UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

06 / 10 / 2014

MARCO TEORICO

• El aprendizaje basado en problemas (ABP) es un método de enseñanza

innovador en el que se invierte el proceso de enseñanza clásico.

• Metodología centrada en el aprendizaje, investigación y reflexión que siguen

los alumnos para resolver un problema planteado por el profesor.

Características

• Es una estrategia de enseñanza – aprendizaje que se centra en el

estudiante.

• Es multidisciplinario

• El maestro se convierte en tutor del aprendizaje.

• Es un método que estimula el trabajo colaborativo en diferentes

disciplinas, se trabaja en grupos pequeños.

• El ABP puede utilizarse como una estrategia más dentro del proceso de

enseñanza y aprendizaje

• Es un método de trabajo activo donde los alumnos participan

constantemente en la adquisición de su conocimiento.

• Es cíclico a diferencia de la metodología tradicional.

PROCESO DE APRENDIZAJE CON ABP

8. Presentar resultados

7. Obtener información

6. Definir el problema

5. Hacer una lista de lo que se necesita hacer para resolver el problema

4. Lista de lo que no se conoce

3. Lista de lo que se conoce

2. Lluvia de ideas

1. Leer y analizar el problema

(Victoria Landa Fitzgerald y Emma Patricia Morales Bueno)

Otras propuestas: Exley y Dennick (2007), Torp y Sage (1998), etc

PROBLEMA ABP: CARACTERÍSTICAS

• El problema ABP es un problema abierto.

• Es un problema real.

• Genera interés en los estudiantes.

• ƒPresentan menos parámetros, con lo cual son menos manipulables.

• Hay incertidumbre acerca de los conceptos, reglas y principios necesarios para la solución.

• La información necesaria para resolver el problema no está contenida en el texto del problema.

• Uno o varios aspectos de la situación del problema (por ejemplo, estado inicial, estado final, y el conjunto de operadores para ir del estado inicial al final) no están bien especificados.

MARCO TEORICO

TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

TRANSFORMADAS DE LORENTZ

DILATACION DEL TIEMPO

SIMULTANEIDAD

CONTRACCION DE LONGITUD

EFECTO DOOPLER

Postulados de la teoría especial de la relatividad

El principio de relatividad:

Todas las leyes de la Física deben ser las mismas en todos los

sistemas de referencia inerciales

La velocidad de la luz en el vacío es una constante:

c = 299 792 458 m/s (≈3.00 x 108 m/s), en todos los sistemas de

referencia inerciales, sin importar la velocidad del observador o la

velocidad de la fuente que emite la luz

Transformaciones de Lorentz:

Son un conjunto de relaciones que dan cuenta de cómo se relacionan las

medidas obtenidas por dos observadores diferentes.

Simultaneidad

No se puede decir con sentido absoluto que dos acontecimientos hayan ocurrido

al mismo tiempo en diferentes lugares. Si dos sucesos ocurren simultáneamente

en lugares separados espacialmente desde el punto de vista de un observador,

cualquier otro observador inercial que se mueva respecto al primero los presencia

en instantes distintos.

Dilatación del tiempo

El tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de ser el mismo. Si

tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo de un

acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no

tendrán la misma medición de tiempo.

Dilatación temporal

Pero ambos observadores deben medir

la misma velocidad de la luz (igual a C

)

Postulado de la relatividad especial

El intervalo de tiempo ∆t’ medido por el observador situado en el segundo sistema de referencia será mayor que el intervalo

de tiempo ∆t medido por el observador en el primer sistema de referencia, porque es siempre mayor que la unidad

La luz recorre más espacio para el observador que

para , pero su velocidad es la misma en los dos

sistemas

γ

CONTRACCION DE LA LONGITUD

Al igual que ocurre con el tiempo, la distancia que se mide entre dos puntos cualesquiera

también depende del sistema de referencia desde el que se realiza. Así, denominaremos

Longitud propia (Lp) de un objeto a aquella que mide un observador en reposo respecto a

él.

Efecto Doppler relativista

Es el cambio observado en la frecuencia de la luz procedente de una fuente en

movimiento relativo con respecto al observador.

El cambio en frecuencia observado cuando la fuente se aleja viene dado por la siguiente expresión:

= frecuencia observada,

= frecuencia emitida,

= velocidad relativa

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1 −

𝑣𝑐

1 +𝑣𝑐

f0

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1 +

𝑣𝑐

1 −𝑣𝑐

f0

Corrimiento al rojo: La fuente se aleja del

observador

Corrimiento al azul: La fuente se acerca al

observador

OBJETIVOS

• Tener una mejor visión de esta gran controversia que fue expuesta por Albert Einstein, la cual

trae grandes muchas dudas y preguntas en el aspecto de la física dentro de la relatividad, no

simplemente conocer acerca de este tema sino analizar el ambiente donde este científico

analizo su paradoja.

