1

.

.

.

.

.

.

1.

2

2.

tC

( )( )x rt rt t t tC x y i b s E e X Y I S dt e B S( , , , , ) sup τ

τ ττ

τ

π∞

− −

≥

= − − ∫

0

t Xt t p Xt Xt

Yt t It t Bt

t St t X x

Y y

I i

S s E x t x r

x i

t x t x t t t i t i t t

y st y t y t t t s t s t t

dX X dt X dz dI I dt I dz

dY Ydt Ydz dS S dt S dz

, ,

, ,

µ σ µ σ

µ σ µ σ

= + = +

= + = +

mx my

mi ms

sx sy

si ss

Z it Z jt Z ktrjk p Xt

kx x k( ) ,π = ≥ 1

t p Xt Yt ItSt

kt t t t t t t t t t tW V U V X Y x Y U I S k, ( ) , ,π= = = = ≥ 1

W w v u p x y is Wt

wt w t w t tdW Wdt Wdzµ σ= +

3

( )( )

w v u u vu v u v x y u i s

vu v u xy x y xi x i xs x s yi y i ys y s is i s

w v uw t v t u t u x

v x y u i sv t x t y t u t i t s t

k

k

dz dz dz k k

dz k dz dz dz dz dz

, , ,

,

, ,

,

µ µ µ σ ρ σ σ µ µ µ µ µ µ

ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

≡ − + − ≡ + ≡ +

≡ − − − − +

≡ − ≡ −

≡ + ≡ +

2

2 21 2

t Bt

t tB aI a= ≥ 0

aa Bt It

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C x y i s b uC w uf w f w C w u, , , , , , ,= = =1 1

Wt wf w

A

( ) ( ) ( ) ( )w ww w w uw f w wf w r f wσ µ µ+ − − =2 21 02

i ( )f =0 0 a

ii ( )v u

wf w ar r

**

µ µ

= − + − −

1 b

iii ( )v

f wr

*

µ′ =

−1

c

w *

C x, y, i, s, b uf w f w

( ) v u

v u

w w a w wr rwf w

w a w wr r

**

*

*

β

µ µ

µ µ

− + < − − = − + ≥ − −

1

1

4

w *

( )v

u

rw a

r*β µ

β µ

− = + − −

11

b

( )uw w

w w w

r µµ µβ

σ σ σ

− = − + − +

2

2 2 2

21 12 2

w * r mv r mu b bcharacteristic equation

( ) ( ) ( )w w uQ y y y y rσ µ µ≡ − + − − =2 1 2 0

Q ( ) r mu Q mw r mu

　　　　　　　　　　 　r mv mu　 mu mv b

B

3.

Gt

t t t tdG G dt G dz G g, , ,µ σ µ σ= + = >0 0

G g t gt gt

( ) ( )ggE e g gτθτ

τ

− =

λ

µ µ θσ σ σ

= − + − + >

2

2 2 2

1 1 2 02 2

λ

5

qGt H Gt t

log Gt t

( ) ( ) ( )t t tdH G g G g G glog log log log= − = =λ

λ λ λ

dH m s dt sdzt tλ

( ){ } ( )t tdH t z t zµ σ σ µ σ σ= − + = − +2 22 2λ λ λ λ

zt z N , t) n Ft zt z

Zt

( ) ( )t tG g t zlog µ σ σ= − +2 2λ

λ λ

( ){ }t tG g t zexp µ σ σ= − +2 2λ λ λ λ

G g E g

( )( ){ }gtE G g texp µ σ σ = − +

2 2 22 2λ λ λ λ

( ) ( )

gt g t

g gt t

E G GE t

gg t

E G g t E V

exp

exp

exp

λ

σµ σ

σµ σ

θ

= − − + − + = − = =

2 22

2 22

12 21

2 2

1

λλ

λ

λλ

λλ

( ) ,θ µ σ σ≡ − + >2 2 22 2 1λ λ λ

( ) ( )t tV G g t texp ,θ≡ − ≥ 0λ

λ q t q Gt g gt

( ) { }t tg t G g G gGinf : |ττ = ≥ =−∞ = > =00 0

m Pr t g G g t g

6

( ){ }( ){ } ( ){ }{ } ( ) ( ) ( )g t g g g

g t

G G gV g t e e

g g gmin ,

min ,exp min ,

τ τ θτ θτττ

θ τ − − ≤ = − ≤ ≤

0

λ λ λ

V Vt G g

( )( ) ( ) ( )g g gg g g

g

G gE V E e E e

g gτ θτ θττ

τ

− −

= =

λ λ

V

( )g

gV E V

τ = = 0 1

( ) ( )ggg g E e θτ

τ

− = 1

λ

( ) ( )ggE e g gθτ

τ

− =

λ

λ

µ µ θσ σ σ

= − ± − +

2

2 2 2

1 1 22 2

λ

λ

µ µ θσ σ σ

= − + − + >

2

2 2 2

1 1 2 12 2

λ

Q.E.D.

