Upload
yamagata-yoriyuki
View
3.402
Download
0
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
Results
โข Define ๐2๐๐ธ, bounded arithmetic in free logic โข โBootstrappingโ ๐2๐๐ธ โข Prove ๐-consistency of ๐2โ1๐ธ in ๐2๐
Publications
โข Bounded Arithmetic in Free Logic Logical Methods in Computer Science Volume 8, Issue 3, Aug. 10, 2012
Agenda
โข Bounded arithmetic and complexity โข System ๐2๐๐ธ โข Consistency proof of ๐2โ1๐ธ
๐
โ
โ
PH and Bussโs theories ๐2๐
โฆ
๐21
โ
๐22
โ
๐23 โข Tot(๐)
โฆ ๐ โ ๐ฮฃ2
๐
๐๐๐
Separation of ๐2๐
Problem โข No truth definition โข No valuation of terms
โข E.g. 2#2#2#2#2#...#2
In ๐2๐ world, terms do not have values a priori. โข We must prove the existence of values in proofs. โข the predicate ๐ธ signifies the existence of a value
Language
Predicates โข =,โค,๐ธ
Function symbols โข Finite number of polynomial functions
Formulas โข Atomic formula, negated atomic formula โข ๐ด โจ ๐ต,๐ด โง ๐ต โข Bounded quantifiers
E-axioms
โข ๐ธ๐ ๐1, โฆ ,๐๐ โ ๐ธ๐๐ โข ๐1 = ๐2 โ ๐ธ๐๐ โข ๐1 โ ๐2 โ ๐ธ๐๐ โข ๐1 โค ๐2 โ ๐ธ๐๐ โข ยฌ๐1โค ๐2 โ ๐ธ๐๐
Equality axioms
โข ๐ธ๐ โ ๐ = ๐
โข ๐ธ๐ ๏ฟฝโ๏ฟฝ , ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ โ ๐ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ ๐
Defining axioms
๐ ๐ข ๐1 ,๐2, โฆ , ๐๐ = ๐ก(๐1, โฆ , ๐๐)
๐ธ๐1, โฆ ,๐ธ๐๐,๐ธ๐ก ๐1, โฆ , ๐๐ โ ๐ ๐ข ๐1 ,๐2, โฆ , ๐๐ = ๐ก(๐1, โฆ , ๐๐)
๐ข ๐ = ๐ธ,๐, ๐ 0๐, ๐ 1๐
Auxiliary axioms
๐ = ๐ โ ๐#๐ = ๐#๐
๐ธ๐#๐,๐ธ๐#๐, ๐ = |๐| โ ๐#๐ = ๐#๐
Bootstrapping ๐2๐๐ธ
I. ๐2๐๐ธ โข Tot(๐) for any ๐, ๐ โฅ ๐ธ II. ๐2๐๐ธ โข BASICโ, equality axioms โ III. ๐2๐๐ธ โข predicate logic โ IV. ๐2๐๐ธ โข ฮฃ๐๐ โPINDโ
Valuation trees
a#a+b=19
a#a=16 b=3
a=2
ฯ-valuation tree bounded by 19 ฯ(a)=2, ฯ(b)=3
๐ฃ ๐#๐ + ๐ ,๐ โ19 19 ๐ฃ ๐ก ,๐ โ๐ข ๐ is ฮฃ1๐
Bounded truth definition (1)
โข ๐ ๐ข, ๐ก1 = ๐ก2 , ๐ โdef โ๐ โค ๐ข, ๐ฃ ๐ก1 ,๐ โ๐ข ๐ โง ๐ฃ ๐ก1 ,๐ โ๐ข ๐
โข ๐ ๐ข, ๐1 โง ๐2 ,๐ โdef ๐ ๐ข, ๐1 , ๐ โง ๐ ๐ข, ๐2 , ๐ โข ๐ ๐ข, ๐1 โจ ๐2 ,๐ โdef ๐ ๐ข, ๐1 , ๐ โจ ๐ ๐ข, ๐2 ,๐
Bounded truth definition (2)
โข ๐ ๐ข, โ๐ฅ โค ๐ก,๐(๐ฅ) ,๐ โdef โ๐ โค ๐ข, ๐ฃ ๐ก , ๐ โ๐ข ๐ โง
โ๐ โค ๐,๐ ๐ข, ๐ ๐ฅ ,๐ ๐ฅ โฆ ๐ โข ๐ ๐ข, โ๐ฅ โค ๐ก,๐(๐ฅ) , ๐ โdef
โ๐ โค ๐ข, ๐ฃ ๐ก , ๐ โ๐ข ๐ โง โ๐ โค ๐,๐(๐ข, ๐ ๐ฅ ,๐[๐ฅ โฆ ๐])
Remark: If ๐ is ฮฃ๐๐,๐ is ฮฃ๐+1๐
induction hypothesis
๐ข: enough large integer ๐: node of a proof of ๐ธ=1 ฮ๐ โ ฮ๐: the sequent of node ๐ ๐: assignment ๐ ๐ โค ๐ข โ๐ขโฒ โค ๐ข โ ๐, { โ๐ด โ ฮ๐ ๐ ๐ขโฒ, ๐ด , ๐ โ
[โ๐ต โ ฮr,๐(๐ขโฒ โ ๐, ๐ต , ๐)]}
Conjecture
โข ๐2๐๐ธ is weak enough โ ๐2๐+2 can prove ๐-consistency of ๐2โ1๐ธ
โข While ๐2๐๐ธ is strong enough โ ๐2๐๐ธ can interpret ๐2๐
โข Conjecture ๐2โ1๐ธ is a good candidate to separate ๐2๐ and ๐2๐+2.