@ Mat250 matematicas financieras i (inters compuesto)

UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO” FACULTAD: “CONTADURIA PUBLICA” FACULTAD: “CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS”

APUNTES TEORICOS Y PRACTICOS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MAT 250

CONTIENE:

· INTERES COMPUESTO. o Tasa Efectivas y nominales o Operaciones a Interés compuesto o Descuento Compuesto o Ecuaciones de Valor Equivalente

ALUMNO: GRUPO: Elaborado Por: Ing. José Morón Rossel Correo: [email protected] Docente Titular “B” Web: www.j-moron.blogspot.com

SANTA CRUZ - BOLIVIA

Click h

ere to

buy

ABB

YY PDF Transformer 3.0

www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABB


www.ABBYY.com

mailto:[email protected]

http://buy.abbyy.com/content/pdftransformer/default.aspx


U.A.G.R.M GESTION 2010 APUNTES MATEMÁTICAS FINANCIERAS MAT 250

Ing. José Morón Rossel; Docente titular “B” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas (PAG 2)

UND. No 3 OPERACIONES FINANCIERAS A INTERÉS COMPUESTO 3.1.0 Interés compuesto Cuando el número de periodos tiende a ser largo los intereses de un periodo anterior ganan intereses, razón por la cual al cálculo de VP, VF, n, se lo denomina a interés compuesto.

Cuando el interés devengado (Ganado en un periodo simple), forma parte del capital después de un periodo estipulado se dice que el interés es capitalizado o convertible en otro capital para formar un nuevo interés.

OBJETIVO:- Es aprender con criterio a analizar y aplicar las formulas adecuadas para el calculo de aplicaciones financieras mediante interés compuesto. DEFINICION.- El interés compuesto esta definido como una función que básicamente depende: Un capital inicial y el monto futuro calculado a interés compuesto.

; (1 )nSi I F P F P i= - Þ = + Donde: F=Valor futuro; P=Valor presente; i=Tasa de interés efectiva n=# de periodos capitalizables

Comparación entre interés simple e interés compuesto Dado que la relaciones de monto final es: A Interés simple ( ) ( )1F P in f n= + = A Interés Compuesto, ( ) ( )1 nF P i f n= + = . Conclusión: El valor final a interés compuesto es mayor que a interés simple Fc > Fs. 3.2.0 TASAS DE INTERES COMPUESTO.- Es un valor o coeficiente porcentual que mide o determina el rendimiento del dinero por cada 100 unidades, y por unidad de tiempo y capitalizable en un periodo TASA NOMINAL (j): Es aquella que esta escrita en los documentos pero que no actúa en las formulas de calculo por lo que se tiene que cambiar a efectiva. (Convencionalmente es anual respecto a un periodo) P/ej. j =12% anual capitalizable c/ 6 meses TASA EFECTIVA (i): Es aquella que realmente actúa en las formulas o factores de calculo.

P/ej. i =12% anual capitalizable c/ Año TASAS EQUIVALENTES.- Es la equivalencia de la nominal a la efectiva

P/ej. La tasa nominal del ejemplo anterior es equivalente a:

j =12% anual capitalizable c/ 6 meses Û jim

= =6% semestral c/6meses

F

Interes compuesto

Interes simple

CF

SF

0tT

Click h

ere to

buy

ABB


www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABB


www.ABBYY.com




Ing. José Morón Rossel; Docente titular “B” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas (PAG: 3 )

RELACION DE TASAS NOMINAL Y EFECTIVA: La relación entre las dos tasa se determina mediante:

De nominal anual (j) a efectiva sobre su periodo (i): ; / ji p e r io d o c p e r io d om

=

De nominal anual (j) a efectiva anual (i): 1 1 ; / mji A n u a l c a ñ o

mæ ö= + -ç ÷è ø

De efectiva anual (i) a nominal anual (j): ( 1 1); / mJ m i Anual c n de periodos= + -

Donde: i=Tasa efectiva; J= tasa nominal anual, m= n# de periodos en un año. Ejemplos:

1).- En un documento figura una tasa nominal de 18% cc/mes; ¿calcular la tasa efectiva sobre el periodo de capitalización (mes)?

Solución: Û 1812

jim

= = =1.5% mensual c/mes

2).- En un documento figura una tasa nominal de 18% cc/mes; ¿calcular la tasa efectiva anual?

Solución: Û 120.181 1 1 1

12

mjim

æ ö æ ö= + - = + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

=0.1956 unitaria Û 19.56% año c/año

A B C D1 Tasa Nomina No de periodos Tasa efectiva Formula2 12% 2 12.36% INT.EFECTIVO(A2;B2)

3).- En un documento figura una tasa efectiva de 18% cc/año; ¿Calcular la tasa nominal anual, capitalizable cada bimestre? Solución: Þ 2( 1 1) 2( 1 0.18 1)mJ m i= + - = + - =0.1726 unitaria Û 17.26% año c/bimestre

A B C D1 Tasa Efec Anual Periodos en 1 año Tasa Nominal c/A Formula2 12.36% 2 12.00% TASA.NOMINAL(B2,C2)

TASA INSTANTANEA- Se trata de calcular la tasa efectiva anual cuando la tasa nominal esta expresada en % nominal anual capitalizable cada instante.

