Resumo de Matemática

Olá! Antes de tudo, parabéns por ter passado de ano. Nesse ano tudo será aumentado. A dificuldade, o estresse e a porcentagem de professores que faltam, o que se torna uma pedra na sua vida.

Me deu uma nostalgia daquelas apostilas que as escolas municipais davam pra gente. Quem estudou em colégio municipal sabe disso, mas pra quem não eu vou explicar.

As apostilas MUNICIPAIS eram cadernos com cerca de 30 a 70 páginas, dependendo da matéria que nós recebíamos, e éramos obrigados a fazer ela toda em 2 meses. O pior era que a cada bimestre vinha uma leva nova de apostilas. Era tanto papel que dava até pra vender na reciclagem à quilo.

Elas não explicavam tão mal, exceto a de matemática que era simplesmente horrível. Os caras ficavam colando bonecos do Google Imagens nela, e desenhavam balões com frases incompletas e a gente devia completar aquela merda. Tanto cálculos como frases, vinham todos incompletos (Tipo, o cara estava explicando a matéria pela primeira vez e estava escrito “ A _____ dos _________ com _________ se chama ________ e dá _______”. E depois perguntavam porque a média do meu colégio era 5,2 e porque mais da metade da turma era sempre reprovada em matemática (tá, a gente também não queria nada com nada). No final o professor corrigia a apostila e eu tirei 1, e ainda passei direto de ano. Isso é que é qualidade de educação.

O mais irônico de tudo foi que nosso colégio ganhou um prêmio pela nossa média ser 0,2 pontos acima da média do município que se lembro bem era 5.

Leia se Quiser

Tá mas voltando ao assunto, vou fazer esse slide em formato de apostila de colégio municipal. Pra quem conhece relembrar e pra quem não conhece, conhecer. Afinal mesmo suas notas sendo altas você não se garante em matemática, ninguém se garante. Se se garantir eu vou torcer pra que tire zero na prova pra deixar de ser boçal.

Atenção o material a seguir é uma paródia das apostilas Municipais de ensino fundamental do Rio de Janeiro. A matéria apresentada nela é real, mas a bibliografia é falsa.

Ensino médio

1°B

IMES

TRE

-

20

14

ESCOLA MUNICIPAL:_________________________________________________________________

NOME:_____________________________________________________ TURMA:________TODAS

CEFET MARACANÃ

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

1

Sumário Página (não slide)

Introdução........................................................................................2Números Complexos.........................................................................3Potenciando números complexos.....................................................4Equações de segundo grau com números complexos........................7Forma algébrica...............................................................................11Forma trigonométrica......................................................................13Conversões de formas......................................................................14Cálculos básicos com números complexos.......................................19Matrizes...........................................................................................20Cálculos com matrizes......................................................................23Localização de um vetor numa matriz..............................................28

Veja a matéria que você não sabe, tomara que não sejam todas, porque se forem, diga adeus pro resto do seu dia.

Olá alunos, hoje começaremos as matérias desse ano, que infelizmente poucos se sairão bem. Afinal , por culpa da falta de incentivo dos pais, da sua falta de vontade de aprender, pelo fato de todo mundo que queria ter uma salário melhor que um cobrador de Kombi já ter saído do seu colégio, eu tenho de digitar essa apostila pra você. Enquanto dormem na sala, enquanto seu professor e fica corrigindo provas, enquanto seus colegas entram escondidos no facebook e os outros usam o celular do outro colega pra ver o jogo do Barcelona, por pura falta do que fazer, você lê essa apostila.

A educação brasileira chegou a um nível tão assustador que está comprometendo até futuras possíveis formações de famílias. Veja o seu colega por exemplo:

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4C

oo

rde

nad

ori

a d

e E

du

caçã

o

htt

p:/

/ww

w.n

aole

iais

sose

uan

imal

.co

m.b

r

http

://ww

w.xalala.go

v.br

Gata, vossê não é u Pikachu, mas eu escôlio vossê... Hãn?!!

2[índice]

Tá, mas vamos com a matéria.C

oo

rde

nad

ori

a d

e E

du

caçã

oM

ate

mát

ica

-2

°AN

O1

°B

ime

stre

20

14

3

Números Complexos

Não se assuste com esse nome. Números complexos, ou números imaginários, são sinais algébricos (letras) que representam um número que não faz parte dos _______________ (lR). Como se sabe, o conjunto de números reais são muito abrangentes, eles começam do ____ até o ____ e incluem frações, números racionais e irracionais, mas mesmo assim não há nenhum número nesse conjunto que consiga solucionar uma ________________________. Aí é que os números complexos entram em cena. Numa equação eles são representados pela letra “I”.

