3. REVISORES TCNICOS MXICO Jos de Jess ngel ngel Universidad
Anhuac Norte Miguel ngel Arredondo Morales Universidad
Iberoamericana Len Vctor Armando Bustos Peter Instituto Tecnolgico
y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca Aureliano
Castro Castro Universidad Autnoma de Sinaloa Javier Franco Chacn
Tecnolgico de Monterrey, Campus Chihuahua Sergio Fuentes Martnez
Universidad Anhuac Mxico Norte Enrique Gonzlez Acosta Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora
Norte Miguel ngel Lpez Mario Instituto Tecnolgico y de Estudios
Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz Eleazar Luna
Barraza Universidad Autnoma de Sinaloa Toms Narciso Ocampo Paz
Instituto Tecnolgico de Toluca Velia Prez Gonzlez Universidad
Autnoma de Chihuahua Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y
de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo Hctor Selley
Universidad Anhuac Norte Jorge Alberto Torres Guilln Universidad de
Guadalajara Enrique Zamora Gallardo Universidad Anhuac Norte
COLOMBIA Petr Zhevandrov Universidad de La Sabana Jorge Augusto
Prez Alczar Universidad EAN Liliana Barreto Arciniegas Pontificia
Universidad Javeriana Gustavo de J. Castaeda Ramrez Universidad
EAFIT Jairo Villegas G. Universidad EAFIT PER Carlos Enrique
Peralta Santa Cruz Universidad Continental de Ciencias e Ingeniera
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4. Clculo 2 de varias variables Novena edicin Ron Larson The
Pennsylvania State University The Behrend College Bruce H. Edwards
University of Florida Revisin tcnica Marlene Aguilar Abalo
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus
Ciudad de Mxico Jos Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana
Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnolgico de Toluca Linda M. Medina
Herrera Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Ciudad de Mxico MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA
MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN
MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY
TORONTO 0-Prelim L2.indd iii0-Prelim L2.indd iii 1/12/09
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5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial:
Marcela I. Rocha Martnez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado
Rodrguez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin:
Joel Ibarra Escutia, ngel Hernndez Fernndez, Gabriel Nagore Czares,
Sergio Antonio Durn Reyes CLCULO 2 DE VARIAS VARIABLES Novena
edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por
cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor. DERECHOS
RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of
The McGraw-Hill Companies, Inc. Edicio Punta Santa Fe Prolongacin
Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo
Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de
la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736
ISBN 978-970-10-7134-2 Traducido de la novena edicin de: Calculus.
Copyright 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All
rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2 TI es una marca
registrada de Texas Instruments, Inc. Mathematica es una marca
registrada de Wolfram Research, Inc. Maple es una marca registrada
de Waterloo Maple, Inc. 1234567890 109876543210 Impreso en China
Printed in China 0-Prelim L2.indd iv0-Prelim L2.indd iv 1/12/09
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6. ontenidoC v Unas palabras de los autores ix Agradecimientos
x Caractersticas xii CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y
coordenadas polares 695 10.1 Cnicas y clculo 696 10.2 Curvas planas
y ecuaciones paramtricas 711 PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 720
10.3 Ecuaciones paramtricas y clculo 721 10.4 Coordenadas polares y
grficas polares 731 PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamrfico 740 10.5
rea y longitud de arco en coordenadas polares 741 10.6 Ecuaciones
polares de las cnicas y leyes de Kepler 750 Ejercicios de repaso
758 SP Solucin de problemas 761 CAPTULO 11 Vectores y la geometra
del espacio 763 11.1 Vectores en el plano 764 11.2 Coordenadas y
vectores en el espacio 775 11.3 El producto escalar de dos vectores
783 11.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 792
11.5 Rectas y planos en el espacio 800 PROYECTO DE TRABAJO:
Distancias en el espacio 811 11.6 Superficies en el espacio 812
11.7 Coordenadas cilndricas y esfricas 822 Ejercicios de repaso 829
SP Solucin de problemas 831 CAPTULO 12 Funciones vectoriales 833
12.1 Funciones vectoriales 834 PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi
841 12.2 Derivacin e integracin de funciones vectoriales 842 12.3
Velocidad y aceleracin 850 12.4 Vectores tangentes y vectores
normales 859 12.5 Longitud de arco y curvatura 869 Ejercicios de
repaso 881 SP Solucin de problemas 883 0-Prelim L2.indd v0-Prelim
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7. vi Contenido CAPTULO 13 Funciones de varias variables 885
13.1 Introduccin a las funciones de varias variables 886 13.2
Lmites y continuidad 898 13.3 Derivadas parciales 908 PROYECTO DE
TRABAJO: Franjas de Moir 917 13.4 Diferenciales 918 13.5 Regla de
la cadena para funciones de varias variables 925 13.6 Derivadas
direccionales y gradientes 933 13.7 Planos tangentes y rectas
normales 945 PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 953 13.8 Extremos
de funciones de dos variables 954 13.9 Aplicaciones de los extremos
de funciones de dos variables 962 PROYECTO DE TRABAJO: Construccin
de un oleoducto 969 13.10 Multiplicadores de Lagrange 970
Ejercicios de repaso 978 SP Solucin de problemas 981 CAPTULO 14
Integracin mltiple 983 14.1 Integrales iteradas y rea en el plano
984 14.2 Integrales dobles y volumen 992 14.3 Cambio de variables:
coordenadas polares 1004 14.4 Centro de masa y momentos de inercia
1012 PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presin sobre una vela 1019 14.5
rea de una superficie 1020 PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 1026
14.6 Integrales triples y aplicaciones 1027 14.7 Integrales triples
en coordenadas cilndricas y esfricas 1038 PROYECTO DE TRABAJO:
Esferas deformadas 1044 14.8 Cambio de variables: jacobianos 1045
Ejercicios de repaso 1052 SP Solucin de problemas 1055 CAPTULO 15
Anlisis vectorial 1057 15.1 Campos vectoriales 1058 15.2 Integrales
de lnea 1069 15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia
de la trayectoria 1083 15.4 Teorema de Green 1093 PROYECTO DE
TRABAJO: Funciones hiperblicas y trigonomtricas 1101 15.5
Superficies paramtricas 1102 15.6 Integrales de superficie 1112
PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 1123 15.7 Teorema de
la divergencia 1124 0-Prelim L2.indd vi0-Prelim L2.indd vi 1/12/09
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8. Contenido vii 15.8 Teorema de Stokes 1132 Ejercicios de
repaso 1138 PROYECTO DE TRABAJO: El planmetro 1140 SP Solucin de
problemas 1141 Apndice A Demostracin de teoremas seleccionados A-2
Apndice B Tablas de integracin A-4 Soluciones de los ejercicios
impares A-9 ndice analtico I-57 0-Prelim L2.indd vii0-Prelim
L2.indd vii 1/12/09 18:04:221/12/09 18:04:22
9. ix Bienvenido a la novena edicin de Clculo! Nos enorgullece
ofrecerle una nueva versin revisada de nuestro libro de texto.
Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edicin hace ms de
35 aos. En cada edicin los hemos escuchado a ustedes, esto es,
nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias
para mejorar el libro. A lo largo de los aos, nuestro objetivo ha
sido siempre escribir con precisin y de manera legible conceptos
fundamentales del clculo, claramente definidos y demostrados. Al
escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer
caractersticas y materiales que desarrollen las habilidades de
todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos
enfocamos en proporcionar un instrumento de enseanza amplio que
emplea tcnicas pe- daggicas probadas, y les damos libertad para que
usen en forma ms eficiente el tiempo en el saln de clase. Tambin
hemos agregado en esta edicin una nueva caracterstica denominada
ejercicios Para discusin. Estos problemas conceptuales sintetizan
los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor
comprensin de cada uno de los conceptos de seccin. Los ejercicios
Para discusin son excelentes para esa actividad en el saln de clase
o en la preparacin de exmenes, y a los profesores puede resultarles
valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la seccin.
stas y otras nuevas caractersticas se unen a nuestra pedagoga pro-
bada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y
profesores hacer el mejor uso del libro. Esperamos que disfrute la
novena edicin de Clculo. Como siempre, sern bienveni- dos los
comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra. Ron
Larson Bruce H. Edwards nas palabras de los autoresU 0-Prelim
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10. Nos gustara dar las gracias a muchas personas que nos
ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los ltimos
35 aos. Su estmulo, crticas y sugerencias han sido in- valuables.
