CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA

Teoría de Números

Docente: Juan Carlos Broncano Torres FISE-UTP Lima-Perú

Los Enteros Módulo n

La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae. Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo.

Definición de congruencia

http://www.numbertheory.org/php/php.html

Clases residuales módulo m

Suma y producto en Zm

Si m es un número primo p, entonces todos los elementos de Zp salvo el cero tienen inverso.

Cualquier medio de transmisión es inseguro

Máximo común divisor

Algoritmo de Euclides

El algoritmo de Euclides se basa en la aplicación sucesiva del siguiente lema:

Este resultado lo podemos usar para obtener un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números.

Algoritmo Extendido de Euclides.

El siguiente teorema establece la llamada “Identidad de Etienne Bezout” aunque el resultado lo descubrió primero el francés Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).

Inversos módulo m

Existencia del inverso por Primalidad

Teorema fundamental de la aritmética

Nota: Observe que el número 1 no es ni primo ni compuesto. Esto garantiza la unicidad de la factorización.

POTENCIAS mod m

Teorema de Euler

El teorema de Euler es uno de los grandes hitos en la desarrollo de la teoría de números. Fue probado por Euler en 1760. Este teorema extiende el teorema “pequeño” de Fermat a un módulo arbitrario.

Euler parece que no usaba una notación funcional para esta función; él usó en algún momento la notación “πn”.

Gauss introdujo la notación “ ϕ(n)” aunque también se usa “Ø(n) ”. Sylverter introdujo la notación “Totient (n)” que a veces aparece en la literatura actual.

Este teorema nos permite calcular ϕ(n) de manera directa, si conocemos la factorización prima de n.

Ejemplo

ϕ(15) = ϕ(3∗5) = ϕ(3)* ϕ(5)=(3-1)(5-1) = 2∗4 = 8

Este teorema también puede formularse del siguiente modo:

Ejemplo

Este teorema parece algo extraño, ¿para qué usar fracciones si podemos calcular ϕ(n) con enteros?. Es cierto. Pero esta forma de expresar ϕ será de mucha utilidad más adelante cuando aparezcan los factores (1 -1/pi) en productos infinitos.

De este Teorema podemos deducir como calcular el inverso multiplicativo en :

Cálculo de inversos con Teorema Euler

¿Qué hacemos si no se conoce φ(n)?

Si no conocemos ϕ (n) o no queremos usar los teoremas de Euler o Fermat, siempre podremos encontrar el inverso de a en el cuerpo n usando el Algoritmo Extendido de Euclides.

Algoritmo Extendido de Euclides

Exponenciación Rápida

Ejemplo