt w t w t tdW Wdt Wdzµ σ= +
3
( )( )
w v u u vu v u v x y u i s
vu v u xy x y xi x i xs x s yi y i ys y s is i s
w v uw t v t u t u x
v x y u i sv t x t y t u t i t s t
k
k
dz dz dz k k
dz k dz dz dz dz dz
, , ,
,
, ,
,
µ µ µ σ ρ σ σ µ µ µ µ µ µ
ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ
σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
≡ − + − ≡ + ≡ +
≡ − − − − +
≡ − ≡ −
≡ + ≡ +
2
2 21 2
t Bt
t tB aI a= ≥ 0
aa Bt It
( ) ( ) ( ) ( ) ( )C x y i s b uC w uf w f w C w u, , , , , , ,= = =1 1
Wt wf w
A
( ) ( ) ( ) ( )w ww w w uw f w wf w r f wσ µ µ+ − − =2 21 02
i ( )f =0 0 a
ii ( )v u
wf w ar r
**
µ µ
= − + − −
1 b
iii ( )v
f wr
*
µ′ =
−1
c
w *
C x, y, i, s, b uf w f w
( ) v u
v u
w w a w wr rwf w
w a w wr r
**
*
*
β
µ µ
µ µ
− + < − − = − + ≥ − −
1
1
4
w *
( )v
u
rw a
r*β µ
β µ
− = + − −
11
b
( )uw w
w w w
r µµ µβ
σ σ σ
− = − + − +
2
2 2 2
21 12 2
w * r mv r mu b bcharacteristic equation
( ) ( ) ( )w w uQ y y y y rσ µ µ≡ − + − − =2 1 2 0
Q ( ) r mu Q mw r mu
r mv mu mu mv b
B
3.
Gt
t t t tdG G dt G dz G g, , ,µ σ µ σ= + = >0 0
G g t gt gt
( ) ( )ggE e g gτθτ
τ
− =
λ
µ µ θσ σ σ
= − + − + >
2
2 2 2
1 1 2 02 2
λ
5
qGt H Gt t
log Gt t
( ) ( ) ( )t t tdH G g G g G glog log log log= − = =λ
λ λ λ
dH m s dt sdzt tλ
( ){ } ( )t tdH t z t zµ σ σ µ σ σ= − + = − +2 22 2λ λ λ λ
zt z N , t) n Ft zt z
Zt
( ) ( )t tG g t zlog µ σ σ= − +2 2λ
λ λ
( ){ }t tG g t zexp µ σ σ= − +2 2λ λ λ λ
G g E g
( )( ){ }gtE G g texp µ σ σ = − +
2 2 22 2λ λ λ λ
( ) ( )
gt g t
g gt t
E G GE t
gg t
E G g t E V
exp
exp
exp
λ
σµ σ
σµ σ
θ
= − − + − + = − = =
2 22
2 22
12 21
2 2
1
λλ
λ
λλ
λλ
( ) ,θ µ σ σ≡ − + >2 2 22 2 1λ λ λ
( ) ( )t tV G g t texp ,θ≡ − ≥ 0λ
λ q t q Gt g gt
( ) { }t tg t G g G gGinf : |ττ = ≥ =−∞ = > =00 0
m Pr t g G g t g
6
( ){ }( ){ } ( ){ }{ } ( ) ( ) ( )g t g g g
g t
G G gV g t e e
g g gmin ,
min ,exp min ,
τ τ θτ θτττ
θ τ − − ≤ = − ≤ ≤
0
λ λ λ
V Vt G g
( )( ) ( ) ( )g g gg g g
g
G gE V E e E e
g gτ θτ θττ
τ
− −
= =
λ λ
V
( )g
gV E V
τ = = 0 1
( ) ( )ggg g E e θτ
τ
− = 1
λ
( ) ( )ggE e g gθτ
τ
− =
λ
λ
µ µ θσ σ σ
= − ± − +
2
2 2 2
1 1 22 2
λ
λ
µ µ θσ σ σ
= − + − + >
2
2 2 2
1 1 2 12 2
λ
Q.E.D.
G W g w gt wt m mw s sw
( )w
v u
wwf w aw r r
maxτ
β
τ
τ µ µ≥
= − + − − 0
1
7
w *
w a wt w *
b wt w w *
c
wt
( )
v v u
df w w adw w r r w r
β
τ τ τ
βµ µ µ
= − − + = − − −
1 1 1 1 0
wt w * w *
wt
( )w w
v v u
d uf w w wu aw w r w r rdw
lim limτ τ
β
τ τ ττ
β βµ µ µ→±∞ →±∞
− = − − − + = − − −
2
2
1 1 1 0
w *
4.
w w
dw wd
* * ββσ σ∂ ∂
= >∂ ∂2 2
0
( )v
u
rw ar
* µβ µβ
−∂ = − + < ∂ − −2
1 01
( )uw w
w uw w w w w
rr
µµ µβµ µ
σ σ σ σ σ
− − ∂ = − + + − − + < ∂
1 22
2 4 2 2 2
21 1 1 02 2
8
( )( )( )
( )( )
w w w w w
v ww u
u w
uw f wC C C ww
r wa rr ww
**
*
*log
ββ βσ σ σ β β β µ σ
β µ µµ µ
µ σβ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂∂ ∂ ∂ − − +
− × + − + + − − −
2 2 4 2
2 2
1 1 2
1 121
5.
k .
