Version 3.0.0

Université de Béchar

Laboratoire des Études Énergétiques en Zones Arides

Équipe Modélisation & Simulation des Systèmes

Cours réalisé par : Pr. TAMALI Mohammed,

http://mtamali.wordpress.com/

Université de Béchar | FS&T

(ENERGARID Lab./SimulIA)

Presentation The University of Bechar was born in 1986 as the National Institutes of Higher Education (INES) in 1992 it becomes University Center and on January 07, 2007, it was officially declared as a University. Since then, many Research Teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers (7 Research teams) to solve real problems affecting arid zones, SimulIA Team is one of them in the same laboratory. The Workload of SimulIA concern studies and applications of modeling and simulation of systems in Arid Areas. Research areas: Energy & Environment (Modeling & Simulation) Application of heat in arid zones Energy economy. Mapping and development of resources in arid zones. SIMULIA for the task in the short term, to develop the computer code for modeling and simulation which can be accessed online. Website of the laboratory team: http://energarid.wordpress.com/

2

Généralités

Caractéristiques des systèmes & Modélisation (Définitions,

Typologie, Méthodologie)

Domaines d’application

Systèmes représentation des données

Systèmes linéaires (Méthode directe, itérative,)

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle)

Interpolation & approximation (Statistique, Lissage, Extrapolation)

Intégration numérique

Equation différentielle (Méthode d’Euler, Runge-Kutta)

Conclusion

Plan

3

Généralités

Les mathématiques appliquées et le calcul scientifique jouent un rôle croissant

dans la conception de produits industriels; ce n’est cependant qu’un maillon

d’une longue chaîne qui mobilise des ressources intellectuelles nombreuses et

variées pour arriver à concevoir, au mieux et dans des délais impartis le produit

désiré. Le niveau de complexité des systèmes est très élevé à un niveau où toute

intégration sociale des produits résultants ne se ferait sans dégâts ni sans effets

secondaires. En contre partie, la majorité des produits technologiques sont

juste la solution immédiate de bon nombre de problèmes de la vie courante.

L'avènement de produits, de grande consommation, comme l'informatique,

l'Internet et les télécommunications, à chacun ses outils, a révolutionné les

méthodologies de travail des équipes et laboratoires de recherches. Les outils

et suites logiciels sont d’un grand secours aux travaux de modélisation et de

simulation des processus. L'informatique et les moyens de conception sont les

vecteurs qui ont provoqué une amélioration nette à la vitesse de mise en œuvre

de moyens exploitables. Les logiciels de CAO (Conception Assistée par

Ordinateur) ont joué un grand rôle dans le cours de développement de

beaucoup de procédés (Modélisation) et ont facilité la compréhension de

beaucoup phénomènes (Simulation).

4

Caractéristiques des systèmes & Modélisation Modélisation

Pour la modélisation, le système étudié est appelé système primaire.

Son modèle (équivalent) est une représentation de la réalité et il est

dit système secondaire. Par définition un modèle est une

représentation simplifiée de la réalité. Le but majeur de cette

opération c’est DÉCRIRE, PRÉDIRE, EXPLIQUER & RÉAGIR.

Modélisation graphique C’est une stratégie modélisatrice des système utilisant le graphique comme langage et outil de travail.

Finalité de la modélisation

• Technique : fournir des spécifications claires pour

produire, puis exploiter

• Intellectuelle : fournir au métier, une utilité dans les

structures sociétales.

Les suites logiciels de simulation

Composition faites des deux entités, Les SYSTÈMES d’INFORMATION (Collections d’informations) et les MATHEMATIQUES (Collections d’algorithmes de calcul). C’est le moyen utilisé pour allié efficacité et utilisabilité des études et des coûts équivalents à une réelle expérimentation. Les objectifs sont généralement pour des stratégies d’aide à la décision.

Courbes d’évolution

d’un phénomène

physique

Modèle SIG d’une urbanisation

Sous QGIS (GPL)

Exemple Arduino ISP sous Fritzing (GPL)

5

L’objet de ce chapitre est de mettre en évidence les principales

difficultés liées à la pratique des calculs numériques sur

ordinateur. Dans beaucoup de situations, il existe des

méthodes spécifiques permettant d’accroître `a la fois

l’efficacité et la précision des calculs. Ces équations sont

souvent très complexes, et font intervenir énormément de

paramètres. Elles sont en général impossible à résoudre de

façon exacte (comme le serait une équation différentielle du

second degré par exemple, modélisant le mouvement d’un

pendule de longueur l : Le problème linéarisé pour de petits

mouvements du pendule s’écrit en terme de x. Cette dernière

équation peut, maintenant être résolue par (formule 2):

On peut alors calculer x(t) (formule 3) pour tout temps de

façon exacte (modulo les erreurs d’arrondi). Par contre on ne

connaît pas de solution exacte de l’équation plus haut.

