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Vectores y sus representaciones Matrices y sus representaciones Sistemas Lineales Deteccion de bordes

Principios de filtrado y convolucion en imagenes digitales

Rodrigo Rojas Moraleda

April 8, 2011

Rodrigo Rojas Moraleda — Principios de filtrado y convolucion en imagenes digitales 1/32


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1 Vectores y sus representaciones

2 Matrices y sus representaciones

3 Sistemas Lineales

4 Deteccion de bordes



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3 Sistemas Lineales




Vectoresrepresentaciones

Vector ~v =

x

y

z

Base vectorial ycoordenadas

r

Px

y

Ox

Producto Interno ~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = abt =[a1 a2 a3

] b1b2b3

Norma

∥∥a∥∥2 = aat =√a1a1 + a2a2 + a3a3

Ortogonalidad = ~a ·~b = 0,⊥



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3 Sistemas Lineales




Matricesrepresentaciones

Conjunto deelementosorganizados encolumnas y filasa1,1 a1,2

a2,1 a2,2

Algunas operacionesSumaa1,1 a1,2

a2,1 a2,2

+

b1,1 b1,2

b2,1 b2,2

=

a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2

a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2

Escalamiento

b

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

=

ba1,1 ba1,2

ba2,1 ba2,2

Multiplicaciona1,1 a1,2

a2,1 a2,2

·b1,1 b1,2

b2,1 b2,2

=

a1,1b1,1 + a1,2b2,1 a1,1b1,2 + a1,2b2,2

a2,1b1,1 + a2,2b2,1 a2,1b2,1a2,2b2,2



MatricesOperaciones con vectores

Al Multiplicar una matriz cuadrada a un vector se obtiene otro vectora1,1 a1,2

a2,1 a2,2

·x

y

=

x′

y′

Ejemplo: la matriz derotacion 2Dcoseno(θ) −seno(θ)

seno(θ) coseno(θ)

O

v

v'



Valores propios y vectores propios

A partir de una transformacion A se busca resolver

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

·x

y

= λ

x

y

v'=λv

v v'

Al resolver en una matriz 2D los vectores propios son rotaciones

[V

]=

[~v1 ~v2

]=

coseno(θ) −seno(θ)

seno(θ) coseno(θ)

, ~v1 · ~v2 = 0,⊥

V tAV =

cos(θ) sen(θ)

−sen(θ) cos(θ)

a1,1 a1,2

a2,1 a2,2

cos(θ) −sen(θ)

sen(θ) cos(θ)

=

λ1 0

0 λ2



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3 Sistemas Lineales




Operador del sistema

Un sistema convierte una entrada f(x) en una salida g(x) don de x es unavariable independiente.

f(x) System

Hg(x)

Es requerido que la salida del sistema este completamente determinada porlas entradas.

g(x) = H[f(x)]

H es el operador del sistema que mapea el conjunto de las posibles salidas{g(x)} con cada una de las posibles entradas {f(x)}.



Operador lineal

H es un operador lineal para una clase de entradas {f(x)} si:

H[αifi(x) + αjfj(x)] = αiH[fi(x)] + αjH[fj(x)]

= αigi(x) + ajgj(x)

para toda fi(x) y fj(x) pertenecientes a {f(X)}, donde αi, αj sonconstantes arbitrarias y

gi(x) = H[fi(x)]

es la salida para una entrada arbitraria fi(x) ∈ {f(x)}



Sistema lineal

Un sistema lineal es un sistema descrito por un operador lineal (y respectoa la misma clase de entradas) que obedece las propiedades de escalado(homogeneidad) y de superposicion (aditiva)

H[αf(x)] = αH[f(x)]

H[f1(x) + f2(x)] = H[f1(x)] +H[f2(x)]

H g(x)

f1(x)

f2(x)

+

H

g(x)

f1(x)

f2(x)

+

H



SistemasInvariante en el tiempo / espacio

Un operador H es denominado invariante en el tiempo o invariante espacialpara una clase de entradas {f(x)} si

gi(x) = H[fi(x)] =⇒ gi(x+ x0) = H[fi(x+ x0)]

, ∀ fi(x) ∈ {f(x)} y ∀ x0

H g(x - T)f(x) T

f(x - T)

H g(x - T)f(x) T

g(x)

La forma de la salida no cambia con el retraso de la entrada, la Salida es lamisma si el retraso es colocado en la entrada o en la salida.



