Trôc to¹ ®é vµ hÖ trôc to¹ Trôc to¹ ®é vµ hÖ trôc to¹ ®é®é

((TiÕt 1TiÕt 1))

I. Trôc to¹ ®é:I. Trôc to¹ ®é:

• 1. 1. ĐĐÞnh nghÜaÞnh nghÜa• Trôc to¹ ®é ( cßn gäi lµ trôc hay trôc Trôc to¹ ®é ( cßn gäi lµ trôc hay trôc

sè) lµ mét ®­êng th¼ng trªn ®ã ®· x¸c sè) lµ mét ®­êng th¼ng trªn ®ã ®· x¸c ®Þnh mét ®iÓm O vµ mét vÐc t¬ ®Þnh mét ®iÓm O vµ mét vÐc t¬ cã cã

ir

O

ir

1i =r

- ĐĐiÓm O gäi lµiÓm O gäi lµ- VÐc t¬ gäi lµVÐc t¬ gäi lµ- Trôc to¹ ®é cã gèc O vµ vÐc t¬ ®¬n vÞ - Trôc to¹ ®é cã gèc O vµ vÐc t¬ ®¬n vÞ KÝ hiÖu lµKÝ hiÖu lµ hay gäi lµ trôc Xhay gäi lµ trôc X ’’OX hoÆc trôc OXOX hoÆc trôc OX

ir

O XX’

ir Gèc to¹ ®é

vÐc t¬ ®¬n vÞ

ir

( );O ir

LÊy ®iÓm I trªn trôc OX sao cho Khi ®ã tia OI cßn ®­îc kÝ hiÖu lµ

OXTia ®èi cña OX lµ OX’

OI i=uur r

I

C¸c h×nh vÏ sau cã biÓu thÞ C¸c h×nh vÏ sau cã biÓu thÞ mét trôc to¹ ®é kh«ngmét trôc to¹ ®é kh«ng

OJur

'Juur O

'ir

O

( );O jr

Onr

( )';O ir

( )';O jur ( );O n

rTrôc Trôc

Trôc

Trôc

Cho vÐc t¬ n»m trªn trôc H·y x¸c Cho vÐc t¬ n»m trªn trôc H·y x¸c ®Þnh ®Þnh sè a ®Ó sè a ®Ó

( );O ir

u ai=r ru

r

ur

Oir

ur

a = 3

Our

a = -2

a = 2,5O

Ta nãi cã to¹ ®é lµ 3

ur

Ta nãi cã to¹ ®é lµ -2

Ta nãi cã to¹ ®é lµ 2 ,5

ur

ur

X

X

X

VËy to¹ ®é cña mét vÐc t¬ ®­îc x¸c ®Þnh nh­ thÕ nµo?

2. To¹ ®é cña vÐc t¬ vµ cña ®iÓm trªn trôc2. To¹ ®é cña vÐc t¬ vµ cña ®iÓm trªn trôca- To¹ ®é cña vÐc t¬: a- To¹ ®é cña vÐc t¬: Cho vÐc t¬ u n»m trªn trôc (O; i ) Cho vÐc t¬ u n»m trªn trôc (O; i ) khi ®ã cã sè a x¸c ®Þnh ®Ó khi ®ã cã sè a x¸c ®Þnh ®Ó Sè a gäi lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ u ®èi víi trôc Sè a gäi lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ u ®èi víi trôc

(O; i)(O; i)VÝ dô1:VÝ dô1:

u ai=r r

H·y chØ ra to¹ ®é cña c¸c vÐc t¬ sau

1 3u i=r r

22

3u i= −r r

3 0,5u i=r r

u⇒r

vµ ir

Cïng ph­¬ng

VÝ dô 2: BiÕt to¹ ®é cña c¸c vÐct¬ VÝ dô 2: BiÕt to¹ ®é cña c¸c vÐct¬ trªn trôc ox lÇn l­ît lµ: 3; -1 ;0 trªn trôc ox lÇn l­ît lµ: 3; -1 ;0

U V W

H·y biÓu thÞ c¸c vÐct¬ ®ã qua vÐct¬ ®¬n vi i

U = 3= 3 iV = -1= -1 iW= 0= 0 i

b- To¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôc b- To¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôc ( );O ir