Revisores de la novena edicin Ray Cannon, Baylor University Sadeq
Elbaneh, Buffalo State College J. Fasteen, Portland State
University Audrey Gillant, Binghamton University Sudhir Goel,
Valdosta State University Marcia Kemen, Wentworth Institute of
Technology Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical
University Jean-Baptiste Meilhan, University of California
Riverside Catherine Moushon, Elgin Community College Charles Odion,
Houston Community College Greg Oman, The Ohio State University
Dennis Pence, Western Michigan University Jonathan Prewett,
University of Wyoming Lori Dunlop Pyle, University of Central
Florida Aaron Robertson, Colgate University Matthew D. Sosa, The
Pennsylvania State University William T. Trotter, Georgia Institute
of Technology Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University Jay
Wiestling, Palomar College Jianping Zhu, University of Texas at
Arlington Miembros del Comit de Asesores de la novena edicin Jim
Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern
Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas,
Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr.
Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia
Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech
University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia
Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus;
Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of
Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central
Florida Revisores de ediciones anteriores Stan Adamski, Owens
Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G.
Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State
University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A.
Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia
Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College;
Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow,
Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins
University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; gradecimientosA x
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11. Agradecimientos xi Jim Dotzler, Nassau Community College;
Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna
Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of
La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University;Arek Goetz, San
Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County
Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar
Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University;
Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque
Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina;
Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Nara- yan, Rochester
Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY;
Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed
College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger,
Monroe Community College; Edith A. Silver, Mer- cer County
Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community
College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong
Su, University of Texas at Arling- ton; Patrick Ward, Illinois
Central College; Diane Zych, Erie Community College Muchas gracias
a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania
State University, y a David Heyd, de la misma institucin, por sus
importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto.
Una nota especial de agradecimiento a los profesores que
respondieron nuestra encues- ta y a los ms de dos millones de
estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra.
Tambin quisiramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que
apoy en la preparacin del manuscrito, realiz el diseo editorial,
levant la tipografa y ley las prue- bas de las pginas y suplementos
en la edicin en ingls. En el mbito personal, estamos agradecidos
con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por
su amor, paciencia y apoyo. Adems, una nota especial de gratitud
para R. Scott ONeil. Si usted tiene sugerencias para mejorar este
texto, por favor sintanse con la libertad de escribirnos. A lo
largo de los aos hemos recibido muchos comentarios tiles tanto de
los profesores como de los estudiantes, y los valoramos
sobremanera. Ron Larson Bruce H. Edwards 0-Prelim L2.indd
xi0-Prelim L2.indd xi 1/12/09 18:04:221/12/09 18:04:22
12. aractersticasC NUEVO! Los ejercicios para discusin que
aparecen ahora en cada seccin sintetizan los conceptos principales
de cada una y muestran a los estudiantes cmo se relacionan los
temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que
contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden
utilizarse en discusiones de clase o en la preparacin de exmenes.
PARA DISCUSIN Los ejercicios de desarrollo de conceptos son
preguntas diseadas para evaluar la comprensin de los estudian- tes
en torno a los conceptos bsicos de cada seccin. Estos ejercicios
animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que
promueve habilidades de comunicacin tcnica que sern invaluables en
sus futuras carreras. Herramientas pedaggicas 72. Utilizar la
grfica para responder a las siguientes pre- guntas. a) Entre qu par
de puntos consecutivos es mayor la razn de cambio promedio de la
funcin? b) La razn de cambio promedio de entre A y B es mayor o
menor que el la razn de cambio instantneo en B? c) Trazar una recta
tangente a la grca entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual
a la razn de cambio promedio de la funcin entre C y D. x f CC AA BB
ED E y Para discusin DESARROLLO DE CONCEPTOS x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
(1, 5) (5, 1) y x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 (1, 5) (5, 1) y Desarrollo de
conceptos 11. Considerar la longitud de la grca de f(x) 5/x, desde
(1, 5) hasta (5, 1): a) Estimar la longitud de la curva mediante el
clculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la
primera gura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo
de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra
en la segunda gura. c) Describir cmo se podra continuar con este
proceso a n de obtener una aproximacin ms exacta de la longitud de
la curva. Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican
casos especiales que pueden provocar confusin, y amplan a conceptos
importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes informacin
puntual, similar a los comentarios del profesor en clase. AYUDA DE
ESTUDIO Cuando se use la definicin para encontrar la derivada de
una funcin, la clave consiste en volver a expresar el cociente
incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no
aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3
tam- bin se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena,
si se observa que y x6 3x4 3x2 1 AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta
que se puede comprobar la respuesta de un problema de integracin al
derivar la C l j l 7 A lo largo del texto, se trabajan ejemplos
paso a paso, que muestran los procedimientos y tcnicas para
resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensin amplia
de los conceptos del clculo. xii EJEMPLOS EJEMPLO 1 Levantamiento
de un objeto Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto
de 50 libras a 4 pies. Solucin La magnitud de la fuerza requerida F
es el peso del objeto, como se muestra en la gura 7.48. As, el
trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es Trabajo
(fuerza)(distancia). Fuerza 50 libras, distancia 4 pies.
libras-pies.200 50 4 W FD AYUDAS DE ESTUDIO 0-Prelim L2.indd
xii0-Prelim L2.indd xii 1/12/09 18:04:221/12/09 18:04:22
13. Caractersticas xiii La prctica hace al maestro. Los
ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los
estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho
tiempo analizndolos y revisndolos; el resultado es un completo y
slido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de
dificultad al final de cada seccin para considerar todos los
estilos de aprendizaje de los estudiantes. EJERCICIOS En los
ejercicios 13 a 22, formular una integral denida que pro- duce el
rea de la regin. (No evaluar la integral.) 13. 14. 15. 16. En los
ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el
lmite lm n n i 1 f ci xi sobre la regin delimitada por las grcas de
las ecuaciones. 1. 2. En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral
denida mediante la denicin de lmite. 3. 4. 5. 6. 7. 8. (Sugerencia:
Sea ) (Sugerencia: Sea )ci i3 n3 . x 1x 0,y 0,f x 3 x, ci 3i2 n2 .
x 3x 0,y 0,f x x, 8 6 4 2 y 4 3 2 1 y f x x2f x 4 x Ejercicios4.3 2
1 x2 1 dx 1 1 x3 dx 6 2 8 dx 1 2 2x2 3 dx 4 1 4x2 dx 3 2 x dx 1 2 3
4 512 1 2 3 4 5 6 x y x 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 y f x 6 3xf x 5 63.
Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo- nes
durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima
medianteelmodelo V 0.1729t 0.1522t2 0.0374t3 donde t es el tiempo
en segundos.Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones
durante un ciclo. 64. Promedio de ventas Una compaa ajusta un
modelo a los datos de ventas mensuales de un producto de temporada.
El modelo es 0 t 24S t t 4 1.8 0.5 sen t 6 , donde S son las ventas
(en miles) y t es el tiempo en meses. a) Utilizar una herramienta
de graficacin para representar (t) 0.5 sen( t 6) para 0 t 24.
Emplear la grfica para explicar por qu el valor medio de (t) es
cero sobre el intervalo. b) Recurrir a una herramienta de
graficacin para representar S(t) y la recta g(t) t 4 1.8 en la
misma ventana de observacin. Utilizar la grfica y el resultado del
apartado a) para explicar por qu g recibe el nombre recta de ten-
dencia. 65. Modelado matemtico Se prueba un vehculo experimental en
unapistarecta.Partedelreposoysuvelocidadv(metrosporsegun- do) se
registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto. t 0 10 20
30 40 50 60 v 0 5 21 40 62 78 83 a) Emplear una herramienta de
graficacin para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d
para los datos. Cundo usar esto?, los autores tratan de responder
esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se
seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de
diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias
industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses.