SistemaCausal

Un sistema causal es aquel que es no-anticipativo; esto es, que las salidasdependen de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras.

f(x) = 0 x < x0 ⇒ g(x) = H[f(x)] = 0 x < x0

En procesamiento de imagenes digitales, si consideramos la variabledependiente como los pıxeles de la derecha y de la izquierda (el “futuro”) dela posicion actual de la imagen. Entonces tendremos un sistema no-causal.



ConvolucionPulso unitario

La Funcion Delta de Dirac δ(t), conocida tambien como el impulso unitarioo funcion delta es una funcion infinitamente angosta, infinitamente alta,cuya integral tiene un valor unitario.∫ ∞

−∞δ(t) dt = 1

Esta funcion es cero en todas partes excepto en el origen

Propiedades:

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)

∫ ∞−∞

f(t)δ(t) dt =

∫ ∞−∞

f(0)δ(t) dt = f(0)

∫ ∞−∞

δ(t) dt = f(0)

∫ ∞−∞

f(t)δ(x− t) dt = f(x)



ConvolucionRespuesta al impulso

∫ ∞−∞

f(t)δ(x− t) dt = f(x)

g(x) = H[f(x)] g(x) = H

[∫ ∞−∞

f(a)δ(x− a)da

]g(x) =

∫ ∞−∞

f(a)H [δ(x− a)] da =

∫ ∞−∞

f(a)h (x, a)) da

Se denomina respuesta al impulso al termino

h(x, a) = H [δ(x− a)]

Que es la respuesta del sistema lineal a un pulso unitario localizado en laposicion x



ConvolucionConvolucion Integral

La expresion

g(x) =

∫ ∞−∞

f(a)h(x, a) da

indica que la respuesta de un sistema lineal queda caracterizada por larespuesta al impulso.

Si el operador H, es invariante entonces.

H [δ(x− a)] = h(x− a)

y la integral de superposicion.

g(x) =

∫ ∞−∞

f(a)h(x− a) da

convolucion Integral



ConvolucionConvolucion Integral

g(x) =

∫ ∞−∞

f(a)h(x− a) da

Considerando que a es una variable de integracion

g(x) = f(x) ~ h(x)

donde

f(x) ~ h(x) =

∫ ∞−∞

f(a)h(x− a) da



ConvolucionRepresentacion discreta

δ [n] =

{1 si n = 00 otro caso

f [n] =∞∑

k=−∞

f [k] δ [n− k]

La suma de convolucion queda expresada como:

g [n] =

∞∑k=−∞

f [k]h [n− k]

g [n] = f [n] ~ h [n]



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3 Sistemas Lineales




Deteccion de bordesFiltros del gradiente

Un borde es una transicion local, de un objeto a otro sin sernecesariamente una frontera, solo es una transicion localmenteidentificable.

Variaciones fuertes de la intensidad que corresponden a las fronteras delos objetos visualizados.

Metodos basados en el gradiente: detectan los bordes en base a lasderivadas espaciales de la imagen aproximadas en forma de operadoresde convolucion.



GradienteDeteccion de bordes

Considerando una imagen como un campo escalar z = E(x, y), por ejemplode la intensidad de los pixeles.

O

=λv

v' y

x

E

∂E / ∂x

∂E / ∂y

(x,y,E(x,y))

Figure: Representacion de la evaluacion de la funcion de valor de un planotangencial (x, y, E(x, y)) a un pixel

Gradiente grad(E) =(

∂E∂x, ∂E

∂y

)tVectores Normales: n− =

(∂E∂x, ∂E

∂y,−1

)t, n+ =

(− ∂E

∂x,− ∂E

∂y,+1

)t



GradienteDeteccion de bordes

O

=λv

v' y

x

E

∂E / ∂x

∂E / ∂y

(x,y,E(x,y))

Vector gradiente, ∇E =

∂E∂x

∂E∂y

=

Gx

Gy

Magnitud vector gradiente ‖∇E‖ =

[∂E∂x

2+ ∂E

∂y

2] 1

2

Orientacion del vector gradiente: φ(∇f) = tan−1(

GxGy

)



Deteccion de bordesAproximacion de derivadas

Una manera de aproximar las derivadas en un entorno discreto es utilizarun operador explicito del tipo {+1,−1} que calcule E(xi)− E(xj) para dospixeles en un entorno. Esta operacion particular recibe el nombre dediferencias hacia adelante.

