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Ce chapitre est une introduction aux langages formels. Il aborde les notions de mots, alphabets, langages, opérations sur les mots et opérations sur les langages.
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Chapitre 1 :
Introduction aux langages formels
Prof. A. DarghamFaculte des Sciences, Oujda
Filiere SMI- S4
Universite Mohamed Premier
Septembre, 2012
Sommaire du chapitre 1
Alphabets, mots et langages
Operations sur les mots
Monoıdes
Operations sur les langages
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Aphabets
Definition 1.1
Un alphabet est un ensemble fini de symboles (ou lettres).
Exemples 1.2
A = {0, 1}A = {a, b, c , ..., x , y , z}A = {if , else, a, b}A = {←, →, ↑, ↓}
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Mots
Definition 1.3
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonnee,eventuellement vide, d’elements de l’alphabet.
C’est une concatenation de symboles.
Exemples 1.4
A = {0, 1}. 10001 et 11 sont deux mots sur A.
A = {a, b, c , ..., x , y , z}. ”smi” et ”tlc” sont deuxmots sur A.
A = {if , else, a, b}. if a else b est un mot sur A.
A = {←, →, ↑, ↓}. ←←→↓↑← est un mot sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Mots
Definition 1.3
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonnee,eventuellement vide, d’elements de l’alphabet.
C’est une concatenation de symboles.
Exemples 1.4
A = {0, 1}. 10001 et 11 sont deux mots sur A.
A = {a, b, c , ..., x , y , z}. ”smi” et ”tlc” sont deuxmots sur A.
A = {if , else, a, b}. if a else b est un mot sur A.
A = {←, →, ↑, ↓}. ←←→↓↑← est un mot sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Mots
Definition 1.3
Un mot sur l’alphabet A est une suite finie et ordonnee,eventuellement vide, d’elements de l’alphabet.
C’est une concatenation de symboles.
Exemples 1.4
A = {0, 1}. 10001 et 11 sont deux mots sur A.
A = {a, b, c , ..., x , y , z}. ”smi” et ”tlc” sont deuxmots sur A.
A = {if , else, a, b}. if a else b est un mot sur A.
A = {←, →, ↑, ↓}. ←←→↓↑← est un mot sur A.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Mot vide
Definition 1.5
Sur tout alphabet A, on defini un mot, appele mot videcorrespondant a une sequence vide de symboles de A.
Ce mot est unique pour tout les alphabets, et on le notepar ε.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Mot vide
Definition 1.5
Sur tout alphabet A, on defini un mot, appele mot videcorrespondant a une sequence vide de symboles de A.
Ce mot est unique pour tout les alphabets, et on le notepar ε.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Longueur d’un mot
Definition 1.6
La longueur d’un mot w sur un alphabet A est lenombre de symboles constituant ce mot. On la notepar |w |.Le mot vide ε est de longueur 0.
Exemples 1.7
Sur A = {0, 1} : |10001| = 5 et |11| = 2.
Sur A = {if , else, a, b}. |if a else b| = 4.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Longueur d’un mot
Definition 1.6
La longueur d’un mot w sur un alphabet A est lenombre de symboles constituant ce mot. On la notepar |w |.Le mot vide ε est de longueur 0.
Exemples 1.7
Sur A = {0, 1} : |10001| = 5 et |11| = 2.
Sur A = {if , else, a, b}. |if a else b| = 4.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Notations
Notations 1.8
Soient A un alphabet, u et w des mots sur A.
|w | = 0⇔ w = ε.
Si |w | = n ≥ 1, on note par wi le i eme symbole de w, etl’on ecrit w = w1w2...wn.
On note par |w |u le nombre d’occurrences du mot u dansle mot w : c’est le nombre de fois ou le mot u apparaıtdans w comme facteur.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Langages
Definition 1.9
Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, finiou infini) de mots sur A.
Exemples 1.10
A = {0, 1} : L = {0, 00, 10, 000, 010, 100, ...} est unlangage sur A.
