1. Traduccin: FIDENCIOMArA GoNZLEZ . Facultad de Ciencias. UNAM
Revisin tcnica: M. EN C. a..AUDlA PiTIO ROMN Facultad de Ciencias,
UNAM : ". .~, ..
2. Mxico ArgmtiM Colllmbia Chile &:Uldnr GuR.temIIlR
VenezuelR WW Oxford University Press Louis Leithold Pepperdine
University
3. Se imprimieron 21,000 ejemplares. Esta obra se termin de
imprimir en mayo de 1998 en GRUPO MEXICANO MAPASA, S.A. de C.V.
Emiliano Zapata No. 93 Col. San luan txhuatepec T1alnepantla, Edo.
de Mxico C.P. 54180 Impreso en Mxico - Printed in Mxico 1098765432
Traducido de la sptima edicin en ingls 'de: 11fE CALCULUS 7
Copyright 1994, by Louis Leithold. Publicado por acuerdo con Louis
Leithold e Interests Intemational, loe. ISBN 0-673-469131 DERECHOS
RESERVAOOS 4) 1998, respecto a la sptima edicin por: OXFORD
UNIVERSITY PRESS - HARLA MXICO, S.A. de C.V. Antonio Caso 142, Col.
San Rafael, Delegacin Cuauhtmoc, C. P. 06470, Mxico, D.F. Te]. 5 92
42 77 Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial
Mexicana, nmero de registro 72.3. Prohibida la reproduccin total o
parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso y
por escrito del editor. EL CLCULO. Sptima Edicin Producctn:
Supervtston: Formacin: Fidencio Mata Gonzlez Alfredo Prez Guarneros
Antonio Figueredo Hurtado Rosario Lpez Santiago E. G. Corporacin de
Servicios Editoriales y Grficos Edici6n: "El enorme avance de la
tecnologa elija dcada final delsiglo XX, alentada por los utpicos
de la sociedad del Oeste que creen en 1IQparaso de informacin
electrnica,motiv6 esta pinturaespecialmente creada para EC7, la
cual surge directamente de mi trabajo reciente sobre
objetosfuturistas. Eneste cuadro busco mostrar un encuentroCon la
imagen y la imaginac6n al borde de la idea fugaz hacia una forma
tangible. Deseo que el trabajo tenga un aspecto extrallamente
familiar, tal vez como parte de algo ms 8JIDlde,ms poderosoy
futurista, pero a la vez que parezca usado. El cuadro es de hecho
una metforaque representa el deseo del individuode buscar y
experiment~ la adquisicindel conocimientc". Dan Douke, pintor del
Sur de California y actualmente profesor de arte en Califomta State
University de los Angeles, exhibe su obra de manera regular en
Tortue Gallery, en Santa Mnica, y en O. K. Harrts Works 01Art en
Nueva York. El profesor Douke redact la siguiente declaracin de
acuerdo con el cuadro reproducido en la cubierta: DISEIQO PARA LA
CUBIERTA ----------~----_......
4. A mi hijo Gordon Mare, sus hijos Justin y Matthew, y su
abuelo David
5. PROLOGO xv ,I ~ Funciones, lmites y continuidad 1 1.1
Funcionesy sus grficas 2 1.2 Operaciones con funciones y tipos de
funciones 12 r 1.3 Funciones como modelos, matemticos 20 1.4
Introduccin grfica a 10$ lmites de funciones 28 1.5 Definicin de
lmite de una funcin y teoremas de lmites 3~ 1.6 lmites laterales 49
1.7 Lmitesinfinitos 55 1.8 Continuidad de una funcin en un nmero 67
1.9 Continuidad de una funcin compuesto y continuidad en un
lntervclo 76 ~ 1.10 Continuidad de las funciones trigonomtricas y
teorema de estriccin 85 Revisi6n del capitulo 1 93 ~ Derivada y
d~ferenciacin 100 1012.1 Recta tangente y derivado 2.2
Diferenciobilidod y continuidad 109 2.3 Derivado numrica 118 ~ 2.4
Teorerncs sobre diferenciacin de funciones algebraicas y derivadas
de orden superior 123 2.5 Movimiento rectilneo 132 2.6 Derivada
como tasa de variacin 145 CONTENIDO
6. 319 Algunas tcnicas de antiderivacJn Ecuaciones
diferenciales y movimiento rectilneo 4.1 4.2 4.3 297 310
Antiderivacin 296Integral definida e integracin 275 287 3.10
Aproximaciones mediante el mtodo de Newton, de la recta tangente y
de diferenciales Revisin del captulo 3 266 260 242 249 231 223 3.4
Funciones crecientes y decrecientes, y criterio de la primera
derivada 3.5 Concavidad, puntos de inflexin y criterio de la
segunda derivada 3.6 Trazo de las grficas de funciones y de sus
derivadas 3.7 Lmitesal infinito 3.8 Resumen para el trazo de las
grficas de funciones 3.9 Aplicaciones adicionales sobre extremos
absolutos 215 3.3 Teorema de Rolle y teorema del valor medio 207
3.2 Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo
cerrado 198 3.1 Valores mximos y mnimos de funciones 197 ~
Comportamiento de las funciones ~ y de sus.gr~icas,valores extremos
y aproximaciones 172 182 190Revisin del captulo 2 162 2.8 Derivada
de una funcin compuesta y regla de la cadena 2.9 Derivada de la
funcin potencia para exponentes racionales y diferenciacin implcita
2.10 Tasas de variacin relacionadas 152 2.7 Derivadas de las
funciones trigonomtricas viii CONTENIDO
7. CONTENIDO ix - rea4.4 328 4.5 Integral definida 338 4.6
Teorema del valor medio para integrales 352 4.7 Teoremas
fundamentales del Clculo 360 ~ 4.8 rea de una regin plana 372 L 4.9
Volmenes de slidos mediante los mtodos de rebanado, de discos y de
arandelas 381 4.10 Volmenes de slidos mediante el mtodo de capas
cilndricas 391 Revisin del captulo 4 397 ~ ~ Funciones logartmicas,
exponenciales, ~ trigonomtricas inversas e hiperblicas 403 5.1
Inversa de una funcin 404 5.2 Funcin logartmica natural 418 5.3
Diferenciacin logartmica e integrales que producen funciones
logartmicas naturales 430 5.4 Funcin exponencial natural 437 5.5
Otras funciones exponenciales y logartmicos 448 5.6 Aplicaciones de
la funcin exponencial natural 456 , 5.7 Funciones trigonomtricas
inversas 469 5.8 Integrales que producen funciones trigonomtricas
inversas 485 5.9 Funciones hiperblicas 490 Revisin del captulo 5
503 Aplicaciones adicionales de la integral definida 508 6.1
Longitud de arco de la grfica de una funcin 509 6.2 Centro de masa
de una barra 516 6.3 Centro de masa de una lmina y centroide de una
regin plana 522 6.4 Trabajo 530
8. 8.9 695 6988.7 8.8 8.6 684 707 718 Series infinitas de
trminos positivos Series infinitas de trminos positivos y negativos
Resumen de crilerios sobre la convergencia y divergencia de series
infinitas Series de potencias Diferenciacin e integracin de. series
de potencias Series de Taylor 8.2 8.3 8.4 8.5 639 647 659 671
Aproximaciones polinornioles mediante la frmula de Taylor
Sucesiones Series infinitas de trminos' constantes 8.1 638
