Casio 93.11.2

HOAØNG HOÀ NAM (chuû bieân)

Kinh nghieäm giaûi Toaùn treân

maùy tính Casio II

In baûn laàn hai

Phieân baûn: 93.11.2

Naêm hoïc: 20Naêm hoïc: 20Naêm hoïc: 20Naêm hoïc: 2011111111 ---- 2012012012012222

Thaân chaøo caùc baïn ñoïc!

Vôùi cuoán saùch “Kinh nghieäm giaûi Toaùn treân maùy tính Casio II” phaùt haønh vaøo naêm 2009 ñaõ nhaän ñöôïc raát phaûn hoài töø caùc baïn ñoïc. Tuy kieán thöùc naèm trong chöông trình THCS nhöng noù cuõng ñöôïc caùc baïn THPT quan taâm, vì taøi lieäu trình baøy nhieàu phöông phaùp, thuaät toaùn aùp duïng vaøo ñöôïc kieán thöùc THPT. Trong phieân baûn cuõ 93.09.1 ñaõ coù khaù nhieàu loãi sai ñöôïc phaûn hoài. Ñaëc bieät trong ñoù coù 2 baøi giaûi sai traàm troïng laø baøi 4.4.1 vaø 4.7.8. Ngoaøi ra, coù moät soá daïng baøi khoâng thích hôïp vôùi moân hoïc naøy.

Phieân baûn môùi 93.11.2 tuy ñaõ treã nhöng toâi vaãn coá gaéng hoaøn thieän. Phieân baûn 2 ñaõ coù moät soá caûi tieán ñaùng keå, caäp nhaät theâm nhöõng phöông phaùp môùi vaø moät soá daïng baøi taäp hay. Caäp nhaät theâm caùch söû duïng chi tieát hai loaïi maùy tính phoå bieán nhaát hieän nay laø fx 570MS; fx 570ES vaø theâm caùc baøi taäp môû roäng khoù. Ñeå giuùp baïn ñoïc deã tieáp thu ngoaøi vieäc saép xeáp theo thöù töï töø deã ñeán khoù, phieân baûn môùi coøn chöùng minh caùc coâng thöùc vaø neâu leân ñònh nghóa caùc ñònh lyù… Baïn ñoïc haõy töï mình khaùm phaù trong phieân baûn môùi naøy!

Naêm hoïc 2012 – 2013, phöông chaâm cho phieân baûn môùi 93.12.3 laø “Tính ñuùng, tính nhanh” seõ caäp nhaät theâm nhieàu daïng baøi taäp môùi hay, nhieàu phöông phaùp tính toaùn vaø loaïi boû nhieàu daïng baøi taäp khoâng phuø hôïp trong phieân baûn 93.1.2… Phieân baûn môùi naøy höùa heïn ñaùnh daáu böôùc naâng cao vöôït baäc. Raát mong nhaän ñöôïc yù kieán ñoùng goùp töø baïn ñoïc gaàn xa. Chuùc caùc baïn thaønh coâng trong cuoäc soáng vaø luoân luoân vui veû.

Taùc giaû

Hoaøng Hoà Nam

PHAÀN II

HÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIOHÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIOHÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIOHÖÔÙNG DAÃN SÖÛ DUÏNG MAÙY CASIO FX 570ms VAØ FX 570ESFX 570ms VAØ FX 570ESFX 570ms VAØ FX 570ESFX 570ms VAØ FX 570ES

Kinh nghieäm giaûi Toaùn treân maùy tính Casio II

Bieân soaïn: Hoaøng Hoà Nam Trang 5

BAØI 1. CAÙC CHÖÙC NAÊNG CÔ BAÛN

� Nhöõng quy öôùc maëc ñònh: � Caùc phím chöõ maøu traéng thì aán tröïc tieáp. � Caùc phím chöõ maøu vaøng aán sau phím:

� Caùc phím chöõ maøu ñoû aán sau phím: I, CAÙC PHÍM CHUNG

� Nhöõng löu yù: - Caùc daáu ngoaëc cuoái cuøng cuûa bieåu thöùc coù theå boû qua. - Caùc nhaäp moät soá vaø caùc pheùp tính thoâng thöôøng:

TT Nhaäp Fx 570MS Fx 570ES

1 Phaân soá 2011

2012

. .

2 Hoãn soá 91993

3

.

.

3 Tính ( )3 6 25× + .

.

4 Tính 4 8

5 73

+×

.

.

- Ñoái vôùi maùy fx 570MS moät soá bieåu thöùc phöùc taïp caàn theâm daáu “(“

TT Caùc chöùc naêng Fx 570MS Fx 570ES 1 Môû maùy . . 2 Taét maùy . . 3 Nhaäp töøng chöõ soá … …

4 Ngaên caùch phaàn nguyeân vaø phaàn thaäp phaân

5 Caùc pheùp tính coäng, tröø, nhaân, chia vaø daáu baèng

Môû ngoaëc, ñoùng ngoaëc . . . . 6 Daáu tröø cuûa soá aâm . .

7 Di chuyeån con troû ñeán vò trí qua laïi treân maøn hình ñeå söõa chöõa, thay theá

8 Xem laïi caùc bieåu thöùc ñaõ tính . . . . 9 Xoùa 1 kí töï vöøa nhaäp . . . . 10 Xoùa heát kí töï vöøa nhaäp . . . .



II, PHÍM HAØM

TT Caùc chöùc naêng Fx 570MS Fx 570ES

1 Tính giaù trò sin, cos, tan cuûa goùc.

2

Giaù trò ngöôïc chæ goùc (Töø 00 ñeán 1800) töôùng öùng vôùi sin, cos, tan cuûa noù.

, ,

, ,

3 Bình phöông, laäp phöông . , . , 4 Muû . . . . 5 Caên baäc hai, caên baäc ba , . , 6 Caên baäc x . . . . 7 Giai thöøa x! = 1.2.3. . .(x-1).x . . . . 8 Ngòch ñaûo . . . .

9 Chuyeån ra daïng 10na× vôùi n giaûm

10 Chuyeån ra daïng 10na× vôùi n giaûm

11 Giaù trò tuyeät ñoái (Abs) . .

12 Logarit thaäp thaân, logarit töï nhieân (�)

, ,

13 Logarit vôùi cô soâ baát kì (�) Khoâng coù . .

14 Ñoåi toïa ñoä Ñeà Caùc ra toïa ñoä coù cöïc – Pol( (�)

15 Ñoåi toïa ñoä coù cöïc ra toïa ñoä Ñeà Caùc– Rec( (�)

16 Laáy soá ngaãu nhieân - RAN# . . . .

� Nhöõng löu yù: - Caùc nhaäp moät haøm thoâng thöôøng:

TT Nhaäp Fx 570MS Fx 570ES

1 Tính sin 42 24 '°

2 Tính 312

3 Tính 3 2012 284−

4 Tính 5 30 365− +

5 Tính 1.2.3...2012 .

6 Tính 1

2012 . .

- Caàn thao taùc nhieàu ñeå bieát thöù töï öu tieân caùc pheùp tính.



III, PHÍM NHÔÙ

TT Caùc chöùc naêng Fx 570MS Fx 570ES 1 Bieán nhôù Ans (Keát quaû sau

khi aán töï ñoäng gaùn vaøo)

2 Caùc bieán nhôù A, B, C … M. Maëc ñònh giaù trò cuûa bieán laø:0

, …

, …

3 Coäng theâm vaøo bieán nhôù M . . . . 4 Tröø bôùt ra ôû bieán soá M . . . . 5 Xem giaù trò bieán nhôù (Bieán

A, B … M) . ,

… . ,

… 6 Gaùn giaù trò vaøo bieán nhôù -

STO (Ví duï gaùn vaøo bieán A).

7 Xoùa giaù trò bieán nhôù . . . .

� Ví duï tính: ( )(10 11 12) 13 14+ × × +

Caùch 1: Söû duïng bieán nhôù Ans + Tính keát quaû cuûa (10 11 12)+ × vaø töï ñoäng noù seõ löu vaøo bieán Ans:

+ Tieáp theo ta söû duïng keát quaû ñoù nhaân tieáp vôùi ( )13 14+ :

Caùch 2: Söû duïng caùc bieán nhôù A, B, C … M

+ Tính keát quaû cuûa (10 11 12)+ × vaø löu vaøo bieán A:

+ Tính keát quaû cuûa (13 14)+ vaø löu vaøo bieán B:

+ Tieáp theo ta laáy bieán A nhaân cho bieán B:

IV, CAÙC MODE TÍNH TOAÙN

TT Chöùc naêng MODE Teân MODE Fx 570MS Fx 570ES 1 Tính toaùn chung (Maëc ñònh) COMP . . . . 2 Tính toaùn vôùi soá phöùc (�) CMPLX . . . . 3 Thoáng keâ SD, STAT . . . . 4 Hoài quy (�) REG, STAT . . . . 5 Heä ñeám cô soá N (�) BASE - N . . . .

6 Giaûi phöông trình baäc 2, baäc 3. Heä phöông trình baäc nhaát 2, 3 aån.

EQN

7 Ma traän (�) MATRIX . . . 8 Toaùn vectô (�) VECTOR . . . 9 Laäp baûng soá theo bieåu thöùc TABLE Khoâng coù . .



IV, CAØI ÑAËT MAÙY

TT Chöùc naêng Teân Fx 570MS Fx 570ES

1 Ñònh daïng nhaäp/xuaát (Math: Bieåu thò gioáng SGK. Linear: Phaân soá, bieåu thöùc hieän thò chung 1 doøng)

MthIO Khoâng coù

LineIO Maëc ñònh

2 Tính toaùn vôùi caùc ñôn vò goùc (Maëc ñònh ôû ñôn vò ñoä)

Deg (Ñoä) Rad (�) Gra (�)

3 Dạng hiện thị

Làm tròn 0~9 chữ số ở phần thập phân. Fix 0~9?

Hieän thò 1~10 chöõ soá Sci 0~9?

Ghi soá x döôùi daïng giôùi haïn aán ñònh: -Norm 1: 2 1010 10x− ≤ <

-Norm 2: 9 1010 10x− ≤ <

Ngoaøi giôùi haïn thì ghi baèng: 10ba×

Norm 1~2?

Phaân soá

Hoãn soá (Maëc ñònh)

4 Mode CMPLX

Hieän thò keát quaû soá phöùc (�) Khoâng coù

5 Mode STAT Hieän thò coät taàn soá trong thoáng keâ Khoâng coù

6 Ngaên caùch phaàn nguyeân vaø phaàn thaäp phaân ôû keát quaû baèng daáu “.”

7 Ngaên caùch phaàn nguyeân vaø phaàn thaäp phaân ôû keát quaû baèng daáu “,”

8 Chænh ñoä töông phaøn maøn hình Khoâng coù

9 Xoùa caùc mode ñaõ caøi ñaët

10 Xoùa taát caû (Mode caøi ñaët, bieán nhôù)

� Ñoåi phaân soá, hoãn soá vaø soá thaäp phaân (Maùy ôû cheá ñoä maëc ñònh)

TT Chöùc naêng Fx 570MS Fx 570ES 1 Ñoåi qua laïi hoãn soá (phaân soá) vaø soá thaäp phaân 2 Ñoåi qua laïi phaân soá vaø hoãn soá



BAØI 2. CAÙC CHÖÙC NAÊNG NAÂNG CAO

I, THAO TAÙC SÖÛA, XOÙA BIEÅU THÖÙC:

Thoâng tin caàn bieát: Maøn hình maùy tính coù khaû naêng nhaän moät bieåu thöùc khoâng quaù 79 böôùc. Khi ta aán moät phím soá hay moät phím toaùn hoïc thæ con troû treân maøn hình dòch chuyeån moät böôùc, aán phím hay khoâng dòch chuyeån böôùc naøo. Caùc bieåu thöùc coù ñoä daøi hôn 79 böôùc caàn taùch ra caùc bieåu thöùc nhoû vaø theâm vaøo söû duïng caùc bieán nhôù ñeå tính toaùn.

Söû duïng caùc phím ñeå di chuyeån con troû ñeán choã caàn söõa hoaëc thay theá: 1. AÁn phím deå xoùa moät kí töï hoaëc haøm. 2. AÁn phím ñeå chuyeån con troû sang traïng thaùi thay theá. Ñeå thoaùt khoûi cheá ñoä

cheøn ta aán phím hoaëc aán phím

II, GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT 2, 3 AÅN

1, Phöông trình baäc n haát 2 aån coù daïng:

=+

=+

222

111

cybxa

cybxa

Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Unknowns: 2) vaø nhaäp caùc heä soá a1, b1, c1, a2, b2, c2. Quy trình thöïc hieän Fx 570MS Fx 570ES

Böôùc 1: Vaøo EQN (Unknowns: 2) Böôùc 2: Nhaäp heä soá a1, b1, c1, a2, b2, c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

a1 b1 c1 a2 b2 c2

Böôùc 3: Xem nghieäm Duøng phím: Duøng phím: � Chuù yù: Maùy baùo loãi “Math ERROR” laø heä coù voâ soá caëp nghieäm hoaëc voâ nghieäm. � Ví duï: Giaûi heä phöông trình:

a,

=+

=+

654

32

yx

yx b,

=+

=+

642

32

yx

yx

Caâu Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû

a

=

−=

2

1

y

x

b

Voâ soá caëp nghieäm thoõa.

2, Phöông trình baäc n haát 3 aån coù daïng:

=++

=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Unknowns: 3) vaø nhaäp caùc heä soá a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3.

Quy trình thöïc hieän Fx 570MS Fx 570ES Böôùc 1: Vaøo EQN (Unknowns: 2) Böôùc 2: Nhaäp heä soá a1, b1, c1, a2, a1 b1 c1 d1 a1 b1 c1 d1



b2, c2 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3

a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3

Böôùc 3: Xem nghieäm Duøng phím: Duøng phím:

� Chuù yù: Maùy baùo loãi “Math ERROR” laø heä coù voâ soá caëp nghieäm hoaëc voâ nghieäm. � Ví duï: Giaûi heä phöông trình:

=++

=++

=++

4365

5432

4321

zyx

zyx

zyx

Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû

=

=

−=

1

1

1

z

y

x

III, GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI, BAÄC BA

1, Phöông trình baäc hai coù daïng: 0.. 2 =++ cxbxa

Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Degree: 2) vaø nhaäp caùc heä soá a, b, c. Quy trình thöïc hieän Fx 570MS Fx 570ES

Böôùc 1: Vaøo EQN (Degree: 2) Böôùc 2: Nhaäp heä soá a, b, c a b c a b c Böôùc 3: Xem nghieäm Duøng phím: Duøng phím:

� Chuù yù: Trong chöông trình THCS khoâng hoïc soá phöùc. Neáu coù nghieäm daïng a+bi, ta coi laø khoâng toàn taïi nghieäm.

� Ví duï: Giaûi heä phöông trình: a, 0232 =+− xx b, 012 =++ xx

Caâu Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû

a

=

=

2

1

2

1

x

x

b

Voâ nghieäm.

2, Phöông trình baäc ba coù daïng: 0... 23 =+++ dxcxbxa

Ñeå giaûi ta caàn vaøo mode EQN (Degree: 3) vaø nhaäp caùc heä soá a, b, c, d. Quy trình thöïc hieän Fx 570MS Fx 570ES

Böôùc 1: Vaøo EQN (Degree: 3) Böôùc 2: Nhaäp heä soá a, b, c a b c d a b c d Böôùc 3: Xem nghieäm Duøng phím: Duøng phím:



� Chuù yù: Trong chöông trình THCS khoâng hoïc soá phöùc. Neáu coù nghieäm daïng a+bi, ta coi laø khoâng toàn taïi nghieäm.

� Ví duï: Giaûi heä phöông trình: 06116 23 =−+− xxx

Quy trình maùy fx 570MS Quy trình maùy fx 570ES Keát quaû

=

=

=

3

2

1

3

2

1

x

x

x

IV, THOÁNG KEÂ

Xeùt baûng thoâng keâ 5 bieán löôïng: Bieán löôïng x1 x2 x3 x4 x5 Taàn soá n1 n2 n3 n4 n5

Quy trình thöïc hieän Fx 570MS Fx 570ES

Böôùc 1: Vaøo mode thoáng keâ . . . .

Böôùc 2: Nhaäp soá lieäu vaøo maùy

x1 n1 x2 n2 x3 n3 x4 n4 x5 n5

(Theâm coät taàm soá) x1 x2 x3 x4 x5 n1 n2 n3

n4 n5

Böôùc 3: Xuaát keát quaû caàn tìm

Toång bình phöông caùc bieán ∑ 2x

Toång caùc bieán ∑ x Toång taàn soá (n) Trung bình x Ñoä leäch chuaån χση Phöông sai (Bình phöông ñoä leäch chuaån)

Ñoä leäch chuaån hieäu chænh

Phöông sai hieäu chænh Giaù trò lôùn nhaát cuûa bieán löôïng (max)

Khoâng coù

Giaù trò nhoû nhaát cuûa bieán löôïng (min)

Khoâng coù

Chænh söûa soá lieäu Duøng phím hieäu chænh



� Ví duï: Cho maãu soá lieäu döôùi. Tính x vaø phöông sai. Bieán löôïng 63 15 17 4 7 Taàn soá 14 5 9 1 2

Fx 570MS Fx 570ES Keát quaû . .

(giaù trò TB) (Phöông sai)

. . (giaù trò TB)

(Phöông sai)

387,36≈x Phöông sai: 302,592≈

V, TÌM HIEÅU CHÖÙC NAÊNG CALC, SOLVE

1, Chöùc naêng CALC: Duøng ñeå laëp laïi bieåu thöùc nhaäp vaøo maùy tính Xeùt ví duï: 2, Chöùc naêng SLOVE: Duøng ñeå tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa moät phöông trình phöùc taïp Xeùt ví duï: VI, TÌM HIEÅU CHÖÙC NAÊNG CHIA LAÁY PHAÀN NGUYEÂN (Môùi)

Fx 570MS Fx 570ES

Chuù yù: Ñaây thöïc chaát laø pheùp tính toaøn treân heä cô soá 10 nhöng nhôø vaøo chöùc naêng naøy ta coù theå thöïc hieän pheùp chia laáy phaàn nguyeân, öùng duïng vaøo laøm nhieàu baøi taäp hay!

Ví duï: Thöïc hieän laáy phaàn nguyeân cuûa pheùp chia 2012 cho 93: Fx 570MS Fx 570ES

Keát quaû laø phaàn nguyeân cuûa pheùp chia.

PHAÀN III

Laøm quen caùc baøi toaùn Laøm quen caùc baøi toaùn Laøm quen caùc baøi toaùn Laøm quen caùc baøi toaùn ñôn giaûnñôn giaûnñôn giaûnñôn giaûn



BAØI 1. TÍNH GIAÙ TRÒ CUÛA BIEÅU THÖÙC

Daïng 1: Xaây döïng quy trình aán phím bình thöôøng: 15...321 ++++=A ( )180496213)18013649( 222 ×××−×+=B

++÷

−÷

+= 7,35

225,1

4

6

4

31

5

22

3

11C

3333 3 25202453 +−−−=D

33

33

3

3 2621

18

21

542126200 −

++

+++=E

Giaûi

Ñaùp soá: A = 120; B = 1; C = 57

112; D = 2,63070; E = 8

Löu yù ñoái vôùi caâu D, E neáu baïn duøng maùy tính fx 570MS thì phaûi chuù yù theâm môû ngoaëc vaø ñoùng ngoaë. Neáu khoâng coù maùy tính hieåu sai veà thöù töï thöïc hieän caùc pheùp tính.Vieäc söû duïng maùy tính fx 570ES hieän thò gioáng saùch giao khoa raát deã ñeå laøm caùc baøi taäp naøy..

Ví duï quy trình baám phím sai treân maùy tính fx 570MS: 3 × shift 3 5 - shift 3 4 -

shift 3 2 - shift 3 20 + shift 3 25 = (Ñaùp soá sai: 1,285259478)

Nguyeân nhaân laø phaûi môû theâm ngoaëc vì maùy tính seõ hieàu nhaàm bieåu thöùc. Quy trình baám

phím ñuùng treân maùy tính fx 570MS: 3 x ( shift 3 ( 5 - shift 3 4 ) ) - shift 3 2 - shift

3 20 + shift 3 25 = (Ñaùp soá: 2,630704324)

Daïng 2: AÙp duïng coâng thöùc ñeå tính: 2012...321 ++++=F 2011...531 ++++=G

Giải

Caùch 1: Söû duïng coâng thöùc hoïc ñöôïc ôû lôùp 8 (ôû baøi luyeän taäp). Coâng thöùc nay ta coù theå hieåu noâng na laø:

- Laáy soá cuoái tröø soá ñaàu chia cho böôùc nhaûy cuûa noù coäng theâm 1 laø ra soá soá haïng cuûa daõy. - Ta ñem soá ñoù chia cho 2 ñöôïc soá caëp coù toång baêng nhau (Baèng soá ñaàu coäng soá cuoái). - Ta ñem soá treân nhaân vôùi toång soá ñaàu vaø soá cuoái ñöôïc keát quaû caàn tính.

( ) 202507812012.2

112012=+

+−=F ( ) 101203612011.

2

12

12011

=+

+−

=G

Caùch 2: Söû duïng chöùc naêng tính toång xích-ma treân maùy tính fx 570ES ñeå tính:

∑=2012

1

xF coù nghóa laø toång caùc x khi x chaïy töø 1 ñeán 2012

Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: shift alpha X 1 2012 =

Töông töï: ( )∑ +=1005

0

12xG coù nghóa laø toång (2x +1) khi x chaïy töø 0 ñeán 1005.



Daïng 3: Taùch ra laøm nhieàu bieåu thöùc nhoû:

( )5

45,02,1

3

15

25

104,6

25,15

4.8

17

22

4

13

9

56

7

4

25

208,1

÷×++−

×+

×

−

÷

−=H

Giaûi Do maùy tính chæ nhaän 79 böôùc maø bieåu thöùc treân nhaäp heát vaøo seõ traøn maøn hình. Giaûi phaùp ñôn giaûn laø taùch bieåu thöùc ra laøm nhieàu bieåu thöùc nhoû vaø söû duïng caùc phím nhôù.

Tính

17

22

4

13

9

56

7

4

25

208,1

×

−

÷

− gaùn vaøo bieán A.

Tính

25

104,6

25,15

4.8

−

× gaùn vaøo bieán B.

Tính ( )5

45,02,1

3

15 ÷×+ gaùn vaøo bieán C.

Keát quaû: A + B + C (Ñaùp soá: 3

23)

Baøi taäp töï luyeän:

3.1.1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc vaø vieát keát quaû döôùi daïng phaân soá:

++÷

−÷

+= 7,35

225,1

4

6

4

31

5

22

3

11A

÷+×÷=121

32

11

23

4

31

7

5112B

( )5

45,02,1

3

15

25

104,6

25,15

4.8

17

22

4

13

9

56

7

4

25

208,1

÷×++−

×+

×

−

÷

−=C

3.1.2: Thöïc hieän pheùp tính (Laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình):

( ) ( )2222 180.649.2.13180.13649 −+=A

33333 25202453 ++−−=B

3

33

3 2621

18

21

542126200 −

++

+++=C

3 17

23

35,712

13.816π=D

×+++

+++÷

+++

+++×=

80808080

91919191

343

1

49

1

7

11

27

2

9

2

3

22

343

4

49

4

7

44

27

1

9

1

3

11

182E



3.1.3: Tính 5% cuûa 5,225,121

6

55.

14

33

5

36

÷−

−

3.1.4.1: Tính giaù trò gaàn ñuùng ñeán 7 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:

3 4 5 6 7 8 9 98765432 +++++++=A

3.1.4.2: Tính vaø laøm troøn ñeán 6 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:

( )

( )( ) ( )

013,000325,0

045,02,1965,11,2

67,088,33,503,0632,0

5,215,009,04,03

÷×÷−

++−−+×

÷÷−÷=B

( )

( ) ( ) 1325,11902,019,881,11

025,3225,17

4

35

2225,138,1012,738,10 2

+÷÷×+

+

×−××+×=C

3.1.4.3: Tính vaø laøm troøn ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:

÷−÷

×+÷

×−×=2

175285,701,0

2

14

18

72

180

75,24,1

84

13D

3.1.4.4: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc laáy keát quaû vôùi 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân:

304197521719542919453211930 +++=E



BAØI 2. TÍNH GIAÙ TRÒ GOÙC, LÖÔÏNG GIAÙC

Daïng 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau chính xaùc ñeán 0,0001:

''45'1052cos''20'2240cos

''34'1763cos''12'2536cos

°+°°−°

=B

Giaûi

Quy trình aám phím treân maùy fx 570MS hoaëc fx 570ES laø: ( cos 36 o’” 25 o’” 12 o’” – cos

63 o’” 17 o’” 34 o’” ) ÷ ( cos 40 o’” 22 o’” 20 o’” + cos 52 o’” 10 o’” 45 o’” ) = (Ñaùp soá: 0015’30,09” ≈ 0,2584)

Daïng 2: Cho 5,0cos =α . Tính caùc giaù trò löông giaùc coøn laïi cuûa goùc α , bieát α laø goùc nhoïn

(Laøm troøn 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân). Giaûi

- Ta tính goùc α baèng caùch nhaán: shift cos-1 0,5 = (Keát quaû: 60)

- Tính caùc giaù trò löôïng giaùc coøn laïi ta thöïc hieän tính giaù trò löôõng giaùc cuûa goùc 600. 866,0sin ≈α 7321,1tan ≈α 5774,0cot ≈α

Daïng 3: Cho α laø goùc nhoïn vôùi 813,0sin =α . Tính: α5cos (Laáy heát keát quaû hieän thò ôû maøn

hình). Giaûi

Tính goùc α roài tính α5cos . Quy trình baám phím: shift sin 0,813 = (Keát quaû: 54.39008374

thoaõ goùc nhoïn) cos ( 5 x Ans ) = (Ñaùp soá: 0,03403465362). Baøi taäp töï luyeän:

3.2.1: Cho α laø goùc nhoïn. (Laáy heát keát quaû hieän thò ôû maøn hình). 831,0sin =α . Tìm α5cos

1234,0cos =α cos. Tìm α2sin

3.2.2: Cho cosA = 0,8516; tanB = 3,1725; sinC = 0,4351 (A, B, C nhoïn). Tính ( )CBA ˆˆˆ −+

3.2.3: Tính A, B, C, bieát:

''16'289

''35'4776,2'.'8'2522h

hh

A+

=

''17'526

''45'1153'.'55'473

°°+°

=B

''17'132cos''1278cos

'4318tan'3634sin

°+°°−°

=C



BAØI 3. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

Ghi nhôù: Ñoái vôùi caùc maùy fx 570MS, fx 570ES thì caùc phöông trình vaø heä phöông trình ñöôïc vieát döôùi daïng toång quaùt nhö sau: 02 =++ cbxax ; 023 =+++ dcxbxax Khi nhaäp vaøo maùy ta nhaán a, b, c hoaëc d.

=+

=+

222

111

cybxa

cybxa Khi nhaäp vaøo maùy ta nhaán a1, b1, c1, a2, b2, c2.

=++

=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Khi nhaäp vaøo maùy ta nhaán a1, b1, c1, d1 a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3.

Daïng: Giaûi caùc phöông trình vaø heä phöông trình sau: 1. 030112 =+− xx 2. 06116 23 =−+− xxx

3.

=+

=−

142937

81312

yx

yx 4.

−=+

=−

122

132yx

yx

5.

−=++

=++

−=−+

745

136

124

zyx

zyx

zyx

6.

=+

=+

=+

28

22

12

zy

zx

yx

Giaûi Söû duïng chöông trình caøi saün trong maùy ñeå tính.

1. Vaøo EQU, Degree : 2 Nhaäp: 1 = -11 = 30 = (Ñaùp soá: x1 = 5, x2 = 6). 2. Vaøo EQU, Degree : 3 Nhaäp: 1 = -6 = 11 = -6 = (Ñaùp soá: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3). 3. Vaøo EQU, 2 unknowns.

Nhaäp: 12 = -13 = 8 = 37 = 29 = 14 = (Ñaùp soá: 829

128;

829

414−== yx )

4.

−=+

=−⇔

−=+

=−

1.2

1.2

1

1.3

1.2

1

122

132

yx

yx

yx

yx

Ñaùp soá:

=

=

2

3

y

x

5. Vaøo EQU, 3 unknowns.

Nhaäp: 4 = 1 = -2 = -1 = 1 = 6 = 3 = 1 = 5 = 4 = 1 = -7 =. Ñaùp soá: 21

73;3

7;

7

18−==−= zyx

6.

=++

=++

=++

⇔

=+

=+

=+

28.0

22.0

12.0

28

22

12

zyx

zyx

zyx

zy

zx

yx

Ñaùp soá:

=

=

=

19

9

3

z

y

x




3.3.1: Giaûi phöông trình (Ghi keát quaû ñuû 9 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân): a, 2,343x2 – 1,54x – 3,141 = 0 b, 098753,6.35816,4.23785,1

2 =−+ xx

3.3.2: Giaûi heä phöông trình:

a,

=+

=−

318,7214,5368,8

123,3915,4372,1

yx

yx (Ghi ñuû 9 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân)

b,

=++

=+−

=++

2423

52

11

zyx

zyx

zyx

c,

−=+

=−

13

2

2

132yx

yx

3.3.3: Giaûi heä phöông trình:

=−

+−

=−

+−

11

5,4

2

1,3

11

4,2

2

3,1

yx

yx

3.3.4: Tính y

x bieát x vaø y laø nghieäm cuûa heä:

=+

=+

417518324916571

1082491657183249

yx

yx



BAØI 4. CAÙC BAØI TOAÙN ÑOÁ

Ví duï 1: Khi duøng maùy tính Casio ñeå thöïc hieän pheùp chia moät soá töï nhieân cho 48, ñöôïc thöông laø 37, soá dö laø soá lôùn nhaát coù theå coù ñöôïc cuûa pheùp chia ñoù. Hoûi soá ñoù laø bao nhieâu? Ví duï 2: Tìm soá nguyeân x, bieát raèng neáu nhaân soá ñoù vôùi 12 roài coäng theâm ½ soá ñoù thì ñöôïc bình phöông soá ñoù coäng vôùi 21. Ví duï 3: Cho 3 soá nguyeân neáu coäng hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 12, 22, 28. Tìm ba soá ñoù. Ví duï 4: Tæ soá voán cuûa hai nhaø kinh doanh laø 0,6. Hoûi moãi ngöôøi coù soá voán laø bao nhieâu? Bieát raèng ngöôøi thöù nhaát nhieàu hôn ngöôøi thöù hai laø 100 trieäu ñoàng.

Ví duï 5: Moät ao caù coù 4800 con caù goàm ba loaïi traém, meø, cheùp. Soá meø baèng 7

2 soá traém. Soá

cheùp baèng 2

1 soá meø. Tính soá löôõng cuûa moãi loaïi caù trong ao.

Giaûi Ví duï 1: Ta coù soá dö nhoû hôn soá chia 48, neân soá dö lôùn nhaát coù theå ñöôïc trong pheùp chia moät soá töï nhieân cho 48 laø 47.

Do thöông thu ñöôïc laø 37 neân soá bò chia caàn tìm laø: 37 × 48 + 47 = 1823 Ví duï 2: Theo ñeà baøi ta coù:

=

=⇔

=+−⇔+=+

2

)(2

21

0212

2521

2

112 22

x

loaix

xxxxx

Vaäy soá nguyeân x caàn tìm laø 2.

Ví duï 3: Goïi 3 soá ñoù laø x, y, z. (Ñieàu kieän: x, y, z ∈ Z) Theo ñeà baøi ta coù:

=+

=+

=+

28

22

12

zy

zx

yx

=

=

=

⇔

19

9

3

z

y

x

Vaäy ba soá phaûi tìm laø 3, 9, 19.

Ví duï 4: Goïi soá voán cuûa hai ngöôøi laø: a, b (trieäu ñoàng) (Ñieàu kieän: a, b > 0) Theo ñeà baøi ta coù:

=

=⇔

=−

=250

150

100

6,0

y

x

xy

y

x

Vaäy soá voán cuûa hai ngöôøi laàn löôït laø: 150, 250 trieäu ñoàng.

Ví duï 5: Goïi soá caù loaïi traém, meø, cheùp laàn löôït laø: x, y, z (Ñieàu kieän: z, y, z ∈ N*) Theo ñeà baøi ta coù:



=

=

=

⇔

=−

=−

=++

⇔

=

=

=++

480

960

3360

02

1

07

2

4800

2

17

2

4800

z

y

x

zy

yx

zyx

yz

xy

zyx

Vaäy trong ao coù 3360 con caù traêm, 960 con caù meø vaø 480 con caù cheùp.


3.4.1: Moät soá nguyeân a khi nhaân vôùi 12 roài coäng vôùi 12, coäng soá tìm ñöôïc vôùi 2

1 soá phaûi tìm,

ñöôïc bao nhieâu ñem chia cho 3 ñöôïc 54. Tìm soá a ban ñaàu. 3.4.2: Anh Saùu ñan xong 6 caùi roå heát 1 giôø, 20 caùi reá heát 1 giôø 30 phuùt. Hoûi anh Saùu ñan 100 caùi roå vaø 100 caùi reá heát bao laâu? 3.4.3: Moät ngöôøi vaøo böu ñieän ñeå göûi tieàn cho nguôøi thaân ôû xa, trong tuùi coù 5 000 000 ñoàng. Chi phí dòch vuï heát 0,9% toång soá tieàn göûi ñi. Hoûi ngöôøi thaân nhaän toái ña bao nhieâu tieàn. 3.4.4: Cho 3 soá nguyeân neáu coäng hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 4023, 2032, 2033. Tìm ba soá ñoù.



BAØI 5. BAØI TAÄP SOÁ HOÏC NHOÛ

Daïng 1: Tìm soá dö khi chia 2012 cho 12: Giaûi

- Ta thöïc hieän pheùp chia bình thöôøng aán: 2012 ÷ 12 = (Keát quaû: 167,6666667) - Tìm soá dö aán tieáp: Ans – 12 × 167 = (Ñaùp soá: 8) - Vaäy soá dö caàn tìm laø 8.

Daïng 2: Soá 2011 laø soá nguyeân toá hay hôïp soá. Giaûi

- Ta tính: 84417465,442011 ≈

- Ñeå kieåm tra 2009 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá thì ta chæ vieäc chia soá 2011 cho caùc soá nguyeân toá nhoû hôn hoaëc baèng 44. 2009 khoâng chia heát cho 2 2009 khoâng chia heát cho 3 2009 khoâng chia heát cho 5 ……………… Do 2011 khoâng chia heát cho soá nguyeân toá naøo nhoû hôn 44. Vaäy 2011 laø soá nguyeân toá..

Chuù yù: Neáu soá a phaûi kieåm tra quaù lôùn ta khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc caùc soá nguyeân toá nhoû

hôn a thì ta kieåm tra baèng caùch chia soá ñoù cho soá 2 vaø caùc soá leû nhoû hôn a .

Baøi taäp töï luyeän

3.5.1: Tìm soá dö khi chia 20092010 cho 999. 3.5.2: Soá 4826809 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá.



BAØI 6. ÑEÀ BAØI TAÄP CAÊN BAÛN

Ñeà CB1: (Thang ñieåm 50). Thôøi gian: 45 phuùt. Chuù yù: Neáu ñeà baøi khoâng yeâu caàu gì thì thí sinh phaûi laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình. Baøi 3.6.1.1: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: (Laøm troøn 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).

20.25202453 33333 +−−−=A

33

33

3

3 2621

18

2

542126200 −

++++=B

Baøi 3.6.1.2: (5 ñieåm) Tính toång cuûa A sau: A = 6 + 8 + 10 + … + 2012 Baøi 3.6.1.3: (5 ñieåm) Tìm moät soá bieát raèng 5% cuûa soá ñoù laø:

7 4

56

621,4

732,2.815,1

Baøi 3.6.1.4: (5 ñieåm) Giaûi heä phöông trình:

=+

=−

1097

4132

yx

yx

Baøi 3.6.1.5: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình: 3x2 – 9x = - 54 Baøi 3.6.1.6: (5 ñieåm) Tìm soá dö cuûa 123456 cho 135. Baøi 3.6.1.7: (5 ñieåm) Trình baøy phöông phaùp kieåm tra soá 881 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá. Baøi 3.6.1.8: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa löôïng giaùc sau:

'2823sin'2367cos

'4177tan''12'264tan

°−°°+°

=A

3'.'42'311

''38'582''29'476h

hh

B−

=

Baøi 3.6.1.9: (5 ñieåm) Cho 3 soá nguyeân neáu coäng hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 22, 32, 42. Tìm tích cuûa 3 soá ñoù. Baøi 3.6.1.10: (5 ñieåm) Moät boä quaàn aùo ñöôïc baùn nhö sau: Caùi quaàn baùn vôùi giaù 200 000 ñoàng trong ñoù soá tieàn laõi laø 47 000 ñoàng. Caùi aùo baùn vôùi giaù 150 000 ñoàng. Bieát tæ leä tieàn voán cuûa caùi quaàn so vôùi chieác aùo laø 3/2. Hoûi tieàn laõi thu ñöôïc cuûa boä quaàn aùo ñoù laø bao nhieâu?

Xem ñaùp aùn töï chaám ñieåm trang 152



Ñeà CB2: (Thang ñieåm 50). Thôøi gian: 45 phuùt. Chuù yù: Neáu ñeà baøi khoâng yeâu caàu gì thì thí sinh phaûi laáy heát keát quaû hieän thò theân maøn hình. Baøi 3.6.2.1: (5 ñieåm) Tính toång cuûa A sau: A = 8 + 12 + 16 + 20 + …… 2012 Baøi 3.6.2.2: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: (Laøm troøn 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).

3333 25202353 +−−−=A

33

33

3

3 2621

18

21

5421262010 −

++

+++=B

Baøi 3.6.2.3: (5 ñieåm) Giaûi heä phöông trình:

=++

=+−

0142937

081312

yx

yx

Baøi 3.6.2.4: (5 ñieåm) Giaûi phöông trình: 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0 Baøi 3.6.2.5: (5 ñieåm) Tìm 5% cuûa soá :

7 4

56

621,4

732,2.815,1

Baøi 3.6.2.6: (5 ñieåm) Tìm soá dö cuûa 9999 cho 22. Baøi 3.6.2.7: (5 ñieåm) Trình baøy phöông phaùp kieåm tra soá 157 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá. Baøi 3.6.2.8: (5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa löôïng giaùc sau:

'2823tan'2367cot

''12'4177tan'264sin

°−°°+°

=A

''33'3333

''39'382''2'5060

00 −=B

Baøi 3.6.2.9: (5 ñieåm) Moät boä quaàn aùo ñöôïc baùn nhö sau: Caùi quaàn baùn vôùi giaù 200 000 ñoàng trong ñoù soá tieàn laõi laø 48 000 ñoàng. Caùi aùo baùn vôùi giaù 150 000 ñoàng. Bieát tæ leä tieàn laõi cuûa caùi quaàn so vôùi chieác aùo 3/2. Hoûi tieàn voán boû ra cuûa boä quaàn aùo ñoù laø bao nhieâu? Baøi 3.6.2.10: (5 ñieåm) Cho 3 soá nguyeân neáu tích hai soá baát kì thì ta ñöôïc caùc soá sau: 20, 24, 30. Tìm soá lôùn nhaát trong 3 soá ñoù.

Xem ñaùp aùn töï chaám ñieåm trang 153

PHAÀN IV

Naâng cao caùc chuyeân ñeNaâng cao caùc chuyeân ñeNaâng cao caùc chuyeân ñeNaâng cao caùc chuyeân ñeàààà Giaûi toaùnGiaûi toaùnGiaûi toaùnGiaûi toaùn



BAØI 1. GIAÙ TRÒ CUÛA BIEÅU THÖÙC

Coâng thöùc caàn nhôù:

a, ( )( )

∑=++

=++++n

xnnn

n1

22222

6

121......321

b, ( ) ( )( )∑=

++=+++

n

xnnn

n1

2222 23

12122......642

c, ( ) ( ) ( )∑ −=−

=−++++n

nnn

n1

22222 12

3

14.12......531

d, ( ) ( ) ∑=++++=

+=++++

n

xnnn

n1

3222

3333 ......3214

1......321

Chứng minh

a, Chứng minh quy nạp:

Với n = 1 thì: ( )( )

6

11.211112 ++

= đúng.

Với n = 2 t thì: ( )( )

6

12.212221 22 ++

=+ đúng.

Giả sử đẵng thức đúng với n = k ta có: ( )( )

6

121......321 2222 ++

=++++kkk

k

Ta chứng minh đẵng thức đúng với n = k + 1: Với n = k+1 thì:

( ) ( )( ) ( )222222 16

1211......321 ++

++=++++++ k

kkkkk

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

6

6721

6

1.6121 2 +++=

++++=

kkkkkkk

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

6

112111

6

22

3.2.1

+++++=

+

++

=kkk

kkk

b, Ta có: ( ) 22222222 .4...3.42.41.42......642 nn ++++=+++⇒

( ) ( )( )3

1212...321.4 2222 ++

=++++=nnn

n

c, Ta coù: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]22222222 121...4121112......531 −+++++++=−++++ nn

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3

14.

3

12..1212

3

12..122.

2

12

212

.2

12...4212...42.212

2

222

−=

−−+−+=

−−+

+−−

+=

−++++−+++++=

nnnnnnnn

nnnn

n

n

nnn

d, Baïn ñoïc chöùng minh theo phöông phaùp quy naïp.

Ñieàu ñaëc bieät hay: ....321321,0999

321.....;939393,0

99

93.....;88888888,0

9

8...;......1111111,0

9

1==



Daïng 1: Haõy tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:

5

1222 +

++

x

x vôùi

2

51+=x

Giaûi

Ta nhaäp giaù trò 2

51+ nhôù vaøo X, aán phím nhö sau:

( 1 + 5 ) ÷ 2 shift STO X.

Ta nhaäp bieåu thöùc 5

1222 +

++

x

x, aán phím:

( 2 + 2 × ( alpha X + 1 ) ) ab/c ( alpha X 2x + 5) =

Ñaùp soá: 0,757724128

Daïng 2: Phaân soá naøo sinh ra phaân soá thaäp phaân tuaàn hoaøn: 6,0(6) vaø 3,15(321) Giaûi

2.1: Ta coù ( ) ( )60,015

1

90

66,0

9

6==⇒=

Laáy: ( )60,615

916

15

1==+

Vaäy phaân soá sinh ra soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn 6,0(6) laø 15

91

2.2 Khoâng theå söû duïng daïng 2.1 vì phaân soá sinh ra traøn maøn hình. Caùch 1: Ta ñaët: E = 3,15(321). Ta coù: )321(21,31531000 =E =− E )321(15,3 06,3150999 =E

16650

52501

999

06,3150==E

Vaäy phaân soá sinh ra phaân soá thaäp phaân tuaàn hoaøn 3,15(321) laø 16650

52501

Caùch 2: Tìm phaàn thaäp phaân cuûa soá ñoù laø phaân soá naøo!

Ta coù: ( )32100,033300

107

99900

321==

( )16650

255115,0

33300

10732115,0 =+=⇒

( )16650

52501

16650

255116650.3

16650

2551332115,3 =

+=+=⇒

Nhaän xeùt: Caùch 2 seõ toát hôn vì tính ra ñöôïc phaân soá toái giaûn.

Daïng 3: Trình baøy moät phöông phaùp keát hôïp maùy tính vaø treân giaùy ñeå tính ñöôïc giaù trò cuûa soá: N = 2222244444 × 55555 2123456789=M

Giaûi 3.1 Ta coù: N = (22222.105 + 44444) × 55555 N = 22222.55555.105 + 44444.55555



Tính treân maùy giaù trò: A = 22222 × 55555 = 1234543210 B = 22222 × 55555 = 2469086420 Tính treân giaáy: 105A + B

Vaäy N = 123 456 790 086 420

3.2 Ta coù: ( ) 2482242 6789678910123452101234567891012345123456789 +×××+×=+×==M

Tính treân maùy giaù trò: A = 123452 = 152.399.025 B = 2.12345.6789 = 167.620.410 C = 67892 = 46.090.521 Tính treân giaáy: 108 × A + 104 × B + C

Vaäy M = 15 241 578 750 190 521

Daïng 4: Tính: 2012.20011

1...

3.2

1

2.1

1+++

Giaûi Caùch 1: Söû duïng coâng thöùc:

Ta coù:( ) 1

11

1

1

+−=

+ nnnn vôùi n laø soá nguyeân.

Aùp duïng vaøo baøi taäp ta ñöôïc:

9995029821,02012

2011

2012

11

2012

1

20011

1...

3

1

2

1

2

1

1

12012.2011

1...

3.2

1

2.1

1

≈=−=

−++−+−=

+++


∑ +=+++

20011

1 )1(

1

2012.2011

1...

3.2

1

2.1

1

xx

Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: shift 1 alpha X ( alpha X + 1 ) 1

2011 = (Ñaùp soá: 2012

2011)

Daïng 5: Tính giaù trò bieåu thöùc: 2222 100......321 ++++ Giaûi

Caùch 1: AÙp duïng coâng thöùc: ( )( )

6

121......321 2222 ++

=++++nnn

n



Ta coù: ( )( )

6

1100.21100100100......321 2222 ++

=++++

338350=


∑=++++100

1

22222 100......321 x

Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: shift alpha X 2x 1 100 =

(Ñaùp soá: 2012

2011)

Nhaän xeùt: Caùch 1 baét buoäc ta phaûi nhôù coâng thöùc nhöng thôøi gian tính toaùn seõ nhanh hôn caùch 1. Coøn caùch 2 coù theå giaûi nhieàu baøi taäp khoù khaùc nhöng thôøi gian maùy tính khaù laâu. Vì theá tuøy vaøo tröôøng hôïp ñöa ra caùch giaûi quyeát hôïp lyù.

