1. 1. OCTAVA EDICIN CALCULO APLICADOPARA ADMINISTRACION, ECONOMA Y CIENCIAS SOCIALES LAURENCE D. HOFFMANN GERALD L. BRADLEY KENNETH H. ROSEN I N C L U Y E C D -R O M www.FreeLibros.com
2. 2. para administracin, economa y ciencias sociales www.FreeLibros.com
3. 3. LAUREMCE D., HOFFMAtJN Salomon Smith Barney GERALD L BRADLEY Claremont McKenna College KENNETH H. ROSEN ATScT Laboratories Traduccin Javier Len Crdenas forge Hum berto Romo Muoz Traductores profesionales Revisin tcnica Irm a Lpez Saura Profesora de clculo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de Mxico Me Graw MXICO AUCKLAND BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA LONDRES MADRID MILN MONTREAL NUEVA YORK SAN FRANCISCO SAN JUAN SAN LUIS NUEVA DELHI SANTIAGO SO PAULO SIDNEY SINGAPUR TORONTO www.FreeLibros.com
4. 4. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo del Bosque Alayn Editor sponsor: Jess Mares Chacn Editora de desarrollo: Marcela I. Rocha Martnez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca CLCULO APLICADO PARA ADMINISTRACIN, ECONOMA V CIENCIAS SOCIALE Octava edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. McSraw-Hill Interamericana DERECHOS RESERVADOS 2006, respecto a la tercera edicin en espaol por: McGRAW-HELL / INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V A Subsidiaiy ofThe McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin Alvaro Obregn C.P. 01376, Mxico D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 970-10-5907-7 ISBN 958-41-0202-8 (segunda edicin) Me Graw Hill Traducido de la octava edicin de: APPLIED CALCULUS FOR BUSINESS, ECONOMICS, AND THE SOCIAL AND LIFE SCIENCIES Copyright MMV by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Previous editions 1986, 1989,1992,1996,2000, and 2004 0-07-301856-2 1234567890 09875432106 Impreso en Mxico Printed in Mxico Esta obra se termin de imprimir el mes de Abril del 2006 en los talleres de Edamsa Impresiones S.A. de C. V. TheMcGraw-HillCompanies ' www.FreeLibros.com
5. 5. NDICE DE APLICACIONES SELECCIONADAS PROBLEMAS DE NEGOCIOS Accidentes industriales, 757 Administracin de costos, 120, 230 Administracin de empresas, 644 Administracin de personal, 651 Administracin de pesca, 198, 337, 623, 638- 640, 767-768 Administracin de tiempo. 767 Agricultura, 760 Anlisis de costos, 271, 744 Anlisis de precio, 342 Anlisis de punto de equilibrio. 49-51. 55-56, 86 Anlisis marginal, 148-150-154-155, 197,214, 238, 271, 314-315, 324, 335-336,441, 517,518, 556, 558,577, 698 Aproximacin de mnimos cuadrados de datos de utilidades, 576 Asignacin de fondos, 530. 551-552, 555-556, 557,577 Aumentos de salario, 120 Bienes rafees, 123-124, 155, 193-194 Capacitacin en empresas, 295 Cobertizo de mantenimiento, 530 Construccin de bienes races, 271 Consumo de petrleo, 440 Contratos de deportes, 425-426 Control de calidad, 651, 719-720, 724, 760, 761 (Prob. 45), 762, 765, 767, 768 Corre, 23, 82 Coscha, 55, 260 Costo de construccin. 54, S7, 175, 261, 262, 272. 556, 557, 824 Costo de distribucin. 12, 229-230 Costo de impresin, 38 Costo de instalacin, 261, 263 Costo de manufactura, 11, 12, 23, 38, 43-44, 53,55,86, 87, 145, 151, 155. 156, 163, 171, 176, 229, 262, 263. 265, 270, 391, 411 Costo marginal, 362, 366, 367, 440, 462, 600, 822 Costo mnimo, 557-558 Costo ptimo de preparacin, 263 Costo total por costo marginal, 487 Costos de almacenamiento, 363-364, 394, 426 Costos de transpone, 53, 263 Crecimiento burocrtico, 338 Crecimiento de suscripciones, 486 Curvas de produccin constante, 507 Decisin de publicidad, 56 Diseo eficiente de costos, 86 Eficiencia de manufactura, 86 Eficiencia de trabajador, 11, 119, 128-129, 133, 155, 175, 211, 214-215, 267, 271, 309, 335, 344, 410,411, 462, 601, 769, 816 Entrega de paquetera, 768-769 Fijar precios, 32-33, problemas 2 y 7, 143, 529 Ganancias anuales, 120, 145 Ingreso marginal, 367 Ingreso por produccin de petrleo, 590-591 Ingreso por ventas, 52, 395 Ingreso total, 426 Inventario, 82. 86, 229, 258-260, 262, 265, 271- 272,411,426 Investigacin de mercado, 339 Mantenimiento de restaurante, 622 Manufactura, 761-762 Material de construccin, 175, 529, 555 Mxima produccin asequible, 67 Negocio de restaurante, 722 Nmeros de ventas, 799-800 ptimo diseo, 269 Organizacin corporativa, 338 Pliza de seguro, 767 Porcentaje de cambio de costo, 138-139 Porcentaje de oferta, 165-166, 167 Precio de venta ptimo, 590-591 Precios al menudeo, 379, 610 Precios de alimentos, 410 Precios de gasolina, 543 Presupuesto fijo, 558 Prima de comprador en subasta, 53 Probabilidad de ventas, 754-755 Produccin agrcola, 600 Produccin de bebidas, 768 Produccin de madera, 169 Produccin de petrleo, 395, 600 Produccin en fbrica, 152, 155, 156, 161-162, 167, 168, 169, 171, 173, 174, 265,569, 573 Produccin, 367, 395, 486, 505, 506, 673, 733, 738, 743, 767 Productividad marginal, 517-518, 520 Proteccin de garanta, 735-765- Publicidad, 119, 133, 198,230,335,344, 366, 395,411 Refrigeracin, 167-168 Rendimiento agrcola, 55, 260, 395 Renta de autos, 38, 51 Renta de equipo, 24 (Prob. 42), 40 Retornos constantes a escala, 507 Servicio a clientes, 733, 743 Tarifas de admisin, 54, 394, 440 Ubicacin de almacn, 527-528 Utilidad de publicidad, 57 Utilidad marginal, 367, 379, 380, 395 Utilidad por un invento, 426 Utilidad promedio, 573 Utilidad, 793 Valor de mquina, 589-590 Ventas de seguros, 769-770 Ventas, 132, 214, 294, 344, 366, 407, 54!, 573. 578, 803, 804, 822, 825 Vida til de una mquina 414-415, 424 PROBLEMAS ECONMICOS Ajuste de precios, 614-616, 648 Ajuste de tiempo, 624 Cambio neto en demanda, 437 Cambio neto en ingreso, 437 Compensacin a empleados, 760 Consumo nacional, 247 Costo promedio, 70, 237-238, 245 Crecimiento de ingreso per cpita, 325-326 Curva de Lorentz (e ndice de Gini) 405, 439, 463 Demanda de consumidor, 13, 145, 175, 51S, 519 Demanda e ingreso, 132, 487, 541 Demanda promedio, 462 Demanda, 246, 271, 376-377, 380, 814 Desempleo e inflacin. 96-97, 109 Desempleo, 33-35, 41 Distribucin de ingreso, 405, 412, 441, 463, 482-483 Efecto de impuestos sobre monopolio, 265 Efecto multiplicador, 666-667, 670, 701 Elasticidad de demanda de ingreso, 248 Elasticidad de demanda de precio. 241, 243- 244, 245, 246, 248, 270, 271, 318-319, 376-377 Emigracin de mano de obra. 703 Equilibrio de mercado, 4S-49, 55 Excedente de consumidores, 422-423, 424,425, 437, 439, 440, 463, 482 Excedente de productores, 422-423, 424,4S2 Exceso de utilidad neta, 402-403, 411 Exportaciones, 321, 326 (Prob. 75) Funcin de costo, 6, 26, 43-44 Funcin de utilidad, 5-6, 23, 46-47, 101-102, 108, 132, 270 Gasto de consumidor, 23, 85, 325 Gasto, 667 Impuesto a la propiedad, 87, 119, 155, 171,573 Impuesto sobre la renta, 54 Inflacin, 175 Ingreso futuro, 440 Ingreso mximo. 18-19, 193-194, 256-258,342 Ingreso nacional, 645 Ingreso promedio, 245, 440 Ingreso y consumo desechables, 543 Ley de Pareto, 602 Ley de rendimientos que se reducen, 520 Minimizacin de costo, 250-252, 255-256, 263 Modelo de deuda Domar, 624 Modelo de telaraa, 639-641, 646 Numismtica, 724 www.FreeLibros.com
6. 6. Olera y demanda, 55. 56, 84. 648 Olera, 379-380, 632. 814 Porcentaje de demanda. 167, 168 Precio promedio. 440 Productividad marginal, 518 Producto interno bruto, 114, 120. 153, 173, 198. 294. 309. 347. 543-544 Producto marginal de mano de obra, 577 Propensin marginal a consumo, 367 Renovacin de moneda. 646 Utilidad bajo un monopolio. 198, 530 Utilidad mxima, 236-237, 245. 252-253, 267- 268. 345.526-527 Utilidad neta, 482 Utilidad. 507 (Probs. 38 y 39), 557 Valor de propiedad, 573 PROBLEMAS DE FINANZAS E INVERSIONES Administracin de cartera de valores. 766 Ahorros, 611. 624, 644, 701 Amortizacin de deuda, 296, 637-638 Anlisis de inversiones, 425, 542 Anualidad de retiro, 424-425 Captacin de fondos. 424, 462 Contabilidad. 40 Costo capitalizado de un activo, 471 Crecimiento de inversin. 484. 599, 648 Decisin de construccin. 424 Depreciacin. 38, 324, 335, 344 (Prob. 46). 379. 395, 439 Doble saldo que declina. 340 (Prob. 61) Ecuaciones diferenciales vinculadas, 620-621 Endeudamiento. 471 Especulacin de mercado de acciones, 644 Evaluacin de inversiones. 462 Exceso neto de utilidad, 402-403, 411 Fondo de amortizacin, 645 Ingreso de retiro. 650 Inters compuesto. 71 (Prob. 46), 146. 489, 293. 294. 309. 324, 344,345 Inversin en bienes races. 294. 412, 413. 440, 610 Inversin en un periodo bajo de mercado, 441 Juegos de casino, 722 Lotera, 716, 722, 766 Pago de lotera, 426 Pagos de finanzas, 296 Pagos de hipoteca, 296, 644-645 Pagos iniciales. 645 Plan de inversin, 610-611 Precios de acciones, 38 Promedio de mercado de acciones. 543 Regla del, 70. 345 Renovacin de moneda, 624 Revaluacin de activos, 39 Rueda de Ja fortuna, 766 Tasa efectiva de inters, 295, 344 Tiempo de duplicacin, 304-305 Tiempo ptimo de retencin. 