Aproximaciones polinomiales, sucesionuy series infinitas 618 627
632 604 612 584 591 572 565 545 555 7.1 Integracin por partes 7.2
Integrales. trigonomtricas 7.3 Integracin de funciones algebraicas
mediante sustitucin trigonomtrica 7.4 Integracin de funciones
racionales y crecimiento logstico 7.5 Integracin mediante otras
tcnicas de sustitucin y labias 7.6 Inlegracin numrica 7.7 Forma
indeterminada O/O y teorema . del valor medio de Cauchy 7.8 Otras
formas indeterminadas 7.9 integrales impropias con lmites de
integracin infinitos 7.10 Otras integrales impropias Revisin del
captulo 7 544 ....._.,.. Tcnicas de integracin, formas ~
indeterminadas e integrales impropias 536 542 Fuerza ejercida Por
la presin de un lquido Revisin del captulo 6 6.5 x CONTENIDO
9. ""11 CONTENIDO xi ~ 8.10 Series de potencias para logaritmos
naturales y serie binomial 727 Revisin del captulo 8 735 Ecuaciones
paramtricas, curvas planas y grficas polares 739el;O ~ 9.1
Ecuaciones para mtricas y curvas planas 740 9.2 longitud de arco de
una curva plana 747 9.3 Coordenadas polares y grficas polares 752
9.4 longitud de orco y rea de uno regin poro grficos polares 765
9.5 Tratamiento unificado de las secciones cnicos y ecuaciones
polares de los cnicos 774 Revisin del captulo 9 782 i " Vectores,
rectas, planos y superficies en el espacio 786 10.1 Vectores en el
pleno 787 10.2 Vectores en el espacio tridimensional 799 10.3
Producto punto 811 10.4 Planos y rectos en R3 822 10.5 Producto
cruz 833 10.6 Superficies 846 Revisin del captulo 10 860
.,Funciones vectoriales 864"'- 11.1 Funciones vectoriales y curvas
en R3 865 11.2 Clculo de las funciones vectoriales '872 11.3
Vectores tangente unitario y normal unitario, y longitud de arco
como parmetro 882 11.4 Curvatura 888 11.5 Movimiento curvilneo 897
Revisin del captulo 11 909 .,Clculo diferencial de funciones de ms
de una variable 913 12.1 Funciones de ms de una '{ariable 914 f
12.2 ,lmites y continuidad de funciones de ms de una variable
926
10. xii CONTENIDO 12.3 Derivadas parciales 942 12.4
Diferenciabilidad y diferencial total 955 12.5 Regla de la cadena
para funciones de ms de una variable 965 12.6 Derivadas
direccionales y gradientes 975 12.7 Planos tangentes y rectas
normales a superficies 985 12.8 Extremos de funciones de dos
variables 990 12.9 Mult!,plicadoresde lagrange 1004 Revisindel
captulo 12 1014 Integracin mltiple 1021 13.1 Coordenadas cilndricas
y esfricas 1022 13.2 Integrales dobles 1028 13.3 Aplicaciones de
las integrales dobles 1041 13.4 Integrales dobles en coordenadas
polares 1052 13.5 Integrales triples 1061 13.6 Integrales triples
en coordenadas cilndricas y esFricas 1067 Revisindel captulo 13
1074 Introduccin al Clculo de campos vectoriales 1077 14.1 Campos
vectoriales 1078 14.2 Integrales de lnea 1089 14.3 Integrales de
lnea independientes de la trayectoria 1098 14.4 Teorema de Green
1108 14.5 Integrales de superficie 1121 14.6 Teorema de la
divergencia de Gauss y teorema de Stokes 1128 Revisindel captulo 14
1135 Apndice: Temas de matemticas previas al Clculo 1138 A.1 Nmeros
reales y desigualdades 1139 A.2 Coordenadas y grFicas de ecuaciones
1150
11. CONTENIDO xiii 1158 1168 1173 1178 1183 1192 1201 1209 1216
1223 1224 1231 1232 1233 1235 1237 1241 1242 1243 1247 1249 1250
1253 1253 1253 1259 1260 1261 1263 1264 1274 1275 1345 Tablas y
formularios Tabla de derivadas Tabla de integrales Frmulas de
lgebra Frmulas de geometra Frmulas de trigonometra Frmulas de
trigonometra hiperblica Frmulas de geometra analtica Alfabeto
griego Respuestas de los ejercicios impares ndice ~ Secciones
suplementarias ~ Suplemento 1.5 Suplemento 1.7 Suplemento 1.10
Suplemento 2.8 Suplemento 4.5 Suplemento 5.1 Suplemento 8.2
Suplemento 8.5 Suplemento 8.8 Suplemento 12.3 Suplemento 12.4
Suplemento 12.8 A.3 Rectas A.4 Parbolas A.5 Circunferencias A.6
Traslacin de ejes A.7 Elipses A.S Hiprbolas A.9 Funciones
trigonomtricas A.1O Ecuacin general de segundo grado en dos
variables y rotacin de ejes A.11 Fracciones parciales
12. Los catorce captulosde EC7 pueden clasificarseen dos
partes: captulos 1-9, en los que se estudian funciones de una
variable y series infinitas; cap- tulos 10-14,en los que se tratan
vectoresy funcionesde ms de una variable. En EC7 se han
realizadocambiosen las dospartes.En todo el libro se mantiene un
sano equilibrio entre un estudio riguroso y un punto de vista
intuitivo, in- cluso en las modificaciones. Con objeto de alcanzar
los objetivos planteados, se han incorporado las
siguientescaractersticas: El Clculo 7 (de aqu en adelante
abreviadocomo EC7) es una obra diseada tanto para los cursos de
especializacin en matemticas como para los estu- diantes cuyo
inters primario radica en la ingeniera, las ciencias fsica y
sociales,o loscamposnotcnicos.La exposicinest adecuadaa
laexperiencia y madurez del principiante. Las explicaciones
detalladas, los abundantes ejemplos desarrollados as como la gran
variedad de ejercicios, continan siendo las
caractersticasdistintivasdel texto. En ningn 0!0 tiempo entre
ediciones sucesivas han ocurrido tantos cambios en la enseanza del
Clculo como en el periodo entre las ediciones sexta y sptima de
este texto. Muchos de estos cambios son el resultado de la
disponibilidadde la tecnologa modema en la forma de calculadora
grfica o graficadora manual. Algunos otros cambios se deben al
movimiento denomi- nado reforma del Clculo. He invitado a seguir
este movimiento observando elprincipio:REFORMACON
RAZN.Conelfindeapegarmeaesteprincipio," he aplicadolas
siguientesguas: 1. La tecnologa debe incorporarse para mejorar la
enseanza y el apren- .. dizaje del Clculo, no para reemplazar las
matemticas o restar impor- tancia a los temas tericos. 2. Las
definiciones y teoremas deben establecerse formalmente, no in-
formalmente. 3. Los estudiantes deben estar concientes de que las
demostracionesde los teoremas son necesarias. 4. Cuando se presenta
una demostracin, debe ser bien motivada y cuida- dosamente
explicada, de modo que sea entendible para cualquiera que haya
alcanzadoun dominiopromediode las seccionesanterioresdel libro. 5.
