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PROBABILIDAD DE RUINA EN EL MODELO BINOMIAL
COMPUESTO PARA RECLAMACIONES NO CONVENCIONALES.
EDWIN JAVIER CASTILLO CARRENO
20062167010
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS
BOGOTA D.C.
2013
PROBABILIDAD DE RUINA EN EL MODELO BINOMIAL
COMPUESTO PARA RECLAMACIONES NO CONVENCIONALES
EDWIN JAVIER CASTILLO CARRENO
20062167010
Trabajo de grado para optar al tıtulo de matematico
Director: M.Sc. Luis Alejandro Masmela Caita
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICAS
BOGOTA D.C.
2013
Nota de aceptacion:
Firma del Director
Firma del Jurado
Firma del Jurado
Bogota D.C., 2013
Tabla de Contenidos
Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Marco Teorico 8
1.1. Funciones Generadoras de Probabilidad (fgp) . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Distribuciones Compuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Modelo de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Modelo de Riesgo Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2. Modelo de Riesgo Colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Modelo Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1
1.6. Teorıa de la Ruina a Tiempo Discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1. Proceso de Riesgo a Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2. Ruina y Probabilidad de Ruina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. El Modelo 26
2.1. Modelo Binomial Compuesto sin Sobre-reclamaciones. . . . . . . . . . . 27
2.2. El Modelo Binomial Compuesto con Reclamaciones Relacionadas en el
Tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Formulas Recursivas Para el Calculo de la Probabilidad de Ruina en
Tiempo Finito 40
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Anexos 58
4.1. La Ruina del Jugador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1. Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2
INTRODUCCION
El presente trabajo se basa en el estudio del artıculo Ruin Probabilities for the
Time Correlated in the Compound Binomial Model , (Guo, 2001) en donde
se propone el calculo de formulas recursivas para la probabilidad de ruina en tiempo
finito de dos reclamaciones relacionadas en el tiempo, bajo el supuesto de un modelo
binomial compuesto; el tipo de relacion que presentan estas reclamaciones lo hacen
de gran utilidad en las empresas aseguradoras. Se supone que existe una reclamacion
principal en cualquier periodo de tiempo y que de esta reclamacion principal puede
existir una sobre-reclamacion o reclamacion subsecuente en el mismo periodo de tiempo
o puede ser retrasada al siguiente periodo de tiempo, estas sobre reclamaciones en el
contexto practico se presenta cuando existen agravantes sobre reclamaciones ya pagadas
o cuando se retrasa la liquidacion de una porcion de la reclamacion principal.
Para poder realizar un analisis y una reconstruccion de los argumentos utilizados por
el autor, es necesario presentar y estudiar conceptos que se recibieron en el transcurso
del pregrado de matematicas, como algunos conceptos directamente relacionados con
la teorıa de riesgo actuarial los cuales no son comunmente presentados en el transcurso
de la carrera.
El primer capıtulo trata los conceptos y propiedades principales de los fundamentos
del trabajo y de la teorıa de riesgo actuarial como lo son: las funciones generadoras de
probabilidad, las distribuciones compuestas, el modelo de riesgo individual, el modelo
de riesgo colectivo, el modelo binomial compuesto y la definicion de teorıa de la ruina
a tiempo finito.
El segundo capıtulo trata el modelo binomial compuesto para reclamaciones convencio-
nales presentado en (Gerber, 1988) en el que se prueba resultados encontrados en las
referencias del artıculo de estudio, dichos resultados son presentados por (Shiu , 1989),
(Dickson, 1994), (Alfredo, 2000) y se relacionan directamente con el calculo de formu-
las recursivas para encontrar la probabilidad de ruina en un modelo de riesgo a tiempo
discreto y especıficamente en un modelo binomial compuesto, ademas se mencionan
los supuestos bajo los cuales esta sustentado el modelo de interes para reclamaciones
relacionadas en el tiempo.
El tercer capıtulo trata el procedimiento para la obtencion de formulas recursivas, que3
permiten calcular la probabilidad de ruina para dos reclamaciones relacionadas en el
tiempo bajo el supuesto del modelo binomial compuesto. A partir de la serie geometrica,
las funciones de distribucion, funciones generadoras de probabilidad y la manipulacion
se encuentran las formulas (3.13) y (3.14) encontradas en (Guo, 2001), las cuales dan
el algoritmo recursivo para encontrar probabilidades de ruina en tiempo finito, para el
contexto de dos reclamaciones relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivos.
4
PLANTEAMINENTO DEL PROBLEMA
La teorıa de la ruina ha venido evolucionando para evitar problemas que se presentan
cada dıa en las companıas aseguradoras, muchos de los inconvenientes ocurren puesto
que para el estudio de esta teorıa es necesario determinar la forma en que se distribuyen
los montos de reclamacion, la cantidad de siniestros, la cantidad de primas y el costo
de las mismas; ademas de esto existen situaciones inesperadas que no entran en las
consideraciones de los modelos matematicos, lo cual puede desencadenar en un evento
desfavorable para la companıa.
(Guo, 2001), estudia una situacion en la que intervienen reclamaciones relacionadas
en el tiempo, para facilitar el trabajo el autor hace uso del supuesto de un modelo
binomial compuesto propuesto por (Gerber, 1988) y sustentado en dicho el se presenta
de manera recursiva el calculo de la probabilidad de ruina en tiempo finito para este
tipo de reclamaciones. Teniendo en cuenta que es necesario evitar el evento de ruina en
caso que se tengan reclamaciones relacionadas en el tiempo, se plantea el interrogante:
¿Cuales son los procedimientos de tipo matematico, estadıstico y probabilıstico que uti-
liza el autor J.Y. Guo en el artıculo “Ruin probabilities for time-correlated claims in
the compound binomial model” para la obtencion de las formulas 3.13 y 3.14 las cua-
les permiten calcular la probabilidad de ruina en tiempo finito para dos reclamaciones
relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivos?.
5
JUSTIFICACION
En el amplio campo que cubren las matematicas aplicadas, existen disciplinas poco
exploradas a lo largo del pregrado en matematicas, una de estas es la teorıa de riesgo
actuarial, dicha disciplina esta orientada a la gestion de negocios con participacion
directa en procesos de desarrollo, gerencia, planificacion y control en el sector de los
seguros, tal como plantea H.U Gerber quien afirma que “El objeto de la teorıa de riesgo
es proporcionar un analisis matematico de las fluctuaciones aleatorias en los seguros y
discutir los medios de proteccion contra sus efectos desfavorables.” (Gerber, 1988)
La teorıa de riesgo actuarial esta sustentada en distintas ramas de la matematica como
lo son: la probabilidad, el analisis numerico y la estadıstica. Es la teorıa de la ruina
una de las tematicas de estudio donde mas se evidencia la interaccion de las ramas
mencionadas, esta se presenta como base fundamental para la gestion, planificacion y
toma de decisiones en el sector asegurador permitiendo evitar problemas economicos,
consolidar empresas y planes de aseguramiento. Por lo tanto esta teorıa es de suma
importancia en el estudio de la teorıa del riesgo actuarial. Abordar la teorıa de ruina
implica tener conocimiento de la probabilidad con que ocurra el evento de ruina. Varios
teoricos han propuesto distintos modelos matematicos los cuales se ajustan a diversas
situaciones que se presentan en dichas companıas. El modelo binomial compuesto se
destaca por su simplicidad y versatilidad, esto lo convierte en uno de los modelos con
mayor aplicacion dentro del sector asegurador.
El presente estudio se basa en el artıculo “Ruin probabilities for time-correlated claims
in the compound binomial model” (Guo, 2001), en el cual se estudia la probabilidad
de ruina bajo el supuesto de un modelo binomial compuesto en situaciones en las
que se pueden presentar dos reclamaciones relacionadas en dos periodos de tiempo
consecutivos.
El calculo mediante metodos recursivos es de gran importancia en la teorıa de riesgo
actuarial, ya que algunos de los problemas presentan soluciones analıticas dispendiosas,
por esta razon se desea estudiar la forma en que se pueden obtener formulas recursivas
para el calculo de la probabilidad de ruina para reclamaciones relacionadas en el tiempo
bajo el modelo binomial compuesto.
6
OBJETIVOS
Objetivo General
Reproducir en detalle los procedimientos algebraicos, probabilısticos y las herramientas
actuariales, utilizados en (Guo, 2001) para la obtencion de las formulas recursivas, utili-
zadas para el calculo de la probabilidad de ruina de horizonte finito para reclamaciones
relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivos.
Objetivos Especıficos
Describir el planteamiento del modelo binomial compuesto para reclamaciones
relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivo tratado en la seccion 2 del
artıculo “Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound binomial
model”. (Guo, 2001)
Explicar en detalle los procedimientos algebraicos y probabilısticos utilizados para
la obtencion de formulas recursivas presentadas en la seccion 3 del artıculo “Ruin
probabilities for time-correlated claims in the compound binomial model”. (Guo,
2001)
Presentar el procedimiento analıtico empleado por (Guo, 2001) para la obtencion
de las formulas (3.13) y (3.14) expuestas en el artıculo “Ruin probabilities for
time-correlated claims in the compound binomial model”.
7
CAPITULO 1
Marco Teorico
Las tematicas tratadas a continuacion son la base teorica para comprender los procedi-
mientos y las herramientas que utiliza (Guo, 2001) para encontrar formulas recursivas
empleadas en el calculo de la probabilidad de ruina, en este capıtulo se presentan los
conceptos clave para contextualizar el ambiente donde se desenvuelve la teorıa de inte-
res, para ello se presentan definiciones necesarias y propiedades que cumplen los objetos
que se manipulan durante el desarrollo de la monografıa.
Los resultados que se presentan a continuacion han sido encontrados en fuentes biblio-
graficas que tratan ramas matematicas tales como: la probabilidad, la estadıstica, los
procesos estocasticos y la teorıa de riesgo actuarial, entre otros.
1.1. Funciones Generadoras de Probabilidad (fgp)
El trabajo presentado se fundamenta en la manipulacion de las funciones generadoras
de probabilidad. Este tipo de funciones se asocian a las distribuciones con las cuales se
modelan las reclamaciones a tratar en los siguientes capıtulos; por lo tanto es necesario
introducir la definicion y principales propiedades de dichas funciones.8
Las funciones generadoras de probabilidad son transformaciones de las distribuciones
de probabilidad y constituyen una herramienta util en la teorıa moderna de la probabi-
lidad. Las definiciones y resultados presentados en esta seccion son tomadas de (Baley,
1964).
Definicion 1. Si se tiene una Sucesion de numeros reales a0, a1, a2, ..., y si definimos
la funcion
G(t) = a0 + a1t+ a2t2 + . . .+ ant
n . . . =∞∑
j=0
ajtj
entonces, si la serie converge en algun intervalo −t < t < t0, la funcion G(t) es llamada
la funcion generadora de la sucesion {aj}.