A = {a, b}. Le langage des mots sur A de longueurinferieure a 3 est L = {a, b, aa, ab, ba, bb}.
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Alphabets, mots et langages
Langages
Definition 1.9
Un langage L sur un alphabet A est un ensemble (vide, finiou infini) de mots sur A.
Exemples 1.10
A = {0, 1} : L = {0, 00, 10, 000, 010, 100, ...} est unlangage sur A.
A = {a, b}. Le langage des mots sur A de longueurinferieure a 3 est L = {a, b, aa, ab, ba, bb}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Langages
Definition 1.11
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabetA.
C’est aussi un langage sur A (appele langage universelsur A).
Un ensemble L est alors un langage sur A, si et seulementsi L ⊆ A∗.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Langages
Definition 1.11
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabetA.
C’est aussi un langage sur A (appele langage universelsur A).
Un ensemble L est alors un langage sur A, si et seulementsi L ⊆ A∗.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Alphabets, mots et langages
Langages
Definition 1.11
On note A∗ l’ensemble de tous les mots sur un alphabetA.
C’est aussi un langage sur A (appele langage universelsur A).
Un ensemble L est alors un langage sur A, si et seulementsi L ⊆ A∗.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Concatenation ou produit
Definition 1.12
Soit un alphabet A et u = u1u2...un et v = v1v2...vm deuxmots sur A de longueurs respectives n et m.La concatenation de u et de v consiste a ”coller” le mot vjuste apres le mot u. On obtient un mot de longueur n + m,note u.v ou tout simplement uv : uv = u1u2...unv1v2...vm.
Exemples 1.13
A = {0, 1}, u = 101 et v = 001.Alors uv = 101001 et vu = 001101
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Concatenation ou produit
Definition 1.12
Soit un alphabet A et u = u1u2...un et v = v1v2...vm deuxmots sur A de longueurs respectives n et m.La concatenation de u et de v consiste a ”coller” le mot vjuste apres le mot u. On obtient un mot de longueur n + m,note u.v ou tout simplement uv : uv = u1u2...unv1v2...vm.
Exemples 1.13
A = {0, 1}, u = 101 et v = 001.Alors uv = 101001 et vu = 001101
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Proprietes de la concatenation
Proposition 1.14
1 La concatenation est associative :∀u, v , w ∈ A∗ : (uw)w = u(vw) = uvw
2 Le mot vide ε est l’element neutre de la concatenation :∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concatenation n’est pas commutative.
4 ∀u, v ∈ A∗ : |uv | = |vu| = |u|+ |v |.
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Operations sur les mots
Proprietes de la concatenation
Proposition 1.14
1 La concatenation est associative :∀u, v , w ∈ A∗ : (uw)w = u(vw) = uvw
2 Le mot vide ε est l’element neutre de la concatenation :∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concatenation n’est pas commutative.
4 ∀u, v ∈ A∗ : |uv | = |vu| = |u|+ |v |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Proprietes de la concatenation
Proposition 1.14
1 La concatenation est associative :∀u, v , w ∈ A∗ : (uw)w = u(vw) = uvw
2 Le mot vide ε est l’element neutre de la concatenation :∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concatenation n’est pas commutative.
4 ∀u, v ∈ A∗ : |uv | = |vu| = |u|+ |v |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Proprietes de la concatenation
Proposition 1.14
1 La concatenation est associative :∀u, v , w ∈ A∗ : (uw)w = u(vw) = uvw
2 Le mot vide ε est l’element neutre de la concatenation :∀u ∈ A∗ : uε = εu = u
3 La concatenation n’est pas commutative.
4 ∀u, v ∈ A∗ : |uv | = |vu| = |u|+ |v |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Puissance
Definition 1.15
Soient A un alphabet, n un nombre entier et w un mot sur A.On definit la puissance neme du mot w par :
wn =
{ε si n = 0;
wn−1w si n ≥ 1.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Puissance
Exemples 1.16
Soit A = {a, b} et w = bab.
w 0 = ε.
w 1 = w 0w = w = bab.
w 2 = w 1w = ww = babbab.
w 3 = w 2w = www = babbabbab.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Proprietes de la puissance
∀w ∈ A∗ : w 0 = ε.
