Slučajni fraktali - Andrija Stanković - Vinka Grozdanović

SluSluččajni ajni fraktalifraktali

SluSluččajni ajni fraktalifraktali

Andrija StankoviAndrija Stanković III/5ć III/5

Vinka GrozdanoviVinka Grozdanovićć

PrvaPrva niniškškaa ggimnazijaimnazija ‘’ ‘’StevanStevan SremacSremac””

Godine 1967.matematičar Benoit Mandelbrot objavljuje svoj rad pod naslovom:

“How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension”

i u njemu opisuje zavisnost dužine izmerene obale u odnosu na skalu u kojoj je ta dužina izmerena.

Matematički gledano, obala je beskonačno duga.Mandelbrot u svom radu “fenomen obale”

objašnjava preko svojstva “samosličnosti” obale (self-similarity).

Njegov rad je istorijski važan jer daje uvid u neka njegova prva razmišljanja o “fraktalima”.

Reč fraktal se prvi put spominje u njegovim radovima tek 1975.


Osobina statističke sličnosti objekata koji se pri različitim uvećanjima razlikuju u detaljima glavna je osobina fraktala koji se sreću u prirodi.

Tako se može reći da su oblici koji se sreću u prirodi statistički samoslični.

Slike planina, oblaka i površina planeta ukazuju na primenljivost fraktala u prirodi u planetarnim razmerama.


Smatra se da su najveći prazni prostori u univerzumu (u njegovoj

raspodeli) fraktali. U velikim razmerama, oblaci, kiša, prirodne granice, seizmički nabori, galaksije i grupe galaksija mogu se

analizirati pomoću fraktala.


Korišćenjem jednostavnih fraktalnih tehnika može se prosta površina pretvoriti u interesantan teren.

Počinje se sa jednostavnom površinom koja je modelirana kao mreža. Svaki pravougaonik koji čini površinu podeli se na četiri manja pravougaonika kao što je prikazano na slici 1.

Sl. 1 Podpodela oblasti na mreži


• Inicijalno se postave y koordinate za svaku od 5 novoformiranih tačaka da bude prosek tačaka koje je okružuju.

• Na primer, ako su Y1 i Y2 koordinate dva susedna ugla u originalnom pravougaoniku, Y koordinata tačke postavlja se između njih na (Y1+Y2) / 2.


• Zatim se modifikuje svaka od novih Y koordinata za mali slučajan iznos.

• Svaka središnja taška pomera se nagore ili nadole za neki slučajan iznos. Slučajni iznosi za koje se središnja tačka izdiže ili spušta ravnaju se prema zakonu raspodele, koji se može podesiti tako da se dobije dobra aproksimacija površine čija se aproksimacija želi.


• Za relativno glatku površinu, u transformacije treba uključiti i pravilo po kom se iznos pomeranja središnjih tašaka naglo smanjuje posle samo nekoliko iteracija.

• Za topografiju planinskog predela , ovo smanjivanje treba biti sporo.


• Deljenjem regiona koji sačinjavaju originalnu površinu kreira se nova pseudoslučajna površina, koja sadrži četiri puta više regiona.

• Rekurzivno mogu se deliti novi regioni u sve manje i manje regione, dok ne postanu prihvatljivo male veličine.


• Na slici 2 prikazana je mreža koja je kreirana pseudoslučajno i nacrtana uz pomoć algoritma koji će biti niže naveden.

• Podaci za sliku kreirani su uz pomoć programa koji je sličan programu koji sledi. Prva Cos naredba daje površini udubljenje u sredini, paralelno sa x osom. Sledeće dve Sin naredbe kreiraju nekoliko uzvišenja različitih veličina. Konačno, Rdn naredba daje osnovi površine nivo slučajnosti.

Sl. 2 Pseudoslučajna površ i rezultujuća fraktalna površina (faktor

deljenja 3)


X = XminFor i = 1 To NumX

Z = ZminFor j = 1 To NumZ

Y = 2 * Cos (2*/10 * z ) * ( 5 - z) / 5 + 0,25 * Sin ( 2 * x + x1 ) + 0,25 * Sin

( 13 * x + x1 ) + 0,5 * Rnd

TheGrid. SetValue x, y, zZ = z + Dz

Next jX = x + Dx

Next i


• Slika 2 prikazuje rezultujuću sliku dobijenu tako što je mreža bila deljena tri puta.

• Pošto svako deljenje povećava broj pravougaonika u mreži za faktor 4, te slike sadrže 64 puta više regiona nego originalna mreža.


• Osnovni oblik površine određen je originalnim podacima koji su prikazani na prvoj slici sl. 2. Deljenje mreže dodaje novu slučajnost površini i daje slici realističniji izgled nalik na planinske vence.

• Ovom vrstom fraktalnih površina upravlja program ObjFractalGrid koji sadrži rutine koje dele mrežu na slučajan način.


• Rutina GenerateSurface počinje promenom veličine niza Points da bi napravila prostor za sve nove podatke koji će biti generisani. Zatim, ona kopira originalne podatke o tačkma u novonastalom nizu. Ona zatim poziva podprogram SubDivide za svaki region koji predstavlja originalnu površinu.


• Podprogram SubDivide deli jedan region u četiri manja regiona i na slučajan način podešava svaku od 5 novih tačaka. On zatim rekurzivno poziva samog sabe da bi podelio male regione, ako je to potrebno.


• Parametar by govori podprogramu SubDivide maksimalan iznos sa kojim može podesiti novu tačku.

• Kada rutina poziva samu sebe, ona smanjuje by za faktor 2.

• Ovim je omogućeno da su slučajne promene relativno velike tokom poziva viših nivoa rutine.


• Pošto su regioni podeljeni u sve manje i manje regione, dozvoljena vrednost za slučajno promenljive je sve manja i manja.

• Promene tokom viših nivoa poziva postaviće generalni oblik površine, dok će promene tokom nižih nivoa poziva izvršiti samo fine izmene.


• Može se uneti nivo rekurzije i maksimalni iznos slučajnih izmena koji je dozvoljen programom.

• Ako se unese nivo rekurzije 0, program neće izvršiti modifikaciju površine.

• Ako se nivo rekurzije postavi na više vrednosti, program će kreirati daleko finije površine.


• Slučajni fraktali su se pokazali kao veoma koristni kod proučavanja erozije tla i analize seizmičkih promana kod raselina.

• Ovaj metod primenio je R.V. Voss, jedan od Mandelbrotovih saradnika u IBM-ovom istraživačkom centru, za kreiranje likova planeta, meseca , planina i oblaka koji izgledaju izvanredno realistično.


• Danas postoji niz programa u oblasti kompjuterske grafike koji koriste sve vrste fraktala ( naročito nelinearne i slučajne fraktale ) za generisanje veoma realističnih pejzaža.








Literatura : • 1. H. Jurgens, H.O.Peitgen, D. Saupe “The Fractal

geometry”-Scientific Amerikan• • 2. B. Mandelbrot “The fractal geometry of

nature” (Freeman, San Francisko 1982)•

• 3. R. Stephens “Visual Basic Grafics Programming’’

Education

Slučajni fraktali - Andrija Stanković - Vinka Grozdanović