Ya que el interes del trabajo se centra en el estudio de las funciones generadoras de
probabilidad, se asume que la sucesion tiene las siguientes restricciones
aj ≥ 0 y
∞∑
j=0
aj = 1
bajo el supuesto anterior, la funcion G(t) es una funcion generadora de probabilidad.
Especıficamente se considerara la distribucion de probabilidad dada por
Pr(X = j) = pj
donde X es una variable aleatoria con soporte en Z+, ademas, si se designa
Pr(X > j) = qj
se obtiene que la funcion de distribucion vendra dada por
Pr(X ≤ j) = 1− qj.
Con esto se puede definir la funcion generadora de probabilidad G(t) ası
G(t) =∞∑
j=0
pjtj
9
De donde se deduce que G(t) = E(tX).
Una de las principales razones por las cuales se estudian las fgp, es que desde su mani-
pulacion como serie de potencias facilita la obtencion de media, varianza y momentos
factoriales de las distribuciones, como se puede ver a continuacion.
Esperanza.
E(X) =∞∑
j=0
jpj = 0P0 + 1P1 + . . .+ nPn + . . . =∞∑
j=1
jPj = G′(1)
Varianza.
Para esto es necesario tener en cuenta que:
E(X(X − 1)) =∞∑
j=0
j(j − 1)pj = G′′(1)
por lo tanto, se tiene desde la definicion de varianza σ2 = E(X2)− [E(X)]2. Y ası
σ2 = G′′(1) +G′(1)− [G′(1)]2
K-esimo Momento Factorial.
Para calcular el k-esimo momento factorial se procedera como en el caso anterior de la
varianza y ası se obtiene el siguiente resultado:
E(X(X − 1) . . . (X − (k + 1))) =∞∑
j=0
j(j − 1) . . . (j − (k + 1))pj = G(k)(1)
es decir el k-esimo momento factorial se obtiene al derivar k veces la fgp y haciendo
t = 1.
En este caso si se deseara obtener los valores de probabilidad pj desde la fgp se puede
efectuar el siguiente algoritmo. Si G(t) es una funcion generadora de probabilidad fgp.
10
dada por
G(T ) =∞∑
j=0
pjtj
Entonces para obtener cada valor pj.
pj =1
j!
(
dj
dtt
)
G(t)|t=0
=P (j)(0)
j!
1.2. Distribuciones Compuestas.
En el desarrollo de este trabajo sera de vital importancia el estudio de las distribuciones
compuestas, ya que con estas se expone el modelo de riesgo colectivo. Una distribucion
compuesta se presenta como la suma de variables aleatorias identicamente distribuidas,
donde el numero de terminos de la suma esta distribuido aleatoriamente. En (Kass,
2005) se encuentra el siguiente tratamiento sobre este tema.
Suponga que la variable aleatoria Sn se define como:
SN = X1 +X2 +X3 + . . .+XN
donde Xi, i = 1, . . . , n son variables aleatorias no negativas e independientes donde
P (Xi = p) = fp
P (N = n) = gn
P (SN = l) = hl
11
con sus correspondientes funciones generadoras de probabilidad (fgp)
F (x) =∞∑
p=0
fpxp
G(x) =∞∑
g=0
gnxn
H(x) =∞∑
l=0
hlxl.
Luego se puede escribir la fdp de la variable Sn como sigue
hl = P (SN = l)
=∞∑
n=0
P (N = n)P (Sn = l|N = n)
=∞∑
n=0
gnP (Sn = l|N = n)
Para un n fijo la fgp de Sn se puede escribir al calcular la n-esima convolucion de fp
con ella misma, es decir. (fp)n∗
, entonces
∞∑
l=0
P (Sn = l|N = n)xl = (F (x))n.
Y ası la funcion generadora H(x) puede ser expresada como
H(x) = hlxl
=∞∑
l=0
xl∞∑
n=0
gnP (Sn = l|N = n)
=∞∑
n=0
gn
∞∑
l=0
P (Sn = l|N = n)xl
=∞∑
n=0
gn(F (x))n
= G(F (x)).
12
En la teorıa de la probabilidad y estadıstica es necesario conocer caracterısticas princi-
pales de las distribuciones que se estudian, entre estas caracterısticas no pueden faltar
los momentos de cada distribucion, por lo tanto para el caso de las distribuciones com-
puestas se presenta la obtencion de dichos momentos.
Media y Varianza
Para calcular la esperanza de Sn. se utilizara la formula de la esperanza condicional de
S en N = n
E(S) = E(E(s|n)) =∞∑
n=0
E(X1 +X2 + . . .+XN |N = n)P (N = n)
=∞∑
n=0
E(X1 +X2 + . . .+Xn|N = n)P (N = n)
=∞∑
n=0
E(X1 +X2 + . . .+Xn)P (N = n)
=∞∑
n=0
nµP (N = n) = µE(N).
Para el calculo de la varianza se presenta otro metodo diferente para la obtencion de
E(S2), esto para ilustrar una alternativa para el calculo de la esperanza
E(S2) = E
(
N∑
k=1
Xk
)2
= E
(
∞∑
n=1
χ(N = n)n∑
k=1
Xk
)2
=∞∑
n=1
P (N = n)E(n∑
k=1
Xk)2
=∞∑
n=1
P (N = n)[var(n∑
k=1
Xk)(En∑
k=1
Xk)2]
=∞∑
n=1
P (N = n)[nV ar(X) + n2E(X)2]
= E(N)V ar(X) + E(N2)E(X)2.
13
Con lo anterior se puede calcular la varianza de SN ası
V ar(S) = E(S2)− [E(S)]2
= (E(N)V ar(X) + E(N2)E(X)2)− (E(N)E(X))2
= E(N)V ar(X) + V ar(N)E(X)2.
Funcion Generadora de Momentos
Para la funcion generadora de momentos se utilizaran los mismos argumentos que en
el calculo de la esperanza
MS(t) = E[E(etS|N)]
=∞∑
n=0
E[et(X1+...+XN )|N = n]P (N = n)
=∞∑
n=0
E[et(X1+...+Xn)]P (N = n)
=∞∑
n=0
MX(t)nP (N = n)
= E[(elnMX(t))N ]
=MN(lnMX(t))
1.3. proceso de Poisson
Ya que se menciona la aproximacion de un modelo binomial compuesto a un modelo
de poisson se hace necesario definir y enunciar las propiedades de este ultimo, dicho
proceso es estudiado en cursos de procesos estocasticos y desde el ano de 1903 en
que Filip Lundberg en su tesis doctoral lo propuso como solucion al problema de la
probabilidad de ruina en una companıa aseguradora, desenvuelve un papel importante
en la disciplina actuarial.
Definicion 2. Proceso estocastico
Un proceso estocastico es una coleccion de variables aleatorias {Xt|t ∈ T}, parametri-
zada por un conjunto T llamado espacio parametral. Dicho espacio por lo general se14
interpreta como un conjunto de tiempos.
Definicion 3. Proceso de Poisson
Un proceso estocastico de tiempo continuo {Nt|t ≥ 0} y con espacio de estados en los
naturales es un proceso de poisson de parametro λ si cumple
N0 = 0.
tiene incrementos independientes.
Nt+s − Ns tiene una distribucion de poisson de parametro (λt) para cualquier
s ≥ 0 y t > 0.
Definicion 4. Proceso de Poisson Compuesto
Sea un proceso de poisson {Nt|t ≥ 0} y una sucesion de variables aleatorias identica-
mente distribuidas e independientes {Xi}∞
i tambien independientes de N(t), {St|t ≥ 0}
es un proceso de poisson compuesto cuando
S(t) =
N(t)∑
i=0
Xi
1.4. Modelo de Riesgo
Cuando se habla de teorıa del riesgo encontramos en la literatura actuarial dos tipos de
esta: teorıa del riesgo individual y teorıa del riesgo colectivo, dichas teorıas tienen su
principal diferencia en la manera que se suman los montos por reclamaciones, en una el
numero de montos es fijo mientras que en el otro se toma el numero de montos como una
variable aleatoria, es en el riesgo colectivo donde el modelo necesita la introduccion de
distribuciones compuestas. Para aclarar esta idea se presentan las siguientes definiciones
y propiedades de cada tipo de riesgo. La tematica trabajada en esta seccion se encuentra
en (Kass, 2005) y (Rincon, 2012).
15
1.4.1. Modelo de Riesgo Individual
Aunque en el estudio que se desea realizar no interviene el modelo de riesgo individual,
es necesario tener conocimiento de el para establecer una comparacion y comprender
el funcionamiento del modelo de riesgo colectivo.
Caracterısticas del Modelo.
El portafolio consta de n polizas individuales, validas en un periodo de tiempo
T .
El valor pi denota la probabilidad de que el i-esimo asegurado no efectue ninguna
reclamacion en T .
El valor qi = 1− pi, esto es, que el i-esimo asegurado efectue una reclamacion en
T .
Con esto se tiene que ningun asegurado puede realizar mas de una reclamacion en el
periodo T . Ahora se define la variable aleatoria Dj como sigue:
Dj =
1 Si hay reclamacion en la poliza j.
0 Si no se efectua reclamacion en la poliza j.
Con esto el numero total de reclamaciones vendra dada por la variable aleatoria
N =n∑
i=1
Di
Si se desea dar una variable aleatoria para el costo de una reclamacion, sea Ci > 0 el
monto de la i-esima reclamacion. Es claro que Ci no es una constante ya que el costo
de cada poliza es diferente; entonces la reclamacion en la poliza i se define como
DiCi =
Ci Di = 1
0 Di = 0
16
ademas de esto se supone que Ci y Di son independientes y a su vez, las parejas (Di, Ci)
son tambien independientes para cada i = 1, . . . , n
Funcion de Riesgo Individual
Definicion 5. El monto de reclamaciones agregadas o funcion de riesgo, en el modelo
individual, esta caracterizado por la variable aleatoria
S =n∑
i=1
CiDi.
En este caso recibe el calificativo de individual ya que se supone el conocimiento de la
probabilidad de ocurrencia de cada siniestro, ası como su posible monto. Ademas de
ello se supone que el numero de polizas se mantiene durante todo el periodo de tiempo
T .
Para el trabajo proximo se usara como supuesto que la funcion de distribucion de la va-
riable CiDi sera denotada como Fi(x), y por tanto bajo los supuestos de independencia
obtenemos que la Funcion de distribucion de S es:
F (x) = (F1 ∗ . . . ∗ Fn)(x)
Donde el signo ∗ indica una convolucion.
Para las propiedades que se enuncian a continuacion la funcion de distribucion de Ci
se nota como Ki(x)
Propiedad 1. La funcion de riesgo individual presenta las siguientes propiedades.
E(S) =n∑
i=1
qiE(Ci)
V ar(s) =n∑
i=1
[qiV ar(Ci) + qipiE2(Ci)]
Fi(X) =
1 + qi(Gi(x)− 1) x ≥ 0
0 x < 0.