Cuando se establece un teorema sin demostracin, la discusin debe
au- mentarse mediante figuras y ejemplos; en tales casos, debe
enfatizarse el hecho de que lo que se presenta es un ejemplo
ilustrativo de la propo- sicindel teoremay no una demostracindel
mismo. 6. Debe darse importancia a los modelos matemticos de las
aplicaciones de la vida real. 7. Debe destacarsela redaccinen
matemticas. "Todo debe hacerse tan simplecomo sea posible, pero sin
excederseen ello." Albert Einstein , PROLOGO
13. Todas las figuras se han vuelto a trazar para-EC7. Las
grficas trazadas en la graficadora se muestran en una pantalla de
graficadora enmarcada por un borde de color ms oscuro a
diferenciade las grficasdibujadasa mano.Todas PROGRAMA DE
ARTEVISUAL (FIGURAS) Los ejemplos, cuidadosamente seleccionados,
habilitan a los estudiantes en la resolucin de los ejercicios, y
adems sirven como modelos para sus solu- ciones. Se utiliza un
ejemplo ilustrativo a fin de mostrar un concepto, defini- cin o
teoremaparticular;es un prototipode la idea expuesta. EJEMPLOSY
EJEMPLOSILUSTRATIVOS Los ejercicios,revisados de las
edicionesanterioresy ordenadospor gradosde
dificultad,proporcionanuna gran variedadde tipos de problemas que
van des- de clculos y aplicaciones hasta problemas tericos para la
calculadora y ejerciciosde redaccin, corno los
mencionadosanteriormente.stos aparecen al final de cada seccin y
cornoejerciciosde repaso al final de cada captulo. EJERCICIOS A fin
de completar la solucin de cada ejemplo de un problema verbal, se
presenta una conclusin que responde a las preguntas de ste. El
estudiante debe redactar una conclusin semejante, que consista en
una o ms oraciones completas,paracada ejercicio similar.Al final de
cada grupode ejercicioshay uno o dos de redaccin los cuales pueden
preguntar sobre cmo o por qu funciona un procedimientodeterminado,
o bien, pueden pedirle al estudiante que describa, explique
ojustifique un proceso particular. REDACCiN EN MATEMTICAS Los
modelos matemticos de situacionesprcticas presentadas como proble-
mas verbales surgen en diversos campos como fsica, qumica,
ingeniera, administracin, economa, psicologa, sociologa, biologa y
medicina. Las funcionescomomodelosmatemticosse introducenprimeroen
la seccin 1.3 y aparecen con frecuencia en el resto del texto. La
seccin 1.3 contiene suge- rencias para obtener una funcin
cornomodelomatemticopaso a paso. MODELOS MATEMTICOS Y PROBLEMAS
VERBALES 1. Trabajar analticamente (con papel y lpiz); despus
apoyar numrica y grficamente (con la graficadora). 2. Trabajar
numrica y grficamente; despusconfirmar analticamente. 3. Trabajar
numrica y grficamente debido a que otros mtodos no son prcticos o
posibles. A lo largo de la presentacin,EC7 utiliza la
calculadoragrfica o graficadora manual no slo como un poderoso y
fascinante instrumento para el apren- dizaje, sino como un
instrumentofundamentalen la solucinde problemas.Se ha integrado la
graficadoradirectamente a la exposicin de acuerdo a la filo- sofa
que he aprendidoen mis tres veranos con TICAP (TechnologyIntensive
Calculusfor AdvancedPlacement)la cual se resume como sigue:
GRAFICADORA 11ACTIVA" xvi PRLOGO
14. En este captulo se presentan las
aplicacionestradicionalesde la derivada que implican mximos y
mnimos as como el trazado de una curva. Los lmites al infinito y
sus aplicaciones para determinar asntotas horizontales se han
cambiadoa este captulodonde se aplican a fin de dibujar grficas. La
grafica- dora se utilizafrecuentementecon el objetode apoyar los
resultadosobtenidos de forma analtica as como para conjeturar
propiedades de las funciones, las cuales se confirmandespus
analticamente.Un aspecto nuevo de esta edicin est relacionado con
los ejercicios, donde se le pide al estudiante que dibuje Captulo 3
Comportamiento de las funciones y sus grficas, valores extremos y
aproximaciones En la seccin 2.1 se define la recta tangente a la
grfica de una funcin antes de estudiarla derivada,esto con el
propsitode mostrarun avancede la inter- pretacingeomtricade
esteconcepto.Lasaplicacionesfsicasde laderivadaen el estudio del
movimiento rectilneo se presentan slo despus de haber de- mostrado
los teoremas sobre diferenciacin, de modo que dichos teoremas
pueden emplearse en estas aplicaciones. En la seccin 2.7 se
estudian las derivadas de las seis funciones trigonomtricas y
despus se emplean como ejemplos para la presentacin inicial de la
regla de la cadena en la siguiente seccin. La derivada numrica,
tema nuevo en esta edicin y pre- sentado en la seccin 2.3, se
utiliza junto con la graficadora para apro- ximar derivadas y para
trazar sus grficas. En la seccin 2.4 se simula el movimientode una
partcula sobre una lnea recta. Captulo 2 Derivada y diferenciacin
Los tres temas del ttulo de este captulo conforman la base de
cualquier pri- mer curso de Clculo. Se exponen todos los teoremas
de lmites incluyendo algunas demostraciones en el texto, mientras
que otras se esbozan en los ejercicios. La seccin 1.3, nueva en
esta edicin, presenta las funciones como modelos matemticos
anticipadamente de su uso posterior en aplica- ciones. En
consecuencia, estos modelos proporcionan al estudiante una vista
preliminar de cmo se aplica el Clculo en situacionesreales. La
seccin 1.4, tambin nueva, utiliza la graficadora para introducir el
concepto de lmite de una funcin. j , DESCRIPCiN DE CADA CAPTULO
Captulo 1 Funciones, lmites y continuidad Cada captulo comienzacon
una introduccintitulada VISI6N PRELIMINAR. Al final de cada captulo
se muestra una lista de sugerencias para su revi- sin. Juntos,
estos aspectos sirven como una resea, de principio a fin del
captulo, cuando el estudiantese prepara para un examen. ASPECTOS
PEDAGGICOS las.figuras tridimensionales se han generado mediante
computadora con el fin de obtener precisin matemtica. Estas
figuras, que son ms vvidas que en las ediciones anteriores, fueron
creadas con la ayuda de Matemtica y Adobe Illustrato". PRLOGO
xvii
15. En este captulo se presentan las aplicacionesde la integral
definida, no slo las tcnicas de manipulacinsino tambin los
principios fundamentalesinvo- lucrados. La longitud de arco, una
aplicacin geomtrica, se trata en la sec- cin 6.1. Las otras cuatro
seccionesestn dedicadas a aplicacionesfsicas, las cuales incluyen
centro de masa de una barra y de regiones planas, trabajo y fuerza
ejercida por la presin de un lquido. En cada aplicacin, se motivan
Captulo 6 Aplicaciones adicionales de la integral definida En la
primera seccin se tratan las funciones inversas, y las cinco
secciones siguientes se dedican a las funciones logartmica y
exponencial. Primero se define la funcin logartmicanatural y despus
la funcin exponencialnatural como su inversa. Este
procedimientopermite dar un significadopreciso de un exponente
irracional de un nmero positivo. Posteriormente se define la fun-
cin exponencial de base a, donde a es positivo. Las aplicaciones de
estas funciones incluyen las leyes naturales de crecimiento y
decaimiento,el creci- miento limitado implica la curva de
aprendizaje, y la funcin de densidad de probabilidadnormal
estandarizada.Las tres ltimas seccionesse dedican a las funciones
trascendentes (no algebraicas) restantes: las funciones trigonom-
tricas inversas y las funcioneshiperblicas. Captulo 5 Funciones
logartmicas, exponenciales, trigonomtricas inversas e hiperblicas
Las dos primeras seccionestratan sobre antiderivacin(o
antidiferenciacin). Se utiliza el trmino antiderivacin en lugar de
integracin indefinida, sin embargo, se conserva la notacin estndar
fJ(x) dx. Esta notacin sugerir que debe existir alguna relacin
entre integrales definidas y antiderivadas, pero no veo perjuicio
alguno en lo anterior, en tanto la presentacin propor- cione un
panorama tericamente apropiado de la definicin de la integral
definida como un lmite de sumas. Dichos lmites se aplican primero
para de- finir el rea de una regin plana y despus se utilizan en la
definicin de la integral definida. La capacidad de la graficadora
para aproximar el valor de una integral definida se presenta antes
de la demostracin del segundo teo- rema fundamental del Clculo,
utilizado para obtener valores de integrales analticamente. Esta
capacidad permite demostrar propiedades de la integral definida en
una graficadora tal como se desarrollan. La seccin 4.3, sobre
ecuacionesdiferencialesseparables,presentaaplicacionessobreel
movimiento rectilneo,dondeel movimientose simulaen la
graficadora.Otras aplicaciones de los conceptos de este captulo
incluyen el estudio completo del rea de una .regin plana as como el
volumen de slidos, presentados posteriormente en
laedicinanterior.Laseccin4.9 seiniciaconelclculodevolmenesmediante
elmtododerebanado,secontinaconladeterminacindevolmenesdeslidos de
revolucinmediantelos mtodosde discos y de arandelas,consideradosco-
mo casos especialesdel mtodode rebanado.En la seccin4.10 se
determinan losvolmenesde slidosde revolucinmedianteel mtodode
capascilndricas. Captulo 4 Integral definida e integracin la grfica
de una funcina partir de la grficade su derivaday viceversa.En la
seccin final del captulo se presenta la aproximacin mediante la
recta tan- gentejunto con el mtodode Taylor y el de diferenciales.