Entender dnde se usa (o puede usarse) el clculo fomenta una
comprensin ms completa del material. APLICACIONES Los ejercicios de
repaso ubicados al final de cada captulo proporcionan a los
estudiantes ms oportunidades para practicar. Estos conjuntos de
ejercicios constituyen una revisin completa de los conceptos del
captulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen
un examen. 318 CAPTULO 4 Integracin En los ejercicios 1 y 2,
utilizar la grca de f para dibujar una grca de . 1. 2. En los
ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indenida. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6x
cuya grca pasa por el punto (1, 2). 10. Encontrar la solucin
particular de la ecuacin diferencial (x) 6(x 1) cuya grca pasa por
el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.
Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuacin
diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos
soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial en el campo de
pendiente, una de las cuales pase a travs del punto indicado. b)
Utilizar la integracin para encontrar la solucin particular de la
ecuacin diferencial y utilizar una herramienta de gracacin para
representar la solucin. 11. 12. x f y x f y una distancia de 264
pies. Encontrar la distancia en la cual el automvil puede llegar al
reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo
la misma desaceleracin constante. 15. Velocidad y aceleracin Se
lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del
suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. a) Cunto
tardar la pelota en alcanzar su altura mxima? Cul es la altura
mxima? b) Cundo la velocidad de la pelota es la mitad de la
velocidad inicial? c) A qu altura est la pelota cuando su velocidad
es la mitad de la velocidad inicial? 16. Modelado matemtico La
tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros
sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t
est en segundos. a) Reescribir las velocidades en pies por segundo.
b) Usar las capacidades de regresin de una herramienta de gracacin
para encontrar los modelos cuadrticos para los datos en el apartado
a). c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los
30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias. En los
ejercicios 17 y 18, utilizar la notacin sigma para escribir la
suma. 17. 18. En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades
de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas. 19. 20. 21.
22. 23. Escribir en notacin sigma a) la suma de los primeros diez
en- teros impares positivos, b) la suma de los cubos de los
primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 42. 24. Calcular cada
suma para x1 2, x2 1, x3 5, x4 3 y 7 x y 6 1 5 y x 71 6 2 6, 2 dy
dx 1 2 x2 2x,4, 2 dy dx 2x 4, Ejercicios de repaso4 5 cos x 2 sec2
x dx x4 4x2 1 x2 dx 2 3 3x dx x4 8 x3 dx 4x2 x 3 dx 2x 9 sen x dx t
0 5 10 15 20 25 30 v1 0 2.5 7 16 29 45 65 v2 0 21 38 51 60 64 65 3
n 1 1 n 2 3 n 2 1 n 2 . . . 3 n n 1 n 2 1 3 1 1 3 2 1 3 3 . . . 1 3
10 20 i 1 i 1 2 20 i 1 2i 12 i 1 i i2 1 20 i 1 4i 1 1. Sea a)
Encontrar L(1). b) Encontrar L (x) y L (1). c) Utilizar una
herramienta de gracacin para aproximar el va- lor de x (hasta tres
lugares decimales) para el cual L(x) 1. d) Demostrar que L(x1 x2)
L(x1) L(x2) para todos los valores positivos de x1 y x2. 2. Sea a)
Utilizar una herramienta de gracacin para completar la tabla. b)
Sea F x 1 x 2 x 2 sen t2 dt.G x 1 x 2 Utilizar una herramienta de
gracacn para completar la tabla y estimar lm x 2 G x . c) Utilizar
la denicin de la derivada para encontrar el valor exacto del lmite
lm x 2 G x . En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el rea bajo la
grca de la funcin dada denida sobre el intervalo indicado como un
lmite. Despus b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el
lmite tili d l lt d d l t d b) 6. La aproximacin gaussiana de dos
puntos para f es a) Utilizar esta frmula para aproximar 1 1 cos x
dx. Encontrar el error de la aproximacin. b) Utilizar esta frmula
para aproximar 1 1 1 1 1 1 1 x2 dx. 1 1 1 1 x2 dx. c) Probar que la
aproximacin gaussiana de dos puntos es exacta para todos los
polinomios de grado 3 o menor. 7. Arqumedes demostr que el rea de
un arco parablico es igual a del producto de la base y la altura
(ver la gura). a) Gracar el arco parablico delimitado por y 9 x2 y
el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el rea A.
b) Encontrar la base y la altura del arco y vericar la frmula de
Arqumedes. c) Demostrar la frmula de Arqumedes para una parbola
general. 8. Galileo Galilei (1564-1642) enunci la siguiente
proposicin relativa a los objetos en cada libre: El tiempo en
cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado
uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se
recorrera por el mismo cuerpo movin- x > 0.x x 1 1 t dt, F x x 2
sen t2 dt. 0 1.0 1.5 1.9 2.0 2.1 2.5 3.0 4.0 5.0 F x x F x x 1.9
1.95 1.99 2.01 2.1 G x x 1 1 f x dx f 1 3 f 1 3 . b h Solucin de
problemasSP EJERCICIOS DE REPASO Estos conjuntos de ejercicios al
final de cada captulo prueban las habilidades de los estudiantes
con preguntas desafiantes que retan su pensamiento. SOLUCIN DE
PROBLEMAS 0-Prelim L2.indd xiii0-Prelim L2.indd xiii 1/12/09
18:04:261/12/09 18:04:26
14. xiv Caractersticas TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CLCULO Si una funcin es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F
es una antiderivada de en el intervalo [a, b], entonces b a f x dx
F b F a . DEFINICIN DE LONGITUD DEARCO Sea la funcin dada por y
f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La
longitud del arco de f entre a y b es s b a 1 f x 2 dx.
Similarmente, para una curva suave dada por x g(y), la longitud de
arco de g entre c y d es s d c 1 g y 2 dy. La regla de LHpital
tambin puede aplicarse a los lmites unilaterales, como se de-
muestra en los ejemplos 6 y 7. EJEMPLO 6 Forma indeterminada 00
Encontrar lm x 0 sen x x . Solucin Porque la sustitucin directa
produce la forma indeterminada 00 , proceder como se muestra abajo.
Para empezar, asumir que el lmite existe y es igual a y. Forma
indeterminada 00 . Tomar un logaritmo natural de cada lado.
Continuidad. Forma indeterminada 0 ( ). Forma indeterminada . Regla
de LHpital. Forma indeterminada 0 0. Regla de LHpital. Ahora,
porque ln y 0, concluir que y e0 1, y se sigue que lm x 0 sen x x
1. lm x 0 2x sec2 x 0 lm x 0 x2 tan x lm x 0 cot x 1 x2 lm x 0 ln
sen x 1 x lm x 0 x ln sen x lm x 0 ln sen x x ln y ln lm x 0 sen x
x y lm x 0 sen x x Al aplicar la frmula para la longitud de arco a
una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola
vez en el intervalo de integracin. Por ejemplo, el crculo dado por
y y sen t, recorre una sola vez el intervalo pero recorre dos veces
el inter- valo I0 t 4. 0 t 2,x cos t NOTA Clculos clsicos con
relevancia contempornea TEOREMAS Los teoremas proporcionan el marco
conceptual del clculo; se enuncian claramente y se distinguen del
resto del texto por medio de recuadros para tener una rpida
referencia visual. Las demostraciones ms importantes muchas veces
siguen al teorema, y se proporcionan otras ms en un apndice.
DEFINICIONES Al igual que con los teoremas, las definiciones se
enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas;
tambin se separan del texto mediante recuadros para tener una rpida
referencia visual. PROCEDIMIENTOS Los procedimientos aparecen
separados del texto para brindar una referencia fcil. Estas lneas
propor- cionan a los estudiantes instruccio- nes paso a paso que
les ayudarn a resolver problemas de manera rpida y eficiente. NOTAS
Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los teoremas,
definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundiza- cin adicional o
generalizaciones importantes que los estu- diantes podran omitir
involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, las notas
resultan invalua- bles para los estudiantes. 0-Prelim L2.indd
xiv0-Prelim L2.indd xiv 1/12/09 18:04:331/12/09 18:04:33
15. Caractersticas xv Ampliar la experiencia del clculo
Ecuaciones diferenciales En este captulo se estudiar una de las ms
importantes aplicaciones del clculo: las ecuaciones diferenciales.