Mas por que você precisa saber a respeito desse conjunto? Porque vai cair na prova. Você pode dirigir, comer, dormir, viajar, descansar e ler sem saber sobre isso, mas tirar uma boa nota na prova você não vai. Tudo aqui faz parte da sua imaginação, e os resultados são imaginários (exceto em alguns casos). Mas vamos primeiro com o básico.

O valor dessa letra I é sempre ____ que é um número irreal. Mas na matemática uma coisa leva a outra e conseguimos vários valores diferentes potenciando esse número. Veja só:

Números Reais

-∞ +∞

Raiz quadrada Negativa

√-1

I = √-1 I² = -1

Pelo fato de o I valer ______ , elevando-se ele ao quadrado, simplesmente se multiplica _______ por _______ e se tem ______ que é um número inteiro e real, do qual você pode usar em cálculos. E essa informação é útil num dever.

√-1 √-1 √-1-1

[índice]

4

E agora vem uma tabela com os valores potenciados de I:

I⁰ = 1

I¹ = I

I² = -1

I³ = -I

I = 1

I = I

I =-1

I = -I

I = 1

4

5

6

7

8

Qualquer incógnita elevada a 0 dá 1. Porque a incógnita apenas é um número desconhecido

Qualquer número elevado a 1 dá ele mesmo

Quando uma raiz é potenciada ao quadrado, a raiz some. Lembrando que I vale √-1

Con

stan

te

.......

Uma incógnita elevada a 3 fica negativada

É o resto se repete........

Potenciando Números complexos

O padrão é sempre 1, I, -1 e –I.

Já que você não paga por essa apostila e há espaço na página vou colocar um anúncio dos nossos patrocinadores. Você não se importa não é?

Patrocínio

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

5

Por que é útil saber esses valores? Mesmo que não caia na prova é preciso para se saber os expoentes dessa incógnita. Pois existem algumas questões que caem com isso. Vou dar um exemplo:

I⁰+ I¹+ I² + I³ = 1 + I + -1 + -I = 0 A conta zera pois coloquei todos os valores da constante

1) Agora que você já entendeu muito, faça alguns exercícios e erre:

A) (I⁰ + I¹)(I²+ I³)= (1 + I)(-1 + -I) = -1 -I -I -I² = -1 -2I –(-1) = -1 -2I +1 = -2i

B) I + I = Deixa eu explicar essa: Você sabe que essas potências são constantes. Elas se repetem a cada 4 potência pois começa no 0 e termina na terceira potencia. Então para evitar calcular essas potências malucas, simplesmente divida elas por 4 e leve em conta o resto da conta que será um

número entre 0 (se não tiver resto) e 3. I¹ + I¹ = I + I = 2i

Pois I² vale -1

9 999937

9 4-8 21

37 4-36 9

1

Quando se divide um número de muitos dígitos por 4, apenas leve em conta seus dois últimos

6

Toma 50 sentavus!

É qui eu sôum conkistadôbaratu...

Pra quê ?

C) I + I + I + I + I + I ..... I = É bem fácil fazer esse tipo de cálculo. Você sabe que a cada 4 potências os valores completam seu ciclo e zeram. Então em vez de dividir primeiro os valores das potências, divida primeiro os seu número. Da potência 17 à 30 há 14 potências, se não acredita em mim, conte com os dedos. E 14 dividido por 4 dá 3 com o resto 2 que é o número que vamos usar. Significa que há apenas duas potências que tem valor. Sabemos que essas duas potências são as últimas, pois se você converter todos os valores, a anulação começa pelo 17. As duas últimas potências são a I e I . Agora dá pra

calcular. I¹ + I² = I -1

17 18 19 20 21 22 30

29 30

29 4-28 7

1

30 4-28 7

2

Em seguida veremos a Forma algébrica desses números, as probabilidades dela e como resolver uma função de segundo grau usando números complexos fora outras inutilidades que você vai esquecer depois de fazer a prova.