xviii PRLOGO
16. Los tres temas de este captulo se han agrupadopara
completar el estudio del clculo de una variable. Las dos primeras
secciones tratan sobre ecuaciones paramtricas y curvas planas,
constituyen un requisito previo para el estudio de vectores. En las
dos secciones siguientes se estudian grficas polares, mientras que
en la seccin final se presenta un tratamiento unificado de las
secciones cnicas y las ecuaciones polares de las cnicas. La
discusin de Captulo 9 Ecuaciones paramtricas, curvas planas y
grficas polares Las secciones acerca de sucesiones y series se han
considerado en un solo captulo y no en dos como en la edicin
anterior.Todos los temas se incluyen, pero algunas de las
discusiones se han acortado sin sacrificar la integridad matemtica.
Este captulo es independiente y puede estudiarse en cualquier
momentodespusde completarlosprimerossietecaptulos.Laprimeraseccin
trata acerca de aproximaciones polinomiales mediante la frmula de
Taylor. Esta frmula se generalizaa la serie de Taylor en la seccin
8.9. Las secciones 8.2-8.6
sehandedicadoalassucesionesyseriesinfinitasdetrminosconstantes, y
en la seccin 8.6 se presenta un resumen de los criterios de
convergencia para series infinitas. En las secciones 8.7-8.10 se
estudian las series de tr- minos variables denominadas series de
potencias. Los temas de este captulo conducenpor s mismosa la
incorporacinde la graficadora,no slopara faci- litar el estudio
sino que permite a los estudiantesexaminar e investigarla con-
vergenciao divergenciade una serieinfinitay de
aproximacionespolinomiales. Captulo 8 Aproximaciones polinomiales,
sucesiones y series infinitas Las tcnicas de integracin constituyen
uno de los aspectos ms importantes de las operacionesdel
Clculo.Estas tcnicasse estudianen las primerascinco
secciones,tratadas en ocho en la edicin anterior. Despusde una
motivacin introductoria,se explicanlosfundamentostericosde
cadaunode los mtodos. El dominio de las tcnicas de integracin
depende de los ejem- plos, y se han utilizado como problemas
ilustrativos que, seguramente, el estudiante enfrentar en la
prctica. En la seccin 7.4 se presentan otras dos aplicaciones de la
integracin: crecimiento logstico, que surge en economa, biologa y
sociologa; y la ley qumica de accin de masas. En la seccin 7.6 se
estudian dos mtodosnumricospara aproximarintegralesdefinidas. Estos
procedimientos son importantesdebido a que resultan muy adecuados
para el uso de computadoras y graficadoras. Los temas sobre
aproximacin de inte- grales definidas incluyen el establecimiento
de teoremas acerca de las cotas para el error implicado en estas
aproximaciones. Las cuatro secciones res- tantes, que tratan acerca
de las formas indeterminadase integrales impropias, se han
reubicado en esta edicin;preceden inmediatamentea los temas de se-
ries, en donde se aplican muchosde los resultadosobtenidos.Las
aplicaciones de las integralesimpropiasincluyen la funcinde
densidadde probabilidadas como algunasotras relacionadascon
geometray economa. Captulo 7 Tcnicas de integracin, formas
indeterminadas e integrales impropias y explican intuitivamente las
definiciones de los trminos nuevos. Se han vuelto a escribir todas
las secciones y se han agregado ejemplos, en algunos de ellos se
utiliza la graficadorapara aproximarel valor de la
integraldefinida. PRLOGO xix
17. En las seis secciones de este captulo final se presenta un
estudio amplio del Clculovectorial.Este estudio incluye campos
vectoriales,integralesde lnea, Captulo 14 Introduccin al Clculo de
campos vectoriaJes El Clculo integral de funciones de ms de una
variable, contenido en las secciones13.2-13.6, esprecedidopor una
seccinen la que seestudiancoorde- nadas cilndricas y esfricas,
reubicadas en esta edicin, de modo que estn ms cerca a los temas en
que se aplican. Las integrales dobles de las fun- ciones de dos
variables se estudian en la seccin 13.2y en las dos secciones
siguientesse aplican a la fsica, ingenieray geometra. Captulo 13
Integracin mltiple Los temas contenidos en este captulo se han
reunido y condensado de dos captulos de las ediciones anteriores,
otra vez sin afectar la integridad mate- mtica. En las primeras
cinco secciones se estudian lmites, continuidad,deri- vadas
parciales, diferenciabilidady la regla de la cadena para funciones
de ms de una variable. Las aplicacionesde estas secciones incluyen
la determi- nacin de tasas de variacin y el clculo de
aproximaciones.La seccin 12.6, sobre derivadasdireccionalesy
gradientes,precede a una seccinque muestra la aplicacin del
gradiente en la determinacin de planos tangentes y rectas normales
a superficies. Otras aplicaciones de las derivadas parciales se
pre- sentan en las dos ltimas secciones y tratan sobre problemas de
extremos y multiplicadoresde Lagrange. Captulo 12 Clculo
diferencial de funciones de ms de una variable De igual manera que
con los vectores en el captulo 10, en este captulo se estudian las
funciones vectoriales tanto en el plano como en el espacio
tridimensional.Las curvasen los dos espacios,definidasmedianteuna
funcin vectorialo por mediode un conjuntode
ecuacionesparamtricas,as como sus propiedades tambin se estudian
simultneamente. Las aplicaciones de este captulo tratan acerca de
geometra, fsica e ingeniera. En la seccin 11.5, sobre movimiento
curvilneo, se utiliza la graficadora para simular en movi- miento
de un proyectil en un plano. Captulo 11 Funciones vectoriales En
esta edicin, los vectores bidimensionales y tridimensionales se
estudian en el mismocaptuloy no en forma separadacomo en
edicionesanteriores.En la seccin 10.1 se definen los vectores en el
plano. En la seccin 10.2, antes de definir un vector
tridimensional,se presenta el espacio numricotridimen- sional, el
cual se denota por R3. En el captulo tambin se proporciona una
introduccinvectorial a la geometra analtica slida al estudiar, en
la seccin IDA, rectas y planos en R3, y superficiesen la seccin
10.6. Captulo 10 .Vectores, rectas, planos y superficies en el
espacio las secciones cnicas en coordenadas rectangulares ahora se
estudian por lo general en un curso previo al Clculo, en esta
edicin se tratan en el apndice. xx PRLOGO
18. LoUIS LEITHOLD Las secciones suplementariasse encuentran
despus del apndice; estas sec- ciones contienen temas que pueden
ser cubiertos u omitidos sin afectar la comprensin del material
subsecuente. Estas secciones designadas mediante el nmero de la
seccin del cuerpo principal del texto, contienen discu- siones
tericasy algunasde las demostracionesms difciles. Secciones
suplementarias Los temas de lgebra, trigonometra y geometra
analtica, por lo comn se estudian en cursos previos al Clculo,
ahora se presentan en el apndice, de- jando asel cuerpoprincipaldel
textopara temasestrictamentede Clculo.Esta modificacintiene como
consecuenciael hecho de que las palabras con geo- metra analtica no
aparecen en el ttulo de esta edicin. Las secciones del apndice
pueden cubrirse en detalle, como un repaso o pueden omitirse por
completo,dependiendode la preparacinde los estudiantesde cada
grupo. Apndice el teorema de Green, el teorema de la divergencia de
Gauss y el teorema de Stokes. La presentacin de estos temas es