17
Es de notar que la reclamacion unica, puede considerarse como el monto total confor-
mado por la suma de varias posibles reclamaciones efectuadas por una poliza a lo largo
del periodo de vigencia del seguro. De este modo el modelo individual puede tambien
aplicarse al caso de reclamaciones multiples.(Rincon, 2012)
1.4.2. Modelo de Riesgo Colectivo
Para establecer los supuestos necesarios se presenta el modelo de riesgo colectivo, ya
que bajo este modelo se realiza el trabajo presentado por (Guo, 2001) con dos reclama-
ciones relacionadas en el tiempo, dicho modelo es usado principalmente para estudiar el
comportamiento y hacer predicciones sobre los seguros de no vida, por lo tanto es el de
mayor interes para las companıas aseguradoras ya que bajo este modelo se estructura
la mayor cantidad de polizas que recibe una companıa de seguros, ademas de esto se
debe resaltar que este modelo presenta mayor aplicacion matematica, lo cual lo hace
de mayor interes para este trabajo.
En este caso se supone que el numero de contratos no es conocido, y tienen una vigencia
en un periodo de tiempo [0, T ]. Si se define nuevamente como N la variable aleatoria
que denota el numero de reclamaciones ocurridas en este intervalo. Y sean Y1, Y2 . . . , YN
el monto de dichas reclamaciones. Una interpretacion grafica de tal esquema es como
se muestra en la (figura 1.1).
Figura 1.1: Montos por Reclamacion
18
Se supone ademas que el numero de reclamaciones y el monto son variables aleatorias
independientes, es decir, se trabaja con el supuesto de que las reclamaciones entre si
son independientes y que comparten la misma distribucion de probabilidad.
Funcion de Riesgo Colectivo
Definicion 6. El monto de reclamaciones agregadas o funcion de riesgo en el modelo
colectivo esta caracterizado por la variable aleatoria
S =N∑
i=1
Yi.
Es de notar que, tanto el numero de sumandos como cada sumando son variables
aleatorias. Esta suma se define S = 0 si N = 0, de aca nace la necesidad de estudiar las
distribuciones compuestas ya que se puede definir una v.a mixta, donde los montos son
distribuidos de forma continua y el numero de reclamaciones se distribuye de manera
discreta.
Suponga que la funcion de distribucion de cada Yi, se denotara por Gi, donde Gi(0) = 0,
es decir la v.a Yi es positiva, ademas se notara µn = E(Y n). Nuevamente si se desea
encontrar la funcion de distribucion de S, notada como F , se utilizara el algoritmo de
convolucion, para esto se debe recordar que la 0-convolucion se define como.
G∗0(x) =
1 x ≥ 0
0 x < 0
Un resultado importante para el riesgo colectivo es el siguiente.
Proposicion 1. Funcion de Distribucion.
La funcion de distribucion, en el modelo de riesgo colectivo de la variable aleatoria S,
esta dada por
F (x) =∞∑
n=0
G∗n(x)P (N = n).
La demostracion de este hecho es trivial al interpretar la funcion de riesgo colectivo
como una distribucion compuesta.19
Figura 1.2: Modelo de Riesgo Colectivo en Relacion con el Tiempo
A continuacion se presentan propiedades importantes del riesgo colectivo S.
Proposicion 2. Momentos
E(S) = E(N)E(Y )
E(S2) = E(N)E(Y 2) + E(N(N − 1))E2(Y )
V ar(S) = V ar(N)E2(Y ) + V ar(Y )E(N)
Ms(t) =MN(ln(MY (t)))
1.5. Modelo Binomial.
En la literatura que trata sobre riesgo actuarial los autores presentan el modelo de
Poisson compuesto, el cual tambien es comun encontrarlo en libros que tratan sobre
la teorıa de los procesos estocasticos, dicho modelo es bastante practico ya que la20
distribucion de Poisson depende de un unico parametro λ, ası mismo es comun que los
montos de reclamaciones se supongan distribuidos de manera exponencial, esto para
facilitar la estimacion de parametros de una muestra; en este caso se presenta el modelo
binomial compuesto que aunque evidencia mayor dificultad en modelos practicos, es
mucho mas sencillo para la manipulacion teorica y ademas desde este se puede encontrar
una relacion con el proceso clasico de Poisson. Es por ello que se presenta este modelo
que es introducido por (Gerber, 1988) y mencionado en extension por (Rincon, 2012)
y (Alfredo, 2000).
Se dice que si en la funcion de riesgo colectivo
S =N∑
i=1
Yi
donde N es la v.a del numero de siniestros y/o reclamaciones en un intervalo de tiempo
[0, T ] y Yi es el monto de la i-esima reclamacion.
Si la v.a N se distribuye de manera binomial es decir N ∼ bin(n, p) se dice que
la funcion de riesgo S, sigue una distribucion binomial compuesta que se nota S ∼
bincomp(n, p,G); en donde G es la funcion de distribucion de cada monto.
Algunas de las propiedades mas importantes para este modelo de riesgo se siguen
directamente de las ya mencionadas para la funcion de riesgo colectivo general.
Proposicion 3. Si S se distribuye de manera binomial compuesta se tiene que:
E(S) = npµ
V ar(S) = np(µ2 − pµ2)
Ms(t) = (1− p+ pMY (t))n
Las propiedades anteriormente mencionadas se pueden demostrar si se tiene en cuenta
las siguientes caracterısticas de la distribucion binomial.
21
Proposicion 4. Si la variable aleatoria N ∼ bin(n, p) se tiene que
E(N) = np
V ar(N) = np(1− p)
MN(t) = (1− p+ pet)n
Proposicion 5. Sean S1 y S2 dos procesos de riesgo independientes, con S1 ∼ bincomp(n1, p;G)
y S2 ∼ bincomp(n2, p;G); ademas de ello supongase que los montos de cada uno de es-
tas funciones de riesgo Y(1)i y Y
(2)i , tiene identica funcion de distribucion G. Entonces
la funcion de riesgo S = S1 + S2 cumple que S ∼ bincomp(n1 + n2, p;G)
Demostracion. Se sabe que, si MY1(t) = MY2(t) para toda |t| < b y para algun b > 0
entonces, las variables aleatorias Y1 y Y2. tienen la misma funcion de distribucion,
ademas su reciproco tambien se cumple.
Ahora argumentando desde la independencia entre S1 y S2 se tiene que
MS1+S2(t) =MS1(t)MS2(t)
= (1− p+ pMY 1(t))n1)(1− p+ pMY 2(t))n2)
= (1− p+ pMY (t))n1+n2
y (1 − p + pMY (t))n1+n2 es la funcion generadora para una variable aleatoria S ∼
bincomp(n1 + n2, p;G).
1.6. Teorıa de la Ruina a Tiempo Discreto.
En este caso interesa mostrar la teorıa de la ruina en un modelo a tiempo discreto,
ya que resultados indican que un modelo en tiempo discreto es una aproximacion al22
modelo en tiempo continuo donde las ecuaciones presentan mayor dificultad en su
manejo y presenta una estructura mas compleja, por lo tanto, se presentan los siguientes
supuestos que dan partida al proceso de riesgo en tiempo discreto y a partir de el la
definicion de probabilidad de ruina; dicho modelo fue introducido en (Gerber, 1988).
1.6.1. Proceso de Riesgo a Tiempo Discreto
Se considera un modelo de riesgo con las siguientes condiciones.
Xi denota el monto de reclamaciones en el i-esimo intervalo de tiempo.
{Xi}∞
i=0 es una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamente
distribuidas de enteros no negativos.
u ∈ {0, 1, 2 . . .} es el capital inicial de la aseguradora.
En cada unidad de tiempo la compania recibe una unidad monetaria por concepto
de primas.
E(X1) < 1 esta es la condicion de ganancia neta.
Bajo estos supuestos se tiene que el proceso de riesgo a tiempo discreto es la siguiente
variable aleatoria St.
Definicion 7. El proceso de riesgo a tiempo discreto St : t ≥ 0 esta dado por:
St = u+ t− [X1 +X2 + . . . XN(t)]
Esta definicion tambien puede ser encontrada en (Rincon, 2012)
1.6.2. Ruina y Probabilidad de Ruina
En (Kass, 2005) se dice que el evento ruina es uno de los eventos menos probables pero
aun ası es muy estudiado en las companıas aseguradoras, ya que de la no existencia de
la ruina depende la continuidad de la companıa, el evento de ruina ocurre cuando los23
montos reclamados en un periodo de tiempo exceden el monto recaudado por reservas
o superavit mas los montos recaudados por conceptos de primas, ası, dicho evento se
puede definir como sigue.
Definicion 8. Se dice que una compania aseguradora se encuentra en ruina al tiempo
t ≥ 1 si
St ≤ 0
y se define el tiempo de ruina τ como el primer momento en que la ruina se presenta.
Es decir,
τ = min {t ≥ 1|St ≤ 0} .
Es de aclarar que si el conjunto indicado es {∅} entonces τ = ∞.
En la figura siguiente se muestra un proceso de riesgo a tiempo discreto donde se aprecia
el evento de ruina en un tiempo τ
Figura 1.3: Proceso de Superavit a Tiempo Discreto con Ruina
El interes principal de la teorıa de la ruina es calcular la probabilidad de que este
evento suceda dado un superavit inicial mayor que 0. se presentan dos casos: el proceso
de ruina a horizonte infinito y el proceso de ruina a horizonte finito (Rincon, 2012).
Definicion 9. Probabilidad de Ruina en Horizonte Infinito
la probabilidad de ruina en horizonte infinito que se nota como ψ(u) y se define como
24
sigue
ψ(u) = P (τ <∞|S0 = u)
= P (τ ∈ {1, 2, . . .} |S0 = u)
Definicion 10. Probabilidad de Ruina en Horizonte Finito
La probabilidad de ruina con horizonte finito con n ≥ 1 se define como
ψ(u, n) = P (τ ≤ n|S0 = u)
= P (τ ∈ {1, 2, . . . , n} |S0 = u).
Bajo esta definicion y la contenencia de los eventos correspondientes se puede notar
que
ψ(u, 1) ≤ ψ(u, 2) ≤ ψ(u, 3) ≤ . . . ≤ ψ(u, n) ≤ ψ(u).
Es para este tipo de modelo a tiempo finito que se plantean las formulas recursivas
que se desean encontrar durante el desarrollo del trabajo, no sobra aclarar que desde la
probabilidad de ruina a horizonte finito se puede obtener una aproximacion mediante
lımites a la probabilidad de ruina de tiempo infinito, la cual ha sido tratada con tema-
ticas de mayor envergadura conceptual y teorica, es de esta manera que el calculo de
la probabilidad de ruina a tiempo finito se convierte en una herramienta bastante util
para la obtencion de la probabilidad de ruina a tiempo infinito.
25
CAPITULO 2
El Modelo
En este capıtulo, antes de tratar a fondo la presentacion y propiedades del modelo para
reclamaciones relacionadas en el tiempo, se presentara el modelo binomial compuesto
para una reclamacion y algunas de sus propiedades.