(leia devagar essa questão. É simples mas nem tanto)

[índice]

Enquanto isso seu colega continua tentando ficar com aquela garota

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

7

Resolvendo uma equação de segundo grau:

Ano passado era impossível resolver uma equação de segundo grau se o Delta fosse negativo. Agora é possível. Imagine o que será possível no ano que vem. Dá medo de pensar. Vamos fazer uma equação que sabemos que vai dar algo ‘errado’:

f(x)= x² -2x +4 = 0Δ = (-2)² - 4.1.4Δ = 4 -16Δ = -12 e daqui as coisas começam a ficar estranhas

x = -(-2) ± √-12 2.1

x = 2 ± √12 .√-12

O problema é que -12 não tem raiz

Daí substituímos a raiz por algo que faça parte dos números reais, ou seja, sempre uma raiz positiva vezes √-1

x = 2 ± √2².3 .i2

12 não tem uma raiz exata, então substituímos ele na forma fatorada e trocamos o √-1 por i, pois i vale √-1

3

2

1

8

x = 2 ± 2√3i 2

E a raiz varre a potência do 2 e enraíza o 3, e o i multiplica essa raiz dando √3i vezes 2

x = 1 ± √3i E esse é o resultado.

Agora colocando no plano cartesiano:

Raízes (1 + √3i) e (1 - √3i)Coordenadas: (1 + √3) e (1 - √3) ignore o I

-3 -2 -1 +1 +2 +3

-1

-2

-3

-√3

.

.

√3x1

x2

Essa é uma função usando números complexos. É feia, imprecisa e confusa. Esses dois pontos são as possíveis coordenadas, chamadas afixos. Elas são sempre simétricas devido a incerteza da verdadeira localização.

√3 vale aproximadamente 1,7

Curiosidade: Quando se depararam com esse problema de raízes negativas, os matemáticos levaram 300 anos pra conseguir a solução. Porém, nós estamos aprendendo isso em 1 bimestre

y

x

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

9

Agora vamos fazer um mais hardcore:

Reduzir em ₵ (A MESMA COISA DO ANTERIOR) x³ + x² + x + 1= 0 aqui não se vai usar delta pois não é do tipo ax²+b+c

x³ + x² + x + 1= 0 se coloca o x² em evidência

x² (x+1) + 1(x+1) = 0 note que o x² só simplifica o x³ + x² e o x +1 é multiplicado por 1 pois este não muda o número

inicial e o fatora ao mesmo tempo

(x + 1)(x² +1) = 0 já que ambos os lados tem x+1, colocamos ele como fator comum, mas não podemos

simplesmente nos livrar do x² então jogamos ele dentro desse conta no lugar de x. Por favor não diga que não entendeu, tente multiplicar esse (x + 1)(x² +1) e verá que ele vai dar x³ + x² + x + 1. Tudo não passa de uma simplificação

Agora você sabe que x+1 vezes x² +1 é igual a _____. Isso significa que obrigatoriamente uma dessas expressões é ____. Então vamos usar a lógica:

Ou x +1 = 0 ou x² +1 = 0 Em ambos só é preciso descobrir o x

x = - 1 x²= -1x = ± √-1 se usar ± nessa porque é uma equação de segundo grau

x = ± i √-1 é igual a I

zero

zero

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

10

Em vez de duas probabilidades, temos 3. Ou x = -1 ,ou igual a +i ou –i. Agora pondo isso no gráfico:

Raízes: x1= -1 + 0i x2 = 0 + i x3 = 0 – i

Coordenadas (x,y) : C1= (-1,0) C2= (0,1) C3= (0,-1) Não entendeu porque deu isso? Os números reais equivalem ao eixo X e os imaginários (com i ) ao eixo Y. O x1 tinha uma parte real mas não tinha nenhuma parte imaginária, por isso ficou com o Y zerado. O x2 e x3 foram o contrário, eles não tem parte real, por isso ficaram com o X zerado, e cada i corresponde a um número. Por exemplo: i equivale a 1 no eixo y e 2i equivale a 2 e assim em diante...

