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CICLOS ECONÓMICOS DE CHRISTIANO, ECUACIÓN DE BELMAN, SISTEMA DE ECUACIONES QUE CARACTERIZA LA ECONOMÍA, INTRODUCCIÓN A LA LOG-LINEALIZACIÓN, BCRP, UNI, LAMBDA
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MODELO DSGE - REAL BUSINESSCYCLE (RBC)
PERCY HUAMÁN PALOMINO∗
June 12, 2014
La macroeconomía moderna sigue avanzando a grandes pasos, cada vez que surgen nuevas crísis, nacenteorías o mejoran los modelos bases y se van haciendo cada vez mas complejos en su solución. La Programa-ción Dinámica vía Ecuación de Bellman, es una a herramienta o técnica para resolver problemas dinámicosestocásticos; entre ellos los Modelos de Equilibrio General Dinámicos (DSGE), Modelos Bayesianos.
Nos permite simplificar modelos complejos de infinitos períodos a modelos simples de dos períodos. Ade-más en este documento presentamos un caso práctico de como resolver modelos de equilibrio general enincertidumbre, desde la óptica de un Planificador Social.
∗Economista y Administrador de Negocios; estudios: Economía Avanzada en Banco Central de Reserva del Perú -BCRP, Derecho Económico en Escuela Nacional de la Competencia y Propiedad Intelectual - INDECOPI, ambos cursosde extensiones universitarias y la Licenciatura en la Universidad Nacional Federico Villarreal. Cualquier comentario y/osugerencia a [email protected] o visite esta página www.facebook.com/EconomiaParaTuV ida.
1
Part I
CICLOS ECONÓMICOS DE CHRISTIANO (2001)
LAS FAMILIAS
J = E0
{ ∞∑t=0
βt
[C1−γt
1− γ
]}
s.a.
Ct +Kt+1 − (1− δ)Kt = A1−αt Kα
t
E0, Información del valor esperado en el momento cero.Donde: γ Medida de Aversión Relativa Constante.γ = Ct
U ′′(Ct)U ′(Ct)
PRODUCCIÓNYt = A1−α
t Kαt
Choque de productividad:
lnAt+1 = ρlnAt + εt
At, tecnología, εt ∼ N(0, σ2ε)
Part II
PASOS DE SOLUCIÓN
Se sigue los siguientes pasos para resolver este tipo de modelos DSGE:
• Obtener las condiciones de primer órden (trayectorias óptimas). Hay dos caminos por ProgramaciónDinámica (ecuación de Bellman) o por método del Langrageano.
• Escribir todas las ecuaciones del sistema que forman la economía.
• Hallar el estado estacionario.
• Linealizar el sistema de ecuaciones respecto al estado estacionario- Loglinealización con aproximaciónde Taylor de primer órden (Métodos Númericos).
• Trabajar en Dynare - MATLAB; Analizar correlaciones, volatilidades y funciones IMPULSO - RE-SPUESTA.
ECUACIÓN DE BELMAN
Vt(Ct,Kt+1) = MaxCt,Kt+1
{U(Ct) + βVt+1(Ct+1,Kt+2)} (1)
Kt+1 = A1−αt Kα
t + (1− δ)Kt − Ct (2)
Veamos las Condiciones de primer órden (CPO):
∂Vt(Ct,Kt+1)∂Kt+1
= ∂U(Ct)∂Ct
∂Ct∂Kt+1︸ ︷︷ ︸+β
{∂Vt+1(Ct+1,Kt+2)
∂Kt+1
}= 0 (3)
Donde ∂ct∂Kt+1
= −1, acontinuación optimizo la ecuación de Bellman respecto al ahorro del periódot.