329, 336-337, 338-339, 345 Valor de terreno, 379, 394 Valor fuluro de Unjo de ingreso, 415-417, 424, 437, 440 Valor futuro de inversiones. 462, 481, 604-605 Valor neto de activos, 439, 486 Valor presente de anualidad, 345, 667-668 Valor presente de activos, 484-485 Valor presente de Hujo de ingreso, 4 17-418, 440, 467-468 Valor presente de franquicia, 425, 471, 480 Valor presente de inversin. 290, 293, 425, 471, 486, 670-671, 700, 701 Valor presente de propiedad en renta, 471 Valor promedio de inversin, 411 Verdad al prestar, 296 Verificacin de cuentas. 56 PROBLEMAS DE CIENCIAS BIOLGICAS, SALUD Y AMBIENTALES Acumulacin de medicamento, 668-669, 671, 700, 701 Agotamiento de recursos energticos, 425 Agotamiento de reservas, 671 Agotamiento del ozono, 346 Alometra, 311, 544-545, 601 Anlisis del medio ambiente, 85 ngulo ptimo para ramificacin vascular, 810-813 Area superficial de una celda de abeja, 818 rea superficial del cuerpo humano, 441, 506. 518,556,573 Arteriosclerosis, 156 Ataques de tiburones, 762 Atencin de salud mental, 480-481 Bacteriologa, 762-763 Biologa marina. 272 Biologa. 70. 638-640. 733, 803 Biomasa de una especie, 114-115 Bioqumica, 56 Biorritmos, 793 Cambio de temperatura, 11. 441 Cambio neto en biomasa, 366, 391. 395. 440 Circulacin sangunea, 520 Clima. 81,803,816. 824 Colonia de bacterias (poblacin), 84, 133, 229, 268, 291-292. 294, 309, 362-363 Comportamiento de animales, 70, 108, 145 Comportamiento de aves, 264, 815 Concentracin de glucosa en la sangre, 650- 651, 339, 346, 379, 395. 43S. 462,485, 599. 608-609. 612, 622, 648, 651 Concentracin de soluto en una clula (ley de Fick), 346, 601-602 Consumo de agua. 38. 395 Contaminacin del agua, 82, 146, 165, 168, 379, 394, 623, 648 Contaminacin del aire, 12, 39, 119. 142. 145. 155, 173,345,379, 394,507 Contaminacin. 803, 824-825 Control de animales, 765 Control decontaminacin, 122, 133, 168, 174, 198.254-255.481-482 Control de enfermedades. 763 Control sobre abuso de alcohol, 40, 325 Crecimiento de rboles, 366. 379, 440 Crecimiento de bacterias, 174, 342, 345, 411, 434, 544, 599 Crecimiento de insectos, 146 Crecimiento de mamferos, 146-146 Crecimiento de plantas, 325 Crecimiento de poblacin, 650, 651, 819-820, 825 Crecimiento de tejidos. 215 Crecimiento de un nio, 39 Crecimiento de un tumor, 119, 167, 171 Crecimiento de una clula, 156 Crecimiento de una especie, 197, 246, 632 Crecimiento incontrolado. 623 Crecimiento logstico, 645-646 Decaimiento de biomasa. 485, 650 Demografa de animales, 345 Derrame de petrleo, 164 Desechos nucleares, 433. 440. 471, 579 Dosis de medicamento pedritico. 53 Dosis de medicamento, 134, 576 Ecologa en una isla, 12 Ecologa tropical. 734, 743 Ecologa, 324, 768, 843 Edad ptima para reproduccin, 333, 337 Efectividad de medicamento. 434-435 Efecto trmico de alimentos, 412 Eliminacin de basura. 761 Eliminacin de desechos peligrosos, 770 Energa del viento, 509 Energa gastada en vuelo. 435 Enfermedad de Alzheimer. 818 Enfriamiento del cuerpo de un animal, 579 Entomologa. 39, 310-311 Epidemia de sida. 173, 483, 544 Epidemiologa, 229 Especies en peligro, 325, 366. 395,434 Estatura de una mujer, 748 Estatura, 82 (Prob. 56) Exposicin a enfermedades, 573-574 Extincin de poblacin, 632 Farmacologa, 56 Figuras de hielo y temperatura en la edad de hielo, 508 Figuras en alas de mariposa, 532 Flora acutica. 295 Flujo sanguneo, 11-12. 23, 156, 169, 174. 246, 368,429-430.433, 507, 518, 519-520, Prob. 49, 819 Fluoracin del agua, 612-613 Gasto diario de energa, 508 Gentica de poblacin, 634 Gentica, 530, 645, 698-699. 702 Histograma epidmico, 714 Inmunizacin, 12, 230 Investigacin de cncer, 339, 578-579 Investigacin mdica, 743 Longitud de peces, 755 Luz diurna, 825 Manejo de desechos peligrosos, 558 Medicina deportiva, 768 Medicina pedritica, 761, 766-767 Medicina veterinaria. 760, 761 Medicina, 156, 168. 198.471.576, 734, 761. 765, 768, 793, 803-804, 817 Medicin de la respiracin. 435 Medicin de un tumor. 151-152 Medicin pedritica, 53 Metabolismo femenino, 804. 822 Metabolismo masculino, 804 Metabolismo, 804 Microbiologa, 85. 556 Moluscos, 578 Mutacin, 84 Nivel diario promedio de dixido de carbono, 9 Nutricin, 39-40, 763 Ornitologa, 120-121,247 Osmosis inversa, 509 Poblacin de animales con caza. 644 Poblacin, 645 Poblaciones de insectos, 735 www.FreeLibros.com
7. 7. Poblaciones estacionales, 800-801, 813-814, S17,S24 Presin sangunea, 108-109, 822 Produccin de clulas sanguneas, 134 Produccin de sangre, 247 Pronstico del clima, 762 Propagacin de una epidemia, 52, 119, 120, " 215,277-280,332,335,336,339,340, 346, 433, 463, 596-597, 600-601, 624, 644 Prueba de medicamentos, 762 Purificacin del aire, 611 Quemotaxis, 624 Radio de la trquea, 234-235 Radiologa, 310 Rapidez de una iguana, 168 Reaccin de medicacin, 413 Reciclado, 56, 263, 644 Recursos renovables, 107 Reduccin de contaminacin del aire, 651 Regulacin del colesterol, 433-434 Respiracin huipana, 813 Respiracin, 248 Respuesta a estmulos, 337, 529, 601 Ritmo aerbico, 336, 411-412 Ritmo metablico basal, 168 Salida cardiaca, 156, 431-432,433, 463, 481, 493-494 Salud personal, 767 Salud pblica, 542, 612-613, 671, 769 Sensibilidad a medicamentos, 247 Servicios de salud, 471, 735, 744 Sistema cardiovascular, 174-175 Supervivencia de fauna acutica, 247 Tamao de un tumor, 174 Temperatura promedio, 408, 410, 578 Terapia de cncer, 367, 531 Toxina (efecto sobre el crecimiento de una poblacin), 125-126, 337,428-429, 441 Trayectorias ortogonales, 618-619 Ubicacin de una planta, 755 Virologa, 743 Volumen de biomasa, 568 Volumen de sangre durante la sstole, 413 PROBLEMAS DE CIENCIAS FSICAS Y GEOMETRA Absorcin de luz, 622 Aceleracin, 134 Acidez (pH) de una solucin, 347 Aerodinmica, 247 Altura y alcance de un proyectil, 817 Amplitud de oscilacin, 248 ngulo ptimo de observacin, 817-818 rea bajo curva, 383-384, 386, 391-393 rea de crculo, 174 (Prob. 43) rea de paquete, 386 rea de rectngulo, 260 (Prob. 11 y 12), 261, (Prob. 13) rea de tringulo, 261 (Prob. 14) rea entre dos curvas, 399-401, 439 (Prob. 31- 38) rea y volumen, 804 rea, 52 Arquitectura, 814 Astronoma, 40-41 Cada de linterna, 176 (Prob. 64) Cambio de temperatura, 52, 600 Carrera de relevos a campo traviesa, 531 Centro de una regin, 463-464 Circuito elctrico, 520 Cobertizo de mantenimiento, 530 Construccin de una caja de joyera, 549-550, 556 Construccin, 814-815, 825-826 Consumo de energa, 813, 820 Conversin de temperatura, 39 Cristalografa, 272-273 Curva catenaria, 340 (Prob. 60) Curvas logsticas, 601 Decaimiento radiactivo, 52, 294, 309, 345, 599 Descongelacin, 366-367 Desplazamiento para alambre, 70 (Prob. 39) Determinacin de fecha geolgica, 703 Determinacin de fecha por carbono, 306-307, 342, 345, 347 Diamante de bisbol, 176 (Prob. 65) Difusin a travs de una membrana, 622 Dilucin, 600, 606-607, 611, 648, 650 Diseo arquitectnico, 573 Diseo mecnico, 818-819 Disolucin de azcar, 600, 622 Distancia, 25 (Prob. 46), 55, 176 (Prob. 60), 261, 364, 368, 392, 441,462,480, 842 Electricidad, 247 Elevacin promedio, 573 Empaque, 52, 261, 262, 519, 555 Escalera apoyada contra pared, 176 (Prob. 63) Espacio habitable, 532 Esquiaren agua, 817 Expansin de material, 156-157 Fsica de partculas, 529, 557 Guerra en el desierto, 683 Iluminacin desde una fuente de luz, 806-808, 815 Intensidad de campo elctrico, 81 Inversin trmica, 108 Ley de Boyle, 168 Ley de Newton de enfriamiento, 310, 324, 335, 616-618, 622 Lneas paralelas, 41 Lneas perpendiculares, 41 Luz polarizada, 818 Metalurgia, 768 Mtodo de Newton de aproximacin de races de ecuacin, 157 Minimizacin de tiempo de viaje, 808-810 Modelo de dilucin de salud pblica, 612-613 Movimiento de un proyectil, 23, 117, 121, 816 Movimiento de un proyectil, 392 Movimiento de una lnea, 171, 177 (Prob. 74) Niveles de sonido, 310 Observacin de un avin,.796-797 ptica, 556, 819 . rbita de satlite, 816 Paisaje, 52, 803, 814 Pelota que rebota, 701 distancia recorrida por, 671 tiempo de recorrido por, 671 Permetro de ventana, 271 (Prob. 45) Porcentajes relacionados, 804 Posicin de un objeto en movimiento, 12 Presin atmosfrica, 622 Presin de aire, 311 Problema de boya, 176 (Prob. 62) Problema de una cometa, 176 (Prob. 61) Prueba de materiales, 683 Qumica fsica, 120, 272 Qumica, 169, 507, 519 Radiacin, 157 Radio de esfera, 175 (Prob. 58) Radio de la Tierra, 88 (Prob. 49) Radiologa, 347 Rapidez de reaccin qumica (ecuacin de Arrhenius), 346, 351-354 Rapidez relativa de cambio, 825 Reflexin de luz, 810 Refraccin de luz por agua, 793, 815-816 Reglamentos postales (paquetera), 555 Sismologa, 310, 311 Sombra de hombre, 168 (Prob. 49) Temperatura promedio, 576 Tendido de cerca, 42, 52, 249-250, 260, 529, 547-548, 555 Ubicacin de almacn, 527-528 Velocidad de la luz, 246 Velocidad de objeto, 97-98, 108, 116, 117, 129, 134, 146-147 (Prob. 67), 146 (Prob. 66), 177 (Prob. 67), 368 (Prob. 67), 441, 480 Vida media, 305-306 Vida