L'analyse numérique est l'une des thématiques de la recherche

opérationnelle, des sciences de l'ingénieur et de l'informatique.

Logiciel de visualisation graphique

Paraview (GPL)

Canevas graphique

Panneau des

propriétés

Ligne du temps,

pour l’animation

Barre d’outils

Menu principal

Caractéristiques des systèmes

Formule 2 Formule 3

6

Besoin : insatisfaction, nécessité, exigence, manque, nécessaire, indispensable. Sentiment de privation qui porte à

désirer ce dont on croit manquer, nécessité impérieuse : exemple; Besoin de savoir, Chose considérée comme

nécessaire à l'existence.

Observation : apercevoir, percevoir, voir, considérer, surveiller, contempler

Formalisation : Action de réduire un système de connaissances à des structures formelles.

Modélisation : Établissement de modèles, notamment des modèles utilisés en automatique, en informatique, en

recherche opérationnelle et en économie.

Simulation : Représentation du comportement d'un processus physique, industriel, biologique, économique ou militaire

au moyen d'un modèle matériel dont les paramètres et les variables sont les images de ceux du processus étudié. (Les

modèles de simulation prennent le plus souvent la forme de programmes d'ordinateurs auxquels sont parfois associés

des éléments de calcul analogique.)

Optimisation : Action d'optimiser ou d'optimaliser ; fait d'être optimisé ou optimalisé. Démarche consistant à rendre

optimal le fonctionnement d'un système

Évaluation des performances : Évaluation des capacités d’interaction du système vis-à-vis d’un ensemble de données

selon dans hypothèses prédéfinies. Le système peut existé ou non. Dans le premier cas, nous demandons une

amélioration dans la première et une bonne conception pour le cas du deuxième type. Ils existent des techniques

spécifiques pour évaluer la performance des systèmes.

Prise de décision : Choisir, dans un état de compromis, quel choix à adopter. Il est judicieux de remarquer que cette

mesure est beaucoup délicate puisque le critère le plus dangereux de de telle situation, c’est de beaucoup perdre.

Fiabilité : Répondre à tous les critères de réponses à la requête émises derrière notre conception du système.

Probabilité pour qu'une pièce primaire, un dispositif ou un équipement complet soit utilisé sans défaillance pendant une

période de temps déterminée, dans des conditions opérationnelles spécifiées

Robustesse : Un système robuste doit résister bien aux causes d'agression ou d'altération, c’est encore la tolérance aux

fautes.

Compromis : Convention par laquelle les parties à un litige soumettent l'objet de celui-ci à un arbitrage, c’est aussi

l’Action qui implique des concessions réciproques.

Caractéristiques des systèmes 7

Domaines d’application Les suites logiciels de modélisation et de simulation des systèmes et des

procédés sont de deux catégories vis-à-vis des droits et devoir d’utilisation.

Pour ces mêmes suites, il y a le développeur du produit, d’un côté, et

l’utilisateur final de l’autre. A chacun ses droits mais limitées selon des clauses

et les recommandations, sur base de quoi, le deux partenaires se sont mis

d’accord. Ces termes définissent ici ce qui est communément appelé

LICENCE.

Cette dernière décrit clairement les partenaires, le produits et limites de chacun

par rapport à la loi.

Il existe deux type de licence:

• Propriétaire,

• Libre d’utilisation dite encore GPL

Dans le premier type, le développeur se doit de porter assistance à ses clients

et de garantir la continuité du service. Au même moment que les clients ne

doivent, et aucun cas, porter préjudice à leur mode ou manière d’utilisation du

produit, ne pas l’utiliser qu’avec le consentement du développeur, ne pas

l’altérer par un quelconque moyen. La distribution du produit est, de ce fait

totalement interdite.

Le client est, par ailleurs, bien en état de connaissance de tout dommage qui

pourrait éventuelle lui être causé par sont utilisation du produit et pour lequel la

partie développeur, décline toute responsabilité.

Pour le deuxième type, le développeur se partage les droits/devoirs de

re/développer le produit avec son client.