3

2

1

-1

-2

-3

-3 -2 -1 +1 +2 +3...

x1

x2

x3

Não trace linhasGeralmente nesse ponto a dor de cabeça começa a

te atingir e eu cito isso. Mas dessa vez vou ser mais original e colocar um poeminha:

“ Ficar tonto é a ressaca de quem bebe,Ficar drogado é a ressaca do pivete,Mas a dor de cabeça,É a ressaca de um aluno do CEFET ”

Resumindo o que você precisa fazer: Simplificar ao máximo a equação (se não for do tipo ax²+b+c ) e achar as raízes. y (imaginário)

x (real)

[índice]

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

11

Forma algébrica:

Z = a + bi

Z = Símbolo dos Números ComplexosA = Parte real da equaçãob = Parte real misturada com imagináriai = Parte Imaginária da equação

Para tornar calculável um número imaginário (ou complexo), você precisa transformá-lo em duas partes diferentes: a real e a imaginária. Mas há chances desse número deixar de ser totalmente imaginário ou ser completamente real. Assim:

Se a e b = 0 o resultado se torna completamente imaginário:

Ex: Z= (a+b-i)(1-i) = a –ai +b –bi –i +i² = a+b -1 –ai –bi –i Se separa a parte real da imaginária (com i) e trocamos o i² por -1

a + b -1 = 0 agora se pega a parte real da equação e iguala a zero pois se deve saber o valor que a e b devem ter para não valerem nada

a + b = 1 e esse valor é _. Significa que se a + b forem iguais a _, a equação se torna totalmente ____________ .

1 1Imaginária

12

Se i = 0 o resultado se torna completamente real:

Ex: Z= (x-3i)(3+xi) = 3x +x²i -9i -3xi²= 3x + x²i -9i – 3x(-1) substitui-se novamente o i² por -1

= 3x + x²i -9i +3x e agora se separa a parte imaginária da real3x+3x + x²i -9i se pega só a parte imaginária (com i)

= x²i -9i(x²- 9)i e se coloca o i em evidência

x² -9= 0 agora ignore o i (porque você só precisa dos valores) e coloque igual a zero pois você quer saber o valor que o x tem de ter para zerar a parte imaginária

x²= 9 x= ±√ 9 se usa mais ou menos porque é uma equação de segundo grau

x=±3 se x for igual a ___ou ___, a parte imaginária _____ e o número fica completamente _____

O segredo é: se cair uma questão o valor de x para que o número se torne real ou imaginário, use equações ou inequações para saber o resultado que anule um dos fatores de acordo com o que a questão pede. Agora leia de novo as duas questões, porque já mandei você parar de ler rápido!

+3 -3 somereal

[índice]

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

13

Forma trigonométrica

Você já conheceu a forma “mais fácil” de se representar números naturais. Agora vamos piorar um pouco as coisas. Conheça a linda forma trigonométrica:

Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)

A fórmula não muda. A única coisa que muda é esse cos e sen que serão substituído por graus ou por ᴨradiano, e o rho. Tá mas o que esse rho significa?

Existem ainda duas equações que você precisam saber: o módulo de Z e o valor de rho. Ambos são tão parecidos que por ignorância não vou mostrar a equação do “|z|” porque ela não tem nada a ver com conversões que vamos fazer. Se quer saber vá pro Google. Vou mostrar só a do rho:

ρ = √ a²+b²

Bonita a equação, mas o que fazer com isso? Até agora nada. Porque para se fazer o que faremos em breve precisamos de mais algumas equações:

cos ϴ = a

ρ

sen ϴ = b

ρ

Esse a e b são os fatores da forma algébrica

E não confunda as fórmulas

Rho

[índice]

.

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4C

oo

rde

nad

ori

a d

e E

du

caçã

o

14

Conversão da forma algébrica para a forma trigonométrica

Agora vamos transformar o simples no complicado:

Vamos transformar isso:

Nisso:

Z= a + bi

Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)

A pior parte não é essa, é que o resultado tem de estar no ângulo do quadrante da primeira forma. Calma, eu vou explicar. Por exemplo, se a equação for Z= -1 + 2i isso significa que o resultado terá de ser no ________ quadrante. Se for -1 -2i, estará no terceiro quadrante e o resultado terá de ser nos graus deste quadrante, ou seja, de _____ a _____ graus.

.

..

y

x

(2 + 2i) primeiro quadrante (de 0 a 90 graus)

(-2 + 2i) segundo quadrante (de 90 a 180 graus)

-2 +2

2i

-2i(-2 -2i) terceiro quadrante(de 180 a 270 graus)

(2 -2i) quarto quadrante(de 270 a 360 ou 0 graus)

segundo

180 270

Exemplos:

agora se usa as fórmulas de seno e cosseno. E se vê qual ângulo do primeiro quadrante que o cosseno e o seno batem com esses dois resultados.