∀w ∈ A∗,∀n, m ≥ 0 : (wn)m = wnm.
∀w ∈ A∗,∀n, m ≥ 0 : wnwm = wn+m.
∀w ∈ A∗,∀n ≥ 0 : |wn| = n|w |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Egalite de deux mots
Definition 1.17
Deux mots u et v sur un meme alphabet A sont egaux(u = v), si et seulement si :
ils ont la meme longueur : |u| = |v | (disons un entier n).
l’ordre des symboles dans u est identique a celle dans v .
Autrement dis, u = v si et seulement si ui = vi , pour tout iallant de 1 a n ou n = |u| = |v |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Miroir
Definition 1.18
Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w,note w est le mot obtenu en inversant l’ordre dessymboles dans w.
Voici une definition recursive du miroir d’un mot :
w =
{ε si w = ε;
au si w = ua, u ∈ A∗, a ∈ A.
Exemples 1.19
Soit w = ababca sur A = {a, b, c}. Alors w = acbaba.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Miroir
Definition 1.18
Soit A un alphebt et w un mot sur A. Le miroir de w,note w est le mot obtenu en inversant l’ordre dessymboles dans w.
Voici une definition recursive du miroir d’un mot :
w =
{ε si w = ε;
au si w = ua, u ∈ A∗, a ∈ A.
Exemples 1.19
Soit w = ababca sur A = {a, b, c}. Alors w = acbaba.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Proprietes du miroir
Proposition 1.20˜w = w (le miroir est une operation involutive).
uv = v u.
|w | = |w |.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Palindromes
Definition 1.21
Un mot w sur un alphabet A est un palindrome si w estidentique a son miroir, c’est-a-dire, si w = w .
Exemples 1.22
1001, 10101 sont des palindromes sur A = {0, 1}.radra, ete, non et ici sont des palindromes Francais.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Facteurs
Definition 1.23
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un facteur d’unmot w si, w = xuy pour certains mots x ∈ A∗ et y ∈ A∗.
Exemples 1.24
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les facteurs de w sont :ε, a, b, c , ab, bc , ca, abc , bca, abca = w.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Prefixes
Definition 1.25
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un prefixe oufacteur gauche d’un mot w si, w = uv pour un certain motv ∈ A∗.
Exemples 1.26
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les prefixes de w sont :ε, a, ab, abc , abca = w.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Suffixes
Definition 1.27
Soit A un alphabet. On dit qu’un mot u est un suffixe oufacteur droit d’un mot w si, w = vu pour un certain motv ∈ A∗.
Exemples 1.28
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les suffixes de w sont :ε, a, ca, bca, abca = w.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Sous-mots
Definition 1.29
Soit A un alphabet. Un sous-mot u d’un mot w est une suiteextraite de w. Autrement dis, on obtient le mot u ensupprimant un certain nombre (eventuellement nul) desymboles de w.
Exemples 1.30
Soit w = abca sur A = {a, b, c}. Les sous-mots de w sont :ε, a, b, c , aa, ab, ac , ba, bc , ca, aba, abc , aca, abca = w.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les mots
Facteur, prefixe, suffixe et sous-mot propre
Definition 1.31
Soit A un alphabet. Un facteur (resp. prefixe, suffixe ousous-mot) propre d’un mot w est un facteur (resp. prefixe,suffixe ou sous-mot) u tel que u 6= ε et u 6= w.
On note par :
Fact(w) : l’ensemble des facteurs de w .
Pref (w) : l’ensemble des prefixes de w .
Suff (w) : l’ensemble des suffixes de w .
SMots(w) : l’ensemble des sous-mots de w .
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes
Definition 1.32
Un monoıde est un ensemble E muni d’une loi decomposition interne > qui soit :
associative.
et possedant un element neutre.
Exemples 1.33
(IN , +, 0) est un monoıde.
(IN , ×, 1) est un monoıde.