Cho ®iÓm M n»m trªn trôc

Khi ®ã cã sè m x¸c ®Þnh ®Ó

Sè m gäi lµ to¹ ®é cña ®iÓm M ®èi víi trôc (O; i )

OM mi=uuuur r

( );O ir

Cã duy nhÊt mét vÐc t¬ OM ®­îc x¸c ®Þnh

VÝ dô :1 5OM i=

uuuur r

2 3OM i= −uuuuur r

3

1

4OM i=uuuuur r

Cho c¸c vÐc t¬ sau n»m trªn trôc H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é cña

c¸c ®iÓm M1; M2; M3 ®èi víi trôc (O; i)

(O; i )

Bµi to¸n1: Trªn trôc Ox cho c¸c ®iÓm A, B, C Bµi to¸n1: Trªn trôc Ox cho c¸c ®iÓm A, B, C lÇn l­ît cã täa ®é 2; -3; -1lÇn l­ît cã täa ®é 2; -3; -1

a – H·y biÓu diÔn c¸c ®iÓm ®ã trªn trôc Ox.a – H·y biÓu diÔn c¸c ®iÓm ®ã trªn trôc Ox.b – BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ AB vµ AC theo b – BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ AB vµ AC theo

hiÖu cña 2 vÐc t¬ cã ®iÓm gèc lµ OhiÖu cña 2 vÐc t¬ cã ®iÓm gèc lµ O c –BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ OA; OB; OC; AB, c –BiÓu diÔn c¸c vÐc t¬ OA; OB; OC; AB,

AC theo vÐc t¬ iAC theo vÐc t¬ ic – X¸c ®Þnh to¹ ®é cña OA; OB; OC; AB, c – X¸c ®Þnh to¹ ®é cña OA; OB; OC; AB,

ACAC

O xAB C1

B

OA = 2 i OB = -3 i OC =-1 i

= OB – OA

O A X1

C

b- Ta cã

AC = OC - OA

= OC – OA

AB AC

AB = OB - OA

= -3 i – 2i = (-3-2) i = - 5 i

= - i - 2 i = (-1-2) i = - 3 i

c- Ta cã

Bµi to¸n 2:Bµi to¸n 2: Trªn trôc Ox cho hai ®iÓm A vµ Trªn trôc Ox cho hai ®iÓm A vµ B lÇn l­ît cã to¹ ®é lµ a vµ b. B lÇn l­ît cã to¹ ®é lµ a vµ b. a - a - TìmTìm to¹ ®é cña vÐc t¬ AB to¹ ®é cña vÐc t¬ AB b - b - TìmTìm to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng ABAB

Do A cã to¹ ®é lµ a nªn OA = a i

B cã to¹ ®é lµ b nªn OB = b iTa cã AB = OB – OA

Gi¶i

OI = (OA + OB )

1

2

= b i – a i = ( b – a ) i12

1

2= (a i + b i ) = (a+b) i

VËy to ¹ ® é c ña vÐc t¬ AB lµ b - a

to ¹ ® é trung ® iÓ m I c ña AB lµ (a + b)

1

2

3- 3- ĐĐé dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ trªn trôcé dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ trªn trôc

1- 1- ĐĐÞnh nghÜa:Þnh nghÜa: NÕu hai ®iÓm A vµ B n»m trªn trôc OxNÕu hai ®iÓm A vµ B n»m trªn trôc Ox ThThìì to¹ ®é cña vÐc t¬ ABto¹ ®é cña vÐc t¬ AB ký hiÖu lµ AB ký hiÖu lµ AB Gäi lµ ®é dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ AB Gäi lµ ®é dµi ®¹i sè cña vÐc t¬ AB

trªn trôc Oxtrªn trôc Ox VËy VËy AB = AB i AB = AB i

NÕu AB cïng h­íng víi vÐct¬ i thNÕu AB cïng h­íng víi vÐct¬ i thìì AB > 0 AB > 0NÕu AB ng­îc h­íng víi vÐct¬ i thNÕu AB ng­îc h­íng víi vÐct¬ i thìì AB < 0 AB < 0