Tá legal mas vamos calcular:

*Passe para a forma polar (ou trigonométrica): (-1 -√3i)

a= -1 e b = -√3 se checa os valores de a e b usando a fórmula algébrica dada

ρ = √(-1)² + (-√3)² = √1+3= √4 = 2 usa-se a fórmula do p

sen ϴ = -√3

2

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

15

Se ficácumigu ti façu isqueçerdo Alex.

Que Alex?!

Aí tá vendu? Jáisqueceu,,,

Já dá pra ver que as coordenadas são do terceiro quadrante

cos ϴ = -1

2

Se sabe que é o ângulo de ___ que dá esse seno e cosseno (só que positivos). Os ângulos se encontram negativos porque estão no ________ quadrante. Mal qual ângulo do terceiro quadrante equivale a 60 graus? Simples, cada quadrante tem 90 graus. Você está no primeiro e quer ir pro terceiro, simplesmente multiplique ________ pelos quadrantes que você vai passar e some com o grau que você tem:

90 . 2 + 60 = 240 graus

Se passa pelo segundo e terceiro quadrante

60◦

terceiro

90 graus

.

Ele acha mesmo que vai ficar com ela?

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4C

oo

rde

nad

ori

a d

e E

du

caçã

o

16

Tá, mas ainda não acabou. Agora pegue ângulo e o transforme em pi radiano ou deixe ele só em graus, mas se seu professor não deixar, passe para pi radiano.

O π radiano vale 180 graus, então divida o grau achado por 180, obviamente quando eu digo dividir quero dizer simplificar, porque se você dividir vai dar um número quebrado e vai estar errado.

240 = 120 = 60 = 12 = 4 π rad

180 90 45 9 3

Agora coloque isso na fórmula: Z= 2 (cos 4 π + i sen 4 π )

3 3

Resumindo: Apenas siga as fórmulas e se o quadrante não for o primeiro, passe tudo para os graus correspondentes à esse quadrante e depois transforme em pi radianos.

Fórmula 1:

Fórmula 2:

Fórmula 3:

ρ = √ a²+b²

cos ϴ = a

ρ

sen ϴ = b

ρ

Z= a + bi Fórmula 4:

Fórmula 5: Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)

Se não entendeu, pare de ler e se jogue de um prédio. Mais simples do que isso, impossível

esse 2 é o valor de pNão se esqueça do i sempre junto com o seno

esse é o ângulo do seno e do cossenoângulo achado

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

17

Conversão da forma trigonométrica para a forma algébrica

Vamos fazer o contrário agora,

Vamos transformar isso: Z= ρ (cos ϴ + i sen ϴ)

Z= a + biNisso:

A fórmula ‘inversa’ é bem simples. Pegue o valor do ρ e multiplique pelo valor do seno e cosseno correspondente, e só isso:

Exemplo:

Z= 4(cos 2π + i sen 2π)

3 3

Z= 4(cos 2.180 + i sen 2.180)

3 3

Z= 4 (cos 120◦ + i sen 120◦)

Se sabe que pi equivale a 180 graus, então use isso pra se livrar dessa fração

Agora se tem os ângulos do seno e cosseno. E com isso dá pra saber seu valor

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

18

Z= 4. -1 +i 4. √3

2 2

Z= -4 + i 4√3

2 2

Z= -2 + 2√3 i

Agora multiplique o valor de rho (4) pelos valores do seno e cosseno. Não se esqueça do i. Ele não é alterado, e sempre aparece no segundo fator no final da equação

E no final você tem o resultado e faz a festa

Apenas siga esses padrões e achará a resposta. Lembrando de um caso especial, se a forma trigonométrica for cos 0 + sen 0, a resposta sempre será __ ou qualquer número desde que seja _________ e não tenha parte _____________. Pois num gráfico, esse ponto dará sempre o ângulo _____________ em que o valor do seno sempre dará _______.

Só mais uma coisa, geralmente nesses cálculos cairão ângulos obtusos ou seja, ângulos com um grau entre 90 e ______ graus. Sempre o cosseno será negativo nesse quadrante e o seno _________.