Daïng 6: Tính 3232 2......2221 +++++ Giaûi

Ta ñaët 3232 2......2221 +++++=A Ta coù: 33432 2......22222 +++++=A Laáy: 2A – A = )2......2222( 33432 +++++ - )2......2221( 3232 +++++ = A

= 233 – 1 = 8589934591

Baøi taäp töï luyeän: 4.1.1: Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau (Tính chính xaùc): a, 22222 20122011...321 +++++=A b, 33333 20122001...321 +++++=B c, 2222222 20122011...54321 −+−+−+−=C d, 1532 4...4441 +++++=D e, E = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + 16 × 16! 4.1.2: Tính 2222 353...321 ++++=A . Sau ñoù söû duïng keát quaû ñoù ñeå tính toång

2222 706...642 ++++=S . Baïn haõy trình baøy lôøi giaûi tính toång S. 4.1.3: Phaân soá naøo sinh ra phaân soá voâ haïn tuaàn hoaøn: 1,36(63) vaø 36,56(252) 4.1.4: a, Neáu F = 85,8353353353… laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn vôùi chu kì laø 353. Khi F ñöôïc vieát döôùi daïng phaân soá toái giaûn thì toång maãu soá vaø töû soá baèng bao nhieâu? b, Neáu E = 93,1(993) laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn vôùi chu kì laø 993. Khi E ñöôïc vieát döôùi daïng phaân soá naøo ñeå maãu soá lôùn hôn töû soá laø 460536.

4.1.5: Tính: ...0019981998,0

18

...019981998,0

18

...19981998,0

18++=M .

4.1.6: Neâu moät phöông phaùp (Keát hôïp treân giaáy vaø maùy tính) ñeå tính keát quaû ñuùng cuûa pheùp tính sau: a, A = 12578963 × 16475 b, B = 4672093070 × 430043 c, C = 3333355555 × 3333377777 d, D = 2222266666 × 2222244444 e, E = 2222255555 × 2222266666



f, F = 2120092009 × 2120102010 g, H = 21201120122 h, I = 10234563

i, K = 10384713. 4.1.7: Tính vaø vieát keát quaû döôùi daïng phaân soá:

a, 123457.123456

1...

3.2

1

2.1

1+++=A

b, 2013.2012.20011

1...

5.4.3

1

4.3.2

1

3.2.1

1++++=C

c, 2013.2011

1...

7.5

1

5.3

1

3.1

1++++=B

d,

−

−

−

−= 12012

11

2011

1...1

10

11

9

1D

e, 2013.2011

1006

2011.2009

1005...

7.5

3

5.3

2

3.1

1 22222

+++++=E

4.1.8: Tính toång: 1

1...

32

1

21

1

++++

++

+=

nnB

AÙp duïng tính B khi n = 2012, laøm troøn 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. 4.1.9: Tính giaù trò bieåu thöùc: (Laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình)

a, 2218141062

20161284 1

xxxxxx

xxxxxA

++++++++++

= taïi x = 1111,2011

b, 11

1

1

1 3

−

−+

+−+

−−=

x

xx

xxxxB vôùi

729

53

−=x

c,

+−

+−

+−+

=22

22

22

25

5

5

5

5

yx

yx

xyx

yx

xyx

yxC vôùi x = 1,257; y = 2511,2009

d, xzzyx

xyzyxD

2

2222

222

++−+−+

= vôùi 4,13;5,1;4

3==−= zyx

4.1.10: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc chính xaùc ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.

a, 920199

920915

8.2.76.2.5

8.3.49.4.5

−

−=A b,

25153718

13141510

2.33.18.2

4.15.36.2

+

+=B

4.1.11: Tính (Ghi toaøn boä keát quaû hieän thò treân maøn hình maùy tính). a,

sochuP

.1777......77...777777 ++++=

b, n

nG

3...

3

3

3

2

3

132

++++= vôùi n = 15

4.1.12: Tính:

−−

−+

−+

=

xx

xx

xx

Q

1

2

11

4

11

1

4

112

2

2

khi x = 3,6874496



4.1.13: Tính vaø ghi keát quaû ôû daïng hoãn soá:

a, 357

1579.

579

1357

b, 211,404843,409465404211,080689,403 ÷+÷

4.1.14: Thöïc hieän bieán ñoåi toaùn hoïc vaø keát hôïp vôùi maùy tính. Tính soá nghòch ñaûo cuûa bieåu thöùc:

a,

−÷

++++=36

7

3

1

72.65

1...

23.16

1

16.9

1

9.2

1.49A

b, ( ) ( )( ) 11

90

58,03

1

2

1

11

71462,143,0 ÷

+−÷+=B



BAØI 2. GIAÙ TRÒ GOÙC, LÖÔÏNG GIAÙC

Daïng 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau chính xaùc ñeán 0.0001.

''1520sin''1872sin

''4035sin''3054sin

°+°°−°

=A

Giaûi Baøi toaùn naøy treân chæ coù giaù trò goùc laø ñoä vaø giaây (Khoâng coù phuùt). Ñeå tính ta coù quy trình aán phím treân maùy fx 570MS nhö sau: ( sin 54 o’” 0 o’” 30 o’” – sin 35 o’” 0 o’” 40 o’” ) ÷ ( sin 72 o’” 0 o’” 18 o’” + sin 20 o’” 0 o’”15 o’” = Vaäy giaù trò cuûa A ≈ 0,1820.

Daïng 2: Cho tany = tan38.tan39.tan40…tan52. Tính B = coty. Giaûi

Caùch 1: Nhaäp heát bieåu thöùc vaø tính. Caùch 2:AÙp duïng caùc coâng thöùc löôïng giaùc tính.

- Neáu °=+ 90βα thì βα cottan = - 1tan.cot =αα

Ta coù:

145cotcot

45tan45tan.....39cot.39tan.38cot.38tan

38cot.39cot...40tan.39tan.38tan52tan....40tan.39tan.38tantan

==⇒

==

==

y

y

Vaäy giaù trò cuûa B = 1

Daïng 3: Cho )900(765,0cos °<<°= αα . Tính chính xaùc ñeán 9 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.

αα

αα2

23

sincos

2sincos

+−−

Giaûi Söû duïng bieán nhôù ñeå tính, quy trình aán phím treân maùy 570MS: Tính goùc α vaø nhôù vaøo A aán: shift cos-1 0,765 = shift STO A. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc aán: ( ( cos alpha A ) shift x3 – ( sin alpha A ) x2 – 2 ) ÷ ( cos alpha A + ( sin alpha A ) x2 = (Keát quaû: -1.667333072) Vaäy giaù trò cuûa bieåu thöùc ≈ -1.667333072.

Baøi taäp töï luyeän: 4.2.1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau (Laáy heát keát quaû hieän thò treân maøn hình)

a, Cho sinα = 0,3456 (00 < α < 900). Tính: ( ) αααααα

333

233

cot.sincos

tan)sin1(cos

+++

=M

b, Cho cosx = 0,7651 (00 < x < 900). Tính: xx

xxA

2

32

sincos

2sincos

+

−−=



c, Cho 15

8cot =α (00 < α < 900). Tính

13

costan

2cossin2

2

2

+−

+=

aA

α

αα

d, Bieát 5678,0cos 2 =α (00 < α < 900). Tính:( ) ( )

( )( ) ααα

αααα433

3232

cos1cot1tan1

sin1coscos1sin

+++

+++=N

4.2.2: Bieát tanα = tan350.tan360. tan370…. Tan520. tan530 (00 < α < 900). Tính:

( ) ( )

( )( )αααααααα

cossin1cossin

sin1cotcos1tan33

3332

++++++

=M

4.2.3: a, Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc M vôùi '3057;'3025 °=°= βα ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )βαβαβα 222222 cos1sin1cos1sin1cot1tan1 −−−−+++=L

(Keát quaû laáy ôû 4 chöõ soá thaäp phaân).

b, Tính: ( ) 5,5)60(tan2566

1027,0 175,0

2

3

1

+°−+

−− −−

−



BAØI 3. LIEÂN PHAÂN SOÁ

Lieân phaân soá (phaân soá lieân tuïc) laø moät coâng cuï toaùn hoïc höõu hieäu ñöôïc caùc nhaø toaùn hoïc söû duïng ñeå giaûi nhieàu baøi toaùn khoù.

Xeùt phaân soá a

b (a, b ∈ N vaø a > b) coù theå vieát döôùi daïng:

00 0

0

ba 1a a

bb bb

= + = +

Vì b0 laø phaàn dö cuûa a khi chia cho b neân b > b0. Laïi tieáp tuïc bieåu dieãn phaân soá:

11 1

00 0

1

bb 1a a

bb bb

= + = +

Cöù tieáp tuïc quaù trình naøy seõ keát thuùc sau n böôùc vaø ta ñöôïc:

00 0

1

n 2n

ba 1a a

1b b a1

...aa−

= + = ++

+

Caùch bieåu dieãn naøy goïi laø caùch bieåu dieãn soá höõu tæ döôùi daïng lieân phaân soá. Moãi soá höõu tæ coù moät bieåu dieãn duy nhaát döôùi daïng lieân phaân soá, noù ñöôïc vieát goïn [ ]0 1 na ,a ,...,a .

Nhaän xeùt: Vieäc bieåu dieãn lieân phaân soá 0

1

n 1n

1a

1a

1...a

a−

++

+

veà daïng a

b. Daïng toaùn naøy ñöôïc goïi laø

tính giaù trò cuûa lieân phaân soá. Vôùi söï trôï giuùp cuûa maùy tính ta coù theå tính moät caùch nhanh choùng daïng bieåu dieãn cuûa lieân phaân soá ñoù.

Daïng 1: Laäp quy trình nhaán phím lieân tuïc ñeå tính giaù trò cuûa lieân phaân soá. Tính giaù trò cuûa lieân phaân soá ñoù. (Laøm troøn ñeán 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).

292

11

115

17

13

++

++=M

Giaûi Caùch 1: Tính töø döôùi leân. Quy trình aán phím laø: 1 + 1 ab/c 292 = x-1 + 15 = x-1 + 7 = x-1 + 3 = Giaù trò cuûa M ≈ 3,1416 Caùch 2: Tính moät löôït töø treân xuoáng. Quy trình aán phím laø: 3 + 1 ab/c ( 7 + 1 ab/c ( 15 + 1 ab/c ( 1 + 1 ab/c 292 = Giaù trò cuûa M ≈ 3,1416



Daïng 2: Cho

2003

510

1230

++=A Vieát laïi

n

na

a

a

aA

1...

11

1

1

0

+++

+=

−

Vieát keát quaû theo thöù töï. Giaûi

Ta coù:

4001

305

131

4001

200351

3120035

400131

20035

2403630

2003

510

1230

++=+=+=+=

++=A . Tieáp tuïc laøm

nhö vaäy, cuoái cuøng ta ñöôïc:

2

11

12

11

12

1133

15

131

++

++

++

+=A


4.3.1: Vieát quy trình aán phím tính:

2010

17

13

523

1

2009

1217

11

121

317

++

++

++

++=A

Giaù trò tìm ñöôïc cuûa A laø bao nhieâu? (Laøm troøn 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân) 4.3.2: Tính vaø vieát keát quaû döôùi daïng phaân soá.

5

14

13

12

20

++

+=A ;

18

17

16

15

2

++

+=B

4.3.3: Tìm caùc soá töï nhieân a vaø b bieát raèng:

ba

11

5

13

1

1051

329

++

+=

4.3.4: Giaûi phöông trình sau:

2

12

13

14

4

13

12

11

4

++

+=

++

++

xx



BAØI 4. DAÕY SOÁ

Daïng 1: Cho daõy soá: ( ) ( )

132

13111311nn

nU−−+

= vôùi n = 0, 1, 2, 3…

a, Tính 10 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy soá. b, Laäp coâng thöùc truy hoài tính giaù trò Un+2 theo Un+1 vaø Un. c, Vieát moät quy trình aán phím lieân tuïc tính giaù trò Un+2 theo coâng thöùc truy hoài vöøa tìm ñöôïc ôû caâu treân.

Giaûi a, Giaù trò cuûa 10 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy laø:

U0 = 0 U5 = 89 104 U1 = 1 U6 = 1 323 520 U2 = 22 U7 = 19 494 208 U3 = 376 U8 = 285 932 416 U4 = 5 896 U9 = 4 185 138 688

b, Ñeå laäp coâng thöùc truy hoài tính giaù trò Un+2 theo Un+1 vaø Un. Ta ñaët: Un+2 = aUn+1 + bUn + c Khi n = 0 thì 22 = a + 0.b + c Khi n = 1 thì 376 = 22a + b + c Khi n = 2 thì 5896 = 376a + 22b + c

=

−=

=

⇔

=++

=++

=++

⇒

0

108

22

589622376

37622

220

c

b

a

cba

cba

cba

Vaäy coâng thöùc truy hoài laø: Un+2 = 22Un+1 - 108Un c, Quy trình aán phím lieân tuïc tính giaù trò Un+2 theo coâng thöùc truy hoài vöøa tìm ñöôïc ôû caâu treân laø: Caùch 1: Chæ söû duïng caùc bieán nhôù (Tham khaûo nay raát ít duøng) Gaùn giaù trò U0 vaøo A: 0 shift STO A Gaùn giaù trò U1 vaøo B: 1 shift STO B Laäp laïi quy trình aán phím sau ñeå tính caùc giaù trò tieáp theo cuûa daõy: 22 × alpha B – 108 × alpha A shift STO A 22 × alpha A – 108 × alpha B shift STO B Nhöôïc ñieåm: Ta khoù bieát giaù trò tìm ñöôïc laø soá haïng cuûa daõy.

Caùch 2: Söû duïng voøng laëp CALC + bieán nhôù: Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 22 × alpha B – 108 × alpha A alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B alpha = alpha C CALC Maùy hoûi M? 2 = Maùy hoûi B? 1 = Maùy hoûi A? 0 = Nhaán: = = = = ……… = = = = M laø bieám ñeám n cho ta bieát giaù trò C laø giaù trò thöù maáy trong daõy.



Öu ñieåm: Tieát kieäm ñöôïc thôøi gian khi tính nhieàu giaù trò. Söû duïng bieán ñeám M ñeå bieát ñöôïc ñoù laø soá haïng thöù maáy cuûa daõy.

Daïng 2: Cho daõy soá: ( ) ( )

72

7575nn

nU−−+

= vôùi n = 0, 1, 2, 3, …

a, Tìm 5 soá haïng ñaàu tieân cuõa daõy. b, Chöùng minh raèng:

nnn UUU 1810 12 −= ++ .

Giaûi a, Giaù trò cuûa 5 soá haïng ñaàu tieân cuõa daõy:

n 0 1 2 3 4

Un 0 1 10 82 640 b, Chöùng minh coâng thöùc: Ñaët: 75+=a ; 75−=b . Khi aáy a + b = 10; ab = 18.

Vaø ( ) ( ) ( )nn

nn

n baU −=−−+

=72

1

72

7575

Ta laïi coù: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnnnnnnnnn bababaabbababaabbababa −−−=−−+−=−−+−=− ++++++++++ 1810 1111111122

Neân ( ) ( ) ( ) ( )

nn

nnnnnnnnnn

n UUbababababa

U 181072

1872

.1072

1810

721

111122

2 −=−

−−

=−−−

=−

= +

++++++

+

⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh. Löu yù: Caùch chöùng minh coâng thöùc naøy coù theå öùng duïng laäp coâng thöùc truy hoài, seõ trình baøy ôû phaàn baøi taäp töï luyeän.

Daïng 3: Cho daõy soá: 2

372

2

1 ++

=+n

nn

x

xx ( Nnn ∈≥ ,1 )

a, Cho x1 = 1,5. Vieát quy trình aán phím lieân tuïc ñeå tính caùc giaù trò xn b, Tính x100.

Baøi naøy coù theå söû duïng voøng laëp CALC. Ngoaøi ra ta coù theå söû duïng phím Ans. Giaûi

a, Do coù moät bieán neân ta chæ caàn duøng bieán nhôù Ans ñeå tính. Quy trình aán phím laø: Gaùn giaù trò x1 vaøo Ans aán: 1,5 = Tính giaù trò tieáp theo aán: ( 7 × Ans x2 + 3 ) ÷ ( Ans x2 + 2 ) = = = = … = Daáu “=” ñaàu tieân töông öùng vôùi giaù trò x2, caùc daáu “=” tieáp theo töông öùng vôùi caùc giaù trò keá tieáp. b, Giaù trò x100 = 6,770035041 (Chæ caàn aán khoaûng 10 laàn daáu “=” vì tôùi luùc ñoù caùc giaù trò sau saáp xæ baèng nhau).

Daïng 4: Cho caëp soá (x0;y0) vôùi

=

=

1

1

0

0

y

x laø nghieäm cuûa phöông trình 2x2 – y2 = 1.

a, Chöùng minh raèng:

Caëp soá (xn;yn) vôùi

+=

+=

−−

−−

11

11

34

23

nnn

nnn

yxy

yxx cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình 2x2 – y2 = 1. ( )1≥n

b, Vieát quy trình aán phím lieân tuïc tính giaù trò caëp soá (xn;yn). c, Tính caëp soá (xn;yn) vôùi n = 1, 2, 3… 13.



Giaûi a, Chöùng minh theo phöông phaùp quy naïp: Giaû söû n = 1 thì x1 = 3.1 + 2.1 = 5, y1 = 4.1 + 3.1 = 7 thoaõ laø nghieäm cuûa phöông trình 2x2 – y2 = 1. Giaû söû n = 2 thì x2 = 3.5 + 2.7 = 29, y2 = 4.5 + 3.7 = 41 thoaõ laø nghieäm cuûa phöông trình 2x2 – y2 = 1. ……………… Giaû söû caëp giaù trò xn-1, yn-1 thoaõ laø nghieäm cuûa phöông trình, töùc laø 12 2

12

1 =− −− nn yx

Xeùt caëp giaù trò 11

11

34

23

−−

−−

+=

+=

nnn

nnn

yxy

yxx ta coù:

( ) ( )

12

9241682418

342322

21

21

2111

21

2121

21

211

211

22

=−=

−−−++=

+−+=−

−−

−−−−−−−−

−−−−

nn

nnnnnnnn

nnnnnn

yx

yyxxyyxx

yxyxyx

Thoaõ maõn laø nghieäm cuûa phöông trình. ⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh. b, Quy trình aán phím lieân tuïc treân 570MS laø: Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha X alpha = 3 × alpha A + 2 × alpha B alpha : alpha Y alpha = 4 × alpha A + 3 × alpha B alpha : alpha A alpha = alpha X alpha : alpha B apha = alpha Y CALC Maùy hoûi M? 0 = Maùy hoûi A? 1 = Maùy hoûi B? 1 = = = = = = ……… = M laø bieán ñeám giaù trò n. c, Caùc caëp giaù trò ñöôïc tính laø:

n 1 2 3 4 5 6 7 8

xn 5 29 169 985 5741 33461 195025 1136689

yn 7 41 239 1393 8119 47321 275807 16007521

n 9 10 11 12 13 xn 6625109 38613965 225058681 1311738121 7645370045 yn 9369319 54613965 31281039 1855077841 1,081218601×1010


4.4.1: Cho daõy soá: 22

53

2

53−

−+

+=

nn

nU vôùi n = 0, 1, 2, …

a, Laäp coâng thöùc truy hoài tính Un+1 theo Un vaø Un-1. b, Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính Un+1 treân maùy tính Casio. 4.4.2: Cho U0 = 2, U1 = 10, Un+1 = 10Un – Un-1; n = 1, 2,… a, Laäp quy trình aán phím ñeå tính Un+1. b, Tìm coâng thöùc toång quaùt cuûa Un (�)



4.4.3: Cho daõy soá (Un) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: ( ) ( )nn

nU 523523 −++=

a, Chöùng toû coâng thöùc: nnn UUU 116 12 += ++

b, Tính caùc giaù trò U9, U10. 4.4.4: Giaû söû {an} laø moät daõy soá ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

a0 = a1 = 5, 98

11 +− += nn

n

aaa (n = 1, 2, 3, …) vaø

6

1+= n

n

aA

a, Haõy laäp moät quy trình aán phím lieân tuïc vöøa tính giaù trò cuûa an vaø An. b, Tính an vaø nA vôùi n = 1, 2, 3, … 7.

4.4.5: Cho daõy soá n

nn

a

aa

++

=+ 1

51 vôùi n > 0 vaø a1 = 1.

a, Vieát quy trình aán phím treân maùy tính tính an+1. b, Tính a4; a5; a25; a2009; a2010

4.4.6: Cho daõy soá: U1 = 144; U2 = 233; Un+1 = Un + Un-1. Tính U12, U37; U38; U39. Vieát quy trình tìm soá haïng nhoû nhaát trong taát caû caùc soá haïng cuûa daõy soá sao cho:

2

9696

nnU n +=

4.4.7:(�) Vôùi moãi soá nguyeân döông c, daõy soá uc ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: u1 = 1; u2 = c; ( ) ( ) 2

21 112 −− −−+= nnn ununu , 3≥n

Tìm nhöõng giaù trò cuûa c ñeå daõy soá coù tính chaát: uj chia heát cho ui vôùi moïi 5≤≤ ji .



5. PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH

Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân: Coù raát nhieàu phöông phaùp, döôùi ñaây laø 3 phöông phaùp coát loõi, deã öùng duïng nhaát: 1, Phöông phaùp suy luaän: Ta bieåu dieãn moät aån theo caùc aån khaùc, töø ñoù suy luaän ñeå phöông trình coù nghieäm nguyeân. 2, Phöông phaùp ñöa veà phöông trình tích: Ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng moät veá laø tích cuûa caùc bieåu thöùc chöùa aån coøn veá kia laø moät soá nguyeân. 3, Phöông phaùp vaän duïng tính chaát chia heát cuûa soá nguyeân.

Daïng 1: (Phöông trình phöùc taïp). Tính giaù trò cuûa x töø phöông trình sau:

( ) ( )

( )( )15,32,1

2

13

17

1275,0.3,05,0:

5

3.

3

25,12

5

4.

3

2

4

3.2,4335,015,0 22

+÷=

÷−−

++÷+ x

Giaûi Ta chia nhoû ra töøng cuïm roài giaûi tìm x:

Veá phaûi = ( )87

7015,32,1

2

13 =+÷ shift STO A

Maãu soá = ( )374

4291

17

1275,0.3,05,0

5

3.

3

25,12 =

÷−÷− shift STO B

Laáy: =

+÷×5

4.

3

2

4

3alphaBalphaA shift STO C

Tính tieáp: 0,152 + 0,352 = ÷ alpha C = - 4,2 = ÷ 3 (Keát quaû: 393280754,1−≈x )

Vaäy giaù trò x caàn tìm laø 5

7.

Daïng 2: Giaûi heä cuûa phöông trình:

=+

=

32.19

681,0

22 yx

y

x

(x, y > 0)

Giaûi

Ta coù: ( )

=

=⇔

=+

=⇔

=+

=

32,19463761,1

681,0

32,19681,0

681,0

32,19

681,0222

22 y

yx

yy

yx

yx

y

x

Do x, y > 0 neân y ≈ 3,633025743⇒ x ≈ 2,474090531 Vaäy nghieäm gaàn ñuùng (x;y) cuûa heä phöông trình laø (8,988434587;13,19887605)

Daïng 3: Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: 1=− xx

Giaûi Ñeà tìm nghieäm gaàn ñuùng ta söû duïng chöông trình caøi saün trong maùy laø shift SOLVE. Nhaäp vaøo maùy laø: alpha X - x alpha X alpha = 1 shift SOLVE



Maùy hoûi giaù trò gaùn X? 0 = Nghieäm tìm ñöôïc laø: x ≈ 2,618033989 Vaäy moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình laø x = 2,618033989

Daïng 4: a, Cho phöông trình sau, tính x theo a, b (vôùi a > 0; b > 0)

xbaxba −+=+ 2

b, Aùp duïng tính x khi a = 24205; b = 25206. (Laøm troøn ñeán soá thaäp phaân thöù 7) Giaûi

a, Ñaët y = xb (Ñieàu kieän: a > y; x > 0)

xbaxba −+=+ 2

yaya −+=+⇔ 2

2=−−+⇔ yaya {‘Caàn phaûi chuyeån veá’}

422 22 =−−⇔ yaa

2

4222 −=−⇔

aya

44222 +−=−⇔ aaya

1244 −=−=⇔ aay

Vaäy: 2

12

−=

b

ax

b, Khi a = 24205; b = 25206 thì x ≈ 0,0001524.

Daïng 5: (Phöông trình nghieâm nguyeân). 5.1 Tìm x, y, z nguyeân döông sao cho: 3xyz – 5yz + 3x + 3z = 5.

Giaûi Ta coù:

( ) ( )yzzxxyz

zxyzxyz

+=++⇔

=++−

153

53353

Vì x, y, z laø nhöõng soá nguyeân döông neân:

=++

=+

5

31

zxxyz

yz hay: 3x + z = 5

Suy ra: y =1; z = 2; x = 1.

5.2 Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa heä phöông trình:

=++

=++

605

35

100z

yx

zyx

Giaûi

Ta coù: ( )

12

8591440

5

242

605

31005

100

605

35

100

−−=⇔=+⇒

=++−−

−−=⇔

=++

=++

yz

zy

zyzy

zyx

zyx

zyx

Do x, y, z ∈ N* neân *

12

85N

y∈

−



Neáu 12

85 −y = 0 thì y =

5

8 (loaïi).

Neáu 12

85 −y = 1 thì y = 4 => z = 90 => x = 6.

Neáu 12

85 −y = 2 thì y = 6,4 (loaïi)

Neáu 12

85 −y = 3 thì y = 8,8 (loaïi).

Vaäy nghieäm nguyeân cuûa phöông trình laø:

=

=

=

90

4

6

z

y

x

Baøi taäp töï luyeän: 4.5.1: Tìm x bieát:

a,

−+=

÷

÷−−

÷−

25,32

15.8,02,3

6

5

2

5

66

5

11

2

44

13

7,1451,4825,0.2,15 x

b, 13010137,081,1720

162

8

1.

25

3288,1

2

11.

20

33,0

5

14.65,2

20

13

003,02

14

=÷+÷

+

−−

÷

−

÷

−x

4.5.2: Tìm x laøm troøn ñeán 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.

( )[ ] 1113,008,114030.29

1...

2423

1

2322

1

2221

1=−×÷+×

++×

+×

+×

x

4.5.3: Tìm nghieäm cuûa phöông trình. (Tính chính xaùc)

9

81

24

4

13

12

1

8

71

12

41

5

41

22

4

++=

++

+

++

+−

++ x

4.5.4: Cho hai soá döông x vaø y thoaõ maõn ñieàu kieän:

=−

=

456,2

125,1

22 yx

y

x

Haõy trình baøy lôøi giaûi tìm giaù trò cuûa x vaø y. Tìm giaù trò x, y 4.5.5: Giaûi heä phöông trình: ( )( )( )( )( )( )

=++

=++

=++

238

154

187

yxxz

xzzy

zyyx

vôùi x, y, z laø nhöõng soá döông.

4.5.6: Cho caùc ñieàu kieän sau:

735

zyx== vaø 3x + 2y – 5z = 12,24. Tính x, y, z.



4.5.7: Cho phöông trình: 0122 23 =+++ nxmxx coù hai nghieäm x1 = 1; x2 = - 2. Tìm m, n vaø nghieäm coøn laïi. 4.5.8: Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: a, 1=− xx b, xxx 654 =+

4.5.9: Giaûi phöông trình: ( ) ( ) 10625625 =++−xx

4.5.10: Giaûi phöông trình sau, tính x theo a vaø b vôùi a, b > 0.

xbaxba −−+=−+ 111

Cho bieát a = 250204, b = 260204. Tính giaù trò cuûa x. 4.5.11: Giaûi phöông trình:

1133200726612178381643133200726614178408256 =+−+++−+ xxxx

4.5.12: Cho phöông trình: 0456,7125,5145,2 2 =−+ xx a, Vieát quy trình aán phím lieân tuïc ñeå tính ∆ vaø tìm nghieäm x1, x2. (Khoâng söû duïng chöông trình caøi saün treân maùy).

b, Khoâng giaûi phöông trình tính: 22

21

1

xx + vaø

32

31

1

xx + (Laáy toaøn boä keát quaû ôû maøn hình)

4.5.13: Cho phöông trình: 065,174,162,3 23 =+−− mxxx a, Bieát phöông trình coù moät nghieäm baèng 2. Tìm m. b, Tìm caùc nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình vôùi giaù trò cuûa m vöøa tìm ñöôïc. 4.5.14: Tìm caëp soá töï nhieân (x;y) vôùi x nhoû nhaát coù 3 chöõ soá vaø thoaõ maõn phöông trình: x3 – y2 = xy. 4.5.15: Tìm caëp soá töï nhieân (x;y) vôùi x laø soá töï nhieân nhoû nhaát vaø thoaõ maõn phöông trình:

( ) 59522012807156 223 2 ++=++ xyxx

4.5.16: Tìm taát caû caùc caëp soá nguyeân (x;y) thoaõ 1989=+ yx

4.5.17: Tìm taát caû caùc caëp soá nguyeân (x;y) thoaõ 2012=+ yx

4.5.18: Cho boán soá nguyeân, neáu coäng ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 2129, 2130, 4062, 4102. Tìm soá lôùn nhaát cuûa caùc soá nguyeân ñoù. 4.5.19: Cho 4 soá nguyeân neáu coäng ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 180, 197, 208, 222.Tính tích cuûa caùc soá nguyeân ñoù. 4.5.20: Cho 4 soá nguyeân neáu tích ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 336, 378, 432, 504. Tìm soá beù nhaát trong caùc soá nguyeân ñoù. 4.5.21: Cho phöông trình: xxxx xx −+− +=+ 2222 66.66. . Goïi S laø toång caùc nghieäm cuûa phöông trình. Tính S15. (Chính xaùc)



BAØI 6. HAØM SOÁ

1. Giôùi thieäu sô ñoà Hocner: Xeùt ña thöùc: ( ) 054

23

32

41

50 =+++++= axaxaxaxaxaP x vaø x = k laø ngieäm phöông trình thì:

x = k

a0 a1 a2 a3 a4 a5

a0 a0.k + a1 = b0

b0.k + a2 = b1

b1.k + a3 = b2

b2.k + a4 = b3

r = b3.k + a5 = 0

( ) ( )( )322

13

04

0 bxbxbxbxakxP x ++++−=⇒

Sô ñoà Hocner ngoaøi phaân tích ña thöùc ra coøn coù nhieàu öùng duïng khaùc nhö tìm soá dö r, tìm heä soá cuûa thöông hai ña thöùc…. 2. Ñònh lyù Buzoul: Soá dö trong pheùp chia ña thöùc ( )xf cho nhò thöùc ( ) axg x −= laø haèng soá baèng ( )af

Daïng 1: Cho ( ) dcxbxaxxP x ++++= 234 . Bieát P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. Tính P(10);

P(11); P(12); P(13). Giaûi

Caùch 1: Ñoàng nhaát thöùc. Ñaët ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) '1'21'321'4321 dxcxxbxxxaxxxxP x +−+−−+−−−+−−−−=

Vôùi x = 1 thì P(1) = d’ = 5 Vôùi x = 2 thì P(2) = c’ + 5 = 7 ⇒ c’ = 2 Vôùi x = 3 thì P(3) = 2b’ + 4 + 5 = 9 ⇒ b’ = 0 Vôùi x = 4 thì P(4) = 6a’ + 6 + 5 = 11 ⇒ a’ = 0 Do ñoù : ( ) ( )( )( )( ) 30483585)1(24321 234 +−+−=+−+−−−−= xxxxxxxxxP x

Vaäy giaù trò cuûa: P(10) = 3047 P(11) = 5065 P(12) = 7947 P(13) = 11909 Caùch 2: Laäp heä phöông trình. Ta coù: x = 1 ⇒ 1 + a + b + c + d = 0 (1) x = 2 ⇒ 16 + 8a + 4 b + 2c + d = 7 (2) x = 3 ⇒ 81 + 27a + 9b + 3c + d = 9 (3) x = 4 ⇒ 256 + 64a + 16b + 4c + d =11 (4) Töø (1) ⇒ d = 4 – a – b – c thay vaøo phöông trình (2), (3), (4). Ta ñöôïc:

27

48

35

10

24931563

762826

1337

=⇒

−=

=

−=

⇔

−+++

−=++

−=++

d

c

b

a

cba

cba

cba

Do ñoù : ( ) ( )( )( )( ) 30483585)1(24321 234 +−+−=+−+−−−−= xxxxxxxxxP x

Vaäy giaù trò cuûa: P(10) = 3047 P(11) = 5065 P(12) = 7947 P(13) = 11909

Caùch 3: Tìm quy luaät soá dö. Ta coù: 5 = 2.1 + 3 7 = 2.2 + 3



9 = 2.3 + 3 11 = 2.4 + 3 ⇒ 5, 7, 9, 11 laø giaù trò cuûa 2x + 3 khi x chaïy töø 1 ñeán 4. P(1) – 2.1 + 3 = 0 P(2) – 2.2 + 3 = 0 P(3) – 2.3 + 3 = 0 P(4) – 2.4 + 3 = 0 Ñaët Q(x) = P(x) – (2x + 3) ⇒ Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) Suy ra: ( ) ( ) ( )( )( )( ) 30483585)1(2432132( 234 +−+−=+−+−−−−=++= xxxxxxxxxxQP xx

Vaäy giaù trò cuûa: P(10) = 3047 P(11) = 5065 P(12) = 7947 P(13) = 11909 Nhaän xeùt veà 3 caùch laøm: Caùch 1 vaø 2 thì chæ söû duïng ñöôïc cho giaù trò cuûa ña thöùc lôùn hôn hoaëc baèng baäc cuûa ña thöùc ñoù. Caùch 3 ta khoù tìm ñöôïc quy luaät soá dö. Trong 3 caùch treân thì hoïc caàn naém vöõng caùch 1 deã öùng duïng vaøo baøi taäp, khoâng gaây phöùc taïp.

Daïng 2: Cho phöông trình : 968034218 2345 −+−+− xxxxx . Haõy phaân tích ña thöùc naøy thaønh nhaân töû.

Giaûi Phaân tích ñeà: Ñeå phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töø thì ta caàn phaûi tìm nghieäm cuûa chuùng maø ñaây laø moät phöông trình baäc 5 trong maùy tính khoâng giaûi ñöôïc. Baøi naøy caàn aùp duïng caùch doø tìm nghieäm SOLVE + sô doà Hocner. Ta ñaët: 0968034218 2345 =−+−+− xxxxx vaø tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy baèng chöông trình SLOVE. Nhaäp ña thöùc 968034218 2345 −+−+− xxxxx vaøo maùy vaø nhaán tieáp shift SOLVE. Keát quaû cho x = 2. Tieáp theo caàn phaûi söû duïng sô ñoà Hocner ñeå haï baäc ña thöùc.

x = 2

1 -8 21 -34 80 -96 1 1.2 + (-8)

= -6 -6.2 + 21

= 9 9.2 + (-34)

= -16 -16.2 + 80

= 48 r = 48.2 + (-96)

= 0

( ) ( )( )4816962 234 +−+−−=⇒ xxxxxf x

Nhaäp ña thöùc ( )481696 234 +−+− xxxx vaøo maùy roài nhaán tieáp shift SOLVE. Keát quaû cho x = 4

Duøng sô ñoà Hocner haï baäc tieáp.

x = 4 1 -6 9 -16 48 1 1.4 + (-6) = -2 -2.4 + 9 = 1 1.4 + (-16) = -12 r = -12.4 + 48 = 0

( ) ( )( )( )12242 23 −+−−−=⇒ xxxxxf x

Baäc cao nhaát baây giôø chæ laø baäc 3. Ta chæ vieäc giaûi nghieäm trong EQN. Keát quaû coù 1 nghieäm baèng 3 vaø 2 nghieäm kia thuoäc soá phöùc. Trong chöông trình caáp II ta khoâng ñeà caäp tôùi. Chæ hieåu laø voâ nghieäm. Duøng Hocner haï baäc tieáp.

x = 3

1 -2 1 -12 1 1.3 + (-2) = 1 1.3 + 1 = 4 4.3 + (-12) = 0

Vaäy: ( ) ( )( )( )( )4432 2 ++−−−= xxxxxf x



Chuù yù: Khi söû duïng shift SOLVE ñeå doø tìm nghieäm thì giaù trò nghieäm khoâng tuaân thuû theo thöù töï naøo caû, coù khi ta khoâng tìm thaáy nghieäm vì giaù trò gaùn. Khi ta nhaäp ña thöùc ñeà baøi

968034218 2345 −+−+− xxxxx maø gaùn bieán x laø 0 thì seõ tìm ra nghieäm laø x = 2. Gaùn x laø 6 thì tìm ra nghieäm laø x = 4. Vì vaäy moät soá baøi ta choïn giaù trò gaùn cho phuø hôïp.

Daïng 3: Cho mxxxP x +−−= 1676 23)( .

Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa m ñeå P(x) chia heát cho 2x + 3. Giaûi

Ñeå P(x) chia heát cho 2x + 3 thì 02

3 =−P neân:

02

3.16

2

3.7

2

3.6

23

=+

−−

−−

−m

⇒ m = 12. Vaäy m = 12 thì P(x) chia heát cho 2x + 3. Giaûi thích: P(x) chia heát cho 2x + 3 thì P(x) = Q(x).(2x + 3)

Khi 2

3−=x thì Q(x).(2x + 3) = 0 ⇒ 0

2

3 =−P

Daïng 4: Tìm soá dö trong pheùp chia: ( )20573 23 −+−= xxxPx cho (4x – 5)

Giaûi Soá dö r trong pheùp chia Px cho (4x – 5) laø:

64

120520

4

5.5

4

5.7

4

5.3

23

4

5 −=−+

−

== Pr

Vaäy soá dö: 64

1205−=r

Giaûi thích: Px chia cho (4x – 5) thì Px = Qx(4x – 5) + r

Khi 4

5=x thì Qx(4x – 5) = 0

4

5Pr =⇒

Daïng 5: Tìm phaàn dö khi chia ña thöùc 12 51100 +− xx cho 12 −x . Giaûi

Goïi thöông cuûa pheùp chia 12 51100 +− xx cho 12 −x laø moät ña thöùc Q(x) phaàn dö laø (ax + b). Ta coù: 12 51100 +− xx = )1( 2 −x .Q(x) + (ax + b). (*)

Thay x = 1 vaø x = -1 vaøo (*) ta coù:

=

−=⇔

+−=

+=

2

2

4

0

b

a

ba

ba

Vaäy phaàn dö cuûa pheùp chia ña thöùc 12 51100 +− xx cho 12 −x laø -2x + 2 Löu yù: Ña thöùc chia laø moät ña thöùc baäc hai neân phaàn dö cuûa pheùp chia laø ña thöùc baäc nhaát. Vaäy ña thöùc chia laø moät ña thöùc n thì phaàn dö cuûa pheùp chia ña thöùc laø moät ña thöùc baäc n-1.

Daïng 6: Cho ña thöùc: ( ) 125 ++= xxf x coù 5 nghieäm laø x1, x2, x3, x4, x5. Kí hieäu ( ) 812 −= xp x .

Haõy tìm tích: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 xxxxx pppppP =

Giaûi



Ta coù: ( ) 125 ++= xxf x coù 5 nghieäm laø x1, x2, x3, x4, x5 neân

( ) ( )( )( )( )( )5432125 1 xxxxxxxxxxxxf x −−−−−=++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ] 3486777677199.199.

9999999999

9999999999

8181818181

252599

5432154321

5544332211

25

24

23

22

21154321

−=+−+−++==

−−−−−−−−−−−−−−−=

+−+−+−+−+−−=

−−−−−==

−ff

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxpppppP

Vaäy 3486777677−=P

Baøi taäp töï luyeän. 4.6.1: Cho phöông trình 0123 =−++ bxaxx .

Tìm a, b ∈ Q. Bieát phöông trình coù hai nghieäm laø

=++

=++

0753

0357

21

21

xx

xx.

4.6.2: Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû: a, 3222 234 −++− xxxx b, 101432 234 +−−− xxxx 4.6.3: Vôùi a laø soá nguyeân. a, Chöùng minh raèng: ( ) 968034218 2345 −+−+−= aaaaaPa chia heát cho 6 vôùi moïi a∈ Z.

b, Tìm soá dö trong pheùp chia P(a) : (a – 2,652). c, Tìm heä soá cuûa a2 trong ña thöùc thöông cuûa pheùp chia treân. 4.6.4: Tìm soá dö trong pheùp chia:

a, 318,2

319,4458,6857,1723,6 235

++−+−

x

xxxx

b, 194,3568,4581,7834,7 235 +−+− xxxx cho (x – 2,652).

4.6.5: Tìm thöông vaø soá dö trong pheùp chia: 2x6 + x5 – 3x2 + 1 cho (x – 7) 4.6.6: Cho ña thöùc ( ) edxcxbxaxxf x +++++= 2345 .

Bieát f(1) = 5; f(2) = 5; f(3) = 9; f(4) = 17; f(5) = 29. Tính f(6); f(7); f(8); f(9); f(10); f(11). 4.6.7: Xaùc ñònh caùc heä soá a, b, c cuûa ña thöùc: ( ) 201023 −++= cxbxaxP x ñeå P(x) chia cho (x – 13) coù soá dö laø 1, chia cho (x – 3) coù soá dö laø

2 vaø chia cho (x – 14) coù soá dö laø 3. (Keát quaû laáy 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).

4.6.8: Cho 201010

;20100201010

599603735223

2

++

+−

=−+−

+−=

x

cbx

x

aQ

xxx

xxP

a, Tính giaù trò cuûa P khi 2010

2009−=x (Laøm troøn 4 chöõ soá thaäp phaân).

b, Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b, c thì P = Q ñuùng vôùi moïi x thuoäc taäp xaùc ñònh. 4.6.9: Cho ña thöùc: ( ) mxxxxP x ++−−= 106194 234 . Tìm m ñeå P(x) chia heát cho 1522 −+ xx .

4.6.10: Cho ña thöùc: ( ) xxxxxP x 35

32

63

82

30

13

21

1

630

1 3579 +−+−=

a, Tính giaù trò cuûa P(x) khi x = -4, -3, -2, ….. 3, 4. b, Chöùng minh raèng P(x) nhaän giaù trò nguyeân vôùi moïi x nguyeân.



7. TOAÙN ÑOÁ

Daïng 1:(Laõi keùp) Moät ngöôøi göûi vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø a ñoàng vôùi laõi suaát laø m% moät thaùng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn laõi ra. Hoûi cuoái thaùng thöù n ngöôøi aáy nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãn laõi?

Giaûi Sau 1 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a + a.m% = a.(1 + m%) Sau 2 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1 + m%) + a.(1 + m%).m% =a.(1 + m%)2 Sau 3 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1 + m%)2 + a.(1 + m%)2.m% =a.(1+m%)3

…………………………………

Sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1+m%)n

Daïng 2:(Göûi coäng doàn) Moät ngöôøi göûi haøng thaùng vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø a ñoàng vôùi laõi suaát laø m% moät thaùng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt tieàn laõi ra. Hoûi cuoái thaùng thöù n ngöôøi aáy nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãn laõi?

Giaûi Sau 1 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a + a.m% = a.(1 + m%) Sau 2 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(2 + m%) + a(2 + m%).m% = a.(2 + m%)(1+m%)

( ) ( )[ ]

%

1%1.%1 2

m

mma −++=

Sau 3 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: ( ) ( )[ ]

am

mma+

−++%

1%1.%1 2

+

( ) ( )[ ]%).

%

1%1.%1(

2

mam

mma+

−++=

( ) ( )[ ]

%

1%1.%1 3

m

mma −++=

……………………………

Sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: ( ) ( )[ ]

%

1%1.%1

m

mman −++

Daïng 3: Moät ngöôøi mua moät moùn ñoà vôùi soá tieàn laø A ñoàng vaø traû goùp haøng thaùng vôùi soá tieàn laø a ñoàng, laõi suaát laø m%/thaùng. Hoûi sau bao laâu ngöôøi ñoù traû heát tieàn.

Giaûi Sau 1 thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø: (A – a).(m% + 1) = A(m% +1) - a(m% + 1) Sau 2 thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø: [A(m% +1) – a(m% + 1) - a ].(m% + 1) = A.(m%+1)2 – a[(m% + 1)2+(m% + 1)] Sau 3 thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø:{A.(m% + 1)2 – a[(m%+1)2+(m%+1)] - a}.(m% +1)



= A.(m% +1)3 – a[(m% + 1)3+(m% + 1)2+(m% + 1)]

= ( ) ( )

%

1%1%.)1%.(

43

m

mmamA

+−+−+

……………………………

Sau n thaùng soá tieàn nôï coøn laïi laø: ( ) ( )

%

1%1%.)1%.(

1

m

mmamA

n

n +−+−+

+

Khi ngöôøi aáy traû heát nôï töùc laø: ( ) ( )

0%

1%1%.)1%.(

1

=+−+

−++

m

mmamA

n

n

Daïng 4: Moät ngöôøi ñöôïc laõnh löông khôûi ñieåm laø a ñoàng/thaùng. Cöù t thaùng (1 baäc) anh ta laïi ñöôïc taêng löông theâm m%. Hai sau nt thaùng (n baäc) laøm vieäc anh ta ñöôïc lónh taát caû bao nhieâu tieàn.

Giaûi Sau t thaùng soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø: a.t Sau 2t thaùng soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø: a.t + a.t(1 + m%) = a.t(2 + m%)

=( )

−+%

1%1..

