Mini–Curso

Campos de Gauge Classicos: Maxwell, Chern–Simons

Maria Teresa Thomaz†

Instituto de FısicaUniversidade Federal Fluminense

R. Gal. Milton Tavares de Souza s/n.o

Campus da Praia VermelhaNiteroi, R.J., 24210–340 BRASIL

Indice

1. Princıpio de Mınima Acao 1

2. Campos Eletromagneticos: Equacoes de Maxwell 7

3. Espaco de Minkowski 13

4. Lagrangeana de Campos de Gauge Classicos 22

4.1. Campos Eletromagneticos: Campos de Maxwell 23

4.2. Campos de Gauge de Maxwell–Chern–Simons 37

5. Figuras 53

Apendice A: Revisao de Analise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes 55

Apendice B: Princıpio de Hamilton para Campos Classicos 57

Referencias 62

† E-mail: MTT@IF.UFF.BR

0

1. Princıpio de Mınima Acao.

Todos nos aprendemos a descrever quantitativamente o movimento dos corpos que nos

cercam atraves da aplicacao das tres Leis de Newton[1]:

1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retilıneo uniforme a menos queuma forca atue sobre ele.

2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma que a taxa de variacaodo momento e igual a essa forca.

3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas sao iguais em intensidadee direcao, mas tem sentidos opostos.

A 2.a Lei de Newton da a dinamica do movimento de uma partıcula pontual:

d~pdt

= ~F(t), (1.1)

onde ~p(t) e o momento linear da partıcula no instante t e ~F(t) a forca que age sobre a partıcula

neste instante. Na descricao do movimento dos corpos, a 2.a Lei de Newton relaciona a causa

( a forca que age sobre a partıcula) com a consequencia ( o movimento induzido no corpo).

Portanto, se conhecemos a expressao da forca que age sobre a partıcula em todos os instantes

e os valores iniciais da posicao e velocidade da partıcula, a partir da solucao da 2.a Lei de

Newton determinamos a sua trajetoria: ~x(t). Em alguns casos e possıvel obter a expressao

algebrica para essa trajetoria, mas na maioria das vezes o que se obtem e a solucao numerica.

A equacao que da a dinamica de uma partıcula de massa constante e:

md2~x(t)

dt2= ~F(t). (1.2)

Voces ja estudaram varias aplicacoes[1] da 2.a Lei de Newton; dentre elas destacamos:

Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa: neste caso definimos a funcaopotencial V (~x) cuja relacao com a forca que atua sobre a partıcula e:

~F(~x) = −~∇V (~x). (1.3)

Para partıculas sujeitas a forcas conservativas a equacao de movimento e:

1

md2~x(t)

dt2= −~∇V (~x). (1.4)

Exemplo 2. Partıcula sujeita a uma forca conservativa descrita pela funcao potencialV (~x) e uma forca ~F(t) dependente do tempo. Neste caso a equacao de movimento fica:

md2~x(t)

dt2= −~∇V (~x) + ~F(t). (1.5)

Sera que e possıvel obter atraves de um outro conjunto de postulados a

equacao (1.2) que descreve a dinamica de partıcula pontual?

Vamos entao comecar a discutir o Princıpio de Hamilton[2] em 1 dimensao espacial. A

sua extensao para 2 e 3 dimensoes espaciais e direta.

O princıpio de Hamilton nao vai dar nenhuma equacao de movimento nova para a

partıcula nao–relativıstica1. No entanto, o Princıpio de Hamilton e geral, de maneira que a

partir dele podemos obter as equacoes que governam a evolucao dinamica tanto de partıculas

quanto de campos, como por exemplo os campos eletromagneticos.

Enunciado do Princıpio de Hamilton:

Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia se mover de um ponto aoutro dentro de um intervalo de tempo fixo (consistente com todos os vınculos que o sistemadeve satisfazer), o caminho escolhido por ele e aquele que minimiza a integral no tempo dafuncao lagrangeana L:

S[x(t); t0, tf ] =∫ tf

t0

dtL(x(t), x(t); t), (1.6)

onde S e a acao. A cada trajetoria x(t) entre os pontos fixos x(t0) e x(tf ) associamos umnumero que e o valor da acao. A acao e uma quantidade dimensional, e sua dimensao iguala dimensao do momento angular.

Se xcl(t) e a trajetoria que a partıcula classica segue para ir da posicao x(t0) a posicaox(tf ) no intervalo de tempo (tf − t0), entao qualquer trajetoria que passe nestas mesmasposicoes nestes mesmos instantes e que corresponda uma pequena modificacao na trajetoriaclassica podem ser escritas como:

1 Partıcula nao–relativıstica e aquela cuja velocidade e muito menor que a velocidade da

luz.

2

x(t; α) = xcl(t) + αη(t), (1.7a)

onde α e uma constante e η(t) uma funcao arbitraria que corresponde a uma pequenadeformacao da trajetoria classica mas com os extremos fixos ( veja a Figura 1.1):

η(t0) = η(tf ) = 0. (1.7b)

A expressao matematica correspondente ao Princıpio de Hamilton para trajetorias quedifiram pouco da trajetoria classica e:

δS[x(t)] = S[x(t; α)]− S[xcl(t)]

= S[xcl(t) + αη(t)]− S[xcl(t)] = 0. (1.8)

Para entendermos porque o Princıpio de Hamilton e dado pela eq.(1.8) (δS[x(t)] = 0),notemos que para t0 e tf fixos, a acao S[x(t); t0, tf ] e uma funcao de α:

G(α) =∫ tf

t0

dtL(xcl + αη, xcl + αη; t). (1.9)

Dizer que a trajetoria xcl(t) minimiza a acao e equivalente a dizer que a funcao G(α)tem um mınimo em α = 0. O que caracteriza o mınimo de uma funcao e que a sua derivadano ponto e zero. Portanto,

∂G(α)∂α

∣∣∣∣α=0

⇒ ∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

= 0. (1.10)

Vejamos como obter a equacao de Lagrange a partir da condicao da acao ser um mınimoquando expandimos as possıveis trajetorias em torno da trajetoria classica.

A acao de qualquer trajetoria representada pela eq. (1.7a) e:

S[x(t; α)] ==∫ tf

t0

dt L(xcl + αη, xcl + αη; t). (1.11)

Da condicao de extremo (1.10), obtemos que:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=∫ tf

t0

dt∂L

∂x

∂x

∂α+

∂L

∂x

∂x

∂α

=∫ tf

t0

dt∂L

∂xη(t) +

∂L

∂xη(t)

. (1.12)

3

Ao se escolher a funcao η(t) estamos tambem escolhendo a funcao η(t), de forma que osdois termos do lado direito (l.d.) da equacao (1.12) nao sao independentes entre si. Usamosentao integracao por partes2 para reescrever o termo em η(t) no l.d. da eq.(1.12):

∫ tf

t0

dt∂L

∂xη(t) = η(t)

∂L

∂x

∣∣∣∣t=tf

t=t0

−∫ tf

t0

dtd

dt

(∂L

∂x

)η(t)

= −∫ tf

t0

dtd

dt

(∂L

∂x

)η(t), (1.13)

uma vez que o valor da funcao η(t) para t = t0 e t = tf e zero.Finalmente, a condicao de extremo da acao e escrita como:

∂S

∂α

∣∣∣∣α=0

=∫ tf

t0

dt

∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)η(t) = 0. (1.14)

Para que a igualdade (1.14) seja valida para qualquer pequena deformacao η(t), cujovalor em t = t0 e t = tf e nula, e necessario que o integrando seja identicamente nulo:

∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)= 0, (1.15)

onde, para o calculo das derivadas parciais, as variaveis x(t) e x(t) da lagrangeana L saotratadas como independentes.

A equacao (1.15) e chamada de equacao de Lagrange.Para que a equacao de Lagrange faca algum sentido para nos e possamos ver se ela re–

obtem, no caso das partıculas pontuais, a eq.(1.2), precisamos definir a lagrangeana em termosdas quantidades cinematicas (x(t), x(t)), que caracterizam de forma unıvoca o movimento dapartıcula.

De uma maneira geral, a forma que se escolhe para a lagrangeana depende do sistemaque estamos tratando: partıculas nao–relativısticas, partıculas relativısticas, campos eletro–magneticos, ...

Nesta secao vamos nos restringir a postular as lagrangeanas de partıculas nao–relativıs-ticas que correspondem aos dois exemplos que apresentamos no inıcio da secao.

A lagrangeana associada a um certo sistema e escolhida como funcao das quantidadescinematicas que caracterizam o sistema, de tal forma que a eq.(1.15) nos de a equacao demovimento classica (1.2) para partıculas nao–relativısticas.

2 Integracao por partes:∫

udv = uv −∫

vdu.

Escolhemos no nosso caso: u = ∂L∂x e dv = dt η.

4

Exemplo 1. Partıcula sujeita a uma forca conservativa em 1 dimensao: a relacao entre aforca F (x) que atua na partıcula e a funcao potencial V (x) e:

F (x) = −dV (x)dx

. (1.16)

A lagrangeana de partıculas sujeitas a forcas conservativas e:

L(x(t), x(t); t) =12mx(t)2 − V (x), (1.17a)

pois,

∂L

∂x= mx, (1.17b)

∂L

∂x= −dV (x)

dx. (1.17c)

e, substituindo as eqs.(1.17b–c) na equacao de Lagrange (1.15), obtemos

−dV (x)dx

− d(mx)dt

= 0 ⇒ md2x(t)

dt2= −dV (x)

dx. (1.18).

Exemplo 2. Partıcula sujeita a uma forca conservativa descrita pela funcao potencialV (x) e uma forca F (t) dependente do tempo.

A lagrangeana que descreve este sistema e:

L(x(t), x(t); t) =12mx(t)2 − V (x) + F (t)x(t), (1.19a)

pois,

∂L

∂x= mx, (1.19b)

∂L

∂x= −dV (x)

dx+ F (t). (1.19c)

e substituindo as eqs. (1.19b–c) na equacao de Lagrange (1.15) obtemos

−dV (x)dx

+ F (t)− d(mx)dt

= 0 ⇒ md2x(t)

dt2= −dV (x)

dx+ F (t), (1.20)

que e identica a eq.(1.5) em 1–dimensao.

Uma propriedade importante que se obtem a partir do Princıpio de Hamilton e que, se

duas lagrangeanas diferem entre si por uma derivada total, ou seja

5

L1(x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt, (1.21)

entao as duas lagrangeanas darao origem as mesmas equacoes de movimento.

Para vermos isso, relacionemos as acoes obtidas a partir das lagrangeanas L e L1 :

S[x(t); t0, tf ] =∫ tf

t0

dtL(x(t), x(t); t) (1.22a)

e

S1[x(t); t0, tf ] =∫ tf

t0

dtL(x(t), x(t); t) +dG(x(t), x(t); t)

dt

=∫ tf

t0

dtL(x(t), x(t); t)+

+ G(x(tf ), x(tf ); tf )−G(x(t0), x(t0); t0). (1.22b)

Como as pequenas deformacoes η(t) sao realizadas com as extremidades fixas, η(t0) =

η(tf ) = 0, entao a diferenca S1 − S e constante e independente do parametro α (eq.(1.7a))

uma vez que a contribuicao da funcao G(x(t), x(t); t) para S1 em t = t0 e t = tf nao depende

de α. Portanto,

∂S

∂α=

∂S1

∂α. (1.22c)

Como a equacao de Lagrange e obtida a partir da condicao de mınimo da acao e como

as acoes S e S1 tem o mesmo mınimo, entao ambas as acoes darao a mesma equacao de

Lagrange.

As lagrangeanas dos Exemplos 1 e 2 foram escolhidas de forma a recuperar as equacoes de

movimento classicas que ja conhecıamos. Portanto, o Princıpio de Hamilton nao traz nenhuma

Fısica nova para a Mecanica Classica. A primeira vista, tudo o que fizemos foi complicar o

estudo de sistemas de partıculas classicas. No entanto, sao os formalismos lagrangeano e

hamiltoniano[3] que indicam como estender a teoria de forma a descrever sistemas quanticos.

A reinterpretacao dos formalismos lagrangeano e hamiltoniano nos permite formular a

Mecanica Quantica[4], que e a teoria atraves da qual descrevemos a Fısica do mundo mi-

croscopico (atomo, nucleo, nucleon, etc ...).

6

2. Campos Eletromagneticos: Equacoes de Maxwell.

Na presenca de campos eletricos e magneticos, partıculas carregadas sofrem a acao da

forca de Lorentz[5], de maneira que sua equacao de movimento e3:

md2~x(t)

dt2= e~E(~x, t) + e

~v(t)c

× ~B(~x, t), (2.1)

onde m e a massa da partıcula, e a sua carga eletrica e ~v(t) a sua velocidade no instante t.

~E(~x, t) e o vetor campo eletrico, ~B(~x, t) o vetor campo magnetico e c a velocidade da luz4.

Estes campos tambem sao chamados de campos eletromagneticos.

No entanto, a presenca e o movimento de cargas eletricas (correntes) geram campos

eletricos e magneticos. As equacoes de Maxwell descrevem a evolucao no tempo dos campos

eletromagneticos na presenca de cargas eletricas e correntes.