til de mquina, 732, 742 Vida til de una mquina, 732, 742 Volumen de baln de ftbol, 176 (Prob. 59) Volumen de cubo, 174 PROBLEMAS DE CIENCIAS SOCIALES Abuso de drogas, 541 Accidentes en carretera, 769 Adiestramiento militar, 766 Administracin de planta de correccin, 367 Administracin de tiempo, 731,735, 744,769, 770 Administracin de trnsito, 767 Admisiones a universidad, 39, 540 Adopcin de tecnologa, 229 Aprendizaje en infancia, 336 Aprendizaje, 86, 246, 294, 325, 366, 367, 391- 392,530,593-594, 646, 743 rea de picnic, 547-548 Arqueologa, 306-307,309, 347 Cambio de votante, 541 Cambio legislativo, 471, 770 Circulacin de diario, 85, 119, 155 Circulacin de trnsito, 233-234, 732-733, 742 Comportamiento de poblacin, 225-226 Consumo de energa, 82,433 Control de trnsito, 270, 411, 767 Corrupcin en gobierno, 600-601 Corrupcin poltica, 53 Costo de agua en sequa, 44-45 Costo de educacin, 13 crecimiento de poblacin, 11,45, 52, 107, 120, 133, 155, 173, 175, 215, 293, 294, 311, 324, 326, 335, 344, 366, 368 (Prob. 66), 395,412,432,433,437-438,462, 471,600 Cuotas de membresa, 38 Curva de aprendizaje (recordar de memoria), 146,310, 329-330,335,600 Delincuencia urbana, 273 Demografa (funcin de Gompertz), 602 Demografa, 310, 317,486, 701, 767 Densidad de poblacin, 12, 173-174,294,307, 433,698 Determinacin de fecha por computadora, 433 Diseo de carteles, 54, 262 www.FreeLibros.com
8. 8. Duracin de llamada telefnica, 723-724, 738 Ecuacin de Fibonacci, 651-652 Emigracin de poblacin, 623 Encuestas polticas, 230, 246, 762 Entretenimiento, 734, 765 Espacio habitable, 859 Esperanza de vida, 435 Estudios de poblacin, 724 xitos de sitios web, 763 Extincin de incendios, 346, 622 Fbula antigua, 38-39 Falsificacin de obras de arte, 309 Financiamiento educativo, 85 Frmula de Babilonia para raz cuadrada de N, 157-158 Influencia poltica, 651 Ingeniera de trnsito, 683 Inmigracin de poblacin, 623 Internet, 725, 744 Juego limpio, 723 Juegos de azar, 724 Juegos de mesa, 721, 723 Lingstica, 295, 702 Llamadas de telemercadeo, 758-759 Llegadas de aviones, 734, 742 Membresa de grupo, 245-246, 432, 434, 463, 671 Opciones sociales, 529 Patrones sociales, 761 Periodismo, 769 Planeacin de ciudad, 530 Planeacin urbana, 263-264 Poblacin de Estados Unidos, 347 (Prob. 77) Poblacin mundial, 336 Poblacin promedio, 411, 441 Porcentajes de mortalidad, 339, 347, 483-484 Prediccin de poblacin, 542, 636-637 Propagacin de un rumor, 270, 337, 600 Prueba acadmica, 760, 761, 765, 768 Prueba educativa, 119 Prueba sicolgica, 486 Radioemisin, 245 Rapidez de cambio de poblacin, 113 Recordar de memoria, 600, 650 Registro de curso, 38 Relato de espas, 55, 121, 261, 310, 367, 556, 611,672, 734,817 Respuesta a estmulos, 573 Seguridad de trnsito, 175 Seguridad en camino, 23 Seguridad en carreteras, 722-723 Seguridad en centro comercial, 464 Seleccin de jurado, 724 Semforo, 723, 737-738 Sicologa experimental, 11, 70, 229, 733-734, 743 Sicologa, 506 Supervivencia y renovacin, 427-428,432, 486 Telecomunicaciones, 744 Tendencias de poblacin, 434 Tendencias polticas, 433 Teora de aprendizaje, 338 Teora de conflicto, 336 Tiempo mnimo de viaje, 270 Tiro de una moneda al aire, 712-713,715-716, 717,720-721,723 Trnsito rpido, 173 Transportacin, 734 Transporte pblico, 119, 440 Valor a costo de educacin, 14 Valor de educacin, 13-14 Viaje en avin, 723 Viaje por avin, 55 Viaje suburbano, 733, 742 www.FreeLibros.com
9. 9. Prefacio x C A P 1 T Funciones, grficas y Smites 1 2 3 4 5 A P i T U L O 2 Funciones 2 Grfica de una funcin 14 Funciones lineales 26 Modelos funcionales 41 Lmites 57 Lmites laterales y continuidad 71 Resumen del captulo 83 Trminos importantes, smbolos y frmulas 83 Revisin del captulo 1 83 Problemas de repaso 84 Explore! Actualizacin 89 Reflexione acerca de . . . 91 D erivacin: conceptos bsicos C A P I T L La derivada 96 Tcnicas de derivacin 110 Reglas del producto y del cociente; derivadas de orden superior 122 La regla de la cadena 135 Anlisis marginal y aproximaciones por incrementos 147 Derivacin implcita y tasas relacionadas 158 Resumen del captulo 170 Trminos importantes, smbolos y frmulas 170 Revisin del captulo 2 171 Problemas de repaso 172 Explore! Actualizacin 178 Reflexione acerca de .. . 180 A plicaciones adicionales de !a derivada 1 o Funciones crecientes y decrecientes; extremos relativos 184 Concavidad y puntos de inflexin 199 Trazado de curvas 216 Optimizacin 231 Aplicaciones adicionales de la optimizacin 249 Resumen del captulo 266 Trminos importantes, smbolos y frmulas 266 Revisin del captulo 3 267 Problemas de repaso 268 Explore! Actualizacin 274 Reflexione acerca de . . . 277 www.FreeLibros.com
10. 10. viii Contenido C A P T U L O 4 Funciones exponenciales y logartm icas 1 Funciones exponenciales 282 2 Funciones logartmicas 297 3 Derivacin de funciones logartmicas y exponenciales 312 4 Modelos exponenciales adicionales 326 Resumen del captulo 340 Trminos importantes, smbolos y frmulas 340 Revisin del captulo 4 342 Problemas de repaso 343 Explore! Actualizacin 349 Reflexione acerca de... 351 C A P T U L O 5 integracin 1 Antiderivacin: la integral indefinida 356 2 Integracin por sustitucin 368 3 La integral definida y el teorema fundamental del clculo 380 4 Aplicacin de la integracin definida: rea entre curvas y valor promedio 396 5 Aplicaciones adicionales de negocios y economa 414 Aplicaciones adicionales de las ciencias sociales y de la vida 426 Resumen del captulo 436 Trminos importantes, smbolos y frmulas 436 Revisin del captulo 5 437 Problemas de repaso 438 jExplore! Actualizacin 442 Reflexione acerca de... 445 C A P 3 i U L O 6 Ternas adicionales de integracin 1 Integracin por partes; tablas de integrales 450 2 Integrales impropias 464 3 Integracin numrica 472 Resumen del captulo 484 Trminos importantes, smbolos y frmulas 484 Revisin del captulo 6 484 Problemas de repaso 485 Explore! Actualizacin 488 Reflexione acerca de... 490 C^A P I U L O 7 Clculo de varias variables 1 Funciones de varias variables 496 2 Derivadas parciales 510 - Funciones de optimizacin de dos variables 521 4 El mtodo de mnimos cuadrados 533 Optimizacin con restricciones: mtodo de los multiplicadores de Lagrange 545 www.FreeLibros.com
11. 11. j Contenido | x 6 Integrales dobles 559 Resumen del captulo 575 Trminos importantes, smbolos y frmulas 575 Revisin del captulo 7 575 Problemas de repaso 576 Explore! Actualizacin 580 Reflexione acerca de... 582 C A " l T U L O S Ecuaciones diferenciales Introduccin a las ecuaciones diferenciales 588 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 602 Aplicaciones adicionales de ecuaciones diferenciales 612 Soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales 625 Ecuaciones en diferencias 632 Resumen del captulo 647 Trminos importantes, smbolos y frmulas 647 Revisin del captulo 8 647 Problemas de repaso 648 Explore! Actualizacin 653 Reflexione acerca de... 656 C A P T U L 9 A p ro xim acion e s p o r seres in fin ita s y series de la ylo r Series infinitas 662 Criterios de convergencia 672 Funciones como series de potencias; series de Taylor 684 Resumen del captulo 699 Trminos importantes, smbolos y frmulas 699 Revisin del captulo 9 700 Problemas de repaso 700 Explore! Actualizacin 704 Reflexione acerca de... 706 C A P i U L O 10 P ro b a b ilid a d y clculo 1 Variables aleatorias discretas 710 2 Variables aleatorias continuas 725 3 Valor esperado y varianza de variables aleatorias continuas 736 . Distribuciones de probabilidad normal y de Poisson 745 Resumen del captulo 764 Trminos importantes, smbolos y frmulas 764 Revisin del captulo 10 765 Problemas de repaso 766 Explore! Actualizacin 771 Reflexione acerca de... 773 www.FreeLibros.com
12. 12. x Contenido I C A P T U L O 11 Funciones trig o n o m trica s 1 Las funciones trigonomtricas 780 2 Derivacin e integracin de funciones trigonomtricas 794 3 Aplicaciones adicionales de las funcionestrigonomtricas 805 Resumen del captulo 821 Trminos importantes, smbolos y frmulas 821 Revisin del captulo 11 822 Problemas de repaso 823 Explore! Actualizacin 828 Reflexione acerca de... 830 A P N D I C E A Repaso de lgebra 1 Breve repaso de lgebra 834 2 Factorizacin de polinomios y resolucin de sistemas de ecuaciones 844 3 Evaluacin de lmites con la regla de L'Hpital 851 Resumen del apndice 856 Trminos importantes, smbolos y frmulas 856 Problemas de repaso 856 Reflexione acerca de... 859 A B L S I Potencias de e 860 II El logaritmo natural (base e) 861 III Funciones trigonomtricas 862 5 O L LJ C ! O 5 E S Respuestas a problemas impares, problemas de repaso y problemas de revisin 863 ndice 964 www.FreeLibros.com