(A∗, ., ε) le langage universel sur A muni de laconcatenation est un monoıde.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Sous-monoıdes
Definition 1.34
Un sous-monoıde d’un monoıde (E , >) est une partieX ⊆ E, qui munie de la meme loi de composition > sur E , estun monoıde.
Proposition 1.35
(X , >) est un sous-monoıde de (E , >, e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi > : x>y ∈ X ,∀x , y ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Sous-monoıdes
Definition 1.34
Un sous-monoıde d’un monoıde (E , >) est une partieX ⊆ E, qui munie de la meme loi de composition > sur E , estun monoıde.
Proposition 1.35
(X , >) est un sous-monoıde de (E , >, e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi > : x>y ∈ X ,∀x , y ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Sous-monoıdes
Definition 1.34
Un sous-monoıde d’un monoıde (E , >) est une partieX ⊆ E, qui munie de la meme loi de composition > sur E , estun monoıde.
Proposition 1.35
(X , >) est un sous-monoıde de (E , >, e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi > : x>y ∈ X ,∀x , y ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Sous-monoıdes
Definition 1.34
Un sous-monoıde d’un monoıde (E , >) est une partieX ⊆ E, qui munie de la meme loi de composition > sur E , estun monoıde.
Proposition 1.35
(X , >) est un sous-monoıde de (E , >, e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi > : x>y ∈ X ,∀x , y ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Sous-monoıdes
Definition 1.34
Un sous-monoıde d’un monoıde (E , >) est une partieX ⊆ E, qui munie de la meme loi de composition > sur E , estun monoıde.
Proposition 1.35
(X , >) est un sous-monoıde de (E , >, e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi > : x>y ∈ X ,∀x , y ∈ X.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Sous-monoıdes
Definition 1.34
Un sous-monoıde d’un monoıde (E , >) est une partieX ⊆ E, qui munie de la meme loi de composition > sur E , estun monoıde.
Proposition 1.35
(X , >) est un sous-monoıde de (E , >, e) si et seulement si :
X ⊆ E.
e ∈ X.
X est stable pour la loi > : x>y ∈ X ,∀x , y ∈ X.
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Monoıdes
Ensembles de generateurs
Definition 1.36
Une partie F ⊆ E d’un d’un monoıde (E , >) est un ensemblede generateurs de (E , >), si tout element de E\{e}s’exprime sous forme d’une decomposition d’elements de E .
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de generateurs de (IN , +).
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble degenerateurs de (IN , ×).
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Monoıdes
Ensembles de generateurs
Definition 1.36
Une partie F ⊆ E d’un d’un monoıde (E , >) est un ensemblede generateurs de (E , >), si tout element de E\{e}s’exprime sous forme d’une decomposition d’elements de E .
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de generateurs de (IN , +).
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble degenerateurs de (IN , ×).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Ensembles de generateurs
Definition 1.36
Une partie F ⊆ E d’un d’un monoıde (E , >) est un ensemblede generateurs de (E , >), si tout element de E\{e}s’exprime sous forme d’une decomposition d’elements de E .
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de generateurs de (IN , +).
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble degenerateurs de (IN , ×).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Ensembles de generateurs
Definition 1.36
Une partie F ⊆ E d’un d’un monoıde (E , >) est un ensemblede generateurs de (E , >), si tout element de E\{e}s’exprime sous forme d’une decomposition d’elements de E .
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de generateurs de (IN , +).
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble degenerateurs de (IN , ×).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Ensembles de generateurs
Definition 1.36
Une partie F ⊆ E d’un d’un monoıde (E , >) est un ensemblede generateurs de (E , >), si tout element de E\{e}s’exprime sous forme d’une decomposition d’elements de E .
Exemples 1.37
{1} est un ensemble de generateurs de (IN , +).
L’ensemble des nombres premiers est un ensemble degenerateurs de (IN , ×).
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Monoıdes
Ensembles de generateurs independants
Definition 1.38
Si F ⊆ E est un ensemble de generateurs de (E , >) et sichaque element x 6= e possede une decomposition uniquedans E , alors F est dis un ensemble de generateursindependants de E .