2

m

mta

Sau 3t thaùng soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø: ( ) ( )2

2

%1.%

1%1.. mta

m

mta ++

−+

= ( )

−+%

1%1..

3

m

mta

…………………………

Sau n baäc soá tieàn maø anh ta nhaän ñöôïc taát caû laø: ( )

−+%

1%1..

m

mta

n

Chuù yù: Ñaây laø 4 daïng baøi taäp hay ra trong thi (Nhaát laø daïng 1,2). Phía treân laø trình baøy döôùi daïng toång quaùt. Khi laøm baøi neân löu yù ñoïc kó ñeà baøi xem coù yeâu caàu trình bay töôøng böôùc khoâng! Ña soá caùc baøi taäp thì chæ caàn ta thuoäc coâng thöùc vaø aùp duïng vaøo laø xong.

Daïng 5: Daân soá xaõ Haäu Laïc hieän nay laø 10 000 ngöôøi. Ngöôøi ta dö tính 2 naêm nöõa daân soá xaõ Haäu Laïc laø 10 404 ngöôøi. Hoûi trung bình moãi naêm daân soá xaõ Haäu Laïc taêng bao nhieâu phaàn traêm. Hoûi sau 10 naêm nöõa daân soá xaõ Haäu Laïc laø bao nhieâu?

Giaûi Caùch 1: Goïi x% laø tæ leä phaàn traêm taêng daân soá trung bình moãi naêm. Theo ñeà baøi ta coù: Daân soá xaõ Haäu Laïc sau 1 naêm laø:

.1001000010000.100

10000 xx

+=+

Daân soá xaõ Haäu Laïc sau hai naêm laø:

( ) 104042001000010010000100

10010000 2 =++=+++ xxxx

x



Giaûi phöông trình ta coù: x1 = 2, x2 = -202 (loaïi). Vaäy tæ leä gia taêng daân soá cuûa xaõ Haäu Laïc laø 2%.

Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc: Daân soá sau n naêm laø: a(1 + m%)n. Trong ñoù: a laø soá daân hieän taïi, m% tæ leä gia taêng daân soá.

( ) %210404%1.10000 2 =⇒=+ mm

b, AÙp duïng coâng thöùc: Ta coù daân soá xaõ Haäu Laïc sau 10 naêm laø: ( ) 12190%21.10000 10 ≈+ (ngöôøi)

Daïng 6: Boán ngöôøi goùp voán buoân chung. Sau 5 naêm, toång soá tieàn laõi nhaän ñöôïc laø 9 902 490 255 ñoàng vaø ñöôïc chia theo tæ leä giöõa ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai laø 2:3, tæ leä giöõa ngöôøi thöù hai vaø ngöôøi thöù ba laø 4:5, tæ leä giöõa ngöôøi thöù ba vaø ngöôøi thöù tö laø 6:7. Hoûi soá tieàn moãi ngöôøi nhaän ñöôïc laø bao nhieâu?

Giaûi Phaân tích: Baøi naøy ta goïi 4 aån roài giaûi phöông trình 4 aån cuõng seõ ra. Nhöng ñeå ñôn giaûn ta goïi 1 aån, roài bieåu dieãn caùc giaù trò coøn laïi theo aån naøy, giaûi seõ nhanh hôn. Goïi soá tieàn laõi maø ngöôøi thöù nhaát nhaän ñöôïc laø: a (Ñieàu kieän : 0 < a < 9 902 490 255) Theo ñeà baøi ta coù:

Soá tieàn ngöôøi thöù hai nhaän ñöôïc laø: 2

3a

Soá tieàn ngöôøi thöù ba nhaän ñöôïc laø: 8

15

4

5.

2

3 aa=

Soá tieàn ngöôøi thöù tö nhaän ñöôïc laø: 16

35

6

7.

8

15 aa=

Giaû laïi: a + 2

3a +

8

15a +

16

35a = 9 902 490 255

⇒ a = 1.508.950.896 Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù nhaát laø: 1 508 950 896 ñoàng Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù hai laø: 2 263 426 344 ñoàng. Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù ba laø: 2 829 282 930 ñoàng. Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù tö laø: 3 300 830 085 ñoàng.

Daïng 7: Moät ngöôøi döï ñònh boû thoùc vaøo 20 oâ theo nguyeân taéc: OÂ thöù nhaát boû 1 haït thoùc, oâ thöù hai boû 3 haït thoùc, oâ thöù ba boû 9 haït thoùc, oâ thöù tö boû 27 haït thoùc … cho ñeán oâ thöù 20. Baïn haõy giuùp ngöôøi ñoù tính soá thoùc caàn vöøa ñuû ñeå boû thoùc theo nguyeân taéc treân.

Giaûi Soá thoùc caàn coù ñeå ñaùp öùng ñuùng caùch boû theo nguyeân taéc treân laø:

17433922002

1333331

201932 =

−=++++ (haït thoùc)

Daïng 8.1: Moät nguôøi baùn moät vaät trò giaù 32 000 000 ñoàng. Ngöôøi ñoù ghi giaù baùn, ñònh thu lôïi 10% giaù ôû treân. Tuy nhieân oâng ta ñaõ haï giaù 0,8% so vôùi döï ñònh. Tìm: a, Giaù ñeà baùn. b, Giaù baùn thöïc teá. c, Soá tieàn maø oâng ta ñuôïc laõi.



Giaûi a, Giaù ñeà baùn: 32 000 000 + 32 000 000 × 10% = 35 200 000 ñoàng. b, Giaù baøn thöïc teá: 35 200 000 – 35 200 000 × 0,8% = 34 918 400 ñoàng. c, Soá tieàn laõi maø oâng ta thu ñöôïc laø: 34 918 400 – 32 000 000 = 2 918 400 ñoàng.

Daïng 8.2: Moät ngöôøi baùn leû mua moät moùn haøng vôùi giaù 24.000 ñoàng giaûm 12,5%, sau ñoù

ngöôøi baùn haøng vôùi soá tieàn lôøi baèng %3

133 giaù voán sau khi ñaõ giaûm bôùt 20% giaù nieâm yeát.

Hoûi anh ta ñaõ nieâm yeát moùn haøng ñoù giaù bao nhieâu? Giaûi

Phaân tích ñeà: Ñoïc coù veû phöùc taïp nhöng chæ caàn tính töø töø töøng böôùc laø ra ñöôïc ñaùp aùn. Theo ñeà baøi ta coù: Ngöôøi baùn leû ñaõ mua maùn haøng ñoù giaù: ( ) 21000%5,121.24000 =− (ñoàng)

Tieàn laõi maø ngöôøi naøy thu ñöôïc sau khi baùn moøn haøng laø: 7000%3

133.21000 = (ñoàng)

Giaù tieàn maø ngöôøi baùn leû naøy nieân yeát laø: 35000%201

700021000=

−+

(ñoàng)

Daïng 9: Ñeå laøm xong moät moät caùi chieáu, anh Hai laøm moät mình heát 4,5 (giôø), chò Ba laø moät mình maát 3 giôø 15 phuùt. Hoûi hai ngöôøi laøm chung thì maát maáy giôø ñeå xong 5 caùi chieáu.

Giaûi Goïi thôøi gian hai ngöôøi laøm chung thì xong moät caùi chieáu laø x. Theo ñeà baøi ta coù:

''55,13'5311

4

13

1

5,4

1. hxx =⇔=

+

Vaäy thôøi gian hai ngöôøi laøm chung xong 5 caùi chieáu laø 5 × 1h53’14’’ = 9h26’10’’.

Baøi taäp töï luyeän: 4.7.1: Coâ Anh göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø 20 000 000 ñoàng vôùi laõi suaát laø 0,8% moät thaùng (laõi keùp). Hoûi sau troøn 5 naêm soá tieàn trong soå tieát kieäm cuûa coâ laø bao nhieâu (Chính xaùc ñeán haøng ñôn vò). 4.7.2: Coâ Haïnh göûi haøng thaùng vaøo ngaân haøng moät soá tieàn laø 1 000 000 ñoàng vôùi laõi xuaát laø 0,8%. Sau 12 thaùng coâ Haïnh nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn laõi? (Chính xaùc ñeán haøng ñôn vò). 4.7.3: Coâ Haïnh ñöôïc laõnh löông khôûi ñieåm laø 1700 000 ñoàng/thaùng. Cöù 1 naêm thaày laïi ñöôïc taêng löông theâm 7%. Hai sau 12 naêm daïy hoïc thaày ñöôïc lónh taát caû bao nhieâu tieàn. (Laáy chính xaùc ñeán haøng ñôn vò) 4.7.4: Thaày Quyù göûi moät soá tieàn 58 000 USD ñöôïc göûi tieát kieäm theo laõi suaát keùp. Sau 25 thaùng thì soá tieàn caõ voán laãn laõi laø 84 155 ñoâ la. Tính laõi suaát. 4.7.5: a, Thaày Loäc göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng 10.000 USD theo möùc kì haïn laø 6 thaùng vôùi laõi suaát 2,5%/kì. Hoûi sau 10 naêm thaày nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goùc laãn laõi ôû ngaân haøng. Bieát raèng thaày khoâng ruùt laõi ôû taát caû caùc kì.



b, Neáu vôùi soá tieàn treân thaày göûi tieát kieäm theo möùc kì haïn laø 3 thaùng vôùi laõi suaát 1,2%/kì thì sau 10 naêm thaày nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãm laõi ôû ngaân haøng. Bieát raèng thaày khoâng ruùt laõi ôû taát caû caùc ñònh kì.(Taát caû laøm troøn ôû haøng ñôn vò). 4.7.6: Anh Nam muoán sau 2 naêm phaûi coù 450 000 000 ñoàng ñeå mua moät ngoâi nhaø. Hoûi haøng thaùng anh Nam phaûi göûi vaøo ngaân haøng noät khoaûn tieàn nhö nhau laø bao nhieâu? Bieát laõi xuaát tieát kieäm laø 0.35%/thaùng. (Laáy chính xaùc ñeán haøng ñôn vò). 4.7.7: Thaày Cöông mua moät maûnh ñaát treân Gia Lai trò giaù 200 000 000 ñoàng. Theo phöông thöùc traû goùp haøng thaùng:

a, Neáu oâng ta chòu laõi suaát 0,4%/thaùng vaø moãi thaùng phaûi traû 20 000 000 ñoàng. Hoûi sau bao laâu oâng ta traû heát tieàn.

b, Neáu moãi thaùng phaûi traû 30 000 000 ñoàng trong voøng 9 thaùng. Hoûi laõi suaát haøng thaùng oâng ta phaûi chòu laø bao nhieâu? 4.7.8: OÂng Hai Luùa coù 100 000 USD muoán göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng trong khoaûng 10 naêm. Coù 2 ngaân haøng cho oâng Hai löïa choïn laø: Ngaân haøng An Phuù vôùi traû laõi suaát 5%/naêm. Ngaân

haøng Taân Lôïi traû laõi suaát %12

5/thaùng. OÂng Hai khoâng bieát löïa choïn ngaân haøng naøo ñeå coù lôøi

nhieàu hôn heát? Baïn giuùp oâng Hai choïn ngaân haøng coù laõi nhieàu hôn. 4.7.9: Laõi suaát tieàn laõi göûi tieát kieäm cuûa moät ngaân trong moät thôøi gian thay ñoåi lieân tuïc. Anh Lòch göûi soá tieàn ban ñaàu laø 5 trieäu ñoàng vôùi laõi suaát 0,7%/thaùng chöa ñaày moät naêm, thì laõi suaát taêng leân 1,15%/thaùng trong nöõa naêm tieáp theo vaø anh Lòch tieáp tuïc göûi; sau nöûa naêm ñoù laõi suaát giaûm xuoáng coøn 0,9%/thaùng, anh Lòch tieáp tuïc göûi theâm moät soá thaùng troøn nöõa, khi ruùt tieàn anh Lòch ñöôïc taát caû voán laãn laõi laø 5 747 478,359 ñoàng. Hoûi anh Lòch ñaõ göûi tieát kieäm trong bao nhieâu thaùng? 4.7.10: Daân soá cuûa moät nöôùc laø 65 trieäu ngöôøi, möùc taêng daân soá trong moät naêm laø 1,2%.

a, Vieát coâng thöùc tính daân soá sau n naêm. b, Vieát quy trình aán phím tính daân soá sau 20 naêm. c, Daân soá nöôùc ñoù sau n naêm seõ vöôït 100 trieäu. Tìm soá n beù nhaát.

4.7.11: Saùu ngöôøi goùp voán môû moät cöûa haøng kinh doanh. Sau moät thôøi gian, soá tieàn laõi thu ñöôïc laø 9 876 543 210 ñoàng vaø chia ra theo tæ leä giöõa ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai laø 1 : 2, ngöôøi thöù hai vaø ngöôøi thöù ba laø 3 : 4, ngöôøi thöù ba vaø ngöôøi thöù tö laø 5 : 6, ngöôøi thöù tö vaø ngöôøi thöù naêm laø 7 : 8, ngöôøi thöù naêm vaø ngöôøi thöù saùu laø 9 : 10. Hoûi soá tieàn laõi cuûa moãi ngöôøi sau khi chia ra laø bao nhieâu? (Laáy chính xaùc ñeán haøng ñôn vò) 4.7.12: Ñeå ñaép moät con ñeâ, ñòa phöông ñaõ huy ñoäng 4 nhoùm ngöôøi goàm: hoïc sinh, noâng daân, coâng nhaân vaø boà ñoäi. Thôøi gian laø vieäc nhö sau (Giaû söû thôøi gian laøm vieäc cuûa moãi ngöôøi trong moät nhoùm laø nhö nhau). Nhoùm boà ñoäi moãi ngöôøi laøm vieäc 7 giôø; nhoùm coâng nhaân moãi ngöôøi laøm vieäc 4 giôø; nhoùm noâng daân moãi ngöôøi laøm vieäc 6 giôø vaø nhoùm hoïc sinh moãi em laøm vieäc 0,5 giôø. Ñòa phöông cuõng ñaõ chi tieàn boài döôõng nhö nhau cho töøng ngöôøi trong moät nhoùm theo caùch: Nhoùm boà ñoäi moãi ngöôøi nhaän 50 000 ñoàng; nhoùm coâng nhaân moãi ngöôøi nhaân 30 000 ñoàng; nhoùm noâng daân moãi ngöôøi nhaân 70 000 ñoàng vaø nhoùm hoõc sinh moãi em ñöôïc nhaän 2 000 ñoàng. Cho bieát: Toång soá ngöôøi cuûa 4 nhoùm laø 100 ngöôøi.



Toång thôøi gian laøm cuûa cuûa boán nhoùm laø 488 giôø. Toång soá tieàn cuûa boán nhím nhaän laø 5 360 000 ñoàng. Tìm soá ngöôøi trong töøng nhoùm laø bao nhieâu ngöôøi. 4.7.13: Moät hình vuoâng ñöôïc chia thaønh 16 oâ (Moãi caïnh 4 oâ). OÂ thöù nhaát ñöôïc ñaët 1 haït thoùc, oâ thöù hai ñöôïc ñaët 4 haït thoùc, oâ thöù ba ñöôïc ñaët 16 haït thoùc… vaø ñaët lieân tieáp nhö vaäy ñeán oâ cuoái cuøng theo quy luaät laø oâ tieáp theo gaáp 4 laàn oâ tröôùc. Tính toång haït thoùc ñöôïc ñaët vaøo 16 oâ cuûa hình vuoâng. 4.7.14: Lòch söû keå laïi raèng: Coù moät ngöôøi ôû Hy Laïp ñaõ nghó ra troø chôi côø vua. Ñöôïc nhaø vua raát thích vaø ban thöôûng cho ngöôøi ñaõ phaùt minh ra. Khi ñöôïc nhaø vua ban thöôûng oâng ta muoán coù nhieàu thoùc vaø soá thoùc ñaët theo quy luaät laø: OÂ thöù nhaát baøn côø ñöôïc ñaët 1 haït thoùc, oâ thöù hai baøn côø ñöôïc ñaët 2 haït thoùc, oâ thöù ba baøn côø ñöôïc ñaët 4 haït thoùc… vaø ñaët lieân tieáp nhö vaäy ñeán oâ cuoái cuøng (OÂ tieáp theo gaáp ñoâi oâ tröôùc). Bieát raèng baøn côø vua coù 64 oâ. Nhaø vua cöôøi mæn, khoâng suy nghó nhieàu nhaø vua lieàn ñoàng yù vaø ra leänh cho cho caùc quan tính soá thoùc thöôûng cho oâng ta. Nhöng khi nghe soá thoùc phaûi thöôûng thì nhaø vua giaät mình khoâng bieát taïi sao? Baïn thöû tính soá thoùc caàn thöôûng xem taïo sao nhaø vua laïi giaät mình. 4.7.15: Moät ngöôøi boû bi vaøo hoäp theo quy taéc: ngaøy ñaàu 1 vieân, ngaøy sau boû gaáp ñoâi ngaøy tröôùc ñoù. Cuøng luùc ñoù cuõng laáy bi ra khoûi hoäp theo nguyeân taéc: ngaøy ñaàu vaø ngaøy thöù hai laáy 1 vieân, ngaøy thöù ba trôû ñi moãi ngaøy laáy ra soá bi baèng toång hai ngaøy tröôùc ñoù.

Tính soá bi coù ñöôïc sau 15 ngaøy. Ñeå soá bi trong hoäp lôùn hôn 1000 caàn bao nhieâu ngaøy?



BAØI 8. THOÁNG KEÂ

Ghi nhôù: Phöông sai baèng bình phöông ñoä leäch tieâu chuaån. Trong maùy chæ coù haøm ñoä leäch chuaån, ñeå tính phöông sai ta tính ñoä leäch chuaån sau ñoù bình phöông. Daïng 1: Cho baûng ñieåm cuûa caùc baïn trong lôùp 12A2 moân Toaùn nhö sau:

Ñieåm 4 6 7 8 9 10 Taàn soá 1 5 9 20 3 1

Tính x vaø phöông sai. Giaûi

Quy trình aán phím treân maùy fx 570MS: Vaøo mode (SD): mode mode 1 Nhaäp döõ lieäu vaøo maùy: 4 DT 6 shift ; 5 DT 7 shift ; 9 DT 8 shift ; 20 DT 9 shift : 3 DT 10 shift ; 1 DT Shift 1 2 ( x ) = (Keát quaû: 7,538461538) Shift 2 2 ( χση ) x2 = (Keát quaû: 1,120315582)

Vaäy soá trung bình ≈7,538461538 vaø phöông sai ≈1,120315582.

Baøi taäp töï luyeän: 4.8.1: Ñieåm moân Toaùn cuûa 12 hoïc sinh trong toå 1 nhö sau: 3,4; 3,6; 4,5, 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6; 6,4; 7,2; 7,8 Tính ñieåm trung bình toång keát moân toaùn cuûa toå ñoù. Tính ñoä leäch tieâu chuaån vaø phöông sai ñoái vôùi toå ñoù. (Taát caû laøm troøn 2 chöõ soá thaäp phaân). 4.8.2: Cho baûng soá lieäu:

Bieán löôïng 173 52 81 37 Taàn soá 3 7 4 5

Tìm soá trung bình vaø phöông sai (Keát quaû laáy 6 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân) 4.8.3: Cho baûng soá lieäu:

Bieán löôïng 7 4 15 17 63 Taàn soá 2 1 5 9 14

Tính soá trung bình vaø phöông sai. (Keát quaû laøm troøn 4 chöõ soá thaäp phaân).



BAØI 9. SOÁ HOÏC

1. DAÁU HIEÄU CHIA HEÁT: Chia heát 2 laø soá taïn cuøng laø chöõ soá chaün (0, 2, 4, 6, 8). Chia heát cho 3 laø soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 3. Ví duï: 123 coù toång caùc chöõ soá: 312336321 MM ⇒=++ Chia heát cho 4 laø soá coù 2 chöõ soá taän cuøng chia heát cho 4. Ví duï: 128, hai chöõ soá taïn cuøng laø: 4128428 MM ⇒ Chia heát cho 5 laø soá coù taän cuøng laø: 0 hoaëc 5. Chia heát cho 6 laø soá vöøa chia heát cho 2 vaø vöøa chia heát cho 3. Chia heát cho 9 laø soá coù toång caùc chöõ soá chia heát cho 9. Chia heát cho 10 laø soá coù taän cuøng laø 0. Chia heát cho 11 laø nhöõng soá coù toång caùc chöõ soá ôû vò trí leõ baèng toång nhöõng chöõ soá ôû vò trí chaün.

2. ÑÒNH NGHÓA VAØ TÍNH CHAÁT QUAN TROÏNG CUÛA ÑOÀNG DÖ THÖÙC: Ñònh nghóa: Cho a, b laø caùc soá ngyueân vaø n laø soá nguyeân döông. Ta noùi, a ñoàng dö vôùi b theo modum n vaø kí hieäu laø ( )nba mod≡ neáu a, b cuøng coù soá dö khi chia cho n.

ÖÙng duïng cuûa ñoàng dö thöùc laø tìm caùc chöõ soá taän cuøng hoaëc tìm soá dö. Ñeå laøm ñöôïc baøi taäp ta phaûi naém moät soá tính chaát sau ñeå öùng duïng: Tính chaát 1: ( ) ( ) Zcncbcanba ∈∀+≡+⇒≡ ,modmod ( ) ( )nbcacnba modmod ≡⇒≡ ( ) ( ) 1,modmod ≥∀≡⇒≡ knbanba kk

Tính chaát 2: Soá coù taän cuøng laø 9376 hay 0625 khi luyõ thöøa leân baäc baát kì cuõng ñöôïc soá taän cuøng laø chính noù. (Ta cuõng coù theå suy ra ñöôïc soá 376, 76, 6, 625, 25, 5 cuõng coù tính chaát töông töï nhöng chæ xeùt 3, 2 hay 1 chöõ soá). Ngoaøi ra coøn coù moät soá tính chaát khaùc: ( ) anaa ∀≡ ,mod ( ) ( )nabnba modmod ≡⇒≡

( ) ( ) ( )ncancbnba modmod,mod ≡⇒≡≡ ( ) ( ) ( )nbancvanbcac mod1,`mod ≡⇒=≡

( ) ( )( )0mod >≡+ aabba nn

3. TÌM ÖCLN VAØ BCNN:

( ) ( )( )BA

BABAUCLN

BAbABCNN

a

AUCLN

b

a

B

A

,,,

..; ===⇒=

4. PHAÂN TÍCH MOÄT SOÁ RA THÖØA SOÁ NGUYEÂN TOÁ: Caùch phaân tích: Ta tính caên baäc hai (SQRT) cuûa soá ñoù: NkkA ∈≈ ,

Chia soá ñoù cho soá 2 vaø caùc soá leõ 3, 5, 7, 9… beù hôn A . (Hieåu laø chia cho caùc soá nguyeân toá beù hôn A )



Ví duï: Phaân tích 1035 ra thöøa soá nguyeân toá. Ta coù: 321035 ≈ Thöïc hieän pheùp chia thöû: Soá 1035 khoâng chia heát cho 2. Laáy 1035 chia cho 3 ñöôïc 345. Laáy 345 chia cho 3 ñöôïc 115. Soá 115 khoâng chia heát cho 3. Laáy 115 chia cho 5 ñöôïc 23. Vaäy 1035 = 2.3.3.23

Daïng 1: Tìm soá dö trong pheùp chia: 1234567890987654321 : 123456

Giaûi Ta thöïc hieän tìm soá dö cuûa 123456789 : 123456 laø 789 Tìm tieáp soá dö cuûa: 7890987 ÷ 123456 laø 113259 Tìm tieáp soá dö: 113259654 ÷ 123456 laø 50502 Soá dö cuoái cuøng laø: 50502321 ÷ 123456 laø 8817 Vaäy soá dö laø : 8817

Daïng 2: Tìm soá dö cuûa 22010 chia cho 9. Tìm 4 chöõ soá cuoái cuøng cuûa soá M = 52009

Giaûi 2.1 AÙp duïng ñoàng dö thöùc, ta coù: 23 ≡ -1 mod 9

22010 ≡ ( )67032 ≡ (-1)670 ≡ 1

Vaäy soá dö cuûa 22010 chia cho 9 laø 1. 2.2 Phaân tích: Cuõng laø moät öùng duïng cuûa ñoàng dö thöùc, ta tìm soá dö khi chia cho 10 000. AÙp duïng ñoàng dö thöùc ñeå tìm 4 chöõ soá taän cuøng, ta coù: 54 ≡ 0625 mod 10.000 55 ≡ 3125 (mod 10.000) {‘Töø böôùc naøy coù theå boû (mod 10000)’} 52000 ≡ (54)500 ≡ (0625)500 ≡ 0625 52009 ≡ 52000.55.54 ≡ 0625.3125.0625 ≡ 3125 Vaäy 4 chöõ soá taän cuøng cuûa M = 52009 laø 3125

Daïng 3: Tìm taát caû caùc soá coù daïng yx534 chia heát cho 36.

Giaûi Ta coù: yx534 chia heát cho 36 thì yx534 chia heát cho 4 vaø 9. (4; 9) = 1

⇒ 45 My

y ∈ {2; 6} Maø (3 + 4 + x + 5 + y) M 9 ⇔ 12 + x + y M 9 Xeùt y = 2 thì x = 4. Xeùt y = 6 thì x = 0 hoaëc x = 9. Vaäy taát caû caùc caëp soá (x; y) thoaõ maõn ñeà baøi laø: (4; 2), (0; 6), (9; 6).



Daïng 4: Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2010 cuûa 49

1

Giaûi

=49

10,(020408163265306122448979591836734693877551)

Ta coù phaân soá naøy vieát ra soá thaäp phaân coù chu kì tuaàn hoaøn laø 42, maø 2010 : 42 dö 37.

Vaäy soá phaän phaân thöù 2010 cuûa 49

1 cuõng laø soá thaäp thöù 37 laø soá 3

Höôùng daãn caùch tính chu kì cuûa soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn: - Laáy 1 : 49 ñöôïc 0,020408163 Ta thöïc hieän pheùp nhaân: 0,020408163 × 49 (Khoâng ñöôïc söû duïng Ans ñeå thay cho 0,020408163). Keát quaû ñöôïc 0,999999987 Laáy 1 – Ans ( Ans = 0,999999987 ). Ta ñöôïc 1,3 x 10-8 (Ta phaûi bieát 1,3 x 10-8 = 13 x 10-9){Vì ta ñaõ laáy 9 chöõ soá thaäp phaân} - Laáy 13 : 49 ñöôïc 0,265306122 Ta thöïc hieän pheùp nhaân: 0,265306122 x 49. Keát quaû ñöôïc 12,999999978 Laáy 13 – Ans ( Ans = 12,99999998). Ta ñöôïc 2,2 x 10-8 ( Ta phaûi bieát 2,2 x 10-8 = 22 x 10-9). ………………………………… Ta seõ tìm ñöôïc chu kì cuûa noù. Giaûi thích : Ta hieåu laø: 1 : 49 = 0,020408163 + 0,00000000013:49 Ta laáy 13 : 49 nghóa laø tìm chöõ phaàn thaäp phaân tieáp theo cuûa thöông. = 0,020408163 + 0,000000000265303122 + 0,00000000000000000022:49 Quy taéc tìm gioáng nhö chia coät tính cuûa chöông trình toaùn lôùp 5. Xem hình döôùi ñaây:

Ngoaøi ra coøn coù hai caùch laøm khaùc nhanh hôn caùch trình baøy treân, seõ ñöôïc höôùng daãn trong baøi taäp töï luyeän.

Daïng 5: So saùnh:

3232 vaø 2323

Giaûi Phaân tích ñeà: Bieåu thöùc ta hieåu noâng na: caùi muû muû caùi muû vaø muû caùi muû. Neáu baám: 2 ^ 3 ^ 2 ^3 = (Keát quaû: 262144) laø giaù trò sai. Caùch giaûi nhö sau: Ta coù:



656133 222832

==

51222 333

923

== Söû duïng tính chaát baét caàu, ta coù:

( ) ( ) 5128961284128747 32323281128 >⇔>⇔>⇔>

Giaû laïi 8966561 22 >

Vaäy: 2332 23 32 >

Daïng 6: Tìm öôùc soá chung lôùn nhaát vaø boäi chung nhoû nhaát cuûa 5782 vaø 9374. Giaûi

Caùch 1: Laäp tæ soá: Laäp tæ soá giöõa 2 soá:

5782 ÷ 9374 = (Keát quaû laø: 4687

2891)

⇒ ÖCLN(5782,9374) = 22891

5782=

⇒ BCNN(5782,9374) = 5782.4687 = 27100234

Caùch 2: Söû duïng tieân ñeà Ô-Clit. Phaùt bieåu tieân ñeà Ô-Clit: Goïi r laø soá dö cuûa soá A chia cho soá B thì ÖCLN(A,B) = ÖCLN(B,r) AÙp duïng tieân ñeà Ô-Clit ta coù: 9374 ÷ 5782 ñöôïc soá dö laø 3592 ÖCLN(9374,5782) = ÖCLN(5782,3592) 5782 ÷ 3592 ñöôïc soá dö laø 2190 ÖCLN(5782,3592) = ÖCLN(3592,2190) 3592 ÷ 2190 soá dö laø 1402 ………………………. ⇒ ÖCLN(9374,5782) laø 2.

⇒ BCNN(9374,5782) laø 271002342

5782.9374=

Caùch 3: Phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá: Ta coù: 9374 = 2.43.109 5782 = 2.7.7.59 ⇒ ÖCLN(9374,5782) laø 2. ⇒ BCNN(9374,5782) laø 2.43.109.7.7.59 = 27100234.

Baøi taäp töï luyeän 4.9.1: Vieát quy trình aán phím vaø tính soá dö khi chia 201220122012 cho 2011 4.9.2: Tìm öôùc chung lôùn nhaát cuûa boán soá sau: 22222, 505606, 714714, 999999. 4.9.3: Tìm öôùc chung lôùn nhaát vaø boäi chung nhoû nhaát cuûa 1996 vaø 2012. 4.9.4:Tính toång taát caû caùc öôùc leõ döông cuûa 2010. 4.9.5: Tìm öôùc nguyeân toá coù moät chöõ soá cuûa: 1230 − 4.9.6: Tìm caùc öôùc nguyeân toá nhoû nhaát vaø lôùn nhaát cuûa soá 2152 + 3142



4.9.7: Cho soá 670....0020102010,0

3

...020102010,0

3

...20102010,0

3

++=M . Phaân tích M ra thöøa soá

nguyeân toá. 4.9.8: Coù bao nhieâu soá töï nhieân m laø öôùc soá cuûa: N = 1890 × 1930 × 1945 × 1954 × 1969 × 1975 × 2010 nhöng khoâng chia heát cho 900. 4.9.9: Tìm 4 chöõ soá taän cuøng cuûa:

a, 1201120123 +=A b, 11415116213 −=B

4.9.10: Tìm 3 chöõ soá taän cuøng cuûa 8240 4.9.11: Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa:

a, 201320122011 222 ++ b, 201320122011 666 ++

4.9.12: Tìm chöõ soá haøng chuïc cuûa 201223 4.9.13: Tìm soá dö trong pheùp chia: 715 : 2012 4.9.14: Thöïc hieän pheùp chia soá 1 cho soá 23 ta ñöôïc moät soá thaäp phaân voâ haân tuaàn hoaøn. Tìm chu kì cuûa noù. 4.9.15: Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2012 cuûa:

a, 49

3 b,

59

95

4.9.16: Tìm soá töï nhieân a lôùn nhaát ñeå khi chia caùc soá 13511, 13903, 14589 cho a ñöôïc cuøng moät soá dö. 4.9.17: Tìm n ñeå )!1(10.5,5! 28 +≤≤ nn

4.9.18: Cho soá töï nhieân n ( )20101010 ≤≤ n sao cho nan 2120203+= cuõng laø soá töï nhieân.

a, Khi aáy an phaûi naèm trong khoaûng naøo? b, Chöùng minh raèng an chæ coù theå laø moät trong caùc daïng: 17 += kan

hoaëc 17 −= kan(k ∈ N)

c, Tìm caùc soá töï nhieân n ( )20101010 ≤≤ n sao cho nan 2120203+= cuõng laø moät soá töï nhieân.

4.9.19: Tìm x, y bieát: 36534 Myx

4.9.20: Bieát soá coù daïng yxA 41235679= chia heát cho 24. Tìm taát caû caùc soá A. 4.9.21: Tìm caùc chöõ soá a, b, c, d ñeå ta coù: 7850.5 =bcda 4.9.22: Tìm caùc chöõ soá a, b, c, d, ñeå coù: 7850. =bcdab 4.9.23: Tìm soá lôùn nhaát vaø soá nhoû nhaát coù daïng tyzxD 632= vôùi Ntzyxtzyx ∈≤≤ ,,,;9,,,0 .

Bieát D chia heát cho 29.

4.9.24: Tìm hai soá töï nhieân thoaõ: ( ) gaag *****4= . Trong ñoù ***** laø 5 nhöõng soá khoâng aán

ñònh ñieàu kieän. 4.9.25: Tìm caùc soá a, b, c: ( )22210 cbaabc ++=

4.9.26: Tìm 9 caëp hai soá töï nhieân nhoû nhaát (Kí hieäu laø a vaø b, trong ñoù soá a laø soá lôùn, soá b laø soá nhoû) coù toång laø boäi cuûa 2010 vaø thöông cuûa chuùng baèng 5.



4.9.27: Tìm taát caû caùc soá coù 6 chöõ soá thoaõ maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän: - Soá ñöôïc taïo thaønh bôûi ba chöõ soá cuoái lôùn hôn soá taïo thaønh bôûi ba chöõ soá ñaàu moät ñôn vò. - Soá ñoù laø soá chính phöông.

4.9.28: Moät soá coù 6 chöõ soá trong heä cô soá 10 ñöôïc goïi laø soá gaàn vuoâng. Neáu noù thoaõ maõn caùc ñieàu kieän sau:

- Khoâng chöùa chöõa soá 0. - Laø soá chính phöông. - Hai chöõ soá ñaàu, hai chöõ soá giöõa vaø hai chöõ soá cuoái ñeàu tao thaønh nhöõng soá chính phöông coù 2 chöõ soá.

4.9.29: Kí hieäu [x] laø phaàn nguyeân cuûa x.

Giaûi phöông trình: [ ] [ ] [ ] 8551...21 3 333 =−+++ x

4.9.30: Cho a = 1.2.3…17 (Tích cuûa 17 soá töï nhieân lieân tieáp, baét ñaàu töø soá 1). Haõy tìm öôùc soá lôùn nhaát cuûa a, bieát öôùc soá ñoù:

- Laäp phöông cuûa moät soá töï nhieân. - Bình phöông cuûa moät soá töï nhieân.

4.9.31: Tìm soá nguyeân döông nhoû nhaát thoaõ maõn ñieàu kieän: chia cho 2 dö 1, chia cho 3 dö 2, chia cho 4 dö 3, chia cho 5 dö 4, chia cho 6 dö 5, chia cho 7 dö 6, chia cho 8 dö 7, chia cho 9 dö 8, chia cho 10 dö 9. 4.9.32: Tìm taát caû caùc soá maø khi bình phöông seõ coù taän cuøng laø ba chöõ soá 4. Coù hay khoâng caùc soá maø khi bình phöông seõ coù taän cuøng laø boán chöõ soá 4. 4.9.33: Giaû söû a laø moät soá töï nhieân cho tröôùc.

a, Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa a ñeå bình phöông cuûa a coù taän cuøng laø 89. b, Tìm soá töï nhieân nhoû nhaát a maø bình phöông cuûa noù laø moät soá baét ñaàu baèng soá 19 vaø keát thuùc baèng soá 89. c, Tìm taát caû caùc soá töï nhieân n sao cho n2 laø moät soá 12 chöõ soá coù daïng: 89******25252 =n (Trong ñoù saùu daáu * bieåu thò saùu chöõ soá, coù theå gioáng vaø khaùc nhau). Tìm caùc soá ñoù.

4.9.34: Tìm boán chöõ soá taän cuøng cuûa n ñeå n3 coù taän cuøng laø boán chöõ soá 1. 4.9.35: Tìm soá töï nhieân n nhoû nhaát sao cho n3 laø moät soá coù ba chöõ soá ñaàu vaø ba chöõ soá cuoái ñeàu baèng 1, töùc laø 1111....1113 =n . Tìm soá ñoù vaø laäp phöông cuûa noù.



10. ÑOÀ THÒ MAËT PHAÚNG

COÂNG THÖÙC CAÀN NHÔÙ: 1, Ñoà thò haøm soá trong maët phaúng:

( ) ( ) ( ) ( )221

2212211 ;;; yyxxAByxByxA −+−=⇒

2, Ñænh cuûa Parabol (P) :

∆−−

aa

b

4;

2

3, Ñoà thò haøm soá trong khoâng gian (Tham khaûo).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )221

221

221222111 ;;;;; zzyyxxABzyxBzyxA −+−+−=⇒


4.10.1: Cho hai haøm soá: 5

22

5

3+= xy (1) vaø 5

3

5+−= xy (2).

Veõ ñoà thò cuûa hai haøm soá treân maët phaúng toaï ñoä Oxy. Tìm toaï ñoä cuûa giao ñieåm A(xA;yA) cuûa hai ñoà thò. (Ñeå keát quaû döôùi daïng phaân soá vaø hoãn soá). 4.10.2: Treân maët phaúng toaï ñoä Oxy cho caùc ñieåm A(1;3), B( 32 ;-5), C(-4;- 33 ). Tính caùc khoaûng caùch AB; AC; BC. (Laøm troøn 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân). Tính gaàn ñuùng dieän tích ∆ABC. (Laøm troøn 3 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân). 4.10.3: Vieát ñuùng phöông trình ñöôøng thaúng y = ax + b ñi qua hai ñieåm

−−

210

2020;

209

2929;

20

2010;

29

2009BA

4.10.4: Cho (P) coù phöông trình y = 4,7x2 – 3,4x - 4,6. Tìm toaï ño ñænh S(x0;y0) cuûa (P). 4.10.5: Cho (P) y = ax2 + bx + c ñi qua ñieåm (-3;7) coù ñænh laø (1;-12).Tìm caùc heä soá a, b, c. 4.10.6: Tính giaù trò gaàn ñuùng vôùi 5 chöõ soá thaäp phaân cuûa hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) y = 4,7865x2 – 3,5746x – 10,4972 vôùi ñöôøng thaúng (d) y = 15x + 23 4.10.7: Xaùc ñònh giaù trò ñuùng cuûa m vaø n ñeå hai ñöôøng thaúng mx – (n + 1)y – 1 = 0 vaø nx + 2my + 2 = 0 caét nhau taïi ñieåm A(-1;3) 4.10.8: Tìm m, n bieát khi chia ña thöùc x2 + mx + n cho (x – m) vaø (x – n) soá dö laàn löôït laø m vaø n. Haõy bieåu dieãn caëp giaù trò m vaø n theo thöù töï m treân Ox vaø n treân Oy thuoäc maët phaúng Oxy. Tính khoaûng caùch giöõa caùc ñieåm coù toaï ñoä (m; n).



11. HÌNH HOÏC

A. COÂNG THÖÙC, ÑÒNH LYÙ TRONG HÌNH HOÏC PHAÚNG: 1, Ñònh lyù haøm soá sin:

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin===

2, Ñònh lí haøm soá cos: Abccba cos2222 −+=

Baccab cos2222 −+=

Cabbac cos2222 −+=

......sin

sin.;

sin

sin.

A

Bab

B

Aba ==⇒

3, Ñöôøng trung tuyeán:

2

22

22

222

222

abca

cb

ma

−+=

−+=

4, Ñöôøng phaân giaùc trong:

( )apbcpcb

d a −+

=2

5, Ñöôøng phaân giaùc ngoaøi:

( )( )cpbpbccb

da −−−

=2

6, Ñöôøng cao:

A

CBaBcCbha sin

sin.sin.sin.sin. ===

7, Khoaûng caùch giöõa 2 taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi vaø noäi tieáp: ( )rRR 2−

8, Dieän tích tam giaùc:

( )( )( )cpbpappS −−−=

S

abcR

R

abcS

44=⇒=

BcaAcbCbaS sin...2

1sin..

2

1sin...

2

1===

CBA

SRCBARS

sin.sin.sin.2sin.sin.sin.2 2 =⇒=

p

SrrpS =⇒= .

A

CBahaS a sin.2

sin.sin..

2

1 2

==

RAÁT QUAN TROÏNG, ÖÙNG DUÏNG NHIEÀU



9, Ba ñöôøng phaân giaùc caét 3 caïnh taïi A1, B1, C1 thì:

( )( )( )cbcaba

SabcS ABC

CBA +++=

.2111

11, Dieän tích hình bình haønh vaø hình thoi: αsin..ADABS ABCD =

12, Dieän tích cuûa hình thang caân coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc:

2

2

2

1

2l

baS =

+= (l laø ñöôøng cheùo).

13, Dieän tích töù giaùc loài noäi tieáp khi bieát 4 caïnh:

( )( )( )( )dpcpbpappS −−−−=

14, Goùc taïo bôûi hai ñöôøng cheùo:

bdac

S

+=

2sinα

B. HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN

Teân hình Dieän tích xung quanh Dieän tích toaøn phaàn Theå tích Hình truï hRS ...2 π= 2..2...2 RhRS ππ += hRV .. 2π=

Hình noùn lRS ..π= 2... RlRS ππ += hRV ...3

1 2π=

Hính noùn cuït

( )lRRS .21 +=π ( ) 22

2121 .. RRlRRS πππ +++= ( )21

22

21 ....

3

1RRRRhV ++= π

Hình caàu 22 ...4 dRS ππ == 3..3

4RV π=

Chöùng minh: Ñònh lyù haøm soá Sin vaø Cos trong tam giaùc. 1. Cho ∆ABC coù AB = c, AC = b, α=CAB ˆ . Tính caïnh BC theo b, c vaø α .