Les suite GPL (General Public Licence) sont généralement des contributions

qui évoluent pour gagner du terrain. Le paquetage est distribuer avec le fichier

binaire, tous les fichiers bibliothèques et annexes en plus de la documentation.

Ces suites sont déployée et présentent

leur service selon deux mode, Localisé

(Stand Alone/Desktop) ou bien

réparties sur le Web (Web Based).

Elle peuvent avoir besoin de données

Localisé ou Distribué.

Architecture Intranet universitaire

8

Domaines d’application La plupart des domaines de l’Ingénieur.

Informatique

Electronique

Thermique

Resistance des matériaux

Chimie

Avionique

Modélisation et Simulation des processus

Et même ceux dits Sciences Humaine

Statistiques

Biologie

Médecine

Chirurgie

Encore …

Sport

Art !

9

Domaines d’application (Evaluation des Performances.)

D’une manière générale, l’évaluation des

performances EP c’est l’ensemble de protocoles

et des procédures à envisager en vue d’une

expertise du système (S) en cours de conception

ou d’exploitation.

On cherche dans toutes les situations d’améliorer

les performance du système en question vis-à-vis

d’une exigence/demande en attente. Le système

(S) amélioré répond avec robustesse.

On distingue généralement beaucoup de secteurs

visés par cette EP, en l’occurrence la GRH,

Métiers, Entreprise, Impact associatif et bien

d’autre … 10

Systèmes représentation des données La mémoire centrale est un ensemble de ’positions binaires’ nommées bits. Les bits sont

généralement regroupés en octets (8 bits) et chaque octet est repéré par son adresse. Chaque

information devra être codée sous cette forme binaire.

En informatique,

le kilo vaut 1K = 210 = 1024

le méga vaut 1M = 220 = 1048576

le giga vaut 1G = 230 = 1073741824

Les nombres entiers dont la représentation et la manipulation sont celles de l’arithmétique usuel. Il

existe un plus grand entier représenté en machine. Pour ceux à 32 bits (=4 octets) correspond à

des entiers en double précision ont pour valeur dans [−231,231−1] = [−2G, 2G−1].

Les nombres flottants qui représentent les nombres réels ou les nombres décimaux.

Les nombres réels sont représentés de façon approximative en mémoire (représentation en virgule

flottante), avec la convention standardisée de la forme m×2e, où m est la mantisse 1≤m≤2 et e

l’exposant.

Représentation en simple précision. Sur 32 bits (4 octets), on a p=23, q=8 (1 bit pour le signe) ce

qui permet de représenter des nombres compris, en valeur absolue, entre 2−128≈10−38 et 2128≈1038

car 128=2q=28. La précision machine est de 7 chiffres décimaux significatifs car 223=107.

11

Erreurs sur les calculs On considère un nombre flottant de la forme ±a10q avec a est la mantisse de la forme 0.d1d2 · · · dt, d10, q

est l’exposant (entier relatif).

Bien sûr, l’entier q est soumis à la restriction : −M ≤ q ≤ M (où M dépend de la machine).

Cette représentation des nombres réels entraîne les conséquences suivantes :

Il existe un plus petit nombre flottant ( zéro). Le zéro machine en valeur absolue vaut =

0.10···10−M.

Il existe un plus grand nombre flottant, l’infinie machine et vaut = 0.99 · · ·910M.

Tous les nombres réels n’admettent de représentation exacte :

√2 est représenté par 0.14142143×10+1

π est représenté par 0.314…×10+1

Toute opération élémentaire (+,∗, /) est en général entachée d’une erreur.

Une opération peut avoir un résultat non représentable :

Si pour le résultat q > M (OVERFLOW ou dépassement de capacité.)

Si pour le résultat q < −M (UNDERFLOW).

La représentation flottante d’un nombre peut être obtenue à partir de sa représentation décimale par

– la troncature (on garde les t premiers décimaux)

– l’arrondi : le tième chiffre de la mantisse est choisi au plus près.

MANIPULATION

Supposons par exemple que les réels soient calculées avec 3 chiffres significatifs et arrondis à la décimale

la plus proche. Soit à calculer la somme x+y+z avec x = 8,22, y= 0,00317, z= 0,00432.

12

Systèmes linéaires Soit à résoudre un système linéaire de n équations à m inconnues, ceci consiste à trouver m nombres,

réels ou complexes, x1, · · · , xm, tels que :

a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = b2

...

. . .