OA = 2 iOB = 4 i

OC =-1 i

AB = - 5 i

AC = - 3 i

H·y chØ ra ®é dµi ®¹i sè cña c¸c vÐc t¬ sau

2 - Chó ý2 - Chó ý

Trªn trôc sè:Trªn trôc sè: * Hai vÐc t¬ AB vµ CD b»ng nhau khi * Hai vÐc t¬ AB vµ CD b»ng nhau khi

vµ chØ khi AB = CD vµ chØ khi AB = CD * AB + BC = AC AB + BC = AC * AB + BC = AC AB + BC = AC ⇔

II- HÖ trôc toa ®éII- HÖ trôc toa ®é

y

Oij

§iÓm O gäi lµ gèc to¹ ®éTrôc OX gäi lµ trôc hoµnhTrôc OY gäi lµ trôc tung

Ta cã hÖ trôc to¹ ®é vµ ký hiÖu lµ Oxy

x

O

Chó ý:Chó ý:

• Khi trong mÆt ph¼ng ®· cã mét hÖ trôc Khi trong mÆt ph¼ng ®· cã mét hÖ trôc to¹ ®é thto¹ ®é thìì ta gäi mÆt ph¼ng ®ã lµ ta gäi mÆt ph¼ng ®ã lµ mÆt mÆt ph¼ng to¹ ®é ph¼ng to¹ ®é

H·y biÓu thÞ mçi vÐc t¬ a , b , u, v qua hai H·y biÓu thÞ mçi vÐc t¬ a , b , u, v qua hai vÐc t¬ i vµ jvÐc t¬ i vµ j

Y

XOij

a b

uv

III. To¹ ®é cña vÐc t¬ ®èi víi hÖ trôc to¹ ®éIII. To¹ ®é cña vÐc t¬ ®èi víi hÖ trôc to¹ ®é

1.1. ĐĐÞnh nghÜaÞnh nghÜa:: ĐĐèi víi hÖ trôc to¹ ®é èi víi hÖ trôc to¹ ®é NÕu a = NÕu a = xx i + i + yy j th j thìì cÆp sè (x; y )cÆp sè (x; y ) ®­îc gäi ®­îc gäi

lµ lµ to¹ ®é cña vÐc t¬ ato¹ ®é cña vÐc t¬ aKÝ hiÖuKÝ hiÖu lµ lµ a = (x; y) a = (x; y) hayhay a ( x; y) a ( x; y)x gäi lµ hoµnh ®é x gäi lµ hoµnh ®é cña vÐc t¬ acña vÐc t¬ a

( ); ;O i jrr

y gäi lµ tung ®é cña vÐc t¬ a

Bµi tËp 4Bµi tËp 4 ĐĐèi víi hÖ to¹ ®é h·y chØ ra to¹ èi víi hÖ to¹ ®é h·y chØ ra to¹

®é cña c¸c vÐc t¬: ®é cña c¸c vÐc t¬: ( ); ;O i j

r r

0r

ir

jr

i j+r r

2 j i−r r

3 0,14i j+r r

Cã to¹ ®é lµ (0 ;0)

V× = 0 0i j+r r

0r

Cã to¹ ®é lµ (1 ;0)

V× = 1 0i j+r r

ir

Cã to¹ ®é lµ (0 ;1)

V× = 0 1i j+r r

jr

Cã to¹ ®é lµ (1 ;1)

V× 0 1i j= +r r

i j+r r

Cã to¹ ®é lµ (-1 ; 2) Cã to¹ ®é lµ

V× 1 2i j= − +r r

2 j i−r r

( )3;0,14

* NhËn xÐt:* NhËn xÐt: ChoChoTh×Th× khi vµ chØ khi chóng cã cïng khi vµ chØ khi chóng cã cïng

to¹ ®é to¹ ®é NghÜa lµ x = xNghÜa lµ x = x ’’ vµ y = y vµ y = y ’’

a xi y j= +r r r

' 'b x i y j= +r r r

a b=r r

Bµi tËp vÒ nhµBµi tËp vÒ nhµ

Bµi 29 vµ bµi 30 SGK trang 30; 31Bµi 29 vµ bµi 30 SGK trang 30; 31