Giaûi Trong tam giaùc vuoâng HBC, ta coù: BC2 = CH2 + BH2 (1) Trong tam giaùc vuoâng ACH, ta coù: CH2 = AC2 – AH2 Thay BH = |AB – AH| (Xeùt caø 2 tröôøng hôïp goùc B nhoû hôn vaø lôùn hôn 900), ta ñöôïc: BH2 = |AB – AH|2 = AB2 + AH2 – 2AB.AH (3) Töø (1), (2) vaø (3) ta ñöôc: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AH = AB2 + AC2 – 2AB.AC.CosA Hay: BC = b2 + c2 – 2bcCosα 2. Cho ∆ABC coù AB = c, AC = b, BC = a. Noäi tieáp (O;R). Chöùng minh raèng:

RSinA

a2= neáu A laø goùc nhoïn.w



Giaûi b, Ta coù:

CDBCABCDBCAB))))

sinsin =⇒=

Maø: R

a

BD

BCCDB

2sin ==

)

R

aCAB

2sin =⇒

)

Neân: RSinA

a2=

⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh. 1. Baøi taäp traéc nghieäm: Giuùp chuùng ta naém baét vaø vaän duïng toát caùc coâng thöùc. Nhöõng baøi taäp nhoû naøy caàn aùp duïng moät coâng thöùc, baám maùy tính thaät nhanh laø ra luoân keát quaû. 1. Tính soá ño caùc goùc cuûa ∆ABC bieát raèng: CBA ˆ6ˆ14ˆ21 == . Soá ño cuûa caùc goùc A, B, C laàn löôït laø: a, 30, 60, 90 b, 40, 60, 140 c, 30, 45, 105 d, 40, 75, 90 2. Cho ∆ABC coù: '1857ˆ;35,82ˆ °=°= CB vaø a + b + c = 58 (cm). Ñoä daøi moãi caïnh cuûa ∆ laø:

a, 14; 24; 20 b, 7,85; 9,24; 24,91 c, 15,14; 23,18; 19,68 d, 5; 10; 15 3. Cho tam giaùc ABC coù 3 caïnh laø: a = 8,32; b = 7,61; c = 6,95. Soá ño goùc A baèng ñoä, phuùt, giaây laø: a, 45025’35” b, 69031’50” c, 69031’49” d, 96024’64” 4. Cho tam giaùc vuoâng coù caùc caïnh goùc vuoâng laø 3 4 (cm) vaø 4 3 (cm). Bình phöông ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán cuûa ∆ laø: a, 0,726 (cm) b, 1,063 (cm) c, 4,252 (cm) d, 0,532 (cm) 5. Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi caïnh AB = 6 (cm), AC = 12 (cm), BC = 16 (cm). Ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi goùc A laø: a, 7,089 (cm) b, 12,063 (cm) c, 4,252 (cm) d, 5,099 (cm) 6. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vôùi AB = 15 (cm), BC = 26 (cm). Keû ñöôøng phaân giaùc trong AI. Ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc AI laø: a, 14,74 (cm) b, 13,25 (cm) c, 12,43 (cm) d, 14,05 (cm) 7. Cho ∆ABC coù AB = 6 (cm), AC = 12 (cm), A = 1200. Keû ñöôøng phaân giaùc AD cuûa goùc A. Ñoä daøi AD laø: a, 1,971 (cm) b, 0,972 (cm) c, 2,23 (cm) d, 3,012 (cm) 8. Moät tam giaùc coù ba caïnh öùng vôùi ñoä daøi laø 30,735 (cm); 40,98 (cm); 51,225 (cm). Dieän tích cuûa tam giaùc ñoù laø: a, 567,45 (cm2) b, 75,26 (cm2) c, 629,76 (cm2) d, 356,76 (cm2) 9. Cho tam giaùc ABC coù goùc A nhoïn. Bieát AB = 4,5 (cm), AC = 9,6 (cm) vaø soá ño goùc A baèng 600. Dieän tích tam giaùc laø: a, 18,7 (cm2) b, 20,32 (cm2) c, 9,64 (cm2) d, 28,03 (cm2) 10. Cho ∆ABC coù 3 caïnh: a = 15 (cm); b = 13 (cm); c = 12 (cm). Ba ñöôøng phaân giaùc trong caùc 3 caïnh tai A1, B1, C1. Tính dieän tích tam giaùc A1B1C1. a, 18,53 (cm2) b, 20,32 (cm2) c, 10,96 (cm2) d, 28,03 (cm2)



11. Dieän tích hình troøn noäi tieáp trong tam giaùc ñeàu coù caïnh a = 12,46 (cm) laø: a, 40,64 (cm2) b, 20,32 (cm2) c, 32,05 (cm2) d, 74,46 (cm2) 12. Chu vi hình troøn ngoaïi tieáp ∆ ñeàu coù caïnh a = 4,6872 laø: ÑS: P = 17 a, 27 (cm) b, 13 (cm) c, 28 (cm) d, 17 (cm) 13. Cho tam giaùc ABC coù chu vi 58 (cm); soá ño goùc B baèng 58020’, soá ño goùc C = 82035’. Haõy tính ñoä daøi ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc ñoù. 14. Moät tam giaùc coù chu vi laø 49,49 (cm); caùc caïnh tæ leä 20: 21: 29. Tính khoaûng caùch töû giao ñieåm cuûa 3 ñöôøng phaân giaùc tôùi moãi caïnh cuûa tam giaùc. a, 7,244 (cm) b, 6,421 (cm) c, 4,242 (cm) d, 5,341 (cm) 15. Cho tam giaùc ABC coù °=120B , BC = 12 (cm), AB = 6 (cm). Phaân giaùc trong cuûa goùc B caét caïnh AC taïi D. Dieän tích tam giaùc ABD laø: a, 2,52 (cm2) b, 12,52 (cm2) c, 10,96 (cm2) d, 10,39 (cm2) 16. Cho moät tam giaùc noäi tieáp trong ñöôøng troøn. Caùc ñænh cuûa tam giaùc chia ñöôøng troøn thaønh ba cung coù ñoä daøi laø 3, 4, 5. Dieän tích tam giaùc ñoù laø: a, 3,142 (cm2) b, 4,315 (cm2) c, 10,96 (cm2) d, 8,03 (cm2) 17. Cho ∆ABC coù AB = 6,75 (cm); AC = 8,42 (cm); BC = 10,27 (cm). Caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A caét ñöôøng thaúng BC ôû D. Ñoä daøi ñoaïn BD laø: a, 6,254 (cm) b, 6,421 (cm) c, 4,57 (cm) d, 3,124 (cm) 18. Hình chöõ nhaät coù bình phöông ñoä daøi caïnh nhoû laø 2 (cm), vaø dieän tích cuûa hình chöõ nhaät laø 40 (cm2). Ñoä daøi caïnh coøn laïi laø: a, 20 (cm2) b, 28,28 (cm2) c, 10 (cm2) d, 12,76 (cm2) 19. Moät hình chöõ nhaät coù dieän tích 360 m2. Neáu taêng moãi caïnh theâm 1 (m) thì dieän tích taêng 40 (m2). Hai kích thöôùt cuûa hình chöõ nhaät laø: a, 16 (cm); 22,5 (cm) b, 36 (cm); 10 (cm) c, 12 (cm); 30 (cm) d, 15 (cm); 24 20. Dieän tích cuûa hình caàu coù ñöôøng kính d = 12,508 (cm) laø: a, 419,5 (cm2) b, 28,28 (cm2) c, 42,05 (cm2) d, 262,71 (cm2) 21. Baùn kính cuûa hình caàu coù V = 137,45 cm3 laø: a, 3,2 (cm) b, 4,2 (cm) c, 5,6 (cm) d, 3,1 (cm) 22. Cho ∆ABC vuoâng taïi A quay caïnh AC. Bieát BC = 5,025 (cm) vaø goùc B = 680. Dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình noùn ñöôïc taïo thaønh laø: a, 16 (cm2) 22,5 (cm3) b, 29,7 (cm2)17,3 (cm3) c, 12,24 (cm2); 30,4 (cm3) d, 15 (cm2); 24 23. Cho hình chöõ nhaät ABCD quay xung quanh caïnh BC. Bieát BC + CD = 15,24 (cm) vaø

3

2=

CD

BC. Dieän tích toaøn phaàn vaø theå tích cuûa hình truï taïo thaønh laàn löôït laø:

a, 875,59 vaø 1601,28 b, 252,34 vaø 656,65 c, 234,43 vaø 1236,23 d,Keát quaû khaùc 24. Cho baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa moät tam giaùc laàn löôït laø 5 (m) vaø 2 (m). Khoaûng caùch giöõa 2 taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa tam giaùc laø: a, 3,2 (m) b, 2,236 (cm) c, 5,6 (m) d, 2,236 (m)



Giaûi baøi taäp traéc nghieäm Caâu 1: Caùch 1:

Vì CBA ˆ6ˆ14ˆ21 == neân 42

ˆ6

42

ˆ14

42

ˆ21 CBA== hay

7

ˆ

3

ˆ

2

ˆ CBA==

Suy ra: 12

180

12

ˆˆˆ

7

ˆ

3

ˆ

2

ˆ °=

++===

CBACBA

Do ñoù: °=×°= 30215A ; °=×°= 45315B ; °=×°= 105715C Caùch 2: (Nhaåm) °=++ 180ˆˆˆ CBA Giaûi phöông trình 3 aån: Vaøo EQU, 3 unknowns.

21 = -14 = 0 = 0 = 0 = 14 = - 6 = 0 = 1 = 1 = 1 = 180 =

Ñaùp aùn: C

Caâu 2: Ta coù:SinC

c

SinB

b

SinA

a==

Giaûi phöông trình 3 aån: Vaøo EQU, 3 unknowns. Sin 82,35 o’” = - Sin (180 – 82,35 o’” – 57 o’” 18 o’” ) = 0 = 0 = 0 = Sin 57 o’” 18 o’” = - sin 82,35 o’” = 0 = 1 = 1 = 1 = 58 =

Ñaùp aùn: C Caâu 3: αcos2222 bccba −+= Baám: 7,61 x2 + 6,95 x2 – 8,32 x2 = ÷ ( 2 × 7,61 × 6,95 = shift Cos-1 Ans = Ñaùp soá: C Caâu 4: Trong ∆ vuoâng thì ñöôøng trung tuyeán baèng ½ caïnh huyeàn. Baám: ( ( 3 4 ) x2 + (4 shift x 3 ) x2 ) = ÷ 2 = x2 Ñaùp soá: A

Caâu 5: Ta coù:42

2222 acb

m a −+

=

Baám: 6 ^ 2 + 12 ^ 2 = ÷ 2 = - 16 ^ 2 ÷ 4 = x Ans = Ñaùp soá: D Caâu 6: Tính AC baám: x ( 26 ^ 2 – 15 ^2 =

( )apbcpcb

d a −+

=2

baám tính AI: 2 ab/c ( 15 + Ans ) × x ( 15 × Ans × (15 +

26 + Ans ) ÷ 2 × ( (15 + 26 + Ans ) ÷ 2 – 26 = Ñaùp soá: C Caâu 7: AÙp duïng haøm soá cos, tính BC baám: 6 ^2 + 12 ^2 – 2 × 6 × 12 × cos 120 = x Ans =

( )apbccb

d a −+

=2

baám tính AD: 2 ab/c ( 6 + 12 ) × x ( 6 × 12 × ( (6 + 12 +

Ans ) ÷ 2 – Ans = Ñaùp soá: B



Caâu 8: Ta coù ( )( )( )cpbpappS −−−= Baám: 30,735 shift STO A 40,98 shift STO B 51,225 shift STO C Alpha A + alpha B + alpha C = ÷ 2 shift STO D

( alpha D × ( alpha D – alpha A ) × ( alpha D – alpha B ) × ( alpha D – alpha C) ) = Ñaùp soá: C

Caâu 9: Ta coù: AACABS sin..2

1=

Baám: 1 ab/c 2 × 4,5 × 9,6 × sin 60 = Ñaùp soá: A

Caâu 10: Ta coù:( )( )( )cbcaba

SabcS ABC

CBA +++=

.2111

Baám tính dieän tích ∆ ABC: 15 shift STO A 13 shift STO B 12 shift STO C Alpha A + alpha B + alpha C = ÷ 2 shift STO D

( alpha D × ( alpha D – alpha A ) × ( alpha D – alpha B ) × ( alpha D – alpha C) ) = shift STO X2 × alpha A × alpha B × alpha C × alpha X ÷ ( ( alpha A + alpha B) × ( alpha A + alpha C ) × ( alpha B + alpha C) = Ñaùp soá: A

Caâu 11: 4

360sin..

2

1..

2

1 2aaahaS aABC =°== khi ABC laø ∆ ñeàu.

Maø: p

SrrpS =⇒= . hay

326

3

3

2 aa

a

Sr ===

32

ar =⇒

32

46,12=⇒ r

Baám: 12,46 ÷ ( 2 × x 3 ) = Ans x2 × shift π = Ñaùp soá: A

Caâu 12: 4

360sin..

2

1..

2

1 2aaahaS aABC =°== khi ABC laø ∆ ñeàu.

Maø S

abcR

R

abcS

44=⇒= hay

34

3 a

S

aR ==

3

6872,4

3==⇒

aR

Baám: 4,6872 ÷ ( x 3 ) = × 2 × shift π = Ñaùp soá: D Caâu 13: AÙp duïng haøm soá Sin, ta coù:

SinCSinBSinA

cba

SinC

c

SinB

b

SinA

a

++++

===

Suy ra: ( )

SinCSinBSinA

SinBcbab

++++

=.

( )( )

)(79288254,19'3582'2058180'3582'2058

'3582'.2058.58.cm

SinSinSin

SinSin

SinCSinBSinA

SinCSinBcbabSinCAH ≈

°−°−°+°+°°°

=++

++==



Caâu 14: Caùch 1: Goïi 3 caïnh ∆ laø a, b, c ta coù:

=

=

=

⇔

=−

=−

=++

503,20

847,14

14,14

02920

02120

49,49

c

b

a

ca

ba

cba

Giao ñieåm cuûa ba ñöôøng phaân giaùc chính laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp. ( )( )( ) prcpbpappS =−−−=

Baám: 14,14 shift STO A 14,847 shift STO B 20,503 shift STO C Alpha A + alpha B + alpha C = ÷ 2 shift STO D ( alpha D × ( alpha D – alpha A ) × ( alpha D – alpha B ) × ( alpha D – alpha C) ) = ÷ alpha D = Ñaùp soá: C Caùch 2: Goïi ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc laø a, b, c. Ta coù:

707,070

49,49

70292120==

++===

cbacba

⇒ a = 14,14 (cm); b = 14,847 (cm); c = 20,503 (cm). Giao ñieåm cuûa ba ñöôøng phaân giaùc chính laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp.

AÙp duïng coâng thöùc: ( )( )( ) prcpbpappS =−−−=

==++

= 745,242

49,49

2

cbap

Suy ra: ( )( )( ) ( )( )( )

242,4745,24

503,20745,24847,14745,2414,14745,24745,24≈

−−−=

−−−=

p

cpbpappr

Vaäy khoaûng caùch töø giao cuûa 3 ñöôøng phaân giaùc tôùi moãi caïnh cuûa tam giaùc laø: 4,242 (cm). Caâu 15: AÙp duïng haøm soá cos, baám tính AC:

12 2x + 6 2x - 2 × 12 × 6 × cos 120 = Ans = shift STO B

( )bpacpca

db −+

=2

tính BD baám:

12 shift STO A 6 shift STO C alpha A + alpha B + alpha C = ÷ 2 shift STO D 2 ab/c ( alpha A + alpha C ) × ( alpha A × alpha C × alpha D ( alpha D – alpha B) ) = shift STO X Coù BA, BD vaø goùc ABD tính dieän tích ∆ ABD baám: 1 ab/c 2 × alpha C × alpha X × sin 60 = Ñaùp soá: D Caâu 16: Chuù yù: Phaân bieät cung vaø daây cung. Caùc ñænh cuûa tam giaùc chia ñöôøng troøn thaønh ba cung coù ñoä daøi laø 3, 4, 5 neân:

12

180

12543

°=

++===

εβαεβα

°=°=°=⇒ 75;60;45 εβα

Laïi coù: 91,1360

90...23 =⇒= R

Rπ(cm)

)(315,475sin60sin45sin91,12sin.sin.sin.2 222 cmRS =××××== εβα

Ñaùp aùn: B



Caâu 17: ( )apbcpcb

d a −+

=2

Baám tính AD: 6,75 shift STO C 8,42 shift STO B 10,27 shift STO A alpha A + alpha B + alpha C = ÷ 2 shift STO D 2 ab/c ( alpha B + alpha C ) × ( alpha B × alpha C × alpha D × ( alpha D – alpha A)) = shift STO X AÙp duïng haøm soá cos cho tam giaùc ABC ta coù: αcos2222 bccba −+=

ACAB

BCACABA

..2cos

222 −+=⇒

Tính goùc A baám: ( alpha B 2x + alpha C 2x - alpha A 2x ) ab/c ( 2 × alpha B alpha C ) = shift cos-1 Ans = shift STO Y AÙp duïng haøm soá cos cho tam giaùc ABD ta coù: 1

222 cos...2 AADABADABBD −+= Tính BD baám: alpha C 2x + alpha X 2x - 2 × alpha C × alpha X × cos (alpha Y ÷ 2) = Ans = Ñaùp soá: C Caâu 18: Ñaùp soá: B Caâu 19: Goïi a, b (Ñieàu kieän: a, b > 0) laø 2 kích thöôùt cuûa hình chöõ nhaät, ta coù:

( )( )

=+

=⇔

+=++

=

39

360

4036011

360

ba

ab

ba

ab

Giaûi phöông trình baäc hai. ⇒ Hai kích thöôùc hình chöõ nhaät laø 24, 15 Ñaùp soá: D Caâu 20: 22 ...4 dRS ππ == Ñaùp soá: A

Caâu 21: 33

4

3..

3

4

ππ

VRRV =⇒=

Ñaùp soá: A Caâu 22: AC = BC × sin B = 5,025 × sin68 ≈ 4,66 (cm) AB = BC × cos B = 5,025 × cos68 ≈ 1,88 (cm) )(729,29025,5.88,1..... 2cmBCABlRS xq ≈=== πππ

)(29,1766,4.88,1..3

1...

3

1...

3

1 3222 cmACABhRV ≈=== πππ

Ñaùp soá: B Caâu 23: Ta coù:

=

=⇔

=−

=+

)(144,9

)(096,6

0.2.3

24,15

cmCD

cmBC

CDBC

CDBC

)(59,875144,9..2096,6.144,9..2

..2...2..2...222

22

cm

CDBCCDRhRStp

=+=

+=+=

ππ

ππππ

)(28,1601096,6.144,9..... 3222 cmBCCDhRV ==== πππ



Ñaùp aùn: A Caâu 24: Ta coù khoaûng caùch giöõa 2 taâm laø: ( ) ( ) ( )mrRR 236,252.2552 ≈=−=−

Ñaùp soá: D

Baøi taäp töï luyeän: 4.11.1: Cho ∆ABC coù AC = b = 3,85(cm); AB = c = 3,25(cm) vaø ñöôøng cao AH = h = 2,75(cm).

a, Tính caùc goùc A, B, C vaø caïnh BC cuûa ∆ . b, Tính ñoä daøi cuûa trung tuyeán AM (M ∈ BC). c, Tính dieän tích ∆ AHM.

(Goùc tính ñeán phuùt, ñoä; ñoä giaây vaø dieän tích laáy keát quaû vôùi 2 chöõ soá thaäp phaân) 4.11.2: Cho ∆ABC coù caùc caïnh AB = 21 (cm); AC = 28 (cm); BC = 35 (cm).

a, Chöùng minh ∆ABC vuoâng. Tính dieän tích ∆ABC. b, Tính caùc goùc B vaø C (Ñoä, phuùt, giaây). c, Ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A caét caïnh BC taïi I. Tính IA, IB, IC. d, Tính tæ soá dieän tích cuûa ∆ ABI vaø ∆ABC.

4.11.3: Cho ∆ABC coù AB = 4,2315 (cm); AC = 5,3641; °= 65ˆCAB . a, Tính ñöôøng cao BK, CF cuûa ∆ABC. b, Tính S∆ ABC . c, Tính caùc goùc coøn laïi cuûa ∆ABC. d, Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH cuûa ∆ABC. e, Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp (R), baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp (r) cuûa ∆ABC.

4.11.4: Cho ∆ABC vuoâng taïi A coù AB = 3 , goùc ACB = 300. Caùc ñöôøng phaân giaùc trong BM vaø CN caét nhau taïi I.

a, Tính ñoä daøi caùc ñoaïn BM vaø CN. b, Tính dieän tích ∆ IMN.

4.11.5: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vôùi AB = 3,74 (cm); AC = 4,51(cm). a, Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH, CH. b, Tính goùc B cuûa ∆ABC theo ñoä, phuùt. c, Keû ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A caét BC taïi I. Tính BI. d, Tính dieän tích ∆ ACI.

4.11.6: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, ñöôøng phaân giaùc AD. Bieát AH = 6183 (cm), HC – HB = 179 (cm). a, Tính BD vaø DA. b, Tính goùc DAH ˆ .

c, Tính tæ soá dieän tích cuûa ADC

ABD

S

S.

4.11.7: Cho ∆ABC vuoâng taïi C. Trong tam giaùc veõ ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi caùc caïnh cuûa tam giaùc. Goïi tieáp ñieåm cuûa caïnh huyeàn AB vôùi ñöôøng troøn laø D. Vieát coâng thöùc tính dieän tích ∆ ABC bieát BD = m; AD = n. Tính dieän tích hình chöõ nhaät CMDK (M ∈ BC; K ∈ AC) khi m = 5,572(cm); n = 4,205 (cm).



4.11.8: Cho tam giaùc ABC coù AB = 19,7 (cm), AC = 15,08 (cm), BC = 23,21 (cm). a, Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán AM, ñöôøng phaân giaùc trong AD. b, Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc. c, Tính ñöôøng cao AH vaø ñoä daøi ñoaïn CH. b, Tính dieän tích tam giaùc ABC vaø tam giaùc AIM. d, Tính khoaûng caùch giöõa 2 taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp tam giaùc.

4.11.9: Cho ∆ABC vuoâng taïi A coù caïnh AB = a = 2,75 (cm), goùc C = α = 37025’. Töø A veõ caùc ñöôøng cao AH, ñöôøng phaân giaùc AI vaø ñöôøng trung tuyeán AM.

a, Tính ñoä daøi cuûa AH, AI, AM. b, Tính ñoä daøi cuûa BH, BI, BM. c, Tính goùc MAH ˆ vaø MAI ˆ . d, Tính dieän tích ∆ AIM.

(Keát quaû laáy 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân, goùc laøm troøn tôùi phuùt). 4.11.10: Cho hình chöõ nhaät ABCD. Bieát AC = a; α=CAB ˆ . Tính: a, Chu vi vaø dieän tích hình chöõ nhaät theo a vaø α b, Chu vi vaø dieän tích bieát a = 20,09 (cm); α = 35042’ 4.11.11: Cho hình chöõ nhaät ABCD, HB vuoâng vôùi AC (H ∈ AC). Bieát BC = 10 (cm), goùc HBC = 300.

a, Tính AC. b, Tính SABCD.

c, Tính tæ soá: ABC

BHC

S

S

4.11.12: Cho hình chöõ nhaät ABCD, 8,0ˆsin =CAD ; AD = 42 (cm), keû CE vuoâng goùc BD vaø DF

vuoâng goùc AC.Ñöôøng cheùo AC caét BD ôû O. a, Tính DOA ˆsin . b, Chöùng minh töù giaùc DCEF laø hình thang caân. c, Tính SDCEF.

4.11.13: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AB = 5 (cm) vaø AD = 3 (cm). Treân caïnh AB laáy ñieåm M sao cho AM = 1,5 (cm) vaø treân caïnh BC laáy ñieåm N sao cho BN = 1,8 (cm). Goïi I laø giao ñieåm cuûa CM vaø AN. Tính IA, IB, IC (Chính xaùc ñeán 4 chöõ soá thaäp phaân) 4.11.14: Cho hình chöõ nhaät ABCD. Qua ñænh B veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng cheùo AC taïi H. Goïi E, F, G thöù töï laø trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng AH, BH, CD.

a, Chöùng minh töù giaùc EFCG laø hình bình haønh. b, Goùc BEG laø goùc nhoïn, goùc vuoâng hay laø goùc tuø? Vì sao? c, Bieát BH = 17,25 (cm), goùc BAC = 30040’. Tính dieän tích hình chöõ nhaät ABCD. d, Tính ñoä daøi ñöôøng cheùo AC.

4.11.15: Cho hình thang ABCD vuoâng taïi A vaø B, goùc D laø 1350; AB = AD = 4,221 (cm). Tính chu vi vaø dieän tích cuûa hình thang ABCD. (Chính xaùc ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù ba). 4.11.16: Cho hình thang caân ABCD coù °= 30C , ñaùy nhoû AB = 2,5 (cm) vaø caïnh beân BC = 3,2 (cm). Tính: a, Dieän tích hình thang ABCD.

b, Ñoä daøi ñöôøng cheùo AC.



4.11.17: Hình thang ABCD (AB // CD) coù ñöôøng cheùo BD hôïp vôùi tia BC moät goùc baèng goùc DAB. Bieát raèng AB = a = 12,5 (cm), DC = b = 28,5 (cm).

a, Tính ñoä daøi x cuûa ñöôøng cheùo BD. b, Tính tæ soá phaàn traêm giöõa dieän tích hai tam giaùc ABD vaø ∆ BDC (Chính xaùc ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù 2).

4.11.18: Cho hình thang caân maø ñaùy nhoû CD = 16,45 (cm), caïnh beân AD = BC = 30,1 (cm). Hai ñöôøng cheùo AC vaø BD vuoâng goùc vôùi nhau. a, Tìm coâng thöùc tính ñoä daøi ñaùy lôùn. b, Tìm ñoä daøi ñaùy lôùn vaø soá lieäu cho ôû treân. (Laøm troøn 4 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân). 4.11.19: Cho hình thang caân coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau, hai ñaùy coù ñoä daøi laø DC = 15,34 (cm) vaø AB = 24,352 (cm). Tính ñoä daøi caïnh beân vaø dieän tích hình thang. 4.11.20: Cho hình bình haønh ABCD coù goùc ôû ñænh A laø goùc tuø. Keû hai ñöôøng cao AH vaø AK (AH ⊥ BC; AK ⊥ CD). Bieát α=KAH ˆ vaø ñoä daøi hai caïnh cuûa hình bình haønh AB = a; AD = b

a, Tính AH vaø AK. b, Tính tæ soá dieän tích cuûa hình bình haønh ABCD vaø dieän tích S∆ HAK. c, Tính phaàn coøn laïi S0 cuûa hình bình haønh khi khoeùt ñi tam giaùc HAK.

d, AÙp duïng tính S0 bieát α = 45038’25’’; a = 29,1945 (cm); b = 198,2001 (cm). 4.11.21: Cho (O; R), AB = 2R. Daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi trung ñieåm I cuûa OA.

a, Töù giaùc ACOD laø hình gì? Vì sao? b, Tính dieän tích töù giaùc ACDO theo R. c, Tính dieän tích töù giaùc ACDO khi R = 5,789 (cm).

4.11.22: Cho ñöôøng troøn taâm O baùn kính R = 3,15 (cm). Töø moät ñieåm ôû ngoaøi ñöôøng troøn keû hai tieáp tuyeán AB vaø AC (B, C thuoäc ñöôøng troøn). Cho bieát AO = a = 7,85 (cm).

a, Vieát coâng thöùc tính goùc COB ˆ2

1=α .

b, Vieát coâng thöùc tính dieän tích S cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi 2 tieáp tuyeán AB, AC vaø cung nhoû BC.

c, Vieát quy trình aán phím lieân tuïc treân maùy tính ñeå tính ñöôïc goùc COB ˆ2

1=α vaø dieän tích S

(Ñaõ noùi treân). 4.11.23: Cho hình beân bieát AD vaø BC cuøng vuoâng goùc vôùi AB (AD = 10 (cm)), ECBDEA ˆˆ = , AE = 15 (cm), BE = 12 (cm).

a, Tính soá ño goùc DEC. b, Tính dieän tích töù giaùc ABCD vaø dieän tích tam giaùc DEC. c, Tính tæ soá phaàn traêm giöõa S∆ DEC vaø SABCD.

4.11.24: Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 25 (cm). Töø A, B keû Ax vuoâng goùc AB, By vuoâng goùc AB, ñieåm M naèm treân cung AB, moät caùt tuyeán qua M caét Ax taïi D, caét By taïi C sao cho goùc DCB baèng 570.

a, Tính SABCD. b, Tìm vò trí cuûa M ñeå SABCD ñaït giaù trò nhoû nhaát. c, Tính giaù trò nhoû nhaát cuûa SABCD.



4.11.25: Hình thoi ABCD coù caïnh baèng 24,13 (cm), khoaûng caùch giöõa hai ñænh laø 12,25 (cm). a, Tính caùc goùc cuûa hình thoi (Ñoä, phuùt, giaây). b, Tính dieän tích cuûa hình troøn (O) noäi tieáp hình thoi chính xaùc ñeán soá thaäp phaân thöù b c, Tính dieän tích tam giaùc ñeàu ngoaïi tieáp ñöôøng troøn (O).

4.11.26: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù kích thöôùt AB = 1 008, BC = 12 578 963 vaø hình chöõ nhaät MNPQ coù kích thöôùt MN = 456, NP = 14375 coù caùc caïnh song song nhö hình beân. Tìm dieän tích töù giaùc AMCP vaø dieän tích töù giaùc BNDQ.

4.11.27: Cho töù giaùc ABCD. Goïi K, L, M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa DC, DA, AB, BC. Goïi giao ñieåm cuûa AK vaø BL, DN laàn löôït laø P vaø S; CN caét BL, DN laàn löôït taïi Q vaø R. Xaùc ñònh dieän tích töù giaùc PQRS bieát dieän tích cuûa töù giaùc ABCD, AMQP, CKSR töông öùng laø S0, S1, S2.

4.11.28” Hình thang vuoâng coù goùc nhoïn α=DCB ˆ ngoaïi tieáp ñöôøng troøn taâm O, baùn kính r. a, Vieát coâng thöùc tính ñoä daøi caùc caïnh cuûa hình thang ABCD theo r va α . b, Vieát coâng thöùc tính chu vi P cuûa hình thang ABCD vaø coâng thöùc tính dieän tích S cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (O) vaø hình thang ABCD. c, Cho bieát: r = 10 (cm); α = 650. Tính P vaø S.



4.11.29: Tính dieän tích cuûa phaàn naèm giöõa hình thang vaø hình troøn. Bieát chieàu daøi hai ñaùy hình thang laø 3 (m); 5 (m). Dieän tích hình thang baèng 20 (m2).

4.11.30: Tính dieän tích phaàn hình naèm giöõa tam giaùc vaø caùc hình troøn baèng nhau coù baùn kính laø 3 (cm).

4.11.31: Tính dieän tích (Chính xaùc ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân) hình giôùi haïn bôûi ba ñöôøng troøn baùn kính 3 (cm) tieáp xuùc nhau töøng ñoâi moät.

4.11.32: Vieân gaïch hoa coù hình nhö hình veõ: AB = a = 30 (cm). a, Tính dieän tích phaàn toâ ñaäm cuûa hình ñoù (Chính xaùc 0,01). b, Tính phaàn traêm giöõa dieän tích phaàn toâ ñaäm so vôùi dieän tích vieân gaïch.



4.11.33: a, Moät ngoâi sao 5 caùnh coù khoaûng caùch giöõa 2 ñænh khoâng lieân tieáp laø 9,651 (cm). Tìm baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp (Qua 5 ñænh). b, Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñænh khoâng lieân tieáp cuûa ngoâi sao 5 caùch noäi tieáp trong ñöôøng troøn coù baùn kính R = 5,712 (cm). c, Cho moät ngoâi sao naêm caùnh ñeàu noäi tieáp trong moät ñöôøng troøn baùn kính R = 9 (cm). Tính khoaûng caùch giöõa hai ñænh khoâng lieân tieáp cuûa ngoâi sao. 4.11.34: Anh Nam chaên traâu giuùp gia ñình ôû baõi coû C caùch con suoái CA = 4 (km). Anh ñoù muoán taém cho con traâu ôû con suoái ñoù roài quay trôû veà trang traïi ôû vò trí H. Hoûi quaûng ñöôøng ngaén nhaát ñeå anh Nam hoaøn thaønh coâng vieäc bao nhieâu km? Bieát AC = 4 (km); CE = 7 (km); EH = 8 (km). 4.11.35: Cho tam giaùc ABC coù 3 ñænh thuoäc maët phaúng toaï ñoä laø A(1;1); B(-3;4); C(6;4).

a, Tính ñöôøng cao, ñöôøng trung tuyeán, ñöôøng phaân giaùc trong, ñöôøng giaân giaùc ngoaøi öùng vôùi goùc A.

b, Tính khoaûng caùch cuûa taâm ñöôøng troøn noäi tieáp vaø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp. 4.11.36: Cho ∆ABC coù caùc ñöôøng cao: AH = 12,341(cm); BK = 4,138 (cm); CJ = 6,784 (cm). Tính dieän tích ∆ vaø goùc A baèng ñoä vaø phuùt.



ÑEÀ LUYEÄN TAÄP CHO ÑOÄI TUYEÅN HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 9 THCS NAÊM HOÏC 2011 – 2012

Moân thi: Giaûi toaùn baèng maùy tính boû tuùi Thôøi gian: 120 phuùt (khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà).

Chuù yù: 1 Thí sinh ñöôïc söû duïng maùy tính: fx 220, fx 500A, fx 500MS, fx 570MS, fx

500ES, fx 570 ES, fx 500 VN Plus, vinacal Vn-500MS, vinacal Vn-570MS, vinacal Vn-

570MS new. Khoâng ñöôïc söû duïng maùy tính coù chöùc naêng cao hôn.

2.Neáu khoâng noùi gì theâm, haõy tính chính xaùc ñeán 4 chöõ soá thaäp phaân.

3.Chæ ghi toùm taét keát quaû caùc böôùc laøm, coâng thöùc, ñaùp aùn vaøo oâ vaø khoâng ñöôïc

coù theâm kí hieäu gì khaùc.

Ñeà HHN#001: (Thang ñieåm 50).

Baøi 1: (4 ñieåm) Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:

( )5

45,02,1

3

15

25

104,6

25.15

4.8

17

22

4

13

9

56

7

4

25

208,1

÷×++−

×+

×

−

÷

−=A

Ñaùp aùn: A =

23325

33

.32

54_3

babaa

aabaaaB

++

+++= bieát

=−−

=−+

0946,175

0221,232

ba

ba

=

=

b

a

Ñaùp aùn: B ≈

2012.20011

1...

3.2

1

2.1

1+++=C

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: C =

Baøi 2: (4 ñieåm) Cho daõy soá {Un} ñöôïc taïo thaønh theo quy taéc sau: Moãi soá sau baèng tích cuûa hai soá tröôùc coäng vôùi 1, baét ñaàu töø U0 = U1 = 1.



Laäp moät quy trình tính Un.

Caùh giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Tính caùc giaù trò cuûa Un vôùi n = 2, 3, … 9.

n 2 3 4 5 6 7 8 9

Un

Baøi 3:(3 ñieåm)

3.1 Tìm x bieát:

−+=

÷

÷−−

÷−

25,32

15.8,02,3

6

5

2

5

66

5

11

2

44

137,1451,4825,0.2,15 x

Ñaùp aùn: x =

3.2 Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: 017 =−+ xx

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: x ≈

3.3 Giaûi heä phöông trình:

=−−−

=−−

=−++

01978

0754

02345

zyx

zyx

zyx

Ñaùp aùn:

=

=

=

z

y

x

Baøi 4:(4,5 ñieåm)

4.1(3 ñieåm) Khi chia ña thöùc: ( ) 128782 234 −+−+= xxxxf x cho ña thöùc (x – 2) ta ñöôïc

thöông laø moät ña thöùc Q(x) coù baäc laø 3. Tìm heä soá a cuûa x2 trong ña thöùc Q(x) vaø soá dö r trong pheùp chia treân.



Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a = ; r =

4.2(1,5 ñieåm) Phaân tích bieåu thöùc sau ra thöøa soá: ( ) 3254276 234 +−+−= aaaaP x

Ñaùp aùn: P(x) =

Baøi 5:(4 ñieåm) Neâu moät phöông phaùp (Keát hôïp treân giaáy vaø maùy tính) ñeå tính keát quaû ñuùng cuûa pheùp tính sau: P = 2222266666 × 2222244444

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: P =

Q = 6562523

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Q =

Baøi 6:(4 ñieåm)

6.1(2 ñieåm) Vieát quy trình aán phím vaø tìm soá dö khi chia a cho 2011. Bieát:



Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Chöõ soá haøng chuïc laø:

6.2(2 ñieåm) Bieåu dieãn soá 2 döôùi daïng soá thaäp phaân. Tìm soá thaäp phaân thöù 15 sau daáu phaåy cuûa soá ñoù/

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Soá ñöùng thöù 2010 sau daáu phaåy laø:

Baøi 7:(4 ñieåm)

7.1 Tính:

2

12

12

12

12

12

12

12

12

++

++

++

++=M

Ñaùp aùn: M =

7.2 Tìm x bieát:



9

78

55

43

21

9

87

65

43

25

++

++

=

++

++

xx

Ñaùp aùn: x =

Baøi 8:(6 ñieåm)

8.1(3 ñieåm) Bieát soá coù daïng yxA 41235679= chia heát cho 24. Tìm taát caû caùc soá A.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: ............................................................................................................................. ...........................................................................................................................................

8.2(2 ñieåm) Tìm soá nguyeân döông nhoû nhaát thoaõ maõn ñieàu kieän: chia cho 2 dö 1, chia cho 3 dö 2, chia cho 4 dö 3, chia cho 5 dö 4, chia cho 6 dö 5, chia cho 7 dö 6, chia cho 8 dö 7, chia cho 9 dö 8, chia cho 10 dö 9.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Bài 9: (4,5 điểm) Trong đợt khảo sát chất lượng đầu năm, điểm của ba lớp 9A, 9B, 9C được cho trong bảng sau:



Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 9A 16 14 11 5 4 11 12 4 9B 12 14 16 7 1 12 8 1 9C 14 15 10 5 6 13 5 2

Tính ñeåm trung bình cuûa moãi lôùp. Keát quaû laøm troøn 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.

≈AX ≈BX ≈CX

Neáu goïi X laø soá trung bình cuûa moät daáu hieäu X goàm caùc giaù trò kxxxx ,...,, 321 coù caùc taàn

soá töông öùng laø knnnn ,...,, 321 , thì soá trung bình cuûa caùc bình phöông caùc ñoä leäch cuûa moãi

giaù trò cuûa daáu hieäu so vôùi X :

( ) ( ) ( ) ( )k

kkx

nnnn

XxnXxnXxnXxns

++++−++−+−+−

=...

...

321

22

33

2

22

2

112

Phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa lôùp 9A: ≈2As ≈As

Phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa lôùp 9B: ≈2Bs ≈Bs

Phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa lôùp 9C: ≈2Cs ≈Cs

Baøi 10:(4 ñieåm) Trong cuøng moät maët phaúng Oxy, hai ñöôøng thaúng xy = ( )1d vaø

32

5+= xy ( )2d caét nhau taïi C. Ñöôøng thaúng 1=y ( )3d caét ( )2d taïi B vaø caét ( )1d taïi A.

a, Tính soá ño goùc B cuûa tam giaùc ABC. b, Tính chu vi vaø dieän tích cuûa tam giaùc ABC. c, Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, ≈B b, ≈ABCP ≈ABCS

c, ≈R

Baøi 11:(2 ñieåm) Bieát raèng ngaøy 01/01/1992 laø ngaøy thöù Tö (Wednesday) trong tuaàn. Cho bieát ngaøy 01/01/2055 laø ngaøy thöù maáy trong tuaàn? (Cho bieát naêm 2000 laø naêm Nhuaän).

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Ngaøy 01/01/2055 laø ngaøy thöù trong tuaàn.

Baøi 12:(3 ñieåm) Caäu Saùu göûi 6 800 ñoâ la vaøo ngaân haøng vôùi laõi suaát haøng thaùng laø 0,36%. Hoûi sau 1 naêm, 2 naêm, 3 naêm, 10 naêm caäu Saùu coù bao nhieâu tieàn caû goùc laãn laõi. Bieát raèng caäu Saùu khoâng ruùt laõi haøng naêm.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Sau 1 naêm Sau 2 naêm Sau 3 naêm Sau 10 naêm

Baøi 13:(3 ñieåm) Ñeå ño chieàu cao töø maët ñaát ñeán ñænh coät côø cuûa Kyø ñaøi tröôùc Ngoï Moân (Ñaïi Noäi – Hueá), ngöôøi ta caém 2 coïc baèng nhau MA, NB cao 1,5 meùt (So vôùi maët ñaát) song song, caùch nhay 10 meùt vaø thaúng haøng so vôùi tim coät côø. Ñaët giaùc keá ñöùng taïi A vaø taïi B ñeå ngaém ñeán ñænh coät côø, ngöôøi ta ño ñöôïc caùc goùc laàn löôït laø 51049’12” vaø 45039’ so vôùi phöông song song vôùi maët ñaát. Haõy tính gaàn ñuùng chieàu cao coät côø ñoù.



Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Chieàu cao coät côø laø: meùt.












Baøi 1:(3 ñieåm) Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:

−÷

+

+

+

−÷

+

=

15

12

12

11

9

84

13

8.

5

23

6

5

11

91

8

7.

7

6

5

43

4

321

3

123

A

Ñaùp aùn: A =

++−

−

+÷

−

+−+=

1

2

1

1

1

1

xx

x

xx

x

x

xxxB vôùi x = 167,89

Ñaùp aùn: B =

2012.20011

1...

7.5

1

5.3

1

3.1

1++++=C

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: C =

Baøi 2:(4 ñieåm) Cho 2222

1.....

4

3

3

2

2

11

n

niU n

−++−+−= (i = 1 neáu n leû, i = -1 neáu n chaün, n laø

soá nguyeân 1≥n ). Neâu quy trình aán phím tính giaù trò cuûa Un.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Tính chính xaùc caùc giaù trò: 654 ;; UUU vaø tính gaàn ñuùng caùc giaù trò: 302520 ;; UUU .

n 4 5 6 20 25 30

Un

Baøi 3:(3 ñieåm)

3.1 Tìm x:

( ) ( )[ ]

( )( )15,32,1

2

13

17

1275,0.3,05,0

5

3.

7

25,12

5

4.

3

2

4

3.2,4335,015,0 22

+÷=

÷−÷−

++÷+ x

Ñaùp aùn: x =

3.2 Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: 027 =−+ xx

Ñaùp aùn: x =


==

=++

1836

3453zyx

zyx

Ñaùp aùn:

=

=

=

z

y

x

Baøi 4:(2 ñieåm) Vieát quy trình aán phím tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau vaø bieåu dieãn keát quaû döôùi daïng phaân soá.

5

14

13

12

31

++

+=M

Quy trình aán phím ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: M =



Baøi 5:(5 ñieåm) 5.1 Tìm chöõ soá haøng ñôn vò cuûa soá: 2011103=S

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

5.2 Tìm chöõ soá haøng chuïc cuûa soá: 201229=Q

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

5.3 Tìm 3 chöõ soá taän cuøng cuûa 2348=R

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

5.4 Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2012 sau daáu phaåy cuûa: 49

1 vaø

23

10



Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Chöõ soá thaäp phaân thöù 2012 sau daáu phaåy cuûa 49

1 laø:

Chöõ soá thaäp phaân thöù 2012 sau daáu phaåy cuûa 23

10 laø:

Baøi 6:(4 ñieåm) Neâu moät phöông phaùp (Keát hôïp treân giaáy vaø maùy tính) ñeå tính keát quaû ñuùng cuûa pheùp tính sau:

333333333333 201220112010200920082007200620052004200320022001 +++++++++++=P Caùch giaûi

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: 65136802386513666370×=Q

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 7:(6 ñieåm)



7.1 Phaân tích soá 9405342019 ra thöøa soá nguyeân toá.

Ñaùp aùn: 9405342019 =

7.2 Tìm öôùc soá chung lôùn nhaát cuûa: 4009620; 9474378 vaø 51135438.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

7.3 Tính toång caùc öôùc chaün döông cuûa soá: 490

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 8:(2 ñieåm) Tính vaø ghi keát quaû ôû daïng hoãn soá: 403,405292 ÷ 0,403809 + 408250,999 ÷ 403,809

Ñaùp aùn:

357

1579.

579

1357

Ñaùp aùn:

Baøi 9:(6 ñieåm)

9.1 Cho ña thöùc ( ) 6188 23 ++−= xxxg x

Phaân tích ( ) 6188 23 ++−= xxxg x ra thöøa soá.

Ñaùp aùn:

Tìm caùc heä soá cba ,, cuûa ña thöùc baä ba ( ) cbxaxxf x +++= 23 bieát raèng khi chia ña thöùc

( )xf cho ña thöùc ( )xg thì ñöôïc ña thöùc dö laø ( ) 548 2 ++= xxr x .

Caùch giaûi ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Tính chính xaùc giaù trò cuûa ( )2010f

Ñaùp aùn:

9.2 Tìm soá dö trong pheùp chia:

318,2

319,4458,6857,1723,6 234

++−+−

x

xxxx

Ñaùp aùn: r =

Baøi 10:(6 ñieåm)

10.1 Giaû söû n laø soá töï nhieân cho tröôùc. Ñeå n3 coù 3 chöõ soá taän cuøng baèng 1 thì n phaûi coù 3 chöõ soá taän cuøng laø bao nhieâu?

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

10.2 Tìm soá töï nhieân N nhoû nhaát vaø soá töï nhieân M lôùn nhaát goàm 12 chöõ soá, bieát raèng M vaø N chia cho caùc soá 1256; 3568 vaø 4184 ñeàu coù cuøng soá dö laø 973.



Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 11:(2,5 ñieåm)

11.1 Cho (P) y = ax2 + bx + c ñi qua ñieåm (-3;7) coù ñænh laø (1;-12) caùc heä soá a, b, c chính xaùc ñeán 0,0001.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a ≈ b ≈ c ≈

11.2 Xaùc ñònh a, b bieát ñöôøng thaúng y = ax + b ñi qua hai ñieåm

−−

207

2727;

206

2626;

27

2007;

26

2006BA

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 12:(3 ñieåm) a, Baïn An göûi tieát kieäm moät soá tieàn ban ñaàu laø 1 000 000 ñoàng vôùi laõi suaát 0,58%/thaùng (khoâng kì haïn). Hoûi baïn An phaûi bao nhieâu thaùng thì ñöôïc caû voán laãn laõi baèng hoaëc vöôït quaù 1 300 000 ñoàng.



b, Vôùi cuøng soá tieàn ban ñaàu vaø cuøng soá thaùng ñoù, neáu baïn An göûi tieát kieäm coù kì haïn 3 thaùng vôùi laõi suaát 0,68%/thaùng, thì baïn An seõ nhaän ñöôïc soá tieàn caû voán laãn laõi laø bao nhieâu? Bieát raèng neáu chöa ñeán kì haïn maø ruùt tieàn thì soá thaùng dö so vôùi kyø haïn seõ ñöôïc tính theo laõi suaát khoâng kì haïn.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, b,

Baøi 13:(3,5 ñieåm) Tam giaùc ABC coù caïnh BC = 9,95 (cm), goùc "12'43114ˆ °=CBA , goùc "48'4620ˆ °=ACB . Töø A veõ caùc ñöôøng cao AH, ñöôøng phaân giaùc trong AD, ñöôøng phaân

giaùc ngoaøi AE vaø ñöôøng trung tuyeán AM. a, Tính ñoä daøi caùc caïnh coøn laïi cuûa ∆ ABC vaø caùc ñoaïn thaúng AH, AD, AE, AM. b, Tính dieän tích cuûa tam giaùc AEM. (Keát quaû laáy vôùi 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân).

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, AB ≈ cm; AC ≈ cm; AH ≈ cm; AD ≈ cm; AE ≈ cm b, ≈AEMS cm2.












Baøi 1:(3 ñieåm) Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau:

'956cot53'3619cos.

6

5'1369tan'.4257sin.15'3019cot'.4337cos

64

42353

°÷°

°°−°°=A

Ñaùp aùn: A ≈

666370649016634082680131680753 ++++=B

Ñaùp aùn: B ≈

−

−

−

−= 12012

11

2011

1...1

10

11

9

1C

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: B =

Baøi 2:(7 ñieåm)

2.1(3 ñieåm) Cho ña thöùc ( ) 968034218 2345 −+−+−= xxxxxP x

Haõy phaân tích ña thöùc P(x) ra thöøa soá.

Ñaùp aùn: P(x) =

Tính caùc giaù trò cuûa P(x) taïi x = -5, 5, -6, 6, -7, 7, -8, 8.

x -5 5 -6 6 -7 7 -8 8

P(x)

Tìm giaù trò cuûa a sao cho ña thöùc:



( ) ( ) aPQ xx += chia heát cho (x – 2).

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a =

2.2(4 ñieåm) Cho ña thöùc: ( ) edxcxbxaxxP x +++++= 2345 vaø cho bieát P(1) = 3; P(2) = 9; P(3)

= 19; P(4) = 33; P(5) = 51. Tính P(6); P(7); P(8); P(9); P(10); P(11).

