Sistemas Dinámicos - Semana 6

Sistemas no Lineales Linealizacion Puntos de operacion Linealizacion - Funcion de una variable Linealizacion - Funcion de varias va

Sistemas Dinamicos

Capıtulo 2 - Solucion de SistemasSemana 6

Ing. Gerardo Becerra B, M.Sc.

Pontificia Universidad Javeriana

Marzo 3, 2015


Objetivos

1 Identificar suposiciones y fuentes de error (CDIO 2.1.1.2)

2 Calcular ordenes de magnitud, lımites y tendencias (CDIO2.1.3.1)

3 Plantear pruebas de consistencia y error (CDIO 2.1.3.2)

4 Discutir la generalizacion de soluciones analıticas (CDIO2.1.3.3)

5 Identificar margenes y tolerancias (CDIO 2.1.4.5)

6 Computar las soluciones al problema. (CDIO 2.1.5.1)


Objetivos

7 Utilizar datos de prueba y resultados esenciales de la solucion.(CDIO 2.1.5.2)

8 Ilustrar discrepancias en los resultados, recomendaciones yposibles mejoras de las soluciones. (CDIO 2.1.5.3,4,5)

9 Interpretar los factores relevantes del sistema (CDIO 2.3.3.1)

10 Clasificar los factores crıticos, efectos colaterales, metricas yvariables adicionales que complementan el modelo propuesto.(CDIO 2.3.3.2)


Agenda

1 Sistemas no Lineales

2 Linealizacion

3 Puntos de operacion

4 Linealizacion - Funcion de una variable

5 Linealizacion - Funcion de varias variables

6 Linealizacion - Sistema dinamico no lineal

7 Referencias


Agenda


2 Linealizacion





7 Referencias


Sistemas no Lineales

Las ecuaciones de estado generales para un sistema dinamico sepueden escribir como:

dx(t)

dt= f(t, x(t),u(t)), x(t0) = x0

y(t) = h(t, x(t),u(t))

Donde las funciones f y h son no lineales.



Con frecuencia los modelos de sistemas fısicos resultan ser nolineales.




Puede ser difıcil analizar sistemas no lineales directamente.





Los metodos para analizar sistemas lineales estan biendesarrollados.






Los metodos de diseno de controladores para sistemas nolineales aun no estan totalmente desarrollados y confrecuencia son difıciles de utilizar.







Una gran variedad de metodos y herramientas de softwarepara diseno de controladores y analisis estan basados en el usode modelos lineales.







Una gran variedad de metodos y herramientas de softwarepara diseno de controladores y analisis estan basados en el usode modelos lineales.

Se desea obtener un modelo lineal cuya respuesta sea muysimilar a la del modelo no lineal: Linealizacion


Agenda


2 Linealizacion





7 Referencias


Linealizacion

x

f (x)

Caracterıstica no lineal de un elemento


Linealizacion

x

f (x)

x

f (x)

Punto de operacion

Punto de operacion


Linealizacion

x

f (x)

x

f (x)

Punto de operacion

Aproximacion lineal

Linealizacion alrededor del punto de operacion


Linealizacion

Podemos escribir x como la suma de un termino constante (valoren el punto de operacion) y un termino variable:

x = x︸︷︷︸

valor nominal

+ x︸︷︷︸

variable incremental


Linealizacion


x = x︸︷︷︸

valor nominal

+ x︸︷︷︸


La funcion f tambien puede escribirse de la misma manera:

f = f + f


Linealizacion


x = x︸︷︷︸

valor nominal

+ x︸︷︷︸



f = f + f

La aproximacion lineal es:

f = kx


Linealizacion


x = x︸︷︷︸

valor nominal

+ x︸︷︷︸



f = f + f

La aproximacion lineal es:

f = kx

donde la pendiente k corresponde a la derivada de f evaluada en elpunto x :

k =df

dx

∣∣∣∣x


Linealizacion

x

f (x)

x

f (x)

Punto de operacion

x

f

f (x)

f = kx

Marco de referencia de variables incrementales


Agenda


2 Linealizacion





7 Referencias


Puntos de operacion

Puntos en el espacio de estados en los cuales permanece unsistema si la entrada se mantiene constante.


Puntos de operacion


Dado un vector de entrada u(t) = u, ∀ t, ¿Que valor (o valores)toma el estado?


Puntos de operacion


Dado un vector de entrada u(t) = u, ∀ t, ¿Que valor (o valores)toma el estado?Solucion en estado estable de:

dx(t)

dt= f(t, x(t),u(t))


Puntos de operacion

Se considera que los puntos de operacion del sistema cumplencondiciones de equilibrio: las derivadas son cero:

0 = f(t, x, u)


Puntos de operacion


0 = f(t, x, u)

Dado que f es no lineal, puede tener de cero a infinitassoluciones.


Puntos de operacion


0 = f(t, x, u)

Dado que f es no lineal, puede tener de cero a infinitassoluciones.

Las ecuaciones diferenciales se reducen a ecuacionesalgebraicas.