El lector aprender nuevos mtodos para resolver diferentes tipos de
ecuaciones diferen- ciales, como las homogneas, lineales de primer
orden y de Bernoulli. Posterior- mente aplicar esas reglas para
resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicacin. En
este captulo, se aprender: Cmo generar un campo den pendientes de
una ecuacin diferencial y encontrar una solucin particular. (6.1)
Cmo usar una funcin exponencialn para modelos de crecimiento y
decrecimiento. (6.2) Como usar el mtodo de separacinn de variables
para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3) Cmo resolver
ecuacionesn diferenciales lineales de primer orden y la ecuacin
diferencial de Bernoulli. (6.4) Segn el tipo de bacteria, el tiempo
que le toma duplicar su peso al cul- tivo puede variar mucho, desde
varios minutos hasta varios das. Cmo usara una ecuacin diferencial
para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una
bacteria? (Vea la seccin 6.3, ejercicio 84.) Una funcin y f(x) es
una solucin de una ecuacin diferencial, si la ecuacin se satisface
cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una
manera de resolver una ecuacin diferencial es mediante los campos
de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones
de una ecuacin diferencial. (Ver seccin 6.1) 6 405405 Dr. Dennis
Kunkel/Getty Images E X P L O R A C I N Converso del teorema 4.4 Es
verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una funcin es
integrable, tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y pro-
porcionar ejemplos. Describir las relaciones entre continuidad,
derivabilidad e integrabilidad. Cul es la condicin ms fuerte? Cul
es la ms dbil? Qu condiciones implican otras condiciones? E X P L O
R A C I N Suponer que se pide encontrar una de las siguientes
integrales. Cul elegira? Explicar la respuesta. a) b) o o tan 3x dx
tan 3x sec2 3x dx x2 x3 1 dx x3 1 dx 133. Cul es mayor n n 1 o n 1
n donde n 8? 134. Demostrar que si x es positivo, entonces Estos
problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize
Competi- tion. The Mathematical Association of America. Todos los
derechos reservados. Preparacin del examen Putnam loge 1 1 x > 1
1 x . Utilizar una herramienta de gracacin para representar la
funcin y1 sen2 t en el intervalo 0 t . Sea F(x) la siguiente funcin
de x. F x x 0 sen2 t dt a) Completar la tabla. Explicar por qu los
valores de estn cre- ciendo. b) Utilizar las funciones de
integracin de una herramienta de gra- cacin para representar F. c)
Emplear las funciones de derivacin de una herramienta de gra- cacin
para hacer la grca de F (x). Cmo se relaciona esta grca con la grca
de la parte b)? d) Vericar que la derivada de y (1 2)t (sen 2t) 4
es sen2t. Gracar y y escribir un pequeo prrafo acerca de cmo esta
grca se relaciona con las de los apartados b) y c). PROYECTO DE
TRABAJO Demostracin del teorema fundamental 0 F x 5 62 3236x LA
SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS El maestro de Carl Friedrich
Gauss (1777- 1855) pidi a sus alumnos que sumaran todos los enteros
desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regres con la respuesta correcta
muy poco tiempo despus, el maestro no pudo evitar mirarle atnito.
Lo siguiente fue lo que hizo Gauss: Esto se generaliza por medio
del teorema 4.2, donde 100 101 2 5 050 1 100 101 2 99 101 3 98 101
. . . . . . . . . 100 1 101 100 t 1 i 100 101 2 5 050. BLAISE
PASCAL (1623-1662) Pascal es bien conocido por sus contribuciones a
diversas reas de las matemticas y de la fsica, as como por su
inuencia con Leibniz.Aunque buena parte de su obra en clculo fue
intuitiva y carente del rigor exigible en las matemticas modernas,
Pascal anticip muchos resultados relevantes. TheGrangerCollection
ENTRADAS DE CAPTULO Las entradas de captulo proporcionan motivacin
inicial para el material que se abordar en el captulo. Adems de los
objetivos, en la entrada de cada captulo un concepto impor- tante
se relaciona con una aplicacin del mundo real. Esto motiva a los
estudiantes a que descubran la relevancia del clculo en la vida.
EXPLORACIONES Las exploraciones proporcionan a los estudiantes
retos nicos para estudiar conceptos que no se han cubierto
formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e
introdu- cen temas relacionados con los que estn estudiando en el
momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los
estudiantes piensen de manera ms amplia. NOTAS HISTRICAS Y
BIOGRAFAS Las notas histricas proporcionan a los estudiantes
informacin sobre los fundamentos del clculo; las biografas les
ayudan a sensibilizar y a ensearles acerca de las personas que
contribuyeron a la creacin formal del clculo. DESAFOS DEL EXAMEN
PUTNAM Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas
secciones y se toman de los exmenes Putnam reales. Estos ejercicios
extendern los lmites del entendimiento de los estudiantes en
relacin con el clculo y brindarn desafos adicionales para aquellos
ms interesados. PROYECTOS DE SECCIN Los proyectos aparecen en
algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones
relacionadas con los temas que se estn estudiando. Proporcionan una
forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e
investiguen ideas de manera conjunta. 0-Prelim L2.indd xv0-Prelim
L2.indd xv 1/12/09 18:04:351/12/09 18:04:35
16. EJEMPLO 5 Cambio de variables Encontrar x 2x 1 dx. Solucin
Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx du
2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que
despejar x en trminos de u, como se muestra. x u 1 2u 2x 1 Resolver
para x en trminos de u. Despus de esto, utilizando la sustitucin,
se obtiene 1 10 2x 1 5 2 1 6 2x 1 3 2 C. 1 4 u5 2 5 2 u3 2 3 2 C 1
4 u3 2 u1 2 du x 2x 1 dx u 1 2 u1 2 du 2 Razonamiento grco En los
ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de gracacin para
representar grcamente la funcin, b) representar su funcin inversa
utilizando la herramien- ta de gracacin y c) determinar si la grca
de la relacin inver- sa es una funcin inversa. Explicar la
respuesta. 55. 56. h x x 4 x2 f x x3 x 4 TECNOLOGA La regla de
Simpson puede usarse para dar una buena aproximacin del valor de la
integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximacin es 1.839). Al
usar la integracin numrica, sin embargo, se debe estar consciente
de que la regla de Simp- son no siempre da buenas aproximaciones
cuando algunos de los lmites de integracin estn cercanos a una
asntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del
clculo, se obtiene Aplicando la regla de Simpson (con n 10) para
esta integral se produce una aproxi- macin de 6.889. 1.99 0 x 3 4
x2 dx 6.213. Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar
un sistema algebraico por computadora para a) trazar la grfica del
campo de pendientes para la ecuacin diferencial y b) trazar la
grfica de la solucin que satisface la condicin inicial
especificada. 67. 68. 69. 70. 71. 72. y 0 2 dy dx 1 2 e x 8 sen y 4
, y 0 1 dy dx 0.4y 3 x , y 0 9 dy dx 0.2x 2 y , y 0 2 dy dx 0.02y
10 y , y 0 6 dy dx 4 y, y 0 4 dy dx 0.25y, CAS En los ejercicios 33
a 40, usar un sistema algebraico por computado- ra para determinar
la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para
hacer la grca de la antiderivada resultante. 33. 34. 35. 36. 3, 4
x3 x2 4 2 dx,0, 1 x2 x 2 x2 2 2 dx, 2, 1 6x2 1 x2 x 1 3 dx,6, 0 5x
x2 10x 25 dx, CAS - a En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema
algebraico por compu- tadora para encontrar la integral. Usar el
sistema algebraico por computadora para hacer la grfica de dos
antiderivadas. Describir la relacin entre las grficas de las dos
antiderivadas. 79. 80. 81. 82. x 2 x2 4x 13 dx CAS 1 x2 4x 13 dx 1
1 sen d ex e x 2 3 dx Tecnologa integrada para el mundo actual xvi
Caractersticas Los ejemplos a lo largo del libro se acompaan de
investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora
(por ejemplo, Maple) para explorar de manera adicional un ejemplo
relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el
clculo manipulando funciones, grficas, etc., y observar los
resultados. INVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR
COMPUTADORA La comprensin con frecuencia mejora utilizando una