As equacoes de Maxwell[5] na sua forma global e local sao:

∮

S

~E(~x, t) · nds = 4πQ(t) ⇐⇒ ~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t) (2.2a)∮

S

~B(~x, t) · nds = 0 ⇐⇒ ~∇ · ~B(~x, t) = 0 (2.2b)

∮

Γ

~E(~x, t) · d~l = −1c

d

dt

[∫

S

~B(~x, t) · nds

]⇐⇒ ~∇× ~E(~x, t) = −1

c

∂~B(~x, t)∂t

(2.2c)

∮

Γ

~B(~x, t) · d~l =1c

d

dt

[∫

S

~E(~x, t) · nds

]+ ⇐⇒ ~∇× ~B(~x, t) =

1c

∂~E(~x, t)∂t

+ (2.2d)

+4π

c

∫

S

~(~x, t) · nds +4π

c~(~x, t)

sendo ρ(~x, t) a densidade de carga eletrica na posicao ~x e no instante t, e ~(~x, t) a densidade de

corrente. Q(t) e a carga eletrica total contida dentro do volume V delimitado pela superfıcie

fechada S:

Q(t) =∫

V

d3~x ρ(~x, t). (2.3)

3 Estamos usando o sistema de unidades CGS para escrever as equacoes envolvendo os

campos eletromagneticos[5].4 A velocidade da luz e: c= 299.792.456,2 ± 1,1 m/seg.

7

∫S

~B(~x, t) · nds e o fluxo de campo magnetico que atravessa a superfıcie S no instante

t e∫

S~E(~x, t) · nds o fluxo de campo eletrico que atravessa a superfıcie S no instante t. n e

o vetor unitario normal a superfıcie S em cada ponto, ds e a area infinitesimal e d~l o vetor

infinitesimal tangente a curva Γ. A curva Γ e a fronteira da superfıcie S.

Para obtermos as equacoes de Maxwell na sua forma local a partir de sua formulacao

global bastar aplicar os Teoremas de Gauss e Stokes, que estao enunciados no Apendice A.

Para resolver exatamente o problema do movimento da carga eletrica na presenca de cam-

pos eletromagneticos e sua influencia sobre eles, terıamos de resolver simultaneamente as eqs.

(2.1) e (2.2a–d). Entretanto, nao sabemos resolver esse conjunto de equacoes acopladas. O que

faremos e estudar situacoes fısicas em que o efeito da variacao dos campos eletromagneticos

e pequeno sobre o movimento das partıculas com carga eletrica. Neste caso, vamos supor

que conhecemos a distribuicao de cargas e correntes em todos os pontos do espaco em cada

instante, e que estas distribuicoes nao sao afetadas pelos campos eletromagneticos.

Durante o mini–curso iremos trabalhar com as equacoes de Maxwell na sua forma local.

Ate agora temos chamado de campo aos vetores eletrico e magnetico. A razao de usarmos

essa nomenclatura para esses vetores e que no caso de uma partıcula pontual, ~x(t) corresponde

a posicao que a partıcula ocupa no instante t. Portanto ~x(t) representa uma unica posicao

do espaco no instante t e e toda a informacao que voce precisa para localizar a partıcula

neste instante. No entanto, dizer que voce conhece os campos eletromagneticos no instante

t implica que voce sabe os valores dos vetores ~E(~x, t) e ~B(~x, t) em cada ponto ~x do espaco

neste instante. Neste contexto o vetor ~x e um parametro da mesma forma que o tempo, e

representa um ındice utilizado para localizar os diferentes pontos do espaco.

Na posicao do espaco que uma partıcula carregada eletricamente ocupa no instante t, a

forca de Lorentz que ela sente e:

~FL(~x, t) = e~E(~x, t) + e~v(t)

c× ~B(~x, t), (2.4)

sendo ~E(~x, t) e ~B(~x, t) os campos eletrico e magnetico, respectivamente, na posicao da

partıcula, e a sua carga eletrica e ~v(t) a sua velocidade.

Em resumo, temos que as componentes dos vetores eletromagneticos sao funcoes definidas

em todos os pontos do espaco; daı se dizer que sao campos.

8

Para termos a forca de Lorentz (eq.(2.4)) que age sobre partıculas carregadas precisamos

conhecer: ~E(~x, t) e ~B(~x, t), sendo que cada um desses vetores tem tres componentes. Logo,

para descrevermos a forca de Lorentz necessitamos de seis funcoes. Entretanto, essas seis

funcoes nao sao independentes entre si, uma vez que as equacoes de Maxwell (2.2a–d) acoplam

os campos eletrico e magnetico. A partir da eq. (2.2c) vemos que a variacao do fluxo do campo

magnetico atraves da superfıcie aberta S depende da integral de linha do campo eletrico ao

longo da fronteira Γ da area S. Por outro lado, a variacao do fluxo do campo eletrico atraves

da superfıcie aberta S depende da integral de linha do campo magnetico ao longo da fronteira

Γ que delimita a area S e o fluxo da densidade de corrente que atravessa a mesma area S. Em

resumo, temos que a evolucao no tempo dos campos eletrico e magnetico e inter–relacionada.

Vamos introduzir campos auxiliares em que temos um numero menor de funcoes a serem

determinadas e a partir das quais podemos determinar os campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t). Para isso,

usaremos as equacoes de Maxwell na sua forma local e as propriedades de Analise Vetorial

que estao apresentadas no Apendice A.

Da equacao (2.2b), temos que

~∇ · ~B(~x, t) = 0, (2.5a)

que pela propriedade (A.5) da divergencia de um vetor implica em que

~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t). (2.5b)

~A(~x, t) e denominado de potencial vetor. Substituindo a eq.(2.5b) na eq. (2.2c) obtemos que

~∇×(

~E(~x, t) +1c

∂ ~A(~x, t)∂t

)= 0. (2.5c)

Pela propriedade (A.6) do rotacional concluimos que

~E(~x, t) +1c

∂ ~A(~x, t)∂t

= −~∇A0(~x, t), (2.5d)

onde A0(~x, t) e denominado de potencial escalar.

9

Em resumo, temos que os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) que aparecem na forca de

Lorentz (eq.(2.4)) podem ser obtidos a partir dos campos auxiliares A0(~x, t) e ~A(~x, t) atraves

das relacoes:

~B(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) (2.6a)

e

~E(~x, t) = −~∇A0(~x, t)− 1c

∂ ~A(~x, t)∂t

. (2.6b)

Vamos mostrar agora que as quatro funcoes: A0, Ax, Ay e Az nao sao independentes

entre si. Para vermos isso usaremos o fato de que, dadas as funcoes A0(~x, t) e ~A(~x, t) atraves

das relacoes (2.6a–b), obtemos um unico vetor ~E(~x, t) e um unico vetor ~B(~x, t); no entanto,

a operacao inversa nao e verdadeira, ou seja, dados os campos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) temos um

conjunto infinito de pares de funcoes (A0(~x, t), ~A(~x, t)) que podem dar origem a esses campos

fısicos.

Vamos mostrar entao que nao e possıvel inverter as relacoes (2.6a–b). Para explorarmos

essa ambiguidade, lembremos que pela propriedade (A.6), temos que

~∇× (~∇G(~x, t)) = 0, (2.7)

onde G(~x, t) e uma funcao qualquer que nao possui singularidades. Entao, o potencial vetor

~A′(~x, t) definido como:

~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t) (2.8a)

da o mesmo campo magnetico que o obtido pelo potencial vetor ~A(~x, t), ou seja

~∇× ~A′(~x, t) = ~∇× ~A(~x, t) + ~∇× (~∇G(~x, t))

= ~∇× ~A(~x, t). (2.8b)

Entretanto, pela eq.(2.6b), temos que o potencial ~A′(~x, t) nao gera o mesmo campo

eletrico que o potencial vetor ~A(~x, t), a menos que, simultaneamente, o potencial escalar seja

modificado para:

10

A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c

∂G(~x, t)∂t

. (2.8c)

Neste caso,

−~∇A′0(~x, t)− 1

c

∂ ~A′(~x, t)∂t

= −~∇A0(~x, t)− 1c

∂ ~A(~x, t)∂t

. (2.8d)

As funcoes potenciais A′0(~x, t) e ~A′(~x, t) geram os mesmos campos eletromagneticos

~E(~x, t) e ~B(~x, t) que os potenciais A0(~x, t) e ~A(~x, t). Concluimos que os campos fısicos

~E(~x, t) e ~B(~x, t) sao invariantes sob a transformacao simultanea (2.8a) e (2.8c). As trans-

formacoes (2.8a) e (2.8c) sao as chamadas transformacoes de gauge:

A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c

∂G(~x, t)∂t

(2.9a)

e

~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t), (2.9b)

onde G(~x, t) e uma funcao qualquer cujas derivadas espaciais e temporal estao definidas em

todos os pontos do espaco e em qualquer instante.

Para podermos trabalhar com os potenciais escalar e vetorial precisamos impor uma

condicao arbitraria adicional sobre estes campos. Esta condicao adicional e chamada de

fixacao de gauge. Como exemplo de condicoes de gauge usualmente utilizadas temos:

i. Gauge de Coulomb:

~∇ · ~A(~x, t) = 0. (2.10a)

ii. Gauge de Lorentz:

~∇ · ~A(~x, t) +1c

∂A0(~x, t)∂t

= 0. (2.10b)

iii. Gauge de Weyl:

A0(~x, t) = 0. (2.10c)

11

Os potenciais escalar e vetorial tem que satisfazer as equacoes de Maxwell e uma escolha

arbitraria de gauge. As expressoes obtidas para A0(~x, t) e ~A(~x, t) dependem da escolha

do gauge; no entanto, os campos fısicos ~E(~x, t) e ~B(~x, t) nao dependem da particular

escolha de gauge que se faca. Daı dizermos que as quantidade fısicas sao independentes da

particular escolha que se faz para fixar o gauge e sermos entao capazes de calcular as funcoes

potenciais: A0(~x, t) e ~A(~x, t).

Apesar dos campos A0(~x, t) e ~A(~x, t) nao serem fısicos, eles sao importantes para a

descricao da teoria, uma vez que a lagrangeana que descreve campos eletromagneticos inter-

agindo com partıculas carregadas eletricamente e escrita atraves desses campos auxiliares,

como veremos mais adiante.

12

3. Espaco de Minkowski.

Estamos interessados em estudar neste mini–curso a lagrangeana dos campos de gauge de

Maxwell (campos eletromagneticos), e os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons. Em

particular, os campos eletromagneticos (luz) possuem velocidade c em qualquer referencial,

de maneira que este e um sistema relativıstico.

Na Mecanica Nao–Relativıstica o tempo e um parametro que e o mesmo em qualquer

referencial, o que nao e verdade com o vetor posicao da partıcula medido a partir de diferentes

referenciais inerciais.

Na Mecanica Relativıstica cada referencial inercial tem o seu conjunto de reguas e relogios

com os quais realiza as medidas dos fenomenos fısicos. Num sistema relativıstico o instante

em que a partıcula ocupa uma certa posicao do espaco depende do referencial a partir do qual

o movimento da partıcula esta sendo observado. Em cada referencial inercial o movimento

de uma partıcula e descrito como um evento que contem quatro informacoes: ~x(t), t. Desta

forma para sistemas relativısticos nao podemos dissociar o conceito de espaco do conceito de

tempo, daı usarmos a nomenclatura de espaco–tempo para representar o quadri–vetor (ct, ~x).

O quadri–vetor (ct, ~x) representa o instante t em que a partıcula ocupa a posicao ~x. Todas

as componentes de um quadri–vetor tem que ter a mesma dimensao, daı multiplicarmos o

tempo t pela velocidade da luz c no quadri–vetor (ct, ~x). Lembrando que a velocidade da luz

e a mesma em qualquer referencial.

Nao discutiremos a Relatividade Especial neste mini–curso; para aqueles que estejam

interessados numa introducao ao assunto sugerimos a leitura da referencia 6.

Em 1908 H. Minkowski propos um formalismo matematico em que o espaco e o tempo

formam um espaco com 4 dimensoes. No espaco 4–dimensional o eixo do tempo e perpendicu-

lar aos eixos das coordenadas espaciais. Na linguagem de espaco–tempo fica simples descrever

as transformacoes de Lorentz na Relatividade Especial.

Da Analise Vetorial temos que o vetor nao depende de eixos coordenados para ser definido.

Qualquer que seja o conjunto de eixos coordenados que escolhemos para decompor o vetor em

termos de suas componentes, o modulo do vetor tem sempre o mesmo valor. Este resultado

e um caso particular da invariancia do produto escalar entre dois vetores ~u e ~v quaisquer. O

13

angulo relativo entre esses vetores e independente dos eixos coordenados que utilizamos. Seja

α o angulo relativo entre os vetores ~u e ~v, o produto escalar entre esses dois vetores e

~u · ~v =| ~u | | ~v | cosα, (3.1)

que escrito em termos das componentes num conjunto de eixos coordenados cartesianos

(x, y, z) fica:

~u · ~v = uxvx + uyvy + uzvz. (3.2)

Apesar da soma dos termos do l.d. da eq.(3.2) ser independente dos eixos coordenados

escolhidos, cada termo do l.d. da eq.(3.2) depende da escolha feita para estes eixos.

Apenas para simplificar, exemplificaremos o que se segue com vetores no plano (vetores

bi–dimensionais).

Vejamos como as componentes de um vetor bi–dimensional variam ao serem escritas em

relacao a dois conjuntos de eixos coordenados cujas origens coincidem mas cujos eixos estao

girados de um angulo θ.

Considere o vetor ~v na Figura 3.1.