intuitiva y las aplicaciones son acercade fsica e ingeniera. PRLOGO
xxi
19. Benita Albert, Oak Ridge High School Daniel D. Anderson,
University of Iowa Richard Armstrong, Saint Louis Community College
at Florissant Valley Carole A. Bauer, Triton College Jack Berman,
Northwestem Michigan College Michael L. Berry, West Virginia
Wesleyan College James F. Brown, Midland College Phillip Clarke,
Los Angeles Valley College Charles Coppin, University of Dalias
Larry S. DilIey, Central Missouri State University Peter
Embalabala, LincIon Land Community College Leon Gerber, Saint
John's University Ronald E. Goetz, Saint Louis Community College at
Maramac William L. Grimes, Central Missouri State University Kay
Hodge, Midland College Charles S. Johnson, Los Angeles Valley
College John E. Kinikin, Arcadia High School Stephen Kokoska,
Bloomsburg University of Pennsylvania Ron Lancaster Benny Lo,
Ohlone College Miriam Long, Madonna University Robert McCarthy,
Community College of Allegheny County Lawrence P. Merbach, North
Dakota State College of Science Janet Mills, Seattle University
James M. Parks, State University of New York College at Potsdam
Terry Reeves, Red Rock Community College William H. Richardson,
Wichita State University Ricardo A. Salinas, San Antonio College
Lillian Seese, Saint Louis Community College at Maramac Luzviminda
Villar Shin, Los Angeles Valley College Lawrence Small, Los Angeles
Pierce College James Smolko, Lakeland Community College Armond E.
Spencer, State University of New York College at Potsdam Anthony E.
Vanee, Austin Community College Jan Vandever, South Dakota State
University Gerald L. White, Westem IIIinois University Douglas
Wilberscheid, Indian River Community College Don Williams,
Brazosport College Andre L. Yandl, Seattle University : REVISORES
RECONOCIMIENTOS
20. L.L. Para estas personas, para el cuerpo tcnico de
HarperCollins College Publishers y todos los usuarios de las seis
ediciones anteriores ofrezco mi ms profundoreconocimiento.Deseo
agradecerespecialmentea Leon Gerber, Saint John's University, y
Lawrence Small, Los Angeles Pierce College, por sus esfuerzos
diligentes en la revisin del manuscrito en sus diferentes ver-
sionesantes de la publicacinas como por sus
contribucionessignificativasa los ejercicios nuevos de esta edicin.
Tambin agradezco a mi editor, Kevin Connors, HarperCollinsCollege
Publishers,por su firme dedicacin, coraje y apoyo para este
proyecto Dan Douke, cortesade Tortue Gallery, Santa Mnica DISEO DE
LA CUBIERTA Ronald E. Goetz, Saint Louis CornmunityCollege at
Maramac Charles S. Johnson, Los Angeles Valley College
RobertMcCarthy,CommunityCollege of AlleghenyCounty LawrenceP.
Merbach,North Dakota State Collegeof Science LuzvimindaVilIarShin,
Los Angeles ValleyCollege Armond E. Spencer, State UniversityofNew
York College at Potsdam REVISORES DE LAS RESPUESTAS DE LOS
EJERCICIOS Leon Gerber, Saint John's University,asistidopor Samuel
Gerber PREPARACiN DE SOLUCIONES y RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS xxiv
RECONOCIMIENTOS
21. * N. del E. Este material slo est disponibleen ingls. En un
futuro prximoesta editorial tendr el "Manual de resolucionespara el
profesor". Estos materiales se encuentran listados en la tercera de
forros de este libro. Libros auxiliares de inters para estudiantes
y profesores de Clculo publicados por Oxford University Press,
Harla, Mxico Test GeneratorlEditor with Quizmaster (Generador de
exmenes/Editor con Quizmaster) Este banco de
exmenescomputarizadoest disponibleen versionespara DOS y Macintosh,
y puede trabajarse completamenteen redes. El Generador de Exmenes,
escrito para EC7, puede emplearse para seleccionarproblemas y
preguntas al elaborar exmenes ya preparados. El Editor permite a
los pro- fesores editar cualesquiera datos preexistentes o crear
sus propias preguntas. Quizmaster permite a los instructores crear
exmenes y cuestionariosdel Ge- nerador de Exmenes y almacenarlos en
discos de modo que puedan ser uti- lizados por los estudiantesen
computadoraspersonaleso en una red. Tambin est disponible un banco
de exmenes impresos que incluye todos los problemasy preguntasdel
banco de exmenescomputarizado. Para el profesor Instructor's
Solutions Manual for THE CALCULUS 7 (Manual de solu- ciones para el
profesor) por Leon Gerber,de Saint John's University. Este manual,
en dos volmenes, contiene las soluciones para todos los
ejerciciosde EC7. An Outline for the Study of Calculus (Un esbozo
para el estudio del Clculo) por Leon Gerber, de Saint John's
University y John Minnick, de DeAnzaCollege. Para ayudar a los
estudiantes en su estudio de EC7, este manual, en tres volmenes,
contiene las soluciones detalladas paso a paso de todos los ejer-
cicios cuyo nmero es divisible entre 4. Los manuales tambin
contienen to- dos los teoremas y definiciones importantes as como
exmenes simples con sus solucionespara cada captulo. Para el
estudiante MATERIAL SUPLEMENTARIO PARA EL CLCULO*
22. Algunas de los ideas fundamentalesdel Clculo se remontan a
los antiguos matemticos griegos del tiempo de Arqumedes (287-212
a.C.) as como a los trabajos de los primeros aos del siglo XVII
realizados por Ren Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat
1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Sin
embargo, la invencin del Clculo se atribuye a Sir Isaac Newton
(1642-1727) y Gottrried Wilhelm Leibniz (1646-1716) debido a que
ellos iniciaron la generalizacin y unifi- cacin de estos conceptos
matemticos. Asimismo, otros matemticos de los siglos XVII y XVIII
intervinieron en el desarrollo del Clculo, algu- nos de ellos
fueron: Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748),
Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph L. Lagrange (1736-1813). No
obstante, no fue sino hasta el siglo XIX en que se estable- cieron
los fundamentos de las nociones y de los procesos del Clculo por
matemticos tales como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L.
Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekin
(1831-1916). # # ASPECTOS HISTORICOS DEL CALCULO
23. Aprender Clculo puede ser una de las experiencias
educacionales ms estimulantes y excitantes. Para que esto sea as,
usted debe iniciar su curso de Clculo con el conocimiento de
ciertos conceptos de matemticas concer- nientes a lgebra, geometra,
trigonometra y geometra analtica. Los temas de lgebra, trigonometra
y geometra analtica de especial importancia se presentan en las
secciones A.I-Al1 del apndice al final del libro. Las propiedades
especficas de los nmeros reales as como algunas notaciones bsicas
se presentan en la seccin Al. Debe familiarizarse con estos temas
antes de iniciar el captulo 1. Refirase a las secciones A2-A8 y AIO
para revisar los temas de geometra analtica. En la seccin A9 se es-
tudian las funciones trigonomtricas. Tal vez necesite estudiar la
seccin A.II, donde se presentan las fracciones parciales, antes de
tratar la sec- cin 7.4 sobre integracin de funciones racionales. La
visualizacin mediante grficas juega un papel importante en el es-
tudio del Clculo. Estas grficas se obtendrn en dos formas: a mano y
me- diante un dispositivo de graficacin automtico de alta velocidad
como las graficadoras y computadoras con el software apropiado.
