UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSMAYOR DE SAN MARCOS

Facultad de Ciencias económicasFacultad de Ciencias económicas Microeconomía AvanzadaMicroeconomía Avanzada

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Paredes Calvet Alfredo Antonio Paredes Calvet Alfredo Antonio Talaverano Yia Marie Talaverano Yia Marie

Lima – Perú Lima – Perú 20102010

IMPACTO E IMPORTANCIA DEL LEMA DE SHEPARD Y LA

IDENTIDAD DE ROY EN LA TEORIA DEL CONSUMIDOR

Identidad de Roy

Para entender esta identidad tenemos que empezar resolviendo el problema primal del consumidor.

PrimalTenemos que maximizar la Utilidad del consumidor sujeto a la restricción presupuestaria que tiene el consumidor.

Después de eso vamos a encontrar las condiciones de primer orden, para de ahí poder obtener las ecuaciones de demanda Marshaliana

De (1) y (2) obtenemos las Ecuaciones de Demanda Marshaliana.

Luego reemplazamos x e y en la función objetivo (U(x,y)):

Después de haber hecho esto podemos darnos cuenta que la Identidad de Roy nos sirve para encontrar las ecuaciones de Demanda Marshaliana, una vez conocida la función de Utilidad Indirecta

Lema de Shepard

EL DUAL del problema de maximización del bienestar del consumidores alcanzar un determinado nivel de utilidad (u) con el menor gastoposible

La canasta A consigue el nivel de utilidad al menor gasto, la B también consigue ese nivel de utilidad pero con un nivel de gasto mayor. La canasta C tiene un gasto menor pero no consigue el nivel de utilidad deseado.

El Consumidor minimiza gasto s.a. U(x,y)Z(x,y)=Px.x+ Py.y + λ[ U-U(x,y)]• CNPO∂Z(x,y)/∂x = -λUx + Px =0, Solución es : λ=Px

Ux∂Z(x,y)/∂y= -λUy + Py=0, Solución es : λ=Py

Uy∂Z(x,y)/∂λ= U-U(x,y)=0……………(2)

Px =Ux

λ =Py Uy

Px = Ux ……….(1) Py Uy

En (2) Xh = Xh( Px, Py, U) Demanda Xh = Xh ( Px, Py, U) Compensada

Luego X e Y se reemplaza en la fucnicon objetivo:Gasto = e = Px .Xh (Px, Py, U) + Py.Yh( Px, Py, U)E= e(Px, Py, U)Función de Gasto : del consumidor muestra losgasto mínimos necesario para alcanzar undeterminado nivel de utilidad con un determinadoconjunto de precios

LEMA DE SHEPARD

Permite recuperar la demanda compensada a partir del gasto mínimo.

Ejemplo del Problema Primal en la Teoría del Consumidor

Con la siguiente función de utilidad:

U= 4x. y Hallar:

a) Función demanda ordinaria (F.U.I y gasto mínimo)

b) Halle la función de Demanda compensada F G H. F.U.I

c) Halle el valor de la Utilidad directa e indirecta para un ingreso de

I= 400Px= 10Py= 5

d)Verifique la validez de la identidad de Roy.

Primal: Consumidor maximiza utilidad sujeto a la recta de presupuesto.

Z= 4x y + λ [I-pxX-PYy]

= 2x y- λ Px = 0

= 2x y- λ Py = 0

= I- PX X- PyY = 0

I = PX X+ Py [PxX/Py] Xm= I/2Px Ym= I/2Py

X e Y en función objetivo:

U = 4 (I/2Px). (I/2Py) V =

F.U.I

c) U=? V=?

Si I= 400, Px= 10, Py= 5

X0 = = = 20

Y0 = = = 40

U0 = 4(20) (40) = 80

V =

V =

V = V = 80 2

d) IDENTIDAD DE ROY:

Xm =

=

V = 2 I Px .Py

Xm=

E. ingreso = 1, bien normal.

Ejemplo del Problema Dual en la Teoría del Consumidor

Tomando en cuenta la siguiente función de utilidad 21

21

4 yxU vamos a resolver el problema dual en la teoría del consumidor:

21

21

0 4. YXUasYPXPMin YX

2

121

4 YXUYPXPZ YX

)2(04

02

02

21

21

21

21

21

21

YXUZ

YXPY

Z

YXPX

Z

Y

X

)1(Y

X

Y

X

P

XPY

X

Y

P

P

Reemplazando (1) en (2) tenemos:

21

21

4

Y

X

P

XPXU

Despejamos X y obtenemos la función de Demanda Compensada para el bien X:

421

21 UPPX XYH

De manera análoga la función de demanda compensada para el bien Y es:

421

21 UPPY YXH

Reemplazando las funciones de demanda compensada en la función objetivo obtenemos la Función de Gasto mínimo:

21

21

21

21

21

21

2

44

YX

YXYXYX

PPV

e

VUhaciendo

UPPP

UPPPe

Función de Gasto mínimo

Con la función inversa del gasto mínimo y tomando en cuenta que e=I obtenemos la Función de Utilidad Indirecta

21

21

2

YX PP

IV

Verificando la validez del lema de Shepard

XH P

eX

21

21

2 YX PPV

e

21

21

4 YXH PPV

X

Teniendo en cuenta que:

Aplicando el lema de Shepard obtenemos:

Hallar el valor de la utilidad indirecta, el gasto mínimo y la demanda compensada para un ingreso de 400

510 YX PP14.113510

)400(221

21 V

01.4005102

14.11321

21

e

204

14.113105 2

121

HX

404

14.113510 21

21

HY

Ejemplo¿Cuál será el consumo del

estudiante?Un estudiante de economía decide comer en la cafetería de la facultad en donde encuentra hay diferentes

platillos a diferentes precios.