G W g w gt wt m mw s sw

( )w

v u

wwf w aw r r

maxτ

β

τ

τ µ µ≥

= − + − − 0

1

7

w *

w a wt w *

b wt w w *

c

wt

( )

v v u

df w w adw w r r w r

β

τ τ τ

βµ µ µ

= − − + = − − −

1 1 1 1 0

wt w * w *

wt

( )w w

v v u

d uf w w wu aw w r w r rdw

lim limτ τ

β

τ τ ττ

β βµ µ µ→±∞ →±∞

− = − − − + = − − −

2

2

1 1 1 0

w *

4.

w w

dw wd

* * ββσ σ∂ ∂

= >∂ ∂2 2

0

( )v

u

rw ar

* µβ µβ

−∂ = − + < ∂ − −2

1 01

( )uw w

w uw w w w w

rr

µµ µβµ µ

σ σ σ σ σ

− − ∂ = − + + − − + < ∂

1 22

2 4 2 2 2

21 1 1 02 2

8

( )( )( )

( )( )

w w w w w

v ww u

u w

uw f wC C C ww

r wa rr ww

**

*

*log

ββ βσ σ σ β β β µ σ

β µ µµ µ

µ σβ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂∂ ∂ ∂ − − +

− × + − + + − − −

2 2 4 2

2 2

1 1 2

1 121

5.

k .

I i Y yS s a r %

b w *

w C x y i s b uf w

.

k .

i

y s

a

r % % % % %

mx % % % % %

mi % % % % %

my ms % % % % %

sx % % % % %

si % % % % %

sy ss % % % % %

rxi . . . . .

rys . . . . .

mv % . % % % %

mu % % % % %

mw . % . % . % . % - . %

sw . % . % . % . % . %

b . . . . .

w * . . . . .

9

w *

6.

A

a

( ) ww w w nn z

t n nW W eµ σ σ− +

+ =2 2 a

300

200

2.50.5 1.50 21

-200

-100

0

100

C = uf (w)

w1.30 2.152.091.561.48

.

10

w wt n nz z( )+ − N , t n Fn

w wt n nz z( )+ −

wnz t

a

( ) ( ) ( )( )x r rt t t t

v r rt rt rt t

v r

v u

C x y i s b uf w E e X Y I S dt e B S

E e e E V F dt e E U F dt ae U

VE e U a

r r

, , , , sup

sup | |

sup

τ ττ τ

ττ

τ ττ τ τ τ τ

τ

τ ττ

τ

π

µ µ

∞− −

≥

∞ ∞− − − −

+ +≥

−

≥

= = − −

= − − = − + − −

∫

∫ ∫

0

0 0 0

0

1

( )urw

v u

Wu E e a

r rsup µ τ τ

τ µ µ− −

≥

= − + − − 0

1

a

t f w a

( ) ( ) ( )ur dtwt t dt

v u

wf w E e f W ar r

max ,µ

µ µ− −

+

= − + − −

1 a

a a

( ) ( ) ( ) ( )ur dtwt t dt

v u

wf w E e f W f w ar r

,µ

µ µ− −

+

≥ ≥ − + − −

1 a

a

f wt a a

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )r t w wt t u t tf w e E f w dW r dt E f w df Wµ µ− − = + = − − + 1 a

dWt Wt dt Wt Wt dt w, dt f w a

( ) ( ) ( ) ( ) ww w ww w w w tdf w wf w f w w dt f w wdzµ σ σ = + +

2 212

a

B

11

b

( )ut u t uZ z t texp ,σ σ= − ≥2 2 0 b

u i su t i t s tz dz dzσ σ σ≡ + Zt b

� ( ) AA E Z AP ,τ τ = ∈ 1 F b

b b

( ) � ( )u ur rw w

v u v u

W WE e a E e a

r r r rµ τ µ ττ τ

µ µ µ µ− − − − − + = − + − − − −

1 1 b

�E �P

Girsanov �P b

( ){ }( )

x xt t x xy y xi i xs s

y y i it t yi i ys s t t is s

z z k t

z z t z z t

,

,

σ ρ σ ρ σ ρ σ

ρ σ ρ σ ρ σ

= + − + − −

= − + = +

1 2�

� � b

�P b

( ) wt t x y i s w tdW W k dt dzµ µ µ µ σ= + − − + �� b

b

( )w x y i s

xy x y xi x i xs x s yi y i ys y s is i s

k

k k k

σ σ σ σ σ

ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ ρ σ σ

= + + +

+ − − − − +

2 2 2 2 2 2

2

� b

wtz� b

w x y i sw t x t y t i t s tdz k dz dz dz dzσ σ σ σ σ≡ + − −� � � �� b

b

b

( ) ( ) � ( )urw

v u

WC x y i s b uf w u E e a

r r, , , , sup µ τ τ

τ µ µ− −

≥

= = − + − − 0

1 b

b Wt

12

McDonald and Siegel

Olsen and Stensland

Vt Ut

Øksebdal

w x

v

u

ra

rµ

β µ

− + > − −

1 01

pp. – pp. – pp. –

p. Yn , n , , Zn , n , ,

T K n T n

nE Y K ≤ 2

TE Y E Y = 0

.

I

.

McDonald, R. and D. Siegel: The Value of Waiting to Invest, Journal of Economics, , pp. – ,

.

.

Øksebdal, B. , Stochastic Differential Equations: An Introduction with Application 5th editon, Sprin-

ger-Verlag, Berlin Heidelberg.

Olsen, T. E. and G. Stensland, On Optimal Timing of Investment When Cost Components are Additive

and Follow Geometric Diffusions, Journal of Economic Dynamics Control, , pp. – .