Estos dispositivos funcionan de manera similar, pero para el
estudiante resultar ms prctico utilizar una graficadora que una
computadora personal. En consecuencia, en el texto se emplear la
graficadora. Cuando se trate de una grfica realizada a mano se usar
la termino- loga dibuje la grfica,y cuando deba emplear un
dispositivo electrnico en su elaboracin se indicar trace la grfica.
Las grficas trazadas en una grafica- dora estn representadas por
figuras que muestran una pantalla de graficado- ra enmarcada por un
rectngulo y las ecuaciones de las grficas mostradas se indican en
la parte inferior de la pantalla. Las graficadoras no son estric-
tamente automticas debido a que requieren de un operador (una
persona que las haga funcionar) que presione teclas especficas; sin
embargo, como estas teclas dependen del fabricante y del modelo de
la graficadora, deber con- sultar el manual de funcionamiento para
obtener informacin sobre cmo realizar operaciones especficas. Con
los conocimientos bsicos preliminares, est usted preparado para
iniciar su curso de Clculo, que es el fundamento para muchas de las
ramas matemticas y para la mayora de los conocimientos del mundo
moderno. I ~ ~ PREPARACION PARA EL ESTUDIO DEL CALCULO
24. # EL CALCULO
25. I ndvdoblomonll habr lrolado funciono. In 'v. CUriO, on'.
do 'imlle. probobl.ml1lte el concepto rn, mporJ:on,. en ClIIeulo,
Se inicia 01...Iudlo de Irm,tes "" lo .eccfn I.~ medlon,. ",no
In"oduccl6n 9tf~ca o lo~ limite, d. """cion.,. P,im4fo ..
p,oporclona uno fu"damltlllcln peno a polO d.1o nocin de 11m, lo
cual oc."., """"""" la ~ Jo _ r...:~..,un""",..., le doIIneen lo
..a:16n 1 8 mlonl"" que lo confinuidod de _ luncln CllrIpIIe1Io. lo
oonSnllidod .. "" loterYcloy el _""" dol .olor rn.m.dio "'" lom'"
d. lo '''CI6n I 9 El '_.ma de .. friccin $O pro ,,10on lo 0016
EJEMPLO ILUSTRATIVO 2 Sea/la funcin definida por la ecuacin es
(-00, +00) y el contradominio es [0, +00). [> EJEMPLO
ILUSTRATIVO 1 Con notacin de intervalos, el dominio y contradominio
de la funcin definida por la ecuacin define una funcin para la cual
X es el conjunto de todos los nmeros reales y Yes el conjunto de
los nmeros no negativos. El valor de y asignado al valor de x se
obtiene al multiplicar x por s mismo. La tabla 1 proporciona
algunos de estos valores y la figura 2 ilustra la correspondencia
de los nme- ros de la tabla. Para denotar funciones se utilizan
smbolos como f,g y h. El conjunto X de los nmeros reales indicado
anteriormente es el dominio de la funcin y el conjunto y de nmeros
reales asignados a los valores de x en X es el contra- dominio de
la funcin. El dominio y el contradominio suelen expresarse en la
notacin de intervalos descrita en la seccin A.I del apndice. y = xl
En la figura 1 se muestra la representacin de una correspondencia
de este tipo. Se puede establecer el concepto de funcin de otra
manera: considere intuitivamente que el nmero real y del conjunto
Yes una funcin del nmero x del conjunto X, si existe una regla
mediante la cual se asocia un solo valor de y a un valor x. Esta
regla se expresa frecuentemente por medio de una ecuacin. Por
ejemplo, la ecuacin Con frecuencia, en las aplicaciones prcticas el
valor de una variable depende del valor de otra. Por ejemplo, el
salario de una persona puede depender del nmero de horas que
trabaje; la produccin total de una fbrica puede de- pender del
nmero de mquinas que se utilicen; la distancia recorrida por un
objeto puede depender del tiempo transcurrido desde que sali de un
punto especfico; el volumen del espacio ocupado por un gas a presin
constante depende de su temperatura; la resistencia de un cable
elctrico de longitud fija depende de su dimetro; etc. La relacin
entre este tipo de cantidades sue- le expresarse mediante una
funcin. Para fines exclusivos de este texto, las cantidades
involucradas en estas relaciones son nmeros reales. FIGURA 2 Y:
nmeros no nmeros reales negativos 1 1 3 9 2 4 4 16 O O -1 3 9 -2 4
-4 16 x y = x' Tabla 1 FIGURA 1 1.1 FUNCIONES Y SUS GRAFICAS 2
CAPTULO 1 FUNCIONES, LMITESY CONTINUIDAD
27. 1.1.1 Definicin de funcin A continuacin se establecer
formalmente la definicin de funcin como un conjunto de pares
ordenados. Al definir una funcin de esta manera, y no como una
regla de correspondencia,se hace ms preciso su significado. g =
{(x,y) I y = ~} Algunos de los pares ordenados de g son (3, O), (4,
J7), (5, 4), (-3, O), (--Jf3, 2). ~ C> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 La
funcin g del ejemplo ilustrativo 3 es el conjunto de pares
ordenados (x, y) para los cuales y = ..Jx2=9;es decir, f = {(x, y)
I y == ~} Algunos de los pares ordenados de f son (2, O), (~, 1),
(3, 1), (4, .,f2), (5, .f3), (6, 2), (11, 3). ~ C> EJEMPLO
ILUSTRATIVO 4 La funcin f del ejemplo ilustrativo 2 es el conjunto
de pares ordenados (x, y) para los cuales y = ~. En smbolosesto se
expresacomo Se puede considerar una funcin como un conjunto de
pares ordena- dos. Por ejemplo, la funcin definida por la ecuacin y
== x2 consta de todos los pares ordenados (z, y) que satisfacen la
ecuacin. Los pares ordenados de esta funcin proporcionados por la
tabla 1 son (1, 1), n, ~),(4, 16), (O,O), (-1, 1), (- ~, ~) y (- 4,
16).Por supuesto,existe un nmeroilimitado de pares ordenados de
esta funcin, algunos otros son (2, 4), (-2, 4), (5, 25), (-5, 25),
(.f3, 3), etctera. y== ~ Se observa que y es una funcin de x slo
para x ;;:::3 o x S; -3 (o sim- plemente, Ixl ;;:::3); para
cualquier x que satisfaga alguna de estas desi- gualdades, se
determinarun solo valor de y. No se determinarningn valor real de y
si x est en el intervalo abierto (-3, 3), ya que para estos valores
de x se obtiene la raz cuadrada de un nmero negativo. Por tanto, el