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

x 6 7 8 9 10 11

P(x)

Baøi 3:(5 ñieåm)

3.1 Giaûi phöông trình: 1310137,081,1720

162

8

1.

25

3288,1

2

11.

20

33,0

5

14.65,2

20

13

003,02

14

=÷+÷

+

−−

÷

−

÷

−x

Ñaùp aùn: B =

3.2 Giaûi phöông trình:

1133201026612178381646133201026614178408259 =+−+++−+ xxxx

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

3.3 Cho x, y > 0. Giaûi heä phöông trình:

=−

=

654,1

317,2

22 yx

y

x

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

≈

≈

y

x

Baøi 4:(8 ñieåm) Cho daõy soá nu vaø nv coù soá haïng toång quaùt laø:

( ) ( )34

325325nn

nu−−+

= vaø ( ) ( )

54

527527nn

nv−−+

=

a, Tính caùc giaù trò chính xaùc cuûa 43214321 ,,,;,,, vvvvuuuu .

u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4 b, Laäp coâng thöùc truy hoài tính 2+nu theo 1+nu vaø nu ; tính 2+nv theo 1+nv vaø nv .

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: =+2nu =+2nv

Töø 2 coâng thöùc truy hoài treân, vieát quy trình aán phím lieân tuïc ñeå tính 22 , ++ nn vu vaø 2+nz

theo 1+nu , nu , 1+nv vaø nv (n = 1, 2, 3, …). Ghi laïi giaù trò chính xaùc cuûa 109853 ,,,, zzzzz .

Quy trình aán phím ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

z3 z5 z8 z9 z10

Baøi 5:(6 ñieåm)

5.1 Tìm soá thaäp phaân thöù 201211 keå töø daáu phaåy cuûa soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn

29

10000.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

5.2 Tìm caùc öôùc soá nguyeân toá cuûa soá: 555 352329811897 ++=M

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 6:(3 ñieåm) Tìm soá töï nhieân n nhoû nhaát sao cho khi laäp phöông soá ñoù ta ñöôïc soá töï nhieân coù 3 chöõ soá cuoái laø chöõ soá 7 vaø 3 chöõ soá ñaàu cuõng ñeàu laø chöõ soá 7: 777.....7773 =n

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 7:(4 ñieåm) Neâu moät phöông phaùp (Coù theå keát hôïp treân giaáy) ñeå tính keát quaû ñuùng cuûa pheùp tính sau: M = 2920112011 × 2020122012

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

N = 3 + 33 + 333 + ... + 33.....33

13 chữ soá 3

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 8:(2 ñieåm)

8.1 Tính

+

−÷

−+

+= 1

1

31

1

32a

aa

D vôùi 32

3

+=a

Ñaùp aùn: D ≈

8.2 Cho

2222

1...

4

1

3

1

2

11

n

An

+++++=

π . Tính phaân nguyeân [An] vôùi 101 ≤≤ n

Ñaùp aùn: [An] =

Baøi 9:(2 ñieåm) Cho parabol ( ) cbxaxP ++2:

a, Xaùc ñònh a, b, c ñeå cho (P) ñi qua caùc ñieåm:

−

−

15

199;

5

2;

48

2551;

4

3;

3

13;2 CBA .

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



b, Vôùi a, b, c vöøa tìm ñöôïc, xaùc ñònh gaàn ñuùng giaù trò m vaø n ñeå ñöôøng thaúng nmxy +=

ñi qua E(151;253) vaø tieáp xuùc vôùi (P).

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 10:(4 ñieåm) Moät ngöôøi boû bi vaøo hoäp theo quy taéc: ngaøy ñaàu 1 vieân, ngaøy sau boû gaáp ñoâi ngaøy tröôùc ñoù. Cuøng luùc ñoù cuõng laáy bi ra khoûi hoäp theo nguyeân taéc: ngaøy ñaàu vaø ngaøy thöù hai laáy 1 vieân, ngaøy thöù ba trôû ñi moãi ngaøy laáy ra soá bi baèng toång hai ngaøy tröôùc ñoù. a, Tính soá bi coù ñöôïc sau 15 ngaøy. b, Ñeå soá bi trong hoäp lôùn hôn 1000 caàn bao nhieâu ngaøy?

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, b,

Baøi 11:(3 ñieåm) Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôøng troøn (O) baùn kính R = 4,2 cm, AB = 7,69 cm, BC = 6,94 cm, CD = 3,85 cm. Tính ñoä daøi caïnh coøn laïi vaø dieän tích cuûa töù giaùc ABCD. (Keát quaû laáy ôû 2 chöõ soá ôø phaàn thaäp phaân).



Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: AD ≈ SABCD ≈

Baøi 12:(3 ñieåm) Moät ngaøy trong naêm cuøng moät thôøi ñieåm taïi thaønh phoá Sa Sa ngöôøi ta quan saùt thaáy maët trôøi chieáu thaúng caùc ñaùy gieáng, coøn thaønh phoá Na Na moät toaø nhaø cao 64,58 meùt coù boùng treân maët ñaát daøi 7,32 meùt. Bieát baùn kính Traùi Ñaát R ≈ 645,086 km. Hoûi khoaûng caùch gaàn ñuùng giöõa 2 thaønh phoá laø bao nhieâu km.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:













( )[ ]125,0

4

11...8333,125,0

5

11362,1

8,12

1...8999,95,660357

÷−

÷+÷

+÷−=A

Ñaùp aùn: A =

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( ){ } ( )( )βαβααββα 22332222 cos1sin1.cos1sin1cos.cot1.sin.tan1 ++−−+++=B

vôùi 8,0sin,'3025 =°= βα

Ñaùp aùn: B =

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )bcacc

cc

cbabb

bb

cabaa

aaC

−−−−

+−−

−−+

−−−−

=100221002210022 vôùi 2010;2009;2008 === cba

Ñaùp aùn: C=

Baøi 2:(3 ñieåm)

2.1 Vieát quy trình aán phím tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau vaø bieåu dieãn keát quaû döôùi daïng phaân soá.

10

98

76

54

32

1

+−

+−

Quy trình aán phím ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

2.2 Tìm x bieát:

2

11

11

1

5

13

11

10

98

76

54

32

1

++

+

++

=

+−

+− x

Ñaùp aùn: x =

Baøi 3:(7 ñieåm)

3.1(3 ñieåm) Cho daõy soá haïng toång quaùt ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:

( ) ( )74

726726nn

nu−−+

= vôùi n = 1, 2, 3, …….

Tính u1, u2, u3, u4, u5, u6. u1 u2 u3 u4 u5 u6

Laäp coâng thöùc truy hoài tính 1+nu theo nu vaø 1−nu .

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: un+1 =

3.2(4 ñieåm) Cho 2 daõy soá vôùi caùc soá haïng toång quaùt cho bôûi coâng thöùc:

−=

−=

=

=

+

+

nnn

nnn

uvv

uvu

v

u

1217

1522

2

1

1

1

1

1

vôùi n = 1, 2, 3, …..

Vieát quy trình aán phím lieân tuïc tính 1+nu vaø 1+nv theo nu vaø

nv .



Quy trình aán phím ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Tính 105105 ,,, vvuu

u5 u10 v5 v10

Baøi 4:(4 ñieåm) Tính chính xaùc caùc toång sau: 2222 1000...321 ++++=A

Ñaùp aùn: x = 3333 1000...321 ++++=B

Ñaùp aùn: x =

4023.2012.20011......7.4.35.3.23.2.1 ++++=C

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 5:(3 ñieåm)

5.1 Cho: °+°=+

+=

+

+= 30cos60sin;

32

32;

322

11 22

CBA

Giaûi phöông trình: 02 =−+ CBxAx

Ñaùp aùn:

Tìm y bieát:

−+

÷−−=

÷−

25,32

15.8,02,3

5

11.

2

12

66

5

11

2

44

13

7,1451,4825,0.2,15

y

Ñaùp aùn: y =

Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình : 01sin2 =−+ xx

Ñaùp aùn: x ≈

Baøi 6:(5 ñieåm)



6.1 Cho ña thöùc: ( ) dcxbxaxP x +++= 23 . Bieát P-1 = 5; P1 = -3; P-2 = 4; P(2) = 3. Tính P10,

P11, P12, P14, P15.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

P10 P11 P12 P14 P15

6.2 Xaùc ñònh heä soá cuûa ña thöùc ( ) 201023 +++= cxbxaxP x ñeå sao cho ( )xP chia cho ( )16−x

coù soá dö laø 6666 vaø chia cho ( )2092 +− xx coù bieåu thöùc dö laø ( )179082 +x .

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a = ; b = ; c =

Baøi 7:(4 ñieåm)

7.1 Tìm boäi soá chung nhoû nhaát cuûa hai soá: 12379 vaø 180105.

Ñaùp aùn: BCNN(12379,180105) =



7.2 Tìm öôùc soá chung lôùn nhaát cuûa: 4009620; 9474378 vaø 51135438.

Ñaùp aùn: ÖCLN(4009620,9474378,51135438) =

7.3 Tính tích caùc öôùc leõ döông cuûa soá: 6664

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 8:(6 ñieåm)

8.1 Tìm soá dö trong pheùp chia 2012197334 cho 793

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

8.2 Tìm 2 chöõ soá taän cuøng cuûa soá: 20122011

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



8.3 Cho soá höõu tæ bieåu dieãn döôùi daïng soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn E = 1,2350750750750…… Haõy cho bieát khi E ñöôïc vieát döôùi daïng phaân soá toái giaûn thì tích cuûa töû soá vaø maãu soá laø bao nhieâu?

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 9:(4 ñieåm)

9.1 Tìm caùc caëp soá (x,y) nguyeân döông laø nghieäm ñuùng cuûa phöông trình: ( ) 24067772193 25 =−− yxx

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

9.2 Tìm caùc chöõ soá a, b, c, d, ñeå coù: 7850. =bcdab

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 10:(5 ñieåm) a, Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa a ñeå bình phöông cuûa a coù taän cuøng laø 89.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

b, Tìm soá töï nhieân nhoû nhaát a maø bình phöông cuûa noù laø moät soá baét ñaàu baèng soá 19 vaø keát thuùc baèng soá 89.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

c, Tìm taát caû caùc soá töï nhieân n sao cho n2 laø moät soá 12 chöõ soá coù daïng: 89******25252 =n (Trong ñoù saùu daáu * bieåu thò saùu chöõ soá, coù theå gioáng vaø khaùc nhau).

Tìm caùc soá ñoù.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 11:(2 ñieåm) Oâng David muoán sau 2 naêm coù 200 000 000 ñoàng ñeå chôi coå phieáu. Hoûi oâng phaûi göûi vaøo ngaân haøng haøng thaùng moät soá tieàn baèng nhau laø bao nhieâu. Bieát laõi xuaát cuûa ngaân haøng laø 0,2%.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 12:(3 ñieåm) Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AD = 4,9 (cm). Treân caïnh AD laáy ñieåm M sao cho AM = 1,5 (cm). Goïi I laø giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Giaû söû goùc IDC coù soá ño baèng 700.

a, Tính ID. b, Tính AB. c, Tính goùc CIB ˆ (Laøm troøn ñeán phuùt)

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:












Baøi 1:(4 ñieåm) Cho 3 soá: A = 1193984; B = 157993 vaø C = 38743. Tìm öôùc chung lôùn nhaát cuûa 3 soá A, B, C.

ÖCLN(A,B,C) =

Tìm boäi chung nhoû nhaát cuûa 3 soá A, B, C (Tính chính xaùc).

BCNN(A,B,C) =

Tính toång caùc öôùc leõ döông cuûa soá D = 8863701824

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 2:(6 ñieåm) Cho ña thöùc: ( ) 4814881682345 +++++= dxcxbxaxxP x . Bieát P(1) = 3; P(2)

= 9; P(3) = 9; P(4) = 12. a, Tìm caùc heä soá a, b, c, d.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a = ; b = ; c = ; d =

b, Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9); P(10). P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) P(10)

c, Phaân tích bieåu thöùc thaønh thöøa soá.

Ñaùp aùn: P(x) =

d, Tìm soá dö trong pheùp chia P(x) cho (2x + 3).

Ñaùp aùn: Soá dö trong pheùp chia P(x) cho (2x + 3) laø:

Baøi 3:(5 ñieåm) Thöïc hieän bieán ñoåi toaùn hoïc vaø keát hôïp vôùi maùy tính. Tính soá nghòch ñaûo cuûa bieåu thöùc:

−÷

++++=36

7

3

1

72.65

1...

23.16

1

16.9

1

9.2

1.49A

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

( ) ( )( ) 11

90

58,03

1

2

1

11

71462,143,0 ÷

+−÷+=D

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 4:(6 ñieåm)

4.1 Neâu moät phöông phaùp (Keát hôïp treân giaáy vaø maùy tính) ñeå tính keát quaû ñuùng cuûa pheùp tính sau: A = 6513680076 × 6513680077

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

B = 6562523

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

4.2 Tính toång: ( ) 157!.12.....1!....13!.37!.23!.1 2 +++++++= kkkS

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 5:(3 ñieåm) Cho caùc soá .....,,, 4321 uuuu thoaõ maõn 1,21 ≥∀=+ ++ nuuu nnn vaø 30;3 502 == uu

Tính giaù trò cuûa 48321 ..... uuuuF ++++=

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: F =

Baøi 6:(3 ñieåm)

6.1 Cho ña thöùc ( ) ( ) ( ) 122322 234 ++−−−++= xxnmxnmxP x . Tìm caùc giaù trò cuûa m, n bieát

P(x) chia heát cho (2x + 1) vaø chia cho (x – 1) thì dö 12.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



6.2 Cho ña thöùc ( )xf baäc boán thoaõ maõn 2 ñieàu kieän:

( )

( ) ( ) ( )( )

++=−

=

−

−

121

0

1

1

xxxff

f

xx

Tìm ña thöùc ( )xf noùi treân.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 7:(5 ñieåm)

Ñaùp aùn:

7.1 Tìm x: 5

65050137,081,17

20

162

8

1.

25

3288,1

2

3.

20

33,0

5

14.65,2

20

13

003,02

9

=÷+÷

+

−−

÷

−

÷

−x

Ñaùp aùn:

7.2 Giaûi phöông trình sau: 1140204040099140184036080 =−−++−−+ xxxx

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



7.3 Cho ña thöùc ( ) 1510 ++= xxQ x .

Giaûi phöông trình: ( ) ( ) 2012..12

22 =+ xQxQ

Ñaùp aùn:

7.4 Bieát:

ba

11

1

1

17

15

++

= . Trong ñoù a, b laø caùc soá nguyeân döông. Haõy tính a vaø b.

Ñaùp aùn: a = ; b =

Baøi 8:(4 ñieåm)

8.1 Cho 2010102101100 2.....222 ++++=A . Tìm phaàn dö khi chia A cho 2009.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

8.2 Tìm soá thaäp phaân thöù 2013 sau daáu phaåy cuûa soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn 2012

2011 .

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 9:(3 ñieåm)

9.1 Cho T = 69! a, Xaùc ñònh soá chöõ soá cuûa T . b, Tìm giaù trò nguyeân döông lôùn nhaát cuûa n sao cho T chia heát cho 10n.



Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

9.2 Chæ töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 laäp döôïc nhieàu nhaát bao nhieâu soá töï nhieân leõ khaùc nhau maø moãi soá ñeàu coù boán chöõ soá.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 10:(3 ñieåm) Tìm caùc soá a, b, c sao cho ( )22210 cbaabc ++=

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



Baøi 11:(3 ñieåm) Saùu ngöôøi goùp voán môû moät cöûa haøng kinh doanh. Sau moät thôøi gian, soá tieàn laõi thu ñöôïc laø 9 876 543 210 ñoàng vaø chia ra theo tæ leä giöõa ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai laø 1 : 2, ngöôøi thöù hai vaø ngöôøi thöù ba laø 3 : 4, ngöôøi thöù ba vaø ngöôøi thöù tö laø 5 : 6, ngöôøi thöù tö vaø ngöôøi thöù naêm laø 7 : 8, ngöôøi thöù naêm vaø ngöôøi thöù saùu laø 9 : 10. Hoûi soá tieàn laõi cuûa moãi ngöôøi sau khi chia ra laø bao nhieâu? (Laáy chính xaùc ñeán haøng ñôn vò)

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 12:(4 ñieåm) Cho 3 ñöôøng thaúng 321 ., ddd laàn löôït laø ñoà thò cuûa caùc haøm soá

23

2,53 −=+= xyxy vaø 32 +−= xy . Hai ñöôøng thaúng 1d vaø 2d caét nhau taïi a, hai ñöôøng

thaúng 2d vaø 3d caét nhau taïi B; hai ñöôøng thaúng 1d vaø 3d caét nhau taïi C.

a, Tính chính xaùc toaï ñoä caùc ñieåm A, B, C. b, Tìm toaï ñoä giao ñieåm D cuûa ñöôøng phaân giaùc trong goùc A vaø caïnh BC. c, Tính gaàn ñuùng dieän tích phaàn hình phaúng giöõa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 13: (1 ñieåm) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñænh khoâng lieân tieáp cuûa moät ngoâi sao noäi tieáp ñöôøng troøn baùn kính baèng 2010 cm.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:












Baøi 1:(3 ñieåm) Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau: 3633 507521811162933265 +−−=A

Ñaùp aùn: A =

...0029972997,0

3

...29972997,0

3

...29972997,0

3++=B

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: B =

2013.2011

1006

2011.2009

1005...

7.5

3

5.3

2

3.1

1 22222

+++++=C

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: C =

Baøi 2:(2 ñieåm) Cho boán soá: ( )[ ] ( )[ ] 2553 25252

525 5;3;5;3 ==== DCBA

So saùnh A vôùi B; C vôùi D.



Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: A … B; C … D.

Baøi 3:(3 ñieåm) Cho daõy soá vôùi caùc soá haïng toång quaùt ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:

( ) ( )32

313313nn

nU−−+

= vôùi n = 1, 2, 3, …

Tính U1; U2; U3; U4; U5; U6; U7; U8; U9; U10. U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10

Laäp coâng thöùc truy hoài tính Un+1 theo Un vaø Un-1.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Un+1 =

Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính Un+1 theo Un vaø Un-1.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



Baøi 4:(4 ñieåm)

4.1 Cho haøm soá ( ) 64

2

+−

=x

xf x

Tính tích cuûa töû soá vaø maãu soá cuûa phaân soá toái giaûn ( )af , bieát ...3579579,1=a laø phaân soá

voâ haïn tuaàn hoaøn vôùi chu kì laø 579.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

4.2 Cho ( ) ( ) mnffff nmnm ++== +;11 (m, n nguyeân döông).

Tính ( )10f vaø ( )2012f .

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Un+1 =

Baøi 5:(4 ñieåm)

5.1 Tìm x bieát:

−×+

×

÷−−=

÷−×

25,32

118,02,3

5

75,2

66

5

11

2

44

137,1451,4825,02,15

x

Ñaùp aùn: x =

5.2 Giaûi phöông trình: 1,020112012201,020122011 22 ++−+=+++ xxxx



Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

5.3 Tìm x:

2

12

13

14

4

13

12

11

4

++

+=

++

++

xx

Ñaùp aùn: x =

Baøi 6:(4 ñieåm)

6.1 Cho ña thöùc: ( ) dcxbxaxxP x ++++= 234 . Bieát P(1) = -3; P(2) = 0; P(3) = 5. Tính

( ) ( )[ ] 401620092010 ÷+= −PPM

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

6.2 Tìm soá dö cuûa pheùp chia: 617,1

321,7256,33

−+−

x

xx

Ñaùp aùn:

Baøi 7:(6 ñieåm)

7.1 Tìm öôùc chung lôùn nhaát vaø boäi chung nhoû nhaát cuûa 1996 vaø 2012.

Ñaùp aùn: ÖCLN(1996,2012) = ; BCNN(1996,2012) =



7.2 Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa: 201320122011 666 ++

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

7.3 Tìm soá dö khi chia 17762012 cho 4000.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 8:(4 ñieåm)

8.1 Tìm soá töï nhieân a lôùn nhaát ñeå khi chia caùc soá 13511, 13903, 14589 cho a ñöôïc cuøng moät soá dö.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



8.2 Tìm 9 caëp hai soá töï nhieân nhoû nhaát (Kí hieäu laø a vaø b, trong ñoù soá a laø soá lôùn, soá b laø soá nhoû) coù toång laø boäi cuûa 2010 vaø thöông cuûa chuùng baèng 5.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

a b

Baøi 9:(4 ñieåm) Moät soá coù 6 chöõ soá trong heä cô soá 10 ñöôïc goïi laø soá gaàn vuoâng. Neáu noù thoaõ maõn caùc ñieàu kieän sau: Khoâng chöùa chöõ soá 0. Laø soá chính phöông. Hai chöõ soá ñaàu, hai chöõ soá giöõa vaø hai chöõ soá cuoái ñeàu tao thaønh nhöõng soá chính phöông coù 2 chöõ soá.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



Baøi 10:(3 ñieåm) Vieát keát quaû döôøi daïng phaân soá toái giaûn: A = 3124,142248; B = 2010,(979).

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: =A =B

Baøi 11:(2 ñieåm) Cho 21, xx laø hai nghieäp cuûa phöông trình 09,753 2 =++− xx . Tính 32

31 xxC += (Keát quaû vieát döôùi daïng phaân soá toái giaûn).

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 12:(3 ñieåm) Tìm caùc caëp soá (x;y) nguyeân döông nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: ( ) 1627716572205 22 =−− yxx

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 13:(3 ñieåm) Moät ngöôûi göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng 1.000 USD theo möùc kì haïn laø 6 thaùng vôùi laõi suaát 0,65% moät thaùng. Hoûi sau 10 naêm ngöôøi ñoù nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goùc laãn laõi ôû ngaân haøng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt laõi ôû taát caû caùc kì. Neáu vôùi soá tieàn treân ngöôøi ñoù göûi tieát kieäm theo möùc kì haïn laø 3 thaùng vôùi laõi suaát 0,63%/thaùng thì sau 10 naêm ngöôøi ñoù nhaän ñöôïc bao nhieâu tieàn caû goác laãm laõi ôû ngaân haøng. Bieát raèng ngöôøi ñoù khoâng ruùt laõi ôû taát caû caùc ñònh kì.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Kì haïn 6 thaùng: Kì haïn 3 thaùng:

Baøi 14:(3 ñieåm) Cho tam giaùc ABC bieát AB = c; AC = b vaø goùc A = α . Goïi AM laø ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A (M ∈ BC). a, Haõy trình baøy caùch tính ñoaïn thaúng AM, BM khi bieát b, c vaø α . b, Aùp duïng: b = 15 (cm); c = 18 (cm); α = 600.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, AM = ; BC = b, AM = (cm) ; BC = (cm)

Baøi 15:(2 ñieåm) a, Tính dieän tích cuûa hình caàu coù ñöôøng kính d = 20,09 (cm). b, Tính baùn kính cuûa hình caàu coù V = 2010 cm3.

Ñaùp aùn: a, S = (cm2). b, R = (cm).













( )[ ]

4

5....8333,1

4

1

5

11362,1

...8999,95,635,67.8,12

1

−÷+÷

+÷−=A

Ñaùp aùn: A =

2222222 20122011...54321 −+−+−+−=B

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: B =

8

76

54

32

2010

++

+=C

Ñaùp aùn: C =

1

1234

234

++++++++

=yyyy

xxxxD khi x = 1,6512 vaø y = 1,5123

Ñaùp aùn: D =



Baøi 2:(5 ñieåm) 2.1 Tính giaù trò cuûa x töø phöông trình sau:

( ) ( )[ ]

( )( )15,32,1

2

13

17

1275,0.3,05,0

5

3.

7

25,12

5

4.

3

2

4

3.2,4335,015,0 22

+÷=

÷−÷−

++÷+ x

Ñaùp aùn: x =

2.2 Kí hieäu [x] laø phaàn nguyeân cuûa x.

Giaûi phöông trình: [ ] [ ] [ ] 8551...21 3 333 =−+++ x

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: B =

2.3 Cho x, y > 0. Giaûi heä phöông trình:

=−

=

993,1

012,2

22 yx

y

x

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: B =

Baøi 3:(7 ñieåm)

3.1 Cho ña thöùc ( ) dcxbxaxxP x ++++= 234 . Bieát: ( ) ( ) ( ) ( ) 3

121;9;

3

22;

3

14321 ==== PPPP . Tính:

( ) ( ) ( )201918 ,, PPP

Caùch giaûi



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: B =

3.2 Cho ( ) mxxxxf x +−+−= 2003200220012004 234

( ) nxxxg x −+−= 200520062007 23

Tìm m, n ñeå f(x) vaø g(x) coù 1 nghieäm chung laø 26.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: m = ; n =

3.3 Cho haøm soá ( )xfy = , bieát ( )

( )( )

( )

+=

=

+n

n

nfn

ff

f

.1

73579,0

1

1

, vôùi n laø soá nguyeân döông.

Tính ( )2010

1

f

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 4:(6 ñieåm)

4.1 Tìm toång cuûa hai chöõ soá taän cuøng soá 201020092008 222 ++ vaø 4 chöõ soá taän cuøng soá



5200221353 +

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

4.2 Tính chính xaùc tích soá: 1,36(63) × 36,56(252)

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 5:(3 ñieåm) Cho daõy soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: 3

13

1

+=+

nn

xx

Bieát x1 = 0,5. Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính xn. Tính x12, x31.



Quy trình aán phím ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: x12 = ; x31 =

Baøi 6:(3 ñieåm) Tìm caùc soá töï nhieân n (2000 < n < 60000) sao cho vôùi moãi soá ñoù thì 3 1554756 nan += cuõng laø moät soá töï nhieân. Neâu quy trình aán phím ñeå coù keát quaû.

Quy trình aán phím ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 7:(4 ñieåm)

7.1 Cho ( ) 13995357 234567 −+−−−+−= xxxxxxxP x . Tính ( ) ( ) ( )352 2 PPP −+

Ñaùp aùn:

7.2 Khi khai trieân bieåu thöùc ( )152321 xx += ta ñöôïc bieåu thöùc 30

303

32

210 ..... xaxaxaxaa +++++ . Tính giaù trò chính xaùc cuûa bieåu thöùc:

30293210 1073741824536870912.....842 aaaaaaE −−+−+−=

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 8:(7 ñieåm) 8.1 Tìm 2 soá töï nhieân a, b vôùi a lôùn nhaát coù 3 chöõ soá vaø thoaõ maõn:

0223 =−−+ babaa

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

8.2 Tìm soá lôùn nhaát vaø soá nhoû nhaát coù daïng tyzxD 632= vôùi 0 Nxytxyzt ∈≤≤ ,,,9,,, bieát

D chia heát cho 29.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Soá lôùn nhaát thoaõ laø: Soá beù nhaát thoaõ laø:



8.3 Tìm soá dö trong pheùp chia 12 ++ nn kk cho 12 ++ kk vôùi moõi soá töï nhieân n vaø soá nguyeân k khaùc 1. Aùp duïng n = 2009 vaø k = 2010.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 9:(2 ñieåm) Cho soá ...0019981998,0

2

...019981998,0

2

...19981998,0

2++=M . Phaân tích M ra

thöøa soá nguyeân toá.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: M =

Baøi 10:(3 ñieåm) Trong moät traän ñaáu boùng, ban toå chöùc coù 100 nhaân vieân an ninh caû chuyeân nghieäp vaø khoâng chuyeân nghieäp. Caùc vò trí cuûa nhaân vieân an ninh chuyeân nghieäp ñöôïc ñaùnh daáu töø vò trí soá 1, cöù caùch 15 meùt laïi ñaùnh daáu tieáp. Nhaân vieân an ninh khoâng chuyeân ñöôïc ñaùnh daáu töø vò trí soá 1, cöù caùch 10 meùt laïi ñaùnh daáu tieáp. Vieäc ñaùnh daáu keát thuùc khi gaëp moät vò trí ñaõ ñaùnh daáu. Hoûi ban toå chöùc coù bao nhieâu nhaân vieân an ninh chuyeân nghieäp vaø khoâng chuyeân nghieäp.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................



............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: Coù nhaân vieân an ninh chuyeân nghieäp vaø khoâng chuyeân.

Baøi 11:(3 ñieåm) Cho hình thang caân coù ñaùy nhoû laø CD = 16,45 (cm). Caïnh beân AD = BC = 30,1 (cm). Hai ñöôøng cheùo AC vaø BD vuoâng goùc. a, Tính coâng thöùc tính ñoä daøi ñaùy lôùn. b, Tính giaù trò ñoä daøi ñaùy lôùn.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, AB = b, AB =

Baøi 12:(2 ñieåm) Cho tam giaùc ABC coù phaân giaùc trong AD (D thuoäc ñoaïn BC). M laø trung ñieåm AB. Ñoaïn AD caét CM taïi I. Tính dieän tích tam giaùc ACI khi AB = 5 (cm); AC = 5 (cm); BC = 7 (cm).

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: S =












Baøi 1:(5 ñieåm) Tính giaù trò cuûa caùc bieåu thöùc sau: (4 ñieåm)

( )[ ] 12,005,101,1004,224,9.21.19

1...

15.13

1

13.11

1÷+÷−

+++=A

Ñaùp aùn: A ≈

++

++=

3cot.tansin.cos3cot2

coscot.tan4sin.3

2322

33

xyyxx

yyxxB bieát

=−−

=−+

0946,1cos7sin5

0211,2cos3sin2

yx

yx

≈

≈

y

x

Ñaùp aùn: B ≈

( )

+

−−

−−

+

+

−−÷

−+

+−

−

−= 1

1

2

1

1

113

231

19

8

13

1

13

1x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xC

khi 22

22

22

22

−

++

+

−=x

Ñaùp aùn: C ≈

+

+

+

+

+

+

+

+=

4

12011.....

4

15

4

13

4

11

4

12012.....

4

16

4

14

4

12

4444

4444

D

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 2:(3 ñieåm) 2.1 Tìm x bieát:

( )3

12

5

45,0.2,1

17

22.

4

13

9

56

7

4

25

208,1

25

164,0

25,1.5

4

=÷+

−

÷

−+

−

÷x

Ñaùp aùn: x =

2.2 Tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình: 131 =−− xx

Ñaùp aùn: x =


==

=++

1836

3453zyx

zyx

Ñaùp aùn:

=

=

=

z

y

x

Baøi 3:(2 ñieåm) Vieát quy trình aán phím tính giaù trò cuûa bieåu thöùc sau vaø bieåu dieãn keát quaû döôùi daïng phaân soá.

9

87

45

23

2012

++

+=D

Quy trình aán phím ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 4:(5 ñieåm)

4.1 Tìm soá dö trong pheùp chia: 715 : 2013



Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

4.2 Tìm soá thaäp phaân thöù 201225 sau daáu phaåy cuûa pheùp chia 2238 cho 1268.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 5:(4 ñieåm)

5.1 Tìm soá töï nhieân nhoû nhaát coù 10 chöõ soá bieát raèng soá ñoù khi chia cho 17 thì dö 2 vaø khi chia cho 29 thì dö 5.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

5.2 Phaân tích 252633033 ra thöøa soá nguyeân toá.

Ñaùp aùn: 252633033 =



Baøi 6:(3 ñieåm) Cho daõy soá n

nn

a

aa

+

+=+ 1

51 vôùi n 1≥ vaø 11 =a .

Laäp quy trình aán phím lieân tuïc tính xn. Tính 201025155 ,, aaaa

Quy trình aán phím ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a5 = ; a15 = ; a25 = ; a2010 =

Baøi 7:(2,5 ñieåm) Cho 4 soá nguyeân neáu coäng ba soá baát kì ta ñöôïc caùc soá laø: 180, 197, 208, 222.Tính toång cuûa caùc soá nguyeân ñoù.

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 8:(4 ñieåm) Trình baøy moät phöông phaùp tính chính xaùc giaù trò cuûa: A = 6513666754 × 6513666297

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn:



B = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + 16 × 16!

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

Baøi 9:(2 ñieåm) Cho hai ña thöùc: ( ) mxxxxP x ++−+= 345 234 vaø nxxxxQ x ++−+= 234 234)(

Tìm giaù trò cuûa m, n ñeå caùc ña thöùc P(x), Q(x) M (x – 2) Xeùt ña thöùc R(x) = P(x) - Q(x) vôùi giaù trò cuûa m, n vöøa tìm ñöôïc. Chöùng toû R(x) chæ coù moät nghieäm duy nhaát.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: m = ; n =

Baøi 10:(4 ñieåm) Cho Q = 17!. Haõy tìm öôùc soá lôùn nhaát cuûa Q, bieát öôùc soá ñoù: a, Laäp phöông cuûa moät soá töï nhieân. b, Bình phöông cuûa moät soá töï nhieân.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, b,

Baøi 11:(2 ñieåm) Cho phöông trình: 0123 =−++ bxaxx

Tìm a, b ∈ Q bieát phöông trình coù nghieäm 35

35

+

−=x

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a = ; b =

Baøi 12:(2,5 ñieåm) Moät ñöôøng troøn noäi tieáp trong moät hình vuoâng coù caïnh baèng 2,0112012 sau ñoù noäi tieáp trong hình troøn ñoù moät hình vuoâng vaø quaù trình ñoù cöù tieáp dieãn nhö theá maõi. Neáu goïi nS laø toång caùc dieän tích cuûa n hình troøn ñaàu tieân nhö theá.

Tính 20S .

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: =20S



Baøi 13:(5 ñieåm) Boá baïn Quang taëng baïn aáy moät maùy tính trò giaù 5 000 000 ñoàng baèng caùch cho baïn aáy tieàn haøng thaùng vôùi phöông thöùc sau: Thaùng ñaàu tieân baïn Bình nhaän 100 000 ñoàng, caùc thaùng töø thaùng thöù hai trôû ñi, moãi thaùng döôïc soá tieàn hôn thaùng tröôùc 20 000 ñoàng. a, Neáu choïn caùch göûi tieát kieäm soá tieàn coù ñöôïc nhaän haøng thaùng vôùi laõi suaát 0,6%/thaùng thì baïn Quang phaûi göûi bao nhieâu thaùng môùi ñuû soá tieàm mua maùy tính. b, Neáu baïn Quang muoán coù ngay maùy tính ñeå hoïc baèng caùch choïn phöông thöùc mua traû goùp haøng thaùng baèng soá tieàn boá cho vôùi laõi suaát 0,7%/thaùng thì baïn Quang phaûi traû gooùp bao nhieâu thaùng môùi heát nôï.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn: a, b,

Baøi 14:(3,5 ñieåm) Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2010 (cm). Treän tia ñoái tia AB, laáy ñieåm P sao cho α = 1005 (cm). Qua P veõ caùt tuyeán PCD (C naèm giöõa P vaø D) sao cho 21005=CD (cm). Tính ñoä daøi ñoaïn PC, PD, CA, AD, BD.

Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................



........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: PC = (cm); PD = (cm). CA = (cm); AD = (cm); BD = (cm).

Baøi 15:(3 ñieåm) Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R). Tia phaân giaùc trong vaø ngoaøi cuûa goùc A caét caïnh BC laàn löôït taïi D vaø E. Giaû söû AD = AE. Tính toång 22 ACAB + theo R. Aùp duïng tính khi R = 1,20102009 (cm)

Caùch giaûi ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

Ñaùp aùn: =20S

Baøi 16:(2,5 ñieåm) Hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng 10 (cm) noäi tieáp ñöôøng troøn taâm O. M laø ñieåm treân cung BC sao cho goùc °= 30ˆBAM . Haõy tính goùc MOA ˆ vaø dieän tích töù giaùc AOMB.



Caùch giaûi ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

Ñaùp aùn:

PHAÀN V

ÑÑÑÑaùp aùp aùp aùp aùn baøi taäp töï luyeänaùn baøi taäp töï luyeänaùn baøi taäp töï luyeänaùn baøi taäp töï luyeän VVVVaø aø aø aø ñeà luyeän taäpñeà luyeän taäpñeà luyeän taäpñeà luyeän taäp



3.1.1.1: 57

112=A ;

3

23;

4

93== CB

3.1.1.2: 320

28125;1087001006,7;1979994,20;428835233,5;997096386023 13 =×≈≈≈−≈ − EDCBA

Caâu A khi tính ra seõ hieän thò treân maøn hình: -7,096386024×1011 nhöng trong thöïc teá laø maùy tính vaãn tính ñuùng 2 chöõ soá bò aån ñi. Ñeå tính chính xaùc ta chæ caàn trừ Ans vôùi 7,09638×1011 ñeå

nhìn thaáy 2 chöõ soá ñaõ bò aån.

3.1.1.3: 1640

79

3.1.1.4: 34,1792;00000,5;717778,3;829876,10;9116392.1 ≈=≈≈≈ EDCBA

3.1.2.1: Ta coù: a, Goùc α = sin-1 0,831 ≈ 56012’5,76” ⇒ cos 5α ≈ 0,1909460223 b, Goùc α = cos-1 0,1234 ≈ 82054’41,88” ⇒ Sin 2α ≈ 0,2449137107 3.1.2.2: Ta coù: goùc A = cos-1 0,8516 ≈ 31036’49,96”; goùc B = tan-1 3,1725 ≈ 72030’16,88”; goùc C = sin-1 0,4351 ≈ 25047’29,97” ⇒ CBA ˆˆˆ −+ ≈ 78019’87’’ 3.1.2.3: 1902714066,0;"57,52'242;"05,38'586 ≈°≈≈ CBA h

3.1.3.1: a, x1 ≈ 1,532213277; x2 ≈ -0,8749362822

b,

−≈

≈

717368578,4

196618891,1

x

x

3.1.3.2: a,

−≈

≈

3333096946,0

082203244,1

y

x b,

=

=

=

2

5

4

z

y

x

c,

−=

=

23

2

y

x

3.1.3.3: Ñaët aån phuï: 1

1;

2

1

−=

−=

yb

xa

=

−=⇔

=+

=+⇔

=−

+−

=−

+−

53

6053

70

15,41,3

14,23,1

11

5,4

2

1,3

11

4,2

2

3,1

b

a

ba

ba

yx

yx

⇒

=

=⇔

−=

−=−

60

11370

87

1

1

53

602

1

53

70

y

x

y

x

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø

=

=

60

11370

87

y

x

3.1.3.4: Giaûi phöông trình ta ñöôïc:

≈

≈

2527022049,0

250002664,1

y

x

⇒ 946639229,4≈y

x

Vaäy tæ soá caàn tìm laø 4,946639229



3.1.4.1: Theo ñeà baøi ta coù: (12x + 12 + 2

1 x) ÷ 3 = 54

⇒ x = 12 Vaäy soá x phaûi tìm laø 12.

3.1.4.2: Thôøi gian ñan 1 caùi roå laø: hh

=6

1

6

1

Thôøi gian ñan 1 caùi reá laø: hh

=40

3

20

'301

Vaäy thôøi gian ñeå anh Saùu ñan 100 caùi roå vaø 100 caùi reá laø: =+40

3.100

6

1.100 24h10’

3.1.4.3: Ngöôøi thaân nhaän soá tieàn laø: 5 000 000 – 5 000 000 × 0,9% = 4 955 000 ñoàng. 3.1.4.4: Goïi 3 soá ñoù laø x, y, z. (Ñieàu kieän: x, y, z ∈ Z) Theo ñeà baøi ta coù:

=+

=+

=+

2033

2032

4023

zy

zx

yx

=

=

=

⇔

21

2012

2011

z

y

x

Vaäy ba soá phaûi tìm laø 3, 9, 19. 3.1.5.1: Laáy 20092010 ÷ 999 ñöôïc 20112,12212 (Phaàn nguyeân laø 20112) Tìm soá dö laáy: 20092010 – 20112 × 999 = 112 Vaäy soá dö laø 112. 3.1.5.2: Chia soá 4826809 cho caùc soá nguyeân toá töø 2 roài taêng daàn. ⇒ Soá 4826809 laø hôïp soá vì chia heát cho 13.

3.6.1.1: A ≈ 10,15259; B ≈ 8,11801

3.6.1.2: ( ) 101303662012.2

12

62012

=++

−

=A

3.6.1.3: Ta coù: 09716521,70621,4

732,2.815,17 4

56

≈

Vaäy soá phaûi tìm laø: 70,0976521 ÷ 5% ≈ 1401,953304.

3.6.1.4:

−=

=

109

8109

166

y

x

3.6.1.5: Voâ nghieäm. 3.6.1.6: Thöïc hieän pheùp chia 123456 ÷ 135 ta ñöôïc 914,4888889 (Phaàn nguyeân laø 914) Tìm soá dö baèng caùch laáy 123456 – 135 × 914 = 66 Vaäy soá dö laø 66. 3.6.1.7: Ta tính 881 ñöôïc 68164416,29

Laàn löôït chia 881 cho caùc soá nguyeân toá töø 2 ñeán 29. Do 881 khoâng chia heát cho soá nguyeân toá naøo töø 2 ñeán 29. ⇒ 881 laø soá nguyeân toá.



3.6.1.8: A ≈ -341,1758028 B ≈ 0h49’54,77” 3.6.1.9: Do vai troø cuûa caùc soá nhö nhau. Goïi 3 soá baát kì phaûi tìm laø: a, b, c (a,b,c ∈ N*) Theo ñeà baøi ta coù:

=

=

=

⇔

=+

=+

=+

26

16

6

42

32

22

c

b

a

cb

ca

ba

Vaäy tích cuûa 3 soá phaûi tìm laø: 6.16.26 = 2496

3.6.1.10: Soá tieàn voán cuûa caùi aùo laø: (200 000 – 47 000) ÷ 2

3 = 102 000 (ñoàng).

Soá tieàn laõi thu ñöôïc ôû caùi aùo laø: 150 000 – 102 000 = 48 000 (ñoàng) Vaäy soá tieàn thu ñöôïc ôû boä quaøn aùo laø: 47 000 + 48 000 = 96 000 (ñoàng).

3.6.2.1: ( ) 50702082012.2

14

82012

=++

−

=A

3.6.2.2: A ≈ 1,62257; B ≈ 13,72148.

3.6.2.3:

=

−=

829

128829

414

y

x

3.6.2.4: x1 ≈ 1,528193532; x2 ≈ -0,9731384072

3.6.2.5: Ta coù: 09716521,70621,4

732,2.815,17 4

56

≈

⇒ Soá phaûi tìm laø: 70,09716521 × 5% ≈ 3,50485826 3.6.2.6: Thöïc hieän pheùp chia 9999 ÷ 22 ñöôïc 454,5 (Phaàn nguyeân laø 454) Tìm soá dö cuûa pheùp chia treân laáy 9999 – 22×454 = 11 Vaäy soá dö laø 11. 3.6.2.7: Ta tính: 52996409,12157 ≈

Ñeå kieåm tra xem 157 laø soá nguyeân toá hay laø hôïp soá ta chæ vieäc chia 157 cho caùc soá nguyeân toá töø 2 ñeán 12. Do 157 khoâng chia heát cho soá nguyeân toá naøo töø 2 ñeán 12. Vaäy 157 laø soá nguyeân toá. 3.6.2.8: D ≈ -253,0332028; E ≈ 007’29,45”

3.6.2.9: Tieàn laõi cuûa caùi aùo laø: 48 000 ÷ 2

3 = 32 000 (ñoàng).

Tieàn voán cuûa caùi quaàn laø: 200 000 – 48 000 = 152 000 (ñoàng). Tieàn voán cuûa caùi aùo laø: 150 000 – 32 000 = 118 000 (ñoàng). Vaäy tieàm voán boû ra cuûa boä quaàn aùo laø: 152 000 + 118 000 = 270 000 (ñoàng).



3.6.2.10: Goïi 3 soá nguyeân baát kì laø a, b, c (Ñieàu kieän: a, b, c ∈ N*)

Theo ñeà baøi ta coù:

=

=

=

−=

⇔

=

=

=

⇔

=

=

=

6

5)(4

)(4

3024

.20

24

20

30

24

20

c

b

nhana

loaia

aa

ac

ab

bc

ac

ab

Ba soá phaûi tìm laø 4, 5, 6. Soá lôùn nhaát trong ba soá laø 6. Chuù yù chaám baøi ñeà HHN#1, HHN#2:

- Caùc keát quaû ñöôïc laøm theo caùch khaùc ñaùp aùn, vôùi kieán thöùc trong chöông trình thì vaãn cho ñieåm theo caùc phaàn töông öùng.

- Caùc keát quaû gaàn ñuùng, neáu chæ sai chöõ soá cuoái cuøng thì tröø ½ soá ñieåm caâu ñoù; caùc ñaùp aùn coù ñôn vò, neáu thí sinh khoâng ghi ñôn vò thì tröø 1 ñieåm/ 1 laàn ghi thieáu.

Thang ñieåm xeáp loaïi: - Döôùi 35: Caàn laøm laïi, chuù yù ñeán caùch duøng maùy cho ñuùng. Xem caùch laøm troøn vaø ñôn vò. - Töø 35 – 45: Xeáp loaïi Khaù, chuù yù caùc loãi nhoû bò tröø ñieåm vaø baøi taäp coù söï bieán hoùa nhoû. - Treân 45: Xeáp loaïi gioûi, tieáp tuïc naâng cao caùc chuyeân ñeà chöông IV, chuù yù nhöõng loãi bò

tröø ñieåm.

4.1.1 a, Caùch 1: AÙp duïng coâng thöùc:

( )( )

6

121......321 2222 ++

=++++nnn

n

⇒ ( )( )

27169796506

12012.212012201220122011...321 22222 =

++=+++++=A

Vaäy A = 2716979650. Caùch 2: Söû duïng coâng thöùc tính toång xích-ma ta coù:

271697965020122011...3212012

1

222222 ==+++++= ∑ xA

Thöïc hieän tính treân maùy fx570 ES ta ñöôïc: A = 2716979650. b, Caùch 1: AÙp duïng coâng thöùc:

( )

4

1......321

223333 +=++++

nnn

08441009409064

)12012.(201220122011...321

2233333 =

+=+++++=⇒ B

Vaäy B = 4100940906084.

