GEII - Ma3 - Matrices

MA3 (GEII - S3)D - MATRICES

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2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes

PLAN

1. NOTION DE MATRICE1.1 Définition1.2 Matrices élémentaires

2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES2.1 Addition2.2 Multiplication par un scalaire2.3 Transposition2.4 Produit matriciel

3. INVERSE D’UNE MATRICE3.1 Définition3.2 Existence3.3 Déterminant3.4 Inversion d’une matrice

4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES4.1 Système de Cramer

1. NOTION DE MATRICE

1.1 DÉFINITION :

Soit deux espaces vectoriels E et F, avec

dim E = p (1)dim F = n. (2)

Si f est une application linéaire de E dans F, il est possible decaractériser f par un jeu de coefficients que l’on place dans untableau de n lignes et p colonnes : la matrice de f .

REMARQUE

Si M est la matrice de f , on écrit M ∈ Mn,p pour indiquer quec’est une matrice de n lignes et p colonnes. On note (ai,j) sonterme général.

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1.1 DÉFINITION : CONSTRUCTION D’UNE MATRICE

DÉFINITIONSi (−→ej )1≤j≤p est une base de E, la matrice de f est obtenue enrangeant en colonnes les composants de f (−→ej )

EXEMPLEMatrice d’une rotation de centre O dans la base (

−→i ,−→j )

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1.2 MATRICES ÉLÉMENTAIRES :

I matrice ligne (ie vecteur ligne),I matrice colonne (ie vecteur colonne),I matrice carrée,I matrices diagonales,I matrice nulle 0,I matrice identité I.

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2. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

2.1 ADDITION :

DÉFINITIONSoient A et B sont deux matrices deMn,p, la somme A + B estune matrice deMn,p de terme général (ai,j + bi,j).

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2.2 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE :

DÉFINITIONSoit A ∈ Mn,p et α ∈ C, le produit αA est une matrice deMn,pde terme général (αai,j).

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2.3 TRANSPOSITION :

DÉFINITIONSoit A ∈ Mn,p, sa transposée At est la matrice deMp,n, determe général (aj,i).

REMARQUE

Une matrice carrée est symétrique si A = At.

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2.4 PRODUIT MATRICIEL :Soient A et B deux matrices, on souhaite définir le produit AB.

DÉFINITIONSoient A = (ai,j) ∈ Mn,p et B = (bi,j) ∈ Mp,q, le produit AB estla matrice deMn,q de terme général

p

∑k=1

ai,kbk,j. (3)

REMARQUE

Le calcul est aisé en disposant les matrices A et B en quinconce.

REMARQUE

Le produit AB n’est défini que si : nb colA = nb ligB.

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2.4 PRODUIT MATRICIEL : PROPRIÉTÉS

Le produit matricielI n’est pas commutatif ;I est associatif et distributif.

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3. INVERSE D’UNE MATRICE

3.1 DÉFINITION :Si f est l’application linaire sous-jacente à une matrice M, alorset si elle existe, la matrice associées à la fonction f−1 est lamatrice inverse de M.

DÉFINITIONOn appelle inverse de A, si elle existe, la matrice notée A−1

telle que

A.A−1 = A−1A = I (4)

(I étant la matrice identité).

REMARQUE

Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.

EXEMPLEInverse d’un produit.

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3.2 EXISTENCE :

Cherchons à calculer l’inverse de

A =

1 0 12 3 5−1 1 4

. (5)

Pour cela :I cherchons à résoudre le système d’équations représenté

par AX = Y avec X =

xyz

et Y =

abc

.

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3.2 EXISTENCE :

On obtient

A−1 =112

7 1 −3−13 5 −3

5 −1 3

. (6)

REMARQUE

Il est possible de vérifier que AA−1 = A−1A =

1 0 00 1 00 0 1

.

REMARQUE

Le nombre 12 qui apparait au dénominateur du terme enfacteur est important : il s’agit du déterminant de A. Il permetde déterminer si A est inversible ou non.

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3.3 DÉTERMINANT :

Formellement, le déterminant est obtenu de la façon suivante.

DÉFINITIONSoit A une matrice carrée deMn,n, de terme général (ai,j). Sondéterminant, noté |A| ou detA est le nombre

|A| = ∑p∈P

ε(p)a1,p1)a2,p(2) . . . an,p(n), (7)

P étant l’ensemble des permutations possibles des n indices (aunombre de n!) et ε(p) la parité d’une permutation (définie àpartir de l’ordre des indices).

EXEMPLEDéterminant de matrices 2× 2 et 3× 3.

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3.3 DÉTERMINANT : CALCUL PRATIQUE

Pratiquement, on calcule le déterminant selon d’autresméthodes :

I développement par rapport à une rangée,I simplification du déterminant par des opérations sur les

lignes et les colonnes,I en se ramenant à une matrice triangulaire.

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3.3 DÉTERMINANT : DÉVELOPPEMENT PAR RAPPORT

À UNE RANGÉESoient une matrice A = (ai,j).

I Le mineur du terme ai,j est le déterminant noté ∆i,j, obtenuen supprimant la ligne i et la colonne j.

I Le cofacteur du terme ai,j est la quantité (−1)i+j∆i,j.

DÉFINITIONLe déterminant |A| est alors égal à la somme des produits dechacun des éléments d’une rangée (ligne ou colonne) par leurcofacteurs respectifs :

|A| = ∑i(−1)i+j∆i,jai,j (8)

= ∑j(−1)i+j∆i,jai,j (9)

(i et j sont à choisir librement).18 / 23


3.3 DÉTERMINANT :

EXEMPLE

Calculons

∣∣∣∣∣∣2 −1 2−4 3 12 6 −5

∣∣∣∣∣∣ en développant par rapport à la

seconde colonne.

REMARQUE

Il vaut mieux choisir une rangée simple (comportant des 0).

REMARQUE

Il est possible (et conseillé) de faire apparaitre des zéros dansune rangée en ajoutant à une rangée une combinaison linéairedes rangées parallèles. C’est une opération qui conserve ledéterminant.

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3.4 INVERSION D’UNE MATRICE : DÉTERMINANT DE

L’INVERSEOn montre aisément que

detA−1 =1

detA. (10)

REMARQUE

Une matrice carrée n’est inversible que si son déterminant estnul.

DÉFINITIONL’inverse de A, s’il existe, est donné par

A−1 =1A(comA)t. (11)

I comA est la comatrice (ou matrice adjointe) de A, obtenueen remplaçant chaque terme par son cofacteur.

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4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES

4.1 SYSTÈME DE CRAMER :

DÉFINITIONUn système de Cramer est un système de n équations à ninconnues, admettant une solution unique.

THÉORÈMEUn système de Cramer admet la solution unique (x1, x2, . . . , xn)donnée par

xi =∆i

∆, (12)

∆ étant le déterminant de la matrice des coefficients du système et ∆ile déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la colonne i par levecteur colonne des seconds membres des équations.

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4. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES

4.1 SYSTÈME DE CRAMER : RÉSOLUTION MATRICIELLE

En écrivant le système

AX = B, (13)

une résolution matricielle est toujours envisageable (si l’inverseexiste) :

X = A−1B. (14)

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