13. 13. Presentacin a la octava edicin aum entada Esta octava edicin aumentada de Clculo aplicado para administracin, economa y cien cias sociales ( 2004) incluye cuatro captulos adicionales: Captulo 8, Ecuaciones diferenciales c Captulo 9, Aproximaciones a series infinitas y series de Taylor Captulo 10, Probabilidad y clculo * Captulo 11, Funciones trigonomtricas Clculo aplicado para administracin, economa, y ciencias sociales satisface las necesida des del maestro que trabaje sobre temas en uno o ms de estos cuatro captulos, junto con los temas que cubren los siete captulos iniciales en un curso de un semestre, o las necesidades de quien imparta un curso de dos semestres que cubra el material de los 11 captulos de este libro. (La palabra aplicado del ttulo distingue este volumen de la edicin ms breve.) Nuestro libro introduce clculo en un contexto prctico; nuestra meta principal es dar un co nocimiento lgico e intuitivo de conceptos bsicos que ios estudiantes necesitan cuando ha gan carreras en negocios, ciencias biolgicas y ciencias sociales. Nos esforzamos por ensear tcnicas de derivacin y clculo integral sin sacrificar la precisin matemtica. Ex presamos de manera cuidadosa y completa los principales resultados, motivando y explican do al estudiante en forma intuitiva o geomtrica cuando es posible. Hemos tratado de hacer que cada concepto sea tan fcil de entender como sea posible. El logro de estas metas ha si do validado por el uso continuo y exitoso de nuestros libros en un gran nmero de universi dades. La edicin previa de Clculo aplicado para administracin, economa y ciencias socia les fue muy exitosa. En los ltimos cinco aos, ms de 75 000 estudiantes se han preparado con este libro y ms de un cuarto de milln de estudiantes han aprendido clculo aplicado de ediciones anteriores. Para ayudar a construir ese xito, hemos considerado las sugerencias de numerosos usuarios. Formamos un extenso panel de revisores para guiamos en la elabora cin de textos de la octava edicin. Los revisores ayudaron a confirmar la necesidad de te mas adicionales tratados en este volumen aumentado. Tambin nos han ayudado a concentramos en los temas ms importantes y aplicaciones que hacen que este libro sea apro piado para uso de estudiantes de administracin, economa y ciencias sociales. Adems, nuestros revisores nos han ayudado a disear las caractersticas que hacen a este texto una eficaz herramienta para ensear y aprender clculo aplicado. Los revisores nos han ayudado a mantener este libro actualizado y a la vanguardia al damos sugerencias para tratar en l nuevas aplicaciones. Al seguir el consejo de nuestros revisores, hemos construido sobre estos puntos fuertes al mismo tiempo que nos esforzamos en mejorar la presentacin. Hemos agregado numero sos recuadros nuevos de procedimientos, definiciones e ilustraciones para aclarar los temas. Hemos escrito nuevas introducciones para muchos temas y hemos agregado innumerables ejemplos aplicados para motivar conceptos. Nuestros revisores tambin nos indicaron que nuestros conjuntos de ejercicios son excelentes y nos hicieron sugerencias para mejorarlos aun ms. Para satisfacer sus necesidades, hemos agregado un nmero importante de proble mas de rutina para obtener un conocimiento ms gradual de aptitudes al trabajar con los pro cedimientos y conceptos presentados. Cuando se les pregunt: Qu hace que nuestro texto sea ms didctico en un curso?, los revisores sealaron nuestra orientacin aplicada a conceptos, nuestro mtodo de resolu cin de problemas y el estilo sencillo de escritura. La meta siempre ha sido ayudar al maes www.FreeLibros.com
14. 14. x i Prefacio Mejoras a esta edicin tro a organizar la materia de modo que cada seccin del texto corresponda a una sola clase y que cada captulo contenga la cantidad correcta de material para un examen. Los estudiantes necesitan saber la forma en que el clculo se aplica a su particular campo de inters. Para ayudar al maestro a relacionar aplicaciones a una audiencia en especial, hemos organizado secciones de aplicacin segn los grados de utilidad en negocios y economa o en ciencias sociales y biolgicas. La octava edicin incluye gran cantidad de ejercicios aplicados. Hemos hecho varias mejoras considerables e importantes dentro de la octava edicin, en res puesta a recomendaciones de usuarios y sugerencias hechas por nuestro panel de revisores. Mejor cobertura de i:en?as Cada seccin de este texto fue sometida a un cuidadoso anlisis y revisin a fondo para ase gurar la presentacin ms benfica y clara. Por ejemplo, el tratamiento de cantidades y opti mizacin se han mejorado con la adicin de muchos ejemplos y ejercicios nuevos. El tratamiento de lmites se ha mejorado con la inclusin de lmites al infinito en el captulo 1. Ms adelante en este prefacio se puede hallar una lista ms detallada de cambios captulo por captulo. Presentacin eficaz ce la Esta edicin presenta una exposicin mejorada de la integracin. La integracin definida se introduce ahora inmediatamente despus de antiderivacin y sustitucin del captulo 5, se guida de una nueva seccin sobre modelado con la integral definida. Para mxima flexibili dad, las aplicaciones de la integral definida estn organizadas en secciones separadas para administracin y economa y para ciencias biolgicas y sociales. El captulo 6 ampla el de sarrollo de integracin definida para incluir integracin por partes, as como una nueva co bertura de integracin usando tablas e integracin numrica. Las secciones sobre integracin por sustitucin e integracin por partes se han modificado a fondo. Conjun tos mejorac e e;2_; c:o Se han agregado varios cientos de nuevos ejercicios aplicados y de rutina a los ya extensos conjuntos de problemas. Con base en retroalimentacin de usuarios, se han agregado ejerci cios de rutina en donde era necesario para asegurar que los estudiantes tengan prctica ms que suficiente para dominar conocimientos bsicos. Adems, un gran nmero de nuevos ejer cicios aplicados se ha agregado para ayudar a demostrar lo prctico que es el material. Estos nuevos ejercicios vienen de muchos campos de estudio, incluyendo economa, negocios, bio loga, medicina y otros campos de ciencias biolgicas. Se ha ampliado un gran nmero de nuevos ejercicios que comprenden integracin, teniendo cuidado de aseguramos que los ejercicios usan slo conjuntos actualizados de datos. Cobertura ampliada ce . ; r-. v- Esta edicin se extiende an ms sobre la ya considerable exposicin de economa de la edi cin previa. En particular, ya antes se introducen funciones econmicas y se usan en ejem plos y ejercicios en forma ms amplia. Tambin hay una nueva exposicin ampliada de elasticidad de demanda en precios. Cobertura ampliada de oplico.ciov,!.-. - soda Jes Un nuevo y muy importante aspecto es la cobertura ampliada de aplicaciones del clculo a ciencias biolgicas. Entre los nuevos temas tratados son la alometra (crecimiento relativo de una parte con respecto a todo un organismo), modelado matemtico de epidemias, difusin de poblaciones de animales y varias aplicaciones de otras ramas de las ciencias biolgicas, que incluyen fisiologa, medicina, nutricin y ecologa. www.FreeLibros.com
15. 15. Prefacio xiii r.::: , . :a d j precisin Esta nueva edicin se ha beneficiado de un intenso esfuerzo por asegurar su precisin. El li bro ha sido revisado por varios revisores tcnicos que han verificado ejemplos, ejercicios y clculos. No slo se ha verificado extensamente el nuevo material, sino que tambin se ha he cho una doble verificacin del material incluido de la edicin previa. Una nueva caracterstica de la octava edicin es el Repaso justo a tiempo, que se utiliza pa ra recordar que los estudiantes recuerden de manera inmediata conceptos de lgebra univer sitaria o preclculo cuando se usen en ejemplos y estudios. Cada uno de estos repasos aparecen a manera de ladillos junto al texto en donde se emplea el material revisado del te ma. Un estudio ampliado de estos conceptos se puede hallar adems en el apndice Repaso de lgebra al final del libro, pero estos recordatorios rpidos alertan a los estudiantes respec to a datos clave sin distraerlos del material bajo estudio. Los temas seleccionados para estos repasos provienen de experiencia en salones de clase y sugerencias hechas por revisores. El papel del modelado matemtico se ha ampliado considerablemente en la octava edicin. El modelado se introdujo en el captulo 1 y aparece como tema recurrente en todo el texto en aplicaciones que comprenden ciencias administrativas y biolgicas. El tema del modelado est reforzado por numerosos nuevos ejemplos y ejercicios que se refieren a porcentajes, op timizacin y la integral definida. Para complementar la cobertura del modelado, al principio se introduce el anlisis de datos. En particular, se anticipa la aproximacin de mnimos cua drados en el captulo 1 y luego se desarrolla con mayor detalle en el captulo 7, que tambin incluye una introduccin a la regresin no lineal. El modelado con ecuaciones diferenciales y de diferencia se expone en el captulo 