Os vetores unitarios nas direcoes x e y sao ı e respectivamente. Os vetores unitarios nas

direcoes x′ e y′ sao ı′ e ′ respectivamente. O resultado do produto escalar entre os vetores

unitarios e:

ı · ı′ = cos θ e ı · ′ = − sin θ, (3.3a)

· ı′ = sin θ e · ′ = cos θ, (3.3b)

O vetor ~v escrito em termos das componentes nos dois conjuntos de eixos coordenados:

~v = vx ı + vy (3.4a)

= v′x ı′ + v′y ′. (3.4b)

Para obtermos as componentes v′x e v′y em termos das componentes vx e vy, usamos que

14

v′x = ~v · ı′ e v′y = ~v · ′, (3.4c)

e os resultados (3.3a–b) dos produtos escalares dos vetores unitarios, de maneira que, final-

mente, escrevemos a transformacao das coordenadas numa forma matricial:

(v′xv′y

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)(vx

vy

). (3.4d)

Todos os vetores satisfazem a lei de transformacao (3.4d) sob uma mudanca de eixos

coordenados que corresponda a uma rotacao rıgida dos eixos de um angulo θ.

A matriz

R(t) =(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

), (3.4e)

e a matriz de rotacao que liga as componentes de um mesmo vetor escrito em dois conjuntos

de eixos coordenados girados entre si de um angulo θ. Para qualquer angulo θ temos que

det(R(θ)) = 1. (3.4f)

Para vermos porque as transformacoes de Lorentz das coordenadas espaco–temporais

entre dois referenciais inerciais podem ser escritas como uma rotacao no espaco–tempo, consi-

deremos as transformacoes de Lorentz para a posicao da partıcula e para o instante em que

a medida de posicao e feita. Por simplicidade, vamos supor que o movimento da partıcula e

ao longo da direcao x que coincide com a direcao do movimento relativo entre os referenciais

inerciais (veja Figura 3.2).

15

Na Figura 3.2, ~V = V ı e a velocidade do referencial inercial S′ medida por um observador

em repouso no referencial inercial S.

Assumindo que no instante t = 0 as origens dos dois conjuntos de eixos coordenados

(x, y) e (x′, y′) coincidem, a transformacao de Lorentz e[6,7]:

x′0

= γ(x0 − βx1), (3.5a)

x′1

= γ(−βx0 + x1), (3.5b)

onde x0 = ct e x1 = x, x′0

= ct e x′1

= x′,e c e a velocidade da luz. As constantes β e γ sao

definidas como sendo

β =V

ce γ =

1√1− β2

. (3.5c)

Das relacoes (3.5c) temos que −1 ≤ β ≤ 1 e 1 ≤ γ ≤ ∞.

As transformacoes de Lorentz escritas na forma matricial ficam:

(x′

0

x′1

)=

(γ −βγ−βγ γ

) (x0

x1

), (3.6)

e possuem uma forma similar a rotacao de vetores num plano5 tambem representada pela

transformacao (3.4d).

Os elementos da matriz que aparecem do l.d. da expressao (3.6) nao podem ser escritos

como funcoes trigometricas, pois o produto βγ assume valores no intervalo [0,∞), e os valores

de γ estao no intervalo [1,∞).

Como os valores que a constante β pode assumir estao no intervalo [−1, 1], podemos usar

a parametrizacao:

β = tanh ζ, (3.7a)

de maneira que

5 Girar os eixos coordenados (x′, y′) de um angulo θ em relacao aos eixos (x, y) e equivalente

do ponto de vista de transformacao de coordenadas a manter os eixos coordenados (x, y) fixos

e rodar de −θ o vetor ~v em relacao a origem desses eixos.

16

γ =1√

1− β2=

1√1− tanh2 ζ

⇒

⇒ γ = cosh ζ, (3.7b)

e

βγ = tanh ζ · cosh ζ ⇒⇒ βγ = sinh ζ. (3.7c)

Portanto, as transformacoes de Lorentz (3.5) do espaco–tempo sao finalmente escritas

como

(x′

0

x′1

)=

(cosh ζ − sinh ζ− sinh ζ cosh ζ

)(x0

x1

). (3.8)

De forma analoga ao produto escalar de vetores bi–dimensionais, no espaco de Minkowski

e possıvel definir uma operacao de produto escalar que obtenha como resultado um numero que

seja o mesmo em todos os referenciais inerciais6. Podemos tentar obter a expressao de escalares

de Lorentz atraves de varias tentativas de funcoes das coordenadas e usar a transformacao

(3.8) para verificar se o resultado e independente do referencial inercial escolhido.

Mas ao inves de procedermos dessa maneira, utilizamos o postulado da Mecanica Rela-

tivıstica que afirma que a velocidade da luz e a mesma em qualquer referencial. A equacao de

uma frente de onda luminosa em qualquer instante, vista de dois referenciais inerciais distintos

e:

0 = −x2 + c2t2 (3.9a)

= −x′2 + c2t′2, (3.9b)

de forma que o resultado da combinacao (x0)2 − (x1)2 e o mesmo em qualquer referencial

inercial. Logo, esta particular combinacao das 4–coordenadas forma um escalar de Lorentz.

Definimos um 4–vetor de Lorentz como aquele cujas componentes, sob uma transformacao

de Lorentz (3.5), satisfacam a relacao (3.8) . Entao, para qualquer 4–vetor de Lorentz a

combinacao acima e tambem um escalar de Lorentz.

6 Um numero que e o mesmo em todos os referenciais inerciais cujas quadri-coordenadas

estao relacionadas atraves das transformadas de Lorentz e denominado de escalar de Lorentz.

17

O produto escalar (3.9) nao pode ser escrito diretamente na forma (3.2). No entanto, se

definimos os vetores contra–variantes xµ, µ = 0, 1, como[7]

xµ = (x0, x1) ≡ (x0, x), (3.10a)

e os vetores covariantes xµ, µ = 0, 1, como

xµ = (x0, x1) ≡ (x0,−x), (3.10b)

sendo x0 = ct e x a coordenada x usual, entao o produto escalar no espaco de Minkowski e

definido como:

−x2 + c2t2 = x0x0 + x1x

1

=1∑

µ=0

xµxµ. (3.10c)

Definimos a regra da soma implıcita dizendo que somamos sobre ındices repetidos num

mesmo termo, ou seja,

1∑µ=0

xµxµ ≡ xµxµ. (3.10d)

Os ındices somados (contraıdos) estao ao longo da diagonal, ou seja, cada parcela da

soma (3.10d) e o produto da componente do vetor covariante pela componente do vetor

contra–variante.

A extensao do que fizemos em d=2 (1+1) (uma dimensao espacial e uma dimensao

temporal) para d=4 (3+1) ( tres dimensoes espaciais e uma dimensao temporal) esta contida

nas Referencias 6 e 7.

De agora em diante trataremos o caso em d=4 (3+1) e utilizaremos a regra da soma

implıcita.

Em quatro dimensoes espaco–temporal o 4–vetor posicao e

xµ = (x0, ~x) (3.11a)

xµ = (x0,−~x). (3.11b)

18

O produto escalar e entao

3∑µ=0

xµxµ = xµxµ (3.11c)

= −~x · ~x + c2t2.

Como relacionar os vetores covariantes e os vetores contra–variantes? A partir das

definicoes (3.11a) e (3.11b), vemos que a relacao entre esses vetores e linear homogenea,

de maneira que podemos escreve–la como:

xµ = gµνxν , (3.12a)

onde estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3. A matriz gµν , tambem chamada de

metrica, em d=4 (3+1) e representada por

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (3.12b)

A matriz gµν e simetrica (par) pela troca dos ındices ( gµν = gνµ) e

gµνgντ = δ τµ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (3.12c)

Seja Bµ = (B0, ~B) um 4–vetor qualquer. A relacao entre a forma covariante e contra–

variante de qualquer 4–vetor e dada pela eq. (3.12a),

Bµ = gµνBν ⇒ Bµ = (B0,−~B). (3.12d)

Como exemplo de 4–vetores de Lorentz temos:

i. 4–posicao: xµ = (ct, ~x) (3.13a)ii. 4–momento7 pµ =

(Ec , ~p

), (3.13b)

7 A expressao da energia relativıstica total da partıcula livre e:

19

onde E e a energia relativıstica total da partıcula.iii. 4–potencial vetor: Aµ(~x, t) = (A0(~x, t), ~A(~x, t)), (3.13c)

onde A0(~x, t) e o potencial escalar e ~A(~x, t) o potencial vetor associados aos campos eletro-magneticos.

iv. 4–densidade de corrente: jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)) (3.13d)onde ρ(~x, t) e a densidade de carga eletrica na posicao ~x no instante t e ~(~x, t) e a densidadede corrente eletrica na posicao ~x no instante t.

Os operadores diferenciais possuem uma definicao diferente da apresentada em (3.12d):

∂µ ≡ ∂

∂xµ=

(∂

∂x0, ~∇

)(3.14a)

e

∂µ ≡ ∂

∂xµ=

(∂

∂x0,−~∇

). (3.14b)

Comparando as expressoes (3.14a) e (3.14b) vemos que a relacao entre os operadores

diferenciais covariante e contra–variante ainda e dada pela relacao (3.12a),

∂µ = gµν∂ν , (3.14c)

onde estamos somando sobre o ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3.

O operador diferencial d’Alambertiano,

tu =(−∇2 +

1c2

∂2

∂t2

), (3.15a)

onde ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 , pode ser escrito na forma

tu = ∂µ∂µ. (3.15b)

O operador diferencial d’Alambertiano tu aparece na equacao de ondas eletromagneticas

como veremos na secao 4.1.

E2 =| ~p |2 c2 + m2c4 ⇒ E

c

2

− | ~p |2= m2c2 = const.

Portanto, a quantidade Ec e a componente zero do 4–vetor momento.

20

A relacao entre tensores covariantes e contra–variantes de qualquer ordem e:

i. 4–vetor:

Bµ = gµνBν , (3.16a)

ii. tensor de ordem 2:

Bµ1µ2 = gµ1ν1gµ2ν2Bν1ν2 (3.16b)

iii. tensor de ordem n:

Bµ1µ2...µn = gµ1ν1gµ2ν2 . . . gµnνnBν1ν2...νn. (3.16c)

Para concluirmos esta secao, notemos que as transformacoes de gauge (2.9a–b), ou seja

A′0(~x, t) = A0(~x, t)− 1

c

∂G(~x, t)∂t

(3.17a)

e

~A′(~x, t) = ~A(~x, t) + ~∇G(~x, t), (3.17b)

pode ser escrita na forma covariante

A′µ = Aµ − ∂µG(~x, t). (3.18)

A condicao de gauge de Lorentz (eq. (2.10b)) e escrita como um escalar de Lorentz:

~∇ · ~A(~x, t) +1c

∂A0(~x, t)∂t

= 0 ⇒ ∂µAµ = 0. (3.19)

21

4. Lagrangeana de Campos de Gauge Classicos.

Nesta secao aplicaremos o Princıpio de Hamilton a campos classicos. Exemplificaremos

essa aplicacao considerando campos de gauge de Maxwell e de Maxwell–Chern–Simons. Os

campos de Maxwell sao aqueles que ate este momento temos chamado de campos eletro-

magneticos (luz), enquanto os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons so existem (se

existirem) quando estamos em dimensao espaco–temporal ımpar.

Para uma partıcula, associamos a cada trajetoria um numero atraves da definicao da

acao (eq. (1.6)):

S[x(t); t0, tf ] =∫ tf

t0

dt L(x(t), x(t); t). (4.1)

No caso de partıcula, o unico parametro da trajetoria e o tempo. Entretanto, no caso

de campos, como por exemplo os campos eletromagneticos que discutimos na secao 2, as

coordenadas espaciais sao parametros assim como o tempo. De forma analoga ao sistema de

uma partıcula, queremos associar a cada configuracao do campo que evolui num intervalo de

tempo fixo um numero a que chamamos de acao.

Para simplificar a discussao vamos supor um unico campo que denotaremos por Φ(~x, t).

A acao associada a cada configuracao e definida como:

S[Φ; t0, tf ] =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t), (4.2)

onde L e a densidade de lagrangeana associada ao campo. Em (4.2) integramos sobre todos os

pontos do espaco uma vez que os campos tem uma dependencia espacial. Alem da dependencia

na derivada temporal, L em geral depende tambem das derivadas espaciais.

No Apendice B mostramos como derivar a equacao de Euler–Lagrange para campos

classicos. Aqui nesta secao, apresentaremos apenas as traducoes dos termos que aparecem

na equacao de Lagrange, que descreve o movimento de uma partıcula, para os termos que

aparecem na equacao de Euler–Lagrange, que dao a equacao dinamica para campos classicos.

Um ponto importante a ser discutido e que a acao de sistemas relativısticos e um escalar

de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma partıcula percorre, vista de um dado referencial

inercial, e o mınimo da acao neste referencial. A trajetoria da mesma partıcula vista de outro

22

referencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira por uma transformacao de

Lorentz, e portanto tem que tambem ser um mınimo da acao. Logo, o valor da acao associada

a trajetoria que a partıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar de

Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria (ou configuracao) tem

em cada referencial inercial. Como o produto dtd~x e um escalar de Lorentz, a densidade de

lagrangeana L tambem tem que ser um escalar de Lorentz.

Obtemos a equacao de Euler–Lagrange a partir da equacao de Lagrange fazendo as

seguintes substituicoes:

∂L

∂x−→ ∂L

∂Φ(~x, t)(4.3a)

d

dt

∂L

∂x−→ ∂

∂t

( ∂L∂(

∂Φ∂t

))+

3∑

i=1

∂

∂xi

( ∂L∂(

∂Φ∂xi

))=

= ∂µ∂L

∂(∂µΦ)(4.3b)

A evolucao no tempo dos campos classicos e dada pela equacao de Euler–Lagrange (eq.