1 positivo

imaginária 0◦/360◦0

180 positivo

Sen 120◦ = √32

Cos 120◦ = -12

Pra depois não dizer que não entendeu

[índice]

2i = 2i . 1 - 3i = 2i - 6i² = 2i + 6 = 6 + 2i = 3 + 1i 1+ 3i 1+ 3i 1 - 3i 1² - (3i)² 1- 9i² 10 5 5

2 (3 – 2i) -3 (4 + 5i) = 6 – 4i – 12 – 15i = -6 -19i

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

19

Cálculos básicos com números complexos

O mais difícil dessa matéria já acabou. Vamos apenas considerar algumas particularidades com números complexos.

Multiplicação: Usa-se a multiplicação comutativa, quando os números estão entre parêntesis. Sempre substituindo I² por -1.

Soma e subtração: Mesmo se as duas expressões estiverem separadas, numa conta de soma, elas obviamente são somadas, ou subtraídas. Não sei se já você notou mas a subtração é uma soma de positivos e negativos.

(3 – 2i) + (4 + 5i) = 7 + 3i

Divisão: Ligeiramente mais complicado que os outros. Nesse, caso o denominador não seja real (tenha “i” nele), multiplique ele pelo conjugado do denominador. Multiplique o numerador e o denominador por esse conjugado.

conjugado i² vira sempre -1

Fórmula do conjugado |z| = a – bi . Eu disse que não ia mostrar, mas mudei de ideia [índice]

Sempre separe a parte real da imaginária

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

20

-Matrizes

Matrizes são conjuntos de números do qual se pode fazer operações. Uma matriz pode ser chamada de A, B, C e etc. Que nem chinelos, eles são encontrados em vários lugares, há vários tipos diferentes e alguns que dão muita dor de cabeça. Das 4 operações básicas, só é possível se fazer 3 :______, __________ e ____________. Divisão não é algo possível.

Vamos ver um pouco mais a respeito delas:

Elas são divididas em linhas e colunas (m x n)

Essa é uma matriz. Uma conjunto de valores. Ela é dividida em linhas (chamadas de M) e colunas (chamadas de N). Por isso quando dizem que A3x3 isso quer dizer quer ele possui 3 linhas e 3 colunas. Lembre-se que a ordem é sempre M na frente do N ou seja m x n.

Outra coisa importante, muitas vezes é usado I e J que servem para localizar uma valor dentro de uma matriz.

Soma subtração multiplicação

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

21

Temos também as diagonais de uma matriz. Sendo que a primária começa do alto do lado esquerdo e a secundário do baixo do lado direito:

1 0 12 6 44 −8 2

Primária

Secundária

Tipos de Matrizes

Caso não tenha entendido ainda o que é uma matriz, veja: É como x = 1 por exemplo. Mas com matrizes é A = (todos esses números ao lado)

Matriz nula: Todos os seu valores são 0

0 00 0

A=

Matriz quadrada: O número de linhas é igual ao de colunas

2 41 3

A, B ou C dane-se =

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

22

Matriz transporta: Todos os elementos da primeira linha viram a primeira coluna e assim sucessivamente. Em outa palavras a “conta fica em pé”:

2 0 55 0 7

−3 5 1

A = A = t

2 5 −30 0 55 7 1

Observe a ordem dessa mudança, para não se confundir, é simplíssimo

esse símbolo indica que a matriz é transposta

Matriz identidade: Sua diagonal primária é igual a 1 e todos os outros valores valem 0. Se ela for posta numa multiplicação, não altera a conta em nada. Seu símbolo é I e seguido desse I vem um número que é o número de colunas e linhas que ela vai ter. Lembrando que ela é sempre quadrada.

1 00 1

I2= I3=1 0 00 1 00 0 1

Matriz Inversa: De todas as matrizes essa é a mais chata de se calcular. Entenda, a matriz inversa é uma matriz oposta de outra matriz, e que se você multiplicar essa matriz pela sua inversa, o resultado sempre será a matriz identidade, ou seja, uma matriz nula.

A . A = In-1

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

23

Não acabou a explicação ainda. Sou forçado a te explicar como se sabe a matriz inversa de uma matriz normal. Não queria, mas a secretaria de educação me obriga, e ganho pouco pra tanto trabalho. Então preste atenção:

A= . A = 1 31 2

1 00 1

Uma matriz qualquer vezes sua matriz inversa dá a matriz identidade ou matriz nula.