• Que los alumnos analicen la paradoja que aparece con la teoría de la relatividad cuando una

persona se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz.

• Conocer los postulados de la Relatividad Especial de Albert Einstein sobre la indetectabilidad

del Movimiento Absoluto Uniforme y la constancia de la Velocidad de la Luz.

Marlon y Rocío son hermanos gemelos que

conforman un dúo musical muy talentoso, cuando los

2 llegan a cumplir 20 años, Marlon recibe la noticia de

haber sido contratado en un importante banda de

rock universal, por lo que tenía que viajar a un

planeta X, el cuál se encuentra a 8 años luz de la

tierra. APOCALIPSIS la compañía que llevará de

viaje a Marlon, atravesará el espacio en una nave a

una velocidad de 0.8c y que además el viaje durará 6

años.

Para Rocío conocedora de la Mecánica Clásica el

viaje debería durar 10 años.

¿Cómo se explica que este viaje emplee menos

tiempo de que le corresponde?

ENUNCIADO

Planteamiento de la Paradoja

Tomando como sistema de referencia a Rocío en la Tierra, este SRI será

estacionario. Entonces para ella, Marlon se aleja con una velocidad de 0.8c, y según

lo propuesto en el problema tendrá que recorrer una distancia de 8 años luz al

planeta X.

810

0.8

d añosluzt años

v c

Para Rocío: Según la mecánica clásica.

Dado que para Marlon hay otro Sistema de Referencia, el cual es dentro de la nave;

entonces, Marlon tendrá un tiempo propio, el cuál lo hallamos por dilatación del

tiempo:

∆𝑡 = 𝛾Δ𝑡0 → Δ𝑡0 =10

5/3= 6

2

1 5 5

3 30.81 cc

Para Marlon, él está en reposo y la tierra es la que está en movimiento, por lo que

calcula el tiempo transcurrido para Rocío mientras él llega al planeta X

𝛾 =1

1 − (0.8𝑐

𝑐 )2

=5

3

∆𝑡 = 𝛾∆𝑡0

∆𝑡0 =6

53

= 3.6

Así que para Marlon habrán transcurrido 12 años y para un observador en la tierra sólo 7.2

años. Según esto Rocío sería 4.8 años más joven que él. Es donde surge contradicción

con los cálculos anteriores.

Análisis

Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él o ella mismo. Y

lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o uno es más joven que el

otro, pero no puede ser que ambos sean más jóvenes que el otro simultáneamente.

Pues bien, eso sí es una paradoja.

Hipótesis y Conjeturas

El tiempo se ve afectado cuando la nave viaja a cualquier velocidad.

La medida del tiempo no es absoluta, y que dados dos observadores el tiempo medido

por estos observadores, en general, no coincide sino que la diferente medida de

tiempos depende de estado de movimiento relativo entre ellos.

Supuestos

a. Despreciamos la velocidad de rotación y traslación de la tierra.

b. Despreciamos el efecto de atracción de los planetas y de la tierra hacia la nave.

POSIBLES SOLUCIONES

• Transformaciones de Lorentz

La contradicción se da debido a que uno de los dos observadores están usando mal las fórmulas de relatividad

Tomando como referencia a la

tierra: ∆𝑥 = ∆𝑡. 𝑉

∆𝑥 = 8 𝑎ñ𝑜𝑠. 𝐶 + 8 𝑎ñ𝑜𝑠. 𝐶

𝑉 = 0.8 𝐶

∆𝑡 =16 𝑎ñ𝑜𝑠.𝐶

0.8 𝐶

∆𝒕 = 𝟐𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔

Ahora calculemos el tiempo para

Marlon∆𝑡 = ∆𝑡𝑅𝑜𝑐𝑖𝑜= 20 𝑎ñ𝑜𝑠

∆𝑡𝑅𝑜𝑐𝑖𝑜=∆𝑡𝑀𝑎𝑟𝑙𝑜𝑛

1 −𝑉𝑀𝑎𝑟𝑙𝑜𝑛

2

𝐶2

∆𝑡𝑀𝑎𝑟𝑙𝑜𝑛= 1 −𝑉𝑀𝑎𝑟𝑙𝑜𝑛

2

𝐶2∆𝑡𝑅𝑜𝑐𝑖𝑜

∆𝑡𝑀𝑎𝑟𝑙𝑜𝑛= 1 −0.8𝐶 2

𝐶220 𝑎ñ𝑜𝑠

∆𝑡𝑀𝑎𝑟𝑙𝑜𝑛= 12 𝑎ñ𝑜𝑠

Entonces para Rocio han transcurrido

20 años mientras que para Marlon 12

años.

Tomando como referencia a la nave

.

