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RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS ALGEBRAICOS
EN 2º CURSO DE LA ESO
Pilar Royo Regueiro
XIII Simposio de la SEIEM
Santandergrupo PNA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ALGEBRAICOS EN 2º CURSO
DE LA ESO
XIII Simposio de la SEIEM
Santandergrupo PNA
[en el marco del trabajo de investigación
“Coconstrucción de conocimiento algebraico en
primer ciclo de la ESO mediante la participación
en foros de conversación electrónicos”]
M.Pilar Royo
Dr. César Coll
Dr. Joaquim Giménez
enmarcando la experiencia…
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN. FASE DE PREPARACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
CAPÍTULO II. PRIMERA PARTE: FASE PRIMERA DEL DISEÑO METODOLÓGICO
REFERENTES TEÓRICOS
OBJECTIVOS ESPECÍFICOS Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN DEL PRIMER ESTUDIO EXPERIMENTAL
DISEÑO DEL PRIMER ESTUDIO EXPERIMENTAL EN EL MARCO DEL PARADIGMA D-B R
EL PARADIGMA “DESIGN-BASED RESEARCH” (DBR)
CAPÍTULO III. SEGUNDO ESTUDIO DE LA FASE EXPERIMENTAL DEL DISEÑO METODOLÓGICO
ACTUALIZACIÓN DE LAS BASES TEÓRICAS
REFORMULACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
DISEÑO Y REALIZACIÓN DEL ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LA SEGUNDA FASE.
ANÀLISIS DE LOS DATOS
RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
CAPÍTULO 4. HACIA UNA TERCERA FASE EN EL DISEÑO METODOLÓGICO
CONCLUSIONES GENERALES Y PRINCIPALES APORTACIONES DE LA INVESTIGACIÓN
LIMITACIONES DEL ESTUDIO. CONTINUIDAD Y NUEVAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
enmarcando la experiencia…
FINALIDAD DE LA INVESTIGACIÓN
Estudiar y caracterizar cómo algunos usos de los
foros de conversación electrónicos en situación de
presencialidad posibilitan el desarrollo del
pensamiento algebraico en los estudiantes de primer
ciclo de la ESO.
LA EXPERIENCIA
“Al usar la discusión en el salón de clases como una metodología de trabajo, se
pueden explotar varios aspectos, tales como la interacción entre alumnos, el
contexto del conocimiento matemático y las funciones cognitivas y comunicativas
como escuchar y hablar. De acuerdo con Balacheff y Laborde (1984, citado en
Hoyles y Sutherland, 1985), cuando hablamos, construimos
significados, reconstruimos lo que decimos, y las contradicciones otorgan un
incremento importante en los niveles de comprensión.”
Butto, C. Y Rojano, T. (2004) Introducción temprana al pensamiento algebraico:
Abordaje basado en la geometría. Educación Matemática. Abril 2004, vol.
16, número 001, Santillana. Distrito Federal, México, pp. 113-118
Un problema para generalizar
“Dados n puntos, ¿cuántos
segmentos necesitamos para
unirlos de dos en dos?”
aportaciones en los foros
electrónicos
per A - Tuesday, 16 December 2008, 12:02
de momento no podemos unir nada
porque no sabemos cuántos puntos
tenemos.per Maria Pilar - Tuesday, 16 December 2008, 12:03
Bien, pues entonces podemos empezar con
unos cuantos puntos, los que queráis, y ya
iremos haciendo… ¿Por cuántos puntos queréis
empezar?
aportaciones en los foros
electrónicos
por M - Tuesday, 16 December 2008, 12:11
PILI ¿qué número es n???
aportaciones en los foros
electrónicos
per Maria Pilar - Tuesday, 23 December 2008, 16:17
Me parece que habéis estado haciendo
pruebas dibujando puntos y segmentos.
Habéis probado con 2 puntos, con 8
puntos… PROPUESTA: ES POSIBLE
QUE OS VAYA BIEN HACER UNA TABLA
donde apuntar los resultados de forma
ordenada
aportaciones en los foros
electrónicos
Yo he descubierto esto:
entre el 1 y el 2 hay 1 de diferencia. Entre el 2 y el 3 hay 2 de diferencia. Entre el 3 y el 4 hay 3 de diferencia y así todos...
a es el número de segmentos.
a = n - 1 + a del número anterior
puntos segmentos
1 0
2 1
3 3
4 6
5 10
6 15
aportaciones en los foros
electrónicos
Lo hablamos en clase…
Yo he descubierto esto:
entre el 1 y el 2 hay 1 de diferencia. Entre el 2 y el 3 hay 2 de diferencia. Entre el 3 y el 4 hay 3 de diferencia y así todos...
