บทที่ 1

บทนําสมการเชิงอนุพันธ

1.1 บทนํา

โดยนิยาม สมการเชิงอนุพันธ (differential equation) คือ สมการที่ประกอบดวยตัวแปรตามไมทราบคาหนึ่งตัว และอนุพันธตาง ๆ ของตัวแปรดังกลาว สมการเชิงอนุพันธจัดวาเปนคณิตศาสตรแขนงหนึ่งที่มีความสําคัญอยางมากกับการประยุกตใชงานในทางวิศวกรรมไฟฟา วิทยาศาสตร และในสาขาคณิตศาสตรประยุกต ปญหาตาง ๆ ในสาขาวิขาเหลานี้สามารถจําลองไดในรูปของสมการเชิงอนุพันธ เชน การวิเคราะหวงจรไฟฟา การทํานายอัตราการเติบโตของประชากร กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปญหาของการนําความรอนในแทงโลหะ เปนตน สมการเชิงอนุพันธสามารถแบงออกไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ ที่มีความสําคัญในทางปฏิบัติ ไดแก

• สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equation: ODE)

• สมการเชิงอนุพันธยอย (Partial Differential Equation: PDE)

เกณฑที่ใชในการแบงประเภทของสมการเชิงอนุพันธเปนดังนี้ ถาสมการเชิงอนุพันธประกอบดวยอนุพันธแบบสามัญ (ordinary derivative) เทานั้น เราจะเรียกสมการดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธ

2 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

สามัญ หรือ ODE แตถาสมการเชิงอนุพันธประกอบดวยอนุพันธยอย (partial derivative) ดวย เราจะเรียกสมการดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธยอย หรือ PDE ในหนังสือเลมนี้เราจะกลาวถึงเฉพาะสมการเชิงอนุพันธสามัญ

1.2 การจําลองระบบดวยสมการเชิงอนุพันธ

หัวขอนี้กลาวถึงตัวอยางการประยุกตใชสมการเชิงอนุพันธเพื่อจําลองระบบที่เราสนใจ โดยในที่นี้จะขอยกตัวอยางปญหางาย ๆ 2 ตัวอยางไดแก ปญหาการทํานายการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบานแหงหนึ่ง และปญหาการเย็นตัวของนิวตัน

1.2.1 การทํานายอัตราการเติบโตของจํานวนประชากร

พิจารณาการทํานายอัตราการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบานแหงหนึ่ง กําหนดให ( )P t แทนจํานวนประชากรในหมูบานดังกลาว ซ่ึงไดเขียนเปนฟงกชันที่แปรผันตามเวลา t

คําถามที่ เราอาจสนใจไดคือ จํานวนประชากรของหมูบานในอีก 5 ปขางหนา ในที่นี้จะใชแบบจําลองพื้นฐานที่มีช่ือเรียกวา แบบจําลองเลขชี้กําลัง (the exponential model) ซ่ึงมีขอสมมุติวา อัตราการเพิ่มขึ้นของประชากรในหมูบานแปรผันตรงกับจํานวนประชากรที่มีอยู ดังนั้น เราจึงสามารถจําลองพฤติกรรมการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรไดในรูปสมการเชิงอนุพันธไดดังนี้

( ) ( )d P t kP tdt

= (1.1)

โดย k เปนคาคงที่ (คาบวก) ซ่ึงเรียกวาคาคงที่ของการแปรผัน เราสามารถหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธดังกลาวไดเปน

0( ) ktP t P e= (1.2)

โดย 0P แทนจํานวนประชากรเริ่มตน กลาวคือ 0(0)P P=

ถา ณ เวลาปจจุบันในหมูบานมีประชากรทั้งหมด 1000 คน และให 0.1k = จะไดวาจํานวนประชากรในอีก 5 ปขางหนามีคาเทากับ