...

an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = bn

Ce système peut être réduit en une écriture matricielle AX = b. Les aij sont les coefficients, composantes de

la matrice A alors que les bj sont les composantes du vecteur second membre b. (les aij et les bj à ou C. Les méthodes permettant de résoudre ce type de systèmes (m=n) sont de trois catégories :

Pour n3, par substitution ou la méthode de CRAMER.

Méthodes dites directes, comme de GAUSS ou GAUSS-JORDAN

Méthodes dites itératives, comme celle de GAUSS-SEIDEL, RELAXATION, LU, CHOLESKI.

Mathématicien

Gabriel CRAMER

1704-1752

Mathématicien

Carl Friedrich Gauss

1777–1855

Mathématicien

Philipp Ludwig von Seidel

1821–1896

Mathématicien

Camille Jordan

1838–1922

Mathématicien, Topographe

André Louis CHOLESKY

1875-1918

13

Systèmes linéaires (Méthode directe) Soit à résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues, ceci consiste à trouver n nombres, réels

ou complexes, x1, · · · , xn, tels que :

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

. . .

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

La méthode de Gauss consiste à déterminer une matrice P telle que le système équivalent PAX = Pb soit

triangulaire supérieure et donc simple à résoudre. La résolution d’un système triangulaire supérieure est

aisée par la procédure de remontée.

Algorithme de l’élimination de GAUSS AX=b

Pour k=1 jusqu’à n-1

Pivot akk Si pivot0 Alors

Pour i=k+1 jusqu’à n faire

bibi – (aik/pivot)*bk Pour j=k+1 jusqu’à n faire

aijaij – (aik/pivot)*akj Fin j

Fin i

Sinon ‘Problème’

Fin k

Algorithme de la remontée UY=f

U Triangulaire supérieure

Pour i=n à 1 pas de -1 faire

s=fi pour j=i+1 à n faire

s=s-uij*yj fin j

yi=s/uii fin i

14

Systèmes linéaires Soit le programme équivalent en FORTRAN 95

PROGRAM Gauss

! Solution d’un system de N équations linéaires

! Forme matricielle A.X = B

! Déclaration des variables utilisées.

PARAMETER (IN=20)

REAL*8:: A(IN,IN), X(IN), B(IN), F, SUM1

INTEGER:: K, I, J, N, IN

! Lecture et saisie des coefficients de A et de C

PRINT *, "Introduire le nombre d‘équations (N):"

READ (5,*) N

PRINT *,"Introduire les coefficients de la matrice [A(I,J)]:"

READ (5,*) ((A(I,J),J=1,N),I=1,N)

PRINT *,"Introduire les composantes du vecteur [B(I)]:"

READ (5,*) (B(I),I=1,N)

! Décomposition (Elimination)

DO K = 1, N-1

DO I = K+1, N

F = A(I,K)/A(K,K) 15

Systèmes linéaires DO J = K+1, N

A(I,J) = A(I,J) - F * A(K,J)

ENDDO

B(I) = B(I) - F * B(K)

ENDDO

ENDDO

! Remontée

X(N) = B(N) / A(N,N)

DO I = N-1, 1, -1

SUM1 = 0.0

DO J = I+1, N

SUM1 = SUM1 + A(I,J) * X(J)

ENDDO

X(I) = (B(I) - SUM1)/A(I,I)

ENDDO

! Impression des résultats

PRINT *,"Solution du problème AX=B"

WRITE (6,*) ("X(",I,")=",X(I),I=1,N)

STOP

END PROGRAM Gauss 16

Systèmes linéaires La manipulation sous OCTAVE (mode commande en ligne)

octave:##> A=[1 1;2 -3]

octave:##> b=[3 5]‘ %l’apostrophe-transposé

octave:##> inv(A)*b

ans =

2.8000

0.2000

octave:##>> A*ans %Pour vérifier

ans =

3.0000

5.0000

octave:##> A\b %L’antislash

ans =

2.8000

0.2000

La condition nécessaire pour que le système ait une solution est que le déterminant soit différent de zéro.

Vérifier avec : A=[1 1 1; 2 0 3; 3 1 4] et b = [ 2 5 6]T

A=[1 1; 1 1.01]; b=[2; 2.01]; (On changera A(1,2)=1.005;)

On utilisera les fonctions det, rank, pinv et cond, Discuter.