8. El uso de funciones trigonomtricas para modelar fenmenos peridicos se aborda en el captulo 11. i i. _.'j ! '*> 1 i ^ ' i - t 1 # Cada captulo concluye con un nuevo ensayo llamado Reflexione acerca de9 que se basa en modelado. Estos ensayos son mucho ms sustanciales que los de la edicin previa, y estn di seados para mostrar al estudiante la forma en que el material introducido en el captulo se puede usar para construir modelos matemticos tiles. Tomados en su conjunto, los ensayos ilustran cmo se construyen modelos, cmo dan soluciones tiles pero slo aproximadas a problemas, y cmo el proceso contina con la construccin de modelos ms refinados. Los ejercicios que siguen a cada ensayo son un excelente punto inicial para estudio independien te y se pueden exponer en el saln de clases o servir como base para proyectos en grupo. Las soluciones a estos ejercicios se pueden hallar en el sitio web www.mhhe.com/hoffmann. Cada una de las secciones Explore! de la octava edicin se ha actualizado para mejorar la compatibilidad con calculadoras actuales, y se ha reescrito para enfocarse con ms claridad en ejemplos especficos dentro del texto. Cada seccin Explore! Actualizacin, al final de captulo, se ha reescrito para dar sugerencias ms detalladas y soluciones a secciones Ex plore! seleccionadas. O i:; *?.v'Ki'*',!! c. o.>!cuac?oros gracodoras Nueva a la octava edicin es una extensa introduccin a calculadoras graficadoras que apa rece en las pginas xxrn a x x x iii de este prefacio. El material incluye instrucciones referen tes a teclas comunes, terminologa e introducciones a aplicaciones de calculadoras ms avanzadas que se desarrollan en detalle en lugares apropiados en el texto. La Introduccin a las calculadoras puede servir como manual para estudiantes no familiarizados con el uso www.FreeLibros.com
16. 16. de calculadoras graficadoras, o como gua para un uso mejorado para quienes tengan alguna experiencia con calculadoras. Equipo ampliado de colaboradores del autor Para reforzar su ya fuerte equipo, Kenneth H. Rosen colabor en la octava edicin y es coau tor de esta octava edicin aumentada. Ken ha trabajado en la industria y en actividades do centes, siendo autor de libros de computacin entre los que se incluye Discreta Mathematics and its Applications, quinta edicin, publicado por McGraw-Hill. Muchos maestros gustan en especial de la combinacin de conceptos y aplicaciones relevantes que expone Kenneth. Su creatividad, atencin a detalles y experiencia en la industria contribuyen a una adaptacin natural para ampliar el mtodo aplicado de este texto. Cambios captulo por captulo Los usuarios de la sptima edicin de Clculo para administracin, economa y ciencias so ciales encontrarn til la siguiente lista detallada de cambios. Esta lista destaca cambios he chos a los captulos 1 al 7. Estas mejoras fueron posibles por aportacin de revisores y retroalimentacin de usuarios. Captulo 1: Funciones, grficas y lmites o Introduccin temprana y uso de funciones econmicas. * Vista preliminar de regresin lineal en la seccin 1.3 y un anlisis de su uso. * Se introduce y estudia el modelado matemtico en la seccin 1.4. Se introducen lmites que comprenden el infinito, con otros lmites, en la seccin 1.5. c Lmites de un lado introducidos en la seccin 1.6 y empleados como parte de una nueva exposicin grfica que ilustra el significado de continuidad y discontinuidad. q Un nuevo ensayo de Reflexione acerca de... sobre alometra. Captulo 2: Derivacin: Conceptos bsicos * La regla de la cadena se introduce inmediatamente despus de la regla del producto y la regla del cociente (en la seccin 2.4). * Derivadas de orden superior introducidas en una subseccin de la seccin 2.3. * Numerosos ejercicios nuevos de rutina y ejercicios aplicados que comprenden porcenta jes. Captulo 3: Aplicaciones adicionales de la derivada Procedimiento de grficas modificado para uso ms fcil. 9 Varios ejemplos de grficas con otra redaccin para mejorar la claridad. Una nueva lista de procedimientos para ayudar a estudiantes a resolver problemas de op timizacin. e Un anlisis ms amplio de elasticidad de demanda en precios. * Numerosos y nuevos problemas aplicados y de rutina, as como otros de trazado de cur vas y optimizacin. * Un nuevo ensayo de Reflexione acerca de... en el modelado de fallecimientos por el SIDA (con uso de regresin). Captulo 4: Funciones exponenciales y logartmicas Varios ejemplos nuevos aplicados. Anlisis aumentado de logaritmos y grficas logsticas. Muchos y nuevos ejercicios aplicados y de rutina, en especial los relacionados a ciencias biolgicas. www.FreeLibros.com
17. 17. I Prefacio ! xv * Un nuevo ensayo de Reflexione acerca de... sobre el modelo de Arrhenius de investiga cin del chirrido de grillos. Captulo 5: Integracin o Reorganizacin del material de integracin. El captulo 5 se inicia con la antiderivacin y el mtodo de sustitucin (como en la sptima edicin), pero ahora estos temas son segui dos inmediatamente por la integral definida y sus aplicaciones. La integracin por partes est ahora en el captulo 6. * Una seccin 5.2 extensamente modificada sobre el mtodo de sustitucin. * El modelado con la integral definida se estudia en la seccin 5.4, con aplicaciones de in ters general tal como rea entre curvas, valor promedio y anlisis de la curva de Lo- rentz. Las aplicaciones ms especializadas de la integral definida se dividen en dos secciones separadas: la seccin 5.5 para administracin y economa, y la seccin 5.6 para ciencias biolgicas y sociales. * Nuevos ejemplos aplicados, as como ejemplos ampliamente modificados tomados de la sptima edicin. Se han agregado numerosos ejercicios aplicados y de rutina. 0 a la derecl de c No es un extremo relativo si / (x) tiene el mismo signo a ambos lados de c EJE M PL O ! 3 .1 .3 Encuentre lodos las nmeros crticos de la funcin /(.v) = lv 4 - 4.v2 + 3 y clasifique cada punto crtico como un mximo relativo, un mnimo relativo o ninguna de las dos cosas. X X r > o c /'< 0 X / < 0 c f > 0 X X /'> 0 c / >0 / ' pullton titii ponuwrtiu", icoht^irjl MhIi0- -274. r+ R(D) H -f) 46. donde D es la dosis, y C (constante) es la dosis m xima que se puede administrar. La razn de cambio R(O) con respecto a D se denomina sensibilidad. a) Determine el valor de D para el cual la sensibili dad es la mayor. Cul es lu mayor sensibilidad? (Exprese su respuesta en trminos de C.) b) Cul es la reaccin (en trminos de C) cuando se usa la dosis que resulta en la mayor sensibili dad? * !' 1 ! 11' ' En el diseo de aeroplanos, una caracterstica importante es el inuy conocido factor de arraslre. que es la fuerza relardadora ejercida sobre el avin por el aire. Un modelo mide el arrastre por una funcin de la forma b 49. /) Av + ' V. A. Tuc,ci y K. Scliniwll-KwniE. Miflii S|>cc*i ul ISitcn in Rc- Ijfion to Eiicrfclicv and WiuJ Diwclious*'. 1hr Aui, Vol. KK (1071), pjg:iru> 97-107. K. M . T Ii/jII ft di.. Stnr MiithfmuHt di Miutrli in flinhi/y. ti. ul IK'iliJ'Jll, |V07. litros cuando la temperaiura es T C, para 0 T 30. a) Utilice una calculadora graficadorn para trazar T). para O s T 10. La densidad del agua es mxima cuando l'(Tj es mnima. A qu tempe ratura ocurre esto? b) Le extraa la respuesta del inciso )? Pues s, debera sorprenderle. El agua cs el nico lquido cuya mxima densidad ocurre por encima de su pumo de congelacin (0 *C para el agua). Lea un artculo sobre la supervivencia de vida acu tica durante el invierno y luego escriba un prra fo acerca de cmo las propiedades del agua examinadas en este problema esln relacionadas con tal supervivencia. 1lf iilir i | ( i N O I i II M V. Recuerde del problema 60 en la seccin 2.3 que un modelo til para la produccin p(x de clulas en la sangre con sidera una funcin de la forma A.v /7,V) = 7 7 donde ves el nmero de clulas presentes y ,4, [I y ni son constantes positivas." a) Encuentre la lasa de produccin de sangre Rlx) = //(a ) y determine dnde A(.v) = I). b) Encuentre lu tusa a la cual A(.i) cambia con res pecto a a y determine dnde R't v) - 0. c) Si m > I, el nmero critico diferente de cero encontrado en el inciso b) corresponde a un m ximo relativo o a un mnimo relativo? Explique. M C. Miickry y L. Olis, "Ovill.iimni and Cluus lu Pliyslotu^f- cj| (onlrol Systems", Sdrllcr, Vnl. I'IV. pj|'Jnn 2X7.2.X1) 54. 55. AN '-t IMS M . INi El costo total de pro ducir a unidades de cierto articulo est dado por C(.v) = V 5.v + 2 + 3. Trace la curva de costo y en cuentre el costo marginal. El costo marginal crece o decrece con el aumento de la produccin?M l M .N .1'. t - I . , M Seap = (0 - 3x f para 0 x 3 el precio al cual se vendern .vcien tos de unidades de cierto artculo, y sea /?(.vl = xpl.x) el ingreso obtenido de la venta de las x unida des. Encuentre el ingreso marginal R tv) y dibuje Ixs curvas de ingreso y de ingreso marginal en la mis ma grliea. Para qu nivel de produccin se maxi- miza el increso? h?ercictos C2 escr1ava Todo conjunto de ejercicios incluye problemas de escritura que estn relacionados con otros problemas que aparecen en los ejemplos y ejer cicios, designados por el icono de escritura . Estos problemas desafan la capacidad de pensamiento crtico del estudiante y lo invitan a investigar temas por s mismo, explorando el lenguaje de las matemticas. jercicios co n cal cu lo