0.1 5(5) 1000 1649P e ×= ≈ คน

บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 3

หากนําสมการที่ (1.2) มาวาดเปนกราฟจะไดผลดังแสดงในรูปที่ 1.1 สังเกตวาจํานวนประชากรมีแตเพิ่มสูงขึ้นตามเวลาไปเรื่อย ๆ แตในสภาพความเปนจริงพฤติกรรมการเพิ่มขึ้นของประชากรอาจแตกตางไปจากนี้ เพราะมีปจจัยอ่ืน ๆ เชน สภาพแวดลอมทางธรรมชาติ ปริมาณอาหารที่มีอยูจํากัด คาครองชีพ พื้นที่ทํากิน และที่อยูอาศัย ที่อาจจํากัดอัตราการเติบโตของประชากร หากตองการใหการทํานายประชากรสอดคลองกับสภาพความเปนจริงมากขึ้น จะตองสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่ซับซอนมากขึ้น

จํานว

นประชากร

รูปท่ี 1.1 ลักษณะการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบาน

1.2.2 กฎการเย็นตัวของนิวตัน

พิจารณาจากกฎการเย็นตัวของนิวตัน (Newton's law of cooling) เราพบวาอุณหภูมิบนผิวของวัตถุหนึ่งมีการเปลี่ยนแปลงดวยอัตราที่แปรผันตรงกับผลตางระหวางอุณหภูมิบนผิวของวัตถุนั้นกับอุณหภูมิของสิ่งแวดลอม กําหนดให ( )T t แทนอุณหภูมิบนพื้นผิวของวัตถุซ่ึงเปนฟงกชันของเวลา t เราสามารถจําลองอุณหภูมิบนพื้นผิวของวัตถุในรูปของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งไดดังนี้

( ) [ ( ) ]sd T t k T t Tdt

= − − (1.3)

โดย sT เปนอุณหภูมิของสิ่งแวดลอม (สมมุติวามีคาคงที่) และ k เปนคาคงที่ (คาบวก)

สมการเชิงอนุพันธนี้สามารถหาผลเฉลยไดไมยากนักดังตอไปนี้

4 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

( )[ ( ) ]s

dT t kdtT t T

= −−

ln[ ( ) ]sT t T kt c− = − +

( )( ) kt csT t T e − +− =

1( ) ktsT t T c e−= +

พิจารณาที่ 0t = จะได 1(0) sT T c= + ฉะนั้น 1 (0) sc T T= − เมื่อแทนคา 1c กลับลงในสมการ จะไดผลเฉลยดังนี้

( ) [ (0) ] kts sT t T T T e−= + − (1.4)

เราสามารถหาคา k ไดโดยเริ่มตนจากการพิจารณาคา ( )T t ที่เวลา 1t และ 2t ดังนี้ 1

1( ) [ (0) ] kts sT t T T T e−= + −

22( ) [ (0) ] kt

s sT t T T T e−= + −

นําสมการทั้งสองมาหารกัน (ยายขางคาของ sT กอน) จะได

1 2( )1

2

( )( )

k t ts

s

T t T eT t T

− −−=

− (1.5)

ดังนั้น

1

2 1 2

1 ( )ln( )

s

s

T t Tkt t T t T

−=

− − (1.6)

ตัวอยาง 1.1 ■■

สมมุติวามีผูพบศพผูเสียชีวิตจากการฆาตกรรมในโรงแรมแหงหนึ่งในชวงเชาเวลา 09.00 นาฬิกา ตรวจพบวารางกายของศพมีอุณหภูมิเทากับ 33 องศาเซลเซียส และอีกสองชั่วโมงตอมาพบวาศพ มีอุณหภูมิลดลงเหลือเปน 30 องศาเซลเซียส ทั้งนี้ อุณหภูมิภายในหองมีคาคงที่เทากับ 25 องศา จงหาวาผูเสียชีวิตถูกฆาตกรรมเวลากี่นาฬิกา

วิธีทํา

ใชสมการที่ 1.6 เพื่อคํานวณคาคงที่ k

บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 5

1

2 1 2

1 ( )ln( )

s

s

T t Tkt t T t T

−=

− −

จากโจทย 1 9t = 2 11t = 1( ) 33T t = 2( ) 30T t = และ 25sT = ฉะนั้น

1 33 25ln 0.2352 30 25

k −= =

−

สมมุติวาผูเสียชีวิตกอนถูกฆาตกรรมมีอุณหภูมิเทาคนปกติคือ 37 องศาเซลเซียส จากสมการที่ 1.6