Löu yù: Khi tính 4

)12010.(2010 22 + thì keát quaû traøn maøn hình (4,100940906×1012). Ñaëc ñieåm

caàn bieát ôû maùy tính ñieän töû laø noù vaãn tính chính xaùc ba chöõ soá aån ñi, ñeå hieän thò chuùng ra baèng caùch tröø ñi moät soá.

Ví duï treân: An s – 4,1×1012 = (Keát quaû: 940906084)

Caùch 2: Laøm gioáng caùch 2 caâu a.



Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc tính toång xích-ma ta coù: E = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + 16 × 16!

( )∑=16

1

!.xx

Thöïc hieän tính treân maùy fx570 ES ta ñöôïc: 3,556874281x1014. Ñeå hieän thò caùc soá bò aán ñi ta thöïc hieän tieáp pheùp tính: Ans - 3,5568x1014 Vaäy E = 355687428095999. 4.1.2: AÙp duïng coâng thöùc:

( )( )

6

121......321 2222 ++

=++++nnn

n

⇒ ( )( )

147246896

1353.21353353353...321 2222 =

++=++++=A

Ta laïi coù: ( ) ( ) ( )2222 353.2...3.22.22 +++=S

( )1540385.44

353...3214 2222

===

++++=

A

4.1.3: a, Ta coù:

( ) ( )9900

636300,0

99

3636,0 =⇒=

( )9900

6336,16336,1 +=⇒

Thöïc hieän tính, aán phím treân maùy fx 570MS: 1,36 + 63 ab/c 9900 = (Keát quaû: 1100

1503 )

Vaäy phaân soá sinh ra phaân soá tuaàn hoaøn 1,36(63) laø 1100

1503

b, Caùch 1: Ñaët: ( ) ( )25252,36562100025256,36 =⇒= AA ( ) ( ) AAA 99996,3652525256,3625252,365621000 ==−=−⇒

99900

3652596=⇒ A

Vaäy phaân soá sinh ra phaân soá tuaàn hoaøn 36,56(252) laø 99900

3652596

Caùch 2: Ta coù:

( )

( )

( )2775

101461

2775

15612775.36

2775

15613625256,365

2775

1561

2775

756,025256,0

2775

7

99900

25225200,0

=+

=+=⇒

=+=⇒

==

4.1.4: a, Ta coù: ( ) ( )9990

3533530,0

999

353353,0 =⇒=

( )

1998

171499

1998

16691998.85

1998

166985...8353353353,85

1998

1669

9990

3538,03538,0

=+

=+==⇒

=+=⇒

F



Vaäy khi F ñöôïc vieát döôùi phaân soá toái giaûn thì toång maãu soá vaø töû soá caàn tìm laø 171499 + 1998 = 173497.

b, Ta coù: ( ) ( )9990

9939930,0

999

993993,0 =⇒=

( )

( )1665

155177

1665

332939931,93

1665

332

9990

9931,09931,0

=+==⇒

=+=⇒

E

Ñaët a

aE

1665

155177=

Theo ñeà baøi ta coù: 34605361665155177 =⇒=− aaa

Vaäy khi phaân soá E caàn tìm laø: 4995

465531

3.1665

3.155177=

4.1.5: Ta coù: ( )1111

222

9999

19981998,0 ==

( )

( )111100

222199800,0

11110

22219980,0

=⇒

=⇒

...0019981998,0

18

...019981998,0

18

...19981998,0

18++=⇒ M

9999222

111100.18

222

11110.18

222

1111.18=++=

Vaäy M = 9999. 4.1.6: a, Tính treân maùy: 12578963 × 16475 ñöôïc 2,072384154×1011 Ñeå bieát 2 chöõ soá aån ñi ta aán: Ans – 2,072×1011 ñöôïc 38415425 Vaäy soá A caàn tìm laø 207238415425. b, Ta coù: B = 4672093070 × 430043 = (4672×106 + 9307×10) × 430043 Tính treân maùy caùc giaù trò: 4672 × 430043 = 2 009 160 896 9307 × 430043 = 4 002 410 201 Tính treân giaáy: 2009160896×106 + 4002410201×10

Vaäy soá B phaûi tìm laø 2009200920102010. c, Ta coù: C = 3333355555 × 3333377777 = (33333×105 + 55555) × (33333×105 + 77777) Tính treân maùy caùc giaù trò: 33333 × 33333 = 1 111 088 889 33333 × 77777 = 2 592 540 741 55555 × 33333 = 1 851 814 815



55555 × 77777 = 4 320 901 235 Tính treân giaáy: 1111088889×1010 + 2592540741×105 + 1851814815×105 + 4320901235

Vaäy soá C caàn tìm laø: 11 111 333 329 876 501 235. d, Phöông phaùp laøm töông töï caâu c: Ñaùp aùn: D = 4 938 419 751 604 903 704 e, Phöông phaùp laøm töông töï caâu c: Ñaùp aùn: E = 4 938 444 443 209 829 630 f, Phöông phaùp laøm töông töï caâu c: Ñaùp aùn: F = 4 494 811 329 665 838 090 g, Ta coù:

( ) 25102252 12012120121021201210212011201210212012120112012 +×××+×=+×==G Tính treân maùy giaù trò: A = 212012 = 449 482 401 B = 2.20201.12012 = 509 332 824 C = 120122 = 144 288 144 Tính treân giaáy: 1010×A + 105×B + C

Vaäy M = 4 494 874 943 426 688 144 i, Ta coù: I = 1234563 = (123.103 + 456)3 = 1233×109 + 3×1232×106×456 + 3×123×103×4562 + 4653 Tính treân maùy caùc giaù trò:

1233 = 1 860 867 3×1232×456 = 20 696 472 3×123×4562 = 76 728 384 4562 = 207 936

Tính treân giaáy: 1860867×109 + 20696472×106 + 76728384×103 + 207936

k, Phöông phaùp laøm töông töï caâu i: Ñaùp aùn: K = 1119909991289361111



4.1.7: a, Ta coù:

( ) 1

11

1

1

+−=

+ nnnn vôùi n ∈ N*

AÙp duïng vaøo bieåu thöùc ta ñöôïc:

123457

1

123456

1...

3

1

2

1

2

1

1

1

123457.123456

1...

3.2

1

2.1

1−++−+−=+++=A

123457

123455

123457

11 =−=

Vaäy 123457

123455=A

Chuù yù: Baøi naøy khoâng neân söû duïng coâng thöùc toång xích-ma vì noù chaïy raát laâu. b, Ta coù:

( )( ) ( ) ( )( )21

1

1

1

21

2

++−

+=

++ nnnnnnn vôùi n ∈ N*

Ta laïi coù:

2013.2012.20011

2...

5.4.3

2

4.3.2

2

3.2.1

22 ++++=C

8100312

4050154

2013.2012.2

22013.2012

2013.2012

1

2.1

12013.2012

1

2012.20011

1.....

5.4

1

4.3

1

4.3

1

3.2

1

3.2

1

2.1

1

=−

=−=

−++−+−+−=

8100312

2025077

28100312

4050154=

×=⇒ C

Vaäy 8100312

2025077=C

Môû roäng: Qua caâu a, b ta môû roäng ra coâng thöùc toång quaùt:

( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )321

1

21

1

321

3

+++−

++=

+++ nnnnnnnnnn vôùi n ∈ N*

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )annnannnnannnn

a

+++−

−+++=

+++−

...32

1

1...21

1

...21

1 vôùi n, a ∈ N*

c, Ta coù:

2

11

)2(

2

+−=

+ nnnn vôùi n ∈ N*

AÙp duïng coâng thöùc ta ñöôïc:

2013

1

2011

1.......

7

1

5

1

5

1

3

1

3

1

1

1

2013.20011

2...

7.5

2

5.3

2

3.1

22 −+−+−+−=++++=B

2013

2012

2013

11 =−=

2013

1006

2.2013

2012==⇒ B

Môû roäng: Qua caâu c ta môû roäng ra coâng thöùc toång quaùt:

( ) ( )annann

a

+−=

+11 vôùi n, a ∈ N*



d, Ta coù:

503

2

2012

8

2012

2011.

2011

2010......

11

10.

10

9.

9

82012

2011.

2011

2010......

11

10.

10

9.

9

82012

20121.

20011

20111......

11

111.

10

101.

9

91

12012

11

2011

1...1

10

11

9

1

===

−−−−−=

−−−−−=

−

−

−

−=D

Vaäy 503

2=D

e, Ta coù:

2013.2011

1006

2011.2009

1005...

7.5

3

5.3

2

3.1

1 22222

+++++=E

−+−+−+−=

2013

1006

2011

1006.....

7

3

5

3

5

2

3

2

3

1

1

1

2

1 22222222

E

−

−++

−+

−+=

2013

1006

2011

10051006.....

5

23

3

12

1

1

2

1 22222222

E

2013

506521

2013

7552013.252

2013

755252

2013

1510504

2

1

2013

10061006

2

1

2013

10061

2

320111

2

1 22

=−

=−=

−=

−=

−

+−

+=

E

E

Nhaän xeùt: Baøi taäp naøy khaù khoù, phaûi keát hôïp nhieàu coâng thöùc, phöông phaùp. Ñaëc bieät do

phaûi tính chính xaùc neân khoâng theå duøng coâng thöùc tính toång xich-ma ( )( )∑ +−

=1006

1

2

1212 xx

xE ñeå

baám maùy ñöôïc.

4.1.8: Ta coù:

( )( ) nnnnnn

nn

nn−+=

−+++

−+=

++1

11

1

1

1 vôùi n ∈ N.

AÙp duïng vaøo bieåu thöùc ta ñöôïc:

111......23121

1...

32

1

21

1−+=−+++−+−=

++++

++

+= nnn

nnB

Khi n = 2012 thì 86646855,4312011112012 ≈−=−+=B Vaäy 86647,43≈B

4.1.9: a, Söû duïng maùy tính fx 570MS: Ta gaùn: 1111,2011 shift STO X Tính giaù trò cuûa A aán: ( alpha A ^ 4 + alpha A ^ 8 + alpha A ^ 12 + alpha A ^ 16 + alphaq A ^ 20 + 1 ) ab/c ( alpha A ^2 + alpha A ^ 6 + alpha A ^ 10 + alpha A ^ 14 + alpha

A ^ 18 + alpha A ^ 22 ) = (Keát quaû: 8,098688121×10-7). Vaäy giaù trò cuûa A ≈ 8,098688121×10-7

b, Caùch laøm töông töï a. Ñaùp aùn: B ≈ 6,99536565



c, Caùch laøm töông töï a. Ñaùp aùn: C ≈ 3,9793188

d, Caùch laøm töông töï a. Ñaùp aùn: 223

253−=D

4.1.10: Ñaùp aùn: A ≈ 0,13358 B ≈ 1,1 4.1.11: Caùch 1: Nhaäp caû bieåu thöùc vaøo roài tính, caùch naøy vaãn ra ñaùp aùn nhöng khoâng hay cho laém. Caùc baïn xem moät phöông phaùp duøng voøng laëp CALC ñeå tính ôû caùch 2.

Caùch 2: Söû duïng voøng laëp CALC: Xaây döïng quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha B alpha = 10 alpha B + 7 alpha : alpha A alpha = alpha A + alpha B CALC

Maùy hoûi M? 0 = (Bieám ñeám soá soá haïng) Maùy hoûi B? 0 = Maùy hoûi A? 0 = = = = …… =

Khi M = 17, ta aán tieáp 2 daáu “=” seõ ra ñaùp aùn caàn tìm laø: P = 8,641975309.1018 b, Caùch 1: Söû duïng voøng laëp CALC: Xaây döïng quy trình aán phím treân maùy tính fx 570MS: alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha A alpha = alpha A + alpha M ab/c 3 ^ alpha N CALC

Maùy hoûi M? 0 = Maùy hoûi A? 0 = (Giaù trò F khi n = M). = = = …… = Khi M = 15 ta aán tieáp daáu “=” seõ ra ñaùp aùn caàn tìm laø: 749999425,0≈F

Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc tính toång xích-ma ta coù:

1532 3

15...

3

3

3

2

3

1++++=G

∑=15

1 3x

x

Thöïc hieän tính treân maùy fx570 ES ta ñöôïc: 749999425,0≈F

4.1.12: Ngoaøi caùch gaùn giaù trò cuûa x vaøo bieán X roài chia bieåu thöùc laøm nhieàu phaàn nhoû ñeå tính. Xin trình baøy moät caùch ruùt goïn roài tính nhö sau:

−−

+−+

+−+

=

−−

−+

−+

=

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Q1

2

12

1

4

11

21

4

112

1

2

11

4

11

1

4

112

2

2

xx

x

xx

xx

xx 1

11

1

2

11

2

1

1

2

2

+=+

=

−−

+

−

=

Khi x = 3,6874496 thì 271190147,16874496,3

11 ≈+=Q



4.1.13: a, Ta coù:

+

+=357

1579

579

1357

357

1579.

579

1357

357

1

579

1

579

1579

357

1357579357 ×+×+×+×=

206703

1206705

206703

1206705 =+=

Vaäy hoãn soá caàn tìm laø 206703

1206705

b, Ta coù:

404211

101999

404211

403806890404211,080689,403 ==÷

404211

1001013

404211

409465843211,404843,409465 ==÷

404211

1001013

404211

101999211,404843,409465404211,080689,403 +=÷+÷⇒

2011

12012

404211

100

404211

1012012 =

++=

Vaäy hoãn soá caàn tìm laø 2011

12012

4.1.14 a, Ta coù:

( ) 7

21

7

7

+−=

+ nnnn vôùi n ∈ N.

++++=++++⇒72.65

7...

23.16

7

16.9

7

9.2

7.

7

1

72.65

1...

23.16

1

16.9

1

9.2

1

−++−+−+−=72

1

65

1...

23

1

16

1

16

1

9

1

9

1

2

1

7

1

72

5

72

1

2

1

7

1=

−=

−÷

++++=⇒36

7

3

1

72.65

1...

23.16

1

16.9

1

9.2

1.49A

2

49

63

7

3

1

72

5.49 =

−÷=

Vaäy soá nghòch ñaûo cuûa A laø 49

2

b, Ta coù:

( )

( )

( )90

77

90

58,058,0

99

161

99

62162,1

90

31

90

43,043,0

=+=

=+=

=+=



( ) ( )( ) 11

90

58,03

1

2

1

11

71462,143,0 ÷

+−÷+=⇒ B

315

106

11

90

9077

31

21

11

714

99

161

90

31=÷

+−÷+=

Vaäy soá nghòch ñaûo cuûa B laø 106

315

4.2.1: a, Ta coù: α = sin-1 0,3456 ≈ 20013’6,33” ⇒ M ≈ 0,05735271223 b, Ta coù: x = cos-1 0,7651 = 4005’2,8” ⇒ A ≈ -1,425422144

c, Ta coù: "05,39'55618

15tan 1 °== −α

⇒ A ≈ 0,2793431288 d, Ta coù: α = cos-1 5678,0 = 4106’12,03”

⇒ N ≈ 0,2807499116 4.2.2: Ta coù: tanα = tan350.tan360. tan370…. tan520. tan530 = tan350.tan360.(tan370.cot370).(tan380.cot380)….tan450 = tan350.tan360 = 0,508730549 ⇒ α = 26057’49,79” Gaùn giaù trò 26057’49,79” vaøo bieán A Nhaäp bieåu thöùc vôùi bieán A ta ñöôïc: M ≈ 4,654818388 4.2.3: a, Gaùn giaù trò α , β laàn löôït vaøo bieán A vaø B:

25 o’” 30 o’” shift STO A

57 o’” 30 o’” shift STO B

Nhaäp bieåu thöùc vôùi 2 bieán A, B ta ñöôïc: L ≈ 1,7548

b, Nhaäp bieåu thöùc vaøo ta ñöôïc giaù trò cuûa bieåu thöùc laø: 2

73

4.3.1: Söû duïng maùy tính fx 570MS:

Tính

2009

1217

11

121

3

++

+ ta aán: 17 + 12 ab/c 2009 = x-1 + 1 = x-1 × 12 + 1 = x-1 × 3 shift STO X

(Keát quaû: 0,2432388816)

Tính

2010

17

13

523

1

++

+ ta aán: 7 + 1 ab/c 2010 = x-1 + 3 = x-1 × 5 + 23 = x-1 shift STO Y

(Keát quaû: 0,04066542588) Tính giaù trò A ta aán: 17 + alpha X + alpha Y = (Keát quaû: 4,1728390431) Vaäy giaù trò A ≈ 4,17



4.3.2: Trình baøy töông töï 4.3.2. Ñaùp soá:1807

700;

157

1360== BA

4.3.3: Ta coù quy trình chuyeån veá aán phím lieân tuïc treân maùy fx 570MS nhö sau: 329 ab/c 1051 = x-1 – 3 = x-1 – 5 = x-1 (Keát quaû: 7,11111….) ⇒ a = 7

Tính b aán tieáp: Ans – 7 = (Keát quaû: 9

1 ) ⇒ b = 9

Vaäy giaù trò a, b phaûi tìm laàn löôït laø 7, 9

4.3.4: Tính 43

30

4

13

12

11

1=

++

+ gaùn vaøo bieán A vaø

73

17

2

12

13

14

1=

++

+ gaùn vaøo bieán B.

(Phöông trình) ⇔ 4 + A.x = B.x

⇔ x = 15

37

43

30

73

1744

=−

=− AB

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 15

37=x

4.4.1: a, Ta coù: U0 = 0; U1 = 1; U2 = 5; U3 = 16; U4 = 45 Goïi coâng thöù truy hoài laø: Un+1 = aUn + bUn-1 + c Neáu n = 1, thì: U2 = aU1 + bU0 +c ⇔ 5 = a + 0.b + c Neáu n = 2, thì: U3 = aU2 + bU1 +c ⇔ 16 = 5.a + b + c Neáu n = 3 thì: U4 = aU3 + bU2 +c ⇔ 47 = 16.a + 5.b + c

=

−=

=

⇔

=++

=++

=++

⇒

2

1

3

45516

165

50

c

b

a

cba

cba

cba

Vaäy coâng thöùc truy hoài cuûa daõy laø: Un+1 = 3Un - Un-1 + 2 b, Quy trình aán phím lieän tuïc treân maùy fx 570MS laø: alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 3 alpha B – alpha A + 2 alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B

alpha = alpha C CALC

Maùy hoûi M? 1 = Maùy hoûi B? 1 = (Töùc laø U1) Maùy hoûi A? 0 = (Töùc laø U0) = = = = = ….. =

M laø bieán ñeám giaù trò cuûa n. 4.2 a, Quy trình aán phím lieân tuïc treân maùy fx 570MS laø: alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = 10 alpha B – alpha A alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B


Maùy hoûi M? 1 = (M laø bieán ñeám giaù trò cuûa n) Maùy hoûi B? 1 = (Töùc laø U1) Maùy hoûi A? 0 = (Töùc laø U0) = = = = = ……... =



b, Phaân tích: Ñaây laø daïng ñeà chuyeån töø coâng thöùc truy hoài sang coâng thöùc toång quaùt: Phöông trình ñaëc tröng cuûa phöông trình daõy Un+1 = 10Un – Un-1 laø: 2 10 1 0λ − λ + = coù hai nghieäm 1,2 5 2 6λ = ±

Vaäy ( ) ( )n nn n

n 1 1 2 2 1 2u C C C 5 2 6 C 5 2 6= λ + λ = + + −

Vôùi n = 0; 1 ta coù heä phöông trình sau: ( ) ( )1 2

1 2

C C 2

5 2 6 C 5 2 6 C 10

+ =

+ + + ==> 1

2

C 1

C 1

=

=

Vaäy soá haïng toång quaùt ( ) ( )n n

nu 5 2 6 5 2 6= + + − .

4.4.3: a, Chöùng minh coâng thöùc: Ñaët: 523 +=a ; 523 −=b . Khi aáy a + b = 6; ab = -11.

Vaø ( ) ( ) nnnn

n baU +=−++= 523523

Ta laïi coù: ( )( ) 111122 ++++++ −−++=+ nnnnnn baabbababa

( )( ) ( ) ( ) ( )( )nnnnnnnn bababaabbaba +−−+=+−+−= ++++ 116 1111 Neân ( ) ( ) nn

nnnnnn

n UUbababaU 116116 11122

2 +=+−+=+= +++++

+

⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh.

b, Ta coù: ( ) ( ) ( ) ( ) 542559898523523;726110465235231010

10

99

9 =−++==−++= UU

4.4.4: a, Ta coù: 1111 98

98 −++− −=⇔

+= nnn

nnn aaa

aaa

Quy trình aán phím lieân tuïc treân maùy fx 570MS laø: alpha C alpha = 98 alpha B – alpha A alpha : alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha X alpha = alpha B alpha : alpha Y

alpha = x ( ( alpha B + 1 ) ab/c 6 ) alpha : alpha A alpha = alpha B alpha : alpha B


Maùy hoûi B: 5 = (töùc laø a2). Maùy hoûi A? 5 = (töùc laø a1). Maùy hoûi M? 0 = (bieán ñeám giaù trò n) = = = = = ………… =

(X laø giaù trò cuûa a taïi M; Y laø giaù trò cuûa A taïi M). b, Ta coù baûng giaù trò sau: n 1 2 3 4 5 6 7 an 5 485 47525 4656965 456335045 4,471617745×1010 4,381729055×1012

An 1 9 89 881 8721 86329 854569 4.4.5: a, Quy trình aán phím laø: 1 = (Ghi nhôù giaù trò a1 vaøo Ans). ( 5 + Ans) ÷ (1 + Ans)

= = = = = ….. =

Moãi daáu “=” töông öùng vôùi giaù trò tieáp theo cuûa daõy baét ñaàu töø a2. b, Baûng giaù trò:

a4 a5 a25 a2009 a2010

3

7 5

11 ≈ 2,236067977 ≈ 2,236067977 ≈ 2,236067977



4.4.6: a, Quy trình aán phím lieân tuïc treân maùy fx 570MS nhö sau: alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha C alpha = alpha B + alpha A alpha : alpha M alpha = alpha M + 1 alpha :

alpha A alpha = alpha C alpha + alpha B alpha : alpha M alpha = alpha M + 1 alpha :

alpha B alpha = alpha A + alpha C CALC

Maùy hoûi M? 2 = Maùy hoûi B? 233 = Maùy hoûi A? 144 = = = = = ……. =

(M laø bieán ñeám n). Baûng giaù trò:

U12 U37 U38 U39 28657 4807526976 7778742049 12586269025

b, Ñeå tìm soá haïng ta söû duïng voøng laëp CALC, quy trình aán phím treân maùy fx 570MS nhö sau: alpha C alpha = alpha B + alpha A alpha : alpha M apha = alpha M + 1 alpha : alpha X alpha = alpha A – alpha M –9696 ÷ alpha M x2 alpha : alpha A alpha = apha B alpha :

alpha B alpha = alpha C CALC

Maùy hoûi B? 233 = Maùy hoûi A? 144 = Maùy hoûi M? 0 = = = = = …… =

A laø giaù trò cuûa U taïi M. Neáu giaù trò X baèng 0 thì soá haïng nhoû nhaát thoaõ maõn ñeà baøi laø A. Ta tìm ñöôïc soá haïng nhoû nhaát trong caùc soá haïng cuûa daõy thoaõ ñeà baøi laø 610. 4.4.7: Ta coù: ( ) ( ) 87112 2

3 −=−−+= cncnu

( ) ( )( ) ( ) 2411112

1591122

5

24

−=−−+=

−=−−+=

cncnu

cncnu

Ta laïi coù tính chaát: uj chia heát cho ui vôùi moïi 5≤≤ ji neân

( )( )( )

⇔

⇔

−

−

−

⇔

c

c

c

c

c

cc

cc

cc

uu

uu

uu

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

15

8

24

15

8

2411

159

87

25

24

23

Maø (8,15) = 1 {‘Töùc laø 2 soá nguyeân toá cuøng nhau’}

⇒ c = 1± . Thöû laïi vôùi c = 1 thì thoaõ maõn caùc giaù trò. Vôùi c = -1 thì u4 khoâng chia heát cho u3 loaïi giaù trò naøy. Vaäy soá c phaûi tìm laø 1. 4.5.1: a, Ta coù:

255

5

25,32

15.8,02,3

6

5

2

5

66

5

11

2

44

137,1451,4825,0.2,15

=⇔=⇔

−+=

÷

÷−−

÷−

xx

x

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 25.



b, Ta coù:

13010137,081,1720

162

8

1.

25

3288,1

2

11.

20

33,0

5

14.65,2

20

13

003,02

14

=÷+÷

+

−−

÷

−

÷

−x

500003,02

14

120

162

20

9

8

003,02

14

=÷

−⇔

=÷

−÷

−⇔

x

x

6=⇔ x Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 6. 4.5.2: Ta coù:

( )[ ] 1113,008,114040.39

1...

2423

1

2322

1

2221

1=−×÷+×

++×

+×

+×

x

( )[ ] 1113,008,114040

1

39

1...

24

1

23

1

23

1

22

1

22

1

21

1=−×÷+×

−++−+−+−⇔ x

( )[ ] 1113,008,114040

1

21

1=−×÷+×

−⇔ x

( )[ ]6

4713,008,1 =−×÷⇔ x

( )235

343

1175

16213,0 =⇔=−⇔ xx

Vaäy giaù trò x caàn tìm laø 1,4596 4.5.3: Ta coù:

9

81

24

4

13

12

1

8

71

12

41

5

41

22

4

++=

++

+

++

+−

++ x

2359

2040

8

71

12

41

5

41

22

510

2359

8

71

12

41

5

41

22

4=

++

+−

++⇔=

++

+−

++

⇔ x

x

44821

154351

235919

192040492359

9

28

2359

2040

19

49

9

28=

××+×

=⇔=−⇔ xx



1254988

1344711

1254988

1389159

9

28

44821

154351==÷=⇔ x

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø 1254988

1344711=x

4.5.4: Ta coù:

( )

≈

≈⇔

=

−=

≈⇔

=−

=⇔

=−

=

259670588,9

41712941,10

125,1)(259670588,9

259670588,9

4596,2125,1

125,1

456,2

125,122

22 y

x

yx

loaiy

y

yy

yx

yx

y

x

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø x = 10,41712941, y = 9,259670588 4.5.5: Ta coù:

( )( )( )( )( )( )

=++

=++

=++

)3(238

)2(154

)1(187

yxxz

xzzy

zyyx

Laáy (1)× (2)× (3) ta ñöôïc: ( )( )( ) 2618=+++ zxzyyx (*) Chia phöông trình (*) cho 3 phöông trình trong heä ta ñöôïc:

=+

=+

=+

4

17

14

zy

yx

zx

⇔

=

=

=

4

7

10

z

y

x

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø

=

=

=

4

7

10

z

y

x

.

4.5.6: Theo ñeà baøi ta coù:

−=

−=

−=

⇔

=−+

=−

=−

⇔

=−+

=

=

25

128175

38435

128

24,10523

037

053

24,1052373

35

z

y

x

zyx

zy

yx

zyx

zy

yx

Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø

−=

−=

−=

25

128175

38435

128

z

y

x


( ) ( ) ( )

−=

−=⇔

=−

−=+⇔

=+−+−+−

=+++

10

4

424

14

0122.22.2

0121.1.1.223

23

n

m

nm

nm

nm

nm

(Phöông trình) ⇔ 0121042 23 =+−− xxx Giaûi phöông trình baäc III baèng chöông trình trong maùy tính. ⇒ Nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình laø x3 = 3 Vaäy giaù trò m = -4; n = -10 vaø nghieäm coøn laïi laø x = 3.



4.5.8: a, Söû duïng chöông trình tìm nghieäm SOLVE, aán phím treân maùy fx 570ES nhö sau: Alpha X - x alpha X apha = 1 shift SOLVE = (Keát quaû: 2,681033989) Vaäy moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình laø x ≈ 2,681033989. b, Söû duïng chöông trình tìm nghieäm SOLVE, aán phím treân maùy fx 570ES nhö sau: 4 ^ alpha X + 5 ^ alpha X alpha = 6 ^ alpha X shift SLOVE = (Keát quaû: 2,4879391763) Vaäy moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình laø x ≈ 2,4879391763 4.5.9: Caùch 1: Ta coù:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 98625625

1006256252625625

10625625

=++−⇔

=+−+++−⇔

=++−

xx

xxxx

xx

Söû duïng chöông trình tìm nghieäm SLOVE ñöôïc 2 nghieäm laø 2±=x Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø 2±=x . Caùch 2: Ñaët ba =+=− 625;625 . Ta coù:

xx

xxbaba

ba

ba+=+⇒

=+

=+

10

10

Neân:

−=

=⇔

=

=

=

=

2

2

x

x

ab

ba

bb

aa

x

x

x

x

Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø 2±=x . 4.5.10: Ñaët cxb =−1 , ta coù:

cacaxbaxba −+=+⇒−−+=−+ 1111

( ) 122*1 22 =−−⇔=−−+⇔ caacaca

222222

2

4

141

4

1

4

1

2

12

b

axaccaaaca

a −−=⇒−=⇔−=+−⇔−=

−⇔

Vaäy giaù trò 24

141

b

ax

−−= .

Khi a = 250204, b = 260204 thì giaù trò cuûa 90384323453,0260204.4

1250204.41

2≈

−−=x

4.5.11: Ta coù:

1133061332010133071332010

1133201026612178381646133201026614178408259

=−++−+⇔

=+−+++−+

xx

xxxx

Laäp baûng xeùt daáu: x 175717626 175744239

133071332010 −+x 133071332010 ++− x 133071332010 ++− x 0 133071332010 −+x

133061332010 −+x 133061332010 ++− x 0 133061332010 −+x 133061332010 −+x Veá traùi 2661313320102 ++− x 1 2661313320102 −+x



Xeùt x ≤ 175717626, ta coù: ( ) 12661313320102 =++−⇔ xpt 175717626=x (thoaõ). Xeùt x ≥ 175744239, ta coù: ( ) 12661313320102 =−+⇔ xpt 175744239=x (thoaõ). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 175744239175717626 ≤≤ x 4.5.12: a, Quy trình aán phím laø:

Tính ∆ : 5,125 x2 – 4 × 2,145 × (-) 7,456 = (Keát quaû: 90,238105) Tìm nghieäm thöù nhaát: ( (-) 5,125 - x Ans )÷ ( 2 × 2,145 ) = (x1 ≈ -3,408944971)

Tìm nghieäm thöù hai: (-) 5,125 ÷ 2,145 – Ans = (x2 ≈ 1,019667582) {‘x1 + x2 = a

b− ’}

b, Ta coù: ( )

70789850247,0

145,2

456,7.2

145,2

125,5

1

2

112

212

2122

21

≈−

−

−

=−+

=+ xxxxxx

Töông töï:

( ) ( )20259370689,0

145,2

125,5

145,2

456,7.3

145,2

125,5

1

3

113

21213

2132

31

−≈

−

−−

−

=+−+

=+ xxxxxxxx

4.5.13: a, Phöông trình coù moät nghieäm baèng 2 neân:

7,18

02.65,12.74,12.62,3 23

−=⇒

=+−−

m

m

Vaäy m = -18,7 b, Vôùi giaù trò m tìm ñöôïc thì ( ) 07,1865,1.74,162,3 23 =−−−⇔ xxxpt Duøng chöông trình caøi saün trong maùy tìm nghieäm cho keát quaû laø chæ coù 1 nghieäm treân taäp soá thöïc laø x = 2. Vaäy caùc nghieäm coøn laïi khoâng toàn taïi treân taäp soá thöïc. 4.5.14: Ta coù:

22

2222

22

23

23

23

2

23

2223

xxxy

xx

xy

xx

xy

xx

xxyyxyyx

−

+=⇒

+=+⇔

+=

+⇔

+=

++⇔=−

Do x, y laø nhöõng soá töï nhieân vaø x laø soá töï nhieân nhoû nhaát coù 3 chöõ soá neân ta thay laàn löôït giaù trò x baèng 100 taêng daàn 1 ñôn vò. Söû duïng voøng laëp kieåm tra giaù trò y, quy trình aán phím nhö sau: Alpha X alpha = alpha X + 1 alpha : alpha Y alpha = x ( alpha X ^ 3 + (alpha X

ab/c 2 ) x2 ) – alpha X ab/c 2 CALC Maùy hoûi X? 99 = (Kieåm tra töø giaù trò x = 100) = = = = …… =



Khi x = 110 thì y = 1100 thoaõ maõn ñeà baøi. Vaäy caëp giaù trò (x,y) thoaõ maõn ñeà baøi laø (110;1100). 4.5.15: Ta coù:

( )

( )20

595212807156

59522012807156

23 2

223 2

−−++=⇔

++=++

xxxy

xyxx

Do x, y laø nhöõng soá töï nhieân vaø x laø soá töï nhieân nhoû nhaát neân ta thay laàn löôït giaù trò x baèng 1 taêng daàn 1 ñôn vò. Söû duïng voøng laëp kieåm tra giaù trò y, quy trình aán phím treân maùy fx 570MS nhö sau: Alpha X alpha = alpha X + 1 alpha : alpha y alpha = x ( ( shift 3 x (156

× alpha X x2 + 807 ) + ( 12 × alpha X ) x2 – 52 × alpha X – 59 ) ab/c 20 ) CALC Maùy hoûi X? 0 = (Kieåm tra töø giaù trò x = 1) = = = = …… =

Khi x = 11 thì y = 29 thoaõ maõn ñeà baøi. Vaäy caëp soá (x,y) thoaõ maõn ñeà baøi laø (11,29). 4.5.16: Ñieàu kieän: 0,;, ≥∈ yxNyx

Ta coù: ( )222131989 yxyx −=⇔=+

Do x ∈ N neân y laø chia heát (boäi) 221 . Ñaët 221ay =

Vôùi a = 0 thì y = 0, x = 1989 thoaõ ñeà baøi. Vôùi a = 1 thì y = 221, x = 884 thoaõ ñeà baøi. Vôùi a = 2 thì y = 884, x = 221 thoaõ ñeà baøi. Vôùi a = 3 thì y = 1989, x = 0 thoaõ ñeà baøi.

Vaäy caùc caëp (x,y) thoaõ maõn ñeà baøi laø (0,1989); (221,884); (884,221) vaø (1989,0). 4.5.17: Ñieàu kieän: 0,;, ≥∈ yxNyx

Ta coù: ( )250322012 yxyx −=⇔=+

Do x ∈ N neân y laø chia heát (boäi) 503 . Ñaët 503ay =

Vôùi a = 0 thì y = 0, x = 2012 thoaõ ñeà baøi. Vôùi a = 1 thì y = 503, x = 503 thoaõ ñeà baøi. Vôùi a = 2 thì y = 2012, x = 0 thoaõ ñeà baøi.

Vaäy caùc caëp (x, y)thoaõ maõn ñeà baøi laø (0,;2012), (503;503)vaø (2012; 0). 4.5.18: Goïi boán soá nguyeân caàn tìm laø a, b, c, d (Ñieàu kieän: a, b, c, d ∈ Z) Theo ñeà baøi ta coù:

=

=

=

=

⇔

=++

=+−

=+−

−−=

⇔

=++

=++

=++

=++

39

2012

2011

79

4098

1931

1

2128

4102

4062

2130

2129

a

d

c

b

dcb

db

dc

cba

dcb

dca

dba

cba

Vaäy soá lôùn nhaát trong caùc soá ñoù laø 2012 4.5.19: Goïi boán soá nguyeân caàn tìm laø a, b, c, d (Ñieàu kieän: a, b, c, d ∈ Z) Theo ñeà baøi ta coù:



=

=

=

=

⇔

=++

=+−

=+−

−−=

⇔

=++

=++

=++

=++

47

89

72

61

222

28

17

180

222

208

197

180

a

d

c

b

dcb

db

dc

cba

dcb

dca

dba

cba

Vaäy tích cuûa caùc soá nguyeân caàn tìm laø 47.61.72.89 = 18371736 4.5.20: Goïi boán soá nguyeân caàn tìm laø a, b, c, d (Ñieàu kieän: a, b, c, d ∈ Z) Theo ñeà baøi ta coù:

=

=

=

=

)4(504

)3(432

)2(378

)1(336

bcd

acd

abd

abc

Laáy phöông trình (1).(2).(3).(4) ta ñöôïc: 302442765319782... 3333 =⇒= abcddcba (*) Laáy phöông trình (*) chia töøng veá cho caùc phöông trình (1), (2), (3), (4) ñöôïc:

6504

3024;

4327

3024;8

378

3024;9

336

3024======= abcd

Vaäy soá beù nhaát caàn tìm laø 6. 4.5.21: Ta coù:

xxxx xx −+− +=+ 2222 66.66 ( ) ( ) 066666 22 =−−−⇔ −− xxxxx

( )( ) 066622 =−− − xxx ⇒ Phöông trình coù 2 nghieäm laø: x = 6; x = 0. ⇒ S15 = 615 ≈ 4,701949846×1011 Ñeå hieän caùc soá bò aån ra ta aán:Ans – 4,701 × 10 ^ 11 = (Keát quaû: 84984576) Vaäy S15 = 470184984576. 4.6.1: Giaûi phöông trình ñöôïc: x1 = 1; x2 = -2. Theá vaøo phöông trình ñöôïc:

−=

=⇔

=−−+−

=−++

2

32

3

01248

011

b

a

ba

ba

Vaäy heä soá a, b caàn tìm laàn löôït laø 2

3;

2

3−

4.6.2: a, Ñaët 03222 234 =−++− xxxx . Söû duïng chöông trình tìm nghieäm SOLVE, aán phím treân maùy tính fx 570MS nhö sau: Alpha X ^ 4 – 2 × alpha X ^ 3 + 2 × alpha X ^ 2 + 2 alpha X – 3 shift SOLVE = Tìm ñöôïc moät nghieäm laø x = 1. Söû duøng sô ñoà Hocner haï baäc ña thöùc:

x = 1 1 -2 2 2 -3 1 -1 1 3 r = 0

( )( )313222 23234 ++−−=−++− xxxxxxxx Giaûi phöông trình baäc ba baèng chöông trình EQU, ñöôïc:



Moät nghieäm baèng -1 treân taäp soá thöïc. Duøng hocner haï baäc tieáp ñöôïc:

x = -1 1 -1 1 3 1 -2 3 r = 0

Vaäy ña thöùc phaân tích laø: ( )( )( )32113222 2234 +−+−=−++− xxxxxxxx b, Ñaët 0101432 234 =+−−− xxxx Söû duïng chöông trình tìm nghieäm SOLVE tìm taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình. Gaùn caùc nghieäm tìm ñöôïc vaøo 4 bieán nhôù A, B, C, D ta coù:

280776406,1

449489743,3

449489743,1

780776406,0

−≈

≈

−≈

≈

D

C

B

A

Sau ñoù ta tính toång vaø tích töøng ñoâi moät thì thaáy: 5,0−=+ DA 1−=AD

2=+CB 5−=BC 0101432 234 =+−−− xxxx

Nhö vaäy ta coù: ( ) 05212

10101432 22234 =−−

−+⇔=+−−− xxxxxxxx

4.6.3: a, Ñaët 0968034218 2345 =−+−+− aaaaa . Söû duïng chöông trình tìm nghieäm SLOVE, ta coù a = 2, a = 3, a = 4 laø nghieäm cuûa phöông trình. Tieáp theo duøng sô ñoà Hocner ñeå haï baäc, ta coù:

1 -8 21 -34 80 -96 a = 2 1 -6 9 -16 48 r = 0 a = 3 1 -3 0 -16 r = 0 a = 4 1 1 4 r = 0

⇒ ( ) ( )( )( )( )4432968034218 22345 ++−−−=−+−+−= aaaaaaaaaaPa

Maø a ∈ Z ⇒ ( )( )( )432 −−− aaa laø tích cuûa 3 soá nguyeân lieân tieáp luoân chia heát cho 6. Vaäy ña thöùc ( ) 968034218 2345 −+−+−= aaaaaPa chia heát cho 6 vôùi moïi a ∈ Z.

b, c Ta söû duïng sô ñoà Hocner ñeå soá dö vaø heä soá a2 trong ña thöùc thöông, ta coù: 1 -8 21 -34 80 -96 a = 2,652 1 -5,348 6,817104 -15,92104019 37.77740141 r ≈ 4,185668541

Vaäy soá dö trong pheùp chia P(a) cho (a – 2,652) laø 4,185668541 vaø heä soá a2 cuûa ña thöùc thöông

laø 6,817104. 4.6.4: a, Ta coù: ( ) ( ) rQxxxxx x ++=+−+− 318,2319,4458,6857,1723,6 235

Khi x = -2,318 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 319,4318,2.458,6318,2.857,1318,2.723,6318,2

318,2318,2319,4318,2.458,6318,2.857,1318,2.723,6318,2235

235

+−−−+−−−=⇒

++−=+−−−+−−−

r

rQ x

07910779,46≈ Vaäy soá dö trong pheùp chia ña thöùc treân laø r = 46,07910779 b, Töông töï ta coù:



( ) ( ) rQxxxxx x +−=+−+− .652,2194,3568,4581,7834,7 235

Khi x = 2,652 thì:

( ) ( )

45947997,29194,3652,2.568,4652,2.581,7652,2.834,7652,2

.652,2652,2194,3652,2.568,4652,2.581,7652,2.834,7652,2235

235

≈+−+−=⇒

+−=+−+−

r

rQ x

Vaäy soá dö trong pheùp chia treân laø 29,45947997 4.6.5: Söû duïng sô ñoà Hocner ta coù:

2 1 0 0 -3 0 1 x = 7 2 15 105 735 5142 35994 r = 251959

Vaäy: Thöông cuûa pheùp chia treân laø + 15x4 + 105x3 + 735x2 + 5142x + 35994 Soá dö r laø 251959. 4.6.6: Ta ñaët:

( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) '1'

21'321'4321'54321

exd

xxcxxxbxxxxaxxxxxP x

+−

+−−+−−−+−−−−+−−−−−=

Vôùi x = 1 thì P(1) = e’ = 5 Vôùi x = 2 thì P(2) = d’ + 5 = 5 ⇒ d’ = 0 Vôùi x = 3 thì P(3) = 2c’ + 5 = 9 ⇒ c’ = 2 Vôùi x = 4 thì P(4) = 6b’ + 12 + 5 = 17 ⇒ b’ = 0 Vôùi x = 5 thì P(5) = 24a’ + 24 + 5 = 29 ⇒ a’ = 0 ⇒ ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) 521254321 +−−+−−−−−= xxxxxxxP x

Vaäy giaù trò cuûa: P(6) = 165 P(7) = 785 P(8) = 2609 P(9) = 6837 P(10) = 15269 P(11) = 30425

4.6.7: Theo ñeà baøi ta coù: ( ) 201023 −++= cxbxaxP x chia cho (x – 13) dö 1 ⇒ 1201013.13.13. 23 =−++ cba (1)

( ) 201023 −++= cxbxaxP x chia cho (x – 3) dö 2 ⇒ 220103.3.3. 23 =−++ cba (2)

( ) 201023 −++= cxbxaxP x chia cho (x – 14) dö 1 ⇒ 3201014.14.14. 23 =−++ cba (3)

Töø (1) (2) vaø (3) ta coù:

=

−=

=

⇔

=++

=++

=++

73,969

78,110

7,3

2013141962744

20123927

2011131692197

c

b

a

cba

cba

cba

Vaäy heä soá a, b, c caàn tìm laàn löôït laø: 3,7; -110,78; 969,73. 4.6.8: Ta coù:

a, Giaù trò cuûa 20100

2010

2009.2010

2010

2009.10

2010

2009

599602010

2009.37

2010

2009.35

23

2

2010

2009

−−

+

−−

−

+−

−

−

=

−P

7139,2−=

b, Theo ñeà baøi ta coù:



( )( ) ( )

20100201010

20101010

201010 23

2

2 −+−+−−−+

=++

+−

=xxx

acxcbxba

x

cbx

x

aQ x

Ñeå P = Q thì giaù trò a, b, c phaûi thoaõ maõn heä phöông trình:

=

=

=

⇔

=−

−=−

=+

211

19827211

1002211

6383

59960102010

3710

35

c

b

a

ca

cb

ba

Vaäy P = Q ñuùng vôùi moïi x ∈ taäp xaùc ñònh thì a = 211

6383 ; b =211

1002 ; c = 211

19827 .