□1*El estudiante tiene 8 soles en su bolsillo los cuales serán utilizados para consumir en la cafetería la cual tiene la siguiente lista: (Lomo Saltado a S/.9.0, Puré con pollo al horno a S/.8.0, Arroz con pollo + refresco a S/. 8.0 y vaso de refresco a S/ 0.5)

□-Se puede ver que en el primer caso el estudiante tiene un ingreso y los precios lo que llevara a optimizar su consumo por el lado de un maximización de su utilidad.

□Él escogerá consumir Arroz con pollo + refresco a S/ 8.0debido a que Max. su utilidad porque el lomo saltado queda descartado por ser inaccesible por su precio

mayor a la restricción, mientras que el puré con pollo al horno será descartado por no venir acompañado de refresco ya que es mejor tomar refresco a no tomar refresco

□2*El estudiante tiene la misma lista de platos y sus mismos precios pero ahora el decide comer pollo y tomar refresco.

□por otro lado tenemos la situación en que conocemos su preferencia de querer comer pollo es decir indirectamente conocemos que su utilidad esta dada por comer pollo y tomar refresco por tanto vamos a optimizar el consumo del estudiante mediante una minimización del gasto (dual)

□conocemos que su utilidad esta dada por comer pollo y tomar refresco, entonces una solución y por tanto quedara descartado el lomo saltado mientras que por gastos si contamos que el arroz con pollo viene con refresco a 8 soles y el puré con

pollo al horno con refresco

a 8.5 soles entonces si estos

me brindan la misma utilidad

pero elegirá como en el caso

anterior el arroz con pollo

mas refresco porque su gasto

será menor.

Conclusiones

□La teoría de la dualidad en el consumo es clara al permitir obtener en forma simple la funciones de demanda tanto marshallianas como compensadas

□Se demuestra la semejanza entre el planteamiento del problema de max.U y de min.G, al permitir de forma inmediata conocer el efecto sustitucion.

L. SHEPARD

P. Primal: P. Dual:

I. ROY

E. SLUTSKY

INVERSA

C.P.O.+ P.R.

F.D.U.

C.P.O.+ F.D.U.

R.P.

F. de demanda ordinaria

F. de demanda

compensada

F. indirecta de utilidad F. de gasto

□La dualidad permite resolver el llamado problema de integrabilidad (la posibilidad de obtener la función de utilidad que se encuentra debajo del proceso de optimización.

e( p, v( p, m)) = mEl gasto mínimo necesario para alcanzar la utilidad

v( p, m) es m.

v( p, e( p, u))= uLa utilidad máxima generada por el ingreso

e( p, u) es u

X( p, m)=h( p, v( p, m))La demanda marshalliana correspondiente al nivel

de ingreso m es idéntica a la demanda hickisana correspondiente al nivel de utilidad v( p, m)

□h( p, u) = x( p, e( p, u))La demanda hicksiana correspondiente

al nivel de utilidad u es idéntica a la demanda marshalliana

correspondiente al nivel de ingreso e( p, u)

Lema de Shepard

□Deja claro que los individuos cambiarán generalmente los bienes que adquieren cuando cambian incluso si se mantiene constante su utilidad( efecto sustitución por los precios relativos)

□Se ha visto que la medida del coste de vida se hace bajo:

• El Índice de precios al consumo (IPC),es un indicador del coste total de los bienes y servicios comprados por un consumidor representativo

• El IPC es un indicador preciso de los precios de los bienes considerados pero no es una medida perfecta del coste de la vida.

Aplicaciones de la identidad de Roy

Problemas de medición del coste de vida

• Sesgo de sustitución• Introducción de nuevos bienes• Cambios de la calidad• Cesta no es igual para todo el mundo

El sesgo de nuevos bienes La cesta de la compra no refleja los cambios de capacidad

adquisitiva que se produce como consecuencia de la aparición de nuevos bienes.

No se refleja el bienestar que las personas registran al consumir estos productos

□ Los nuevos productos generan una mayor variedad que hace que cada dinero gastado tenga un mayor valor.

□ Los consumidores necesitan una menor cantidad de dinero para mantener el mismo nivel de vida.

□Para medir este impacto realmente se afronto el problema de como expresar la demanda marshalliana de un bien nuevo (estimada econométricamente) a la función de gasto.

Xm = Integrando ambos miembros obtenemos la función implícita de la utilidad indirecta o sea la función del gasto