Si a la tasa efectiva (i): 1 1 1mj ji e

mmæ ö= + - = -ç ÷è ø® ¥

lim luego j = tasa nominalDonde

e = 2.71828; base log.ìíî

; :ji = e -1

Ejemplo: 1).- Si la tasa nominal es del 18% capitalizable continuamente; ¿Calcular la tasa de interés efectiva anual equivalente? Solución: ( )0 181 2 7182 1jSi i e i= - Þ = -

.; . = 0.1972 unitaria Û 19.72% anual c/c/año

Click h

ere to

buy

ABB


www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABB


www.ABBYY.com





FORMULAS DERIVADAS:

Notación estándar: ( / , , )F P F P i n= adecuada para simplificar las formulas tradicionales. En el presente curso se aplicara el uso de calculadoras financieras, científicas y las hojas de calculo EXCEL. Ejemplos de interés compuesto: 1.- En que valor se convierte una deuda de $1,000 al cabo de 2 años y con una tasa de interés del 12% anual capitalizable o convertible semestralmente.

a) Solución mediante Interés simple F = 1000(1+0.06*4)=1240$ b) Solución mediante Interés compuesto y por periodos.

No de Periodos Capital inicial presente Interés en el periodo Capital mas interés

1 1000 60 1060 2 1060 63.6 1123.6 3 1123.6 67.416 1191.016 4 1191.016 71.461 1262.477

c) Solución mediante Interés compuesto:

4

1000 6 41 1000 1 0 06 1262 48

$, % / , ,( ) ( . ) . $n

Si P i cc año n añosF P i= = =

Þ = + = + = Ö

2.- Se quiere disponer de 15000$ dentro de seis años y medio. ¿Cuanto de dinero tendrá que prestar o depositar a una cooperativa que paga el 5% capitalizable cada año?.

Solución: 6 5

15000 5 6 5

1 115000 15000 0 7282 10923 481 1 0 05

.

$, % / , . ,

( . ) . $.

n

Si F i cc año n años

P Fi

= = =

æ ö æ öÞ = = = =ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø

Ö

3.- Se quiere disponer de 15000$ dentro de seis años y medio. ¿Cuanto se pagara de interés de tal manera de que el desembolso presente de la cooperativa sea de 12500$?.

Solución: 6 5

15000 12500 6 5

150001 1 0 02812500

=28.4%.

$, $, ? % / , . ,

.n

Si F P i cc año n años

Fi i unitp

= = = =

Þ = - = = - = Ö

4.- Calcular el tiempo en años para que 10925.48$, y depositador en una caja de ahorros se conviertan en 15000$ a una tasa del 6.5% a/a.

Solución: 1 5 0 0 0 1 0 9 2 3 4 8 5

1 5 0 0 0 1 0 9 2 3 4 8 6 51 1 0 0 5

$ , . $ , % / , ? ,ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( . ) .

ln ( ) ln ( . )

S i F P i cc a ñ o n a ñ o sF pn A ño s

i

= = = =- -

Þ = = =+ +

Ö

DESCRIPCION Valor Futuro Valor presente Tasa No de periodos FORMULA (1 )nF P i= +

1

1

n

P Fi

æ ö= ç ÷+è ø 1n

fip

= - 1ln( ) ln( )

ln( )F pn

i-

=+

Notación Estándar ( / , , )F P F P i n= ( / , , )P F P F i n= * *

Click h

ere to

buy

ABB


www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABB


www.ABBYY.com




Ing. José Morón Rossel; Docente titular “B” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas (PAG: 5 )

5.- Calcular el valor presente y futuro para obtener un interés de 860$ al cabo de 2 años y medio a una tasa del 14% capitalizable c/ semestre.

Solución :

4

860 7 4

1 1860 860 3 2175 2767 051 1 1 0 07 1n

Si I F P I i Semestral cc Semestre n Semestres

P Ii

= - = = =

æ ö æ öÞ = = = =ç ÷ ç ÷+ - + -è ø è ø

\

; $, % / ,

( . ) . $( ) ( . )

Ö

6.- Problema de estudio de alternativas: (Plantear) 7.- Problema para aumentar el monto futuro una proporción respecto al presente. (Plantear) 3.3.0 INTERES COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS- VALOR FUTURO.- En situaciones donde el tiempo total de cálculo esta expresado en periodos con fracciones (no enteros), se acostumbra a calcular el valor futuro de la siguiente manera:

a) Sistema de capitalización comercial o mixta.- Consiste en calcular el monto Con interés

compuesto para los periodos de capitalización enteros y con interés simple las fracciones de tiempo o periodos

( ) ( )1 1nc s cF P i F F F in

Donde Futuro con interes compueto Futuro con interes simple= + Þ = = +

= =c s

F F

;: ;

b) Sistema de capitalización teórico.- El monto debe calcularse a interés compuesto para el total de periodos, incluida la fracción o valor decimal.