( ) ( ) ( )

( )( ) ( )x

xx

Qxxmxxxx

QxxmxxxxP

.53106194

.152106194234

2234

+−=++−−⇔

−+=++−−=

Vôùi x = 3 thì 12003.1063.193.43 234 −=⇒=++−− mm Vôùi x = -5 thì ( ) ( ) ( ) ( ) 12005.1065.195.45 234 −=⇒=+−+−−−−− mm

Vaäy giaù trò cuûa m caàn tìm laø -120. 4.6.10: a, Ta coù baûng giaù trò sau:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 P(x) 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b, Töø baûng giaù trò treân ta coù: x = -4, -3, -2, ….. 3, 4 laø 9 nghieäm cuûa phöông trình neân ta coù:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )43211234630

1++++−−−−= xxxxxxxxxP x

Khi x nhaän giaù trò nguyeân thì ( )( )( )( ) ( )( )( )( )43211234 ++++−−−− xxxxxxxxx laø tích cuûa 9 soá

nguyeân lieân tieáp, ta luoân coù moät soá chia heát cho 2, 5, 7, 9. ⇒ ( )( )( )( ) ( )( )( )( )43211234 ++++−−−− xxxxxxxxx chia heát cho tích 2.5.7.9 = 630

Vaäy ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )43211234630

1++++−−−−= xxxxxxxxxP x nhaän giaù trò nguyeân vôùi moïi x

nguyeân. 4.7.1: Goïi soá tieàn coâ Anh göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng laø a ñoàng vôùi laõi suaát laø m% moät thaùng thì sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: a.(1+m%)n ⇒ Sau 5 naêm töùc 60 thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi coù ñöôïc laø: ( ) 22598193%8,01.20000000 60 ≈+ Vaäy soá tieàn cuûa coâ Anh trong soå tieát kieäm sau 5 naêm laø 32 259 819 (ñoàng). 4.7.2: Goïi soá tieàn coâ Haïnh göûi haøng thaùng vaøo ngaân haøng laø a ñoàng vôùi laõi xuaát laø m% thì sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi coâ Haïnh nhaän ñöôïc laø:

( ) ( )[ ]%

1%1.%1

m

mman −++

⇒ Sau 12 thaùng soá tieàn caû goác laãn laõi laø: ( ) ( )[ ]12642675

%8,0

1%8,01.%8,011000000 12

≈−++ ñoàng.

Vaäy soá tieàn laõi cuûa coâ Haïnh sau 12 thaùng laø 12 642 675 – 12 000 000 = 642 675 ñoàng.



4.7.3: Goïi soá tieàn löông khôûi ñieåm cuûa coâ Haïnh ñöôïc laõnh laø a ñoàng/thaùng. Cöù t thaùng (1 baäc) thaày laïi ñöôïc taêng löông theâm m%. Sau n.t thaùng soá tieàn nhaän ñöôïc taát caû cuûa coâ laø:

( )

−+%

1%1..

m

mta

n

AÙp duïng coâng thöùc, sau 12 naêm soá tieàn cuûa thaày nhaän ñöôïc laø:

( )364924406

%7

1%71.12.1700000

12

=

−+ ñoàng.

Vaäy sau 12 naêm daïy hoïc coâ ñöôïc laõnh taát caû laø 364924406 ñoàng. 4.7.4: Goïi soá tieàn thaày Quyù göûi laø a USD, laõi suaát laø m%/thaùng. Sau n thaùng thì soá tieàn caõ voán laãn laõi laø: a.(1+m%)n ⇒ ( ) %5,1%15800084155 25 =⇒+= mm

Vaäy laõi suaát cuûa ngaân haøng ñoù laø 1,5%. 7.5 Goïi soá tieàn thaày Loäc göûi tieát kieäm vaøo ngaân haøng laø a USD vôùi laõi suaát kì maø m%, soá tieàn caû goác laãn laõi nhaän ñöôïc sau n kì laø: ( )nma %1. +

⇒ ÔÛ möùc kì haïn 6 thaùng, sau 10 naêm töùc 20 kì thì soá tieàn caû goác laãn laõi nhaän ñöôïc laø: ( ) 16386%5,21.10000 20 ≈+ (ñoâ la).

⇒ ÔÛ möùc kì haïn 3 thaùng, sau 10 naêm töùc 40 kì thì soá tieàn caû goác laãn laõi nhaän ñöôïc laø: ( ) 16115%2,11.1000 40 ≈+ (ñoâ la).

Vaäy sau 10 naêm soá tieàn caû goác laãn laõi nhaän ñöôïc neáu thaày Loäc göûi möùc kì haïn 6 thaùng laø 16386 ñoâ la, möùc kì haïn 3 thaùng laø 16115 ñoâ la. 4.7.6: Goïi soá tieàn anh Nam göûi haøng thaùng laø a ñoàng, sau n thaùng thì soá tieàn caû goác laãn laõi laø: ( ) ( )[ ]

%

1%1.%1

m

mman −++

Theo ñeà baøi ta coù: Sau 2 naêm töùc 24 thaùng thì soá tieàn caàn coù laø:

( ) ( )[ ]17943496

%35,0

1%35,01%35,01450000000

24

=⇒−++

= aa (ñoàng).

Vaäy anh Nam muoán sau 2 naêm coù 45000000 ñoàng ñeå mua nhaø thì haøng thaùng anh Nam phaûi göûi 17 943 496 ñoàng vaøo ngaân haøng. 4.7.7: a, Goïi maûnh ñaát thaày Cöông mua treân Gia Lai trò giaù A ñoàng. Tieàn chòu laõi suaát m%/thaùng vaø moãi thaùng traû a ñoàng. Sau n thaùng traû heát tieàn thì ta coù:

( ) ( )0

%

1%1%.)1%.(

1

=+−+

−++

m

mmamA

n

n

Ta coù: ( ) ( )0

004,0

1004,01004,0.20000000)1004,0.(200000000

1

=+−+

−++n

n 18,10≈⇒ n

Vaäy vôùi möùc laõi suaát 0,4%/thaùng vaø moãi thaùng phaûi traû 20 000 000 ñoàng thì sau 11 thaùng thaày Cöông seõ traû heát nôï vaø thaùng cuoái cuøng phaûi traû laø:

( ) ( ) ( ) 3707091004,01004,0

1004,01004,0.20000000)1004,0.(200000000

1110 ≈+

+−+−+ (ñoàng)

b, AÙp duïng coâng thöùc treân ta coù:



( ) ( )0

%

1%1%.30000000)1%.(200000000

109 =

+−+−+

m

mmm

%371,8≈⇒ m

Vaäy moãi thaùng phaûi traû 30 000 000 ñoàng trong voøng 9 thaùng thì laõi suaát phaûi chòu laø 8,371%. 4.7.8 Ta coù: Sau 10 naêm soá tieàn oâng Hai nhaän ñöôïc neáu göûi ngaân haøng An Phuù laø: ( ) 162899%51.100000 10 =+ (ñoâla). Sau 10 töùc 120 thaùng soá tieàn oâng Hai nhaän ñöôïc neáu göûi ngaân haøng Taân Lôïi laø:

164701%12

51.100000

120

=

+ (ñoâla).

Vaäy oâng Hai göûi vaøo ngaân haøng Taân Lôïi seõ coù lôïi nhieàu hôn. 4.7.9: Goïi a laø soá thaùng göûi vôùi laõi suaát 0,7%/thaùng, x laø soá thaùng göûi vôùi laõi suaát 0,9%/thaùng, thì soá thaùng göûi tieát kieän laø a + 6 + x. (a, x ∈ N). Khi ñoù soá tieàn göûi caø voán laãn laõi laø: 359,5747478009,10115,1007,15000000 6 =××× xa

Quy trình aán phím tìm a, x treân maùy tính fx 570ES laø: 5 000 000 × 1,007 ^ alpha A × 1,0115 ^ 6 × 1,009 ^ alpha X alpha = 5747478,359 shift SLOVE Maùy hoûi A? 1 = {Thöû giaù trò A = 1} Shift SLOVE Cho keát quaû x khoâng nguyeân. {loaïi} Shift SLOVE

Maùy hoûi A? 2 = ………………..

Khi A = 5 ⇒ x = 4 thoaõ ñeà baøi. Vaäy soá thaùng anh Lịch göûi tieát kieäm laø: 5 + 6 + 4 = 15 (thaùng) 7.10 a, Goïi soá daân ban ñaàu cuûa nöôùc ñoù laø a (trieäu ngöôøi) vaø tæ leä gia taêng daân soá laø m%/naêm. Ta coù:

Daân soá nöôùc ñoù sau 1 naêm laø: a + a.m% = a.(1 + m%) Daân soá nöôùc ñoù sau 2 naêm laø: a.(1 + m%) + a.(1 + m%).m% = a.(1 + m%)2 Daân soá nöôùc ñoù sau 2 naêm laø: a.(1 + m%)2 + a.(1 + m%)2.m% = a.(1 + m%)3 ………………… ⇒ Daân soá nöôùc ñoù sau n naêm laø: a.(1 + m%)n

b, AÙp duïng coâng thöùc treân ta coù quy trình aán phím tính daân soá cuûa nöôùc ñoù sau 20 naêm treân maùy fx 570MS laø: 56 000 000 × ( 1 + 1,2 ab/c 100 ) ^ 20 = Ñaùp soá: 82513233 c, Theo ñeà baøi ta coù: 100 000 000 = 56 000 000 × (1 + 2,2%)n ⇒ n = 36,11 Vaäy soá n beù nhaát ñeå soá daân nöôùc ñoù seõ vöôït 100 trieäu ngöôøi laø 37 naêm. 4.7.11: Goïi soá tieàn laõi maø ngöôøi thöù nhaát nhaän ñöôïc laø: a (Ñieàu kieän : 0 < a < 9 876 543 210) Theo ñeà baøi ta coù:

Soá tieàn ngöôøi thöù hai nhaän ñöôïc laø: a2

Soá tieàn ngöôøi thöù ba nhaän ñöôïc laø: 3

8

3

4.2

aa =



Soá tieàn ngöôøi thöù tö nhaän ñöôïc laø: 5

16

5

6.

3

8 aa=

Soá tieàn ngöôøi thöù naêm nhaän ñöôïc laø: 35

128

7

8.

5

16 aa=

Soá tieàn ngöôøi thöù saùu nhaän ñöôïc laø: 63

256

9

10.

35

128 aa=

Giaû laïi: a + a2 + 3

8a + 5

16a + 35

128a + 63

256a = 9 876 543 210

⇒ a = 595 427 964 Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù nhaát laø: 595 427 964 ñoàng Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù hai laø: 1 190 855 928 ñoàng. Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù ba laø: 1 587 807 904 ñoàng. Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù tö laø: 1 905 369484 ñoàng. Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù naêm laø: 2177 565 125 ñoàng. Soá tieàn laõi cuûa ngöôøi thöù saùu laø: 2 419516 805 ñoàng.

4.7.12: Goïi x, y, z, t laàn löôït laø soá hoïc sinh, noâng daân coâng nhaân vaø boà ñoäi. (Ñieàu kieän: x, y, z, t ∈ N) Theo ñeà baøi ta coù:

=+++

=+++

=+++

)3(53605030702

)2(4887465,0

)1(100

tzyx

tzyx

tzyx

Laáy (3) – 2(1) vaø (3) – 4(2) ñöôïc:

=++

=++⇔

=++

=++

)5(170411723

)4(129012717

3408221446

5160482868

tzy

tzy

tzy

tzy

Laáy (5) – (4) ñöôïc: 4146 =− ty

Do 6y chia heát cho 6 vaø 144 chia heát cho 6 ⇒ t phaûi chia heát cho 6. Giaû söû t = 6 thì y = 70, z = 4, x = 20 (nhaän).

Giaû söû t = 12 thì y = 71, z = 7

61− (loaïi).

Vaäy soá ngöôøi nhoùm hoïc sinh, noâng daân, coâng nhaân vaø boà ñoäi laàn löôït laø 20, 70, 4 vaø 6 ngöôøi. 4.7.13: Theo ñeà baøi ta coù soá haït thoùc ñaët vaøo 16 oâ vuoâng laø: S = 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + ….. + 415 Ta laïi coù: 4S = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + ….. 416 Laáy: 4S – S = 416 – 1

14316557653

1416

=−

=⇒ S

Vaäy soá thoùc caàn ñeå ñaùp öùng quy luaät treân laø 1 431 655 765 haït thoùc. 4.7.14: Theo ñeà baøi thì soá thoùc nhaø vua caàn ban thöôûng laø: S = 1 + 2 + 22 + 23 + ….. 263 Ta laïi coù: 2S = 2 + 22 + 24 + ….. 264 ⇒ S = 2S – S = 264 – 1 = 9,223372037.1018



Vaäy soá thoùc nhaø vua caàn ban thöôûng cho nhaø phaùt minh ra troø chôi côø vua laø raát nhieàu 9,223372037.1018 haït thoùc. 4.7.15: Caùch 1: Theo ñeà baøi ta coù: Soá bi boû vaøo sau 15 ngaøy laø: S15 = 1 + 2 + 2

2 + 23 + ….. + 214 = 215 - 1 Soá bi laáy ra sau 15 ngaøy laø: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 = 1596 (vieân bi). Vaäy soá bi coù ñöôïc sau 15 ngaøy laø 31 171 vieân. Caùch 2: Theo ñeà baøi ta xaây döïng quy trình aán phím nhö sau treân maùy fx 570ES: Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha A alpha = alpha A × 2 alpha : alpha D alpha

= alpha B + alpha C alpha : alpha X alpha = alpha X + alpha A – alpha D alpha : alpha B

alpha = alpha C alpha : alpha C alpha = alpha D CALC

Maùy hoûi M? 1 = (Bieán ñeám ngaøy). Maùy hoûi A? 1 = (Soá bi boû vaøo). Maùy hoûi B? 0 = (Soá bi laáy ra ngaøy hoâm tröôùc). Maùy hoûi C? 1 = (Soá bi boû ra). Maùy hoûi X? 0 = (Soá bò coù trong hoäp).

= = = = = ………… =

⇒ Soá bi coù ñöôïc sau 15 ngaøy laø 31 171 (vieân). ⇒ Ñeå soá bi lôùn hôn 1000 vieân thì caàn ít nhaát laø 11 ngaøy. 4.8.1: Ñieåm trung bình cuûa 12 hoïc sinh trong toå 1 laø: 5,43 (ñieåm) Ñoä leäch chuaån laø: 1,31. Phöông sai laø: 1,73 4.8.2: Soá trung bình cuûa maãu soá lieäu laø: 73,263158 Phöông sai laø: 2095,878116. 4.8.3: Soá trung bình cuûa maãu soá lieäu laø: 36,3871 Phöông sai laø: 592,3018 4.9.1: Thöïc hieän tìm soá dö cuûa 20122012 cho 2011 baèng caùch aán: 20122012 ÷ 2011 = (Keát quaû: 10005,97315) 20122012 – 2011 × 10005 = (Keát quaû: 1957) Thöïc hieän tieáp: 19572012 ÷ 2011 = (Keát quaû: 9732,477374) 19572012 – 2011 × 9732 = (Keát quaû: 960) Vaäy soá dö trong pheùp chia laø 960. Thaùch ñoá: Vieát quy trình aán phím vaø tìm soá dö khi chia a cho 2011. Bieát:

4.9.2: Ta coù: 505606 chia 22222 soá dö 16722 Theo tieàn ñeà Ôclit thì: ÖCLN(505606,22222) = ÖCLN(22222,16722)

Ta laïi coù: 22222 chia 16722 soá dö 5500 ⇒ ÖCLN(22222,16722) = ÖCLN(16722,5500)

Maø: 2750

8361

5500

16722=

⇒ ÖCLN(16722,5500) = 16722 ÷ 8361 = 2 = ÖCLN(505606,22222)



Xeùt tieáp: ÖCLN(505606,22222,999999) = ÖCLN(2,999999) = 1 Vaäy ÖCLN(505606,22222,714714,999999) = 1 4.9.3: Ta coù:

503

499

2012

1996=

⇒ ÖCLN(1996,2012) = 1996 ÷ 499 = 4 ⇒ BCNN(1996,2012) = 1996 × 503 = 1003988. Vaäy ÖCLN cuûa hai soá laø 2 vaø BCNN cuûa hai soá laø 2005980. 4.9.4: Phaân tích soá 2010 ra thöøa soá nguyeân toá, ta ñöôïc: 2010 = 2.2.3.5.67 ⇒ Taäp hôïp öôùc leõ döông cuûa 2010 laø: S = {1; 3; 5; 67; 15; 201; 335} Vaäy toång taát caû caùc öôùc leõ döông cuûa 2010 laø: 1 + 3 + 5 + 67 + 15 + 201 + 335 = 627. 4.9.5: Ta tính giaù trò cuûa 1230 − vaø nhôù vaøo A nhaán: 2 ^ 30 – 1 shift STO A. (Keát quaû: 1073741823) Laàn löôït thöû chia A cho caùc soá nguyeân toá coù 1 chöõ soá laø: 2, 3, 5, 7. Vaäy öôùc nguyeân toá coù 1 chöõ soá cuûa 1230 − laø 3 vaø 7. Môû roäng: Tìm öôùc nguyeân toá coù moät chöõ soá cuûa: 1240 −

4.9.6: Ta coù: 2152 + 3142 = 144821 Gaùn giaù trò vaøo bieán A: 144821 shift STO A. Thöïc hieän pheùp chia A cho caùc soá nguyeân toá nhoû taêng daàn: alpha A ÷ 2 = (72410,5; loaïi giaù trò 2) alpha A ÷ 3 = ……. Chia ñeán soá nguyeân toá 97, ta thaáy noù chia heát. 144821 = 97.1493 ⇒ Öôùc nguyeân toá nhoû nhaát laø 97. Ta laïi coù: 63935871,381493 = Do 144821 khoâng chia heát cho soá nguyeân toá naøo nhoû hôn 38 neân 1493 cuõng khoâng chia heát cho soá nguyeân toá nhoû heát 38 neân 1493 laø soá nguyeân toá. ⇒ Öôùc nguyeân toá lôùn nhaát laø 1493. 4.9.7: Ta coù:

999900

20100020102010.0;

99990

2010020102010,0;

9999

201020102010,0 ===

11098892010

999900.3

2010

99990.3

2010

9999.3

670....0020102010,0

3

...020102010,0

3

...20102010,0

3

=

++=

++=⇒ M

Chia soá M laø 1109889 cho caùc soá nguyeân toá töø 2 taêng daàn ñeán ñeå phaân tích M ra thöøa soá nguyeân toá, ta ñöôïc: 101.37.11.3.3.3=M Vaäy 101.37.11.33=M 4.9.8: Ta phaân tích N ra thöøa soá nguyeân toá, ta coù:

1980 = 2.33.5.7; 1930 = 2.5.193; 1945 = 5.389 1954 = 2.977; 1969 = 11.179; 1975 = 52.79; 2010 = 2.3.5.67



⇒ N = 24.34.56.7.11.67.79.179.193.389.977 Goïi m laø öôùc cuûa N, coù daïng: 1110987654321 977.389.193.179.167.79.11.7.5.3.2 kkkkkkkkkkkm = trong ñoù thì: ( )11,...5,4,10;60;4,0 321 =≤≤≤≤≤≤ ikkkk i

Vì m khoâng chia heát cho 900 = 22.32.52 neân m chæ coù caùc caùch löïa choïn sau: Tröôøng hôïp 1: Neáu k1= 0 hoaëc 1 thì k2…k11 choïn baát kì. Ta coù: 2.5.7.2.2.2.2.2.2.2.2 = 17 920 khaû naêng. Tröôøng hôïp 2: Neáu k2 = 0; 1 vaø k1 = 2, 3, 4 (Ba caùch choïn) thì k3….k11 choïn baát kì. Ta coù: 3.2.7.2.2.2.2.2.2.2.2 = 10 752 caùch choïn. Tröôøng hôïp 3: Neáu k3 = 0; 1 vaø k1 = 2, 3, 4; k2 = 2, 3, 4 thì k4…k11 choïn baát kì. Ta coù: 3.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 4 608 khaû naêng.

Vaäy coù taát caû 17 920 + 10 752 + 4 608 = 33 280 soá thoaõ maõn ñeà baøi. 4.9.9: a, AÙp duïng tính chaát ñoàng dö thöùc theo mod 10 000, ta coù:

( )

572915728120092010

572881448657282012

10000mod201220112012

3

3

33

≡+≡+⇒

≡=

≡

Vaäy 4 chöõ soá taän cuøng cuûa 1200920103 +=A laø 5729 b, AÙp duïng tính chaát ñoàng dö thöùc theo mod 10 000, ta coù:

( )

60501160611141511621

606142594060611621

10000mod162141511621

3

3

33

≡−≡−⇒

≡≡

≡

Vaäy boán chöõ soá taän cuøng cuûa 11415116213 −=B laø 6050. 4.9.10: AÙp duïng tính chaát ñoàng dö thöùc theo mod 1000, ta coù:

( )( )( )( ) 57697688

97622488

22482488

1000mod8248

22120240

4430120

331030

10

≡≡≡

≡≡≡

≡≡≡

≡

Vaäy 3 chöõ soá taän cuøng cuûa 8240 laø 576. 4.9.11: a, AÙp duïng tính chaát ñoàng dö thöùc theo mod 100, ta coù:

( )

( ) 2422;242

100mod76253015030

20

≡≡≡

≡

( )( ) ( )

482.762.22

7676.2476.24.24.242.2.2.22

2422

111120002011

6322030315027502000

5150750

≡≡≡

≡≡≡≡

≡≡

922.762.22

962.762.22131320002013

121220002012

≡≡≡

≡≡≡

Vaäy hai chöõ soá taän cuøng cuûa 201320122011 222 ++ laø 36929648 ≡++ b, Ta coù:

62 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 36 63 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 16 64 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 96



65 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 76 66 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 56 67 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 36 68 coù 2 chöõ soá taän cuøng laø 16 …………

Töø 62 trôû ñi thì 2 chöõ soá taän cuøng cuûa 6n laëp ñi laëp laïi theo chu kì 5 khi n taêng daàn. 62011 coù 2 chöõ soá taän cuøng öùng vôùi soá thöù 5 trong chu kì laø 56. 62012 coù 2 chöõ soá taän cuøng öùng vôùi soá thöù 1 trong chu kì laø 36. 62013 coù 2 chöõ soá taän cuøng öùng vôùi soá thöù 2 trong chu kì laø 16.

Vaäy hai chöõ soá taän cuøng cuûa 2001020092008 666 ++ laø 08163656 ≡++ 4.9.12: AÙp duïng tính chaát ñoàng dö thöùc theo mod 100, ta coù:

( )( )

6823.7623.2323

76762323

100mod7623

5520072012

66966932007

3

≡≡≡

≡≡≡

≡

Vaäy chöõ soá haøng chuïc cuûa 200923 laø 6. 4.9.13: AÙp duïng tính chaát ñoàng dö thöùc theo mod 2012, ta coù:

( )

( ) 17517.6357.77

2012mod635722715

7

≡≡≡

≡

Vaäy soá dö trong pheùp chia treân laø 1751. 4.9.14: Caùch 1: Trình baøy gioáng daïng 4, theo toâi thì möùc ñoä baây giôø neân laøm theo caùch 2.

Caùch 2: Söû duïng chöùc naêng chia laáy phaàn nguyeân vaø voøng laëp: Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: Vaøo chöùc naêng chia laáy phaàn nguyeân: mode 4 Xaây döïng quy trình aán phím:

1 shift sto A

Alpha A × 10 000 000 ÷ 23 alpha : alpha A × 10 000 000 – 23 × Ans shift sto A (Laáy 7 chöõ soá ôû phaàn keát quaû laø 7 chöõ soá ñaàu ôû phaàn thaäp phaân)

= = = = …… = (Sau hai daáu “=” ta laáy 7 chöõ soá töø phaûi sang traùi laø phaàn thaäp phaân cuûa pheùp chia)

Ta coù: 23

1 = 0,04347826086956521739130434782608695…

⇒ 23

1 = 0,(0434782608695652173913)

Vaäy chu kì cuûa soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn naøy coù chu kì laø 22. Nhaän xeùt: Caùch môùi vaø raát hay!

4.9.15: a, Söû duïng chöùc naêng chia laáy phaàn nguyeân vaø voøng laëp: Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: Vaøo chöùc naêng chia laáy phaàn nguyeân: mode 4 Xaây döïng quy trình aán phím:

3 shift sto A


= = = = …… =



(Sau hai daáu “=” ta laáy 7 chöõ soá töø phaûi sang traùi laø phaàn thaäp phaân cuûa pheùp chia)

Ta coù: ...95918360612244897653020408163269387755195918367340612244897,049

3=

653)020408163269387755195918367340612244897(,049

3=⇒ laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn

theo chu kì laø 42. Maø 2012 chia cho 42 dö 38.

⇒ Soá thaäp phaân thöù 2012 cuûa 49

3 laø soá thaäp phaân thöù 38 laø soá 3

b, Söû duïng chöùc naêng chia laáy phaàn nguyeân vaø voøng laëp: Quy trình aán phím treân maùy tính fx 570ES: Vaøo chöùc naêng chia laáy phaàn nguyeân: mode 4 Xaây döïng quy trình aán phím:

95 shift sto A


= = = = …… = (Sau hai daáu “=” ta laáy 7 chöõ soá töø phaûi sang traùi laø phaàn thaäp phaân cuûa pheùp chia) Ta coù:

...42372880169491525440677966145762711868983050847355932203325423728816101694915,159

95=

( )4406779645762711868983050847355932203325423728816101694915,159

95=⇒ laø soá thaäp phaân

voâ haïn tuaàn hoaøn theo chu kì laø 58. Maø 2012 chia cho 58 dö 40.

⇒ Soá thaäp phaân thöù 2012 cuûa 49

3 laø soá thaäp phaân thöù 40 laø soá 7

Nhaän xeùt: Daïng baøi taäp naøy maø laøm theo phöông phaùp truyeàn thoáng vôùi chu kì lôùn nhö theá seõ maát nhieàu thôøi gian vaø tính toaùn khoâng chính xaùc.

4.9.16 : Theo ñeà baøi ta coù: 13511 = k1a + r 13903 = k2a + r 14589 = k3a + r

Vôùi k1, k2, k3, a, r ∈ N; k1 < k2 < k3 ⇒ 392 = (k2 - k1)a vaø 686 = (k3 – k2)a ⇒ 294 = (k3 + k1)a Do a lôùn nhaát, k1 < k2 < k3 vaø 294 = (k3 + k1)a neân k3 + k1 = 6 ⇒ a = 49 Vaäy soá a theo ñeà baøi phaûi tìm laø 49. 4.9.17: Söû duïng leänh laëp CALC ñeå thöû tröïc tieáp. Quy trình aán phím treân maùy fx 570MS laø: Alpha A alpha = alpha A + 1 alpha : apha B apha = ( 5,5 × 10 ^ 28 – alpha A shift x! ) × (

(apha A + 1 ) shift x! - 5,5 × 10 ^ 28 ) CALC Maùy hoûi A? 0 = = = = = = = ………….

Neáu B lôn hôn hoaëc baèng 0 töùc A thoaõ maõn ñeà baøi.



Khi A = A + 1 = 27 thì B = 1.02285739×1058 thoaõ maõn ñeà baøi. Vaäy soá n caàn tìm laø 27. 4.9.18: a, Do ( )20101010 ≤≤ n neân an naèm trong khoaûng töø 1010.2120203+ ñeán

2010.2120203+ töùc laø 203,5018 < an < 249,83 ⇒ 203,5018 < an < 249,83 b, Ta coù:

( )

( )( )( )( )

+

−⇒

+−⇒

+=−⇒

++=+=

71

71

711

29623.71

12121.96221202032

2

M

M

M

n

n

nn

n

n

a

a

aa

a

nna

Hay an + 1 = 7k hoaëc an – 1 = 7k ⇒ an = 7k -1 hoaëc an = 7k + 1 ⇒ Ñieàu phaûi chöùng minh. c, Bieát 203,5018 < an < 249,83 vaø an = 7k -1 hoaëc an = 7k + 1 Töùc laø k chaïy töø 29 ñeán 36. Söû duïng leänh laëp CACL ñeå thöû tröïc tieáp. Quy trình aán phím treân maùy 570MS nhö sau:: Alpha M alpha = alpha M + 1 alpha : alpha A alpha = 7 × alpha M – 1 alpha : alpha B

alpha = ( alpha A x2 – 20203 ) ÷ 21 alpha : alpha A alpha = 7 × alpha M + 1 alpha : alpha

B alpha = ( alpha A x2 – 20203 ) ÷ 21 CALC

Maùy hoûi M? 28 = (Töùc laø thöû k töø 29) = = = = = = = …………… =

Vaäy caùc soá n thoaõ maõn ñeà baøi laø: 1118, 1158, 1301, 1406, 1557, 1601, 1758, 1873. 4.9.19 : Ta coù:

⇔9534

453436534

M

MM

yx

yxyx (4,9) = 1

Ñeå:

=⇒

6

24534 yyx M

Neáu y = 2 thì 495234 =⇒ xx M

Neáu y = 6 thì

=

=⇒

9

095634

x

xx M

Vaäy caëp soá (x;y) thoaõ maõn ñeà baøi laø: (4;2), (0;6), (9;6). 4.9.20: Soá coù daïng yxA 41235679= chia heát cho 24 thì:

841235679

341235679

M

M

yx

yx {Vì (3,8) =1}

Xeùt: 341235679 Myx töùc laø (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + x + 4 + y) = (37 + x + y) M 3

Hay (x + y + 1) M 3 (1) yxyx 4123678900041235679 += chia heát cho 8, töùc laø 84 Myx Do ñoù: yx4 coù daïng: 48,46,44,42,40 xxxxx trong ñoù x nhaän giaù trò töø 0 ñeán 9. (2)

Duøng maùy tính ñeå thöû caùc giaù trò cuûa x thoaõ maõn (1) vaø (2) ta ñöoâc caùc giaù trò sau:



1235679240; 1235679840; 1235679144, 1235679744; 1235679048; 1235679648.*

4.9.21: Thöû tröïc tieáp ñeå tìm caùc chöõ soá a, b, c, d vôùi a chaïy töø 1 ñeán 9. Khi a = 1 thì bcd khoâng xaùc ñònh. Khi a = 2 thì bcd = 314. Khi a = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thì bcd ñeàu khoâng xaùc ñònh.

Vaäy caùc chöõ soá a, b, c, d thoaõ maõn ñeà baøi laàn löôït laø 2, 3, 1, 4. 4.9.22: Caùch 1: Theo ñeà baøi ta coù: 0≠b maø bcdab. coù chöõ soá taän cuøng laø 0 neân chæ xeùt 3 tröôøng hôïp:

==

==

=

2;5

5;2

0

db

db

d

Xeùt d = 0, ta coù: 785. =bcab Maø 758 khi phaân tích ra thöøa soá nguyeân toá thì ñöôïc 5.157. ⇒ Khoâng coù boä ba soá a, b, c thoaõ maõn 785. =bcab .

Xeùt b = 2, d = 5; thay a chaïy töø 1 ñeán 9 cuõng khoâng coù soá naøo thoaõ ñeà baøi. Xeùt b = 5; d = 2; thay a chaïy töø 1 ñeán 9 cuõng khoâng coù soá naøo thoaõ ñeà baøi. Vaäy khoâng toàn taïi caùc chöõ soá a, b, c, d ñeå coù: 7850. =bcdab . Caùch 2: Ta phaân tích 7850 ra thöøa soá nguyeân toá ñöôïc: 7850 = 2.5.5.157 Theo ñeà baøi 7850. =bcdab laø tích cuûa soá coù 2 chöõ soá vaø soá coù 3 chöõ soá. 7850 = 10.785 = 25.314 = 50.157 ⇒ Khoâng toàn taïi caùc chöõ soá a, b, c, d ñeå coù: 7850. =bcdab . 4.9.23: Soá coù daïng tyzxD 632= lôùn nhaát chia heát cho 29 laø tz62939

Laàn löôït thöû tz62939 vôùi z = 9, t = 9,8,7,6,5,4,3,2 ta ñöôïc soá 2939962 chia heát cho 29. Vaäy soá lôùn nhaát coù daïng tyzxD 632= chia heát cho 29 laø 2939962. Soá coù daïng tyzxD 632= beù nhaát chia heát cho 29 laø 2939962 Laàn luôït thöû tz62030 vôùi z = 0, t = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; z = 1, t = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; z = 2, t = 0,1 ta ñöôïc soá 2030361 chia heát cho 29. Vaäy soá beù nhaát coù daïng tyzxD 632= chia heát cho 29 laø 2030361

4.9.24: Soá töï nhieän thoaõ maõn ( ) gaag *****4= thì g = 0, 1, 5 hoaëc 6.

Khi g = 0 thöû chaïy a töø 1 ñeán 9, khoâng coù giaù trò naøo thoaõ ñeà baøi. Khi g = 1 thöû chaïy a töø 1 ñeán 9, khoâng coù giaù trò naøo thoaõ ñeà baøi. Khi g = 5 thöû chaïy a töø 1 ñeán 9, a = 4 thoaõ ñieàu kieän ñeà baøi. Khi g = 6 thöû chaïy a töø 1 ñeán 9, a = 4 thoaõ ñieàu kieän ñeà baøi.

Vaäy soá töï nhieân thoaõ ñeà baøi laø 464 = 4477456 vaø 454 = 4100625

4.9.25 : Theo ñeà baøi : ( ) 010 222 =⇒++= ccbaabc

( ) 2222100 baabbaab +=⇒+=⇒ Cho a chạy từ 1 đến 9.



4.9.26 : Theo ñeà baøi ta coù: ( )

=

∈=+

ba

Nkkba

5

,2010

Suy ra: 6b = 2010k � b = 335k a = 5b neân a = 1675k Thay k = 1, 2…9 ta ñöïôc baûng ñaùp soá:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a 1675 3350 5025 6700 8375 10050 11725 13400 15075 b 335 670 1005 1340 1675 2010 2345 3680 3015

4.9.27: Goïi soá ñoù laø: 654321 aaaaaan =

Ñaët x = 321 aaa . Ta coù: 11321654 +=+= xaaaaaa

⇒ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 Vì n laø soá chính phöông, ta seõ coù: 1001x + 1 = y2 ⇒ (y – 1)(y + 1) = 1001x = 7 × 11 × 13 × x Trong ba soá 7, 11, 13 phaûi laø öôùc cuûa moät trong hai thöøa soá cuûa veá traùi vaø soá coøn laïi phaûi laø öôùc cuûa thöøa soá coøn laïi. Coù nhöõng khaû naêng xaõy ra sau ñaây:

Tröôøng hôïp 1: y + 1 = 11.13.k, y – 1 = 7k’. Khi aáy k = 3, k’ = 61, x = 183, n = 183184. Tröôøng hôïp 2: y + 1 = 7k’, y – 1 = 11.13k = 143k. Khi aáy k = 4, k’ = 82, x = 328, n = 328329. Tröôøng hôïp 3: y + 1 = 7.11k = 77k, y – 1 = 13k’. Khi aáy k = 11, k’ = 65, x = 715, n = 715716. Tröôøng hôïp 4: y + 1 = 13k’, y – 1 = 77k. Khi aáy k = 2, k’ = 12, x = 24 (loaïi vì khoâng phaûi soá coù 3 chöõ soá). Tröôøng hôïp 5: y + 1 = 7.13.k, y – 1 = 11k’. Khi aáy k = 8, k’ = 66, x = 528, n = 528529. Tröôøng hôïp 6: y + 1 = 11k’, y – 1 = 7.13k = 91k. Khi aáy k = 3, k’ = 25, x = 76 (loaïi vì khoâng phaûi soá coù 3 chöõ soá).

Vaäy caùc soá thoaõ maõn ñeà baøi laø: 183184, 328329, 715716, 528529. 4.9.29 : Ta coù: [ ] 13 =n khi n = 1, 2, 3…7. [ ] 23 =n khi n = 8, 9, … 26. [ ] 33 =n khi n = 27, 28, … 63.

[ ] 43 =n khi n = 64, 65 … 124. Töø treân ta coù ñöôïc: [ ] kn =3 khi vaø chæ khi ( )33 1+≤≤ knk Do ñoù ta coù: [ ] [ ] [ ] 85559161437319271215...21 333 =×+×+×+×+×=+++

Suy ra: 621513 =⇔=− xx Vaäy nghieän cuûa phöông trình laø x = 6. 4.9.30 : Ta coù soá a = 1.2.3….17 chöùa luyõ thöøa cuûa 2: 2 × 22 × 2 × 23 × 2 × 22 × 2 × 24 = 215

Soá a chöùa luyõ thöøa cuûa 3 laø: 3 × 3 × 32 × 3 × 3 = 36 Soá a chöùa luyõ thöøa cuûa 5 laø: 5 × 5 × 5 = 53 Soá a chöùa luyõ thöøa cuûa 7 laø: 7 × 7 = 72.



Öôùc soá lôùn nhaát cuûa a laø laäp phöông cuûa moät soá töï nhieân laø: 215 × 36 × 53 = 14403 = 2985984000. Öôùc soá lôùn nhaát cuûa a laø bình phöông cuûa moät soá töï nhieân laø: 214 × 36 × 52 × 72 = 1209602 = 14631321600. 4.9.31: Theo baøi ta coù:

Soá nhoû nhaát chia heát cho 2 dö 1 laø 1. Soá nhoû nhaát chia heát cho 2 dö 1 vaø chia cho 3 dö 2 laø: 1.3 + 2 = 5. Soá nhoû nhaát chia heát cho 2 dö 1; chia cho 3 dö 2 vaø chia 4 dö 3 laø: 5.4 + 3 = 23. ……………

⇒ Soá thoaõ maõn ñeà baøi laø: ((((((((1.3 + 2). 4 + 3). 5 + 4). 6 + 5). 7 + 6). 8 + 7). 9 + 8). 10 + 9) = 3628799 Vaäy soá phaûi tìm thoaõ maõn ñeà baøi laø 3628799. 4.9.32: Goïi soá phaûi tìm laø n. Ta thöû n chaïy töø 0 ñeán 9, ta coù n2 coù taän cuøng laø moät chöõ soá 4 thì n phaûi taän cuøng laø: 2 Ta thöû n chaïy töø 12 ñeán 92, ta coù n2 coù taän cuøng laø hai chöõ soá 4 thì n phaûi taän cuøng laø: 12 hoaëc 62. Ta thöû n chaïy töø 112 ñeán 912 vaø 162 ñeán 962, ta coù n2 coù taän cuøng laø ba chöõ soá 4 thì n phaûi taän cuøng laø: 462 hoaëc 962. Ta thöû n chaïy töø 1462 ñeán 9462 vaø 1962 ñeán 9962, khoâng toàn taïi soá naøo ñeå n2 taän cuøng laø boán chöõ soá 4. Vaäy nhöõng soá maø khi bình phöông leân coù taän cuøng laø ba chöõ soá 4 laø nhöõng soá coù taän cuøng laø 462 hoaëc 962. Khoâng toàn taïi soá naøo maø khi bình phöông leân coù taän cuøng laø boán chöõ soá 4. 4.9.33: a, Ta coù: a2 coù taän cuøng laø 9 neân a phaûi coù hai chöõ soá taän cuøng laø 3 hoaëc 7. Thöû treân maùy bình phöông caùc soá: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97. Ta tìm ñöôïc boán soá laø 17, 33, 67, 83 khi bình phöông leân coù taän cuøng laø 89. b, Ñeå a2 laø moät soá baét ñaàu baèng 19 thì noù phaûi coù daïng:

nn a 10201019 2 ×<≤× hay 201019 2 <×≤ −na Neáu n = 2k thì ta coù: 472135955,42010193588989,4 ≈<×≤≈ −ka

Neáu n = 2k + 1 thì: 14213562,142001019078404875,13 ≈<×≤≈ −ka Cho k = 0: 472135955,420193588989,4 ≈<≤≈ a (Khoâng coù giaù trò naøo cuûa a).

14213562,1420019078404875,13 ≈<≤≈ a ⇒ a = 14.

Cho k = 1: 472135955,42010193588989,4 1 ≈<×≤≈ −a ⇒ a = 44.

14213562,142001019078404875,13 1 ≈<×≤≈ −a ⇒ a = 138, 139, 140, 141. Cho k = 2: 472135955,42010193588989,4 2 ≈<×≤≈ −a ⇒ a = 436, 437,…447.

14213562,142001019078404875,13 2 ≈<×≤≈ −a ⇒ a = 1379, 1380, …1414. Töông töï cho k = 3, 4… ta seõ ñöôïc caùc soá khaùc nöõa. Trong caùc soá ñaõ tìm ta choïn soá coù taân cuøng laø 17, 33, 67, 83 ñeå a2 coù taän cuøng laø 89 thì soá beù nhaát phaûi tìm laø 1383. Caùch 2: Goïi soá töï nhieân nhoû nhaát a maø bình phöông cuûa noù laø moät soá baét ñaàu baèng soá 19 vaø keát thuùc baèng soá 89 laø: 89...19 21 naaa (Daáu chaám bieåu thò coù theå coù nhieàu chöõ soá).

Giaû söû:



+ a2 coù boán chöõ soá laø: 1989 ⇒ 44.598 (loaïi). + a2 coù naêm chöõ soá laø 8919 1a ⇒ 138.16 < a < 141,38 {‘Theá giaù trò a1 = 0 vaø 9’}

Caùc giaù trò a treân loaïi heát vì khoâng coù giaù trò a naøo taän cuøng laø 17, 33, 67, 83. + a2 coù saùu chöõ soá laø 8919 21aa ⇒ 435.99 < a < 447,2. Caùc giaù trò a treân loaïi heát vì khoâng coù giaù trò a naøo taän cuøng laø 17, 33, 67, 83. + a2 coù baûy chöõ soá laø 8919 321 aaa ⇒ 1378,44 < a < 1414,21.

Choïn a = 1383, a2 = 1912689 (thoaõ ñeà baøi) Vaäy giaù trò a phaûi tìm laø 1383. c, Ta coù: 89******25252 =n ⇒ 502393,78 < n < 502593,275 Maø n2 taän cuøng laø 89 neân n phaûi taän cuøng laø 17, 33, 67, 83. Trong khoaûng 502393,78 < n < 502593,275 coù 4 soá thoaõ maõn laø: 502517, 502533, 502567, 502583. Vaäy caùc soá thoaõ maõn ñeà baøi laø 502517, 502533, 502567, 502583. 4.9.34: Ñeå n3 coù taän cuøng laø moät chöõ soá 1 thì n phaûi taän cuøng laø 1. Ñeå n3 coù taän cuøng laø hai chöõ soá 1, ta theá caùc giaù trò n = 11, 21, 31, 41, … 91 thì coù giaù trò n = 71 khi laâp phöông leân coù taän cuøng laø hai chöõ soá 1. Ñeå n3 coù taän cuøng laø ba chöõ soá 1, ta theá caùc giaù trò n = 171, 271, 371, 471, … 971 thì coù giaù trò n = 471 khi laâp phöông leân coù taän cuøng laø ba chöõ soá 1. Ñeå n3 coù taän cuøng laø boán chöõ soá 1, ta theá caùc giaù trò n = 1471, 2471, 3471, 4471, … 9471 Baét ñaàu töø 2471 thì khi laäp phöông leân seõ traøn maøn hình. Tuy nhieân ta ñaõ bieát chaéc chaén ba chöõ soá cuoái khi bình phöông leân laø 1. ⇒ Giaù trò n = 8471 khi laâp phöông leân coù taän cuøng laø boán chöõ soá 1. Vaäy soá n phaûi tìm laø 8471. 4.9.35: Ñeå tìm soá 1111....1113 =n maø n laø soá beù nhaát ⇒ n3 cuõng laø soá beù nhaát. Xeùt n3 coù 8 chöõ soá, töùc laø 1111111 1

3 an = ⇒ 10353 < n < 10384 khoâng coù soá naøo thoaõ maõn

taän cuøng laø 8471. Xeùt n3 coù 9 chöõ soá, töùc laø 1111111 21

3 aan = ⇒ 22306 < n < 22373 khoâng coù soá naøo thoaõ maõn taän cuøng laø 8471. ………………… Xeùt n3 coù 19 chöõ soá, töùc laø 1111111 21

3 aan = ⇒ 1035398 < n < 1038498, ta coù soá 1038471

thoaõ ñeà baøi. Vaäy soá n beù nhaát phaûi tìm laø 1038471. 4.10.1:

Ta coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (1) vaø (2) laø:

53

5

5

22

5

3+−=+ xx

⇒ 34

105

34

39=⇒= yx

Vaäy toaï ñoä giao ñieåm

34

105;

34

39A



4.10.2: Ta coù:

( ) ( ) 47,733543222≈+−++=BC shift STO A

( ) ( ) 6,93334122 ≈+++=AC shift STO B

( ) ( ) 37,853321 22≈++−=AB shift STO C

22

CBABCACABp

++=

++= shift STO D

AÙp duïng coâng thöùc Hroâng, ta coù: ( )( )( )cpbpappS −−−=

Quy trình aán phím tính dieän tích tam giaùc ABC laø: x ( alpha D ( alpha D – alpha A ) × ( alpha D – alpha B ) × ( alpha D – alpha C ) ) =

(Keát quaû: 30,09807621) Vaäy dieän tích tam giaùc ABC laø 30,098 (ñvdt) 4.10.3: Theo ñeà baøi ta coù:

+−

=−

+=

ba

ba

209

2929.

210

202029

2009.

20

2010

614873196

385159056256121202524

28032125.

6061

504822

42

4625.

209

2929

210

2020.

29

2009

20

2010

−=⇒

=⇔=⇔+−=−⇒

b

aaaa

Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng caàn tìm laø: 614873196

3851590562561

21202524

28032125−= xy

4.10.4: Ta coù hoaønh ñoä ñænh cuûa (P) laø:

47

17

7,4.2

4,3

20 ==−

=a

bx

⇒ 470

24510

−=y

Vaäy toaï ñoä ñænh cuøa (P) caàn tìm laø

−470

2451;

47

17S


( ) ( )

−=

−=

=

⇔

=+

−=++

=+−

⇔

=−

−=++

=+−+−

16

1738

1916

19

02

12

739

12

101.1.

73.3.2

2

c

b

a

ba

cba

cba

a

bcba

cba

Vaäy caùc heä soá a, b, c caàn tìm laàn löôït laø 16

176;

8

19;

16

19 −−



4.10.6: Ta coù phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) laø: 4,7865x2 – 3,5746x – 10,4972 = 15x + 23

=⇒−=

=⇒=⇒

894,23404,1

3153,10122102,5

22

11

yx

yx

Vaäy toaï ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) caàn tìm laø (5,22102;101,3153) vaø (-1,3404;2,894) 4.10.7: Theo ñeà baøi ta coù:

( ) ( )( )

−=

−=

⇔

−=−

=−−⇔

=++−

=−+−−

19

2219

10

26

43

023.21.