-1

A = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

-1 Já que a matriz é inversa, ela tem 2 linhas e 2 colunas como sua matriz original. Então ela tem 4 incógnitas ou seja 4 números que não conhecemos. (lembrando que se a matriz inversa é sempre do mesmo tamanho que a original)

1 31 2

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

1 00 1

. = Significa que A . A = dá uma matriz nula, é a mesma coisa que você viu lá em cima

-1

Atenção agora. Fazemos uma relação de valores bem maluca. Fazemos 4 equação que são separadas em duas relações. Multiplicamos o A pela primeiracoluna e o C pela segunda, isso forma duas

equações. Depois multiplicamos o B pela primeira coluna e o D pela segunda, e isso forma mais duas equações. Tá legal não fui eu quem inventou esse método maluco. Vou exemplificar para você entender melhor.

Gata teu pai émecanicu?

SimÉ porque tu é.... Calma aê, vossêdissi sim?

Ah meu Deus, esse cara não desiste...

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

24

1 31 2

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

.Não sei se o desenho foi claro o suficiente. O A multiplica a primeira coluna e o

C a segunda. Enquanto que o B é igual ao A e o D igual ao C. Apenas no resultado das equações que há uma diferença, o resultado se inverte. Calma, veja:

a + 3c = 1a + 2c = 0

b + 3d = 0b + 2d = 1

As multiplicações são sempre na vertical, sei que não faz muito sentido. Mas é esse padrão maluco que é usado.

Já temos as equações, mas agora temos de saber o valor de cada incógnita. O problema é, essa equação é uma de duas incógnitas. Não sei se você se lembra, mas nesse caso usamos a subtração das equações. Vamos começar:

a + 3c = 1a + 2c = 0 -

C= 1

a + 3.1 = 1a= -2

b + 3d = 0b + 2d = 1 -

D= -1

b + 3.-1 = 0b = 3

O resultado foi -1 porque na subtração das equações o 0 foi subtraído por 1 que dá -1

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

25

E já temos o resultado da matriz inversa. Não foi muito fácil não foi?

1 31 2

−2 31 −1

. = 1 00 1

Determinante de uma matriz

A determinante de uma matriz é a ______________ de suas ___________. Se multiplica as colunas e se subtrai. Mas não há como generalizar esse processo, porque dependa da ______ da matriz. Dependendo da ordem, o processo muda.

Matriz de ordem 1: A determinante é igual a matriz

Ex: A = [10] Det A = 10

Matriz de ordem 2: Se multiplica a coluna primária e se diminui pela multiplicação da coluna secundária

diferença diagonais ordem

1 23 −1

Ex:

A = Determinante de A = 1. -1 – (3.2) = -1 -6 = -7

1 −1 16 3 21 4 0

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

26

Matriz de ordem 3, 4 e etc: O processo é semelhante ao da matriz d segunda ordem, mas um pouco mais complicado. Os professores ensinam a fazer isso usando a regra de Sarrus mas ‘não vou usá-la’. Vamos simplificar essa regra porque tanto eu como você não gostamos muito de calcular.

1 −1 16 3 21 4 0

A=

Coloquei a matriz duas vezes para você entender melhor. Esse método consiste em multiplicar primeiro a diagonal principal e depois multiplicar as outras diagonais que estão ‘quebradas’. No método de Sarrus você apenas reescreve a primeira coluna. Mas pra quem tem prática, esse método é melhor.

Deter A = 1.3.0 + 1.6.4 + -1.2.1 – (1.1.3 + [-1.6.0] + 4.2.1) = (0 + 24 -2) – (3 – 6 + 8) = 22 – 5 = 17

-Cálculos com matrizes:

Soma e subtração: Só se pode somar as matrizes caso ambas tenham a mesma ________, ou seja o mesmo número de linhas e colunas. Se soma cada valor de acordo com sua localização. Simples. Com subtração, repita o processo só que obviamente subtraindo.

3 −2 −21 5 30 2 2

1 5 3−2 2 40 1 2

+ =4 3 1

−1 7 70 3 4

Se a matriz 1 se chamar A e a 2 se chamar B, o resultado será chamado de matriz __.

ordem

C

[índice]

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

27

Multiplicação: O mais chatinho de todos. Bem diferentes da multiplicação de números, a multiplicação de matrizes não é _____________ ou seja, se inverter os valores mudará o ___________ e só é possível se fazer se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da _________.

Aconselho a sempre fazer uma tabela na hora de calcular.

comutativa resultadosegunda

12 105 64 3

x2 3 44 6 8

O número de colunas do primeira é igual ao de linhas da segunda matriz. É possível se fazer uma multiplicação. E pelo fato do número de colunas da matriz 1 ser 2 e o de linhas da matriz 2 também ser 2, a matriz resultado será de ordem 2, ou seja, 2 colunas e 2 linhas.