El modelo binomial compuesto es una herramienta introducida por (Gerber, 1988) en
el artıculo“Mathematical Fun with the Compound Binomial Process”y desde aquel mo-
mento varios trabajos han tratado sobre sus propiedades y su especial particularidad
de funcionar como una aproximacion a tiempo discreto del modelo de Poisson clasico,
ademas de esto el modelo ha sido estudiado por autores reconocidos en el area actuarial
tales como (Shiu , 1989) o (Dickson, 1994), quienes han presentado resultados directa-
mente relacionados con el calculo de la probabilidad de ruina para un proceso de riesgo
enmarcado en dicho modelo. El trabajo matematico realizado en base a este modelo
garantiza una manipulacion practica y menos engorrosa que en el caso del modelo de
Poisson compuesto, por lo tanto transcurrida mas de una decada de ser presentados los
resultados por Gerber, autores como (Alfredo, 2000) siguen exponiendo trabajos donde
se explora el modelo binomial.
El modelo presentado por (Gerber, 1988) es el siguiente.26
2.1. Modelo Binomial Compuesto sin Sobre-reclamaciones.
Se considera un modelo a tiempo discreto donde la funcion de superavit S(t) es de la
siguiente manera.
S(t) = u+ t−Nt∑
i=1
Xi
Donde Nt denota el numero de reclamaciones en los primeros t periodos de tiempo.
S0 = u es el superavit inicial. Ademas se asume que dicha funcion es un proceso
binomial, es decir que en cualquier periodo de tiempo se tiene una reclamacion con
probabilidad p o no se presenta reclamacion con probabilidad q = 1 − p y que las
reclamaciones en cada periodo de tiempo son eventos independientes.
Los montos de estas reclamaciones estan notadas por X1, X2, X3, . . .. Estas variables
aleatorias son identicamente distribuidas e independientes entre sı, ası como del proceso
de numero de reclamaciones; ademas los montos por reclamacion son valores enteros
positivos.
Sea
f(x) = Pr(Xi = x) y F (x) = Pr(Xi ≤ x) x = 1, 2, 3, . . .
la funcion de probabilidad y funcion de distribucion, respectivamente. Finalmente se
supone que las primas contienen un recargo 1, es decir si µ = E(Xi) se tiene que pµ ≤ 1.
Sea ψ(u) la probabilidad de ruina tal como se definio y sea φ(u) = 1− ψ(u) la proba-
bilidad de supervivencia para este modelo, con
τ = inf {t ≥ 0|S(t) ≤ 0} .
Tanto para el modelo discreto como para el modelo binomial compuesto un gran numero
de expertos en el tema han aportado resultados importantes para el calculo de la proba-
bilidad de ruina mediante el uso de recursiones, esto se debe a la propiedad de Markov
1Recargo se denomina a los gravamenes cobrados sobre la prima, en muchos casos para cubrirriesgos excedentes, este recargo es conocido comunmente como el recargo de seguridad.
27
2 de la cual esta dotado el modelo de riesgo (colectivo e individual); (Dickson, 1994)
presenta dos resultados importantes para un modelo de tiempo discreto planteando las
condiciones iniciales para una formula recursiva sobre la probabilidad de superviven-
cia o probabilidad de no ruina. Dichos resultados se presentan en las siguientes dos
proposiciones.
Proposicion 6.
Para u = 1, 2, 3, . . .
φ(u) = φ(0) +u∑
k=1
φ(k)[1− F (u− k)]
Demostracion. Sobre el primer periodo de tiempo se tiene que
φ(0) = φ(1)f(0)
Ahora para u = 2, 3, 4 . . ., utilizando el principio de induccion debil
φ(u− 1) = f(0)φ(u) +u−1∑
j=1
φ(j)f(u− j) (2.1)
donde para U = 2, 3, 4 . . .
u−1∑
k=0
φ(k) = f(0)u∑
k=1
φ(k) +u∑
k=2
u−1∑
j=1
φ(j)f(k − j)
= f(0)u∑
k=1
φ(k) +u−1∑
k=1
φ(k)[F (u− k)− f(0)]
= f(0)φ(u) +u−1∑
k=1
φ(k)[F (u− k)]
2Para cualquier n ≥ 0 y cualquier estado x1, x2, . . . , xn se satisface la identidad.
P (Xn+1 = xn+1|Xn = xn, . . . , X2 = x2, X1 = x1, X0 = x0) = P (Xn+1 = xn+1|Xn = xn)
28
despejando el termino b(0)φ(u) y teniendo en cuenta las propiedades de la funcion de
probabilidad se tiene que
b(0)φ(u) =u−1∑
k=0
φ(k)−u−1∑
k=1
φ(k)F (u− k)
= φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)− [φ(k)F (u− k)]
= φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)[1− F (u− k)]
= φ(u− 1)−u−1∑
k=1
φ(k)f(u− k)
esto de la ecuacion (2.1). Ahora igualando y despejando el termino φ(u− 1)
φ(u− 1) = φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)[1− F (u− k)] +u−1∑
k=1
φ(k)b(u− k)
= φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)[1− F (u− k) + f(u− k)]
= φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)Pr(X ≥ u− k)
= φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)[1− Pr(X ≤ u− k − 1)]
= φ(0) +u−1∑
k=1
φ(k)[1− F (u− k − 1)]
o equivalentemente
φ(u) = φ(0) +u∑
k=1
φ(k)[1− F (u− k)] (2.2)
Proposicion 7. La probabilidad de ruina en un modelo de riesgo a tiempo discreto con
superavit inicial u = 0 es
ψ(0) = E(X1)29
Para este resultado el (Dickson, 1994) define la funcion de severidad de ruina G(u, y)
para u = 0, 1, 2, . . . y y = 1, 2, 3, . . . como
G(u, y) = Pr(τ <∞;
y
;S(t) < −y)
G(u, y) representa la probabilidad de que la ruina ocurra y que en el primer instante
de tiempo de ruina τ el deficit de capital sea a lo sumo y − 1. bajo estas condiciones y
la ecuacion (2,2) se puede probar el resultado.
La demostracion de este hecho se basa en la presentacion de otras formulas recursivas
para el calculo de probabilidades de ruina en un modelo de tiempo discreto, las cuales
son presentadas por (Alfredo, 2000), dicha construccion se basa en la probabilidad de
ruina y desde ellas se puede obtener una transformacion para visualizarlas como las
presentadas en la proposicion (6); las formulas recursivas mencionadas se presentan en
la siguiente proposicion.
Proposicion 8. Para un proceso de riesgo a tiempo discreto S(t) con superavit inicial
u ≥ 0 se tiene que
1.
ψ(u) = ψ(0) +u−1∑
k=0
ψ(u− k)[1− F (k)]−u−1∑
k=0
(1− F (k)) u ≥ 1
2.
ψ(0) = E(Xi)
Demostracion. Para un superavit inicial w ≥ 0 y condicionando para el valor de X1 se
30
tiene que
ψ(w) =∞∑
k=0
Pr(τ <∞|X1 = x)Pr(X1 = x)
=w∑
k=0
Pr(τ <∞|X1 = x)f(x) +∞∑
k=w+1
Pr(τ <∞|X1 = x)f(x)
=w∑
k=0
φ(w + 1− x)f(x) +∞∑
k=w+1
f(x)
=w∑
k=0
φ(w + 1− x)f(x) + [1− F (x)]
=w+1∑
k=1
φ(x)f(w + 1− x) + [1− F (x)]. (2.3)
La segunda ecuacion se ha separado para cuando el monto Y1 no produce el evento
ruina y para cuando la ruina ocurre, en este caso la probabilidad condicional es 1.
Ahora depejando el ultimo termino de la ecuacion (2,3) y escribiendo w = u ademas
si se tiene en cuenta que si S0 = u + 1 por la definicion de probabilidad de ruina
Pr(τ <∞|u = 0) = φ(u+ 1)f(0), entonces
φ(u+ 1)f(0) = φ(u)−u+1∑
k=1
φ(x)f(u+ 1− x)− [1− F (x)] (2.4)
ahora sumando los terminos de la ecuacion (2.3) de 0 a cualquier u ≥ 0.
u∑
w=0
φ(w) =u∑
w=0
w+1∑
x=1
φ(x)[1− F (w + 1− x)]−u∑
k=0
[1− F (x)]
=u+1∑
x=1
φ(x) +u∑
w=y−1
f(w + 1− x) +u∑
w=0
[1− f(w)]
=u+1∑
x=1
φ(x) + F (u+ 1− x) +u∑
w=0
[1− f(w)]
=u∑
x=1
φ(x) + F (u+ 1− x) + φ(u+ 1)f(0) +u∑
w=0
[1− f(w)]
31
por lo tanto.
φ(u+ 1)f(0) = φ(0) +u∑
x=1
φ(x)[1− F (u+ 1− x)]−u∑
w=0
[1− F (x)] (2.5)
igualando las ecuaciones (3,4) y (3,5) y despejando φ(u)
φ(u) = φ(0) +u∑
x=1
φ(x)[1− F (u+ 1− x) + f(u+ 1− x)]−u−1∑
x=0
[1− F (x)]
= φ(0) +u∑
x=1
φ(x)[Pr(X > (u+ 1− x)) + Pr(X = (u+ 1− x))]−u−1∑
x=0
[1− F (x)]
= φ(0) +u∑
x=1
φ(x)[1− F (u− x)]−u−1∑
x=0
[1− F (x)]
= φ(0) +u−1∑
x=0
φ(u− x)[1− F (x)]−u−1∑
x=0
[1− F (x)] (2.6)
Esto prueba la primera parte de la proposicion. Para probar que φ(0) = E(Xi) se
necesita hacer un limite sobre u→ ∞ en la ecuacion (2,6).
0 = lımu→∞
φ(u) = φ(0) + lımu→∞
u−1∑
x=0
φ(u− x)[1− F (x)]− lımu→∞
∞∑
x=0
[1− F (x)].
De este resultado se tiene que la segunda suma es la esperanza de X y la primera suma
tiende a cero por definicion de probabilidad de ruina, con esto el resultado ha sido
demostrado.
Es de notar que existe una relacion entre las proposiciones presentadas por (Dickson,
1994) y Por (Alfredo, 2000), basta reorganizar terminos y usar la definicion de proba-
bilidad de supervivencia para deducir una de la otra.
Este trabajo presentado para un modelo de riesgo a tiempo discreto es expuesto en
(Gerber, 1988) poniendolo en contexto de un modelo binomial compuesto, es decir,
asume que el proceso de numero de reclamaciones Nt es un proceso binomial con para-
metro p , en este artıculo el autor propone la siguiente recursion para el calculo de la
probabilidad de ruina.
32
Proposicion 9. En un modelo de riesgo S(t) binomial compuesto con superavit inicial
S(0) = u > 0 se tiene que
φ(0) = qφ(1) + p (2.7)
φ(u) = qφ(u+ 1) +u∑
x=1
φ(u+ 1− x)p(x) + p
∞∑
x=u+1
p(x) (2.8)
ademas las formulas (2,7) y (2,8) proporcionan un algoritmo recursivo para el calculo
de la probabilidad de ruina.