dominio de g es (-00, -3] U [3,+00), Yel contradominioes [O,+00). ~
Seag la funcindefinidaporC> EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 la ecuacin
tiene la raz cuadrada de un nmero negativo, y en consecuencia,no se
obten- dr un nmero real y. Por tanto, se debe restringir x de
manera que x ;;:::2. De este modo, el dominio de f es el intervalo
[2, +00), Y su contradominio es [O,+00). ~ 1.1 FUNCIONES Y SUS
GRFICAS 3
28. * N. del T. La palabra inglesa range se ha traducido
generalmente como rango, y corresponde al nombre del conjunto de
valores asignados a la variable dependiente de una funcin.Otros
nombres para este conjunto son: recorrido (poco empleado en
clculo); mbito (trmino muy recien- te para este
concepto);imagen(muy empleadoen lgebray teora de conjuntos);rango
(muy empleadoen clculo). h(x) = ~ el dominio de h es el intervalo
cerrado [-2, 2] porque ~4 - x2 no es un nmeroreal para x > 2 o x
< -2. El contradominiode h es [O, 2]. est implcito que x *- -4,
debido a que el cociente no est definido para x = -4; en
consecuencia, el dominio de g es el conjunto de todos los nme- ros
reales excepto-4. Si h est definida por la ecuacin g(x) = 5x - 2
x+4 entonces el dominio def consta de todos los nmeros reales entre
l y 10,in- cluidos stos. De manera semejante,si g est definida por
la ecuacin ISxslOf(x) = 3x2 - 5x + 2 la funcin tiene un valor si x
es cualquier nmero real; por tanto, el dominio es el conjuntode
todoslos nmerosreales. Sin embargo, sifest definidapor Cuando se
define una funcin, debe indicarse el dominio implcita o
explcitamente.Por ejemplo, sifest definidapor f(x) = 3x2 - 5x + 2
f(9) f(5)f(3) = ~ 1 f(6) = -J6 - 2 2 A continuacinse calcularf(x)
para algunos valoresespecficosdex. En el ejemplo ilustrativo
2,[> EJEMPLO ILUSTRATIVO 6 f = (x, y) I y = -v'X=2"}. De modoque
f(x) = -v'X=2" En esta definicin, la restriccin de que dos pares
ordenados no pueden tener el mismo primer nmero asegura que y es
nico para cada valor espec- fico de x. Los smbolosx y y denotan
variables. Debido a que el valor de y depende de la eleccin de x, x
denota a la variable independiente mientras que y representa a la
variable dependiente. Sif es la funcin tal que los elementos de su
dominio se representan por x, y los elementos de su contradominio
se denotan por y, entonces el smbolo f(x) (lase "f de x") denota el
valor particular de y que corresponde al valor de x. La
notacinf(x), denominada valor de funcin, se debe al matemtico y
fsico suizo Leonhard Euler (1707-1783). nmero. El coojunto de todos
los valores admisibles de x se denomina clomflllo de la funcin, y
el conjunto de todos lag valores resultantes de y recibe el
nombrede"oontradorninfo* de la funcin. 4 CAPTULO 1 FUNCIONES, MmS y
CONnNUIDAD
29. 8hx - Sh + 4f2 h =8x-S+4h 4(x + h)2 - S(x + h) + 7 - (4x2 -
Sx + 7) h 4x2 + 8hx + 4h2 - Sx - Sh + 7 - 4x2 + Sx - 7 h (a) (x +
h) - (x) h (x + h) - (x) h donde h ~ O, si (a)f(x) = 4x2 - Sx + 7;
(b)f(x) = Ji. Solucin Determine... EJEMPL02 Este cociente se
presenta como la pendiente de la recta que pasa por los pun- tos
(x, f(x)) y (x + h, f(x + h de la grfica de la funcin definida por
y = f(x). Consulte la figura 3. En caso de que al efectuar el
clculo aparezca en el numerador la diferencia de dos radicales, se
racionaliza el numerador como en el inciso (b) del ejemplo
siguiente . h ~ O f(x + h) - f(x) h Compare los clculos del inciso
(f) y (g) del ejemplo 1. En el inciso (f) se realiza el clculo de
f(x + h), que es el valor de la funcin para la suma de x y h. En el
inciso (g), en donde se calculaf(x) + f(h), se obtiene la suma de
los dos valores de la funcinf(x) y f(h). En el captulo 2 se
requerir calcular cocientes de la forma (e) f(2x) = (2x)2 + 3(2x) -
4 = 4x2 + 6x - 4 (f) f(x + h) = (x + h)2 + 3(x + h) - 4 = x2 + 2hx
+ h2 + 3x + 3h - 4 = x2 + (2h + 3)x + (h2 + 3h - 4) (g) f(x) + f(h)
= (x2 + 3x - 4) + (h2 + 3h - 4) = x2 + 3x + (h2 + 3h - 8) (d) f(2h)
= (2h)2 + 3(2h) - 4 = 4h2 + 6h - 4 (e) f(h) = h2 + 3h - 4 (b) f(2)
= 22 + 3 . 2 - 4 = 6 determine: (a) f(O); (b) f(2); (e) f(h); (d)
f(2h); (e) f(2x); (f) f(x + h); (g) f(.x) + f(h) .Solucin (a) f(O)
= 02 + 3 . O - 4 = -4 f(x) = x2 + 3x - 4 Dado que f es la funcin
definida por... EJEMPLO J FIGURA 3 lfi + " - f(, _.-~-~~ y = (x)
1.1 FUNCIONES Y SUS GRFICAS 5
30. Observe que en las figuras 4, 5 y 6, cualquier recta
vertical intersectar a cada grfica cuanto ms en un punto. Unuuta
vertical inlersecta la grfica.de una funein a lo mis en un pnto. De
esta definicin, se deduce que la grfica de una funcinf es la misma
que la grfica de la ecuacin y = f(x). La grfica de la funcin del
ejemplo ilustrativo l es la parbola dibujada en la figura 4. La
grfica de la funcinf de los ejemplos ilustrativos 2 y 4 Y dibujada
en la figura 5 es la mitad superior de la parbola. La grfica de la
funcin g de los ejemplos ilustrativos 3 y 5 est dibujada en la
figura 6; est grfica es la mitad superior de una hiprbola. Recuerde
que en una funcin existe un solo valor de la variable depen- diente
para cada valor de la variable independiente del dominio de la
funcin. En trminos geomtricos, esto significa que: Sifes una
funciD.entonces la gnfica defes elcoDjunto de lodos los puntos (x,
y) dofpllino R2 para los cuales (l; y) es un par ordenado de! 1.1.2
Definidn de grfica de una fundn x El concepto de funcin como un
conjunto de pares ordenados permite enunciar la siguiente definicin
de grfica de una funcin. En el segundo paso del inciso (b) de esta
solucin, se multiplica el numerador y el denominador por el
conjugado del numerador para racionali- zar el numerador, de donde
se obtiene un factor comn de h en el numerador y en el denominador.