12 1

2

1 ( )ln( )

s

s

T t Tt tk T t T

−− =

−

จากโจทย 2 9t = 1( ) 37T t = 2( ) 33T t = 0.235k = และ 25sT = ฉะนั้น

11 37 259 ln

0.235 33 25t −

− =−

1 7.2746t =

ดังนั้น เราประมาณไดวาฆาตกรรมเกิดขึ้นเวลา 07.16 นาฬิกา

1.3 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equation: ODE) คือ สมการที่แสดงความสัมพันธระหวางฟงกชันไมทราบคาฟงกชันหนึ่งกับคาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของมัน โดยสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับที่ n หรือเรียกโดยยอวา ODE อันดับที่ n สามารถเขียนเปนสมการไดดังนี ้

( )( ), , , , 0nF x y y y′ =K (1.7)

โดย y เปนฟงกชันของ x , dyydx

′ = คืออนุพันธอันดับที่หนึ่งเมื่อเทียบกับ x และ ( )n

nn

d yydx

=

คืออนุพันธอันดับที่ n เมื่อเทียบกับ x จะเห็นวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธคืออันดับสูงสุดของอนุพันธที่กระทํากับฟงกชัน y และนอกเหนือจากคําวา อันดับของสมการเชิงอนุพันธแลว เรายังมีการนิยามคําวา ระดับขั้น (degree) เพื่อใชระบุวาพจนของสมการเชิงอนุพันธที่มีอันดับสูงสุดมีคายกกําลังเทาใด

6 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

1.3.1 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน

สมการเชิงอนุพันธสามัญจะจัดวา เปน สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน (linear differential equation) ที่มีอันดับเทากับ n ไดหากสามารถเขียนไดในรูปตอไปนี้

1

1 1 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y f xdx dx dx

−

− −+ + + + =K (1.8)

หรือจะเขียนในอีกรูปหนึ่งไดคือ

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n na x y a x y a x y a x y f x−− ′+ + + + =K (1.9)

ใหสังเกตวาในสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนนั้นจะตองมีคุณลักษณะดังตอไปนี้

1. ฟงกชัน y และอนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y จะมีคายกกําลังเปน 1 เสมอ

2. ตองไมปรากฏมีพจนที่เปนคาการคูณกันของฟงกชัน y หรืออนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y แตอยางใด ตัวอยางเชน ตองไมมี yy′ ในสมการ เปนตน

3. ตองไมปรากฏมีฟงกชันอดิศัย1 (transcendental function) ของฟงกชัน y หรืออนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y ตัวอยางเชน ตองไมมี sin( )y log( )y หรือ ye ปรากฏอยูในสมการ

ตัวอยาง 1.2 ■■

จงพิจารณาวาสมการเชิงอนุพันธสามัญตอไปนี้จัดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนหรือไมเชิงเสน จากนั้นระบุอันดับ และระดับขั้นของสมการดังกลาว

(ก) 2

2 4 2 sin( )d y dyx y xdx dx

+ + =

(ข) ( )2 2 22 0y x yy x y′′ ′′′+ + =

1 ฟงกชันอดิสัย (transcendental function) หมายถึงฟงกชันที่ไมใชฟงกชันพีชคณิต (algebraic function) กลาวคือ เปนฟงกชันที่ไมสามารถ

เขียนในรูปพีชคณิต ตัวอยางของฟงกชันอดิสัย ไดแก ฟงกชันเลขชี้กําลัง (exponential function) และฟงกชันตรีโกณมิติ (trigonometric function)

บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 7

วิธีทํา

(ก) จัดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะมีรูปแบบตรงตามนิยามในสมการ 1.8 สังเกตวา แมสมการนี้จะมีฟงกชันอดิศัยปรากฏอยู คือ sin( )x แตยังจัดวาเปนสมการเชิงเสนไดเพราะฟงกชันอดิศัยนี้มิไดเปนฟงกชันของตัวแปร y สมการนี้มีอันดับเทากับ 2 และระดับขั้นเทากับ 1

(ข) จัดเปนสมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสน เพราะมีทั้งพจนยกกําลังสองของ y′′ และการคูณกันของ y และ y′′′ ซ่ึงไมสอดคลองตามนิยามในสมการ 1.8 สมการนี้มีอันดับเทากับ 3 และระดับขั้นเทากับ 1