a es el número de segmentos.
a = n - 1 + a del número anterior
…y aclaramos dudas
aportaciones en los foros
electrónicos
yo y A hemos descubierto la fórmula. Con los
ejemplos que hemos hecho ha funcionado, es:
n:2(n-1)
aportaciones en los foros
electrónicos
per D - Tuesday, 13 January 2009, 12:11
Eloi, ¿cómo puede ser que yo entienda una
cosa y tú no?¬¬“
Se trata de pillar cualquier número, que
será "n" entonces haces las operaciones
que te dice que es dividir n entre 2 y el
resultado de este multiplicarlo por el
resultado de n menos 1.
¿es lo mismo?
aportaciones en los foros
electrónicos
per D - Tuesday, 13 January 2009, 12:11
Eloi, ¿cómo puede ser que yo entienda una
cosa y tú no?¬¬“
Se trata de pillar cualquier número, que
será "n" entonces haces las operaciones
que te dice que es dividir n entre 2 y el
resultado de este multiplicarlo por el
resultado de n menos 1.
aportaciones en los foros
electrónicos
Re: Unim punts i seguimper P - Tuesday, 13 January 2009, 11:57
Albert tiene razón. Lo he
comprobado.
La fórmula es n:2(n-1)
aportaciones en los foros
electrónicos
per G - Tuesday, 13 January 2009, 12:14
tu pilla el geoplano y vete probando
con los puntos y segmentos.
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_a
sid_279_g_4_t_3.html?open=activiti
es&hidepanel=true&from=vlibrary.ht
ml
El porqué de la fórmula
per B- Tuesday, 13 January 2009, 12:23
El porquè de la fórmula:
Porque cada punto se ha de relacionar
con los otros pero no con él mismo por
eso has de restar 1 al número inicial. ·(n-
1)
Se divide por 2 porque los puntos sólo se
relacionan una vez no 2.
Aparece otra estrategia...
per C - Tuesday, 13 January 2009, 12:22
Yo y Eva hemos
descubierto:
n=5puntos= (5-1)+(5-
2)+(5-3)+(5-
4)=4+3+2+1= 10
segmentos
(todavía estamos
investigando)
Con material
1+2+3+...+n
-Qué relación puede tener
ésto, 1+2+3+4+5, si ahora
dejo los puntos y lo traslado
a otra situación, que es ésta
de los policubos que os he
dado? Qué podéis hacer con
los policubos?
-Es lo mismo
-¿Podéis investigr qué fórmula
saldrá?
-Sí, sale la suma de los
“cuadrados”
Otra estrategia“5 puntos y n=4:
1+2+3+4=
=(1+4)+(2+3)=
= 5+5= 10
y eso es igual a:
(1+4)·4/2=
5·2= 10
(1+n)·n/2”
n*1+(n-1)/2*n
¡La misma fórmula!
(n-1). n:2
Las entradas al foro
entradas al foro "unimos puntos"
Media: 32,47
Error típico:
6,49
Mediana: 30
Moda: 12
Rango: 870
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
P E12 E13 E3 E7 E4 E6 E9 E11 E15 E10 E2 E16 E5 E1 E14 E8
Entradas al foro Unir puntos
entradas e intervenciones en el foro "unimos
puntos"
467 entradas
85
intervenciones0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
lecturas-intervenciones
intervencions
Gràfico de columnas apiladas con
información sobre las entradas en dos foros
Los
estudiantes
que
más/menos
intervienen en
un foro no son
necesariament
e los que más
/menos
intervienen en
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
E13 E7 E8 E12 P E10 E11 E4 E15 E6 E1 E3 E16 E5 E14 E9 E2
bola màgica
punts
La evaluación
Activitat: FÒRUMS DE CONVERSA PER APRENDRE ÀLGEBRA Matèria: MATEMÀTIQUES Curs: 2n ESO
CONTINGUTS CORRESPONENTS AL Bloc 2 : CANVI I RELACIONS
Comprendre patrons, relacions i funcions. Representar i analitzar situacions i estructures matemàtiques utilitzant símbols algebraics. Utilitzar models matemàtics per a
representar i comprendre relacions quantitatives. Analitzar el canvi en contextos diversos.
PROCESSOS QIE CAL TREBALLAR CONJUNTAMENT AMB ELS CONTINGUTS:
Resolució de problemes. Raonament i prova. Comunicació i representació. Connexions.