Demostracion. La ecuacion (2,7) se deduce del hecho de la probabilidad de que exista
reclamacion en el primer periodo de tiempo y la ruina no ocurra en el periodo siguiente
y del uso del teorema de la probabilidad total.
Mientras la ecuacion (2.8) es un ajuste a las proposiciones (2,1) o (2,3), el cual anade
la probabilidad de la ocurrencia o no ocurrencia de los siniestros.
Al evaluar (2,8) en u = 0 se obtiene para u = 1, 2, 3 . . .
φ(0) = pµ
Para ilustrar la proposicion anterior se expondra que ocurre para reclamaciones de
monto 1 y reclamaciones de monto 2.
Si todas las reclamaciones son de monto 1 se tiene que
Pr(Xi = 1) = P (1) = 1
y para x = 2, 3, 4, . . .
p(x) = 0.
Con esto se concluye que la ruina ocurre unicamente si S(0) = u = 0 y si ademas
existe una reclamacion en el primer periodo de tiempo, de esto se deduce que
para este caso particular.
φ(0) = p = pµ33
Ahora un caso mas discutido es cuando se tienen reclamaciones de monto 2, para
este caso se tiene que el modelo de riesgo que lo representa es.
S(t) = u+ t− 2Nt
= u+ (t−Nt)−Nt.
Este proceso se ha discutido por varios autores en el contexto del problema de la
ruina del jugador, (Ver Anexo 1), donde se tiene que
φ(0) = 2p
y para u = 1, 2, 3 . . .
φ(u) =
(
p
q
)u
la cual es la solucion de (2,7) y (2,8).
Ademas de estos resultados presentados bajo formulas recursivas tanto (Gerber, 1988)
y (Shiu , 1989) dedican su trabajo para calcular formulas explicitas con las que se pueda
calcular la probabilidad de ruina y la probabilidad de supervivencia respectivamente
(Dickson, 1994) deduce desde la proposicion (8) la probabilidad de ruina para un mo-
delo donde el numero de siniestros presenta una distribucion binomial y los montos de
reclamaciones presentan una distribucion geometrica, este modelo es una aproximacion
a tiempo discreto al proceso de riesgo de Cramer-Lundberg el cual se presenta en deta-
lle en (Rincon, 2012) o (Kass, 2005), este modelo es el mas comunmente estudiado en
el marco de la teorıa de riesgo actuarial y se basa en asumir que el numero de reclama-
ciones presenta una distribucion de Poisson mientras que el monto por reclamaciones
se distribuye de manera exponencial.
La formula explicita para el calculo de la probabilidad de ruina presentada por (Gerber,
1988) es la siguiente.
Proposicion 10. Para un modelo de riesgo binomial compuesto se tiene que.
φ(0) =pµ
1− pµ[1− φ(0)]
34
φ(u) =1
1− pµ− q−u
De la misma manera las formulas presentadas para el calculo de la probabilidad de
supervivencia presentadas en (Shiu , 1989) vienen dadas por.
Proposicion 11. Para un modelo de riesgo binomial compuesto se tiene que la proba-
bilidad de supervivencia viene dada como sigue.
1.
ψ(0) =1− qµ
1− q
2.
ψ(u) = 1− ψ(0)∞∑
n=1
[φ(0)]n[1− F ∗n(u)]
La demostracion de las dos proposiciones anteriores son realizadas en los trabajos ya
descritos y no se presentan ya que su extension y complejidad son trabajo para una
investigacion individual de cada artıculo.
Ya con estas proposiciones y definiciones previas se ha estudiado en gran parte el
modelo binomial compuesto sin reclamaciones relacionadas, no sobra recordar que el
interes de este trabajo esta en las reclamaciones relacionadas en el tiempo para ello
en la siguiente parte se presentaran los supuestos necesarios para establecer un modelo
binomial compuesto con reclamaciones relacionadas en el tiempo.
2.2. El Modelo Binomial Compuesto con Reclama-
ciones Relacionadas en el Tiempo.
Se considera un modelo a tiempo discreto que involucra dos tipos de reclamaciones de
seguros, las cuales son la reclamacion principal y la sobre-reclamacion o reclamacion
subsecuente sobre las unidades de tiempo t = 1, 2, 3 . . ., se supone que cada reclamacion
principal induce una reclamacion subsecuente.
35
En cualquier periodo de tiempo la probabilidad de tener una reclamacion principal
sera p, 0 < p < 1 y de no tenerla es q = 1 − p, la ocurrencia de las reclamaciones
principales en diferentes periodos de tiempo son independientes, es decir la ocurrencia
de una reclamacion en el periodo k no depende de la ocurrencia en los periodos de
tiempo anteriores a k y ası mismo esta reclamacion no influira en la ocurrencia de
una reclamacion en los periodo de tiempo siguientes a k. La sobre-reclamacion que
esta asociada a una reclamacion principal ocurre en el mismo periodo de tiempo con
probabilidad θ o puede ser retrasada al siguiente periodo de tiempo con probabilidad
δ = 1− θ; es aca donde se presenta el tipo de relacion que existe entre la reclamacion
principal y la sobre-reclamacion. Los montos de reclamacion son independientes entre
si y son enteros positivos, los montos de reclamaciones principales X1, X2, X3 . . . son
independientes e identicamente distribuidos con funcion de probabilidad comun
f(m) = fm = Pr(X = m)
para m = 1, 2, 3 . . ., con su correspondiente funcion generadora de probabilidad dada
por
f(z) =∞∑
m=1
fmzm
y con media
µX =∞∑
m=1
mfm.
Sean Y1, Y2, Y3 . . . variables identicamente distribuidas e independientes que representa
los montos para las sobre-reclamaciones, con funcion de probabilidad comun
g(n) = gn = Pr(Y = n)
Para n = 1, 2, 3 . . ., con su correspondiente funcion generadora de probabilidad dada
por
g(z) =∞∑
n=1
gnzn
Y con media
µY =∞∑
n=1
nfn.
Asumase que la prima por periodo de tiempo es de valor 1, que el superavit inicial es
36
u ∈ Z+ y su proceso de superavit es
S(t) = u+ t− UX − UY (2.9)
donde UXt y UY
t son la suma de montos de las reclamaciones principales y sobre-
reclamaciones en los primeros t periodos de tiempo respectivamente, es decir
UXk =
n∑
i=1
Xi y UYk =
n∑
j=1
Yj.
La probabilidad de supervivencia en tiempo finito es
ψ(u, k) = Pr(S(t) ≥ 0; t = 1, 2, 3 . . . , k) (2.10)
Y con esto la probabilidad de ruina sera
φ(u, k) = 1− ψ(u, k)
Al supoiner que una reclamacion subsecuente ocurre en un periodo de tiempo k y esta
a su vez es el resultado de una reclamacion principal en un periodo de tiempo k − 1.
Un punto practico para considerar es si la aseguradora ha establecido una reserva
presumiblemente E(Y ) ademas de una carga para las reclamaciones subsecuentes al
final del periodo k − 1; este caso darıa lugar para un concepto de ruina para lo cual la
ruina en el instante k − 1 significarıa que la aseguradora tenıa dinero insuficiente para
este momento o tenıa dinero insuficiente para las reservas requeridas en este momento.
Este escenario serıa apropiado, por ejemplo, si los pagos de reclamaciones se retrasaron
y las reservas de las reclamaciones pendientes se establecieron al final de cada periodo
de tiempo. Nuestro modelo supone el caso mas sencillo donde la ruina ocurre ya que
los fondos de la aseguradora son negativos.
Sea Uk la suma de UXk y UY
k , entonces para el periodo de tiempo t = 1 se tiene que
E(U1) = E(UX1 + UY
1 )
= E(UX1 ) + E(UY
1 )
37
Y utilizando el teorema de la probabilidad total y el hecho de independencia entre los
montos de los dos tipos de reclamaciones se obtiene
= pµX + pθµY
Pueden existir tres escenarios en los cuales se presenten las reclamaciones relacionadas
en cualquier periodo de tiempo, estos tres escenarios deben tenerse en cuenta en el
momento de querer planificar sobre ellos y estos se enumeran a continuacion.
1. La reclamacion principal.
2. La reclamacion inicial y la reclamacion subsecuente inducida por la reclamacion
inicial.
3. La reclamacion subsecuente inducida por la reclamacion inicial ocurrida previa-
mente.
Bajo los posibles tipos de reclamacion ya mencionados la esperanza matematica de la
suma de los montos de reclamaciones para un periodo cualquiera viene dada por
E(Un+1) = E(Un) + pµX + pθµY + p(1− θ)µY
= E(Un) + pµX + pθµY + pδµY
= E(Un−1) + pµX + pθµY + pδµY + E(U1)
= E(Un−1) + 2(pµX + pθµY + pδµY )
donde por induccion
= (n+ 1)p0oµX + pθµY + npδµY
= np(µX + µY ) + pµX + pθµY
Por ultimo en el planteamiento del modelo nos aseguramos de que la tasa de la prima
excede la tasa de reclamaciones netas y por lo tanto la carga de aseguramiento es
positiva, en terminos de la esperanza de la suma de montos reclamados.38
p(µX + µY ) < 1 (2.11)
Es bajo este tipo de proceso donde se presentaran las formulas recursivas para el calculo
de la probabilidad de ruina en tiempo finito.
Ya que para algunos lectores puede parecer extrano plantear este modelo a un escenario
real se ponen en consideracion las siguientes situaciones donde se puede presentar este
tipo de reclamaciones relacionadas en el tiempo; si se considera que para una catastrofe
como un terremoto o una tormenta puede ser muy probable que ocurran reclamaciones
de seguros despues de los inmediatos o tambien se puede considerar el caso en que un
seguro de accidente tenga despues de cobrada la reclamacion el agravante posterior del
suceso muerte.
Otra posible interpretacion de nuestro modelo puede ser que la reclamacion subsecuente
puede ser tomada como una porcion aleatoria del total de reclamaciones tomando
algunas unidades de tiempo para ser resuelto.
39
CAPITULO 3
Formulas Recursivas Para el Calculo de la Probabilidad de Ruina
en Tiempo Finito
En la matematica se ha utilizado la recursion como un metodo elegante para la solucion
de problemas ya que desde algunas condiciones se puede encontrar una solucion general
y el planteamiento de dichas soluciones se hace de manera mas rapida, ademas las
recursiones permiten crear sistemas que solucionen o den aproximaciones a la solucion
de un problema; la teorıa de riego actuarial tambien usa la recursion, esto se muestra en
la produccion de conocimientos basados en recursiones para evitar complicados calculos
y ademas optimizar el procedimiento por ejemplo los algoritmos de Prill y Panjer son
muestra de como funcionan las recursiones en esta disciplina, tambien se puede notar
que en muchos casos la solucion mediante recursiones proporciona una herramienta util
para encontrar las soluciones analıticas, este hecho se puede presenciar en el capıtulo 2
donde se discuten calculos recursivos para encontrar la probabilidad de ruina.
