Bloque temático I,límite infinito

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Bloque III, Límites infinitos

• Concepto del símbolo∞

• Límites laterales cuando tienden al∞

• Límite cuando 𝑥 → 𝑎 y tienden al∞

• Teoremas del Límite cuando 𝑥 → 𝑎, tienden a±∞

• Teoremas del Límite cuando 𝑥 → ±∞ , tienden a

“cero”

• Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”

• Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”

Apertura, Límites

Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los

aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los

necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque

temático.

Tienes 90 segundos para contestar 6 preguntas, la diapositiva se

cambiará automáticamente cuando se finalice el tiempo.

Apertura, LímitesDetermine:

1) lim𝑥→1+

𝑔(𝑥)

2) lim𝑥→1−

𝑔(𝑥)

3) lim𝑥→−1+

𝑔(𝑥)

4) lim𝑥→−1−

𝑔(𝑥)

5) lim𝑥→+∞

𝑔(𝑥)

6) lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥)

Símbolo infinito

El símbolo∞ se lee infinito, es de carácter posicional, no

representa ningún número real.

Sí una variable independiente x está creciendo

indefinidamente y toma valores positivos cada vez

mayores, se escribe 𝑓 𝑥 → +∞, (que se lee: x tiende a

más infinito), y si decrece a través de valores negativos,

se denota como x → −∞ (que se lee: x tiende a menos

infinito)

Límites laterales al Infinito

Consideramos la función f definida 𝑓 𝑥 =1

𝑥−2para 𝑥 ∈ ℝ − 2 .

Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando 𝑥 →2 cuando 𝑥 → +∞ y cuando 𝑥 → −∞. Para ello nos ayudamos de

las tablas siguientes:

lim𝑥→2+

𝑓 𝑥 = +∞

lim𝑥→2−

𝑓 𝑥 = −∞

Ahora observe que es x la que tiende a tomar valores positivos

cada vez mayores, obteniendo como resultado que:

lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 0

En forma similar a la tabla anterior se tiene que: f(x) → 0 cuando

𝑥 → −∞

lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 0

Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “CERO”

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Podemos representar gráficamente el comportamiento de la

función f en la forma siguiente:

𝑓 𝑥 =1

𝑥 − 2


Consideramos la función f definida 𝑓 𝑥 = −1

𝑥para 𝑥 ∈ ℝ − 0 ,

Cuya representación gráfica es la siguiente:

lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = −∞

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = +∞

lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 0

lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 0


Consideraremos ahora la función f definida por 𝑓 𝑥 =2𝑥

𝑥+1. En las

siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento:

En forma similar a la tabla anterior se tiene que: f x → −2cuando 𝑥 → −∞

X 5 10 15 20 25 100 1000

2𝑥

𝑥 + 1

1.666 1.818 1.875 1.904 1.923 1.980 1.998

X -5 -10 -15 -20 -25 -100 -1000

2𝑥

𝑥 + 1

2.50 2.222 2.142 2.105 2.083 2.020 2.002

Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”

En ambas tablas puede observarse que cuando 𝑥 toma valores

positivos o valores negativos cada vez mayores (mayores en valor

absoluto), se tiene que la función 𝑓 tiende a acercarse a 2.

𝑓 𝑥 =2𝑥

𝑥 + 1,

𝑥 ≠ −1

lim𝑥→+∞

𝑓 𝑥 = 2

lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 2

Límite cuando 𝑥 → ±∞, tiende a “ C ”

Teoremas de Límites

Si n es cualquier entero positivo, entonces se cumple que:

lim𝑥→0+

1

𝑥𝑛= +∞

lim𝑥→0−

1

𝑥𝑛= +∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

lim𝑥→0−

1

𝑥𝑛= −∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

Si C es cualquier número real, y

con 𝑐 ≠ 0, entonces:

Teorema 4

lim𝑥 →𝑎

𝑓 𝑥 = 0 lim𝑥 →𝑎

𝑔 𝑥 = 𝑐

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)= +∞ si se tiene que 𝑐 > 0 y 𝑓 𝑥 → 0+

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)= −∞ si se tiene que 𝑐 > 0 y 𝑓 𝑥 → 0−

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)= −∞ si se tiene que 𝑐 < 0 y 𝑓 𝑥 → 0+