Agenda


2 Linealizacion





7 Referencias


Linealizacion - Funcion de una variable

Expansion en serie de Taylor de funcion de una variable,continuamente derivable:

f [x(t)] = f (x) +df

dx

∣∣∣∣x

[x(t)− x ] +1

2!

d2f

dx2

∣∣∣∣x

[x(t)− x ]2 + . . .



Expansion en serie de Taylor de funcion de una variable,continuamente derivable:

f [x(t)] = f (x) +df

dx

∣∣∣∣x

[x(t)− x ] +1

2!

d2f

dx2

∣∣∣∣x

[x(t)− x ]2 + . . .

Aproximacion lineal: tomar los dos primeros terminos:

f [x(t)] ≈ f (x) +df

dx

∣∣∣∣x

[x(t)− x ]



Como x es constante

f [x(t)] = f (x) + kx



Como x es constante

f [x(t)] = f (x) + kx

La pendiente

k =df

dx

∣∣∣∣x



Como x es constante

f [x(t)] = f (x) + kx

La pendiente

k =df

dx

∣∣∣∣x

La variable incremental

x(t) = x(t)− x



El error de la aproximacion corresponde a:

e =f (x)− [f (x) + kx ]

f (x)



El error de la aproximacion corresponde a:

e =f (x)− [f (x) + kx ]

f (x)

La magnitud del error depende del tipo de funcion


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2 Linealizacion





7 Referencias


Linealizacion - Funcion de varias variables

Funcion de varias variables

z = f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]




z = f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]

El punto de operacion

x = [x1, x2, . . . , xn]T




z = f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]

El punto de operacion

x = [x1, x2, . . . , xn]T

La expansion de Taylor

z =f [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)]

≈f [x1, x2, . . . , xn] +∂f

∂x1

∣∣∣∣x

[x1(t)− x1]

+∂f

∂x2

∣∣∣∣x

[x2(t)− x2] + . . .



Tomando los terminos de primer orden:

z ≈ f (x) + [∇f (x)]T [x − x ]

con

[∇f (x)]T =

[∂f

∂x1

∣∣∣∣x

∂f

∂x2

∣∣∣∣x

. . .∂f

∂xn

∣∣∣∣x

]



Tomando los terminos de primer orden:

z ≈ f (x) + [∇f (x)]T [x − x ]

con

[∇f (x)]T =

[∂f

∂x1

∣∣∣∣x

∂f

∂x2

∣∣∣∣x

. . .∂f

∂xn

∣∣∣∣x

]

La linealizacion de f alrededor del punto de operacion esequivalente a colocar un plano tangente en la superficie en elpunto de operacion.


Ejemplo 1: Linealizacion - Funcion de varias variables

Encuentre la aproximacion lineal de la funcionz = f (x , y) = 4x3y2 + 2y en el punto [x , y ] = [1,−2].




∂f

∂x= 12x2y2

∂f

∂x

∣∣∣∣[x ,y ]

= 48

∂f

∂y= 8x3y + 2

∂f

∂y

∣∣∣∣[x ,y ]

= −14




∂f

∂x= 12x2y2

∂f

∂x

∣∣∣∣[x ,y ]

= 48

∂f

∂y= 8x3y + 2

∂f

∂y

∣∣∣∣[x ,y ]

= −14

z ≈ f (x , y) + [∇f (x , y ]T[x − x

y − y

]




∂f

∂x= 12x2y2

∂f

∂x

∣∣∣∣[x ,y ]

= 48

∂f

∂y= 8x3y + 2

∂f

∂y

∣∣∣∣[x ,y ]

= −14

z ≈ f (x , y) + [∇f (x , y ]T[x − x

y − y

]

z ≈ 12 + [48,−14]

[x − 1y + 2

]




∂f

∂x= 12x2y2

∂f

∂x

∣∣∣∣[x ,y ]

= 48

∂f

∂y= 8x3y + 2

∂f

∂y

∣∣∣∣[x ,y ]

= −14

z ≈ f (x , y) + [∇f (x , y ]T[x − x

y − y

]

z ≈ 12 + [48,−14]

[x − 1y + 2

]

z ≈ 48x − 14y − 64



0.5

1

1.5

−2.5

−2

−1.5−20

0

20

40

60

80


Agenda


2 Linealizacion





7 Referencias


Linealizacion - Sistema dinamico no lineal

Sea el sistema en variables de estado

dx(t)

dt= f[x(t),u(t)] + b



Sea el sistema en variables de estado

dx(t)

dt= f[x(t),u(t)] + b

Para encontrar el punto de operacion se asume el estado estable:

d x

dt= 0 = f[x, u] + b



Restando las dos ecuaciones:

d(x(t)− x)

dt= f[x(t),u(t)]− f[x, u]



Restando las dos ecuaciones:

d(x(t)− x)

dt= f[x(t),u(t)]− f[x, u]

Linealizando f:

d(x(t)− x)

dt=

∂f

∂x

∣∣∣∣[x,u]