ตัวอยาง 1.3 ■■

พิจารณาตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งที่เรียบงายตอไปนี้

6y x′ =

จงหาผลเฉลยของสมการพรอมวาดกราฟประกอบ

วิธีทํา

จัดรูปสมการใหมเปน

6dy x dx= ⋅

หาคาปริพันธของสมการทั้งสองดานจะได

6dy x dx= ⋅∫ ∫

23y x c= +

พิจารณาจากผลเฉลยที่ไดจะเห็นวามี c ซ่ึงเปนคาคงตัวที่ยังไมไดเจาะจงปรากฏอยู ดังนั้น เมื่อนําผลเฉลยไปวาดเปนกราฟจะไดเปนกราฟพาราโบลาที่มีจุดตัดแกน y ที่แตกตางกันตามคาของ c

8 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-20

0

20

40

60

80

y

x

0c = 20c = −

20c =

รูปท่ี 1.2 เสนกราฟ 23y x c= + สําหรับคา c ตาง ๆ กัน

ตัวอยาง 1.4 ■■

พิจารณาตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งตอไปนี้

5y y′ =

จงหาผลเฉลยของสมการพรอมวาดกราฟประกอบ

วิธีทํา

จัดรูปสมการใหมเปน

5dy dxy=

หาคาปริพันธของสมการทั้งสองดานจะได

1 5dy dxy

=∫ ∫

ln 5 lny x c= +

เราสามารถเขียนผลเฉลยของสมการนี้ไดในรูป

5xy ce=

บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 9

ผลเฉลยที่ไดแสดงใหเห็นวาเปนฟงกชันเลขชี้กําลังที่ถูกคูณดวยคาคงตัวไมเจาะจง c และเมื่อนํามาวาดเปนกราฟจะเปนเสนที่มีความโคงมากนอยตางกัน ดังแสดงในรูปที่ 1.3 จากตัวอยางนี้เราสามารถขยายผลตอไดวาสมการ y ky′ = จะมีผลเฉลยในรูป kxy ce= โดย k เปนคาคงตัว

20c = −

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80 20c =

5c =

5c = −

10c = −

10c =

y

x

รูปท่ี 1.3 เสนกราฟ 5xy ce= สําหรับคา c ตาง ๆ กัน

คําตอบของผลเฉลยที่ไดในตัวอยางทั้งสองตัวอยางแสดงอยูในรูปของ ผลเฉลยท่ัวไป (general solution) กลาวคือ ผลเฉลยจะตองมีคาคงตัวไมเจาะจงปรากฏอยูในผลเฉลยอยางนอยหนึ่งตัวเสมอ แตเมื่อมีการแทนคาคงตัวไมเจาะจงดวยตัวเลขคาหนึ่งแลว ผลเฉลยที่ไดจะเรียกวา ผลเฉลยเฉพาะราย (particular solution) วิธีการหนึ่งที่สามารถนํามาใชในการกําหนดคาตัวเลขใหกับคาคงตัวไมเจาะจงคือ การระบุความตองการเพิ่มเติมวาใหผลเฉลยตองตัดผานจุด 0 0( , )x y จุดหนึ่งที่กําหนด หรือมักจะกําหนดในรูปของเงื่อนไขคาตั้งตน (initial condition) ของระบบก็ได

1.3.2 การทวนสอบวาฟงกชันเปนผลเฉลยจริงของสมการเชิงอนุพันธ

หากเรารูผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญสมการหนึ่งแลว เราสามารถทวนสอบ (verify) ไดวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยที่แทจริงของสมการเชิงอนุพันธสามัญดังกลาวหรือไม โดยวิธีการงาย ๆ คือ หาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของฟงกชันนั้น แลวแทนคากลับลงในพจนตาง ๆ ของสมการเชิงอนุพันธที่จะทวนสอบ หากพบวาคาของสมการทั้งสองดานมีคาเทากันก็แสดงวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยจริง

10 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

ตัวอยาง 1.5 ■■

จงทวนสอบ (verify) ดูวา 21 2

x xy c e c e−= + เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองตอไปนี้

2 0y y y′′ ′− − =

สําหรับคาคงตัว 1c และ 2c ใด ๆ

วิธีทํา

จากฟงกชัน 21 2

x xy c e c e−= + ที่โจทยกําหนดให เราหาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองไดเปน

21 22x xy c e c e−′ = − +

21 24x xy c e c e−′′ = +

เมื่อแทน y′ และ y′′ ลงในสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองดานซายมือของสมการจะได

( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 24 2 2x x x x x xc e c e c e c e c e c e− − −+ − − + − +

( ) ( ) 21 1 2 2 2 22 4 2 2x xc c c e c c c e−= + − + − −

0=

ซ่ึงมีคาเปนศูนย ดังนั้น เราจึงสรุปไดวา

21 2

x xy c e c e−= + เปนผลเฉลยของสมการ 2 0y y y′′ ′− − = จริง

โจทยตัวอยางขอนี้แสดงใหเห็นวาถาเรารูผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญสมการหนึ่งแลว เราสามารถทวนสอบวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยที่แทจริงของสมการเชิงอนุพันธสามัญดังกลาวหรือไม เปนเรื่องที่งายและเปนประโยชนในการตรวจสอบคําตอบ

ใหสังเกตวาสมการในตัวอยาง 1.3 และ 1.4 ซ่ึงเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจง 1 ตัว และสมการในตัวอยาง 1.5 ซ่ึงเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจง 2 ตัว เราพบวาในกรณีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ n จะใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจงจํานวน n ตัว

บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 11

1.3.3 การหาสมการเชิงอนุพันธจากฟงกชันผลเฉลย

นอกจากการทวนสอบวาผลเฉลยสอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธสามัญที่กําหนดมาใหเปนเรื่องงายแลว เรายังพบอีกวาถารูผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ เราจะสามารถหาสมการเชิงอนุพันธไดดวยเชนกัน วิธีการคือใหหาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของฟงกชันผลเฉลยที่ได แลวพยายามกําจัดคาคงตัวไมเจาะจงออกไปจากสมการ

ตัวอยาง 1.6 ■■

จงหาสมการเชิงอนุพันธอันดับสองที่มีผลเฉลยดังตอไปนี ้

cosxy ae b x= +

โดยที่ a และ b เปนคาคงตัวไมเจาะจง

วิธีทํา

หาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองไดผลดังนี ้

sinxy ae b x′ = −

cosxy ae b x′′ = −

กําจัดคาคงตัว b โดยนํา y และ y′′ มาบวกกันและจัดพจนเพื่อหาคา a

( )2 x

y yae′′+

=

กําจัดคาคงตัว a โดยนํา y และ y′′ มาลบกันและจัดพจนเพื่อหาคา b

( )2cosy yb

x′′−

=

แทนคา a และ b ที่ไดลงในสมการผลเฉลย cosxy ae b x= + และนําไปแทนลงในสมการ sinxy ae b x′ = − ผลที่ไดคือ

( ) ( ) sin2 2cos

xx

y y y yy e xe x′′ ′′+ −′ = −

12 สมการเชิงอนุพันธสามัญ

1 1( ) ( ) tan2 2

y y y y x′′ ′′= + − −

จัดรูปสมการใหมได

[1 tan ] 2 [1 tan ] 0x y y x y′′ ′+ − + − =

1.3.4 แนวทางการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

สมการเชิงอนุพันธสามัญมีรูปแบบที่เปนไปไดจํานวนมากทั้งที่เปนเชิงเสนและไมเปนเชิงเสน มีอันดับที่แตกตางกันไดมากมายตั้งแตอันดับหนึ่ง อันดับสอง ไปจนถึงอันดับที่สูงกวานี้ ดังนั้น การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญจึงเปนเรื่องยุงยากซับซอนมาก ดังนั้น โดยทั่วไปจึงมักจะแบงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญออกเปนประเภทยอย และแยกการวิเคราะหสมการเชิงอนุพันธสามัญแตละประเภทดวยวิธีหรือเทคนิคที่แตกตางกัน ในที่นี้ไดแบงประเภทของปญหาสมการเชิงอนุพันธสามัญโดยใชเกณฑตามอันดับของสมการ กลาวคือ จะเร่ิมตนจากการพิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งกอน ซ่ึงเปนเนื้อหาที่บรรจุไวในบทที่ 2 จากนั้นจะไดศึกษาถึงสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองในบทที่ 3 และสําหรับสมการเชิงอนุพันธสามัญที่มีอันดับสูงขึ้นไปจะไดกลาวถึงในบทที่ 4