12

5

4

10

6

3

2 3 4

4 6 8

2 . 12 + 3 . 5 + 4.4 = 55

2.10 + 3.6 + 4.3 = 50

4 . 12 + 6 . 5 + 8.4 = 110

4.10 + 6.6 + 8.3 = 100

=55 50

110 100Esse é o resultado da multiplicação

A matriz ‘em pé’ sempre fica em cima, enquanto que a matriz ‘deitada’ fica sempre em baixo

[índice]

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

28

Localização de um vetor numa matriz

Vou aproveitar seu desespero em entender a matéria para falar um pouco sobre como localizar um vetor dentro de uma matriz. Sem lembra do i e j que vem antes do A? Então esses símbolo são substituídos por números que servem para localizar um _______ numa matriz.

O I representa as linhas e o J as colunas. Se por exemplo aparecer A41 isso quer dizer que o vetor selecionado está na quarta __________ e na primeira _________. Legal, mas vou colocar alguns exemplos mesmo assim, não porque me importo com que você entenda, mas porque estou com muito espaço livre nessa página.

A14 - 1 2 -3 -27 9 4 0

esse carinha é o A14

vetor

linha coluna

B32 -0 1 93 4 22 1 1

Não confunda I e J com M e N. M e N são os números de linhas e colunas _________ de uma matriz. I e J servem para localizar uma vetor dentro de uma ________.

totais matriz

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

29

Exemplo: Veja a sequencia de matrizes:

0 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 15

16 17 18 1920 21 22 2324 25 26 2728 29 30 31

32 33 34 3536 37 38 3940 41 42 4344 45 46 47

, , ..........

Se 1 + 1 é igual a 2 e 2 + 2 é igual a 4 e Aij = 75.432, determine os valores de a e j

Como fazer isso? Se o vetor 0 é o primeiro vetor da sequencia, 75.432 deve estar bem ,longe. Mas sabemos que se trata de uma sequencia. A sequencia se repete pela primeira vez no primeiro vetor da segunda matriz. Isso que dizer que cada matriz tem 16 vetores. Para se saber qual a matriz desse maldito vetor, divida 75.432 por 16. Dará __________. Por que deu um número _________ ? Porque esse vetor está no _______ da matriz. Começamos a contar da segunda matriz pois nela é que começa a repetição. Então ___________ a parte ____________ e somamos 1 a esse resultado. E assim sabemos que a matriz é a de número ________.

Agora precisamos saber a localização do vetor dentro dessa matriz. Se a matriz __________ fosse completa, ela teria 16 vetores, mas pelo fato da conta ter sido quebrada, se vê que o vetor fica no meio dela. Então multiplique __________ por 16 e verá que o resultado será maior que 75.432. Daí diminua esse resultado por 75.432 e terá um número. Some 1 a ele pois começamos a contar do 16 em diante e terá a sua posição na matriz que o _______ vetor. Então já que as matrizes tem a mesma ordem essa matriz será na linha __ e na coluna __ ou I = __ e J= __

4714,5 . quebrado meioignoramos

quebrada 47154715

4715

nono 31 3 1

30

Eu ia terminar por aqui, mas quero ver essa cena...

Você tá sentinu cheiru de tinta?

Lá vem esse moleque..

Não!!

Purkê tápintano um clima...

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

31

Não tá pintando nada idiota!!

Co

ord

en

ado

ria de

Edu

caçãoM

atem

ática -2

°AN

O1

°B

ime

stre 2

01

4

32

Co

ord

en

ado

ria

de

Ed

uca

ção

Mat

em

átic

a -

2°A

NO

1°

Bim

est

re 2

01

4

33

Ah sim... a culpa foi dela. Caro aluno, não seja como 80% da sua turma, leve a sério os estudo (e namoros). Talvez um dia você passe pra um colégio técnico, longe de sua casa, e que você tenha de pegar vários transportes pra chegar lá, no maravilhoso calor carioca, e nas épocas de prova ainda tenha de ler um Power Point cheio de piadinhas idiotas de um colega seu. Bem, pelo menos o salário não vai ser tão ruim. Até o bimestre que vem!

Eças vadias hoji sóké káras ricus...

[índice]