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de generateurs independants de(IN , +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemblede generateurs independants de (IN , ×).
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Monoıdes
Ensembles de generateurs independants
Definition 1.38
Si F ⊆ E est un ensemble de generateurs de (E , >) et sichaque element x 6= e possede une decomposition uniquedans E , alors F est dis un ensemble de generateursindependants de E .
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de generateurs independants de(IN , +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemblede generateurs independants de (IN , ×).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Ensembles de generateurs independants
Definition 1.38
Si F ⊆ E est un ensemble de generateurs de (E , >) et sichaque element x 6= e possede une decomposition uniquedans E , alors F est dis un ensemble de generateursindependants de E .
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de generateurs independants de(IN , +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemblede generateurs independants de (IN , ×).
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Ensembles de generateurs independants
Definition 1.38
Si F ⊆ E est un ensemble de generateurs de (E , >) et sichaque element x 6= e possede une decomposition uniquedans E , alors F est dis un ensemble de generateursindependants de E .
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de generateurs independants de(IN , +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemblede generateurs independants de (IN , ×).
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Monoıdes
Ensembles de generateurs independants
Definition 1.38
Si F ⊆ E est un ensemble de generateurs de (E , >) et sichaque element x 6= e possede une decomposition uniquedans E , alors F est dis un ensemble de generateursindependants de E .
Exemples 1.39
{1} est un ensemble de generateurs independants de(IN , +).
L’ensemble des nombres premiers n’est pas un ensemblede generateurs independants de (IN , ×).
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Monoıdes
Monoıdes libres
Definition 1.40
Un monoıde libre E est un monoıde possedant un ensemblede generateurs independants.
Exemples 1.41
Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un monoıdelibre. En effet, A est un ensemble de generateursindependants de A∗.
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Monoıdes
Monoıdes libres
Definition 1.40
Un monoıde libre E est un monoıde possedant un ensemblede generateurs independants.
Exemples 1.41
Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un monoıdelibre. En effet, A est un ensemble de generateursindependants de A∗.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Monoıdes
Monoıdes libres
Definition 1.40
Un monoıde libre E est un monoıde possedant un ensemblede generateurs independants.
Exemples 1.41
Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un monoıdelibre. En effet, A est un ensemble de generateursindependants de A∗.
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Monoıdes
Monoıdes libres
Definition 1.40
Un monoıde libre E est un monoıde possedant un ensemblede generateurs independants.
Exemples 1.41
Si A est un alphabet non vide, alors A∗ est un monoıdelibre. En effet, A est un ensemble de generateursindependants de A∗.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.42
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}(note L + M en theorie des langages).
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union possede un element neutre : ∅.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.42
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}(note L + M en theorie des langages).
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union possede un element neutre : ∅.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.42
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}(note L + M en theorie des langages).
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union possede un element neutre : ∅.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.42
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}(note L + M en theorie des langages).
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union possede un element neutre : ∅.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.42
Union : L, M ⊆ A∗ : L ∪M = {w ∈ A∗ | w ∈ L ou w ∈ M}(note L + M en theorie des langages).
Proposition 1.43
L’union est associative.
L’union est commutative.
L’union possede un element neutre : ∅.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.44
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection possede un element neutre : A∗.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.44
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection possede un element neutre : A∗.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.44
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection possede un element neutre : A∗.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.44
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection possede un element neutre : A∗.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.44
Intersection : L, M ⊆ A∗ : L ∩M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw ∈ M}.
Proposition 1.45
L’intersection est associative.
L’intersection est commutative.
L’intersection possede un element neutre : A∗.
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Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.46
Complementaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w 6∈ L}.
Definition 1.47
Difference : L, M ⊆ A∗ : L\M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw 6∈ M}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.46
Complementaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w 6∈ L}.
Definition 1.47
Difference : L, M ⊆ A∗ : L\M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw 6∈ M}.