18. 21. Resumen de! capitulo 83 Trminos importantes, smbolos y frmulas Funcin Notacin de funcin/ ( vi , . Dominio y rango de una funcin i *i Convencin del dominio i Utilidad i'i Composicin de funciones: gtfttf)) n>i Grfica de una funcin: los puntos > Intersecciones con los ejes vy y : l ' i Funcin definida en partes i : Funcin de potencia i?ni Polinomio .Tu. Funcin racional O l Tnierio de la recta vertical ' _________ Proporcionalidad conjunta: Q = Lxy 1U 1 Equilibrio de mercado: ley de I oferta y lu demanda 117, Escasez y abundancia i !71 Anlisis del pumo de equilibrio i-i7i Lmite de una funcin lm f(x) i p Lmites al infinito: lm /(.v) y lm /(.r) (Mi Regla del recproco de la potencia: lm -7 = 0 y i'->* x lm 7 .r 0 k > 0 d in . is. Lmites al infinito de una funcin racional f(x) = : f(v) Divida lodos los trminos de f(x) entre la potencia ms alia v en el denominador (.v) y utilice la regla del recproco de la potencia. im>i Asiniota horizontal ifi Lmite infinito: lm /(.v) Lmites laterales: O _p o v~ a. S D Z ty 3 ISJ e Rsvsin de captulo Una nueva Revisin de captulo presenta un rpido examen para estudiantes para probar su comprensin de los conceptos in troducidos en el captulo. Todas las respues tas a este examen aparecen en las Respuestas clave al final del libro. Reposo de captulo Esencial para la comprensin del estudiante es el material de Repaso de captulo que ayuda a sintetizar los conceptos importantes presentados dentro del captulo. Los trminos, smbolos y frmulas importantes dan una lista maestra de todos los trminos tcnicos clave y matemticas que se estudian en el captulo. Verificacin para el capitulo 2 | UJ C En cada caso, determine la derivada . = (3aj - ,v+ I)(4 - r ) 5 .r - 3.r + 2 ' I - 2 x d. y = (3 - 4. + 3-v2),/2 Delennine la segunda derivada de la funcin f(i) = l(2t + I)2. Encuentre la ecuacin de la recta tngeme a la curva y = x~ - I r + 1en el punto donde.r = - I. Determine la lasa de cambio de la funcin /(.O=x + I 5.t con respecto a x cuando x 1. O - J ! n CL < o ILi O cC (JJ SE Z? {/) LU Problemas de repaso En los problemas I y 2 tilHice la definicin de lu derivada para determinarf '( =7=1 En los problemas i a 13 encuentre la derivada de la fun cin dada. 3. f(x) = lvj - 7.v5 + I r + v"2 4. f(x) = .r- - + 2T x - - + 3,r .v .r 1 - r 2 5. y = c) /(O = r V - I) en f = 0 d) f(t) = ( r - 31 + 6),/2 en /= 1 19. En cada uno de los casos siguientes, encuentre la tasa de cambio porcentual de la funcin/(r) con respecto a I en el valor dado de I. a) /(/) = r - 3/ + V / en I = 4 b) f(t) = / 2(3 - 21? en t = I c) fU) = en / = 0 t + I 20. Utilice la regla de la cadena para determinar-^-. > Los 00. el a una le una + 1 800 o a la X>3? el im- n objeto na que su =2/' - acin a(. 3.v- + I 6. y = (* + 2-v - 7)(3 + x - x2) 7. /(.v) = (5.vJ - 3.v2 + Z + l)lw 8. /(.r) = V .r + I -J s a) y = 5m* + ti I; m= 3.
19. 22. EXPLORE! ACTUALIZACION O < hJ < 3 I- u < i o: xu. Yv. A las soluciones completas de lodos los recuadros EXPLORE! del texto se puede ac ceder desde el sitio web del libro, n - i t t i i . f i i Mu n . . t ............. Introduzca la funcin /(v) = I r 1 + 3.v* 1 2 .1 -7 en V I, utilizando un estilo de la .(.. io n gratieacin en negritas. e introduzco la derivada numerica/'l.v) en Y2. Utilizando una v(l 0 :- l !
20. 23. Prefacio xx Material complementario " Este texto cuenta con varios materiales complementarios de apoyo, para mayor informa cin contacte a su representante local. n Al igual que en ediciones anteriores, hemos elaborado una lista de los maestros que utilizan este texto que nos han retroalimentado; as como de quienes usan otros textos, para sealar posibles reas a mejorarse. Nuestro extenso panel de maestros proporcion una gran canti dad de detallada informacin sobre el contenido de este libro y los cambios necesarios de su curso. Numerosos cambios hechos en esta octava edicin son el resultado directo de un con senso entre este panel. Agradecemos a todas las personas que tomaron parte en este proceso. Mi'v: de ]?. octavo edicin Faiz Al-Rubaee, University ofNorth Florida George Anastassiou, University ofMemphis Neal Brand, University ofNorth Texas Paul W. Britt, Louisiana State UniversityBaton Rouge Beverly Broomell, SUNY-Suffolk Steven Castillo, Los Angeles Valley College Deanna Caveny, College of Charleston Terry Cheng, Irvine Valley College Lynn Cleaveland, University ofArkansas Dominic Clemence, North Carolina A&T State University Cecil Coone, Southwest Tennessee Community College Jean F. Davis, Texas State University-San Marcos John Davis, Baylor University Margaret Ehrlich, Georgia State University Haitao Fan, Georgetown University Klaus Fischer, George Masn University Michael Freeze, University ofNorth CarolinaWilmington Constantine Georgakis, DePaul University Sudhir Goel, Valdosta State University Lauren Gordon, Bucknell University Angela Grant, University ofMemphis Doug Hardin, Vanderbilt University Jonathan Hatch, University ofDelaware Matthew Hudock, St. Philips College Zonair Issac, Vanderbilt University Shafiu Jibrin, Northern Arizona University Vctor Kaftal, University of Cincinnati Georgia Katsis, DePaul University Fritz Keinert, lowa State University Donna Krichiver, Johnson County Community College W. Conway Link, Louisiana State University-Shreveport Yingjie Liu, University of Illinois at Chicago Jeanette Martin, Washington State University Kailash Misra, North Carolina State University Rebecca Muller, Southeastern Louisiana University Karla Neal, Louisiana State University Devi Nichols, Purdue UniversityWest Lafayette Ray Otto, Wright State University Virginia Parks, Georgia Perimeter College Shahla Peterman, University of MissouriSt. Louis Lefkios Petevis, Kirkwood Community College Mohsen Razzaghi, Mississippi State University Arthur Rosenthal, Salem State College Mansour Samimi, Winston-Scilem State University Anthony Shershin, Florida International University Ken Shores, Arkansas Tech University Brian Smith, Parkland College Nancy Smith, Kent State University Charles Stanton, California State UniversitySan Bernardi- no Jim Stein, California State University-Long Beach Hugo Sun, California State UniversityFresno Dinh Van Huynh, Ohio University Maria Elena Verona, University of Southern California Kimberly Vincent, Washington State University Hiroko Warshauer, Southwest Texas State University Xiao-Dong Zhang, Florida Atlantic University Jay Zimmerman, Towson University Revisores de ediciones anteriores Dan Anderson, University oflowa Don Bensy, Sujfolk County Community College Randall Brian, Vincennes University James F. Brooks, Eastern Kentucky University Laura Cameron, University ofNew Mxico Rick Carey, University of Kentucky Gerald R. Chachere, Howard University William Chin, DePaul University Charles C. Clever, South Dakota State University Peter Colwell, lowa State University Ral Curto, University oflowa Karabi Datts, Northern Illinois University Ken Dodaro, Florida State University Dan Dodero, Florida State University Eugene Don, Queens College Dora Douglas, Wright State University Bruce Edwards, University of Florida Maurice Ekwo, Texas Southern University George Evanovich, St. Peters College Ronnie Goolsby, Winthrop College www.FreeLibros.com