~ h(-!X+h + ji) 1 h(-!X+h + ji) h -!X+h - ji h (rx+h - ji)(-!X+h +
ji) h(-!X+h + ji) (x + h) - x (b) f(x + h) - f(x) h FIGURA 7 -5 x =
a y FIGURA 6 g(x)=~ y FIGURAS (x) = ~ o y FIGURA 4
-'_5+-+--+-+-+-AiO,--t---++-t--t-+-+ x [> EJEMPLO ILUSTRATIVO 7
Considere el conjunto {(x, y) I .xl + y2 = 25], cuya grfica es la
circunferencia, de radio 5 y centro en el origen, dibujada en la
figura 7. Este conjunto de pares ordenados no es una funcin porque
para cualquier x en el intervalo (-5, 5), dos pares ordenados
diferentes tienen a x como primer nmero. Por ejemplo, (3, 4) Y (3,
-4) son dos pares ordenados del conjunto dado. Adems, observe que
cualquier recta vertical cuya ecuacin sea x = a, donde -5 < a
< 5, inter- secta a la circunferencia en dos puntos. ~ 6
CAPTULO1 FUNCIONES,MmS y CONTINUIDAD
31. Las funciones definidas a trozos sern de gran utilidad en
el estudio de lmites, continuidad y derivada, como ejemplos y
contra-ejemplos de funcio- nes que poseen ciertas propiedades. En
el caso de la grfica de la funcin del ejemplo 4, se rompe en el
punto donde x = 3 lo que, como aprender en la Solucin El dominio de
f es (-00, +00). La figura 9 muestra la grfica de t.consta de la
porcin de la recta y = x - I para la cual x < 3, el punto (3, 5)
y la parte de la recta y = 2x + 1 para la cual 3 < x. Los
valores de la funcin son nmeros menores que 2, el nmero 5 o nmeros
mayores que 7. Por tanto, el contradominio de f es el nmero 5 y
aquellos nmeros en (-00,2) U (7, +00). ~ EJEMPLO4 Seaf la funcin
definida por X5-l six EJEMPLO ILUSTRATIVO 4 f(x) = 2x - 6 donde m y
b son constantes y m ~ O.Su grfica es una recta cuya pendien- te es
m y su intercepcin y u ordenada al origen es b. f(x) = mx + b Una
funcin lineal se define por La funcin definida porf(x) = 5 es una
funcin constante, y su grfica, mostrada en la figura 2, es una
recta horizontal situada a 5 unidades so- bre el eje x. La funcin
definida por g(x) = -4 es una funcin constante cuya grfica es una
recta horizontal ubicada a 4 unidades debajo del eje x. Consulte la
~rn3. ~ EJEMPLO ILUSTRATIVO 3 Una funcin cuyo contradominio consta
de un solo nmero recibe el nombre de funcin constante. De este
modo, si f(x) = c, y e es cualquier nmero real, entoncesf es una
funcin constante y su grfica es una recta horizontala una
distanciadirigida de e unidadesa partir del eje x. (f o g)(x) =
f(g(x = f(..[;2+3) 1 (f o g)(x) = f(g(x = f(x2) Entonces g(x)g(x) =
x2 Entonces X (b) f(x) l (a) f(x) = ~ "IX + 3 Solucin h(x) = ~ x2 +
3 exprese h como la composicin de dos funcionesf y g en dos formas:
(a) la funcinfcontiene el radical; (b) la funcing contiene el
radical. ~ EJEMPLO 4 Dada F(G(x F(x2) (4x2 + 1)3 (F o G)(x)
entonces FIGURA 4 (x) = 2x - 6 -5 [> g(x) = -4 (a) FIGURA 3 (b)
y y FIGURA 2 (xl = 5 y 1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Y nPOs DE
FUNCIONES 1S
40. Las propiedadesde simetra de las funciones pares e impares
se deducen de los criteriosde simetradados en la seccinA.2 del
apndice. (~) Una funcin/es uII.$funcin par si para cadax del
dominio def, f(~x) =. f(1:) (11)Una roncinfes una funcin iQlpaf si
para cada x del dominio de f, f(-x). '" -/(x), ~En los dos incisos
(i) y (i) se sobrentiende que -x est en el dominio def siempreque x
lo est. 1.2.3 Definicin de fundn par y funcin impar Adems de las
funciones algebraicas, se considerarn lasfunciones tras- cendentes,
ejemplos de estas funciones son las funciones trigonomtricas,
discutidas en la seccin A.9 del apndice, y las funciones logartmica
y expo- nencial estudiadasen el captulo 5. Unafuncin par es aquella
cuya grfica es simtrica con respecto al eje y, y unafuncin impar es
aquella cuya grfica es simtrica con respecto al origen. A
continuacinse presenta la definicinformal de estas funciones. f(x)
es una funcinpolinomialde grado 5. Una funcin lineal es una funcin
polinomial de grado l. Si el grado de una funcin polinomial es 2,
entonces se le llama funcin cuadrtica, y si el grado es 3,
entoncesrecibe el nombrede funcin cbica. Si una funcin puede
expresarse como el cociente de dos funciones
polinomiales,entoncesse denominafuncin racional. Una funcin
algebraica es aquella formada por un nmero finito de operaciones
algebraicas sobre la funcin identidad y una funcin constante. Estas
operaciones algebraicas incluyen adicin, sustraccin, multiplicacin,
divisin, potenciacin (elevacin a una potencia) y radicacin
(extraccin de una raz). Las funciones polinomiales y racionales son
tipos particulares de funciones algebraicas. Un ejemplo complejo de
una funcin algebraica es aquella definidapor f(x) = 3x5 - x2 + 7x -
donde ao, al, ... , an son nmeros reales (an '# O) Yn es un nmero
entero no negativo, entonces recibe el nombre de funcin polinomial
de grado n. As, la funcindefinida por se denominafuncin identidad.
Su grfica, dibujadaen la figura 5, es la recta que bisecta los
cuadrantesprimero y tercero. Si una funcinfse definepor f(x) = x
FIGURAS f(x) = x La funcin linealparticular definidapory 16 CAPTULO
1 FUNCIONES, MITES y CONTINUIDAD
41. Como g(-x) = -g(x), entonces se ha demostrado analticamente
que la funcin g es impar. (b) La figura 9 muestra la grfica de la
funcin g, la cual parece simtrica con respecto al origen. Por
tanto, se sospecha que la funcin es impar. Al calcular g(-x) se
obtiene: g(-x) = 3(-x)5 - 4(-x)3 - 9(-x) -3x5 + 4x3 + 9x -(3x5 -
4x3 - 9x) -g(x) FIGURA 9FIGURAS [-5, 5] por [-11, 11] g(x) = 3x5 -
4x3 - 9x [-5, 51 por [O, 10] (x) = 3x' - 2x 2 + 7 I Comof( -x) =
f(x), entoncesfes par. fe-x) = 3(- x)4 - 2(-x)2 + 7 = 3x4 - 2x2 + 7
= f(x) (a) La grfica def, trazada en la figura 8, parece
simtricacon respecto al eje y. Por tanto, se sospecha que la funcin
es par. Para probar este hecho analticamente,se calculaf(-x):
Solucin ~ EJEMPLO 5 Trace la grfica de la funcin y a partir de la
gr- fica conjeture si la funcines par, impar o de ninguno de estos
dos tipos; des- pus confirme la conjeturaanalticamente. (a) f(x) ==
3x4 - 2x2 + 7 (b) g(x) = 3x5 - 4x3 - 9x (e) h(x) == 2x4 + 7x3 - x2
+ 9 (a) Sif(x) = x2,entoncesf(-x) = (-x)2.Portanto,f(-x) = f(x) yen
conse- cuencia,f es una funcin par. Su grfica es una parbola
simtrica con respecto al eje y. Va la figura 6. (b) Si g(x) = x3,
entoncesg(-x) = (-x)3. Comog(-x) = -g(x), entoncesg es una funcin
impar. La grfica de g, mostradaen la figura7, es simtri- ca con
respecto al origen. ~ [> EJEMPLO ILUSTRATIVO 5 FIGURA 7 y FIGURA
6 (x) = Xl y 1.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Y npos DE FUNCIONES
17
42. si x < -3 si -3 $; x < 3 si 3 $; x{ -6 F(x) = ~ Con
estos resultados, se define F(x) a trozos de la siguiente forma Ix
+ 31 - Ix - 31 = -x - 3 - (-x + 3) -6 Six E [-3, 3), Ix + 31 = x +
3 Y Ix - 31 = -x + 3. As Ix + 31 - Ix - 31 = x + 3 - (-x + 3) =2x
Six E [3, +00), Ix + 31 = x + 3y Ix - 31 = x - 3. Por tanto 1x + 31
- 1x - 31 x + 3 - (x - 3) = 6 six ;;:: 3 six < 3 = -x - 3 Y Ix -
31 = -x + 3. En con- Ix - 31 = {: : ; Six E (-00, -3), Ix + 31
secuencia six;;:: -3 six < -3y Ix + 31 { x + 3 six+3;::0 = -(x +
3) six+3