grfica o visualizacin. Los ejercicios de tecnologa de graficacin
piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficacin
para ayudar a encontrar una solucin. EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE
GRAFICACIN A lo largo del libro, los recuadros de tecnologa dan a
los estudiantes una visin de cmo la tecnologa puede usarse para
ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del clculo. No
slo proporcionan discusiones acerca de dnde la tecnologa tiene
xito, sino tambin sobre dnde puede fracasar. TECNOLOGA NUEVO! De
igual manera que los ejercicios con herramientas de graficacin,
algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema
algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta
edicin. EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA
0-Prelim L2.indd xvi0-Prelim L2.indd xvi 1/12/09 18:04:401/12/09
18:04:40
17. 695 1100 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas
polaresEn este captulo se analizarn y se escribirn ecuaciones de
cnicas usando sus propiedades. Tambin se aprender cmo escribir y
graficar ecuaciones paramtricas y polares, y se ver cmo se puede
usar el clculo para estudiar tales grficas. Adems de las ecuaciones
rectangulares de cnicas, tambin se estudiarn ecuaciones polares de
cnicas. En este captulo, se aprender: I Cmo analizar y escribir
ecuaciones de una parbola, una elipse y una hiprbola. (10.1) I Cmo
trazar una curva representada por ecuaciones paramtricas. (10.2) I
Cmo usar un conjunto de ecuacio- nes paramtricas para encontrar la
pendiente de una lnea tangente a una curva y la longitud de arco de
una curva. (10.3) I Cmo dibujar la grfica de una ecua- cin en forma
polar, encontrar la pendiente de una lnea tangente a una grfica
polar e identificar grfi- cas polares especiales. (10.4) I Cmo
encontrar el rea de una regin acotada por una grfica polar y
encontrar la longitud de arco de una grfica polar. (10.5) I Cmo
analizar y escribir una ecua- cin polar de una cnica. (10.6) 695 10
Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates In the polar
coordinate system, graphing an equation involves tracing a curve
about a fixed point called the pole. Consider a region bounded by a
curve and by the rays that contain the endpoints of an interval on
the curve. You can use sectors of circles to approximate the area
of such a region. In Section 10.5, you will see how the limit
process can be used to find this area. Chuck Savage/Corbis In this
chapter, you will analyze and write equations of conics using their
properties. You will also learn how to write and graph parametric
equations and polar equations, and see how calculus can be used to
study these graphs. In addition to the rectangular equations of
conics, you will also study polar equations of conics. In this
chapter, you should learn the following. I How to analyze and write
equations of a parabola, an ellipse, and a hyperbola. (10.1) I How
to sketch a curve represented by parametric equations. (10.2) I How
to use a set of parametric equations to find the slope of a tangent
line to a curve and the arc length of a curve. (10.3) I How to
sketch the graph of an equation in polar form, find the slope of a
tangent line to a polar graph, and identify special polar graphs.
(10.4) I How to find the area of a region bounded by a polar graph
and find the arc length of a polar graph. (10.5) I How to analyze
and write a polar equation of a conic. (10.6) The path of a
baseball hit at a particular height at an angle with the horizontal
can be modeled using parametric equations. How can a set of
parametric equations be used to find the minimum angle at which the
ball must leave the bat in order for the hit to be a home run? (See
Section 10.2, Exercise 75.) I I 1059997_cop10.qxd 9/2/08 3:48 PM
Page 695 Se puede modelar la trayectoria de una pelota de bisbol
bateada a una altura especfica a un ngulo con el horizontal
utilizando ecuaciones paramtricas. Cmo se puede usar un conjunto de
ecuaciones paramtricas para encontrar el ngulo mnimo al cual la
pelota debe salir del bate para que el golpe sea un jonrn? (Ver la
seccin 10.2, ejercicio 75.) En el sistema de coordenadas polares,
graficar una ecuacin implica trazar una curva alrededor de un punto
fijo llamado el polo. Considerar una regin acotada por una curva y
por los rayos que contienen los puntos extremos de un intervalo
sobre la curva. Pueden usarse sectores circulares para aproximar el
rea de tal regin. En la seccin 10.5 se ver cmo es posible usar el
proceso de lmite para encontrar esta rea. 10-1.qxd 3/12/09 16:44
Page 695
18. 696 CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas
polares 10.1 Cnicas y clculo I Entender la definicin de una seccin
cnica. I Analizar y dar las ecuaciones de la parbola utilizando las
propiedades de la parbola. I Analizar y dar las ecuaciones de la
elipse utilizando las propiedades de la elipse. I Analizar y dar
las ecuaciones de la hiprbola utilizando las propiedades de la
hiprbola. Secciones cnicas Toda seccin cnica (o simplemente cnica)
puede describirse como la interseccin de un plano y un cono de dos
hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cnicas bsi-
cas el plano de interseccin no pasa por el vrtice del cono. Cuando
el plano pasa por el vrtice, la figura que resulta es una cnica
degenerada, como se muestra en la figura 10.2. Existen varias
formas de estudiar las cnicas. Se puede empezar, como lo hicieron
los griegos, definiendo las cnicas en trminos de la interseccin de
planos y conos, o se pueden definir algebraicamente en trminos de
la ecuacin general de segundo grado Sin embargo, un tercer mtodo en
el que cada una de las cnicas est definida como el lugar geomtrico
(o coleccin) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad
geomtrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define
como el conjunto de todos los pun- tos (x, y) que son equidistantes
de un punto fijo (h, k). Esta definicin en trminos del lugar
geomtrico conduce fcilmente a la ecuacin estndar o cannica de la
circunferencia Para informacin acerca de la rotacin de ecuaciones
de segundo grado en dos variables, ver el apndice D. HYPATIA
(370-415 D.C.) Los griegos descubrieron las secciones cni- cas
entre los aos 600 y 300 a.C.A princi- pios del periodo alejandrino
ya se saba lo suficiente acerca de las cnicas como para queApolonio
(269-190 a.C.) escribiera una obra de ocho volmenes sobre el tema.
Ms tarde, hacia finales del periodoAlejandrino, Hypatia escribi un
texto titulado Sobre las cnicas de Apolonio. Su muerte marc el
final de los grandes descubrimientos mate- mticos en Europa por
varios siglos. Los primeros griegos se interesaron mucho por las
propiedades geomtricas de las cnicas. No fue sino 1900 aos despus,
a principios del siglo XVII, cuando se hicie- ron evidentes las
amplias posibilidades de aplicacin de las cnicas, las cuales
llegaron a jugar un papel prominente en el desarrollo del clculo.
Bettmann/Corbis PARA MAYOR INFORMACIN Para conocer ms sobre las
actividades de esta matemtica, consultar al artcu- lo Hypatia and
her Mathematics de Michael A. B. Deakin en The American
Mathematical Monthly. Ecuacin general de segundo grado.Ax2 + Bxy +
Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Circunferencia Secciones cnicas Figura 10.1
Parbola Elipse Hiprbola Punto Cnicas degeneradas Figura 10.2 Recta
Dos rectas que se cortan Ecuacin estndar o cannica de la
circunferencia.(x - h)2 +(y - k)2 = r2. 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page
696
19. SECCIN 10.1 Cnicas y clculo 697 Parbolas Una parbola es el
conjunto de todos los puntos (x, y) equidistantes de una recta fija
lla- mada directriz y de un punto fijo, fuera de dicha recta,
llamado foco. El punto medio entre el foco y la directriz es el
vrtice, y la recta que pasa por el foco y el vrtice es el eje de la
parbola. Obsrvese en la figura 10.3 que la parbola es simtrica
respecto de su eje. EJEMPLO 1 Hallar el foco de una parbola Hallar
el foco de la parbola dada por Solucin Para hallar el foco, se
convierte a la forma cannica o estndar completando el cuadrado.
Reescribir la ecuacin original. Sacar como factor. Multiplicar cada
lado por 2. Agrupar trminos. Sumar y restar 1 en el lado derecho.