X’ S

X’

Y’

𝑋0′ = 0 𝑋1

′ = −8 𝑎ñ𝑜𝑠. 𝐶

Y’

S’

X’

V=0.8 C

𝑡 = 𝑡0′ 𝑡 = 𝑡1

′

Para 𝑡0 y 𝑡1 respectivamente, aplicaremos la corrección de Lorentz vista

desde la nave.

𝑡0 = 𝛾 𝑡𝑜′ +

𝑉

𝐶2𝑥0

′ … … . (1)

𝑡1 = 𝛾 𝑡1′ +

𝑉

𝐶2𝑥1

′ … … . (2)

Ahora, restando 2 − 1 :

𝑡1 − 𝑡0 = 𝛾 𝑡1′ − 𝑡0

′ +𝑉

𝐶2𝑥1

′ − 𝑥0′

Sea:

∆𝑡 = 𝑡1 − 𝑡0 ∆𝑡′= 𝑡1′

− 𝑡0′

∆𝑥 ′= 𝑥1′

− 𝑥0′

Entonces:

∆𝑡 = 𝛾 ∆𝑡′ +𝑉

𝐶2∆𝑥 ′

∆𝒕′=∆𝒕

𝜸−

𝑽

𝑪𝟐 ∆𝒙′ … … . . (𝟑) “ecuación correcta

para Marlon “

Reemplazando datos:

∆𝑡 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠, tiempo en que se demora la tierra

en viajar hasta el planeta X.

𝑉 = 0.8 𝐶, velocidad con la que viaja la tierra.

∆𝑥 ′= −8 𝑎ñ𝑜𝑠. 𝐶

𝛾 =1

1 −𝑉2

𝐶2

=1

1 −(0.8 𝐶)2

𝐶2

=5

3

Reemplazando en 3:

∆𝑡 ′=∆𝑡

𝛾−

𝑉

𝐶2∆𝑥 ′

∆𝑡′=6 𝑎ñ𝑜𝑠

53

−0.8 𝐶

𝐶2−8 𝑎ñ𝑜𝑠. 𝐶

∆𝑡 ′= 10 𝑎ñ𝑜𝑠

Que es lo correcto que Marlon calcula para

Rocío, por lo que ahora los datos coinciden

y Marlon es el mas joven.

• Efecto Doppler

Viaje de ida de Marlon

Cuando la Tierra se aleja respecto de Marlon

durante sus 6 años de viaje de ida recibe las

señales con una frecuencia f, tal que:

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1 −

0.8𝑐𝑐

1 +0.8𝑐

𝑐

𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Donde 𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 es la frecuencia con que

Rocío manda las señales (una señal al año).

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1

3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1

3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑓𝑜𝑏𝑠 =

1

36 = 2

Viaje de retorno de Marlon

Para Marlon la tierra ahora se acerca por lo

que se aplica

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1 +

0.8𝑐𝑐

1 −0.8𝑐

𝑐

𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Donde 𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 es la frecuencia con que

Rocío manda las señales (una señal al año).

𝑓𝑜𝑏𝑠 = 3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑓𝑜𝑏𝑠 = 3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑓𝑜𝑏𝑠 = 3 6 = 18

TOTAL: 20 señales

Estas 20 señales enviadas por Rocío indican

que para ella han pasado 20 años.

Espera de Rocío:

Cuando la nave se aleja respecto de Rocío

recibe las señales con una frecuencia f, tal que:

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1 −

0.8𝑐𝑐

1 +0.8𝑐

𝑐

𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Donde 𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 es la frecuencia con que Marlon

manda las señales (una señal al año)

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1

3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Señales recibidas por Rocío en el viaje de ida

de Marlon

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1

3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑓𝑜𝑏𝑠 =

1

310 + 8 = 6

Ssolo nos quedan 2 años en los cuales Roció recibirá

señales con una frecuencia f, tal que:

𝑓𝑜𝑏𝑠 =1 +

0.8𝑐𝑐

1 −0.8𝑐

𝑐

𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Donde 𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 es la frecuencia con que Marlon

manda las señales (una señal al año)

𝑓𝑜𝑏𝑠 = 3 𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒

Señales recibidas por Rocío en el viaje de vuelta de

Marlon

𝑓𝑜𝑏𝑠 = 3𝑓𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑓𝑜𝑏𝑠 = 3 2 = 6

TOTAL: 12 señales

Estas 12 señales enviadas por Marlon indican

que para ella han pasado 12 años.

• La paradoja de los gemelos nos muestra que la Relatividad puede llegar a

ser difícil de comprender si intentamos razonar dentro de los límites de la

mecánica clásica, que es la que podemos experimentar en nuestra vida

cotidiana.

• En la teoría de la relatividad las medidas de tiempo y espacio, son relativas

y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador.

• Es necesario que solo intervengan sistemas de referencia inerciales para

poder aplicar la teoría de la relatividad especial propuesta por Einsten.