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)= +∞ si se tiene que 𝑐 < 0 y 𝑓 𝑥 → 0−

4.1

4.2

4.3

4.4

Límites al Infinito¿Existe ?

lim𝑥→2+

2𝑥

𝑥 − 2= +∞

lim𝑥→2−

2𝑥

𝑥 − 2= −∞

lim𝑥→2

2𝑥

𝑥 − 2

Observe que si se hiciera la sustitución directa se obtiene la

forma indeterminada4

0.

a) Como 𝑥 → 2+, entonces 𝑥 > 2 por lo que 𝑥 − 2 > 0 y se dice que 𝑥 → 0+. Así,

el numerador tiende a una constante positiva y el denominador tiende a 0+

b) Como 𝑥 → 2−, entonces 𝑥 < 2 por lo que 𝑥 − 2 < 0 y se tiene que 𝑥 − 2 →0−. Como el numerador tiende a una constante positiva y el denominador

tiende a 0− aplicando el teorema 4

Como los límites laterales son diferentes:

lim𝑥→2

2𝑥

𝑥 − 2= No existe

Teorema 5 Sean f y 𝑔 funciones con dominios 𝐷1 y 𝐷2 respectivamente y sea “a” un

número tal que todo intervalo abierto que contenga a “a” contine números

diferentes de “a” en𝐷1 ∩ 𝐷2:

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = +∞

lim𝑥→𝑎

[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = +∞ 𝑠𝑖 𝑐 > 0

lim𝑥→𝑎

[𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = −∞ 𝑠𝑖 𝑐 < 0

5.1

5.2

5.3

5.4 lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔(𝑥)=0

Si y entonces:lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑐 lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = +∞

Límites al InfinitoCalcule

lim𝑥→2

5𝑥 = 5 2 = 10

lim𝑥→2

6

2𝑥 − 4 2= +∞

lim𝑥→2

5𝑥 +6

2𝑥 − 4 2

Solución:

a) En el caso del primer término, se calcula:

b)En el segundo término se analiza los límites laterales:

Límite lateral derecho:

Como 𝑥 → 2+, entonces 𝑥 > 2 por lo que 2𝑥 − 4 2 > 0 y se dice que:

Límite lateral izquierdo

Como 𝑥 → 2−, encontes 𝑥 < 2 por lo que 2𝑥 − 4 2 > 0 y se tiene:

c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene

lim𝑥→2

5𝑥 +6

2𝑥 − 4 2= 𝑐 +∞ = +∞

Si f y𝑔 son funciones que y

entonces se cumple que:

Teorema 6

lim𝑥 →𝑎

𝑓 𝑥 = +∞ lim𝑥 →𝑎

𝑔 𝑥 = +∞

lim𝑥→𝑎

[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] = +∞

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = +∞

6.1

6.2

Límites al InfinitoCalcular: lim

𝑥→2+

2

𝑥 − 2 2+

𝑥 + 1

𝑥 − 2Solución:

a) Evaluando el límite lateral derecho: Como 𝑥 → 2+, entonces 𝑥 > 2 por lo que:

b)En el segundo término se analiza de la misma manera con el teorema 4

Como 𝑥 → 2+, entonces 𝑥 > 2 por lo que 𝑥 − 2 > 0 y se dice que:

c) Al aplicar el Teorema 5 se tiene:

lim𝑥→2

2

𝑥 − 2 2+

𝑥 + 1

𝑥 − 2= ∞+∞ = +∞

lim𝑥→2+

2

𝑥 − 2 2=

𝑐

𝑥 → 0+= +∞

lim𝑥→2+

𝑥 + 1

𝑥 − 2=

𝑐

𝑥 → 0+= +∞

Teorema 7

Si f y𝑔 son funciones que y

entonces se cumple que:

lim𝑥 →𝑎

𝑓 𝑥 = −∞ lim𝑥 →𝑎

𝑔 𝑥 = −∞

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = −∞

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = +∞

7.1

7.2


𝑥→−3−

2𝑥

𝑥 + 3 2

2 − 𝑥

𝑥 + 3Solución:

a) Evaluando el límite lateral izquierda: Como 𝑥 → −3−, entonces 𝑥 < −3

b)En el segundo término se analiza de la misma manera con el teorema 4

Como 𝑥 → −3−, entonces 𝑥 < −3 por lo que:


lim𝑥→2

2𝑥

𝑥 + 3 2

2 − 𝑥

𝑥 + 3= −∞ −∞ = +∞

lim𝑥→−3−

2𝑥

𝑥 + 3 2=

−𝑐

𝑥 → 0+= −∞

lim𝑥→−3−

2 − 𝑥

𝑥 + 3=

𝑐

𝑥 → 0−= −∞

Si p > 0 es un número real, entonces:

Teorema 8

lim𝑥→+∞

1

𝑝𝑛= 0


𝑥→+∞

𝑥 + 2

𝑥3

Solución:

a) Separando el cociente:

b)Realizando la división y aplicando las propiedades de los límites:


= 0 + 2 0 = 0

lim𝑥→+∞

𝑥

𝑥3+

2

𝑥3

lim𝑥→+∞

1

𝑥2+ 2 ∙ lim

𝑥→+∞

1

𝑥3


𝑥→+∞

3

𝑥 + 1Solución:

a) Factorizando el denominador, para poder realizar la separación de cociente:

b) Aplicando las propiedades de los límites:

c) Aplicando el Teorema 8 se tiene:

= 01

1 + 0= 0

lim𝑥→+∞

3

𝑥 1 +1𝑥

lim𝑥→+∞

3

𝑥+ lim

𝑥→+∞

1

1 +1𝑥

Si p es un número positivo tal que 𝑥𝑝 es un número real para 𝑥 <0, entonces:

Teorema 9

lim𝑥→−∞

1

𝑥𝑝= 0

Límites al InfinitoCalcular:

lim𝑥→−∞

5 + 𝑥13

𝑥23Solución:

a) Separación de cociente:

b) Aplicando la división y las propiedades de los límites:

c) Aplicando el Teorema 8 se tiene:

= 5 0 + 0 = 0

lim𝑥→−∞

5

𝑥23

+𝑥13

𝑥23

5 ⋅ lim𝑥→−∞

1

𝑥23

+ lim𝑥→+∞

1

𝑥13


𝑥→+∞

3𝑥 + 1

2𝑥 − 3Solución:

a) Factorizando la variable x en el denominador y denominador:

b) Aplicando la división y las propiedades de los límites:

c) Note que1

𝑥→ 0 y

3

𝑥→ 0 cuando 𝑥 → +∞

=3

2

lim𝑥→+∞

𝑥 3 +1𝑥

𝑥 2 −3𝑥

lim𝑥→+∞

3 +1𝑥

2 −3𝑥


𝑥→−∞

43𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1

2𝑥 − 1a) Factorizando la variable x mayor del numerador:

b) Recuerde𝑛𝑥𝑛 = 𝑥 si 𝑛 es par:

c) Como x crece a través de valores negativos se tiene que 𝑥 = −𝑥

lim𝑥→−∞

−𝑥4

3 +2𝑥2

+1𝑥4

− 1

2𝑥 − 1

lim𝑥→−∞

4𝑥4 3 +

2𝑥2

+1𝑥4

− 1

2𝑥 − 1

lim𝑥→−∞

𝑥4

3 +2𝑥2

+1𝑥4

− 1

2𝑥 − 1


𝑥→−∞

43𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1

2𝑥 − 1d) Factorizando la variable x mayor del denominador y denominador:

b) Realizando la división de la variable x:

lim𝑥→−∞

−𝑥4

3 +2𝑥2

+1𝑥4

− 1

𝑥 2 −1𝑥

lim𝑥→−∞

𝑥 − 3 +2𝑥2

+1𝑥4

−1𝑥

𝑥 2 −1𝑥


𝑥→−∞

43𝑥4 + 2𝑥2 + 1 − 1

2𝑥 − 1d) Diviendo la variable x.

b) Como1

𝑥𝑛→ 0 cuando 𝑥 → −∞

lim𝑥→−∞

−4

3 +2𝑥2

+1𝑥4

−1𝑥

2 −1𝑥

lim𝑥→−∞

−4

3 +2𝑥2

+1𝑥4

−1𝑥

2 −1𝑥

= −

43

2

0 0 0

0

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