Exécution du

programme Gauss

17

Systèmes linéaires La manipulation sous OCTAVE (mode commande en ligne)

>> A=[1 1 1; 2 0 3; 3 1 4]

A =

1 1 1

2 0 3

3 1 4

>> det(A)

ans = 5.5511e-016

>>rank(A)

ans = 2

>> A=[1 1; 1 1.01]

A =

1.0000 1.0000

1.0000 1.0100

>> b=[2; 2.01]

b =

2.0000

2.0100

>> cond(A)

ans = 402.01

La condition nécessaire pour que le système ait une solution est que le déterminant

soit différent de zéro. Vérifier avec :

A=[1 1 1; 2 0 3; 3 1 4] et b = [ 2 5 6]T

A=[1 1; 1 1.01]; b=[2; 2.01]; (On changera A(1,2)=1.005;)

On utilisera les fonctions det, rank, pinv et cond, Discuter.

18

Systèmes linéaires La manipulation sous OCTAVE (mode commande en ligne)

>> A=[1 1 1; 2 0 3; 3 1 4]

A =

1 1 1

2 0 3

3 1 4

>> b = [2 5 6]'

b =

2

5

6

>> x=pinv(A)*b

x =

0.69048

-0.11905

1.09524

>> x=inv(A)*b

warning: matrix singular to machine precision, rcond = 1.15648e-017

x =

-5.4043e+015

1.8014e+015

3.6029e+015

>> rank(A)

ans = 2

La condition nécessaire pour que le système ait une solution est que le déterminant

soit différent de zéro, vérifier avec :

A=[1 1 1; 2 0 3; 3 1 4] et b = [ 2 5 6]T

A=[1 1; 1 1.01]; b=[2; 2.01]; (On changera A(1,2)=1.005;)

On utilisera les fonctions

det calcul du déterminant

rank Rang de la matrice

pinv Pseudo-Inversion de la matrice

cond conditionner une matrice.

19

Systèmes linéaires (Organigramme de Gauss) La méthode de Gauss est généralement dite méthode d’élimination. Son organigramme est le suivant :

20

Systèmes linéaires (Méthode directe) Soit à résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues, ceci consiste à trouver n nombres, réels

ou complexes, x1, · · · , xn, tels que :

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

. . .

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

La méthode de Gauss-Jordan se base sur deux transformations, une réduction suivie par une

normalisation. Ce qui consiste transformer le système AX = b en UY=F, F est triangulaire supérieure.

Pour k allant de 1 à n

Si existe une ligne ik telle que (aik)k-10 :

échanger cette ligne i et la ligne k (li lk)

Pour i allant de 1 à n et ik

Sinon A n'est pas inversible, abandonner (on sait ici que le rang de

la matrice est k − 1).

Après l'étape k de l'algorithme, la colonne k a tous ces coefficients

nuls sauf un : celui de la diagonale, qui vaut 1.

1

1

1

k

kk

kk

k

k la

l

k

k

k

ik

k

i

k

i lall 11

21

Systèmes linéaires (Programme Gauss-Jordan F95-F90) program gauss_Jordan

integer::i,j,n,k

real::pivot,s

real,allocatable::a(:,:)

real,allocatable::b(:)

! Lecture et saisie des coefficients de A et de C

PRINT *, "Introduire le nombre d'equations (N):"

READ (5,*) N

allocate(A(N,N),B(N))

PRINT *,"Introduire les coefficients de la matrice

[A(I,J)]:"

READ (5,*) ((A(I,J),J=1,N),I=1,N)

PRINT *,"Introduire les composantes du vecteur

[B(I)]:"

READ (5,*) (B(I),I=1,N)

do k=1,N,1

do i=1,n,1

if (k==i) then

pivot=a(i,k)

do j=k,n,1

a(i,j)=(a(i,j))/(pivot)

end do

b(k)=(b(k))/(pivot)

else

pivot=a(i,k)

do j=k,n,1

a(i,j)=a(i,j)-pivot*a(k,j)

end do

b(i)=b(i)-pivot*b(k)

end if

end do

end do

!calcul de la solution

do i=n,1,-1

do j=i-1,1,-1

s=a(j,i)

do k=j,n,1

a(j,k)=a(j,k)-s*a(i,k)

end do

b(j)=b(j)-s*b(i)

end do

end do

do i=1,n,1

write(*,*) "x)",i,")=",b(i)

end do

write(*,*)« Matrice identité"

write(*,*) a

end program gauss_Jordan 22

Systèmes linéaires (Programme Gauss-Jordan F95-F90) Pour le problème suivant :

x1 – x2 + 2x3 = 5

3x1 + 2x2 + x3 = 10

2x1 - 3x2 - 2x3 = -10

Et dont la solution est :

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

Pour le problème suivant :