24. xxii Prefacio i John Gresser, Bow'ling Green State University Murli Gupta, George Washington University William Hintzman, San Diego State University Joel W. Irish, University of Southern Maine Erica Jen, University of Southern California Sheldon Kamienny, University of Southern California Melvin Kieman, St. Peter's College Harvey Lambert, University ofNevada Donald R. LaTorre, Clemson University Melvin Lax, California State University atLong Beach James E. McClure, University ofKentucky Mark McCombs, University ofNorth Carolina Ann B. Megaw, University of Texas at Austin Fabio Milner, Purdue University Mohammad Moazzam, Salisbury State University James Osterburg, University of Cincinnati Hiram Paley, University ofIllinois Murray Peterson, College ofMarin Cyril Petras, Lord Faiifax Community College Natalie Priebe, Rensselaer Polytechnic Jnstitute Georgia Pyrros, University ofDelaware Richard Randell, University oflowa Nathan P. Ritchey, Youngstown State University Judith Ross, San Diego State University Robert Sacker, University of Southern California Katherine Safford, St. Peters College Dolores Schaffner, University of South Da/cota Thomas J. Sharp, West Georgia College Robert E. Sharpton, Miami-Dade Community College Minna Shore, University of Florida International University Jane E. Sieberth, Franklin University Joseph F. Stokes, Western Kentucky University Keith Stroyan, University oflowa Martin Tangora, University of Illinois at Chicago Tuong Ton-That, University oflowa Lee Topham, North Harris Community College George Trowbridge, University ofNew Mxico Charles C. Votaw, Fort Hays State University Pam Warton, Bowling Green State University Jonathan Weston-Dawkes, University of North Carolina Henry Wyzinski, Indiana University-Northwest Nuestro agradecimiento espacial a quienes revisaron la precisin de problemas y pginas, in cluyendo Devilyn Nichols, Paul Lorczak, Henri Feiner, Mary-Ellen Oliver y Jaqui Bradley. Reginald Luke fue clave para desarrollar el material de Explore! de esta edicin. Final mente, deseamos agradecer al equipo de McGraw-Hill, Bob Ross, Nancy Anselment y Vicki Krug por su paciencia, dedicacin y continuo apoyo. www.FreeLibros.com 25. El siguiente anlisis tiene la inalidad de ser una breve introduccin a las funciones estndar de una calculadora graficadora que se hallan en casi todas las mquinas de este tipo. Las cal culadoras graficadoras tpicas que se pueden adquirir comercialmente son los modelos TI-83 Plus o la TI-84 Plus, producidas por Texas Instruments, Inc. Esta introduccin y las siguien tes secciones Explore! Actualizacin y soluciones, usan como base la calculadora TI-83 Plus (edicin Silver). El teclado comn incorpora las teclas estndar numricas, de edicin y de flechas de cursor, as como las teclas para acceso a operaciones matemticas y cientficas, y funciones grficas y de programacin. Para instrucciones ms especficas, consulte el ma nual que acompaa a su calculadora. jyaii ic p R prbi flpFrac. 22 t>Dec 4 2 3J-< era y.J- 62fHin< 74-fMa IP l^ N U n CPK PRB C JB 6 sfM in < 7- 8 2 n D e riv < 92f nlnt< MiSoluer..._______ lTH I3IBUL CPX PRB glabsk 25 round< 32 iP a rt 42fP a rt 52 int< 62min< 7 ^n ax < }T. S ' ii *j A :iiGURj Al presionar la tecla MATH, por ejemplo, aparece una pantalla descendente con mltiples opciones de men (figuras 1 y 2), que se pueden seleccionar por nmero o moviendo la tecla hacia abajo del cursor a la seleccin deseada y presionando la tecla ENTER. Note que hay selecciones adicionales que se obtienen con la flecha hacia abajo, tales como las opciones 8:nDeriv( y 0:SoIver. Al presionar la tecla de flecha derecha se tiene el uso de ms pantallas (figura 3) donde la funcin de valor absoluto es el primer rengln que aparece bajo el men numrico NUM. Los nmeros complejos (CPX) y probabilidad (PRB) redondean el resto de pantallas de men. Dos teclas de color del teclado dan entrada a capas adicionales de funciones de la calcu ladora: la tecla verde ALPHA da acceso al alfabeto y otros smbolos, mientras que la tecla de funcin 2n (columna inferior izquierda del teclado) para crear la pantalla que se muestra en la figura 6, en la que se obtiene la longitud de la hipotenusa de un tringulo recto. PYTHRG0RFI5 THEOR EN2 R2+B2=C2 3+R 3 4+B 4 J 5 FGUFv 4 FIGURA 5 FIGURA 6 xxiii www.FreeLibros.com 26. Solucionados* de ecuaciones Modo Estilo de grficas Pantallas Un mtodo ms eficiente para resolver ecuaciones es accesible por medio EQUATION SOLVER de la tecla MATH, donde hemos escrito la ecuacin de Pitgoras que se ve en la figura 7, con todos los trminos del lado derecho de la ecuacin. Al presionar ENTER se ob tiene la figura 8, con valores de entrada de 5 para A y 13 para C, en un intento por despejar el valor de B. Ponga ah un valor inicial razonable y luego ejecute el comando de color ver de SOLVE (ALPHA ENTER) para obtener la solucin anticipada (figura 9). Note que tene mos la facilidad de despejar cualquier variable faltante, dados los valores deseados o pedidos para las otras variables. EQURTION SOLVER efn5 =2+B2C2 |R2+EZ-C2=0 R = 5 B=i C=13 bound=C 1e99? 1... F|2+BZ-C2=0 r=5 B=12. 000000000... C=13 bound= "1e99? 1... ale f t - r t = 0 FIGURA 7 FIGURA 8 FIGURA 9 La caracterstica predominante de una calculadora es su facilidad para presentar, exhibir vi sualmente y analizar las muchas funciones que hay en clculo. Supongamos que el lector es t interesado en la relacin entre las dos funciones f(x) = x2 1 y g(x) = 5 x. Presione la tecla MODE, y observe los ajustes predeterminados que se ven en la figura 10. De la fila 4 observamos que estamos en el modo de funcin (Func), en oposicin a paramtrico (Par), polar (Pol), o secuencia (Seq). La posicin de Connected de la fila 5 se refiere al hecho de que las grficas se van a generar de un modo conectado en lugar de con puntos intermitentes. La posicin de Sequential de la fila 6 se refiera al orden en que se van a generar las grficas, una despus de la previa y no todas al mismo tiempo (simultneamente). Ahora presiona la tecla Y=, llamada editor de ecuaciones, localizada en la esquina superior izquierda del te clado, y escriba/(jc) en Y1 y g(x) en Y2, como se ve en la figura 11. Se-i En9 0123456789 DeSree ar Pol Se^i Dot 1 Siroul Horiz G-T N ati. Hati F-lofcj: 'Vi X2 1 ^ V 3 = i vVh = x V s = xVfi= 'Y? = Nofcl No!* Nofc- vVziS-K ^ 3 = x V h = *'*V5 = W fi = *^v?= c R 'il 8GRA 12 Se seleccionan diferentes estilos de grficas para cada funcin, al mover el cursor a la iz quierda del smbolo de funcin Y, y presionando la tecla ENTER en sucesin. Las opciones de estilo de grfica que aparecen en orden son negritas, sombreado arriba de la funcin, som breado abajo, esfera con lnea que sigue, esfera sola, lnea desconectada y luego regresa al estilo de grfica inicial regular estndar. Si se presiona una vez la tecla ENTER cuando el cursor est a la izquierda de Y1 se obtiene un estilo de grfica en negritas para/(.v) = .y2 1, como se ve en la figura 12. La mayor parte de las calculadoras graficadoras tienen varias pantallas opcionales puestas para dimensiones prescritas. En la TI-83 Plus, a estas pantallas se tiene acceso por medio de la tecla ZOOM (situada en la parte media de la fila superior del teclado). Si se presiona esta tecla se obtiene la figura 13. Una pantalla estndar, 6:Zstandard, genera una grfica que se muestra en la figura 14. Las dimensiones de esta pantalla estndar son 10 ^ X ^ 10 y - 10 < Y < 10, con los ejes a escala en marcas unitarias designadas por Xscl = 1 y Y scl = 1, respectivamente. Presione WINDOW y vea la pantalla que se muestra en la figura 15. www.FreeLibros.com 27. 12 2= T i iUJM NENORV ZBok Zoon In Zooro Out 45ZDecinal 52 ZS^uare giZStandard 7 Z T ri9 FIGURA 13 WINDOW Snin=10 Xnax=10 Ksc-l=l V n in = 10 Vnax=10 Vsc-l=l Xres=l FIGURA 14 FIGURA 15 Otro tipo til de rectngulo de observacin es la pantalla decimal, a la que se tiene acceso por el men ZOOM, 4:Zdecimal. Las dimensiones de la pantalla decimal estn denotadas [ 4.7, 4.7] l por [3.1, 3.1 ]1 para designar intervalos de valores X y Y, respectivamente, donde los valores 1 despus de los parntesis indican que Xsd = 1 y Yscl = 1 (vea la figura 16). Las dimensiones especiales de la pantalla decimal permiten que el cursor pueda rastrear valores decimales de la variable X, en incrementos de 0.1. La modificacin de las dimensio nes Y de esta ventana permite una mejor observacin de las grficas de ambas funciones, co mo se ve en la figura 17, donde 2 < Y < 10. Cuando las dimensiones de la ventana se modifican, la tecla GRAPH (ubicada arriba a la derecha del teclado) debe usarse para obte ner la grfica deseada, como se muestra en la figura 18. WINDOW ftmin= "4b7 ftrfiax=4H7 feo 1=1 VFiin= -3.1 Vnax=3B1 V S G l= l Kres=l WINDOW fWiin= 4* 7 X m aK = 4 - 7 Ks&l=1 Vmin= _2 Vnax=10l3 V s c l= l K re s= l FIGURA 16 '6URA 17 I razo El movimiento a lo largo de la grfica de la funcin se maneja con el uso de la tecla TRACE (fila superior del teclado), maniobrando a derecha o izquierda en una grfica con el uso de las teclas de flecha apropiadas derecha o izquierda, como se ve en la figura 19. Observe que los valores x del punto de trazo son decimales, puesto que la grfica se gener usando una ven tana decimal modificada. Use las teclas de flecha arriba o abajo para saltar de esta funcin a la otra, en este caso la funcin g(x) = 5 x, como se ve en la figura 20. Podramos continuar haciendo trazos en ambas grficas para hallar el punto de interseccin, que parece ser el pun to (2, 3), que se puede confirmar fcilmente en forma analtica. Y1=p-i V-T"*- / --V. Jtr. . K=1.3 ^ Y=9 X=1.3 7=3.? v=s:-K K=2 ^ 7=3 FIGURA 19 FIGURA 20 FIGURA 21 uncin para interseccin Para demostrar una de las funciones de calculadoras de grficas, mostramos la funcin de ha llar intersecciones de la TI-83 Plus, que se calcula con la tecla CALC (2nd TRACE), como se ve en la figura 22. Note que tambin podemos hallar valores funcionales, races, valores de mnimo y mximo, as como algunas operaciones de clculo. Encontremos el otro punto de interseccin d e /Cv) y g(x). Seleccione 5:intersect e identifique las dos curvas y un punto de interseccin estimado, presionando ENTER sucesivamente para alcanzar el siguiente paso del proceso. Entonces la calculadora tratar de buscar el punto exacto de interseccin, como se ve en la figura 24. XXV www.FreeLibros.com 28. xxvi aasfiiaaia 1valu 2Szero 35minimum 45 mximum pH intersect &sdy''d x 7 S trf< x )d x V1=K2-i H / : /N/: / > > * FiFst c u m ? : K= 2.5 7=5.25 lftWHCKiOh H= -3 FIGURA 22 FIGURA 23 FIGURA 24 Representacin Otra funcin til de una calculadora graficadora es su capacidad de representar funciones s im b lic a simblicamente. Ya hemos puesto funciones en Y1 y Y2 del editor de ecuaciones, Y=. Hay muchas ocasiones cuando necesitamos usar estos smbolos en ecuaciones y expresiones. Por 2 * ejemplo, suponga que deseamos escribir Y1(5) para evaluar/(x) = x - 1 en * = 5. Cmo se hace esto? El smbolo Y1 se puede hallar por medio de la tecla VARS, y moviendo la te cla de flecha derecha a Y-VARS, seleccionando l:Function, y luego escogiendo Y1 o Y2. Estos pasos se ilustran en la secuencia de pantallas que se ve en las figuras de la 25 a la 27. m r n v-vfirs MlJandow... 