Expresar en la forma estndar o cannica. Si se compara esta ecuacin
con se concluye que k 1 y Como p es negativo, la parbola se abre
hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4. Por tanto, el foco
de la parbola se encuentra a p unidades del vrtice, o sea Foco. A
un segmento de la recta que pasa por el foco de una parbola y que
tiene sus extre- mos en la parbola se le llama cuerda focal. La
cuerda focal perpendicular al eje de la parbola es el lado recto
(latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cmo determinar la
longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco
cortado. h, k p 1, 1 2. p 1 2.h 1, x h2 4py k, x 12 2y 1 x2 2x 1 2y
2 2y 2 x2 2x 1 2y 1 x2 2x 2y 1 2x x2 y 1 2 1 2x x2 y 1 2 x 1 2x2
Parabolas A parabola is the set of all points that are equidistant
from a fixed line called the directrix and a fixed point called the
focus not on the line. The midpoint between the focus and the
directrix is the vertex, and the line passing through the focus and
the vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a
parabola is symmetric with respect to its axis. EXAMPLE 1 Finding
the Focus of a Parabola Find the focus of the parabola given by
Solution To find the focus, convert to standard form by completing
the square. Write original equation. Factor out Multiply each side
by 2. Group terms. Add and subtract 1 on right side. Write in
standard form. Comparing this equation with you can conclude that
and Because is negative, the parabola opens downward, as shown in
Figure 10.4. So, the focus of the parabola is units from the
vertex, or Focus A line segment that passes through the focus of a
parabola and has endpoints on the parabola is called a focal chord.
The specific focal chord perpendicular to the axis of the parabola
is the latus rectum. The next example shows how to determine the
length of the latus rectum and the length of the corresponding
intercepted arc. h, k p 1, 1 2 . p p p 1 2.k 1,h 1, x h 2 4p y k ,
x 1 2 2 y 1 x2 2x 1 2y 2 2y 2 x2 2x 1 2y 1 x2 2x 2y 1 2x x2 1 2.y 1
2 1 2x x2 y 1 2 x 1 2x2 y 1 2 x 1 2 x2 . x, y 10.1 Conics and
Calculus 697 THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA The
standard form of the equation of a parabola with vertex and
directrix is Vertical axis For directrix the equation is Horizontal
axis The focus lies on the axis units (directed distance) from the
vertex. The coordinates of the focus are as follows. Vertical axis
Horizontal axish p, k h, k p p y k 2 4p x h . x h p, x h 2 4p y k .
y k p h, k x Foco 2 1 1 1 1, )) 1 2 1 2 1 2 1 2 y = x x2 p = y V r
t i c e Parabola with a vertical axis, Figure 10.4 p < 0 Pa r a
b o l a Di r e c t r i x V e r t e x F o c u s d1 d1 d2 d2 p A x
(x, y) Figure 10.3 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 697 Parbola
Directriz Vrtice Foco d1 d1 d2 d2 p (x, y) Eje Figura 10.3
Parabolas A parabola is the set of all points that are equidistant
from a fixed line called the directrix and a fixed point called the
focus not on the line. The midpoint between the focus and the
directrix is the vertex, and the line passing through the focus and
the vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a
parabola is symmetric with respect to its axis. EXAMPLE 1 Finding
the Focus of a Parabola Find the focus of the parabola given by
Solution To find the focus, convert to standard form by completing
the square. Write original equation. Factor out Multiply each side
by 2. Group terms. Add and subtract 1 on right side. Write in
standard form. Comparing this equation with you can conclude that
and Because is negative, the parabola opens downward, as shown in
Figure 10.4. So, the focus of the parabola is units from the
vertex, or Focus A line segment that passes through the focus of a
parabola and has endpoints on the parabola is called a focal chord.
The specific focal chord perpendicular to the axis of the parabola
is the latus rectum. The next example shows how to determine the
length of the latus rectum and the length of the corresponding
intercepted arc. h, k p 1, 1 2 . p p p 1 2.k 1,h 1, x h 2 4p y k ,
x 1 2 2 y 1 x2 2x 1 2y 2 2y 2 x2 2x 1 2y 1 x2 2x 2y 1 2x x2 1 2.y 1
2 1 2x x2 y 1 2 x 1 2x2 y 1 2 x 1 2 x2 . x, y 10.1 Conics and
Calculus 697 THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA The
standard form of the equation of a parabola with vertex and
directrix is Vertical axis For directrix the equation is Horizontal
axis The focus lies on the axis units (directed distance) from the
vertex. The coordinates of the focus are as follows. Vertical axis
Horizontal axish p, k h, k p p y k 2 4p x h . x h p, x h 2 4p y k .
y k p h, k x Foco 2 1 1 1 1, )) 1 2 1 2 1 2 1 2 y = x x2 p = y V r
t i c e Parabola with a vertical axis, Figure 10.4 p < 0 Pa r a
b o l a Di r e c t r i x V e r t e x F o c u s d1 d1 d2 d2 p A x
(x, y) Figure 10.3 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 697 Parbola
con eje vertical, Figura 10.4 p < 0 TEOREMA 10.1 ECUACIN ESTNDAR
O CANNICA DE UNA PARBOLA La forma estndar o cannica de la ecuacin
de una parbola con vrtice (h, k) y directriz es Eje vertical. Para
la directriz la ecuacin es Eje horizontal. El foco se encuentra en
el eje a p unidades (distancia dirigida) del vrtice. Las
coordenadas del foco son las siguientes. Eje vertical. Eje
horizontal.h p, k h, k p y k2 4px h. x h p, x h2 4py k. y k p
10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 697
20. 698 CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas
polares EJEMPLO 2 Longitud de la cuerda focal y longitud de arco
Encontrar la longitud del lado recto de la parbola dada por Despus,
hallar la longitud del arco parablico cortado por el lado recto.
Solucin Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es
perpendicular al eje y, las coordenadas de sus extremos son y Al
sustituir, en la ecuacin de la parbola, y por p se obtiene
Entonces, los extremos del lado recto son y y se concluye que su
longi- tud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la
longitud del arco cortado es Simplificar. Teorema 8.2. Una
propiedad muy utilizada de la parbola es su propiedad de reflexin.
En fsica, se dice que una superficie es reflejante o reflectante si
la tangente a cualquier punto de la superficie produce ngulos
iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultan- te.
El ngulo correspondiente al rayo incidente es el ngulo de
incidencia, y el ngulo correspondiente al rayo que se refleja es el
ngulo de reflexin. Un espejo plano es un ejemplo de una superficie
reflejante o reflectante. Otro tipo de superficie reflejante es la
que se forma por revolucin de una parbola alrededor de su eje. Una
propiedad especial de los reflectores parablicos es que permiten
dirigir hacia el foco de la parbola todos los rayos incidentes
paralelos al eje. ste es el principio detrs del diseo de todos los
espejos parablicos que se utilizan en los telesco- pios de
reflexin. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco
de una linter- na con reflector parablico son paralelos, como se
ilustra en la figura 10.6. 4.59p. 2p2 ln1 2 1 2p 2p8p2 4p2 ln2p 8p2
4p2 ln2p 1 2p x4p2 x2 4p2 lnx 4p2 x2 2p 0 1 p2p 0 4p2 x2 dx y x 2p
y x2 4p 22p 0 1 x 2p 2 dx s 2p 2p 1 y2 dx 2p, p,2p, p x 2p.x2 4pp
x, p.x, p x2 4py. x Lado recto o latus rectum (0, )p x2 = 4py (2p,
p) (2 , )p p y Longitud del lado recto o latus rectum: 4p Figura
10.5 Fuente de luz en el foco Eje Reflector parablico: la luz se
refleja en rayos paralelos Figura 10.6 TEOREMA 10.2 PROPIEDAD DE
REFLEXIN DE UNA PARBOLA Sea P un punto de una parbola. La tangente
a la parbola en el punto P produce ngulos iguales con las dos
rectas siguientes. 1. La recta que pasa por P y por el foco 2. La
recta paralela al eje de la parbola que pasa por P Emplear la
frmula de longitud del arco. 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 698
21. SECCIN 10.1 Cnicas y clculo 699 Elipses Ms de mil aos
despus de terminar el periodo alejandrino de la matemtica griega,
comienza un renacimiento de la matemtica y del descubrimiento
cientfico en la civili- zacin occidental. Nicols Coprnico, astrnomo
polaco, fue figura principal en este re- nacimiento. En su trabajo
Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Coprnico sos- tena
que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en rbitas
circulares, alrede- dor del Sol. Aun cuando algunas de las
afirmaciones de Coprnico no eran vlidas, la con- troversia desatada
por su teora heliocntrica motiv a que los astrnomos buscaran un
modelo matemtico para explicar los movimientos del Sol y de los
planetas que podan observar. El primero en encontrar un modelo
correcto fue el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571-1630). Kepler
descubri que los planetas se mueven alrededor del Sol, en rbitas
elpticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los
puntos focales de la rbita. El uso de las elipses para explicar los
movimientos de los planetas es slo una de sus aplicaciones prcticas
y estticas. Como con la parbola, el estudio de este segundo tipo de
cnica empieza definindola como lugar geomtrico de puntos. Sin
embargo, ahora se tienen dos puntos focales en lugar de uno. Una
elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la
figura 10.7.) La recta que une a los focos interseca o corta a la
elipse en dos puntos, llamados vrtices. La cuerda que une a los vr-
tices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse.