∂I∂x≈ I(x+ 1, y)− I(x, y)

3 4 51 1 1 1 2 5 5F[n]

F'[n]=F[n+1] - F[n-1]2 2 10 0 0 1 2 0 0

F'[n]=F[n] - F[n-1]

2 2 10 0 0 1 2 0 0

3 3 31 1 1 3 3 3 1F[n]

F'[n]=F[n+1] - F[n-1]0 0 -20 0 2 2 0 -2 0

F'[n]=F[n] - F[n-1]

1 1

0

0 0 00 0 0 2 0 -2 0 0



Deteccion de bordesKernels de convolucion

Conexion con sistemas LTIPuesto que las derivadas son operadores lineales e invariantes, laaproximacion en el calculo del gradiente es realizado normalmente porconvolucion con una funcion discreta denominada Kernel.

Se han propuesto numerosos kernels para aproximar este operador.

Roberts Kernels

∂E∂x≈ E(i+ 1, j + 1)− E(i, j) ∂E

∂y≈ E(i+ 1, j)− E(i, j + 1)

Gx =+1 0

0 -1Gy=

0 +1

-1 0

‖∇E‖ =√

(Gx ~ E)2 + (Gy ~ E)2




Prewitt Kernels

∂E∂x≈ E(i+ 1, j)− E(i− 1, j)/2 ∂E

∂y≈ E(i, j + 1)− E(i, j − 1)/2

Esto corresponde con un Kernel de convolucion del tipo

Gx = -1 0 1

Sin embargo este kernel muestra empıricamente ser sensible al ruido. Elenfoque de Prewitt reduce este problema mediante el calculo de unpromedio en y cuando se calcula la componente x del gradiente y promedioen x en la componente y del gradiente.

Gx =

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

Gy=

-1 -1 -1

0 0 0

1 1 1

‖∇E‖ =√

(Gx ~ E)2 + (Gy ~ E)2




Sobel Kernel

∂E∂x≈ E(i+ 1, j)− E(i− 1, j)/h ∂E

∂y≈ E(i, j + 1)− E(i, j − 1)/h

En la promediacion aplica mayor peso a los pıxeles centrales..

Gx =

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

Gy=

-1 -2 -1

0 0 0

1 2 1

Este tipo de Kernel de convolucion se puede considerar como unaaproximacion 3x3 de la primera derivada de un kernel Gaussiano. Es decires equivalente a convolucionar con un kernel gaussiano de 3x3 y luegocalcular sus derivadas.

∂(I~G)∂x

= E ~ ∂G∂x



Deteccion de bordesMetodos de la segunda derivada

Metodos de la segunda derivada

Operadores que buscan maximos en la magnitud del gradiente. En el casounidimensional encontrar el borde ideal es equivalente a encontrar el puntodonde la derivada es maxima o mınima dependiendo del sentido de apendiente. Una forma de encontrar estos puntos es volver a derivar yencontrar los puntos donde la derivada es 0.

La busqueda de bordes optimos consiste en encontrar donde la segundaderivada es 0. Este punto (D′′ = 0) raramente se consigue en imagenes



Deteccion de bordesPuntos de inflexion

Proporcionan dos puntos de transicion uno positivo en la entrada a untransicion y otro a la salida.

son muy sensibles al ruido



Deteccion de bordesPuntos de inflexion



Deteccion de bordesLaplaciano

Kernel Laplaciano

El Laplaciano es invariante rotacional, y es posible encontrar los bordes dela imagen buscando los puntos donde el laplaciano es 0 ( Marr-Hildrethoperador)



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Rodrigo Rojas [email protected]


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