(B.16))

∂L∂Φ

− ∂µ∂L

∂(∂µΦ)= 0. (4.3c)

4.1. Campos Eletromagneticos: Campos de Maxwell

Antes de comecarmos a discutir a densidade de lagrangeana L a partir da qual obtemos as

equacoes de Maxwell (2.2a–d), discutiremos o tensor covariante de ordem 2 definido como[8]:

Fµν(~x, t) = ∂µAν(~x, t)− ∂νAµ(~x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, (4.1.1)

onde ∂µ = ( 1c

∂∂t ,

~∇) e Aµ(~x, t) = (A0(~x, t),−~A(~x, t)). Note que Fµν e um tensor anti–

simetrico pela troca dos ındices (Fµν = −Fνµ). Portanto, dos 16 elementos do tensor8 Fµν ,

8 Usamos a convencao de que os ındices gregos: α, µ, τ, ... assumem os valores 0,1,2,3,

23

temos 4 elementos nulos (os elementos da diagonal sao nulos) e apenas 6 elementos podem

ser distintos entre si. Relacionaremos esses 6 elementos distintos com as componentes dos

campos eletromagneticos ~E(~x, t) e ~B(~x, t),

F0i = −1c

∂Ai

∂t− ∂A0

∂xi=

[−~∇A0(~x, t)− 1c

∂ ~A(~x, t)∂t

]i

= Ei(~x, t), i = 1, 2, 3, (4.1.2a)

Fij =∂Ai(~x, t)

∂xj− ∂Aj(~x, t)

∂xi.

Comparando a expressao acima para Fij , com a expressao (2.5b) para o campo magnetico,

Bk(~x, t) = (~∇× ~A(~x, t))k = εkij∂iAj , k = 1, 2, 3, obtemos que

F12 = −Bz(~x, t), F13 = By(~x, t), F23 = −Bx(~x, t). (4.1.2b)

Portanto, o tensor Fµν escrito em termos das componentes dos campos eletrico e magne-

tico fica,

Fµν =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

−Ez −By Bx 0

. (4.1.4)

O tensor de Levi–Civita, εkij , esta definido no Apendice A.

Exercıcio:

Determine os elementos do tensor Fµν . Utilize a eq.(3.16b) para obter as componentes

do tensor Fµν a partir da expressao (4.1.4).

enquanto os ındices arabicos: i, j, k, ... assumem os valores 1,2,3, ou seja

µ, ν, τ, . . . = 0, 1, 2, 3 e i, j, k, . . . = 1, 2, 3.

24

A densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos tem que ser um escalar de

Lorentz. Queremos representar atraves da densidade de lagrangeana, os campos eletro-

magneticos e sua interacao com partıculas que possuem carga eletrica, de maneira que as

equacoes de Euler–Lagrange nos de as equacoes de Maxwell.

Seja jµ a 4–densidade de corrente eletrica, jµ(~x, t) = (cρ(~x, t),~(~x, t)), onde ρ(~x, t) e

a densidade de carga eletrica e ~(~x, t) a densidade de corrente eletrica. A densidade de

lagrangeana para campos eletromagneticos (campos de Maxwell) interagindo com materia

carregada eletricamente e[9]:

L(Aµ, ∂νAµ) = − 116π

FµνFµν − 1cjµAµ (4.1.5a)

=| ~E |2 − | ~B |2

8π− ρA0 +

~ · ~Ac

. (4.1.5b)

Exercıcio:

Usando o tensor Fµν na forma (4.1.4) mostre que:

FµνFµν = 2(| ~B |2 − | ~E |2).

Verifiquemos se a densidade de lagrangeana L (eq.(4.1.5a)) substituıda na equacao de

Euler–Lagrange (eq.(4.3c)) da as equacoes de Maxwell (2.2a–d). A equacao de Euler–Lagrange

no caso dos campos de Maxwell fica,

∂L∂Aα

− ∂τ∂L

∂(∂τAα)= 0. (4.1.6)

Calculemos os termos que aparecem no l.e. da eq.(4.1.6).

O primeiro termo do l.e. da eq.(4.1.6) fica,

∂L∂Aα

=∂

∂Aα

[− 116π

FµνFµν − 1cjµAµ

]

= − 116π

[∂Fµν

∂AαFµν + Fµν

∂Fµν

∂Aα

]− 1c

∂

∂Aα

[jµAµ

]. (4.1.7a)

25

Como

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ ⇒ ∂Fµν

∂Aα=

∂Fµν

∂Aα= 0. (4.1.7b)

Alem disso9

−1c

∂

∂Aα

[jµAµ

]= −1

cjµ ∂Aµ

∂Aα= −1

cjµδµ

α

⇒ − 1c

∂

∂Aα

[jµAµ

]= −1

cjα. (4.1.7c)

Portanto, temos que

∂L∂Aα

= −1cjα. (4.1.7d)

Calculando as derivadas de L em relacao a ∂τAα

∂L∂(∂τAα)

=∂

∂(∂τAα)[− 1

16πFµνFµν − 1

cjµAµ

]

= − 116π

[ ∂Fµν

∂(∂τAα)Fµν + Fµν

∂Fµν

∂(∂τAα)]− 1

c

∂

∂(∂τAα)[jµAµ

]

= − 18π

Fµν ∂Fµν

∂(∂τAα)− 1

cjµ

∂Aµ

∂(∂τAα). (4.1.8a)

Entretanto, como

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ ⇒ ∂Fµν

∂(∂τAα)=

∂(∂µAν)∂(∂τAα)

− ∂(∂νAµ)∂(∂τAα)

⇒ ∂Fµν

∂(∂τAα)= δµ

τ δνα − δν

τ δµα. (4.1.8b)

9 Devemos notar que pela relacao (3.16a), temos que:

jµAµ = gµαjα gµτAτ = gµαgµτ jαAτ = δτα jαAτ = jαAα.

A troca da posicao dos ındices que estao sendo contraıdos nao altera o resul-

tado.

26

Consequentemente temos que

− 18π

Fµν ∂Fµν

∂(∂τAα)= − 1

8πFµν(δµ

τ δνα − δν

τ δµα)

= − 18π

(F τα − Fατ ) = − 14π

F τα, (4.1.8c)

uma vez que F τα e um tensor anti–simetrico.

Alem disso temos que

−1cjµ

∂Aµ

∂(∂τAα)= 0. (4.1.8d)

Substituindo os resultados (4.1.8c–d) em (4.1.8a) decorre que

∂L∂(∂τAα)

= − 14π

F τα =14π

Fατ . (4.1.8e)

Usando os resultados (4.1.7d) e (4.1.8e) a equacao de Euler–Lagrange para os campos

eletromagneticos obtida e:

∂τF τα =4π

cjα, α = 0, 1, 2, 3. (4.1.9)

Observando atentamente a eq.(4.1.9) notamos que ela representa apenas 4 equacoes,

enquanto que as equacoes de Maxwell (2.2a–d) sao 8 equacoes!!!

Vejamos quais das equacoes de Maxwell sao descritas pela eq.(4.1.9). Na verdade como

do l.d. da eq.(4.19) temos jµ, entao sao as equacoes inomogeneas de Maxwell (2.2a) e (2.2d)

que sao reproduzidas pelas suas componentes. Para vermos isto, reescrevemos a eq.(4.1.9) em

termos das componentes do tensor Fµν :

i. α = 0

∂jFj0(~x, t) = 4πρ(~x, t), (4.1.10a)

onde o ındice j, sobre o qual estamos somando implicitamente, assume os valores: j = 1, 2, 3.

Mas,

27

∂jFj0(~x, t) =

∂Ex(~x, t)∂x

+∂Ey(~x, t)

∂y+

∂Ez(~x, t)∂z

= ~∇ · ~E(~x, t). (4.1.10b)

A componente α = 0 da eq.(4.1.9) nos da a lei de Gauss:

~∇ · ~E(~x, t) = 4πρ(~x, t). (4.1.10c)

ii. α = 1

1c

∂F 01

∂t+

∂F 21

∂y+

∂F 31

∂z=

4π

cjx. (4.1.11a)

Reescrevendo os elementos de Fµν em termos dos campos eletromagneticos, a eq.(4.1.11a)

passa a ser

−1c

∂Ex(~x, t)∂t

+∂Bz(~x, t)

∂y− ∂By(~x, t)

∂z=

4π

cjx(~x, t) ⇒

⇒ (~∇× ~B(~x, t))x =4π

cjx(~x, t) +

1c

∂Ex(~x, t)∂t

. (4.1.11b)

Procedendo de forma analoga, para α = 2 e α = 3 encontramos que

iii. α = 2

(~∇× ~B(~x, t))y =4π

cjy(~x, t) +

1c

∂Ey(~x, t)∂t

, (4.1.11c)

iv. α = 3

(~∇× ~B(~x, t))z =4π

cjz(~x, t) +

1c

∂Ez(~x, t)∂t

. (4.1.11d)

As componentes espaciais (α = 1, 2, 3) da eq.(4.1.9) nos dao a lei Ampere corrigida10:

10 A lei de Ampere original e: ~∇× ~B = 4πc ~. Entretanto, Maxwell adicionou a esta relacao

o termo de corrente de deslocamento 1c

∂~E∂t de forma a fechar de forma auto–consistente as que

hoje sao conhecidas como as leis de Maxwell[10].

28

~∇× ~B(~x, t) =4π

c~(~x, t) +

1c

∂~E(~x, t)∂t

, (4.1.11e)

Como obter as equacoes homogeneas de Maxwell (2.2b) e (2.2c)?

Na verdade as equacoes homogeneas de Maxwell decorrem da definicao do tensor Fµν em

termos do 4–potencial vetor Aµ, ou seja,

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (4.1.12)

que satisfaz a seguinte identidade:

∂αFµν + ∂µFνα + ∂νFαµ = 0, (4.1.13)

valida para qualquer configuracao Aµ(~x, t).

A identidade (4.1.13) e conhecida como a identidade de Bianchi.

Exercıcio:

Usando a expressao (4.1.12) para o tensor Fµν mostre a identidade de Bianchi (4.1.13).

Para obtermos as equacoes de Maxwell (2.2b) e (2.2c) a partir das componentes da

eq.(4.1.13), calcule–mo–la explicitamente para conjuntos distintos de valores de (α, µ, ν):

i. α = 0, µ = 1, ν = 2

∂0F12 + ∂1F20 + ∂2F01 = 0 ⇒ −1c

∂Bz

∂t− ∂Ey

∂x+

∂Ex

∂y= 0

⇒ (~∇× ~E(~x, t))z = −1c

∂Bz

∂t. (4.1.14a)

ii. α = 0, µ = 1, ν = 3

∂0F13 + ∂1F30 + ∂3F01 = 0 ⇒ 1c

∂By

∂t− ∂Ez

∂x+

∂Ex

∂z= 0

⇒ (~∇× ~E(~x, t))y = −1c

∂By

∂t. (4.1.14b)

29

iii. α = 0, µ = 2, ν = 3

∂0F23 + ∂2F30 + ∂3F02 = 0 ⇒ −1c

∂Bx

∂t− ∂Ez

∂y+

∂Ey

∂z= 0

⇒ (~∇× ~E(~x, t))x = −1c

∂Bx

∂t. (4.1.14c)

iv. α = 1, µ = 2, ν = 3

∂1F23 + ∂2F31 + ∂3F12 = 0 ⇒ −∂Bx

∂x− ∂By

∂y− ∂Bz

∂z= 0

⇒ ~∇ · ~B(~x, t) = 0. (4.1.14d)

Em resumo, as eqs.(4.1.14a–c) nos dao a lei de Faraday

~∇× ~E(~x, t) = −1c

∂~B(~x, t)∂t

(4.1.15),

e, a eq.(4.1.14d) nos da a equacao de Gauss para o campo magnetico,

~∇ · ~B(~x, t) = 0. (4.1.16)

A eq.(4.1.16) representa a ausencia de monopolos magneticos nas equacoes de Maxwell.

Portanto, a partir da densidade de lagrangeana (4.1.5) e da definicao do tensor Fµν

obtemos todas as equacoes de Maxwell (2.2a–d).

Todos nos ja ouvimos falar na conservacao da carga eletrica. Vamos mostrar que essa lei

de conservacao e uma consequencia das equacoes de Maxwell (eqs. (2.2a–d) ou (4.1.9)).

Usando as equacoes de Maxwell escrita na forma covariante (eq.(4.19)),

∂τF τα =4π

cjα, α = 0, 1, 2, 3, (4.1.17)

calculamos a sua derivada em relacao a xα, e somamos sobre α, de forma que

∂α∂τF τα =4π

c∂αjα. (4.1.18a)

30

Como os ındices α e τ no l.e. da eq.(4.1.18a) sao ındices mudos (ındices sobre os quais

estamos somando), entao podemos mudar o nome dessas variaveis, de maneira que se fazemos

a mudanca de variaveis: α τ , o l.e. da eq.(4.1.18a) nao se modifica, ou seja,

∂α∂τF τα = ∂τ∂αFατ = −∂τ∂αF τα = −∂α∂τF τα

⇒ ∂α∂τF τα = 0, (4.1.18b)

onde usamos que ∂α∂τ = ∂τ∂α mas que F τα = −Fατ .