(x(t)− x) +∂f

∂u

∣∣∣∣[x,u]

(u(t)− u)



Las variables incrementales son:

x(t) = x(t)− x u(t) = u(t)− u




x(t) = x(t)− x u(t) = u(t)− u

La ecuacion linealizada queda:

d x(t)

dt=

∂f

∂x

∣∣∣∣[x,u]

x(t) +∂f

∂u

∣∣∣∣[x,u]

u(t)




x(t) = x(t)− x u(t) = u(t)− u

La ecuacion linealizada queda:

d x(t)

dt=

∂f

∂x

∣∣∣∣[x,u]

x(t) +∂f

∂u

∣∣∣∣[x,u]

u(t)

Existe un vector de entradas u que lleva el sistema al punto deoperacion:

dx

dt= f(x, u) = 0



En resumen, para dxdt

= f(x+ x, u+ u) el modelo linealizadoalrededor de un punto de equilibrio es:

˙x ≈∂f

∂x

∣∣∣∣x,u

x+∂f

∂u

∣∣∣∣x,u

u



En resumen, para dxdt

= f(x+ x, u+ u) el modelo linealizadoalrededor de un punto de equilibrio es:

˙x ≈∂f

∂x

∣∣∣∣x,u

x+∂f

∂u

∣∣∣∣x,u

u

∂f

∂x

∣∣∣∣x,u

=

df1dx1

. . . df1dxn

df2dx1

. . . df2dxn

.... . .

...dfndx1

. . . dfndxn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x ,u

∂f

∂u

∣∣∣∣x,u

=

df1du1

. . . df1dup

df2du1

. . . df2dup

.... . .

...dfndu1

. . . dfndup

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x ,u



Comparando con un sistema lineal:

d x

dt=

d

dt(x− x) = Ax+ Bu

A =∂f

∂x

∣∣∣∣x,u

B =∂f

∂u

∣∣∣∣x,u



Comparando con un sistema lineal:

d x

dt=

d

dt(x− x) = Ax+ Bu

A =∂f

∂x

∣∣∣∣x,u

B =∂f

∂u

∣∣∣∣x,u

¿Ecuacion de salida?



Dada la ecuacion de salida:

y1 = h1 [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]

...

yq = hq [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]



Dada la ecuacion de salida:

y1 = h1 [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]

...

yq = hq [x1(t), . . . , xn(t), u1(t), . . . , up(t)]

La ecuacion linealizada es y = Cx+Du, donde:

C =∂h

∂x

∣∣∣∣x,u

=

dh1dx1

. . . dh1dxn

dh2dx1

. . . dh2dxn

.... . .

...dhqdx1

. . .dhqdxn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u

D =∂h

∂u

∣∣∣∣x,u

=

dh1du1

. . . dh1dup

dh2du1

. . . dh2dup

.... . .

...dhqdu1

. . .dhqdup

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x,u


Linealizacion de sistemas - Procedimiento

1 Determinar el punto de operacion o de equilibrio.




2 Emplear las variables incrementales.





3 Reemplazar los elementos no lineales por los dos primerosterminos de la expansion en serie de Taylor de su ecuacioncaracterıstica.






4 Empleando la ecuacion en equilibrio, eliminar los terminosconstantes en la ecuacion diferencial.






4 Empleando la ecuacion en equilibrio, eliminar los terminosconstantes en la ecuacion diferencial.

5 Determinar las condiciones iniciales para las variablesincrementales.


Ejemplo 2: Linealizacion - Sistema dinamico no lineal

Para el ejemplo 10 de la clase 2:

Encontrar el punto de operacion.

Definir las variables incrementales.

Linealizar.



Para el ejemplo 11 de la clase 2:

Encontrar el punto de operacion para ei = 30V .

Definir las variables incrementales.

Linealizar.



Un sistema no lineal esta descrito por la ecuacion de estado:

x(t) = y(t)

y(t) = −|x(t)|x(t)− 2x(t)− 2y3(t)− 3 + 0.2 cos(t)

Obtener el modelo linealizado


Agenda


2 Linealizacion





7 Referencias


Referencias I

[1] Matlab documentation center.http://www.mathworks.com/help/matlab/.Accessed: 2014-02-10.

[2] System Dynamics: Modeling and Simulation of Mechatronic

Systems.John Wiley & Sons, 2000.

[3] C. Chen.Linear System Theory and Design.Oxford series in electrical and computer engineering. OxfordUniversity Press, 1984.

[4] C. Close, D. Frederick, and J. Newell.Modeling and Analysis of Dynamic Systems.Wiley, 2001.

http://www.mathworks.com/help/matlab/


Referencias II

[5] C. Desoer and E. Kuh.Basic Circuit Theory.McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2009.

[6] R. Dorf and R. Bishop.Modern Control Systems.Pearson, 2011.

[7] C. Smith and A. Corripio.Principles and practice of automatic process control.Wiley, 2006.

[8] S. Zak.Systems and Control.Engineering & Technology. Oxford University Press, 2003.