Para evaluar la probabilidad de ruina en tiempo finito, es necesario estudiar la ocu-
rrencia de las reclamaciones en dos escenarios. El primero es que si una reclamacion
principal ocurre en un periodo de tiempo determinado la reclamacion subsecuente tam-
40
bien ocurra en el mismo periodo, por lo tanto no existiran reclamaciones para el proximo
periodo de tiempo y de esta manera el proceso de superavit se renueva.
El segundo escenario es el evento complementario al que se menciono anteriormente
es decir si existe una reclamacion principal su sobre reclamacion se producira en el
siguiente periodo de tiempo. Ahora si la reclamacion principal se produce en el periodo
anterior y su reclamacion subsecuente asociada se produce al final del periodo de tiempo
actual se tiene el siguiente proceso de superavit condicionado al segundo escenario
S1(t) = u+ t− UXt − UY
t − Y (3.1)
para t = 1, 2, 3 . . . y con S1(0) = u se nota ademas la probabilidad de supervivencia al
proceso condicional en el periodo k como φ1(u, k) y con esto se obtiene por medio del
teorema de la probabilidad total que
φ(u− 1, k) = qφ(u, k − 1) + pθ∑
m+n≤u
φ(u−m− n, k − 1)fmgn
+ p(1− θ)∑
m≤u
φ1(u−m, k − 1)fm
= qφ(u, k − 1) + pθ
u∑
m+n=1
φ(u−m− n, k − 1)fmgn+
pδ
u∑
m=1
φ1(u−m, k − 1)fm (3.2)
donde cada una de los sumandos de la ecuacion anterior representa cada posibilidad en
las que se pueden presentar las reclamaciones en el periodo t = k, es decir
1. el primer sumando representa la probabilidad de que no exista reclamacion princi-
pal en el periodo t = k por la probabilidad de supervivencia del periodo anterior.
2. El segundo sumando representa la probabilidad de que exista reclamacion princi-
pal y reclamacion subsecuente en el periodo t = k por la probabilidad de super-
vivencia del periodo anterior.
3. El tercer sumando representa la probabilidad de que exista reclamacion principal
en el periodo t = k y que la reclamacion principal sea retrasada al periodo k + 141
por la probabilidad de supervivencia del periodo anterior; es de notar que en
esta oportunidad se usa el proceso de superavit definido para esta situacion en la
ecuacion (3.1).
Ademas
φ1(u− 1, k) = q∑
n≤u
φ(u− n, k − 1)gn + pθ∑
m+n+l≤u
φ(u−m− n− l, k − 1)fmgngl
+ p(1− θ)∑
m+n≤u
φ1(u−m− n, k − 1)fmgn
φ1(u− 1, k) = q
u∑
n=1
φ(u− n, k − 1)gn + pθ
u∑
m+n+l=1
φ(u− (m+ n+ l), k − 1)fmgngl
+ pδ
u∑
m+n=1
φ1(u− (m+ n), k − 1)fmgn (3.3)
para u ≥ 1 y k ≥ 1. Es claro que φ(u, 0) = φ1(u, 0) = 1 para todo u ≥ 0. Se define la
funcion generadora ası
φ(z, k) =∞∑
u=0
φ(u, k)zu y φ1(z, k) =∞∑
u=0
φ1(u, k)zu
Para manipular las ecuaciones (3.2) y (3.3) mediante las funciones generadoras de
probabilidad es necesario hacer un trabajo previo; para empezar se multiplicara la
ecuacion (3.2) por zu de donde se tiene
zzu−1φ(u− 1, k) = zuqφ(u, k − 1) + zupθ
u∑
m+n=1
φ(u−m− n, k − 1)fmgn
+ zupδ
u∑
m=1
φ1(u−m, k − 1)fm
42
zzu−1φ(u−1, k) = q(zuφ(u, k−1))+pθ(u∑
m+n=1
zu−(m+n)φ(u−m−n, k−1)zmfmzngn)
+ pδ(u∑
m=1
zu−mφ1(u−m, k − 1)zmfm)
ahora, si a esta ultima ecuacion la sumamos a cada lado de 1 a infinito sobre u
z
∞∑
u=1
zu−1φ(u− 1, k) = q(∞∑
u=1
zuφ(u, k − 1))
+ pθ(∞∑
u=1
u∑
m+n=1
zu−(m+n)φ(u−m− n, k − 1)zmfmzngn)
+ pδ(∞∑
u=1
u∑
m=1
zu−mφ1(u−m, k − 1)zmfm)
esto es por definicion de las funciones generadoras de probabilidad
zφ(z, k) = q(φ(z, k−1)−φ(0, k−1))+pθφ(z, k−1)f(z)g(z)+pδφ1(z, k−1)f(z) (3.4)
utilizando los mismos argumentos sobre (3.3) se obtiene
zφ1(z, k) = qφ(z, k − 1)g(z) + pθφ(z, k − 1)f zg2(z) + pδφ1(z, k − 1)f(z)g(z) (3.5)
Ahora teniendo en cuenta las funciones generadoras bivariadas
φ(z, t) =∞∑
k=0
φ(z, k)tk, φ1(z, t) =∞∑
k=0
φ1(z, k)tk, y φ0(t) =
∞∑
k=0
φ(0, k)tk
43
y aplicando el mismo metodo que se utilizo para conseguir (3.4) y (3.5) se tiene
z
∞∑
k=1
φ(z, k)tk = qt(∞∑
k=1
tk−1φ(z, k− 1)−φ(0, k− 1))+ ptθ
∞∑
k=1
φ(z, k− 1)f(z)tk−1g(z)
+ ptδ
∞∑
k=1
φ1(z, k − 1)f(z)tk−1
z(φ(z, t)− φ(z, 0)) = qt(∞∑
k=0
tkφ(z, k)− φ(0, k)) + ptθ
∞∑
k=0
φ(z, k)f(z)tkg(z)
+ ptδ
∞∑
k=0
φ1(z, k)f(z)tk
z(φ(z, t)− φ(z, 0)) = qt(φ(z, t)− φ0(t)) + pθtf(z)g(z)φ(z, t) + pδtf(z)φ1(z, t) (3.6)
z(φ1(z, t)− φ1(z, 0)) = qtg(z)φ(z, t) + pθtf(z)g2(z)φ(z, t) + pδtf(z)g(z)φ1(z, t)
= g(z)(qtφ(z, t) + pθtf(z)g(z)φ(z, t) + p(1− θ)tf(z)φ1(z, t)).
(3.7)
Es de notar que φ1(z, 0) = φ(z, 0), donde por definicion y por propiedades de la serie
geometrica se obtiene
φ1(z, 0) = φ(z, 0) =∞∑
u=0
φ(u, 0)zu =∞∑
u=0
zu =1
1− z
y con esto (3.6) y (3.7) pueden escribirse como
44
zφ(z, t)−z
1− z= (qt+ pθtf(z)g(z))(φ(z, t)) + p(1− θ)tf(z)(φ1(z, t)− qt(φ0(t))
zφ1(z, t)−z
1− z= g(z)(zφ(z, t)−
z
1− z+ qt(φ0(t)).
Para combinar las dos ecuaciones anteriores, primero se tiene despejando de la segunda
ecuacion φ1(z, t)
φ1(z, t) =1
1− z+ g(z)φ(z, t)−
g(z)
1− z+qtφ0(t)g(z)
z
y por lo tanto
φ1(z, t)tf(z)p(1− θ) =tf(z)p(1− θ)
1− z+ g(z)tf(z)p(1− θ)φ(z, t)−
tf(z)p(1− θ)g(z)
1− z
+tf(z)p(1− θ)qtφ0(t)g(z)
z
y al reemplazar este valor en la primera ecuacion
zφ(z, t)−z
1− z= (qt+pθtf(z)g(z))φ(z, t)+
tf(z)p(1− θ)
1− z+ g(z)tf(z)p(1− θ)φ(z, t)
−tf(z)p(1− θ)g(z)
1− z+tf(z)p(1− θ)qtφ0(t)g(z)
z− qt(φ0(t))
donde agrupando terminos semejantes la ecuacion queda escrita como
φ(z, t)[z − t(q + pf(z)g(z))] =z
1− z+ t(1− g(z))
p(1− θ)f(z)
1− z
− qtφ0(t)
(
1− p(1− θ)tf(z)g(z)
z
)
. (3.8)
45
Sea UWk el monto total de reclamaciones en los primeros k periodos en el modelo
binomial compuesto, con monto individual de reclamaciones W = X + Y . Entonces
para encontrar la funcion generadora de probabilidad de UWk notada como h(z, k) se
procede de la siguiente manera:
Para un periodo de tiempo cualquiera se tiene desde el teorema de la probabilidad total
aplicado al modelo binomial compuesto que
Pr(X + Y = k) = pθPr(X + Y = k) + p(1− θ)Pr(X + Y = k)
si se desea expresar lo anterior mediante la funcion generadora de probabilidad entonces
se tiene
h(z) =∞∑
k=0
Pr(X + Y = k)tk
= qt0 +∞∑
k=1
[pθPr(X + Y = k) + p(1− θ)Pr(X + Y = k)] tk
= q +∞∑
k=1
[pPr(X + Y = k)(θ + 1− θ)] tk
= q +∞∑
k=1
[pPr(X = m)Pr(Y = n)] tm+n
= q +∞∑
m+n=1
pfmtmgnt
n
= q + p
[
∞∑
m=1
fmtm
∞∑
m=1
gntn
]
= q + pf(z)g(z)
Usando la hipotesis de independencia de los montos de reclamaciones para cada pe-
riodo se tiene que para los primeros k periodos la funcion generadora de probabilidad
h(z, k) = [q+pf(z)g(z)]k. Es claro que h(z, 1) = q+pf(z)g(z), y ademas se notaran las
funciones de densidad y de distribucion de UWk como h(i, k) y H(i, k) respectivamente.
Con esto, si se divide a ambos lados de (3.8) por z − th(z, 1) es decir se multiplica por
(z− th(z, 1))−1 cuya expresion se puede ver como serie de potencias de la variable t de46
la siguiente manera
(z − th(z, 1))−1 =1
z − th(z, 1)
=1
z
1
1− th(z,1)z
=z−1
1− th(z,1)z
Y por propiedades de las series geometricas es
=1
z
∞∑
k=0
[
t(h(z, 1))
z
]k
=∞∑
k=0
tk(h(z, 1))k
zk+1.