2x1 + x2 - x3 = 8

-3x1 - x2 + 2x3 = -11

-2x1 + x2 + 2x3 = -3

Et dont la solution est :

x1 = 2

x2 = 3

x3 = -1

23

Systèmes linéaires (Programme Gauss-Jordan F95-F90) Pour le problème suivant :

x1 – x2 + 2x3 = 5

3x1 + 2x2 + x3 = 10

2x1 - 3x2 - 2x3 = -10

Et dont la solution est :

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

Pour le problème suivant :

2x1 + x2 - x3 = 8

-3x1 - x2 + 2x3 = -11

-2x1 + x2 + 2x3 = -3

Et dont la solution est :

x1 = 2

x2 = 3

x3 = -1

Sous Octave

Sous CodeBlock

>> a=[2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2]

a =

2 1 -1

-3 -1 2

-2 1 2

>> x = mldivide(a,b)

x =

2.00000

3.00000

-1.00000 24

Systèmes linéaires (Organigramme Gauss-Jordan)

25

Systèmes linéaires (Méthodes itératives) Soit à résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues, ceci consiste à trouver n nombres, réels

ou complexes, x1, · · · , xn, tels que :

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

. . .

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

Beaucoup de méthodes dont la stratégie est de commencer par un vecteur estimé initial et ainsi faire des

traitements du système à cette base (estimé initial X0) pour en déduire la solution rechechée.

(b1 - a12x2 + · · · + a1nxn)/a11 = x1

(b2 - a21x1 + · · · + a2nxn)/a22 = x2

. . .

(bn - an1x1 + an2x2 + · · · + ann-1xn-1)/ann = xn

Ou

(b1 - {j; j[1,n]/j1}a1jxj)/a11 = x1

(b2 - {j; j[1,n]/j2}a2jxj)/a22 = x2

. . .

(bn - {j; j[1,n]/jn}anjxj)/ann = xn

La formule résumée est donnée par

(bi - {j; j[1,n]/ji}aijxj)/ai,i = xi 26

Systèmes linéaires (Méthodes itératives- méthode Gauss-Seidel) Donc pour un estimé initial à k=0 donc X0=(x0

1, · · · , x0n)

T, nous avons :

(bi - {j; j[1,n]/ji}aijx(k)

j)/ai,i = xi (k+1)

Pour k, nous pouvons espérer satisfaire les transformations successives qui améliorerons la recherche

du vecteur solution X(k) en dépendance de valeurs précédentes du vecteur estimé X(k-1).

L’algorithme global de la méthode est donné dans l’encadré suivant.

La condition d’arrêt du phénomène de transformation est définie par :

|X(k) – X(k-1)|11 ou |(X(k) – X(k-1))/X(k)|21 avec 1 et 2 des valeurs réelles petites.

1: Début

2: Lecture de la matrice des coefficients A et du vecteur second membre b

3: Lecture de Eps1

4: Proposition de l’estimé initial X0

5: k=0

6: Sauvegarde de Xs=X(k)

7: Pour i=1 jusqu’à n

(bi - {j; j[1,n]/ji}aijx(k)

j)/ai,i = xi(k+1)

8: Fin de pour

9: xmax=max{|X(k+1)-X(k)|}

10: Si xmax1 alors Impression de X(k+1); Arrêt

11: Sinon aller à (7) 27

Systèmes linéaires (Méthodes itératives- méthode Gauss-Seidel) Donc pour un estimé initial à k=0 donc X0=(x0

1, · · · , x0n)

T, nous avons :

(bi - {j; j[1,n]/ji}aijx(k)

j)/ai,i = xi (k+1)

Pour k, nous pouvons espérer satisfaire les transformations successives qui améliorerons la recherche

du vecteur solution X(k) en dépendance de valeurs précédentes du vecteur estimé X(k-1).

L’algorithme global de la méthode est l’encadré suivant.

La condition d’arrêt du phénomène de transformation est définie par :

|X(k) – X(k-1)|11 ou |(X(k) – X(k-1))/X(k)|21 avec 1 et 2 des valeurs réelles petites.

