p = h

λ= k

De  Broglie:  

∂2Ψ(x,t)∂t 2

= v2 ∂2Ψ(x,t)∂x2

Classical  wave  equa3on:  

E = hν = ω

Planck/Einstein:  

∂2

∂x2Ψ = −k2Ψ ⇒ −

2

2m∂2

∂x2Ψ =

p2

2m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψ

∂∂t

Ψ = −iωΨ ⇒ i ∂∂t

Ψ = EΨ

Schrödinger  

Ψ(x,t) = Aei(kx−ω t )

∂∂xeax = aeax

i ∂∂t

Ψ = EΨ =p2

2m+V

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψ

Time  dependent  Schrödinger  equa3on  

Time  independent  Schrödinger  equa3on  (standing  wave  solu0on)  

Ψ(x,t) = Ψ(x)e− iEt /

i ∂∂t

Ψ = −2

2m∂2

∂x2+V

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψ

i ∂∂t

Ψ = HΨ

i ∂∂t

Ψ = EΨ

HΨ(x) = EΨ(x)

−2

2m∇2 +V

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

V = −1r

H  atom  

V =0 0 < x < LC x < 0 or x > L

Par3cle  in  a  box  

V = 12 kx

2

Harmonic  oscillator  (vibra0onal  spectroscopy)  

∇2 =1r2

1sinθ

∂∂θsinθ ∂

∂θ+

1sin2θ

∂2

∂φ 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

V = 0

Rigid  Rotor  (rota0onal  spectroscopy)  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

Ψ2,0 =18π

1− r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e−r /2 2s

Ψ2,1 =1

4 2πxe−r /2 2p

P(x) = Ψ(x) 2 dxProbability    

Ψ(x) 2

Probability  density  (amplitude)    

−2

2m∇2 +V

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

V = −1r

H  atom  

V =0 0 < x < LC x < 0 or x > L

Par3cle  in  a  box  

V = 12 kx

2

Harmonic  oscillator  (vibra0onal  spectroscopy)  

Ψ(x) 2

Probability  density  (amplitude)    

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

Ψ2,0 =18π

1− r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e−r /2 2s

Ψ2,1 =1

4 2πxe−r /2 2p

P(x) = Ψ(x) 2 dxProbability    

Ψ(x) 2Probability  density    

End  of  video  slides  

Please  start  your  Socra0ve  app  

or  go  to  m.socra3ve.com  in  your  browser  

Room  number  9076  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

What  is  the  most  probable  posi0on  of  an  electron  in  the  1s  orbital  of  H  atom?  

A        inside  the  nucleus  

B        outside  the  nucleus  

C        don’t  know  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

What  is  the  most  probable  posi0on  of  an  electron  in  the  1s  orbital  of  H  atom?  

A        inside  the  nucleus  

B        outside  the  nucleus  

C        don’t  know  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

What  is  the  most  probable  posi0on  of  an  electron  in  the  1s  orbital  of  H  atom?  

P(x) = Ψ(x) 2 dxProbability    

Very  small  for  nucleus  

Par0cle  in  a  box   Harmonic  oscillator  

Why  is  the  probability  density  higher  at  the  edges  than  in  the  middle  for  high  energy  solu0ons  to  the  Schrödinger  equa0on  for  the  harmonic  oscillator?  

Enter  your  answer  on  Socra0ve  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

Ψ2,0 =18π

1− r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e−r /2 2s

What  is  the  lowest  excita3on  energy  of  the  H  atom?  

A        13.6  eV  

B        10.2  eV  

C        6.8  eV  

D      don’t  know  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

Ψ2,0 =18π

1− r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e−r /2 2s

What  is  the  lowest  excita3on  energy  of  the  H  atom?  

A        13.6  eV  

B        10.2  eV  

C        6.8  eV  

D      don’t  know  

−2

2m∇2 −

1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn

En =−me4

22 4πε0( )2 n2= −

13.6 eVn2 n = 1,2,3,...

Ψ1 =1πe−r 1s

Ψ2,0 =18π

1− r2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e−r /2 2s

What  is  the  lowest  excita3on  energy  of  the  H  atom?  