Consequentemente podemos escrever a eq.(4.1.18a) como sendo

∂αjα(~x, t) = 0 ⇒ ∂ρ(~x, t)∂t

+ ~∇ · ~(~x, t) = 0, (4.1.18c)

que nos da a lei de conservacao da carga eletrica. A partir da equacao de conservacao da

carga eletrica temos que a variacao da densidade de carga eletrica na posicao ~x no instante t e

igual a menos o fluxo da densidade de corrente eletrica que no instante t atravessa um volume

infinitesimal que contem o ponto ~x. Para ~∇ · ~ > 0 temos um fluxo positivo atravessando

o volume infinitesimal. Essa relacao descreve a situacao em que temos mais corrente saindo

do volume infinitesimal, que contem o ponto ~x, do que entrando. Essa quantidade maior de

corrente que sai, se da as custas da diminuicao da densidade de cargas eletricas dentro do

volume infinitesimal que contem o ponto ~x. No processo inverso, fluxo negativo, temos um

aumento de carga eletrica em ~x, que corresponde a um acumulo de carga eletrica neste ponto.

A densidade de lagrangeana L (4.1.5) nao e invariante sob transformacoes de gauge (eq.-

(3.18)) uma vez que e proporcional a Aµ. Apesar disso as equacoes de movimento para os

campos sao invariantes sob essas transformacoes. Qual o mecanismo da teoria que garante a

invariancia das equacoes de movimento?

Vejamos como a densidade de lagrangeana l(4.1.5a) se modifica sob transformacoes de

gauge

A′µ(~x, t) = Aµ(~x, t)− ∂µG(~x, t). (4.1.19)

31

Note que a transformacao de gauge (4.1.19) corresponde a dizer que todas as con-

figuracoes Aµ(~x, t) sao modificadas, sendo que a cada uma delas e subtraıdo o 4–gradiente da

mesma funcao G(~x, t).

A densidade de lagrangeana (4.1.5a) sob a transformacao (4.1.19) fica:

L(A′µ, ∂νA′µ) = − 116π

F ′µνF ′µν − 1cjµA′µ

= − 116π

FµνFµν − 1cjµAµ +

1cjµ∂µG. (4.1.20a)

Exercıcio:

Os elementos do tensor Fµν (eq.(4.1.4)), sao as componentes dos campos fısicos ~E(~x, t)

e ~B(~x, t). Os campos fısicos sao invariantes sob a transformacao de gauge (4.1.19).

Prove que F ′µν = Fµν e, portanto, que F ′µνF ′µν = FµνFµν .

Usando a conservacao da carga eletrica, eq.(4.1.18c), temos que

1cjµ(~x, t)∂µG(~x, t) =

1c∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t))− 1

cG(~x, t)∂µjµ(~x, t)

=1c∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)). (4.1.20b)

Usando o resultado (4.1.20b) em (4.1.20a), obtemos que a densidade de lagrangeana dos

campos de Maxwell se transforma sob transformacao de gauge como

L(A′µ, ∂νA′µ) = L(Aµ, ∂νAµ) +1c∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)). (4.1.20c)

Vemos que a densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos so e invariante sob

transformacao de gauge na ausencia de partıculas com carga eletrica. No entanto, na presenca

de cargas e correntes eletricas, a densidade de lagrangeana sob uma transformacao de gauge

se modifica por uma derivada total. O fato da densidade de lagrangeana se modificar, sob

uma transformacao de gauge, por uma derivada total, e consequencia da lei de conservacao

da carga eletrica.

Da eq.(4.2) temos que a acao associada a configuracao do 4–potencial vetor e,

32

S[Aµ; t0, tf ] =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x L(Aµ, ∂νAµ;~x, t). (4.1.21a)

A acao associada aos campos A′µ obtidos de Aµ a partir da transformacao de gauge

(4.1.19) e

S′[A′µ; t0, tf ] =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x L(A′µ, ∂νA′µ;~x, t). (4.1.21b)

Utilizando–se o resultado (4.1.20c), relacionamos S′[A′µ] e S[Aµ]

S′[A′µ; t0, tf ] =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x L(Aµ, ∂νAµ;~x, t) +

1c

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x ∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t))

= S[Aµ; t0, tf ] +1c

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x ∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)). (4.1.21c)

Entretanto,

1c

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x ∂µ(jµ(~x, t)G(~x, t)) =

∫

V∞d3~x

∫ tf

t0

dt∂

∂t(ρ(~x, t)G(~x, t))+

+1c

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x ~∇ · (~j(~x, t)G(~x, t))

=∫

V∞d3~x [ρ(~x, tf )G(~x, tf )− ρ(~x, t0)G(~x, t0)] +

1c

∫ tf

t0

dt

∮

S∞G(~x, t)~j(~x, t) · d~s

=∫

V∞d3~x [ρ(~x, tf )G(~x, tf )− ρ(~x, t0)G(~x, t0)]. (4.1.21d)

Para passarmos da primeira linha para a segunda linha da expressao anterior utilizamos

o Teorema de Gauss (eq.(A.9)). Para escrevermos o resultado final (4.1.21d) utilizamos a

hipotese de sistema fechado e portanto ~(~x, t) = 0, em qualquer ponto da superfıcie S∞ que

delimita o volume V∞.

Finalmente, podemos escrever que

S′[A′µ; t0, tf ] = S[Aµ; t0, tf ] +∫

V∞d3~x [ρ(~x, tf )G(~x, tf )− ρ(~x, t0)G(~x, t0)]. (4.1.22)

33

A segunda integral que aparece do l.d. da expressao (4.1.22) e a mesma para qual-

quer configuracao de Aµ(~x, t). Portanto, as configuracoes que correspondem ao mınimo de

S′[A′µ] sao aquelas que foram obtidas de Aµ por uma transformacao de gauge e que sao as

configuracoes que dao os mınimos de S[Aµ]. Como Aµ e A′µ estao ligadas por uma trans-

formacao de gauge, entao ambas as configuracoes geram os mesmos campos eletromagneticos.

Como consequencia da acao variar da mesma quantidade para todas as configuracoes, os

4–potenciais vetores que minimizam cada uma das acoes, apesar de diferentes, representam

os mesmos campos fısicos. Por tudo isso, as equacoes de movimento obtidas pela aplicacao do

Princıpio de Hamilton a densidade de lagrangeana (4.1.5) sao invariantes sob transformacoes

de gauge.

Cabe ressaltar mais uma vez que foi fundamental para demonstrar a invariancia da

equacao de movimento dos campos eletromagneticos sob transformacoes de gauge a lei de

conservacao da carga eletrica.

Para concluir esta secao, consideraremos as equacoes de Maxwell numa regiao distante

da regiao onde estao as cargas e correntes eletricas que geraram os campos eletromagneticos.

Na regiao em que estamos interessados em estudar a evolucao no tempo dos campos eletro-

magneticos, as equacoes de Maxwell sao:

~∇ · ~E(~x, t) = 0, (4.1.23a)

~∇ · ~B(~x, t) = 0, (4.1.23b)

~∇× ~E(~x, t) = −1c

∂~B(~x, t)∂t

, (4.1.23c)

~∇× ~B(~x, t) =1c

∂~E(~x, t)∂t

. (4.1.23d)

Para obtermos a equacao de movimento das componentes do campo eletrico ~E(~x, t) cal-

culamos o rotacional da eq.(4.1.23c),

~∇× (~∇× ~E(~x, t)) +1c

∂

∂t(~∇× ~B(~x, t)) = 0. (4.1.24a)

Usando a relacao (A.7) e substituindo a eq.(4.1.23d) na expressao anterior, obtemos que

34

~∇(~∇ · ~E(~x, t))−∇2~E(~x, t) = − 1c2

∂2~E(~x, t)∂t2

⇒(∇2 − 1

c2

∂2

∂t2)~E(~x, t) = 0. (4.1.24b)

Utilizamos que ~∇ · ~E(~x, t) = 0 para escrevermos (4.1.24b) na sua forma final. A eq.

(4.1.24b) e valida para cada componente do campo eletrico:

(∇2 − 1c2

∂2

∂t2)Ei(~x, t) = 0, i = 1, 2, 3. (4.1.24c)

Usamos a notacao: E1 = Ex, E2 = Ey e E3 = Ez. O operador (∇2 − 1c2

∂2

∂t2 ) e o operador

d’Alambertiano (tu) que definimos na eq.(3.15a). Usando a notacao covariante do operador

d’Alambertiano (eq.(3.15b)), a equacao de movimento das componentes do campo eletrico

livre fica:

∂µ∂µEi(~x, t) = 0. (4.1.24d)

Procedendo de forma analoga, mas agora usando as eqs.(4.1.23d) e (4.1.23c) obtemos as

mesmas equacoes para as componentes do campo magnetico livre,

(∇2 − 1c2

∂2

∂t2)Bi(~x, t) = 0 ⇒

⇒ ∂µ∂µBi(~x, t) = 0. (4.1.25)

Estudemos agora as solucoes de onda plana da eq.(4.1.24c), ou equivalentemente, da

eq.(4.1.25). Supomos que essas equacoes tem solucao da forma

Ei(~x, t) = E iei(~k·~x−ωt), (4.1.26a)

onde E i e uma constante que da a amplitude do campo eletrico, ~k e o vetor de onda que

determina a direcao e o sentido em que a onda plana se propaga e ω sua frequencia angular.

No entanto, nao e para qualquer valor de | ~k | e ω que a solucao tentativa (4.1.26a) e solucao da

equacao diferencial (4.1.24c). Substituimos a solucao (4.1.26a) em (4.1.24c) para encontrarmos

que relacao | ~k | e ω devem satisfazer para que (4.1.26a) seja sua solucao. Assim,

35

(∇2 − 1c2

∂2

∂t2)Ei(~x, t) = 0 ⇒ E iei(~k·~x−ωt)(| ~k |2 −ω2

c2) = 0. (4.1.26b)

Como a igualdade (4.1.26b) tem que ser verdadeira em todos os pontos do espaco e em

todos os instantes, entao a unica forma de garantirmos isto e impondo que

ω2

c2=| ~k |2 . (4.1.26c)

A relacao de dispersao (4.1.26c) e satisfeita por partıculas de massa zero[4].

Podemos nos perguntar: como a densidade de lagrangeana (4.1.5a) deve ser modificada

para que a luz possua massa?

Em 1936, A. Proca foi o primeiro a propor uma modificacao na densidade de lagrangeana

(4.1.5a) para que a luz tivesse massa. A densidade de lagrangeana [7]

LProca(Aτ , ∂νAτ ) = − 116π

FτνF τν − 1cjαAα +

µ

8πAαAα, (4.1.27a)

e conhecida como a densidade de lagrangeana de Proca.

A equacao de movimento obtida a partir de (4.1.27a) e,

∂τF τα + µ2Aα =4π

cjα, α = 0, 1, 2, 3 (4.1.27b)

A eq.(4.1.27b) escrita em termos dos 4–potenciais Aα, no gauge de Lorentz (∂αAα) e na

ausencia de 4–correntes externas, fica

(∇2 − 1c2

∂2

∂t2)Aα(~x, t)− µ2Aα(~x, t) = 0, α = 0, 1, 2, 3. (4.1.28a)

A solucao tipo onda plana (eq.(4.1.26a)),

Aα(~x, t) = Aαei(~k·~x−ωt), (4.1.28b)

substituida na eq.(4.1.28a), leva a relacao de dispersao:

ω2

c2=| ~k |2 +µ2. (4.1.28c)

36

A relacao (4.1.28c) e igual a relacao de dispersao satisfeita por partıculas livres rela-

tivısticas de massa |µ|.A partir da eq.(4.1.27b), vemos que a equacao de movimento obtida do modelo de Proca

depende explicitamente dos campos Aα(~x, t), de maneira que ela nao e mais invariante sob a

transformacao de gauge (4.1.19). Com a perda da invariancia de gauge, os campos Aα(~x, t)

perdem o seu carater auxiliar e passam a ser campos fısicos, o que vai contra o fato de

serem os campos eletrico e magnetico os campos fısicos, enquanto que os 4-potencias veto-

rias foram introduzidos apenas para levar em conta que campos eletromagneticos possuem

interdependencia.

Portanto, e preciso procurar outro mechanismo que a Natureza possa ter lancado mao

para dar massa a luz, mas sem abrir mao da invariancia de gauge da teoria.

A densidade de lagrangeana dos campos de Maxwell (campos eletromagneticos)

L(Aµ, ∂νAµ) = − 116π

FµνFµν − 1cjµAµ, (4.1.29)

pode ser escrita em qualquer dimensao espaco–temporal. Na secao 4.1 apresentamos os

calculos em d=4(3+1). Entretanto, a forma da equacao de movimento nao muda se con-

sideramos dimensoes de espaco–tempo iguais a: d=2 (1+1), d=3 (2+1).

4.2. Campos de Gauge de Maxwell-Chern–Simons.

Os fısicos teoricos nunca estao satisfeitos com a densidade de lagrangeana que eles tem a

mao. E parte de sua natureza especular como seria o universo se a densidade de lagrangeana

tivesse outros termos. Que novos fenomenos a Natureza lhe revela nestes novos termos de sua

tao amada densidade de lagrangeana?

A Teoria Eletromagnetica nao foge a regra de provocar esta incansavel curiosidade que

os teoricos possuem. A regra que temos que seguir para tentar adicionar novos termos a

densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos (eq. (4.1.29)) e de que ela tem que

continuar a ser um escalar de Lorentz. Alem disso, na ausencia de partıculas que possuam

carga eletrica, a densidade de lagrangeana e invariante sob transformacoes de gauge. Portanto

37

uma ideia possıvel que se tem para estender a densidade de lagrangeana (4.1.29), na ausencia

de partıculas carregadas eletricamente, e adicionar–lhe o escalar de Lorentz

εγναβFγνFαβ . (4.2.1a)

A lagrangeana estendida dos campos eletromagneticos passaria a ser

Lest(Aγ , ∂νAγ) == − 116π

FγνF γν − 1cjγAγ + gεγναβFγνFαβ , (4.2.1b)

onde g e uma constante e εγναβ e o tensor de Levi–Civita em 4 dimensoes11.