VALOR PRESENTE.- En situaciones donde el tiempo total de calculo esta expresado en periodos con fracciones (no enteros), se acostumbra a calcular el valor presente de la siguiente manera:

a) Sistema de capitalización comercial o mixta.- Consiste en calcular el valor presente con interés compuesto para los periodos de capitalización enteros y con interés simple las fracciones de tiempo o periodos

1 11 1

n

c s cSi P F P Pi in

Donde Presente con interes compueto Presente con interes simple

æ ö æ ö= Þ =ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø= =c s

P P

; ;

: ;

b) Sistema de capitalización teórico.- El monto debe calcularse a interés compuesto para el total de periodos, incluida la fracción.

Ejemplo 1.- Calcular el valor futuro de 4500$, a una tasa efectiva anual de 4% durante dos años y tres meses: Solución:

( ) ( ) ( )2

4500 4 231 4500 1 0 04 4867 2 1 4867 2 1 0 04

12n

c s c

DATOS Si P i anual n años y tres meses

F P i F F in

= = =

æ öÞ = + = + = Þ = + = + ´ =ç ÷è ø

: $, % ,

. . $; . . 4915.87$ Ö

Click h

ere to

buy

ABB


www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABB


www.ABBYY.com





3.4.0 DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO.- Teóricamente es la diferencia entre el valor futuro y el valor presente.

Valor presente de una deuda que devenga intereses.- Significa que primero se calcula el valor futuro al tiempo de vencimiento, (valor nominal), luego se calcula el valor presente o actual.

a) Sistema de descuento verdadero.- Teóricamente es la diferencia entre el valor futuro y el valor presente.

( )1 1 11

nn i Tasa efec de descuento

Si D F P P F D F i Dondei n Periodos de descuento

- =ìæ ö é ù= - Ù = Þ = - + Þ íç ÷ ë û+ =è ø î

;

.

; ; :

b) Sistema de descuento Bancario Compuesto.- Es el que se calcula sobre el monto de la deuda, a una tasa de descuento d. Esta forma de descuento es poco frecuente. ( )1 n

L NV V d= -

Ejemplo.- Un pagare firmado por 800$, a 5 años plazo y una tasa del 7% , es vendido dos años antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 8% capitalizable semestralmente. ¿Calcular el valor actual y el respectivo descuento compuesto por efectuar dicha transacción? Solución:

5 5

2 2

1 8000 1 0 07 8000 1 4026 11220 41

1 111220 41 11220 41 0 8548 9591 261 1 0 04

n

n

Valor Futuro F P i F

Valor Actual P F Pi

Luego el descuento compuesto sera D VF VP

= + Þ = + = =

é ù æ ö= Þ = = =ç ÷ê ú+ +ë û è ø= =

5

4

( ) ; ( . ) ( . ) . $

; . . ( . ) . $.

: - 11220 41 9591 26 =. - . 1629.15$

3.5.0 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES.- Considerando que todos los movimientos de flujo de dinero en el tiempo deben mantener un equilibrio de sumas respecto a una fecha focal, los problemas para analizar son:

1) Establecer el valor que debe pagase en determinada fecha, equivalente al valor de un conjunto o serie de obligaciones que vencen en diferentes fechas. (focal)

2) Determinar la fecha de vencimiento promedio en que se puede cancelar, mediante un pago único

igual a la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen distintas fechas de vencimiento. El tiempo por transcurrir hasta la fecha de vencimiento promedio se define como tiempo equivalente.

Ejemplos: 1.- Las deudas de una persona están firmadas de la siguiente manera 1,000$ debe pagar dentro de tres años. 2,500$ dentro de 6 años, ¿Calcular el monto equivalente si es que se quiere liquidar la deuda al final del año 5 con el consentimiento de su acreedor, y a una tasa del 6% capitalizable cada cuatro meses?

(Hacer el respectivo diagrama) Rep.: X (5) = 3,481.9$Ö

2.- Para el siguiente conjunto de obligaciones del diagrama se pide:

a) El monto equivalente para liquidar las obligaciones al final del año 5, con una tasa de interés del 8% anual. Rep.: X (5) = 21,589.52$ Ö b) La fecha de vencimiento promedio en que se puede cancelar mediante un pago único igual a la suma de los valores del conjunto de obligaciones del diagrama a una tasa del 8% anual Rep.: n(x) = 5.24 años Ö

2 3 4 5 6 7 80 1

8000$ 4000$ Xn

==

??

10000$

Click h

ere to

buy

ABB


www.ABBYY.comClic

k here

to buy

ABB


www.ABBYY.com



Education

@ Mat250 matematicas financieras i (inters compuesto)