A        13.6  eV  

B        10.2  eV  

C        6.8  eV  

D      don’t  know  

ΔE = E2 − E1

=−13.6

4−−13.6

1= 10.2 eV

-­‐4.5  eV  

+4.2  eV  

-­‐4.5  eV  

+4.2  eV  

L  =  2.94  nm  

−2m

∇2 +V⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Ψn = EnΨn V =

0 0 < x < LC x < 0 or x > L

Par3cle  in  a  box  

En =h2n2

8mL2n = 1,2,3...

E12 − E11 = (122 −112 ) h2

8mL2 = 1.60 ×10−19 J (1.0 eV)

Experiment  =  2.5  eV    (497  nm  /  blue  green)    

Ψ(x) = 2L

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1/2

sin 2π xL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Par3cle  in  a  box:    some  useful  predic3ons  for  nano  sized  systems  

ΔE = En+1 − En = (2n +1)h2

8mL2

Excita0on  energy  (band  gap)    Increases  with  n  

Decreases  faster  with  L  

ΔE  decreases  with  molecular  size  

Absorp0on  wave  length  (λ)  increases  with  molecular  size  

λ =hcΔE

λ =8mch

L2

(2n +1)

= 3.30 ×1012 m−1( ) L2

(2n +1)

= 3.30 ×1012 m−1 ×1 m

109 nm⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L2

(2n +1)

= 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

Where  does  1,3,5-­‐hexatriene  absorb  light?  (you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  es0mate  length)  

λ = 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

Based  on  

A        ca  50  nm  

B        ca  100  nm  

C        ca  300  nm  

D        don’t  know  

Where  does  1,3,5-­‐hexatriene  absorb  light?  (you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  es0mate  length)  

λ = 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

Based  on  

A        ca  50  nm  

B        ca  100  nm  

C        ca  300  nm  

D        don’t  know  

λ = 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

= 3300 nm−1( ) 0.82

7= 3300 nm−1( ) 0.09( )= 302 nm

Where  does  1,3,5-­‐hexatriene  absorb  light?  (you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  es0mate  length)  

λ = 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

Based  on  

λ = 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

= 3300 nm−1( ) 0.82

7= 3300 nm−1( ) 0.09( )= 302 nm

Experiment:  258  nm  

Where  does  1,3,5-­‐hexatriene  absorb  light?  (you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  compute  orbital  energies)  

Based  on  

Orbital  theory  

A        ca  50  nm  

B        ca  100  nm  

C        ca  300  nm  

D        don’t  know  

Where  does  1,3,5-­‐hexatriene  absorb  light?  (you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  compute  orbital  energies)  

Based  on  

Orbital  theory  

A        ca  50  nm  

B        ca  100  nm  

C        ca  300  nm  

D        don’t  know  

λ =hcΔE

=1240 eV nm

(5.72 − (−6.28)) eV= 103 nm

Experiment:  258  nm  

m  

As  the  length  is  increased  for  what  value  of  m  does    trans-­‐polyacetylene  stop  absorbing  visible  light?  

(you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  es0mate  length)  

λ = 3300 nm−1( ) L2

(2n +1)

Based  on  

m  

As  the  length  is  increased  for  what  value  of  m  does    trans-­‐polyacetylene  stop  absorbing  visible  light?  

(you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  es0mate  length)  

λ = 401 nm−1( ) L2

(2n +1)

Based  on  

1.044

= 0.260 nm/n

0.83

= 0.267 nm/n

L = 0.264n

λ = 3300 nm−1( ) 0.0697n2

(2n +1)

= 230 nm−1( ) n2

(2n +1)

m  

Visible  light  stops  at  about  800  nm  

800 = 230 nm−1( ) n2

(2n +1)⇒ n ≈ 7 or 8

m ≈ 5 or 6

λ = 230 nm−1( ) n2

(2n +1)

λ  

n  

As  the  length  is  increased  for  what  value  of  m  does    trans-­‐polyacetylene  stop  absorbing  visible  light?  

(you  can  use  h[p://dgu.ki.ku.dk/molcalc/editor  to  es0mate  length)  

λ = 401 nm−1( ) L2

(2n +1)

Based  on