Program Gseidel

parameter(ITERMAX=500) ! Nombre maximal des itérations

Integer:: N, Iter, i, j, Sol

Real,allocatable:: A(:,:)

Real,allocatable:: X(:), B(:)

Real Xs, Dmax, Eps

! Lecture et saisie des coefficients de A et de C

PRINT *, "Introduire le nombre d‘équations (N):"

READ (*,*) N

allocate(A(N,N),B(N),X(N))

PRINT *,"Introduire les coefficients de la matrice [A(I,J)]:"

READ (*,*) ((A(I,J),J=1,N),I=1,N) 28

Systèmes linéaires (Méthodes itératives- méthode Gauss-Seidel)

PRINT *,"Introduire les composantes du vecteur [B(I)]:"

READ (*,*) (B(I),I=1,N)

! Saisie de l’estimé initial

PRINT *,"Introduire le vecteur estime initial [X(0)]:"

READ (*,*) (X(I),I=1,N)

PRINT *,"Introduire la valeur du Epsilon"

READ (*,*) Eps

! Initialisation des itérations

Iter=0

Dmax=0.

Sol=2

do while (Sol == 2)

Do i=1,N

Xs = X(i)

S=0

Do j=1,N

If (j /= i) then

S = S + A(i,j)*X(j)

End if

End do

X(i) = (B(i)-S)/A(i,i)

Xs = ABS(X(i) - Xs)

… Suite

29

Systèmes linéaires (Méthodes itératives- méthode Gauss-Seidel)

! Test sur la valeur de l’écart par rapport à Dmax

If (Xs > Dmax) then

Dmax = Xs

End if

End do

If (Dmax > Eps) then

Iter=Iter + 1

If (Iter>ITERMAX) Then

Sol=-1

End if

Else

! Le calcul converge, solution existe

PRINT *, "Vecteur solution X est donne par :"

Do i=1,N

Print *,"X(",i,") = ",X(i)

End do

Sol=0

End if

End do

End program GSeidel

Soit l’exemple suivant avec X(0)=0

4x1 + x2 - x3 = 3

2x1 + 7 x2 + x3 = 19

x1 - 3 x2 +12 x3 = 31

… Suite

30

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle)

Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition

faite de m équations non-linéaires :

f1(X) = 1(X)

f2(X) = 2(X)

….

fm(X) = m(X)

où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1, 2, … ,n sont les m fonctions du second

membre, elles même dépendantes de X. Géométriquement, les m équations représentent les m courbes (α, β, …) en intersection dans un référentiel R n.

Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en

linéarisant (cas de systèmes linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie (situation ou

état du système), on obtient un système linéaire qui correspond à une approximation grossière du système

non linéaire d’origine. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode (1905-1982) à la fin de

la IIème guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988) surtout

de R.Kalman (1930) ont conduit, nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à

partir des années 1960. Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement par rapport à ses

composantes intrinsèques.

Bode Bellman Kalman Pontryagin

31

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) PRINCIPE DE LA LINEARITE DES SYSTEMES

Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)

alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).

Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t)

et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la

réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].

Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON linéaire,

en régime nominal (en fonctionnement normal et sans

excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas une

droite. Un système SNL est continu, par opposition à un SNL

dit discret, lorsque les variations de ses composantes sont

continûment observable dans le cadre de son domaine de

définition δ.

Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques

sont insensibles aux changements du temps.

selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes

réactions indépendamment du temps.

La forme d’équation donnée par :

f(X) = C

Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire

vérifiant les condition de superposition et de proportionnalité.

L'équation est dite homogène si C=0.

Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X

peut être toute composante du système sensible

mathématiquement (nombre, vecteur, fonction, … etc.), et

l’expression de f(X) peut avoir littéralement beaucoup de

formes, une forme récurrente, l'intégrale ou différentielle avec

association de contraintes (telles que les valeurs

initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport

à X, le résultat sera une équation différentielle.

Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire

donnée par

a.x3+b.x-3=0

Une équation non linéaire itérative est toujours la

résultante d’une écriture de type :

u(k+1) = g(u(k))

Une équation différentielle, quant à elle est donnée

par :

du/dx=-A*u3.

32

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) Modélisation d’un système d’équation non-linéaires

Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk (tel que k[1, n]) définit dans un

domaine D résultant de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.

On définit par :

F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C

est l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on

parle de problème non linéaire contraint.

Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.

Par la méthode de Newton-Raphson (NR), nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) peut être explicitée par

son développement limité au sens Taylor et dont la forme est :

F(X0+DX0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0) D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite NABLA F, Gradient du

système de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor,

regroupe les dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à (l’infini).

Si l’estimation est justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n.

De ce fait on garde seulement la partie;

F(X0+X0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0) 0 Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons

F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0 0 [F(X)X=Xo].X0 - F(X0)

Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0 - F(X0) d’où X0 - [J(X0)]-1.F(X0) et X = X0+X0.