Entretanto, o termo εγναβFγνFαβ e igual a uma derivada total, ou seja,

εγναβFγνFαβ = ∂νΩν . (4.2.1c)

Exercıcio:

Mostre que:

εγναβFγνFαβ = ∂νΩν ,

onde

Ων = 2ενγαβAγFαβ .

Lest difere da lagrangeana (4.1.29) por uma derivada total. Pelo que mostramos na

secao 1, densidades de lagrangeanas que difiram por uma derivada total geram o mesmo

conjunto de equacoes de movimento. Portanto, ao adicionarmos o termo (4.2.1a) a (4.1.29)

11 O tensor de Levi–Civita εγναβ e definido de forma analoga ao tensor de Levi–Civita em

3 dimensoes ( Apendice A); ε0123 = 1, assim como para todas as permutacoes pares dos ındice

(0, 1, 2, 3) , -1 para todas as permutacoes ımpares dos ındices (0, 1, 2, 3) e 0 se dois ou mais

ındices forem iguais.

38

nao estamos descrevendo nenhum fenomeno fısico novo. Por simplicidade, usamos a densidade

de lagrangeana (4.1.29 ) para descrever os campos eletromagneticos.

Em dimensoes espaco–temporal ımpar podemos definir os termos de Chern–Simons. Os

termos de Chern–Simons nao sao invariantes sob transformacoes de gauge (eq. (4.1.19));

entretanto, veremos que as equacoes de movimento dos campos obtidas, continuam invariantes

mesmo com a adicao desses termos.

Neste mini–curso nos restringiremos a discutir o termo de Chern–Simons abeliano em

d=3(2+1). Em d=3(2+1) o movimento dos campos e partıculas esta restrito a um unico

plano, que chamaremos de plano (x, y).

A densidade de lagrangeana do termo de Chern–Simons abeliano em d=3(2+1) e:

LC−S(Aγ , ∂νAγ) =µ

4εγναFγνAα, (4.2.2)

sendo εγνα o tensor de Levi–Civita (Apendice A) em 3 dimensoes12.

A lagrangeana dos campos de gauge, incluindo o termo de Chern–Simons, fica sendo

LG(Aγ , ∂νAγ) = − 116π

FγνF γν +µ

4εγναFγνAα, (4.2.3)

que e conhecida na literatura [11,12] como a densidade de lagrangeana de Maxwell–Chern–

Simons. Os dois primeiros termos do l.d. de (4.2.3) sao chamados de densidade de lagrangeana

de Maxwell.

A acao tem dimensao de momento angular:

[S] =ML2

T, (4.2.4)

onde M representa a dimensao de massa, L a dimensao de comprimento e T a dimensao de

tempo. Como todos os termos de uma expressao tem que ter a mesma dimensao, entao a

partir da acao podemos determinar em d=3(2+1) a dimensao do 4–potencial vetor Aν e da

constante de Chern–Simons µ.

Usando a expressao geral (4.2) da acao para campos classicos, temos que em d=3(2+1)

a acao para os campos de Maxwell-Chern–Simons e,

12 Definimos ε012 = 1.

39

S[Aγ ; t0, tf ] =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d2~x LG(Aγ(~x, t), ∂νAγ(~x, t);~x, t). (4.2.5)

A analise dimensional para se determinar a dimensao de Aµ e µ e a seguinte:

i. a partir da densidade de lagrangeana de Maxwell:

[S] =ML2

T= TL2[FγµF γµ] = TL2 [Aγ ]2

L2⇒

⇒ [Aγ ] =M

12 L

T; [Fγν ] =

[Aγ ]L

=M

12

T. (4.2.6a)

ii. as densidades de Maxwell e de Chern–Simons tem a mesma dimensao:

[Fγν ]2 = [µ][Aγ][Fγν ] ⇒ [µ] = L−1. (4.2.6b)

A constante de Chern–Simons µ tem dimensao do inverso do comprimento. O modelo de

Maxwell–Chern–Simons tem uma constante que caracteriza um comprimento: 1µ , ao contrario

da teoria de Maxwell que na ausencia de cargas e correntes eletricas nao possui nenhuma

constante com dimensao.

O termo de Chern–Simons (4.2.2) nao e invariante sob transformacoes de gauge (4.1.19)

uma vez que depende diretamente de Aγ ; porem, como a densidade de lagrangeana LC−S se

modifica sob transformacoes de gauge (4.1.19)?

Sob a transformacao de gauge (4.1.19)

A′µ(~x, t) = Aµ(~x, t)− ∂µG(~x, t). (4.2.7)

a densidade de lagrangeana de Chern–Simons passa a ser

LC−S(A′γ , ∂νA′γ) =µ

4εγναFγν(Aα − ∂αG)

= LC−S(Aγ , ∂νAγ)− µ

4εγναFγν∂αG. (4.2.8)

Mas,

εγναFγν∂αG = εγνα∂α(GFγν)− εγναG∂αFγν . (4.2.9a)

40

Porem, como Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, entao,

εγναG∂αFγν = G[εγνα∂α∂γAν − εγνα∂α∂νAγ ]

= 0, (4.2.9b)

uma vez que somamos sobre os ındices (α, γ) no primeiro termo do l.d. de (4.2.9b) e sobre

(α, ν) no segundo termo da mesma expressao e εγνα e um tensor ımpar (εγνα = −εγαν),

enquanto que ∂α∂γ e ∂α∂ν sao tensores pares (∂α∂γ = ∂γ∂α, e, ∂α∂ν = ∂ν∂α).

Logo,

εγναFγν∂αG = ∂α(εγναGFγν). (4.2.9c)

Finamente, podemos afirmar que sob uma transformacao de gauge a densidade de la-

grangeana de Maxwell–Chern–Simons se transforma como:

LC−S(A′γ , ∂νA′γ) = LC−S(Aγ , ∂νAγ)− µ

4∂α(εγναFγνG). (4.2.10)

Como no caso dos campos de Maxwell a densidade de lagrangeana de Maxwell–Chern–

Simons se modifica por uma derivada total sob uma transformacao de gauge (4.2.7). Mostra-

mos na secao 4.1 que neste caso a acao que descreve o sistema gera equacoes de movimento

invariantes sob transformacoes de gauge. A grande diferenca entre as duas teorias e que a

densidade de lagrangeana de Chern–Simons nao e invariante sob transformacoes de gauge

nem mesmo na ausencia de interacao com partıculas. Entretanto o que e importante e que a

lagrangeana gera equacoes de movimento que sao invariantes sob transformacoes de gauge.

Antes de discutirmos as equacoes de movimento decorrentes da densidade de lagrangeana

de Maxwell-Chern–Simons com os campos de gauge Aν acoplados a correntes e cargas ele-

tricas, vejamos as componentes do tensor Fγν em termos dos campos eletromagneticos em

d=3(2+1).

Como o tensor Fγν tem a mesma definicao em qualquer dimensao espaco–temporal,

Fγν(~x, t) = ∂γAν(~x, t)− ∂νAγ(~x, t), γ, ν = 0, 1, 2, (4.2.11)

41

em d=3(2+1) o tensor Fγν tem 3 componentes independentes de um total de 9 elementos.

Lembramos que os elementos da diagonal do tensor Fγν sao nulos.

Os elementos independentes do tensor Fγν(~x, t) sao:

F0i(~x, t) = −1c

∂Ai

∂t− ∂A0

∂xi= Ei(~x, t), i = 1, 2, (4.2.12a)

e

F12(~x, t) = −∂A2

∂x1+

∂A1

∂x2=

∂Ax

∂y− ∂Ay

∂x= −B(~x, t). (4.2.12b)

Das expressoes (4.2.12a–b), vemos que em d=3(2+1) o campo eletrico e um vetor com

duas componentes contidas no plano (x, y) enquanto que o campo magnetico e um escalar.

Note que F12 em d=4(3+1) corresponde a componente z do campo magnetico; em d=3(2+1)

a componente z e perpendicular ao plano fixado de maneira que em d=3(2+1) o campo

magnetico e um escalar.

O tensor Fγν escrito na sua forma matricial fica,

Fγν =

0 Ex Ey

−Ex 0 −B−Ey B 0

. (4.2.12c)

Em resumo, temos que

Ei(~x, t) = F0i(~x, t) = −1c

∂Ai

∂t− ∂A0

∂xi(4.2.13a)

e

B(~x, t) = −F12(~x, t) = εij∂iAj , (4.2.13b)

onde εij , i, j, = 1, 2, e o tensor de Levi–Civita em duas dimensoes (ε12 = 1, ε21 = −1, ε11 =

ε22 = 0).

Iremos derivar agora as equacoes de movimento obtidas da densidade de lagrangeana

LG dos campos de Maxwell–Chern–Simons acoplados a corrente e carga eletricas. Neste caso

temos que a densidade de lagrangeana que descreve o sistema e:

42

L(Aγ , ∂νAγ) = LG(Aγ , ∂νAγ)− 1cjγAγ

= − 116π

FγνF γν +µ

4εγναFγνAα − 1

cjγAγ . (4.2.14)

Substituindo a densidade de lagrangeana (4.2.14) na equacao de Euler–Lagrange

(eq.(4.1.6)),

∂L∂Aα

− ∂τ∂L

∂(∂τAα)= 0, (4.2.15)

obtemos a equacao de movimento dos campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons na presenca

de carga e corrente eletricas.

Dos resultados (4.1.7d) e (4.1.8e) temos que

∂

∂Aα

(− 116π

FγνF γν − 1cjγAγ

)= −1

cjα (4.2.16a)

∂

∂(∂τAα)(− 1

16πFγνF γν − 1

cjγAγ

)=

14π

Fατ . (4.2.16b)

Alem disso,

∂

∂Aα

(µ

4ελνγFλνAγ

)=

µ

4ελνγFλν δα

γ =µ

4ελναFλν , (4.2.16c)

e

∂

∂(∂τAα)(µ

4ελνγFλνAγ

)=

µ

4ελνγAγ

∂Fλν

∂(∂τAα)

=µ

4ελνγAγ(δλ

τδνα − δν

τδλα)

=ν

4Aγ(εταγ − εατγ)

=µ

2εταγAγ . (4.2.16d)

Usamos o resultado (4.1.8b) para escrevermos a segunda linha da expressao (4.2.16d).

Substituindo os resultados (4.2.16a–d) na eq.(4.2.15), obtemos que

43

µ

4εγναFγν − 1

cjα − ∂τ

( 14π

Fατ − µ

2εταγAγ

)= 0. (4.2.16e)

Entretanto,

µ

2εταγ∂τAγ = −µ

4(εατγ∂τAγ + εαγτ∂γAτ

)

= −µ

4εατγ(∂τAγ − ∂γAτ )

= −µ

4εατγFτγ = −µ

4εαγνFγν (4.2.16f)

Substituindo (4.2.16f) em (4.2.16e), encontramos que a equacao de movimento dos cam-

pos de Maxwell–Chern–Simons e

14π

∂γF γα +µ

2εαγνFγν =

1cjα, α = 0, 1, 2. (4.2.17)

Note que as equacoes de movimento (4.2.17) so dependem do 4–potencial vetor atraves

do tensor Fγν ; logo elas sao invariantes sob transformacoes de gauge (4.2.7).

Reescrevendo as componentes da equacao de movimento em termos dos campos ~E(~x, t)

e B(~x, t) temos:

i. Lei de Gauss : α = 0

14π

∂iFi0 +

µ

2ε0ijFij = ρ(~x, t) ⇒ ~∇ · ~E(~x, t)− 4πµB(~x, t) = 4πρ(~x, t). (4.2.18a)

ii. α = 1

14π

∂γF γ1 +µ

2ε1γνFγν =

1cj1(~x, t) ⇒ 1

4π

[1c

∂F 01

∂t+

∂F 21

∂y

]− µF02 =1cj1(~x, t)

⇒ ∂B(~x, t)∂y

− 4πµEy(~x, t) =4π

cjx(~x, t) +

1c

∂Ex(~x, t)∂t

. (4.2.18b)

iii. α = 2

14π

∂γF γ2 +µ

2ε2γνFγν =

1cj2(~x, t) ⇒ 1

4π

[1c

∂F 02

∂t+

∂F 12

∂x

]+ µF01 =

1cj2(~x, t)

⇒ − ∂B(~x, t)∂x

+ 4πµEx(~x, t) =4π

cjy(~x, t) +

1c

∂Ey(~x, t)∂t

. (4.2.18c)

44

Seja k um vetor unitario constante perpendicular ao plano (x, y). As eqs.(4.2.18b) e

(4.2.18c) podem ser reescritas como:

~∇× (B(~x, t)k) + 4πµk × ~E(~x, t) =4π

c~(~x, t) +

1c

∂~E(~x, t)∂t

, (4.2.18d)

Como a definicao do tensor Fγν e a mesma que para os campos de gauge de Maxwell, a

eq.(4.1.13) (identidade de Bianchi) continua sendo valida,

∂αFγν + ∂γFνα + ∂νFαγ = 0. (4.2.19a)

A unica escolha que temos para os tres ındices α, γ, ν distintos e: α = 0, γ = 1 e ν = 2.