Criteris d’avaluació
Participar en l’activitat de grup
Expressar per escrit raonaments, conjectures, relacions quantitatives observades i informacions que
incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics adequats al seu nivell i contrastar-los amb els
dels company(e)s, valorant la utilitat i simplicitats del llenguatge matemàtic.
Gaudir i
valorar
l’activitat
Elements
observables
Al final, quina mena d’importància concedim a la “graella”?
EL
EM
EN
TO
SO
BS
ER
VA
BL
ES
Ele
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tos
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Alvarez
, Bernatsí sí sí sí sí sí sí sí 4 10
1. E1 sí sí sí sí 1 7,5 [13]
1. E2 sí sí 2 8,5[10]
1. E3 sí sí sí sí 1 5,5[7]
1. E4 sí sí sí sí 1 9,5[5 ]
1. E5 sí sí sí sí sí sí 4 9[4 ]
1. E6 0 I[8]
1. E7 sí sí sí sí sí sí 2 5,5[ 3]
1. E8 0 I[6]
1. E9 sí sí 1 I[16]
1. E10 sí sí 3 8[2]
1. E11 sí sí sí sí 3 7[15 ]
1. E12 sí 1 I[14]
1. E13 sí sí sí 3 7,5[ 1]
1. E14 sí 1 I[12 ]
1. E15 sí sí sí sí 2 7[11 ]
1. E16 sí sí 2 I[ 9]
Ha
pa
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.
14 10 12 10 7 4 5 4
Qué opinan l@s estudiantes sobre el
tiempo en que se mantuvo el trabajo
sobre el problema (del 13 de enero al
10 de marzo)
el proceso seguido de forma natural por los
estudiantes requiere más tiempo del que tal vez
espera el profesorado. “un problema no lo entendí hasta el
final”
“han estado colgados muchas semanas, pero eso ha permitido saber más opiniones y entender mejor los problemas”
“podíamos conectarnos cuando queríamos y además los compañeros en los foros te decían pistas”
“los problemas cuestan de resolver, y estás un tiempo antes de colgarlos en la “tarea”
“porque así si no lo entendías
podías irlo mirando” (*)
“hemos tenido más tiempo para
pensarlo mejor” (*)
“la hora pasaba ràpida” (*)
“así teníamos más tiempo para
cambiar lo que habíamos hecho”
el proceso seguido de forma natural por los
estudiantes requiere más tiempo del que tal vez
espera el profesorado.
Qué opinan l@s estudiantes
sobre los foros.
en equipo (presencial) o a través de foros
“en el trabajo en equipo no te enteras
mucho, en los foros es más fácil y
puedes preguntar si no lo sabes”.
en equipo (presencial) o a través de
foros
“yo creo que la diferencia está en que en
grupo en clase hablamos por la boca y
en los foros hablamos a través del
ordenador”
en equipo (presencial) o a través de
foros
“en equipo sólo tienes la opinión de 2 ó 4
personas y en los foros tienes opiniones
de más personas y es más fácil de
entender”.
en equipo (presencial) o a través de
foros
en trabajo en equipo hablamos y
estamos juntos pero con foros
hablamos a través del
ordenador”
REFERENTES PARA ESTABLECER CATEGORÍAS
DE ANÁLISIS
NIVEL DEL CONTENIDO
Percibir-expresar-registrar un patrón-probar la validez de las fòrmulas (MASON).
Copia un patrón y crea el elemento siguiente – continúa un patrón y encuentra valores numéricos- predice valores usando relaciones entre términos sucesivos – predice valores usando reglas – encuentra y usa una expresión algebraica para una resolución. (WRIGHT)
INTERACCIONES
Interacciones implícitas – i. Explícitas – i. Independientes (HENRI)
Sobre el contenido:Hace aportaciones sociales, corrobora, niega, aventura
respuestas. Expresa dudas o pide aclaraciones.Explicita verbalmente relaciones entre los datos. Utiliza procedimientos aritméticos para expresar relaciones. Explica para aclarar o ayudar, propone estrategias. Utiliza lenguaje simbólico. Registra patrónPrueba la validez de fórmulas.
Categorías para el análisis de las
aportaciones
Sobre las interacciones:
(indicar aportaciones en horario no lectivo,
aportaciones de estudiantes con dificultades,
aportaciones de la profesora…)
Categorías para el análisis de las
aportaciones
“con n no sé”
“en el caso en que sea 15”