33

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) Formalisation

Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :

f(x) = 0 f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’(x0) .h, avec h=(x-x0).

x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’

Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première

approximation de la solution, alors, par récurrence h est

recalculer de manière à corriger (par une quantité h f(x0)/(f(x0))’)

pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.

De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice

Jacobéenne du système.

X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1.F(X0)])

La formule de récurence donne les estimés successifs;

Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)])

Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est

assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).

ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le

déterminant de

de J est Jacobéen (|J(X)|). 34

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) Problème type :

Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en faveur de ses

clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules

(antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations optimales de

localisation. La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur

activités. La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités

contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une

manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question.

Formalisation D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai de l’antenne

principale ap(au nombre de m composantes)

xi ,yi : étant les coordonnées du point ai d’une antenne. La distance est donnée par :

dij = ([(xj-xi)2+(yj-yi)

2]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j

S=dij2 : Somme des distances à minimiser représente la fonction à optimiser.

Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)

Représentation graphique du problème de la

localisation optimale des antennes.

Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.

35

Processus de convergence des valeurs

de x vers la solution x*

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) Problème type :

Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en faveur de ses

clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules

(antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations optimales de

localisation. La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur

activités. La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités

contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une

manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question.

36

L’algorithme NR est donné par :

1. Demander X0,

2. Mettre k=0

3. Répéter

4. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)

5. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer

a) Xk=Xk+1

b) Xk+1 = Xk +(- [J(Xk)]-1.F(Xk)])

6. Tant que Xk≥

7. Afficher Xk+1

La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple

d’utilisation et efficace numériquement. Beaucoup de variantes existent

(Fletcher-Powell, Bellman, …)

Isaac NEWTON

(1642 −1727)

Joseph Raphson

(1648-1715)

Processus de convergence des valeurs

de x vers la solution x*

program NR

! Déclaration

real, parameter::error =1e-4

integer::k

real::xo,x1,f,fd

! Debut du traitement

read*,xo

k=1

10 x1=xo-(f(xo)/fd(xo))

if (abs((x1-xo)/x1)<error)then

print*,"racine est égale a ", x1 , " obtenue en iteration=", k

else

xo=x1

k=k+1

goto 10

endif

End program NR

real function f(x)

real::x

f = x**3-x-1

End

real function fd(x)

real::x

fd = 3*x**2-1

End

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) Cas de fonction à une variable :

Soit la fonction :

f(x)= x3-x-1 Il est nécessaire de décider sur le sort de

la valeur initiale afin de déterminer la

racine. L’illustration graphique peut dans

ce cas simple aider. On note que

f(1)=−1<0 alors que f(2)=5>0. Cependant,

la racine pour f(x)=0 doit existée dans

l’intervalle [1, 2].

Si on prend x0=1 en tant que valeur initial.

Nous pouvant déterminer la solution en

utilisant la méthode NR.

Selon la méthode NR, nous détermineront

que la racine de f est 1.324718 à 6

décimales.

37

Valeur initiale x0

program NR

real, parameter::error =1e-4

integer::k

real::xo,x1,f,fd

read*,xo

k=1

10 x1=xo-(f(xo)/fd(xo))

if (abs((x1-xo)/x1)<error)then

print*,“La racine est égale a “

print*, x1

print*, " obtenue en iteration=", k

else

xo=x1

print*,“Estime suivant “, x1, “ iteration=", k

k=k+1

goto 10

endif

End program NR

real function f(x)

real::x

f = x**3-x-1

End

real function fd(x)

real::x

fd = 3*x**2-1

End

Systèmes non-linéaires (Méthode variationnelle) Cas de fonction à une variable :

Soit la fonction :

f(x)= x3-x-1 Il est nécessaire de décider sur le sort de

la valeur initiale afin de déterminer la

racine. L’illustration graphique peut dans

ce cas simple aider. On note que

f(1)=−1<0 alors que f(2)=5>0. Cependant,

la racine pour f(x)=0 doit existée dans

l’intervalle [1, 2].

Si on prend, maintenant x0=4 en tant que

valeur initial. Nous pouvant déterminer la

solution en utilisant la méthode NR.

Nous aurons 1.324718 comme racine de f.

Valeur initiale x0

38

Interpolation & approximation (Statistique, Lissage, Extrapolation) Interpolation des fonctions :

39

MERCI POUR VOTRE ATTENTION

Fin du douzième chapitre

A suivre …

40

Références L.-V. Bertallanfy, ‘General System Theory’, Edition MASSON, 1972.

41