2
∂Vt(Ct,Kt+1)∂Kt
= ∂U(ct)∂Ct
∂Ct∂Kt︸︷︷︸+β∂Vt+1(Ct+1,Kt+2)
∂Kt(4)
Sea
∂Ct∂Kt︸︷︷︸ = αA1−α
t Kα−1t + (1− δ)
,Iteramos un periódo la última expresión (buscamos ∂Vt+1(Ct+1,Kt+2)∂Kt+1
)
y remplazamos en (3) :
∂Vt+1(Ct+1,Kt+2)∂Kt+1
= ∂U(Ct+1)∂Ct+1
∂Ct+1
∂Kt+1︸ ︷︷ ︸+β∂Vt+2(Ct+2,Kt+3)∂Kt+1
= ∂U(Ct+1)∂Ct+1
{αA1−α
t+1 Kα−1t+1 + (1− δ)
}(5)
∂Vt(Ct,Kt+1)∂Kt+1
= ∂U(Ct)∂Ct
{−1}︸ ︷︷ ︸+β{∂U(Ct+1)∂Ct+1
{αA1−α
t+1 Kα−1t+1 + (1− δ)
}}= 0
∂U(Ct)∂Ct
= βEt
{∂U(Ct+1)∂Ct+1
{αA1−α
t+1 Kα−1t+1 + (1− δ)
}}(6)
Se obtiene la Siguiente Ecuación Euler:
1 = βEt
{(CtCt+1
)γ {αA1−α
t+1 Kα−1t+1 + (1− δ)
}}(7)
SISTEMA DE ECUACIONES QUE CARACTERIZA LA ECONOMÍA.
1. 1 = βEt
{(CtCt+1
)γ {αA1−α
t+1 Kα−1t+1 + (1− δ)
}}, Ecuación de Euler
2. Kt+1 = A1−αt Kα
t + (1− δ)Kt − Ct, Restricción presupuestaria.
3. Yt = A1−αt Kα
t ,Función de producción.
4. lnAt+1 = ρlnAt + εt,Donde εt ∼ N(0, σ2ε) evolución de la productividad.
5. It = Yt − Ct, El nivel de ahorro, es igual a la inversión en una economía cerrada.
ESTADO ESTACIONARIO
En el estado estacionario las variables sólo dependen de los parámetros.
1. Ass = 1
2. Kss =[
1−β(1−δ)βα
] 1α−1
3. Yss = A1−αss Kα
ss
4. Css = Yss − δKss
5. Iss = Yss − Css
3
INTRODUCCIÓN A LA LOG-LINEALIZACIÓNEs una herramienta que se utiliza para resolver ecuaciones de órden superior, se puede aproximar modelosde Equilibrio General Dinámico Estocástico (DSGE) y No linealesa.
Se linealiza entorno al estado estacionario, Veamos:
Xt: Una variable estrictamente positiva.xt = lnXt − lnX, X; es el estado estacionario.Para valores pequeños de Xt;ln(1 + xt) = Xt
xt = lnXt − lnX = ln(XtX
)= ln
Xt
X− 1︸ ︷︷ ︸+1
Xt
X− 1︸ ︷︷ ︸ = Xt−X
X= 4%Xt, respecto al estado estacionario.
xt = ln (4%Xt + 1) ≈ 4%Xt
METODO SIMPLEXt = Xt
XX = Xe
ln(Xt
X
)= Xext
Por lo tanto; Xt = Xext
APROXIMACIÓN DE TAYLOR (nos interesa la parte lineal)
f(Xt) ≈ f(X) + f ′(X)1! (Xt −X)︸ ︷︷ ︸+ f ′′(X)
2! (Xt −X)2 + f(3)(X)3! (Xt −X)3 + · · ·
f(Xt) ≈ f(X) + f ′(X)1! (Xt −X)︸ ︷︷ ︸
Ejemplo: x = 0Xt = Xext ≈ Xe0 +Xe0(x− 0) ≈ X(x+ 1)REGLAS PRACTICASXt ≈ X(x+ 1)XtYt ≈ XY (x+ y + 1)XtYt
= X
Y(x− y + 1)
Xαt = X
α(1 + αx)aProfesor Hugo, una consulta, por favor; en un modelo pequeño con choque de productividad, los gráficos de las funciones
Impulso - Respuesta de la variables deberían ser muy semejantes, es decir la linearizadas y no linealizadas?, el choque deproductividad en el consumo linearizada es positivo y mientras en la no linearizada el impacto es negativo. El resto de variablestienen similares impactos. Otra consulta: cuando hace mejor ajuste la linearización, en modelos grandes o pequeños? Graciaspor su respuesta!