Neste caso a identidade de Bianchi fica,

∂0F12 + ∂1F20 + ∂2F01 = 0 ⇒ ∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y= −1

c

∂B

∂t

⇒ ~∇× ~E(~x, t) = −1c

∂B(~x, t)k∂t

. (4.2.19b)

Em resumo temos que as equacoes que governam os campos de gauge Maxwell–Chern–

Simons sao:

~∇ · ~E(~x, t)− 4πµB(~x, t) = 4πρ(~x, t), (4.2.20a)

~∇× (B(~x, t)k) + 4πµk × ~E(~x, t) =4π

c~(~x, t) +

1c

∂~E(~x, t)∂t

, (4.2.20b)

~∇× ~E(~x, t) = −1c

∂B(~x, t)k∂t

, (4.2.20c)

onde k e um vetor unitario constante perpendicular ao plano (x, y). Da lei de Gauss (eq.

(4.2.20a)) vemos que, para os campos de Maxwell–Chern–Simons, as cargas eletricas sao

fontes tanto para o campo eletrico quanto para o campo magnetico.

Para µ = 0 em (4.2.20a–c) re–obtemos as equacoes de Maxwell em d=3(2+1).

Mostraremos agora que a eq.(4.2.17) tambem leva a conservacao da 4–densidade de cor-

rente eletrica.

A equacao de movimento dos campos de Maxwell–Chern–Simons e (eq.(4.2.17))

45

14π

∂γF γα +µ

2εαγνFγν =

1cjα, α = 0, 1, 2. (4.2.21)

de forma, que calculando a derivada covariante ∂α de ambos os lados da expressao anterior

obtemos:

14π

∂α∂γF γα +µ

2εαγν∂αFγν =

1c∂αjα. α = 0, 1, 2. (4.2.22a)

Em (4.1.18b) mostramos que o primeiro termo l.e. da expressao acima e zero. Analisemos

o segundo termo do l.e. da eq.(4.2.22a),

µ

2εαγν∂αFγν =

µ

2εαγν(∂α∂γAν − ∂α∂νAγ)

= 0. (4.2.22b)

Portanto, das eqs.(4.1.18b) e (4.2.22b) decorre a conservacao da 4–densidade de corrente

eletrica:

∂αjα(~x, t) = 0 ⇒ ∂ρ(~x, t)∂t

+ ~∇ · ~(~x, t) = 0. (4.2.22c)

As equacoes de Maxwell–Chern–Simons (4.2.20a–c) tambem acoplam os campos eletrico

e magnetico. No caso de campos livres ( ausencia de carga e corrente eletricas) as equacoes

desses campos podem ser desacopladas. O desacoplamento das equacoes dos campos fısicos

livres fica mais simples se definimos o dual do tensor Fαν ,

F ν(~x, t) ≡ εναγ

2Fαγ(~x, t). (4.2.23)

Exercıcio:

Usando o fato de que o tensor εναγ e anti–simetrico pela troca de dois ındices, εναγ =

−εανγ ,e que Fαγ = ∂αAγ − ∂γAα, mostre que

∂ν F ν(~x, t) = 0.

46

A relacao (4.2.23) pode ser invertida usando a identidade:

εανβεαγτ = δνγδβ

τ − δντδβ

γ . (4.2.24)

Para isso basta multiplicar ambos os lados da eq.(4.2.23) por ενγλ e somar sobre o ındice

ν que obtemos

Fγλ(~x, t) = εγλν F ν(~x, t). (4.2.25)

Exercıcio:

Mostre a igualdade:

εανβεαγτ = δνγδβ

τ − δντδβ

γ .

Usando a definicao (4.2.23) escrevemos as componentes do vetor dual em termos das

componentes do campos eletrico e magnetico,

F 0 =12[ε021F12 + ε012F21

]= F12 ⇒ F 0 = −B (4.2.26a)

F 1 =12[ε102F02 + ε120F20

]= F20 ⇒ F 1 = −Ey (4.2.26b)

F 2 =12[ε201F01 + ε210F10

]= F01 ⇒ F 2 = Ex. (4.2.26c)

Portanto, o vetor dual ao tensor Fγν tem componentes

F ν(~x, t) = (−B(~x, t),−Ey(~x, t), Ex(~x, t)). (4.2.26d)

Para desacoplarmos as equacoes dos campos livres, consideremos a eq.(4.2.21) na ausencia

de partıculas carregadas (jα = 0),

47

14π

∂γF γα +µ

2εαγνFγν = 0 ⇒ 1

4π∂γF γα + µFα = 0. (4.2.27a)

Usando a eq.(4.2.25) para reescrever a equacao dos campos (4.2.27a) em termos do vetor

dual Fα, temos entao que

14π

εγαλ∂γFλ + µFα = 0. (4.2.27b)

Multiplicando ambos os lados da eq.(4.3.27b) por εαντ , somando sobre o ındice α e

usando a igualdade (4.2.24) obtemos que

14π

εαντεγαλ∂γFλ + µεαντ Fα = 0 ⇒

⇒ 14π

[∂τ Fν − ∂νFτ ] + µFντ = 0. (4.2.27c)

Derivando (4.2.27c) em relacao a ∂ν e somando sobre o ındice ν, temos que

14π

[∂τ∂νFν − ∂ν∂ν Fτ ] + µ∂νFντ = 0. (4.2.27d)

No entanto, usando que ∂ν Fν = 0 e a eq.(4.2.27a), a equacao anterior e reescrita como:

− 14π

∂ν∂ν Fτ − 4πµ2Fτ = 0 ⇒ (tu+(4πµ)2)Fτ (~x, t) = 0, (4.2.27e)

onde τ = 0, 1, 2.

Devemos lembrar que as componentes do vetor dual Fτ sao os campos fısicos ~E(~x, t) e

B(~x, t).

A eq.(4.2.27e) e a equacao dos campos fısicos livres de Maxwell–Chern–Simons.

A presenca do termo de Chern–Simons na teoria acarreta algumas modificacoes em

relacao a teoria de Maxwell pura. Para vermos isto, consideremos a equacao de movimento

dos campos livres de Maxwell–Chern–Simons (eq.(4.2.27e)),

(tu+(4πµ)2)Ei(~x, t) = 0 ⇒ (∇2 − 1c2

∂2

∂t2− (4πµ)2

)Ei(~x, t) = 0. (4.2.28a)

48

Como no caso dos campos de Maxwell, vamos procurar solucoes de ondas plana para a

eq.(4.2.28a), ou seja,

Ei(~x, t) = E iei(~k·~x−ωt), (4.2.28b)

onde E i e uma constante que da a amplitude do campo eletrico, ~k e o vetor de onda que

determina a direcao e o sentido em que a onda plana se propaga e ω a sua frequencia angular.

Substituimos (4.2.28b) em (4.2.28a) para saber que relacao | ~k | e ω devem satisfazer para que

a onda plana (4.2.28b) seja solucao dos campos livres de Maxwell–Chern–Simons em todos

os pontos do espaco e em todos os instantes. Assim,

E iei(~k·~x−ωt)(− | ~k |2 +ω2

c2− (4πµ)2) = 0. (4.2.28c)

Para que a igualdade anterior seja verdadeira para qualquer posicao ~x e em qualquer

instante t, temos que ter

ω2

c2=| ~k |2 +(4πµ)2. (4.2.28d)

Esta relacao de dispersao e satisfeita por partıculas que possuem massa. A partir da

(4.2.28d) o valor da massa dos campos fısicos de Maxwell–Chern–Simons e:

mC−S =4πh

c| µ |, (4.2.29)

sendo h = h2π e h e a constante de Planck11.

Os campos de Maxwell–Chern–Simons possuem massa, mas apesar disso, a teoria e in-

variante sob transformacoes de gauge (4.2.7).

Esse mecanismo de gerar massa para os campos de gauge sem abrir mao da invariancia

de gauge da teoria, e certamente uma das caracterısticas mais apreciadas desse modelo.

A partir da eq.(4.2.22a), apos algumas manipulacoes algebricas, mostra–se que na pre-

senca de carga eletrica pontual estatica (ρ(~x, t) = ρδ(~x)), ~(~x, t) = 0) a equacao do campo

magnetico e:

11 Veja a Referencia [4] para saber como relacionar a eq.(4.2.28d) e a massa da partıcula.

O valor da constante de Planck e: h = 6, 626× 10−34Jseg.

49

(∇2 − (4πµ)2)B(~x) = (4π)2µρδ(~x), (4.2.30)

sendo ρ uma constante que da a intensidade da densidade de carga eletrica em ~x = 0.

A solucao de (4.2.30) nos da a funcao de Green[13] da equacao do campo magnetico e

permite determinar B(~x) para qualquer distribuicao ρ(~x).

Usando a transformada de Fourier do campo e simples mostrar que a solucao da equacao

diferencial nao–homogenea (4.2.30) e:

B(~x) = −(4π)2µ∫

d2~k(2π)2

ρ

| ~k |2 +(4πµ)2e−i~k·~x

∼ 2πρ(2|µ|

r

) 12 e−4π|µ|r, para r À 1

4π|µ| , (4.2.31)

sendo que r = |~x|.

Exercıcio:

Seja B(~k) a transformada de Fourier de B(~x) definida como:

B(~x) =1

(2π)2

∫d2~k B(~k)e−i~k·~x.

A transformada de Fourier da funcao δ–Dirac em duas dimensoes espaciais e

δ(~x) =1

(2π)2

∫d2~k e−i~k·~x.

Mostre que a eq.(4.2.30) escrita no espaco dos ~k e

(| ~k |2 +(4πµ)2)B(~k) = −(4π)2µρ ⇒ B(~k) = −(4π)2µ

ρ

| ~k |2 +(4πµ)2.

A presenca da massa 4πµ no denominador da eq.(4.2.31), faz com que o campo magnetico

do modelo de Maxwell–Chern–Simons seja de curto alcance. No caso das componentes do

campo eletrico, elas tambem vao a zero para | ~x |→ ∞ mais rapidamente que na teoria de

Maxwell pura, uma vez que Ei ∼ e−4π|µ|r para | ~x |→ ∞.

50

Vejamos como o 4–potencial vetor Aν se comporta na fronteira do plano infinito (| ~x |→∞). Para isso, consideremos a lei de Gauss (eq.(4.2.20a)) do modelo de Maxwell–Chern–

Simons,

~∇ · ~E(~x, t)− 4πµB(~x, t) = 4πρ(~x, t), (4.2.32a)

que integrando sobre todos os pontos do plano fica,

∫

S∞d2~x ~∇ · ~E(~x, t)− 4πµ

∫

S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t), (4.2.32b)

sendo Q(t) a carga eletrica total contida no plano (x, y),

Q(t) =∫

S∞d2~x ρ(~x, t). (4.2.32c)

Usando o Teorema de Gauss (eq.(A.9)) em duas dimensoes espaciais, temos que

∮

Γ∞

~E(~x, t) · d~l − 4πµ

∫

S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t), (4.2.32d)

sendo Γ∞ o contorno da que delimita a area S∞.

Mostramos anteriormente que o campo eletrico vai a zero para | ~x |→ ∞, de maneira que

a integral de linha do campo eletrico ao longo de Γ∞ e nula. Assim, a lei de Gauss escrita na

forma global e,

−4πµ

∫

S∞d2~x B(~x, t) = 4πQ(t). (4.2.32e)

Entretanto, o campo magnetico pode ser escrito como sendo

B(~x, t) = (~∇× ~A(~x))z, (4.2.32f)

sendo z a direcao perpendicular ao plano (x, y). Substituindo (4.2.32f) em (4.2.32e) e apli-

cando o Teorema de Stokes (eq.(A.10)), obtemos finalmente que

−µ

∮

Γ∞

~A(~x, t) · d~l = Q(t), (4.2.32g)

51

que mostra que apesar dos campos fısicos serem de curto alcance, o 4–potencial vetor e de

longo alcance. A solucao assintotica dos 4–potenciais vetores que satisfazem a (4.2.32g) e:

~A(~x, t) |~x|→∞−→ −Q(t)8π2µ

arctan(x

y

). (4.2.32h)

O potencial vetor ~A(~x, t) e localmente um campo de gauge puro. Ele possui o mesmo

comportamento do efeito Aharanov–Bohm[14].

52

5. Figuras.

t

x(t)

Figura 1.1

2

3

1

t t0 f

Figura 1.1: A curva 1 representa a trajetoria classica, enquanto que as curvas 2 e 3 repre-sentam curvas que diferem da trajetoria classica por pequenas deformacoes.

Figura 3.1: Os vetores i e j sao os vetores unitarios dos eixos coordenados(x, y), e, i’ e j’ saoos vetores unitarios dos eixos coordenados(x′, y′). O vetor V e o mesmo nos dois conjuntosde eixos coordenados, enquanto que as suas componentes dependem dos eixos coordenadosque utilizamos para obte–las.

53

x

y y’S

V

Figura 3.2

x’

S’

Figura 3.2: O referencial inercial S’ se desloca com velocidade V= V i em relacao ao refer-encial S.

Agradecimentos:

Desejo agradcer a M.C. Batoni Abdalla e E. Abdalla por discussoes sobre invariancia

de gauge na Eletrodinamica Classica, a J.S. Sa Martins pela leitura do texto, correcoes e

sugestoes, e, a A. T. Costa Jr. pela ajuda na colocacao das figuras no texto. Tenho um

agradecimento especial ao International Center for Theoretical Physics, Trieste, Italia, onde

parte deste texto foi pensado e escrito.

54

Apendice A: Revisao de Analise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes

A.1) Revisao de Analise Vetorial[15]:

Seja ~v(~x) um vetor com componentes escritas em coordenadas cartesianas:

~v(~x) = vx(~x)ı + vy(~x) + vz(~x)k; (A.1)

ı, e k sao vetores unitarios nas direcoes x, y e z respectivamente.