Se multiplicara cada termino de (3.8) por el resultado anterior, esto para obtener una
nueva expresion, ası para
El lado izquierdo de la ecuacion (3.8) queda escrito como
φ(z, t)[z − t(q + pf(z)g(z))]
z − t(q + pf(z)g(z))= φ(z, t)
=∞∑
k=0
φ(z, k)tk
Al multiplicar el primer termino del lado derecho de (3.8) por la expresion∑∞
k=0tk(h(z,1))k
zk+1
se tiene
z
1− z
∞∑
k=0
tk(h(z, 1))k
zk+1=
1
1− z
∞∑
k=0
tk(h(z, 1))k
zk
=∞∑
k=0
h(z, k)
zk(1− z)tk
47
Al multiplicar el segundo termino del lado derecho de (3.8) por la expresion∑∞
k=0tk(h(z,1))k
zk+1 se tiene
t(1−g(z))p(1− θ)f(z)
1− z
∞∑
k=0
tk(h(z, 1))k
zk+1= f(z)(1−g(z))
p(1− θ)
1− zt
∞∑
k=0
tk(h(z, 1))k
zk+1
= f(z)(1− g(z))p(1− θ)
1− z
∞∑
k=0
h(z, k)
zk+1tk+1
= f(z)(1− g(z))p(1− θ)
1− z
∞∑
k=1
h(z, k − 1)
zktk
=∞∑
k=0
f(z)(1− g(z))p(1− θ)
1− z
h(z, k − 1)
zktk
Al expandir el producto del tercer termino de (3.8) se tiene dos resultados que al
multiplicarlos por la expresion∑∞
k=0tk(h(z,1))k
zk+1 se tiene el siguiente par de resulta-
dos
1.
qtφ0(t)∞∑
j=0
(h(z, 1))ktj
zj+1= qφ0(t)
∞∑
j=0
(h(z, 1))jtj+1
zj+1
= q
∞∑
k=0
φ(0, k)tk∞∑
j=0
(h(z, 1))jtj+1
zj+1
= q
∞∑
k=0
∞∑
j=0
φ(0, k)(h(z, 1))jtk+j+1
zj+1
= q
∞∑
k=j+1
∞∑
j=0
φ(0, k − j − 1)h(z, j)z−j−1tk
=∞∑
k=0
q
k−1∑
j=0
φ(0, k − j − 1)h(z, j)zk−j−1
zktk.
El ultimo resultado se obtiene al ordenar los ındices de las sumatorias, eli-
minar los sumandos donde la probabilidad de supervivencia se tomaba para
un periodo de tiempo negativo y dividiendo la expresion obtenida en zk.
2. Operando de la misma manera la expresion48
qtφ0(t)pf(z)g(z)(1− θ)∞∑
j=0
(h(z, 1))jtj+1
zj+1
se obtiene
∞∑
k=0
qpf(z)g(z)(1− θ)k−2∑
j=0
φ(0, k − j − 2)h(z, j)zk−j−2
zktk
Ahora si se toma la suma∑∞
k=0 para todos los sumandos, se toma factor comun tk y se
multiplica a ambos lados de la ecuacion la expresion zk se obtiene que para k = 1, 2, 3 . . .
zkφ(z, k) =h(z, k)
1− z+f(z)(1−g(z))h(z, k−1)
p(1− θ)
1− z−q
k−1∑
j=0
φ(0, k−1−j)h(z, j)zk−1−j
+ pq(1− θ)f(z)g(z)k−2∑
j=0
φ(0, k − 2− j)h(z, j)zk−2−j . (3.9)
Bajo este contexto para generar una relacion recurrente entre las funciones generadoras
de probabilidad, para el proceso conjunto de montos en periodos de tiempo consecutivos
es necesario aclarar que
h(z, k + 1)− qh(z, k) = (q + pf(z)g(z))k+1 − q(q + pf(z)g(z))k
= (q + pf(z)g(z))k[
q + pf(z)g(z)− q]
= pf(z)g(z)(q + pf(z)g(z))k
= pf(z)g(z)h(z, k).
Ademas la funcion generadora de probabilidad h puede ser escrita en terminos de la
funcion de densidad h, y la funcion de distribucion H, por lo tanto la ecuacion (3.9) se
puede reescribir teniendo en cuenta los siguientes resultados que se derivan de analizar
cada sumando de la ecuacion (3.9) por separado.
49
Para el primer sumando del lado derecho de la ecuacion (3.9) se tiene que rees-
cribiendo la funcion generadora de probabilidad como serie de potencias y por el
vınculo entre la funcion de densidad y la funcion de probabilidad.
h(z, k)
1− z=
∞∑
i=0
H(i, k)zi
Para el segundo sumando expandiendo los terminos y usando el hecho que h(z, k+
1)− qh(z, k) = pf(z)g(z)h(z, k)
f(z)[1− g(z)]h(z, k − 1)p(1− θ)
1− z
= [f(z)h(z, k)− f(z)g(z)h(z, k)]p(1− θ)
1− z
=p(1− θ)
1− z[f(z)h(z, k − 1)]− [pf(z)g(z)h(z, k)]
(1− θ)
1− z
=p(1− θ)
1− z[f(z)h(z, k − 1)]− [h(z, k)− qh(z, k − 1)]
(1− θ)
1− z
Para el tercer sumando solo basta expresar la fgp como serie de potencias.
q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)h(z, j)zk−1−j = q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)∞∑
i=0
h(i, j)zk−1−jzi
= q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)∞∑
i=0
h(i, j)zi+k−1−j
Para el cuarto sumando se procede igual que el segundo ıtem.
pq(1− θ)f(z)g(z)k−2∑
j=0
φ(0, k − 2− j)h(z, j)zk−2−j =
q(1− θ)k−2∑
j=0
φ(0, k − 2− j)[pf(z)g(z)h(z, j)zk−2−j ] =
q(1− θ)
k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)[h(z, j + 1)− qh(z, j)].
50
De esta manera la ecuacion (3.9) es equivalente a
zkφ(z, k) =∞∑
i=0
H(i, k)zi − q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)∞∑
i=0
h(i, j)zi+k−1−j
+p(1− θ)
1− z[f(z)h(z, k − 1)]− [h(z, k)− qh(z, k − 1)]
(1− θ)
1− z
+ q(1− θ)k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)[h(z, j + 1)− qh(z, j)]. (3.10)
Si se define h1(z, k) = h(z, k− 1)(p+ qf(z)) con H1(i, k) su correspondiente funcion de
distribucion. Y si como en la ecuacion (3.9) se reordena por secciones el lado derecho
de la ecuacion (3.10) entonces
Del segundo sumando de la ecuacion (3.10) se tiene
q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)∞∑
i=0
h(i, j)zi+k−1−j
= q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)∞∑
i=1+j−k
zih(i+ 1 + j − k, j)
= q
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)∞∑
i=k−1−j
zih(i+ 1 + j − k, j)
= q
∞∑
i=0
zik−1∑
j=k−1−j
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j)
= q
k−1∑
i=0
zik−1∑
j=k−1−j
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j)
+ q
∞∑
i=k
zik−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j)
51
Operando sobre el tercer y cuarto sumando de (3.10) se obtiene
p(1− θ)
1− z[f(z)h(z, k − 1)]− [h(z, k)− qh(z, k − 1)]
(1− θ)
1− z
=p(1− θ)
1− z[f(z)h(z, k − 1)]−
(1− θ)
1− zh(z, k)− q
(1− θ)
1− zh(z, k − 1)
=(1− θ)
1− z[f(z)h(z, k − 1)− qh(z, k − 1)]−
(1− θ)
1− zh(z, k)
=(1− θ)
1− z[(f(z)− q)h(z, k − 1)]−
(1− θ)
1− zh(z, k)
=(1− θ)
1− zh1(z, k)−
(1− θ)
1− zh(z, k)
Ahora del quinto sumando de (3.10) se obtiene
q(1− θ)k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)[h(z, j + 1)− qh(z, j)]
= q(1− θ)k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)h(z, j + 1)
− q2(1− θ)k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)h(z, j)
= q(1− θ)k−1∑
j=1
zk−1−jφ(0, k − 1− j)h(z, j)
− q2(1− θ)k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)h(z, j)
con estos resultados hasta este momento la ecuacion (3.10) se puede reescribir como
52
zkφ(z, k) =∞∑
i=0
H(i, k)zi − q
k−1∑
i=0
zik−1∑
j=k−1−j
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j)
− q
∞∑
i=k
zik−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j) +(1− θ)
1− zh1(z, k)
−(1− θ)
1− zh(z, k) + q(1− θ)
k−1∑
j=1
zk−1−jφ(0, k − 1− j)h(z, j)
− q2(1− θ)k−2∑
j=0
zk−2−jφ(0, k − 2− j)h(z, j)
Para terminar de reescribir la formula (3.10) se tienen en cuenta los siguientes tres
resultados
1.
(1 − θ)
1 − zh1(z, k) −
(1 − θ)
1 − zh(z, k) = (1 − θ)
∞∑
i=0
ziH1(i, k) −
(1 − θ)
1 − zh(z, k)
= (1 − θ)∞∑
i=0
H1(i, k)zi−
∞∑
i=0
H(i, k)zi+ θ
∞∑
i=0
H(i, k)zi
2.
k−1∑
j=1
zk−1−j
φ(0, k − 1 − j)h(z, j) =
k−1∑
j=1
zk−1−j
φ(0, k − 1 − j)
∞∑
i=0
zih(i, j)
=
k−1∑
j=1
zk−1−j
φ(0, k − 1 − j)
k−1∑
i=0
zih(i, j) +
k−1∑
j=1
zk−1−j
φ(0, k − 1 − j)∞∑
i=k
zih(i, j)
=
k−1∑
j=1
φ(0, k − 1 − j)
k−1∑
i=0
zi+k−1−j
h(i, j) +
k−1∑
j=1
φ(0, k − 1 − j)∞∑
i=k
zi+k−1−j
h(i, j)
=
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1 − j)
k−1∑
i=0
zi+k−1−j
h(i, j) − φ(0, k − 1)h(0, 0)zk−1
+
k−1∑
j=1
φ(0, k − 1 − j)∞∑
i=k
zi+k−1−j
h(i, j)
=
k−1∑
i=0
zi
k−1∑
j=k−1−i
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j) − φ(0, k − 1)h(0, 0)zk−1
+∞∑
i=k
zik−1∑
j=i
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j)
53
3.
k−2∑
j=1
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)h(z, j)
=
k−2∑
i=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)∞∑
i=0
zih(z, j)
=
k−2∑
j=1
φ(0, k − 2 − j)∞∑
i=0
zi+k−2−j
h(i, j)
=
k−2∑
j=1
φ(0, k − 2 − j)∞∑
i=k−2−j
zih(i, j)
=∞∑
i=0
zi
k−2∑
j=k−2−i
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
=
k−2∑
i=0
zi
k−2∑
j=k−2−i
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
+∞∑
i=k−1
zik−2∑
j=0
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
Esto muestra que la ecuacion (3.10) puede ser escrita como
zkφ(z, k) = θ
∞∑
i=0
H(i, k)zi − q
k−1∑
i=0
zik−1∑
j=k−1−j
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j)
− q
∞∑
i=k
zik−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)h(i+ 1 + j − k, j) + (1− θ)∞∑
i=0
H1(i, k)zi
+ q(1− θ)k−1∑
i=0
zik−1∑
j=k−1−i
φ(0, k − 1− j)h(i+ j + 1− k, j)− φ(0, k − 1)h(0, 0)zk−1
+∞∑
i=k
zik−1∑
j=1
φ(0, k − 1− j)h(i+ j + 1− k, j)
+ q2(1− θ)k−2∑
i=0
zik−2∑
j=k−2−i
φ(0, k − 2− j)h(i+ j + 2− k, j)
+∞∑
i=k−1
zik−2∑
j=0
φ(0, k − 2− j)h(i+ j + 2− k, j) (3.11)
Si se tiene en cuenta que
54
zkφ(z, k) = zk∞∑
i=0
φ(i, k)zi
=∞∑
i=0
zi+kφ(i, k)
=∞∑
i=k
ziφ(i− k, k) (3.12)
y si se comparan los coeficientes de zi de (3.12) con los terminos al lado derecho de
(3.11) se tienen las siguientes formulas recursivas:
φ(0, k) = θH(k, k) + (1− θ)H1(k, k)− qθ
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)h(j + 1, j)
− q2(1− θ)k−2∑
j=0
φ(0, k − 2− j)h(j + 2, j) (3.13)
φ(i− k, k) = θH(i, k) + (1− θ)H1(i, k)− qθ
k−1∑
j=0
φ(0, k − 1− j)h(i+ j + 1− k, j)
− q2(1− θ)k−2∑
j=0
φ(0, k − 2− j)h(i+ j + 2− k, j). (3.14)
las cuales permiten encontrar la probabilidad de ruina en tiempo finito para 2 recla-
maciones relacionadas en el tiempo en el modelo binomial compuesto.