013.11.

n

m

nm

nm

mn

nm

Vaäy giaù trò ñuùng caàn tìm laø 19

22;

19

10 −=

−= nm

4.10.8: Khi chia ña thöùc x2+ mx + n cho (x – m) vaø (x – n) soá dö laàn löôït laø m vaø n neân

( ) mnmp m =+= 22 vaø ( ) nnmnnPn =−+= 2 . Suy ra:

−=

=

mn

n 0.

Thay n = 0 vaøo phöông trình mnm =+22 ta ñöôïc m = 0 hoaëc m = 2

1 .

Thay n = -m vaøo phöông trình mnm =+22 ta ñöôïc m = 0 hoaëc m = 1.

Vaäy coù 3 caëp giaù trò (m;n) laø (0;0),

0;2

1 vaø (1;-1)thoaõ maõn ñieàu kieän ñeà baøi.

Khoaûng caùh giöõa (0;0) vaø

0;

2

1 baèng 0,5 ñôn vò ño.

Khoaûng caùch giöõa (0;0) vaø (1;-1) baèng 414213562,12 ≈ ñôn vò ño.

Khoaûng caùch giöõa

0;2

1 vaø (1;-1) baèng 118034,12

5≈ ñôn vò ño.

4.11.1: Giải

a, Ta coù:

'35457

5sinˆ

7

5

85,3

75,2ˆsin 1 °≈=⇒=== −Cb

hC

'485713

11sinˆ

13

11

25,3

75,2ˆsin 1 °≈=⇒=== −Bc

hB

'3776'4857'3545180ˆˆ180ˆ °≈°−°−°≈−−°=⇒ CBA AÙp duïng haøm soá cos cho ∆ ABC, ta coù:

)(43,4

'3776cos.25,3.85,3.225,385,3ˆcos...2 22222

cmBC

AABACABACBC

≈⇒

°−+≈−+=

b, Ta coù:

)(79,22

43,485,3.225,3.2

2

22 222222

cmabc

m a ≈−+

=−+

=

Vaäy ñoä daøi ñöôøng trung truyeán AM laø 2,79 (cm). c, Ta coù:



'439

79,2

75,2cosˆ

79,2

75,2ˆcos

1 °≈=⇒

==

−MAH

AM

AHMAH

( )265,0'439sin.79,2.75,2.2

1ˆsin...2

1cmMAHAMAHS AMH =°==

4.11.2: Giaûi

a, Ta coù: 222 282135 += hay 222 ACABBC +=

Theo ñònh lí Pytago ñaûo suy ra ∆ABC laø tam giaùc vuoâng. b, Ta coù:

35

28ˆsin ==BC

ACB

"37,48'75335

28sinˆ 1 °≈=⇒ −B

"63,11'5236'85390ˆ °≈°−°=⇒ C

c, Ta coù:

( )

)(97,16

352

352128.

2

352128.21.28

2128

2

.2

cmAI

BCpABACABAC

AI

≈⇒

−++++

+=

−+

=

AÙp duïng haøm soá cos cho tam giaùc ABI, ta coù:

( )cmBIBCIC

cmIABAIABAIABBI

201535

)(1545cos.97,16.21.297,1621cos...2 22222

=−=−=⇒

=°−+=−+=)

( )212645sin.97,16.21.2

1ˆsin...2

1cmIABAIABS ABI =°==

( )229428.21.2

1..

2

1cmACABS ABC ===

Vaäy tæ soá 7

3

294

126==

ABC

ABI

S

S

4.11.3: Giaûi

a, Xeùt tam giaùc vuoâng ABK, ta coù:

( )cmAABBK

AB

BKA

835,365sin.2315,4sin.

sin

≈°==⇒

=)

)

Xeùt tam giaùc vuoâng ACF, ta coù:

( )cmAACCF

AC

CFA

8615,465sin.3641,5ˆsin.

ˆsin

≈°==⇒

=



b, ( )22856,103641,5.835,3.2

1..

2

1cmACBKS ABC ≈≈=

c, AÙp duïng haøm soá cos cho tam giaùc ABC, ta coù:

( )cmBC

AABACACABBC

2435,5

65cos.3641,5.2315,4.23641,52315,4ˆcos...2 222.22

≈⇒

°−+=−+=

Xeùt tam giaùc vuoâng BFC, ta coù:

°≈=⇒== − 68243,5

8615,4sinˆ

2435.5

8615,4ˆsin 1BBC

CFB

°≈°−°−°≈−−°=⇒ 476865180ˆˆ180ˆ BAC d, Xeùt tam giaùc vuoâng ABH, ta coù: ( )cmHBAABAH 9234,368sin.2315,4ˆsin. ≈°== e, Xeùt tam giaùc ABC ta coù:

( )cmS

abcR

R

abcS

ABC

ABC 8928,22856,10.4

2435,5.3641,5.2315,4

44≈==⇒=

( )cmp

SrrpS ABC

ABC 3863,12435,53641,52315,4

2856,10.2. ≈

++==⇒=

Vaäy baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC laàn löôït laø 2,8928 (cm) vaø 1,3863 (cm). 4.11.4: a, Ta coù:

( )cmC

ABBC 4641,332

30sin

3ˆsin

≈=°

==

( ) ( )( )cmAC

ABBCAC

3

933222222

=⇒

=−=−=

AÙp duïng coâng thöùc tính ñöôøng phaân giaùc, ta coù:

( )ACppBCABBCAB

BM −+

= ...2

( )cm9194,032

3323.

2

3323.32.3.

323

2=

−

++++

+=

( )ABppCBCACBCA

CN −+

= ...2

( )cm1058,332

3323.

2

3323.32.3.

323

2=

−

++++

+=

Vaäy ñoä daøi caùc ñoaïn BM vaø CN laàn löôït laø 0,9194 (cm) vaø 3,1058 (cm). c, Do ñöôøng phaân giaùc trong BM vaø CN caét nhau taïi I ⇒ I laø taâm ñöôøng troøn n tieáp ABC.

( )2268,1.2

cmBCACAB

S

p

SIMINr ABCABC ≈

++====

Giaû laïi: °=°−°−°== 1353015180ˆˆ MINCIB

Vaäy ( )22 5684,0135sin.368,1.2

1ˆsin...2

1cmMININIMSMIN ≈°==



4.11.5:

Giaûi

a, Ta coù:

( )cmBC

ACABBC

859,5

51,474,3 22222

=⇒

+=+=

Theo heä thöùc caïnh trong tam giaùc, ta coù:

( )cmBC

ACABAH

BCAHACAB

8789,2859,5

51,4.74,3.

..

===⇒

=

Xeùt tam giaùc vuoâng AHC, ta coù:

( )cmHC

AHACHC

4716,3

8789,251,4 22222

=⇒

−=−=

Vaäy ñoä daøi AH vaø CH laàn löôït laø 2,8789 (cm) vaø 3,4716 (cm). b, Xeùt tam giaùc vuoâng ABH, ta coù:

'205074,3

8789,2sinˆ

74,3

8789,2ˆsin 1 °==⇒== −BAB

AHB

c, Ta coù:

( )

( )cmAI

apbcpcb

da

8914,2

859,52

859,551,474,3.

2

859,551,474,3.51,4.74,3.

51,474,3

22

=⇔

−++++

+=−

+=


( )cmBI

IABAIABAIABBI

6561,2

45cos.8914,2.74,3.28914,274,3ˆcos...2 22222

=⇒

°−+=−+=

d, Ta coù: ( )cmBIBCIC 2029,36561,2859,5 =−=−=

( )26104,42029,3.8789,2.2

1..

2

1cmICAHS AIC ===⇒

4.11.6: Giaûi

a, Theo heä thöùc caïnh trong tam giaùc, ta coù:

( ) 55626183.22 === AHCHBH (1)

Giaû thieát: 179=− BHCH (2) Töø (1) vaø (2) coù heä phöông trình:

( )( )

=

=⇔

−=

=

=⇔

=−

=⇔

=−

=

cmBH

cmCH

loaiCH

nhanCHCH

BH

CHCH

CHBH

BHCH

CHBH

27

206

)(27

)(206

5562

1795562

5562

179

5562.

( )cmHCBHBC 23320627 =+=+=



Theo heä thöùc caïnh trong tam giaùc, ta coù: ( )cmABBCBHAB 3158,796993233.27.2 ≈=⇒== ( )cmACBCCHAC 0845,219233.206.2 ≈⇒== Ta coù:

( )apbcpcb

d a −+

=2

hay

−++++

+= BC

BCACABBCACABACAB

ACABAD

22..

2

( )cm

AD

3545,82

2332

2330845,2193158,79

2

2330845,2193158,79.0845,219.3158,79

0845,2193158,79

2

=

−++++

+=⇒

AÙp duïng haøm soá cos trong tam giaùc ABD ta coù:

( )cmBD

DABADABADABBD

9322,61

45cos.3545,82.3158,79.23545,823158,79ˆcos...2 22222

=⇒

°−+=−+=

b, Xeùt tam giaùc vuoâng AHD, ta coù:

'6253545,82

6183cosˆ

3545,82

6183ˆcos 1 °≈=⇒== −DAHAD

AHDAH

c, Ta coù:

BDAHsABD ..2

1= vaø ( )BDBCAHHCAHS ADC −== ..

2

1..

2

1

( )

362,09322,61233

9322,61

..2

1

..2

1

≈−

=−

=−

=⇒BDBC

BD

BDBCAH

BDAH

S

S

ADC

ABD

Vaäy tæ soá 362,0≈ADC

ABD

S

S

4.11.7: Giaûi

Xeùt 2 tam giaùc vuoâng AKD vaø tam giaùc BCD ta coù: ( )°=+°=+= 90ˆˆ,90ˆˆˆˆ BCDDCABCDCBDDCACBD CADBCD ∆∞∆⇒

Ta ñöôïc tæ soá:

mnBDADCDCD

BD

AD

CD==⇒= .

Vaäy ( )nmmnABCDS ABC +== ..2

1..

2

1

Khi m = 5,572 (cm) vaø n = 4,205 (cm) thì ta coù:

( ) °≈=⇒≈= − 49tanˆ84.4205,4.572,5 1

AD

CDDACcmCD

( )( ) ( )cmMBDBDDM

cmDACADKD

65,34990sin.572,5ˆsin.

17,349sin.205,4ˆsin.

≈°−°==⇒

≈°==⇒

Vaäy ( )26,1165,6.17,3. cmMDKDSCMDK ≈==



4.11.8: Giaûi

a, AÙp duïng coâng thöùc ta coù:

( )cmAM

BCACABAM

1557,132

21,2308,15.27,19.2

2

22

222

222

≈−+

=⇒

−+=

−++++

+= BC

BCACABBCACABACAB

ACABAI

22..

2

( )cmAI 8365,1221,232

21,2308,157,19

2

21,2308,157,19.08,15.7,19

08,157,19

2≈

−++++

+=⇒

Vaäy ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán AM laø 13,1557 (cm) vaø ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc AI laø 12,8365 (cm). b, AÙp duïng haøm soá cos cho tam giaùc ABC, ta coù:

ACAB

BCACABAAACABACABBC

..2ˆcosˆcos...2

222222 −+

=⇒−+=

Hay 1292,008,15.7,19.2

21,2308,157,19ˆcos222

≈−+

=A

"13,26'3482ˆ °=⇒ A AÙp duïng haøm soá sin cho tam giaùc ABC, ta coù:

C

AB

B

AC

A

BC

ˆsinˆsinˆsin==

"58,39'640ˆ

6443,021,23

08.15".13,26'3482sin.ˆsinˆsin

°=⇒

≈°

==⇒

B

BC

ACAB

"29,54'1857"58,39'640"13,26'3482180ˆˆ180ˆ °=°−°−°=−−°=⇒ BAC c, Xeùt tam giaùc ABH, ta coù: ( )cmBABAH 6921,12"58,39'640sin.7,19ˆsin. ≈°== Xeùt tam giaùc vuoâng AHC, ta coù: ( )cmCACHC 1435,8"29,54'1857cos.08,15ˆcos. ≈°== Vaäy ñoä daøi AH vaø CH laàn löôït laø 12,6921 (cm) vaø 8,1435 (cm).

d, Ta coù: ( )22118,14721.23.6921,12.2

1..

2

1cmBCAHS ABC ≈==

Ta laïi coù:

( )cmS

abcR

R

abcS

ABC

ABC 7095,112118,147.4

21,23.08,15.7,19

44≈==⇒=

( )cmp

SrrpS ABC

ABC 0771,521,2308,157,19

2118,147.2. ≈

++==⇒=

Vaäy khoaûng caùch giöõa 2 taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp tam giaùc laø: ( ) ( ) ( )cmrRR 2857,40771,5.27095,117095,112 ≈−=−



4.11.9: Giaûi

a, Do tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng neân: '3552'253790ˆ90ˆ °=°−°=−°= CB Xeùt tam giaùc vuoâng ABH, ta coù: ( )cmBABAH 18,2'3552sin.75,2ˆsin. ≈°== Xeùt tam giaùc ABI ta coù: '2582'355245180ˆˆ180ˆ °=°−°−°=−−°= BAI AÙp duïng haøm soá sin cho tam giaùc ABI, coù:

( )cmI

BABAI

B

AI

I

AB2,2

'2582sin

'3552sin.75,2ˆsin

ˆsin.ˆsinˆsin

≈°°

==⇒=

Xeùt tam giaùc vuoâng ABC, ta coù:

( )cmC

ABBC 51,4

'3537sin

75,2ˆsin

=°

==

Ta laïi coù: ( )cmBCAM 25,251,4.2

1

2

1≈==

b, Xeùt tam giaùc vuoâng ABH, ta coù: ( )cmBABBH 67,1'3552cos.75,2ˆcos. ≈°==

AÙp duïng haøm soá sin cho tam giaùc ABI, ta coù:

( )cmI

AABBI

A

BI

I

AB96,1

'2582sin

45sin.75,2ˆsin

ˆsin.ˆsinˆsin

≈°

°==⇒=

Ta coù: ( )cmBCBM 25,251,4.2

1.

2

1≈==

c, Xeùt tam giaùc vuoâng HAM, ta coù:

'201425,2

18,2cosˆ

25,2

18,2ˆcos 1 °≈=⇒== −MAHAM

AHMAH

Xeùt tam giaùc vuoâng HAI, ta coù:

'4472,2

18,2cosˆ

2,2

18,2ˆcos 1 °≈=⇒== −IAHAI

AHIAH

'366'447'2014ˆˆˆ °=°−°=−=⇒ IAHMAHMAI Vaäy goùc '366ˆ °=MAI d, Caùch 1: Ta coù:

( )228,0'366sin.25,2.2,2.2

1ˆsin..2

1cmMAIAMAIS IAM ≈°==

Caùch 2: Ta coù: ( )cmBIBMIM 29,096,125,2 =−=−=

( )232,029,0.18,2.2

1..

2

1cmIMAHS IAM ≈==

AB = a = 2,75 (cm), goùc C = α = 37025’.



4.11.10: Giaûi

a, Ta coù: αsin.ˆsin. aBACACBC == αcos.ˆcos. aBACACAB == ⇒ Chu vi cuûa hình chöõ nhaät ñöôïc tính: ( ) ( ) ( )αααα cossin2cossin2.2 +=+=+ aaaBCAB ⇒ Dieän tích cuûa hình chöõ nhaät ñöôïc tính: αααα cos.sin.cos.sin. 2aaaABBCS ABCD ===

b, Khi a = 20,09 (cm); α = 35042’ thì ta coù: ( ) ( ) ( )cmaPABCD 0762,56'4235cos'4235sin.09,20.2cossin2 ≈°+°=+= αα ( )222 2635,191'4235cos'.4235sin.09,20cos.sin. cmaS ABCD ≈°°== αα

4.11.11: Giaûi

a, Xeùt tam giaùc vuoâng BCH, ta coù: °=°−°=−°= 603090ˆ90ˆ CBHBCH

Xeùt tam giaùc vuoâng ABC, ta coù:

( )cmC

BCAC 20

60cos

10ˆcos

=°

==

b, Xeùt tam giaùc vuoâng ABC, ta coù:

( )cmAB

BCACAB

3205,17310

3001020 22222

≈=⇒

=−=−=

( )22051,17310.310. cmBCABSABCD ≈==

Ta coù:

°== 30sin...2

1..

2

1BCBHHCBHSBHC

ACBHS ABC ..2

1=

4

1

20

30sin.1030sin.

..2

1

30sin...2

1

=°

=°

=°

=⇒AC

BC

ACBH

BCBH

S

S

ABC

BHC

Vaäy tæ soá 4

1=

ABC

BHC

S

S

4.11.12: Giaûi

a, Theo ñeà baøi ta coù: '8538,0sinˆ8,0ˆsin 1 °≈=⇒= −CADCAD Do tam giaùc AOD laø tam giaùc caân taïi O neân: '853ˆˆ °== ADODAO '4473'853.2180ˆ °=°−=⇒ DOA Vaäy 96,0'4473sinˆsin ≈°=DOA



b, Xeùt 2 tam giaùc ACD vaø tam giaùc BCD ta coù: AD = BC (Hai caïnh ñoái cuûa hình chöõ nhaät). AC = BD (Hai ñöôøng cheùo cuûa hình chöõ nhaät). DC laø caïnh chung. ⇒ ∆ ACD = ∆ BDC (caïnh – caïnh – caïnh). ⇒ CDBDCA ˆ=

) (Hai goùc töông öùng).

Xeùt hai tam giaùc vuoâng DFC vaø tam giaùc vuoâng CED, ta coù: CDBDCA ˆ=

) (Chöùng minh treân).

Caïnh huyeàn DC laø caïnh chung. ⇒ ∆ DFC = ∆ CED. ⇒ FD = CE (Hai caïnh töông öùng). (1) ⇒ DCECDF ˆˆ = (Hai goùc töông öùng). (2)

Töø (1) vaø (2) ⇒ töù giaùc DFEC laø hình thang caân. c, Töø E vaø F keû ñöôøng thaúng EE’, FF” vuoâng goùc vôùi DC (E’, F’ ∈ DC). Xeùt tam giaùc vuoâng ACD, ta coù:

( )cmCADADDC 563

4.42ˆtan. ===

Xeùt tam giaùc vuoâng DAF, ta coù: ( )cmCADADDF 6,338,0.42ˆsin ===

Ta laïi coù: °=+ 90ˆˆ DCFCDF vaø °=+ 90ˆˆ CADCDF CADCDF ˆˆ =⇒ Xeùt tam giaùc DFF’, ta coù: ( )cmFDFDFFF 88,268,0.6,33'ˆsin.' ===

( )cmDF

FFFDDF

16,20'

88,266,33'' 22222

=⇒

−=−=

Do '' CEDF = neân ( )cmDFDCEF 68,1516,20.256'2'' =−=−=

Vaäy ( ) ( ) ( )23792,96388,26.5668,15.2

1'.

2

1cmFFDCEFSDCEF =+=+=

4.11.13: Giaûi

Xeùt tam giaùc vuoâng ABN, ta coù:

'48195

8,1tanˆ

5

8,1ˆtan 1 °≈=⇒== −NABAB

BNNAB

Xeùt tam giaùc vuoâng BCM, ta coù:

'36405,3

3tanˆ

5,15

3ˆtan 1 °≈=⇒−

== −CMBBM

BCCMB

'24139'3640180ˆ180ˆ °=°−°=−°=⇒ CMBIMA AÙp duïng haøm soá sin cho tam giaùc AMI, ta coù:

( ) ( )( )cm

IAMIMA

IMAAMAI

MIA

AM

IMA

AI7487,2

'4819'24139180sin

'24139sin.5,1ˆˆ180sin

ˆsin.ˆsinˆsin

=°−°−°

°=

−−°=⇒=




( )cmIB

BAIABAIABAIIB

5871,2

6932,6'4819cos.5.7487,2.257487,2ˆcos...2 22222

=⇒

≈°−+=−+=

Xeùt tam giaùc vuoâng BCM, ta coù: '1270'481990ˆ90ˆ °=°−°=−°= NABBNA '48109'1270180ˆ180ˆ °=°−=−°=⇒ BNACNI AÙp duïng haøm soá sin cho tam giaùc INC, ta coù:

( )( )

( )cmMIA

CNICNCI

CNI

CI

NIC

CN1792,3

'4819'24139180sin

'48109sin8,13ˆsin

ˆsin.ˆsinˆsin

≈°−°−°

°−==⇒= { }MIANIC ˆˆ =

Vaäy ñoä daøi caùc ñoaïn IA = 2,7487; IB = 2,5871 vaø IC = 3,179 4.11.14:

Giaûi

a, Do EF laø ñöôøng trung bình cuûa tam giaùc ABH neân:

ABEF // vaø ABEF2

1=

Giaû laïi: CDAB // vaø DCCG2

1=

Maø GCEFCDAB //⇒= vaø GCEF = ⇒ Töù giaùc EFCG laø hình bình haønh. b, Ta coù: BCHABH ∆∞∆ Maø BE vaø CF laø 2 ñöôøng trung tuyeán töông öùng. FCBEBA ˆˆ =⇒ Laïi coù: FEBEBA ˆˆ = (Hai goùc so le trong) FEBFCB ˆˆ =⇒ Do CFEG laø hình bình haønh neân FEGFCG ˆˆ = . °==+⇒°=+ 90ˆˆˆ90ˆˆ GEBFEGFEBFCBFCG Vaäy goùc BEG laø goùc vuoâng. c, Khi BH = 17,25 (cm), goùc BAC = 30040’ thì: ( )cmCABBHAB 8,8'4030sin.25,17ˆsin. ≈°== ( )cmABBC 22,5'4030tan. ≈°= Vaäy ( )29,4522,5.8,8. cmBCABS ABCD ≈==

d, Ñoä daøi ñöôøng cheùo AC laø: ( )cmBCABAC 23,1022,58,8 2222 ≈+=+=

4.11.15 : Giaûi

Keû ñöôøng BH vuoâng goùc vôùi BC (H ∈ BC) Ta coù: °=°−°= 4590135ˆHDC Xeùt tam giaùc vuoâng CDH, ta coù:

( )

( )( )cmHCBHBC

cmHCDHDCHC

cmHDC

DHDC

442,8221,4221,4

221,4221,4969,5

969,545cos

221,4ˆcos

22222

=+=+=⇒

=⇒−=−=

≈°

==

Chu vi cuûa hình thang laø:



( )cm

CBDCADBAPABCD

853,22

442,8969,5221,4221,4

=

+++=+++=

Dieän tích cuûa hình thang laø:

( ) ( )2725,26221,4.442,8221,42

1cmS ABCD ≈+=

4.11.16: Giaûi

a, Xeùt tam giaùc vuoâng BCK, ta coù:

( )

( )cmKCBBCKC

cmKCBBCBK

7713,230cos.2,3ˆcos.

6,130sin.2,3ˆsin.

≈°==

=°==

Ta laïi coù:

( )cm

KCABKCHKDHDC

0426,87713,2.25,2

2

=+=

+=++= { }KCDHHKAB == ;

Dieän tích cuûa hình thang ABCD laø:

( ) ( ) ( )24341,86,1.0426,85,22

1.

2

1cmBKCDABS ABCD ≈+=+=

b, duïng haøm soá cos cho tam giaùc ABC, ta coù:

( )( )cmAC

CBABCABBCABAC

5086,5

30180cos.2,3.5,2.22,35,2ˆcos...2 22222

=⇒

°−°−+=−+=

4.11.17: Giaûi

a, Xeùt 2 tam giaùc ABD vaø tam giaùc DBC, ta coù: DBCBAD ˆˆ = (Giaû thieát). CDBDBA ˆˆ = (Hai goùc so le). CBDDAB ∆∞∆⇒

DC

BD

BD

AB=⇒ hay 5,28.5,12.2 ==⇒= bax

b

x

x

a

( )cmx 87,18=⇒ b, Ta coù:

haS ABD ..2

1= vaø hbSBCD ..

2

1=

57

25

5,28

5,12

..2

1

..2

1

====⇒b

a

hb

ha

S

S

BCD

ABD

Vaäy tæ soá giöõa hai tam giaùc laø 57

25=

BCD

ABD

S

S

4.11.18: Giaûi

a, Goïi I laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo.

Ta coù: ID = IC = 2

DC (Vì ∆ IDC vuoâng caân taïi I).

Ta laïi coù: ∆ IBC vuoâng taïi I neân:



IA = IB = 2

2222 DC

BCICBC −=−

222

2 22

222 DCBCDC

BCIBIAAB −=−===

Vaäy coâng thöùc tính ñoä daøi ñaùy lôùn laø: 222 DCBCAB −= b, Khi CD = 16,45 (cm), BC = 30,1 (cm) thì ñoä daøi ñaùy lôùn laø:

( )cmDCBCAB 2609,3945,161,30.22 2222 ≈−=−=

4.11.19 : Giaûi

a, Goïi I laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo. Xeùt tam giaùc vuoâng caân DCI, ta coù:

( )cmDCICID 847,102

1.34,1545sin. ≈=°==

Xeùt tam giaùc vuoâng caân AIB, ta coù:

( )cmABIBIA 2195,172

1.352,2445sin. ≈=°==

Vaäy ñoä daøi 2 caïnh beân laø: ( )cmAIDIBCAD 3511,202195,17847,10 2222 ≈+=+==

b, Caùch 1: Töø C keû ñöôøng cao vuoâng goùc vôùi AB taïi H (H ∈ AB) Ta coù: ( )cmHBCDABHB 506,4012,934,15352,242 =⇒=−=−=

( )cmBHCBCH 846,19506,43511,20 2222 ≈−=−=⇒

Vaäy dieän tích cuûa hình thang caân laø:

( ) ( ) ( )28637,393846,19.352,2434,152

1.

2

1cmCHCDABS ABCD ≈+=+=

Caùch 2: Ta coù:

( )IAIDIAIBIBICICIDSSSSS DIAAIBCDBDCIABCD +++=+++= ...2

1

( ) ( )28642,393847,10.2195,172195,17.2195,172195,17.847,10847,10.847,102

1cm≈+++=

Caùch 3: AÙp duïng coâng thöùc dieän tích cuûa hình thang caân coù hai ñöôøng cheo vuoâng goùc baèng ½ tích hai ñöôøng cheùo.

( ) ( )2

22 8637,393

2

134,15

2

1.352,24.

2

1.

2

1..

2

1cmICIABDACSABCD ≈

+=+==

4.11.20 : Giaûi

a, Do °=+ 180ˆˆ HCKHAK vaø °=+ 180ˆˆ HCKCDA α===⇒ HAKCBACDA ˆˆˆ

αsin.aAH =⇒ αsinbAK =⇒

b, Ta coù:



αααα

α2sin

2

sin.sin.sin.2

1sin..

===ba

ba

S

Sk

HAK

ABCD

c, Ta coù:

αα 30 sin..

2

1sin. ababSSS HAKABCD −=−=

d, Aùp duïng ñöôïc: ( )cmaAH 873,20"25'3845sin.1945,29sin ≈°== α ( )cmbAK 706,141"25'3845sin.2001,198sin ≈°== α

9126,3"25'3845sin

2

sin

222

≈°

===αHAK

ABCD

S

Sk

( )2

330

6633,3079

"25'3845sin.2001,198.1945,292

1"25'3845sin.2001,198.1945,29sin..

2

1sin.

cm

ababS

≈

°−°=−= αα

4.11.21: Giaûi

a, Do daây cung CD vuoâng goùc vôùi ñöôøng kính AB neân IC = ID Theo giaû thieát ta coù: IA = IO vaø AO ⊥ CD ⇒ Töù giaùc ACDO laø hình thoi. b, Ta coù: OC = OA = AC = R ⇒ ∆ ACO laø tam giaùc ñeàu.

RRCDRCAIC 32

32

2

3

2

3==⇒==

Dieän tích cuûa hình thoi ACOD laø:

2

2

33.

2

1.

2

1RRRCDAOS ACOD ===

c, Khi R = 5,789 (cm) thì dieän tích cuûa hình thoi ACOD laø:

( )222 0227,29789,5.2

3

2

3cmRS ACOD ≈==

4.11.22: Giaûi

a, Xeùt tam giaùc vuoâng BAO, ta coù:

a

R

a

R

OA

OB 1coscos −=⇒== αα

b. Dieän tích cuûa töù giaùc BACO laø:

αα sin..sin..2

1.2.2 aROBOBSS ABOABOC ===

Dieän tích hình quaït chöùa cung BC laø:

360

2..2

1

απRS =

Vaäy dieän tích S cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi 2 tieáp tuyeán AB, AC vaø cung nhoû BC laø:



−=−=−=360

2sin

360

2..sin..

2

1

RRa

RaRSSS ABOC

πα

απα

c, Quy trình aán phím lieân tuïc tính goùc α vaø dieän tích S laø: 3,15 shift STO B (Nhôù soá R vaøo bieán B). 7,85 shift STO A (Nhôù giaù trò a vaøo bieán A). Tính goùc α baám: Shift cos-1 ( alpha B ÷ alpha A ) = . Tính dieän tích S baám: Alpha B × alpha A × ( sin Ans – 2 × shift π × alpha B ÷ 360 = Keát quaû: α ≈ 66020’31,78”; S ≈ 21,29 (cm2).

4.11.23 : Giaûi

a, Xeùt tam giaùc vuoâng BCE ta coù: °=+ 90ˆˆ BCEBCE

Maø ECBDEA ˆˆ = °=+⇒ 90ˆˆ BECAED ( ) °=°−°=+−°=⇒ 9090180ˆˆ180ˆ BECAEDCED

Vaäy soá ño goùc °= 90ˆCED b, Xeùt tam giaùc vuoâng DAE, ta coù:

( )cmDEAEADDE 0278,181510 22222 ≈⇒+=+=

'413315

10tanˆ

15

10ˆtan 1 °≈=⇒== −DEAAE

ADDEA

'4133ˆˆ °==⇒ ECBDEA Xeùt tam giaùc vuoâng BCE, ta coù:

( )cmBCEEBBC 18'4133cot.12ˆcot. =°== ( )cmECCBEBEC 6333,211812 22222 ≈⇒+=+=

Vaäy dieän tích töù giaùc ABCD vaø dieän tích tam giac DEC laø:

( ) ( )( ) ( )2D 3781215.1810

2

1.

2

1cmABBCADS ABC =++=+=

( )21956333.21.0278,182

1..

2

1cmECDESDEC ===

c, Tæ soá phaàn traêm giöõa S∆ DEC vaø SABCD laø:

%34378195

195% ≈

+=∆DECS

%66%34%100% =−=⇒ ABCDS

4.11.24: Giaûi

a, Ta coù: BCMMOA ˆˆ = (Cuøng buø vôùi goùc MOB)

°=°==⇒ 5,2857.2

1ˆ2

1ˆ AOMAOD

Xeùt tam giaùc vuoâng AOD, ta coù:

( )cmAODOAAD 7869,65,28tan.2

25ˆtan. ≈°==



Xeùt tam giaùc vuoâng OBC, ta coù:

( )cmBCOOBBC 0221,232

57cot.

2

25ˆcot. ≈

°==

Vaäy dieän tích cuûa töù giaùc ABCD laø:

( ) ( ) ( )26125,37225.0221,237869,6.2

1..

2

1cmABBCADS ABCD ≈+≈+=

b, Ta coù: ( )ABBCADS ABCD ..2

1+=

⇒ Dieän tích töù giaùc ABCD ñaït giaù trò nhoû nhaát khi AD + BC ñaït giaù trò nhoû nhaát.

Maø:

+=+=+

2

ˆcot

2

ˆtanˆcot.ˆtan.

BCMBCMOABCOOBAODOABCAD

Neân AD + BC ñaït giaù trò nhoû nhaát khi 2

ˆcot

2

ˆtan

BCMBCM+

Ta laïi coù: 22

ˆcot.

2

ˆtan2

2

ˆcot

2

ˆtan =≥+

BCMBCMBCMBCM

⇒ Giaù trò nhoû nhaát cuûa 2

ˆcot

2

ˆtan

BCMBCM+ laø 2 khi 1

2

ˆ

2

ˆcot

2

ˆtan =⇔=

BCMBCMBCM

°=⇒ 90ˆBCM Vaäy ñeå SABCD ñaït giaù trò nhoû nhaát thì M thuoäc nöõa ñöôøng troøn sao cho MO vuoâng goùc AB. c, Khi °= 90ˆBCM thì:

( )cmAODOAAD 5,1245tan.2

25ˆtan. =°==

( )cmBCOOBBC 5,1245cot.2

25ˆcot. =°==

Vaäy giaù trò nhoû nhaát cuûa SABCD laø:

( ) ( ) ( )2min 5,31225.5,125,12.

2

1..

2

1cmABBCADS ABCD =+=+=

4.11.25: Giaûi

a, AÙp duïng haøm soá cos cho tam giaùc ADC, ta coù: DDCDADCDAAC cos...2222 −+=

"18,32'2429ˆˆ

8711,013,24.13,24.2

25,1213,2413,24ˆcos222

°≈=⇒

≈−+

=⇒

BD

D

"82,27'35150"18,32'2429180ˆˆ °≈°−°==⇒ CA b, Keû ñöôøng OH vuoâng goùc vôùi AD, H thuoäc AD. Xeùt tam giaùc vuoâng OAD, ta coù:

( )cmOD

OAADOD

3397,23

2

25,1213,24

22222

≈⇒

−=−=

AÙp duïng heä thöùc caïnh trong tam giaùc ADO, ta coù:



( )cmAD

ODOAOHADOHOAOD 9244,5

13,24

3397,23.125,6... ≈==⇒=

Vaäy dieän tích cuûa hình troøn (O) noäi tieáp hình thoi laø: ( )2221 265,110.9244,5. cmOHS === ππ

c, Ta coù caïnh cuûa tam giaùc ñeàu ngoaïi tieáp ñöôøng troøn (O;r) laø: ( )cmra 5227,209244,5.32.32 ≈== Vaäy dieän tích tam giaùc ñeàu ngoaïi tieáp ñöôøng troøn (O) laù:

( )2222 3772,18260sin.5227,20.

2

160sin.

2

1cmaS =°=°=

4.11.27:

Giaûi

Vì: ( )222

1 0SSSSSSS ABCD

ABCACDACMACKAKCM ==+=+=

Neân: 210

2SS

SSSSS CKRSAMQPARCMPQRS −−=−−=

Khi S0 = 142857 × 371890923546; S1 = 6459085826622 vaø S2 = 7610204246931. Ta coù: S0 = 53127221665010922

( )dvdt

SPQRS

43190826549515429317610204246

62264590858262

50109225312722166

=−

−=

4.11.28: Giaûi

a, Ta coù: rAD 2=

αsin

2rBC =

( )

−°=

α1802

1Sin

rOB

+°=

+°−°−°=

° αα2

145sin

2

19045180sin

45sin

ABABOB

−°

+°=⇒

α

α

2

190sin

2.2

145sin.r

AB

αα

αcot.2

2

190sin

2.2

145sin.

r

r

DC +

−°

+°=⇒

b, Ta coù:



αα

α

αcot.2

2

190sin

2.2

145sin.

.2sin

22 r

rr

rP +

−°

+°++=

παα

απα

α

α22

2

2 cot.2

2

190sin

2.2

145sin.

.22.cot.2

2

190sin

2.2

145sin.

.22

1rr

r

rrr

r

S −+

−°

−°=−

+

−°

+°=

c, Khi r = 10 (cm); α = 650 thì ta tính ñöôïc laø: ( )cmP 14,84≈ ( )252,106 cmS ≈

4.11.29: Giaûi

Theo ñeà baøi ta coù:

( ) ( )mrr 5,22532

120 =⇒+=

Dieän tích hình troøn noäi tieáp hình thang laø: ( )22

1 635,19. mrS ≈= π Dieän tích cuûa phaàn naèm giöõa hình thang vaø hình troøn laø: ( )2

1 368,0635,192020 mSS =−=−= Vaäy dieän tích phaàn toâ ñaäm laø 0,368 (m2).

4.11.30: Giaûi

Ta coù tam giaùc ngoaïi tieáp ba ñöôøng troøn laø tam giaùc ñeàu. Noái 3 taâm cuûa hình troøn t ñöôïc moät tam giaùc ñeàu caïnh 2r. Maø laïi coù: Trong tam giaùc ñeàu thì ñöôøng phaân giaùc cuõng chính laø ñöôøng cao, ñöôøng trung tuyeán.

⇒ ( )cmrh 31,260sin.2.3

1

3

12 ≈°=∆

Giaû laïi: ( ) ( )cmhcmrhh 93,1531,53

1

3

1121 ≈⇒=+= ∆∆∆

( )cma 39,181 ≈⇒ ∆

⇒ Dieän tích cuûa tam giaùc lôùn laø: ( )cmS 48,14639,18.93,152

11 ≈=∆

Vaäy phaàn dieän tích caàn tìm laø: ( )cmrSS 66,61.3.348,146.3 221 ≈−=−= ∆ ππ



4.11.31: Giaûi

Noái 3 taâm cuûa ñöôøng troøn ta ñöôïc moät tam giaùc ñeàu caïnh a = 2r = 2.3 = 6 (cm) Dieän tích cuûa tam giaùc ñeàu ñoù laø:

( )2221 58846,1560sin.6.

2

160sin.

2

1cmaS ≈°=°=

Dieän tích phaàn traéng trong tam giaùc ñeàu laø:

( )222

2 13717,14360

60..3.3

360

60...3 cmr

S ≈=°°

=ππ

Dieän tích hình giôùi haïn bôûi ba ñöôøng troøn baùn kính 3 (cm) tieáp xuùc nhau töøng ñoâi moät caàm tìm laø: ( )2

21 45129,113717,1458846,15 cmSSS ≈−≈−=

4.11.32:

Giaûi

a, Dieän tích cuûa phaàn toâ ñaäm laø:

( )222

28,386360

90..

22.8 cm

ABABS ≈

−

= π

b, Phaàn traêm giöõa dieän tích phaàn toâ ñaäm vôùi dieän tích vieân gaïch laø:

%92,4230

28,3862

0

≈=S

S

Vaäy phaàn traêm dieän tích caàn tìm laø 42,92%.

4.11.33:

a, Töø hình veõ, ta coù: Ñöôøng kính hình troøn ngoaïi tieáp ngoâi sao laø:

( )cmd 14766193,1018cos

651,9≈

°=

Vaäy baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp laø:

( )cmd

r 073830963,52

14766193,10

2≈==

b, Töø hình veõ, ta coù: Khoaûng caùch giöõa 2 ñænh khoâng lieân tieáp cuûa ngoâi sao 5 caùnh noäi tieáp trong ñöôøng troøn coù baùn kính R = 5,712 (cm) laø: ( )cmRda 8649,1018cos.712,5.218cos.218cos. ≈°=°=°= d, Töø hình veõ, ta coù: Khoaûng caùch giöõa 2 ñænh khoâng lieân tieáp cuûa ngoâi sao 5 caùch noäi tieáp trong ñöôøng troøn coù baùn kính R = 9 (cm) laø:

( )cmRda 119,1718cos.9.218cos.218cos. ≈°=°=°= .

4.11.34: Laáy C’ ñoái xöùng C qua A => C’H laø ñoaïn ngaén nhaát cần tìm.



Keát luaänKeát luaänKeát luaänKeát luaän

Vôùi thaønh coâng ôû phieân baûn 93.09.1 toâi chaân thaønh göûi lôøi caûm ôn tôùi caùc baïn ñoïc ñaõ uûng hoä vaø göûi goùp yù nhaèm xaây döïng taøi lieäu ngaøy hoaøn thieän hôn. Ñaëc bieät laø:

1. Thaày Trònh Huyønh Cöông – GV tröôøng THPT Bình Long – Bình Phöôùc.. 2. Coâ Phaïm Thò Myõ Haïnh – giaùo vieân tröôøng THCS An Phuù – Bình Phöôùc. 3. Coâ Nguyeãn Thò Anh – giaùo vieân tröôøng THCS Taân Lôïi – Bình Phöôùc. 4. Baïn Nguyeãn Tröôøng Lòch – sinh vieân tröôøng sö phaïm kyõ thuaät HCM. 5. Baïn Phaïm Vaên Tuù – HS THPT chuyeân Quang Trung – Bình Phöôùc. 6. Baïn YH: [email protected] – Hoïc sinh lôùp 9, huyeän Chaâu Ñöùc,

Baø Ròa Vuõng Taøu. 7. Vaø raát nhieàu baïn khaùc ñaõ goùp yù trong baøi vieát chia seõ taøi lieäu vôùi gaàn

800 löôït Thanks, hôn 30.000 xem ôû dieãn ñaøn CQT (Nhöng do ñaõ bò Admin http://chuyenquangtrung.com.vn/forums xoaù khi chuaån bò update laïi phieân baûn môùi (Lyù do: Spam) neân khoâng nhôù nhöõng baïn ñaõ goùp yù). Nay taøi lieäu khoâng chia seõ ñoäc quyeàn ôû CQT maø ñaêng taûi leân http://cunghoc.net vaø taát caû webside khaùc.

Ñeå cuoán saùch naøy ngaøy caøng hay hôn nöõa caùc baïn haõy chia seõ nhöõng kinh nghieäm cuûa mình cuõng nhö yù kieán xaây döïng taøi lieäu cho phieân baûn 93.12.3, thoâng qua 3 keânh sau:

1. Dieãn ñaøn hoïc taäp: http://cunghoc.net 2. Maïng xaõ hoäi facebook: http://www.facebook.com/326403567386144 3. Göûi phaûn hoài tröïc tieáp veà email: [email protected]

Moät soá ñieàu chuù yù khi laøm baøi thi: Ñieàu 1: Caàn phaûi ñoïc kó phaàn chuù yù ôû ñaàu baøi laøm. Ñeà yeâu caàu laøm troøn bao nhieâu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân thì phaûi laøm troøn baáy nhieâu. Khoâng ñöôïc laøm troøn nhieàu hay, bôùt ñi. Ñieàu 2: Döïa vaøo khoaûng traéng phaàn baøi laøm, ta ñöa ra caùch giaûi hôïp lí, khoâng neân giaûi daøi doøng. Chuû yeáu laø ta laøm ñuùng ñaùp soá vaø caùch trình baøy lôøi giaûi nhaèm chöùng minh ta khoâng nhìn baøi cuûa thí sinh khaùc. Ñieàu 3: Caàn phaûi coù ñôn vò cho nhöõng baøi taäp hình hoïc hoaëc toaùn ñoá … Chæ caàn thieáu 1 ñôn vò laø ta bò tröø 0,5 ñieåm. Moät baøi taäp maø thieáu 4 ñôn vò laø bò tröø heát 2 ñieåm duø ta laøm ñuùng ñaùp soá vaø caùch trình baøy. Ñieàu 4: Neân mang theo caû 2 loaïi maùy tính laø fx 570MS vaø fx 570ES ñeå tính toaùn nhanh hôn.

d

Muïc luïc

Phaàn I: Giôùi thieäu veà moân giaûi Toaùn treân maùy tính ..................................... 0

Phaàn II: Höôùng daãn söû duïng maùy tính fx 570MS vaø fx 570ES ..................... 3 1. Caùc chöùc naêng cô baûn ................................................................................ 5 2. Caùc chöùc naêng naâng cao ............................................................................ 9

Phaàn III: Laøm quen vôùi caùc baøi toaùn ñôn giaûn ............................................ 13 1. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc ........................................................................ 15 2. Tính giaù trò goùc, löôïng giaùc ..................................................................... 18 3. Giaûi phöông trình, heä phöông trình ......................................................... 19 4. Caùc baøi toaùn ñoá ........................................................................................ 21 5. Baøi taäp soá hoïc nhoû ................................................................................... 23 6. Hai ñeà luyeän taäp ...................................................................................... 24

Phaàn IV: Naâng cao caùc chuyeân ñeà giaûi toaùn ................................................ 27 1. Giaù trò cuûa bieåu thöùc ................................................................................ 29 2. Giaù trò goùc, löôïng giaùc ............................................................................. 35 3. Lieân phaân soá ............................................................................................ 37 4. Daõy soá ...................................................................................................... 39 5. Phöông trình, heä phöông trình ................................................................. 43 6. Haøm soá ..................................................................................................... 47 7. Toaùn ñoá .................................................................................................... 51 8. Thoáng keâ .................................................................................................. 57 9. Soá hoïc ....................................................................................................... 58 10. Ñoà thò maët phaúng ................................................................................... 64 11. Hình hoïc ................................................................................................. 65 12. Taùm ñeà luyeän taäp .................................................................................. 79

Phaàn V: Ñaùp aùn baøi taäp töï luyeän vaø ñeà luyeän taäp ..................................... 149

Phaàn VI: Keát luaän ........................................................................................ 208

Ngöôøi bieân soaïn: GS.Hoaøng Hoà Nam Tröôøng trung hoïc phoå thoâng thò xaõ Bình Long – Bình Phöôùc

Ñieän thoaïi: 01 656 858 353 hoaëc 0995 824 252 Email: [email protected]

KINH NGHIEÄM GIAÛI TOAÙN TREÂN MAÙY TÍNH CASIO II Baûn goác in 50 cuoán, khoå A4 taïi trung taâm “Vi tính soá 1” Ñöôøng Leâ Quyù Ñoân – phöôøng Phuù Trung – thò xaõ Bình Long – tænh Bình Phöôùc. Tröôøng söû duïng baûn goác: Tröôøng trung hoïc cô sôû An Phuù. Phieân baûn 93.11.2. In xong ngaøy 03 thaùng 12 naêm 2011. Kí hieäu laàn in: HT01MTC0002

Education

Casio 93.11.2