2Zoom... 35GDB... 45 Pie-ture... 55 S tatistio s... SsTable... 75 5trin9... VRR5 BfflBHB MFunction... zsparametric-... 35 Polar... 45 OrVOff ... FIGURA 25 FIGURA'26 FIG J' 27 Los smbolos Y1 y Y2 se pueden manipular en combinaciones funcionales, como lo ha ramos con/(jc) y #(*). Por ejemplo, sumas, productos y combinaciones as como traslacio nes y transformaciones se construyen fcilmente. Con Y1 y Y2 como se define, escrita Y3 = Y1(X + 2). Primero, sin embargo, borre la seleccin de Y1 y Y2, de modo que sus grficas no aparezcan en la pantalla. Esto se hace al mover el cursor al signo de igualdad y presionan do ENTER para quitar la seleccin de la funcin deseada, como se hace en la figura 28, don- de a Y1 y Y2 se les ha quitado la seleccin. La grfica resultante, usando una pantalla estndar ZOOM y con la tecla TRACE activada, aparece en la figura 29. Qu ecuacin tie ne esta funcin? Finalmente, quite la seleccin de Y3 y escriba Y4 = Y1(Y2), la combina cin def(g(x)). Su grfica aparece en la figura 30. De nuevo, cul funcin es sta? Plofcl Flot2 MotS ^Vz=5-X xV 3B V iX +2J xV h = x V s = xVfi = vV? = V3=rKK*2> ..J H=0 .......... 7=3 u K=H.Q*125532 X j y - 7= -.IJ032S56 FIGURA 28 FIGURA 29 FIGU?'.- :-:- Seleccin ele Uno de los desafos clave para presentar grficamente una funcin es crear la mejor pantalla pantallas Para ver Ia parte importante de esta grfica. La pantalla estndar o la decimal disponibles por medio de la tecla ZOOM no pueden exhibir la grfica en forma apropiada. Ver una tabla de valores puede ser el mejor primer paso para obtener un fijo en comportamiento funcional. Como ejemplo, exploremos cmo presentar las mejores dimensiones de pantalla para la gr fica de la funcin/ ( a ) = 15 + 30x/(x~ + 1), que ponemos en Yl. Primero, creamos un ajus te de tabla para poder ver el comportamiento de la funcin alrededor del origen. Presione 2nd WINDOW (TBL SET) y cambie los ajustes de tabla para obtener un valor inicial .vde A"= - 3 en valores de incremento unitarios, es decir, fije TblStart = - 3 y ATbl = 1, como se ve en la figura 31. Ahora presione la tecla TABLE (2nd GRAPH) para obtener la tabla de valo res que se muestra en la figura 32. www.FreeLibros.com 29. TRBLE SETUP T b l5 ta rt= -3 * T b l= l Indpnts pp.k? Rsk Depend nitral? sk UUNDW Xmn= 4*7 X w a x = 4 m 7 sol=l V n i n = 5 Vmax=35 Vscl=l jires=l La observacin de la tabla de valores da una buena idea de los mrgenes de valores fun cionales y un dominio razonable con el cual trabajar. Parece que deberamos fijar el margen de valores y un poco mayores a [0, 30], por ejemplo 5 ^ Y ^ 35. Como el dominio de los valores x debe estar fuera de x = 3 a 3, usamos una pantalla decimal modificada, por ejem plo 4.7 < X < 4.7. Presione las siguientes teclas: ZOOM, 4:Zdecimal, y luego WIN- DOW, y cambie los ajustes como se dan en la figura 33. Estas dimensiones quedaran expresadas como [4.7,4.7] 1por [-5, 35] 1. Finalmente, al presionar GRAPH se crea la gr fica que se ve en la figura 34, donde la tecla TRACE identifica la funcin y puntos especfi cos en la grfica. La grfica mostrada en la figura 34 tiene un punto mximo aparente, ubicado alrededor de x = 1. La tecla TRACE puede ser aqu muy til, especialmente, porque la pantalla deci mal modificada permite trazar sobre valores decimales, como se ve en la figura 35. Casi to das las calculadoras graficadoras tienen una funcin de bsqueda mxima para ayudar a localizar este importante punto. Presione la tecla CALC (2nd TRACE), 4:maximum, como se ve en la figura 36. Ser necesario especificar un lmite izquierdo razonable, lmite derecho, y estimar, presionando la tecla ENTER segn sea necesario, antes que el programa rectifi que sobre el punto mximo, que se identifica como .y = 0.99999881, como en la figura 40. Note que este punto es tcnicamente x = 1 dentro de los lmites de tolerancia de la calcula dora, pero esto se puede verificar en forma analtica por mtodos de clculo como x 1 exactamente, como se demostrar ms adelante en el captulo 3. BjBBBIBSBia 15valu 2= zero T! mnimum H r o a x i m u m b* i n t e r s e s t ea d y ^ d * 7* JT= mc! )= "SUiUKA Dv *21 * *) i . ; , Otra funcin importante de una calculadora graficadora es su facilidad de modelar datos es tadsticos, es decir, hallar y exhibir la mejor funcin para representar un conjunto de datos obtenidos en forma experimental o terica. Considere la siguiente tabla de datos, la pobla cin de Estados Unidos (en millones) de las encuestas del U.S. Census para las pasadas va rias dcadas, como se cita en el Britannica Almanac 2003. Ao 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Pobl. U.S. 131.67 151.33 179.32 203.30 226.54 248.72 281.42 El primer paso es guardar estos datos de poblacin en las listas de la calculadora grafi cadora. Introduzca el stat editor por medio de la tecla STAT y presione l:Edit (figura 52). Ponga los aos 1940 a 2000 en List 1 y la poblacin de Estados Unidos en List 2 (figura 53). S e i E n 9 0123456789 pegree a r F u Doi b i m u lre"m Horiz n xxix www.FreeLibros.com 32. CflLC TESTS it... 5TSori< 3 :SoriD< 4 :C lr L is t 5 S e tU p E d ito r L1 L Wl 5 19H0 1950 1960 1970 19B0 1990 000 151.67 151.55 179.52 05.5 26.5H HB.72 2B1.HS II r--i La segunda fase del proceso de presentacin de datos es establecer las grficas estads ticas. Presione la tecla STAT PLOT (2nd Y=) para dejar ver una pantalla con tres seleccio nes de grfica, como se ve en la figura 54. Escoja la primera opcin y seleccione los valores, lnea por lnea para los 5 renglones, para coincidir con la exhibicin de la pantalla de la figu ra 55. En Line2, especificamos el tipo de datos al mover la tecla de flecha a la derecha y pre sionar la tecla ENTER para seleccionar, en orden, una de las siguientes opciones: grfica de dispersin, grfica de lnea, histograma, grfica de caja con resultados aislados identificados, grfica de caja regular, grfica normal. Hemos escogido la primera seleccin, grfica de dis persin, para nuevos datos bivariados. La variable Ao en List 1 es nuestra Xlist, mientras que la poblacin de U.S. es List2 como Ylist. La marca de grfica es un pequeo smbolo cuadrado. S T O F f L1 L2 2 = P lo t2 ...0 ff iDesj li 3 = P lo t3 ...0 ff r~' Li L2 4 4 -P lo ts ff f f s m fei CTH I.-" X lis ts L i Vlist-SLs h a r k s l * Ahora que los valores de grfica se han seleccionado, usamos la funcin ZOOM de la TI-83 Plus, seleccionando 9:ZoomStat, como se ve en la figura 56, para obtener una grfica instantnea, como se muestra en la figura 57, para la cual se puede presionar la tecla TRA CE para identificar los valores de cada uno de los puntos de datos. La forma de la grfica pa rece lineal, de modo que intentamos hallar la mejor recta de la forma Y = aX + b, que se ajuste a los datos de poblacin. Este proceso se denomina de regresin lineal, con base en el mtodo de mnimos cuadrados de Gauss, que produce los coeficientes de regresin a y b pa ra la funcin lineal que mejor aproxima los puntos de datos. Presione la tecla STAT, una vez la tecla de flecha a la derecha a CALC, y seleccione la opcin 4:LinReg(ax+b), que se muestra en la figura 58. Prepare una pantalla clara, presione esta seleccin, y luego escriba los tres smbolos: Ll, L2, y Yl, separados por comas, como se muestra en la figura 59. Re cuerde que Yl se obtiene por medio de la secuencia: VARS, Y-VARS, l:Function, 1:Y1. Por ltimo, presione ENTER para obtener los resultados deseados, como se muestra en la fi gura 60. _ MEHORV ^iDec-imal 5sZ5uare 65 ZStandard 7=ZTri9 8sZInte9er F*1:L1j.L2 o a a=13H)---------7=131.67 ... EDIT gaffi TESTS 1s1 -V a r it a t s 2"2-Var S tats 3sMed-Med |PLiriRe9