55
Conclusiones
En el sector asegurador se presenta un gran numero de variantes que pueden complicar
las predicciones y modelos del actuario a cargo de la companıa; en este trabajo se
evidencia un problema sobre retrasos en las liquidaciones de una reclamacion o el
caso donde una reclamacion cobre agravantes sobre la misma. Esta clase de problemas
necesitan una solucion y es por ello que en (Guo, 2001) se presentan tanto el modelo,
como una solucion para el problema especıfico del calculo de la probabilidad de ruina.
Del estudio de las tres primeras secciones de dicho artıculo y la reconstruccion teorica
a partir de herramientas matematicas y probabilısticas de acuerdo a los objetivos del
trabajo se puede concluir que:
Utilizar el supuesto de un modelo discreto y en este caso especıficamente el supues-
to del modelo binomial compuesto, facilita la manipulacion de distintos recursos
que se plantean para solucionar problemas en el marco de la teorıa de riesgo
actuarial, este modelo en muchos casos permite obtener resultados de manera
optima y ademas permite llevar estas soluciones al modelo continuo con menor
dificultad.
La utilizacion de formulas recursivas para el calculo de probabilidades de ruina en
el contexto de la teorıa de riesgo actuarial es una herramienta precisa y muy util
para plantear sistemas de soluciones desde el simple conocimiento del comporta-
miento inicial del modelo. Ademas la recursividad hace para el actuario mucho
mas facil la programacion de las formulas necesarias para abordar cualquier pro-
blema; tambien es de resaltar que desde el conocimiento de formulas recursivas se
puede plantear una solucion bajo formulas explıcitas como se muestra en (Dick-
son, 1994), (Shiu , 1989) y (Alfredo, 2000).
Las funciones generadoras de probabilidad ademas de ofrecer alternativas para
la obtencion de los momentos de las distribuciones,ademas como se muestra en
este trabajo, desde las mismas pueden obtenerse relaciones directas entre objetos
matematicos tratados en la teorıa de riesgo actuarial. La manipulacion de las
funciones generadoras de probabilidad en este caso aunque aparezcan expresiones
complicadas y dispendiosas, permiten un manejo matematico y computacional
practico, es por esto que se pretende en trabajos futuros hacer utilizacion de las56
mismas para la obtencion de probabilidades de ruina en el caso de reclamaciones
relacionadas en mas periodos de tiempo y la introduccion del modelo binomial
negativo compuesto para solucionar problemas en un espacio discreto en donde
el modelo binomial compuesto no ofrece alternativas de solucion.
57
CAPITULO 4
Anexos
4.1. La Ruina del Jugador
Este problema clasico es uno de los mas estudiados en los cursos de probabilidad a nivel
mundial y como era de esperarse su interpretacion presenta una aplicacion importante
en el contexto de la teorıa de riesgo actuarial.
Este problema es el ultimo propuesto por Huygens a los lectores en el ano de 1657 en
su tratado De Ratiocinus in Ludo Aleae, “El Razonamiento en el Juego de Dados”. El
tratado que consistıa de 5 problemas, tres de ellos con solucion tendrıa en su interior
uno de los problemas mas famosos entre los estudios de la probabilidad.
El problema se trata de un juego entre dos jugadores a un numero indeterminado de
partidas, donde en cada partida se juegan una moneda 1 y que solo concluye cuando
uno de los dos jugadores ha perdido todo su dinero. Tenemos un juego que podrıa tener
duracion infinita. El problema plantea el calculo de la probabilidad de que un jugador
1Quien la pierde le paga al otro una moneda
58
arruine al contrario sabiendo la cantidad de monedas con las que parte cada uno 2 y
conociendo las probabilidades de ganar en cada partida de cada uno de los jugadores,
probabilidades que no tienen por que ser iguales aunque si constantes a lo largo de todo
el juego. Se supone, ademas que las partidas son sucesos independientes entre sı, o sea,
el resultado de una partida no influye en los resultados posteriores, cosa que ocurre en
un juego de puro azar, donde el jugador no va aprendiendo a medida que se desarrolla
el juego, El problema mencionado es el problema de nuestro interes, el problema de la
ruina del jugador.
Es de tener en cuenta que aunque Huygens fue quien introdujo el problema formalmente
este problema ya habıa sido propuesto por Pascal a Fermat mediante correo, tambien se
sabe que el problema fue estudiado por James Bernoulli; estos tres famosos matematicos
lo catalogaron entre los problemas mas difıciles de resolver, y fue hasta 1865 cuando se
conocio la divulgacion previa a Huygens y segun Todhunter es el primer ejemplo sobre
la duracion del juego, un asunto que posteriormente sirvio para mostrar la elevada
capacidad de De Moivre, Lagrange y Laplace.
A continuacion se presenta la solucion al problema.
4.1.1. Solucion al Problema del Jugador
Suponga que un juego entre un jugador y un casino, el contexto de ruina se dara cuando
cualquiera de los dos jugadores quede sin fichas. Si el jugador tiene n fichas y la mesa
del casino cuenta con m fichas, hay en juego el total de m + n = K fichas. Sea p la
probabilidad de ganar el jugador en cada partida y sea q la probabilidad que gane el
casino, por comodidad p+ q = 1, es decir en cada partida hay un ganador.
Sea wi la probabilidad de que el jugador arruine la mesa cuando el dispone de imonedas.
Por tanto, 1−wi es la probabilidad de que la banca arruine al jugador cuando este tiene
i monedas. Se puede escribir: w0 = 0, pues el jugador ya ha perdido todas sus monedas,
no puede seguir jugando y, por tanto, no tiene ninguna posibilidad de arruinar a la mesa
del casino.
w1 = pw2, pues si al jugador le queda una moneda, la unica posibilidad de seguir
en el juego es ganando la siguiente partida. Por tanto, la probabilidad de arruinar la
2En un principio Huygens establecıa el mismo numero de monedas para ambos59
mesa disponiendo de una sola moneda es igual a la probabilidad de ganar la siguiente
partida (juntando entonces 2 monedas) por la probabilidad de arruinar la mesa cuando
se dispone de 2 monedas.
w2 = pw3+ qw1, pues, la probabilidad de que arruine la mesa con dos monedas es igual
a la probabilidad de que gane la siguiente partida (juntando entonces 3 monedas) por
la probabilidad de que arruine la mesa con 3 monedas mas la probabilidad de perder
la siguiente partida (quedando entonces con una sola moneda) por la probabilidad de
arruinar la mesa con una moneda. Es de nota, que el conocido teorema de la proba-
bilidad total sirve perfectamente para ir construyendo las igualdades que definen una
recurrencia en funcion del numero de monedas que tiene el jugador. wk = 1, pues el
jugador ya tiene todas las monedas, y el juego a terminado.
Se puede generalizar y resumir escribiendo:
w0 = 0 wk = 1 wi = pwi+1 + qwi−1 i = 1, 2, . . . , K − 1
Ahora solo basta resolver la siguiente ecuacion en diferencias.
wi = (p+ q)wi = pwi + qwi
Igualando las dos ecuaciones anteriores.
pwi+1 + qwi−1 = pwi + qwi
p(wi+1 − wi) = q(wi − wi−1)
wi+1 − wi =q
p(wi − wi−1)
Para disttintos valores de i se tiene lo siguiente.
60
para i = 1
w2 − w1 =q
pw1
para i = 2
w3 − w2 =q
p(w2 − w1) =
(
q
p
)2
w1
para i = 3
w4 − w3 =q
p(w3 − w2) =
(
q
p
)3
w1
para i = k − 1
wk − wk−1 =q
p(wk−1 − wk−2) =
(
q
p
)k−1
w1
Al sumar miembro a miembro las igualdades anteriores se tiene que.
1− wi = wi
[
q
p+
(
q
p
)2
+
(
q
p
)3
. . .
(
q
p
)k−1]
Por tanto.
1 = wi
[
1 +q
p+
(
q
p
)2
+
(
q
p
)3
. . .
(
q
p
)k−1]
Y con esto obtenemos el valor.
wi =1
wi
[
q
p+(
q
p
)2
+(
q
p
)3
. . .(
q
p
)k−1]
Ahora si supone que se trunca en la i-esima suma y sustituyendo el valor de w1 se tiene
que.
61
wi =
[
1 + q
p+(
q
p
)2
+(
q
p
)3
. . .(
q
p
)i−1]
[
1 + q
p+(
q
p
)2
+(
q
p
)3
. . .(
q
p
)k−1]
De donde.
wi =1−
(
q
p
)i
1−(
q
p
)k
.
Esta es la solucion general del problema de la ruina del jugador, donde para ciertas
restricciones se tiene lo siguiente.
Para p = q, es decir para eventos equiprobables.
wi =i
k
Si se tiene que q > p y para i suficientemente grande es decir(
q
p
)i
>> 1 se tiene
que.
wi =
(
p
q
)k−i
Para p < q y si se tiene k suficientemente grande como para decir que(
q
p
)k
∼ 0
entonces.
wi = 1−
(
q
p
)i
Esta solucion y el problema puede ser encontrada en (Baley, 1964) y (Basulto, 2008)
62
Bibliografıa
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pound Binomial Model.Insurance: Mathematics and Economics 29, 47-57.
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and Sons, Chichester.
Rincon L.,2012. Introduccion a la Teorıa de Riesgo.ciudad universitaria UNAM, Mexico
DF.
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Shiu, E., 1989. The probability of eventual ruin in a compound binomial model. ASTIN
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Dickson, D.C.M., 1994. Some comments on the compound binomial model. ASTIN
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Basulto J., Camunez J., Perez D., 2008. El problema de la ruina del jugador. SUMA
59, 23-30.
64