Deberían ser similares, sería raro que efectos de segundo o mayor orden cambien el signo de la respuesta. Aún así, se puededar.Y el tema de linealizar o no es un tema que depende de las ecuaciones del modelo y qué tan fuerte sean las no linealidades,no el tamaño del modelo. Los modelos generalmente tratan de capturar las relaciones entre variables que se observan en losdatos. Estas relaciones tienden a a ser no lineales y por eso un modelo no lineal en términos generales debería tener mejorbondad de ajuste. Sin embargo, un modelo no lineal grande podría ser difícil de estimar en comparación a un modelo lineal.Por esta razón se prefieren modelos lineales, muchos modelos en su versión no lineal no pueden estimarse.
LINEARIZACIÓN DE LAS ECUACIONES RESPECTO AL ESTADO ESTACIONARIO
yt = (1− α)at + αkt (8)
at+1 = ρat + εt (9)
kt = YssδKss
yt −CssδKss
ct (10)
γ(ct+1 − ct) =α(YssKss
)(yt+1 − kt+1)
α(YssKss
)+ 1− δ
(11)
4
it = YssIss
yt −CssIss
ct (12)
Part III
TRABAJO EN DYNARE - MATLAB
Para llevar a las conclusiones del paper de Christiano (2001), habría que reemplazar los paramétros con lascalibraciones del paper. En este caso, no necesariamente son sus calibraciones, el objetivo es familiarizarsecon la resolución de estos modelos desde su versión mas simple.
Veamos los datos de calibraciones del paper de MODELO GREENWOOD-HERCOWITZ - HUFF-MAN(1988) y de MODELO DE COOLEY-PRESCOTT:
CUADRO: CALIBRACIONES (VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS LOG- LINEALIZADAS).VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS SÍMBOLO DEL PARÁMETRO VALORc: consumo β: Factor de descuento 0.987y: producto α: Participac. del capital en producción 0.64k: capital δ: Tasa de depreciación del capital 0.25i: inversión ρ:: Persistencia del choque 0.95a: productividad σ: Desviación estándar del choque 0.007e: choque γ: Grado de aversión al riesgo 1.00
Fuente: Elaboración propia.
STEADY-STATE RESULTSVARIABLE RESULTADO
c -1.903i 6.7572y 4.85421k 11.8048a 1
APROXIMATED THEORETICAL MOMENTSVARIABLE MEAN STD. DEV. VARIANCE
c -1.9034 0.0359 0.0013i 6.7586 0.1316 0.0173y 4.8552 0.0959 0.0092k 11.8074 0.2331 0.0543a 1.0003 0.0224 0.0005
Fuente: Elaboración propia.
FUNCIONES IMPULSO - RESPUESTA
5
10 20 30 40−0.01
−0.005
0Consumo
10 20 30 400
0.01
0.02
0.03Ahorro − Inversión
10 20 30 400
0.01
0.02Producto
10 20 30 400
0.02
0.04
0.06Capital
10 20 30 400
0.005
0.01Productividad
Fuente: Elaboración propia.
Part IV
CONCLUSIONES Y REFERENCIAS
El caso presentado, es sólo un esquema de como se resuelve este tipo de problema en su versión mas simple,en agenda tenemos por incorporar mas sectores a la economía, por ejemplo: el sector laboral, mercadosfinancieros, el banco central, entre otros.
• Sargent(1987).
• Stockey y Lucas(1987).
• Notas de Clases BCRP, UNI, LAMBDA.
• Michele Boldrin Lawrence J. Christiano - Consultant Jonas D. M. Fisher-Habit Persistence, AssetReturns and the Business Cycle 2000.
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