Prof. A. Dargham Chapitre 1 : Introduction aux langages formels
Operations sur les langages
Operations ensemblistes
Definition 1.46
Complementaire : L ⊆ A∗ : L = {w ∈ A∗ | w 6∈ L}.
Definition 1.47
Difference : L, M ⊆ A∗ : L\M = {w ∈ A∗ | w ∈ L etw 6∈ M}.
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Concatenation :L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L etv ∈ M}.
2 Puissance : L ⊆ A∗ et n ≥ 0 un entier. On definit lapuissance neme du langage L, note Ln, par :
Ln =
{{ε} si n = 0;
Ln−1L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln represente le langage de tous les mots obtenus enconcatenant n mots pris dans L.
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Concatenation :L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L etv ∈ M}.
2 Puissance : L ⊆ A∗ et n ≥ 0 un entier. On definit lapuissance neme du langage L, note Ln, par :
Ln =
{{ε} si n = 0;
Ln−1L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln represente le langage de tous les mots obtenus enconcatenant n mots pris dans L.
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Concatenation :L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L etv ∈ M}.
2 Puissance : L ⊆ A∗ et n ≥ 0 un entier. On definit lapuissance neme du langage L, note Ln, par :
Ln =
{{ε} si n = 0;
Ln−1L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln represente le langage de tous les mots obtenus enconcatenant n mots pris dans L.
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Concatenation :L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L etv ∈ M}.
2 Puissance : L ⊆ A∗ et n ≥ 0 un entier. On definit lapuissance neme du langage L, note Ln, par :
Ln =
{{ε} si n = 0;
Ln−1L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln represente le langage de tous les mots obtenus enconcatenant n mots pris dans L.
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Concatenation :L, M ⊆ A∗ : L.M = LM = {w ∈ A∗ | w = uv , u ∈ L etv ∈ M}.
2 Puissance : L ⊆ A∗ et n ≥ 0 un entier. On definit lapuissance neme du langage L, note Ln, par :
Ln =
{{ε} si n = 0;
Ln−1L si n ≥ 1.
Remarques 1.48
Ln represente le langage de tous les mots obtenus enconcatenant n mots pris dans L.
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Miroir : L ⊆ A∗ : L = {w | w ∈ L}.2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : notee L∗ et definie
par :
L∗ = ∪∞n=0Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
3 Etoile positive : notee L+ et definie par :
L+ = ∪∞n=1Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ...
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Miroir : L ⊆ A∗ : L = {w | w ∈ L}.
2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : notee L∗ et definiepar :
L∗ = ∪∞n=0Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
3 Etoile positive : notee L+ et definie par :
L+ = ∪∞n=1Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ...
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Miroir : L ⊆ A∗ : L = {w | w ∈ L}.2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : notee L∗ et definie
par :
L∗ = ∪∞n=0Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
3 Etoile positive : notee L+ et definie par :
L+ = ∪∞n=1Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ...
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Operations sur les langages
Operations langagieres
1 Miroir : L ⊆ A∗ : L = {w | w ∈ L}.2 Etoile (ou Fermeture de Kleene) : notee L∗ et definie
par :
L∗ = ∪∞n=0Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ ... = {ε} ∪ L ∪ L2 ∪ ...
3 Etoile positive : notee L+ et definie par :
L+ = ∪∞n=1Ln = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ ... = L ∪ L2 ∪ L3 ∪ ...
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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Operations sur les langages
Quelques proprietes des operations sur les langagesSoit A un alphabet quelconque.
1 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M + N) = LM + LN
2 ∀L, M , N ⊆ A∗ : (M + N)L = ML + NL
3 ∀L, Mi ⊆ A∗ : L(∪∞i=0Mi) = ∪∞i=0(LMi)
4 ∀L, Mi ⊆ A∗ : (∪∞i=0Mi)L = ∪∞i=0(MiL)
5 ∀L, M , N ⊆ A∗ : L(M ∩ N) ⊆ LM ∩ LN
6 ∀L ∈ A∗ : L+ = LL∗ = L∗L
7 ∀L, M ∈ A∗ : (LM) = ML
8 ∀L ∈ A∗ :˜L = L
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