La cuerda a travs del centro, perpendicular al eje mayor, es el eje
menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.) La definicin de una
elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados
en los focos, como se muestra en la figura 10.9. TEOREMA 10.3
ECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA ELIPSE La forma estndar o cannica
de la ecuacin de una elipse con centro (h, k) y longi- tudes de los
ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde es El eje mayor
es horizontal. o El eje mayor es vertical. Los focos se encuentran
en el eje mayor, a c unidades del centro, con c2 a2 b2 . x h2 b2 y
k2 a2 1. x h2 a2 y k2 b2 1 a > b, NICOLS COPRNICO (1473-1543)
Coprnico comenz el estudio del movimiento planetario cuando se le
pidi que corrigiera el calendario. En aquella poca, el uso de la
teora de que laTierra era el centro del Universo, no permita pre-
decir con exactitud la longitud de un ao. Bettmann/Corbis Si los
extremos de una cuerda se atan a los alfileres y se tensa la cuerda
con un lpiz, la trayectoria trazada con el lpiz ser una elipse
Figura 10.9 Foco Foco d1 d2 (x, y) CentroFoco Foco Eje menor Eje
mayor Vrtice Vrtice( , )h k Figura 10.7 Figura 10.8 PARA MAYOR
INFORMACIN Para saber ms acerca de cmo hacer explotar una elipse
para convertirla en una parbola, consultar al artculo Exploding the
Ellipse de Arnold Good en Mathematics Teacher. 10-1.qxd 3/12/09
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22. 700 CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas
polares EJEMPLO 3 Completar cuadrados Encontrar el centro, los
vrtices y los focos de la elipse dada por Solucin Al completar el
cuadrado se puede expresar la ecuacin original en la forma estndar
o cannica. Escribir la ecuacin original. Escribir la forma estndar
o cannica. As, el eje mayor es paralelo al eje y, donde b 2 y Por
tanto, se obtiene: Centro: . Vrtices: y . Focos: y . La grfica de
la elipse se muestra en la figura 10.10. Si en la ecuacin del
ejemplo 3, el trmino constante hubiese sido mayor o igual a 8, se
hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados. 1. un
solo punto, 2. no existen puntos solucin: I EJEMPLO 4 La rbita de
la Luna La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una
trayectoria elptica en la que el centro de la Tierra est en uno de
los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de
los ejes mayor y menor de la rbita son 768 800 kilmetros y 767 640
kilmetros, respec- tivamente. Encontrar las distancias mayor y
menor (apogeo y perigeo) entre el centro de la Tierra y el centro
de la Luna. Solucin Para comenzar se encuentran a y b. Longitud del
eje mayor. Despejar Longitud del eje menor. Despejar Ahora, al
emplear estos valores, se despeja c como sigue. La distancia mayor
entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es kilmetros y
la distancia menor es kilmetros.a c 363,292a c 405,508 c a2 b2
21,108 b.b 383,820 2b 767,640 a.a 384,400 2a 768,800 x 12 4 y 22 16
< 0F > 8, x 12 4 y 22 16 01, 2:F 8, F 8NOTA h, k c1, 2 23 1,
2 23 h, k a1, 21, 6 h, k1, 2 c 16 4 23. a 4,k 2,h 1, x 12 4 y 22 16
1 4x 12 y 22 16 4x2 2x 1 y2 4y 4 8 4 4 4x2 8x y2 4y 8 4x2 y2 8x 4y
8 0 4x2 y2 8x 4y 8 0. Vrtice Vrtice Centro Foco Foco x (x 1)2 (y +
2)2 = 1+ 4 16 y 24 6 2 2 4 Elipse con eje mayor vertical Figura
10.10 Perigeo Apogeo Tierra Luna Figura 10.11 405 508 363 292 768
800 384 400 767 640 383 820 21 108 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page
700
23. SECCIN 10.1 Cnicas y clculo 701 En el teorema 10.2 se
present la propiedad de reflexin de la parbola. La elipse tiene una
propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el
siguiente teorema. Uno de los motivos por el cual los astrnomos
tuvieron dificultad para descubrir que las rbitas de los planetas
son elpticas es el hecho de que los focos de las rbitas planetarias
estn relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las
rbitas ser casi circulares. Para medir el achatamiento de una
elipse, se puede usar el concepto de excentricidad. Para ver cmo se
usa este cociente en la descripcin de la forma de una elipse,
obsrvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo
del eje mayor entre los vrtices y el centro, se tiene que En una
elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el
cociente c/a es pequeo, mientras que en una elipse alargada, los
focos se encuentran cerca de los vrtices y el cociente c/a est
cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsrvese que para
toda elipse . La excentricidad de la rbita de la Luna es y las
excentricidades de las nueve rbitas planetarias son las siguientes.
Mercurio: Jpiter: Venus: Saturno: Tierra: Urano: Marte: Neptuno:
Por integracin se puede mostrar que el rea de una elipse es Por
ejemplo, el rea de la elipse est dada por Sustitucin trigonomtrica
x a sen q. Sin embargo, encontrar el permetro de una elipse no es
fcil. El siguiente ejemplo mues- tra cmo usar la excentricidad para
establecer una integral elptica para el permetro de una elipse. 4b
a 2 0 a2 cos2 d. A 4a 0 b a a2 x2 dx x2 a2 y2 b2 1 A ab. e 0.0086e
0.0934 e 0.0472e 0.0167 e 0.0542e 0.0068 e 0.0484e 0.2056 e 0.0549,
0 < e < 1 0 < c < a. PARA MAYOR INFORMACIN Para ms
informacin acerca de algunos usos de las propiedades de reflexin de
las cnicas, consultar el artculo Parabolic Mirrors, Elliptic and
Hyperbolic Lenses de Mohsen Maesumi en The American Mathematical
Monthly. Consultar tam- bin el artculo The Geometry of Microwave
Antennas de William R. Paezynski en Mathematics Teacher. a c Focos
a c Focos a) es pequeo c a b) es casi 1 Excentricidad es el
cociente Figura 10.12 c a . c a TEOREMA 10.4 PROPIEDAD DE REFLEXIN
DE LA ELIPSE Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la
elipse en el punto P forma ngulos iguales con las rectas que pasan
por P y por los focos. DEFINICIN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE
La excentricidad e de una elipse est dada por el cociente e c a .
10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 701
24. 702 CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas
polares EJEMPLO 5 Encontrar el permetro de una elipse Mostrar que
el permetro de una elipse es Solucin Como la elipse dada es
simtrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que su permetro C es
el cudruplo de la longitud de arco de en el primer cuadrante. La
funcin y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo
excepto en Entonces, el permetro est dado por la integral impropia
Al usar la sustitucin trigonomtrica se obtiene Debido a que se
puede escribir esta integral como Se ha dedicado mucho tiempo al
estudio de las integrales elpticas. En general dichas integrales no
tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el
permetro de una elipse, por lo general hay que recurrir a una
tcnica de aproximacin. EJEMPLO 6 Aproximar el valor de una integral
elptica Emplear la integral elptica del ejemplo 5 para aproximar el
permetro de la elipse Solucin Como se tiene Aplicando la regla de
Simpson con se obtiene Por tanto, el permetro de la elipse es
aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra en la figura 10.13.