O operador gradiente ~∇ escrito em coordenadas cartesianas e:

~∇ = ı∂

∂x+

∂

∂y+ k

∂

∂z. (A.2)

i. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas:

~∇ · ~v(~x) =∂vx(~x)

∂x+

∂vy(~x)∂y

+∂vz(~x)

∂z. (A.3)

ii. Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas:

~∇× ~v(~x) = ı

(∂vz(~y)

∂y− ∂vy(~x)

∂z

)+

(∂vx(~x)

∂z− ∂vz(~x)

∂x

)+ k

(∂vy(~x)

∂x− ∂vx(~x)

∂y))

= εijk∂jvk, i, j, k = 1, 2, 3, (A.4)

onde estamos usando a regra da soma implıcita e a notacao: v1 = vx, v2 = vy e v3 = vz.

εklm e o tensor de Levi–Civita, e e definido como:

ε123 = ε231 = ε312 = 1,

ε213 = ε132 = ε321 = −1,

εklm = 0 se dois ou mais ındices forem iguais.

55

iii. Propriedades gerais da divergencia e rotacional:

~∇ · (~∇× ~v(~x)) = 0, (A.5)

~∇× (~∇g(~x)) = 0, (A.6)

~∇× (~∇× ~v(~x)) = ~∇(~∇ · ~v(~x))−∇2~v(~x), (A.7)

onde g(~x) e uma funcao nao–singular e

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(A.8)

A.2) Teorema de Gauss[16].

Seja ~f(~x) um vetor definido em todos os pontos dentro de um volume V e na area fechada

S que delimita este volume. O Teorema de Gauss nos da que:

∫

V

d3~x ~∇ ·~f(~x) =∮

S

~f(~x) · nds, (A.9)

onde ds e uma area infinitesimal sobre a superfıcie S e n e um vetor unitario perpendicular

em cada ponto a superfıcie S. O vetor n aponta para fora do volume delimitado.

A.3) Teorema de Stokes[17].

Seja Γ uma linha fechada e S qualquer superfıcie delimitada pela linha Γ. Seja ~f(~x) um

vetor definido em todos os pontos da superfıcie S inclusive ao longo da linha Γ. Pelo Teorema

de Stokes temos que:

∫

S

ds n · (~∇×~f(~x)) =∮

Γ

~f(~x) · d~l, (A.10)

onde d~l e um vetor infinitesimal tangencial a linha Γ e n e o vetor unitario perpendicular em

cada ponto a superfıcie S. O sentido dos vetores n e d~l e dado pela regra da mao direita.

56

Apendice B: Princıpio de Hamilton para Campos Classicos[18].

Ao discutirmos os campos eletromagneticos na secao 2, vimos que, no caso em que estamos

descrevendo um campo, a posicao ~x e um parametro para indexar os pontos do espaco da

mesma forma que o tempo t o e para representar a que instante voce se refere. Portanto, ao

contrario do que temos no caso de partıculas, as coordenadas ~x nao sao variaveis dinamicas

do problema, mas sim parametros para indicar em que ponto do espaco voce esta medindo o

seu campo, este sim a sua variavel dinamica.

Apenas como simplificacao, vamos supor que temos um unico campo que denominaremos

por: Φ(~x, t). Φ(~x, t) representa a configuracao do campo em todos os pontos ~x do espaco no

instante t.

Como no caso de partıculas, queremos associar a cada configuracao Φ(~x, t) um numero

que chamamos de acao. Na definicao da acao no caso de campos, precisamos integrar no

intervalo de tempo fixado e em todos os pontos do espaco, uma vez que os campos

tambem possuem uma dependencia espacial:

S[Φ; t0, tf ] =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x L(Φ(~x, t), ∂µΦ(~x, t);~x, t), (B.1)

onde L e a densidade de lagrangeana associada aos campos. Como os campos dependem das

coordenadas espaciais, em geral L depende nao apenas das derivadas do campo em relacao

ao tempo, mas tambem de suas derivadas espaciais, todas elas representadas pela derivada

covariante ∂µΦ(~x, t), µ = 0, 1, 2, 3. Como no caso de partıculas, a acao tambem tem a mesma

dimensao que o momento angular.

Para obter a equacao de movimento para os campos Φ(~x, t), vamos proceder de forma

analoga ao que fizemos na secao 1 para derivar a equacao de Lagrange para partıculas.

Desejamos obter a equacao satisfeita pelo campo classico que parte da configuracao inicial

Φ(~x, t0), e, que em t = tf tem a configuracao Φ(~x, tf ), sendo que ambas sao, por hipotese,

conhecidas.

Chamemos φ(~x, t) o campo classico para o qual a acao e mınima. O campo φ(~x, t) satisfaz

as condicoes de contorno:

57

φ(~x, t0) = Φ(~x, t0) (B.2a)

e

φ(~x, tf ) = Φ(~x, tf ). (B.2b)

As configuracoes que coincidem com Φ(~x, t0) e Φ(~x, tf ) em t = t0 e t = tf respectivamente

mas que tenham pequenas modificacoes em relacao a φ(~x, t), podem ser escritas como,

Φ(~x, t; α) = φ(~x, t) + αη(~x, t), (B.3)

onde η(~x, t) e uma funcao infinitesimal qualquer da posicao e que varia de instante para

instante. A funcao η(~x, t) satisfaz as condicoes de contorno:

η(~x, t0) = η(~x, tf ) = 0. (B.4)

α e uma constante arbitraria.

O Princıpio de Hamilton (secao 1) aplicado a trajetorias que diferem pouco da trajetoria

classica implica em que

δS[Φ] ≡ S[φ(~x, t) + αη(~x, t)]− S[φ(~x, t)] = 0. (B.5)

Como na discussao do Princıpio de Hamilton para partıculas (secao 1) definimos

G(α) =∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x L(φ + αη, ∂µφ + α∂µη;~x, t; α), (B.6)

que e uma funcao de α. Como φ(~x, t) minimiza a acao, isto corresponde a dizer que G(α) tem

um mınimo em α = 0. A condicao de Hamilton (B.5) corresponde a esta condicao de mınimo

de G(α) em α = 0:

∂G(α)∂α

∣∣∣∣α=0

= 0 ⇒ ∂S[Φ;α]∂α

∣∣∣∣α=0

= 0. (B.7)

A diferenca esta em que, agora, a densidade de lagrangeana L depende nao apenas do

campo e de sua derivada temporal, mas tambem das suas derivadas espaciais. A imple-

mentacao da eq. (B.7) e:

58

∂S[Φ; α]∂α

=∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x

∂L∂Φ

∂Φ∂α

+∂L

∂(

∂Φ∂x

) ∂(

∂Φ∂x

)

∂α+

∂L∂(

∂Φ∂y

) ∂(

∂Φ∂y

)

∂α+

+∂L

∂(

∂Φ∂z

) ∂(

∂Φ∂z

)

∂α+

∂L∂(

∂Φ∂t

) ∂(

∂Φ∂t

)

∂α

= 0. (B.8)

Como estamos considerando campos Φ(~x, t) que sao representados pela eq. (B.3), entao

substituindo–a na eq. (B.8), temos

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x

∂L∂Φ

η(~x, t) +∂L

∂(

∂Φ∂x

) ∂η(~x, t)∂x

+∂L

∂(

∂Φ∂y

) ∂η(~x, t)∂y

+

+∂L

∂(

∂Φ∂z

) ∂η(~x, t)∂z

+∂L

∂(

∂Φ∂t

) ∂η(~x, t)∂t

= 0. (B.9)

Nao podemos fazer nenhuma afirmacao geral sobre o integrando da eq. (B.9) uma vez

que as funcoes η(~x, t) e ∂µη(~x, t) nao sao funcoes independentes. Vamos reescrever os termos

do lado esquerdo (l.e.) da eq. (B.9) e coloca–la de forma mais conveniente.

Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em relacao as coordenadas

espaciais. Os outros dois termos que envolvem derivadas espaciais sao tratados de forma

similar.

Consideremos o termo:

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x

∂L∂(

∂Φ∂x

) ∂η(~x, t)∂x

=∫ tf

t0

dt

∫ L

−L

dydz

∫ L

−L

dx∂L

∂(

∂Φ∂x

) ∂η(~x, t)∂x

, (B.10)

onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superfıcie que delimita o volume. No limite

de V∞ temos que L →∞.

Para realizar a integracao por partes a integral em x do l.d. da eq. (B.10), escolhemos

u =∂L

∂(

∂Φ∂x

) e dv = dx∂η

∂x(B.11a)

de maneira que a integral passa a ser:

∫ L

−L

dx∂L

∂(

∂Φ∂x

) ∂η

∂x=

∂L∂(

∂Φ∂x

)η(~x, t)∣∣∣∣x=L

x=−L

−∫ L

−L

dx∂

∂x

( ∂L∂(

∂Φ∂x

))η(~x, t), (B.11b)

59

onde, ao calcularmos a derivada parcial ∂∂x

(∂L

∂(

∂Φ∂x

)), estamos tomando y, z e t constantes.

Os termos η(±L, y, z; t) correspondem a valores da funcao η(~x, t) na superfıcie que de-

limita o volume V dentro do qual os campos evoluem. Assumiremos a hipotese de sistema

fechado, que corresponde a supor que nenhum campo atravessa a superfıcie que delimita o

volume V em que ocorre o fenomeno. Por essa hipotese temos entao que

η(±L, y, z; t) = 0, (B.12)

pois o campo classico e suas pequenas deformacoes sao nulas na superfıcie que delimita o

volume V .

Incluindo a hipotese de sistema fechado, a relacao (B.11) passa a ser

∫ L

−L

dx∂L

∂(

∂Φ∂x

) ∂η

∂x= −

∫ L

−L

dx∂

∂x

( ∂L∂(

∂Φ∂x

))η(~x, t). (B.13)

Fazendo agora a integracao por partes do termo com a derivada do campo em relacao ao

tempo, onde escolhemos as variaveis u e v de forma similar a eq. (B.11a) obtemos que

∫ tf

t0

dt∂L

∂(

∂Φ∂t

) ∂η

∂t=

∂L∂(

∂Φ∂t

)η(~x, t)∣∣∣∣t=tf

t=t0

−∫ tf

t0

dt∂

∂t

( ∂L∂(

∂Φ∂t

))η(~x, t). (B.14a)

A funcao η(~x, t) no l.d. da eq. (B.14a) esta definida nos instantes t = t0 e t = tf . Como a

funcao η(~x, t) satisfaz a condicao (B.4), entao a expressao (B.14a) pode ser finalmente escrita

como:

∫ tf

t0

dt∂L

∂(

∂Φ∂t

) η

∂t= −

∫ tf

t0

dt∂

∂t

( ∂L∂(

∂Φ∂t

))η(~x, t). (B.14b)

Substituindo os resultados (B.13) e (B.14b) na eq. (B.9), obtemos que

∫ tf

t0

dt

∫

V∞d3~x

∂L∂Φ

− ∂

∂x

( ∂L∂(

∂Φ∂x

))− ∂

∂y

( ∂L∂(

∂Φ∂y

))−

− ∂

∂z

( ∂L∂(

∂Φ∂z

))− ∂

∂t

( ∂L∂(

∂Φ∂t

))η(~x, t) = 0. (B.15)

60

A unica forma da eq. (B.15) ser verdadeira para qualquer funcao infinitesimal η(~x, t) e

que o integrando seja identicamente nulo. Escrevendo o integrando na sua forma covariante

temos entao a equacao de Euler–Lagrange para campos classicos:

∂L∂Φ

− ∂µ∂L

∂(∂µΦ)= 0. (B.16)

61

REFERENCIAS

1. H. Moyses Nussenzveig; Curso de Fısica Basica, 1–Mecanica, 2.a edicao, Edgard Blucher

Ltda (1992), cap. 4.

2. Jerry B. Marrion; Classical Dynamics of Particles and System, 3rd edition, Academic

Press (1988), cap.6.

3. Herbert Goldstein; Classical Mechanics, 2nd edition, Addison–Wesley (1980), cap. 7.

4. Dentre as possıveis referencias para uma introducao a Mecanica Quantica, sugerimos:

A.P. French; An Introduction to Quantum Physics, W.W. Norton & Co (1978).

5. Edward Purcell; Electricity and Magnetism, Berkeley Physics Course–vol. 2, cap. 7 e

Apendice, Mcgraw–Hill Co (1965).

6. A.P.French; Special Relativity, Thomas Nelson and Sons Ltd. (1968), cap.3.

7. John D. Jackson; Classical Electrodynamics, 2.nd edition, John Wiley & Sons(1975), secao

11.3.

8. Referencia 7, secao 11.9.

9. Referencia 7, secao 12.8,

Referencia 3, pag. 366.

10. Referencia 5, cap. 7.

11. J. Schonfeld; A Mass Term for Three–Dimensional Gauge Fields, Nucl. Phys. B185

(1981) 157.

12. S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton; Topological Massive Gauge Theories, Ann. of Phys.

140 (1982) 372.

13. Referencia 7, secoes 1.7 e 1.10;

Referencia 2, secao 3.10.

14. Y. Aharanov, D. Bohm; Significance of Electromagnetic Potencials in the Quantum

Theory, Phys. Rev. 115 (1959) 485;

R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; The Feynman Lectures on Physics, vol. II,

Addison–Wesley Publ. Co. (1972), cap. 15.

15. Referencia 5, cap. 2.

16. Referencia 5, secoes 1.9 e 1.10.

17. Referencia 5, secoes 2.15 e 2.16.

18. Referencia 3, cap. 11.

62