Metoda coardelor

Definiţie

Metoda coardelor- consta in divizarea segmentelor in parti proportionale, proportia fiind data de punctul de intersectie al coardei care uneste extremitatile

segmentului cu axa Ox

Descriere

Fie data f(x), care poseda urmatoare proprietati: 1. f(x) continua pe [a,b] si f(a)x f(c) <o.

2. Pe [a,b] exista f’(x) diferit de 0 si f’’(x)diferit de 0, continui , iar semnul lor pe [a,b] este

constant.3. Acestea garanteaza existent solutiei unice a

ecuatiei f(x)=0 pe [a,b]4. Pentru a realiza metoda data se stabilesre

extremitatea e a [a,b] prin care se va duce o serie de coarde. F( e) x f’’ (e) >0

5. Cealalata extremitate a [a,b] se considera aproximare a solutiei x0.

Formula generala

(1) Xi= Xi-1-[f(Xi-1)/f(e)-f(Xi-1)]*(e-Xi-1); i=1,2,..,..,

Se demonstreaza ca sirul de valori x1,x2,…xi,xi+1, …xn… calculate dupa formula aceasta converge catre solutia ع a ecuatiei f(x)=0.

Algoritmul de calcul pentru un numar prestabilit n de aproximari

succesiveAplicarea metodei coardelor necesita o evaluare

prealabila a f-tiei, pentru stabilirea extremitatii fixe, din care se vor trasa coardele

1. determinam extremitatile fixe e si a aproximarii x0

2 calculul Xi+1 conform formulii generale

3. daca i+1=n, atunci sol. Calculata X<=Xi. Sfirsit. In caz contrar, i<=i+1 si se revine la pasul 2.

Eroarea metodei

Fie f(x) satisface urmatoarele conditii :1. f(x) continua pe [a,b] si f(a)x f(c) <o.

2. Pe [a,b] exista f’(x) diferit de 0 si f’’(x)diferit de 0, continui , iar semnul lor pe [a,b] este constant. Daca ع - solutia exacta a ecuatie f(x)=0 pe

segmentul [a,b], iar M1 si m1- marginea superioara si inferioara a f’(x) pe acelasi

segment, din teorema Lagrange si formula recurenta pentru calculul aproximarilor succesive

rezulta urmatoarea formula.

Formula pentru calcularea erorii

I ع- xi I <= I M1-m1/m1 I x I xi-xi-1 I

I M1-m1/m1 I x I xi-xi-1 I <= (2 )ع

Algoritmul de calcul pentru o exactitate ع data:

Pasul 1 : Determinarea extremitatii fixe e si a aproximarii xo .

Pasul 2 : Calculul xi+1 conform formulei (1);

Pasul 3: Daca I M1-m1/m1 I x I xi-xi-1 I <= ع , atunci solutia calculata x=xi. Sfirsit. In caz contrar, i=i+1 si

se revine la pasul 2.