I i Y yS s a r %
b w *
w C x y i s b uf w
.
k .
i
y s
a
r % % % % %
mx % % % % %
mi % % % % %
my ms % % % % %
sx % % % % %
si % % % % %
sy ss % % % % %
rxi . . . . .
rys . . . . .
mv % . % % % %
mu % % % % %
mw . % . % . % . % - . %
sw . % . % . % . % . %
b . . . . .
w * . . . . .
9
w *
6.
A
a
( ) ww w w nn z
t n nW W eµ σ σ− +
+ =2 2 a
300
200
2.50.5 1.50 21
-200
-100
0
100
C = uf (w)
w1.30 2.152.091.561.48
.
10
w wt n nz z( )+ − N , t n Fn
w wt n nz z( )+ −
wnz t
a
( ) ( ) ( )( )x r rt t t t
v r rt rt rt t
v r
v u
C x y i s b uf w E e X Y I S dt e B S
E e e E V F dt e E U F dt ae U
VE e U a
r r
, , , , sup
sup | |
sup
τ ττ τ
ττ
τ ττ τ τ τ τ
τ
τ ττ
τ
π
µ µ
∞− −
≥
∞ ∞− − − −
+ +≥
−
≥
= = − −
= − − = − + − −
∫
∫ ∫
0
0 0 0
0
1
( )urw
v u
Wu E e a
r rsup µ τ τ
τ µ µ− −
≥
= − + − − 0
1
a
t f w a
( ) ( ) ( )ur dtwt t dt
v u
wf w E e f W ar r
max ,µ
µ µ− −
+
= − + − −
1 a
a a
( ) ( ) ( ) ( )ur dtwt t dt
v u
wf w E e f W f w ar r
,µ
µ µ− −
+
≥ ≥ − + − −
1 a
a
f wt a a
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )r t w wt t u t tf w e E f w dW r dt E f w df Wµ µ− − = + = − − + 1 a
dWt Wt dt Wt Wt dt w, dt f w a
( ) ( ) ( ) ( ) ww w ww w w w tdf w wf w f w w dt f w wdzµ σ σ = + +
2 212
a
B
11
b
( )ut u t uZ z t texp ,σ σ= − ≥2 2 0 b
u i su t i t s tz dz dzσ σ σ≡ + Zt b
� ( ) AA E Z AP ,τ τ = ∈ 1 F b
b b
( ) � ( )u ur rw w
v u v u
W WE e a E e a
r r r rµ τ µ ττ τ
µ µ µ µ− − − − − + = − + − − − −
1 1 b
�E �P
Girsanov �P b
( ){ }( )
x xt t x xy y xi i xs s
y y i it t yi i ys s t t is s
z z k t
z z t z z t
,
,
σ ρ σ ρ σ ρ σ
ρ σ ρ σ ρ σ
= + − + − −
= − + = +
1 2�
� � b
�P b
( ) wt t x y i s w tdW W k dt dzµ µ µ µ σ= + − − + �� b
b
( )w x y i s
xy x y xi x i xs x s yi y i ys y s is i s
k
k k k
σ σ σ σ σ
ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ
= + + +
+ − − − − +
2 2 2 2 2 2
2
� b
wtz� b
w x y i sw t x t y t i t s tdz k dz dz dz dzσ σ σ σ σ≡ + − −� � � �� b
b
b
( ) ( ) � ( )urw
v u
WC x y i s b uf w u E e a
r r, , , , sup µ τ τ
τ µ µ− −
≥
= = − + − − 0
1 b
b Wt
12
McDonald and Siegel
Olsen and Stensland
Vt Ut
Øksebdal
w x
v
u
ra
rµ
β µ
− + > − −
1 01
pp. – pp. – pp. –
p. Yn , n , , Zn , n , ,
T K n T n
nE Y K ≤ 2
TE Y E Y = 0
.
I
.
McDonald, R. and D. Siegel: The Value of Waiting to Invest, Journal of Economics, , pp. – ,
.
.
Øksebdal, B. , Stochastic Differential Equations: An Introduction with Application 5th editon, Sprin-
ger-Verlag, Berlin Heidelberg.
Olsen, T. E. and G. Stensland, On Optimal Timing of Investment When Cost Components are Additive
and Follow Geometric Diffusions, Journal of Economic Dynamics Control, , pp. – .
Recommended