28.36. C 20 61 41 40.9733 20.9055 40.8323 0.8 n 4 C 452 0 1 9 sin2
25 d. e2 c2 a2 a2 b2 a2 925, x2 25 y2 16 1. C 4a2 0 1 e2 sin2 d. e2
c2 a2 a2 b2 a2 , 42 0 a2 a2 b2 sin2 d. 42 0 a2 1 sin2 b2 sin2 d 42
0 a2 cos2 b2 sin2 d C 42 0 1 b2 sin2 a2 cos2 a cos d x a sin , C
lim da 4d 0 1 y2 dx 4a 0 1 y2 dx 4a 0 1 b2 x2 a2 a2 x2 dx. x a. 0,
a y baa2 x2 e c a 4a2 0 1 e2 sin2 d. x2 a2 y2 b2 1 REA Y PERMETRO
DE UNA ELIPSE En su trabajo con rbitas elpticas, a principios del
siglo XVII, Johannes Kepler desarroll una frmula para encontrar el
rea de una elipse, Sin embargo, tuvo menos xito en hallar una
frmula para el permetro de una elipse, para el cual slo dio la
siguiente frmula de aproximacin C a b. A ab. Figura 10.13 x y 2 4
62 2 2 6 46 6 y2 x2 = 1 25 16 + C 28.36 unidades sen2 sen2 sen2
sen2 sen2 sen2 sen2 sen2 lm sen 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page
702
25. SECCIN 10.1 Cnicas y clculo 703 Hiprbolas La definicin de
hiprbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las
distan- cias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras
que en la hiprbola, el valor abso- luto de la diferencia entre
estas distancias es fijo. Una hiprbola es el conjunto de todos los
puntos (x, y) para los que el valor absolu- to de la diferencia
entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante. (Ver la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos
focos corta a la hiprbola en dos puntos lla- mados vrtices. El
segmento de recta que une a los vrtices es el eje transversal, y el
punto medio del eje transversal es el centro de la hiprbola. Un
rasgo distintivo de la hipr- bola es que su grfica tiene dos ramas
separadas. En la hiprbola no existe la misma relacin entre las
constantes a, b y c, que en la elipse. En la hiprbola, mientras que
en la elipse, I Una ayuda importante para trazar la grfica de una
hiprbola es determinar sus asn- totas, como se ilustra en la figura
10.15. Toda hiprbola tiene dos asntotas que se cortan en el centro
de la hiprbola. Las asntotas pasan por los vrtices de un rectngulo
de dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la
recta de longitud 2b que une y se le conoce como eje conjugado de
la hiprbola. En la figura 10.15 se puede ver que las asntotas
coinciden con las diagonales del rec- tngulo de dimensiones 2a y
2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rpida de trazar
las asntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hiprbola. h, k
bh, k b c2 a2 b2 .c2 a2 b2 , NOTA d2 d1 = 2a d2 d1 es constante
Foco Foco d2 (x, y) d1 Vrtice VrticeCentro Eje transversal a c
Figura 10.14 Asntota (h, k + b) (h, k b) (h + a, k)(h a, k) ( , )h
k a b Eje conjugado Asntota Figura 10.15 TEOREMA 10.5 ECUACIN
ESTNDAR O CANNICA DE UNA HIPRBOLA La forma estndar o cannica de la
ecuacin de una hiprbola con centro es El eje transversal es
horizontal. o El eje transversal es vertical. Los vrtices se
encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c
unidades del centro, con c2 a2 b2. y k2 a2 x h2 b2 1. x h2 a2 y k2
b2 1 h, k TEOREMA 10.6 ASNTOTAS DE UNA HIPRBOLA Si el eje
transversal es horizontal, las ecuaciones de las asntotas son y Si
el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asntotas son
y y k a b x h.y k a b x h y k b a x h.y k b a x h 10-1.qxd 3/12/09
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26. 704 CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas
polares EJEMPLO 7 Uso de las asntotas para trazar una hiprbola
Trazar la grfica de la hiprbola cuya ecuacin es Solucin Para
empezar se escribe la ecuacin en la forma estndar o cannica. El eje
transversal es horizontal y los vrtices se encuentran en y Los
extremos del eje conjugado se encuentran en y Con estos cuatro
puntos, se puede trazar el rectngulo que se muestra en la figura
10.16a. Al dibujar las asntotas a travs de las esquinas de este
rectngulo, el trazo se termina como se muestra en la figura 10.16b.
Como en la elipse, la excentricidad de una hiprbola es Dado que en
la hiprbola resulta que . Si la excentricidad es grande, las ramas
de la hiprbo- la son casi planas. Si la excentricidad es cercana a
1, las ramas de la hiprbola son ms puntiagudas, como se muestra en
la figura 10.17. e > 1c > a e ca. 0, 4.0, 4 2, 0.2, 0 x2 4 y2
16 1 4x2 y2 16. x 6 4 6 6 6 4 (0, 4) (2, 0) (0, 4) (2, 0) y x 6 4 6
6 6 4 x2 y2 4 16 = 1 y 4 4 x VrticeVrtice La excentricidad es
grande FocoFoco e = c c a a y x VrticeVrtice La excentricidad se
acerca a 1 FocoFoco e = c c a a y a) Figura 10.16 b) Figura 10.17
DEFINICIN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPRBOLA La excentricidad e de
una hiprbola es dada por el cociente e c a . TECNOLOGA Para
verificar la grfica obtenida en el ejemplo 7 se puede emplear una
herramienta de graficacin y despejar y de la ecua- cin original
para representar grfi- camente las ecuaciones siguientes. y2 4x2 16
y1 4x2 16 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 704
27. SECCIN 10.1 Cnicas y clculo 705 La aplicacin siguiente fue
desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial. Muestra cmo los
radares y otros sistemas de deteccin pueden usar las propiedades de
la hiprbola. EJEMPLO 8 Un sistema hiperblico de deteccin Dos
micrfonos, a una milla de distancia entre s, registran una
explosin. El micrfono A recibe el sonido 2 segundos antes que el
micrfono B. Dnde fue la explosin? Solucin Suponiendo que el sonido
viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la explosin tuvo lugar
2 200 pies ms lejos de B que de A, como se observa en la figura
10.18. El lugar geomtrico de todos los puntos que se encuentran 2
200 pies ms cercanos a A que a B es una rama de la hiprbola donde y
Como se tiene que 5 759 600 y se puede concluir que la explosin
ocurri en algn lugar sobre la rama derecha de la hiprbola dada por
En el ejemplo 8, slo se pudo determinar la hiprbola en la que
ocurri la explosin, pero no la localizacin exacta de la explosin.
Sin embargo, si se hubiera recibido el sonido tambin en una tercera
posicin C, entonces se habran determinado otras dos hiprbolas. La
localizacin exacta de la explosin sera el punto en el que se cortan
estas tres hiprbolas. Otra aplicacin interesante de las cnicas est
relacionada con las rbitas de los cometas en nuestro sistema solar.
De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245 tienen rbitas
elpticas, 295 tienen rbitas parablicas y 70 tienen rbitas
hiperblicas. El centro del Sol es un foco de cada rbita, y cada
rbita tiene un vrtice en el punto en el que el cometa se encuentra
ms cerca del Sol. Sin lugar a dudas, an no se identifican muchos
cometas con rbitas parablicas e hiperblicas, ya que dichos cometas
pasan una sola vez por nuestro sistema solar. Slo los cometas con
rbitas elpticas como la del cometa Halley permanecen en nuestro
sistema solar. El tipo de rbita de un cometa puede determinarse de
la forma siguiente. 1. Elipse: 2. Parbola: 3. Hiprbola: En estas
tres frmulas, p es la distancia entre un vrtice y un foco de la
rbita del cometa (en metros), v es la velocidad del cometa en el
vrtice (en metros por segundo), kilogramos es la masa del Sol y
metros cbicos por kilogramo por segundo cuadrado es la constante de
gravedad. G 6.67 108 M 1.989 1030 v > 2GMp v 2GMp v < 2GMp x2
1,210,000 y2 5,759,600 1. b2 c2 a2 c2 a2 b2 , a = = 2 200 1100 pies
2 pies c = = = 1 milla 2 pies 2 pies. 5 280 2 640 x2 a2 y2 b2 1,
CAROLINE HERSCHEL (1750-1848) La primera mujer a la que se atribuy
haber detectado un nuevo cometa fue la astrnoma inglesa Caroline
Herschel. Durante su vida, Caroline Herschel des- cubri ocho
cometas. MaryEvansPictureLibrary 2 000 1 000 2 000 2 000 2 000 3
000 3 000 4 000 d2 d1 AB x y Figura 10.18 d2 d1 2a 2200 2c 5280 1
210 000 5 759 600 5 280 2 200 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 705
